NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY:

LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA

Kurs: Biomechanika II Obor: Biomechanika a lékařské přístroje

Program: Magisterský Fakulta strojní ČVUT v Praze

Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz

CÍLE

Analytickými metodami získat

kvantitativní odhad napjatosti

tepenné stěny

Jako příklad poslouží lidská břišní aorta

Tenkostěnná vs. silnostěnná aproximace

Elastostatika (nelineární materiál)

Konečné deformace

Zbytková napětí

MOTIVACE

Numerické metody budou v klinicky podstatných úlohách,

optimalizace implantace stentu (z hlediska přetížení)

napojení bypassu (opět přetížení)

napětí na rozhraní kalcifikovaný plát-stěna

interakce tepenné stěny s krví (zejména v místech plátů)

disekce stěny a ruptura aneurysmatu

atd., vždy hrát prim.

Analytické metody neslouží (jak by se v „rakousko-uherské

tradici“ výkladu matematiky a fyziky bohužel mohlo někdy

zdát) k memorování výrazů, ale k pochopení kvalitativních

vlastností řešení, na nichž je testována hodnověrnost

výsledků numerických metod.

AD REM

Břišní aorta – kde to je, co to je?

Repro: http://www.doereport.com/enlargeexhibit.php?ID=15311

Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx

AD REM

Břišní aorta – kde to je, co to je? 1 Right lung 2 Right hepatic vein 3 Liver 4 Left hepatic vein 5 Stomach 6 Left colic flexure (splenic flexure of the colon)

7 Spleen 8 Left lung 9 Aorta

Repro: http://www.info-radiologie.ch/en/abdominal_ct.php#

Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/index.php?title=File:Blood_vessel_wall_cartoon.jpg

Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/images/a/ae/Artery_histology_16.jpg

Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/corepages/vascular/vascular.htm

AD REM

Je to elastická tepna

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce

Přenos tepla a působení

vnějšího prostředí

Přenos tepla a působení vnějšího

prostředí

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce - externí

IN SITU

EXCIZE

EX SITU

MECHANICKÉ INTERAKCE

Pasivní interakce - interní

Po rozříznutí prstýnku se tepna dík

uvolnění zbytkových napětí rozevře

Aktivní interakce

MECHANICKÉ INTERAKCE T

aho

vá

zko

ušk

aIn

flač

ní

test

(naf

uk

ov

ání

tru

bic

e)

Repro: P. Fridez, A. Makino, D. Kakoi, H. Miyazaki, J.-J. Meister, K. Hayashi and N. Stergiopulos 2002Adaptation of Conduit Artery Vascular Smooth Muscle Tone to Induced Hypertension Annals of BiomedicalEngineering 30:7, 905 – 916.http://www.springerlink.com/content/v257812562p17374/

Maximální kontrakce po podání norepinefrinu céva ztuhne

Bazální tonus

Maximální dilatace po podání papaverinu

VÝPOČTOVÝ MODEL

Předpoklady pro formulaci úlohy

Konstitutivní rovnice

Předpoklady o geometrii

Předpoklady o zatížení a vazbách

Předpoklady o deformaci

(konkrétní kinematika)

Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx

Konstitutivní rovnice

VÝPOČTOVÝ MODEL

Použijeme model Guccione–McCulloch–Waldman, který

popisuje cylindricky ortotropní hyperelastický materiál.

2 2 22 31 1

2

ZZ RRc E c E EcW e

J. Guccione, A. McCulloch, L. Waldman (1991) Passive material properties of intact ventricular myocardium determined from a cylindrical model. J Biomech Eng 113:42–55 http://dx.doi.org/10.1115/1.2894084

Konkrétní vyčíslení materiálových parametrů pro lidskou

břišní aortu převezmeme od kolektivu M.R. Laborsseho, který publikoval výsledky 16 inflačně-extenzních testů...

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X?v=s5

Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferential residual stress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

Cylindrická ortotropie

VÝPOČTOVÝ MODEL

...tři na sebe navzájem kolmé osy materiálové symetrie,

které jsou totožné s osami válcového souřadnicového

systému

Pasivní odezva materiálu bez aktivace hladkých svalových buněk

Isochorický děj (nestlačitelnost = během deformace materiál nemění objem)

VÝPOČTOVÝ MODEL

FF I

F

Wp

2 2 22 31 1

2

ZZ RRc E c E EcW e

Formální konstitutivní rovnice F je deformační gradient

W je hustota deformační energie

I je jednotkový tenzor 2. řádu

p je hydrostatická složka napětí vzniklá

reakcí na omezení stlačitelnosti

zde je použit tenzor E (Green-

Lagrangeův tenzor deformace),

který převedeme na F:

12

E F F IT

VÝPOČTOVÝ MODEL

Geometrie

budeme předpokládat, že břišní aorta je válcová trubice

konstantního poloměru R a tloušťky H (po vyjmutí z těla).

Tyto údaje převezme opět z literatury: Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferential residual stress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace

budeme předpokládat, že během tlakování trubice:

zůstávají všechny řezy rovinné (resp. válcové)

řezy se mohou vzdalovat/přibližovat

řezy se vůči sobě nenatáčejí

Pozor: Jde o pouhou skicu, obrázek nedodržuje

konstantní objem deformovaného elementu...

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace modelově vylučujeme existenci zkosů...

0RF

0ZF

0zRF

krut, neboli odklopení od podélné osy

(reálně může nastat když (1) je helikální

proudění krve, (2) nesymetrie vazeb...)

sklopení ve směru obvodu

(přechází-li při nafukování válec

ve válec, nemůže nastat)

sklopení do směru podélné osy (reálně musí

nastávat jako reakce na tření krve)

VÝPOČTOVÝ MODEL

Deformace

budeme si tedy přestavovat, že aorta (válcová trubice) se jen

nafukuje a protahuje z tvaru válce do tvaru válce

, ,Q R Z

, ,Q r z

rR

z

Z

Materiálový bod Q v referenčních a průběžných

válcových souřadnicích

Q Q r r R z z Z

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Vše (síly, deformace,...) se odehrává jen na úrovni střední

plochy

Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm

redF

P

P

zz

l

2r

h

PredF

zz

rR zZ

h H r R z Z

F

x

XF

0 0

0 0

0 0

h

Hr

Rz

Z

0 00 0

0 0 0 0

0 00 0

FrR

zZ

h

Hr

Rl

L

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Nestlačitelnost (isochorický děj)

0 0

1 0 0 1

0 0

detF detrR

rR zZ

zZ

dvJdV

1rR

zZ

Intenzita vnitřních sil (napětí) odpovídá průměrné hodnotě

po tloušťce objektu, která je rozprostřena uniformě (membrána)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm

P

P

zz

l

2r

h

PredF

zz

redF

2

2 2

rr

redzz

P

rP

hF rP

rh h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Konstitutivní rovnice

rr rR

rR

zz zZ

zZ

Wp

Wp

Wp

TFF I

F

Wp

2 2 22 31 1

2

ZZ RRc E c E EcW e

211

2ij ijE 1

2 E F F IT

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Finální soustava elastostatických rovnic

2

2 2

:

:

:

r rR

rR

redz zZ

zZ

W PF p

W rPF p

h

FW rPF p

rh h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Tuto soustavu vyřešíme ve třech krocích:

(1) Určíme „neurčitou“ reakci na nestlačitelnost p

2 rR

rR

P Wp

...a potom ve všech rovnicích substituujeme rR = 1/(·zZ)

(2) Vypočteme sílu Fred nutnou k dosažení zvoleného

počátečního předepnutí zZini (ta bude dále konstantní, což

odpovídá experimentu, kdy nafukujeme svislou trubku

s konstantním axiálním přívažkem)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

W rPp

h

2 2red

zZ

zZ

FW rPp

rh h

(2a) Pro zvolené zZini určíme ini za podmínky P = 0 z rovnice:

(2b) Pro zvolené zZini a vypočtené za podmínky P = 0

určíme Fred z rovnice:

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

(3) Simulujeme odezvu materiálu na zvolený vnitřní tlak P

a předepínací sílu Fred. Čili řešíme soustavu rovnic níže tak, že

dosazujeme za P (např. od 0 do 16 kPa) a vypočítáváme a zZ (s tím, že na počátku pro P = 0 se výsledky samozřejmě kryjí s předem

vypočtenými ini a zZini).

W rPp

h

2 2red

zZ

zZ

FW rPp

rh h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thin-

walled-tube.mw z www.biomechanika.cz

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Ukázka výsledků simulace inflačně-extenzního testu lidských

infrarenálních aort z Labrosse et al. (2012)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

Nedostatky modelu

0? ,ijx x h

2rr

Pr

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Silnostěnná nádoba integrace po tloušťce stěny...

0rr rr

d r r r

dr r

2 2 0o

i

r

red i zz

r

F r P r rdr

rr ir P

0rr or

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

rr ir P

0rr or

0rr rrd

dr r

rr rrd

dr r

rr rrd

dr r

rrrr

d drr

0rr o o

rr

r r

rrrr rr o rr rr

rr

d r r r drr

or

rrrr

r

r drr

Integrál jako funkce dolní meze

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Dále uvažme jednotkovou krychli, k níž přiložíme napětí rr, a zz, která

ji zdeformují na kvádr o hranách rR, a zZ. Přírůstek deformační energie

dW při další diferenciální deformaci o dkK (tj. např. rR přejde na rR +drR

je:

E e

rR

zZ

EZ ez

ER er

zz

rr

zZ rR zZ rr rR rR zz zZdW d d d

Pro nestlačitelný materiál diferencováním:

1 0rR zZ rR zZ rR zZ rR zZ

d d d

...dosazením: rR zZ rr rR zz rr zZdW d d

když předpokládáme, že nestlačitelnost

eliminuje jednu proměnnou...:

ˆ ˆˆ

zZ

zZ

W WdW d d

Na závěr porovnáme

výrazy pro dW:

ˆ ˆrr zz rr zZ

zZ

W W

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

To, co jsme udělali, je eliminace parametru p z konstitutivních

rovnic...

rr rR

rR

zz zZ

zZ

Wp

Wp

Wp

ˆ

ˆ

rr

zz rr zZ

zZ

W

W

ˆ , , ,

zZ rR zZW W

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

ˆrr

W or

rrrr

r

r drr

ˆor

rr

r

W drr

r

Čili vyjádřili jsme radiální napětí na základě kinematiky

a konstitutivní rovnice

Což dosadíme...

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

2 22 2

ˆo o

i i

r r

red i zz i rr zZ

r r zZ

WF r P rdr r P rdr

ˆ ˆzz rr zZ zz rr zZ

zZ zZ

W W

2

2 22 2

2

ˆ

ˆ

o o o

i i i

o

i

r r r

red i rr zZ i rr

r r rzZ

r

zZ

r zZ

d rWF r P rdr rdr r P dr

dr

Wrdr

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

2

2 2ˆo o

i i

r r

red i rr zZ

r r zZ

d r WF r P dr rdr

dr

2 2 2 2 o

i

r

i i rr i o rr o rr rr P r r r r r r

2

2

2 2

2

2 2

ˆ

ˆ ˆ

o oo

ii i

o o o o

i i i i

r rr

red rr rr zZrr r zZ

r r r r

rr rrzZ zZ

r r r rzZ zZ

d r WF r r dr rdr

dr

d W Wr dr rdr r dr rdr

dr r

Integrace per partes 0rr rr

d

dr r

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

2 2

ˆo o

i i

r r

rrred zZ

r r zZ

WF r dr rdr

r

ˆrr

W

2ˆ ˆo o

i i

r r

red zZ

r r zZ

W WF rdr rdr

2

ˆ ˆo

i

r

red zZ

r zZ

W WF rdr

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Finální model

ˆ

ˆ

rr

zz zZ rr

zZ

W

W

ˆor

rr

r

W drr

r rr ir P

0rr or

2

ˆ ˆo

i

r

red zZ zZ zZ

r zZ

W WF rdr z

ˆ ,

zZW W

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Jak zahrnout zbytková napětí Rozevírání prstýnku můžeme

modelovat jako otevírání uzavřeného

kruhového prutu...

Úhel rozevření

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

oM

oM

Rozstřiženou konfiguraci

budeme modelovat jako

mezikruhovou výseč

o

RiR

oR

2

i

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Rozstřiženou konfiguraci budeme

považovat za beznapěťovou, a tak za

referenční

Uvažujeme-li tepnu, jako trubici,

pak budeme zavírání modelovat

jako přechod válcové výseče 2–2

do válce za podmínky zachování

objemu

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika – 3 konfigurace

or

r

ir

R R

Z

R Z

r r R

z Z

R Z r z

1

0 0

0 0

0 0

F

R

R

2

0 0

0 0

0 0

F

r R

Rr

R

0

0

0

,

,

,

Z L

z l

Otevřená = referenční

Uzavřená = zbytková napětí

Uzavřená = zbytková napětí

Natlakovaná-napnutá

L

l

L

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika

2 1

0 0 0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0

F F F

r

z

R rr R

Rr R r

R

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Kinematika

Pro integraci je třeba vyjádřit všechny funkce jakožto závislé na

zdeformovaném (finálním) poloměru r, což provedeme

z podmínky zachování objemu...

2 2 2 2 2 2 2 o o o o

ll r r L R R R R r r

L

2 2 2 2 2 2 22 2

2 o o o o

LL R R R R

2 2 2 2 2 2 22 2

2 o o o z ol r r r r

z

l

Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thick-

walled-tube.mw z www.biomechanika.cz

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Zbytková deformace

(parametrizovaná úhlem

rozevření ) má jen malý

vliv na tvar křivky P – ro

a Fred.

80 1 15 16 1 99, . , .red zF P kPa N

0 1 15 16 1 95, . , .red zF P kPa N

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE

Zbytková deformace homogenizuje průběh napětí