1

2. Signali

2.1. Uvod

Jedan od opisa Mehatronike nalazimo na http://www.ustudy.in/mech/mechs/u1:

Mechatronics is the combination of Mechanical engineering, Electronic

engineering, Computer engineering, Control engineering, and Systems

Design engineering to create useful products. Its application areas range from

power systems to transportation to optical telecommunications to biomedical

engineering, along with a host of others. Mechatronic systems are almost

everywhere you look.

Mechatronic devices or "smart" devices have become common in our

technologically advanced society.

Na http://www.mechatronic.me/1-what-is-mechatronics opisan je mehatronički sustav:

Mechatronics includes programmable electronic devices and electromechanical systems for

embedded, distributed structure of the sensors, processing signals, actuators and

communications.

2

Slika 2.1. Multidisciplinarnost Mehatronike

3

Na blok-shemi (Slika 2.2)3

mehatroničkog sustava zapažamo

tokove:

informacija

energije i

materijala – tvari.

U ovom poglavlju razmotrit ćemo

signale kao nosače informacija.

Slika 2.2. Blok-shema mehatroničkog

sustava

4

2.2. Signali, definicije i sistematizacija

Informacija se radi prijenosa ili pohrane vezuje za objekte ili procese materijalnoga svijeta.

Trebamo li brzi prijenos informacije, tada je pogodno informaciju vezati za električne ili

elektromagnetske (EM) valove, fizičke procese s najvećom brzinom rasprostiranja1.

Jakost električnih i EM valova izražena je snagom odnosno energijom. Želimo li za električnu

struju, napon ili EM val reći (Slika 2.2) da su energija (snaga) ili signal, ovisi o njihovoj ulozi u

sustavu. U oba slučaja (promatrani kao energija ili kao signal) električni su procesi uzrok

promjena u sustavu. Ako se radi o signalu, tada su veličina i karakter promjena u sustavu

redovito znatno veći od očekivanog učinka primjerenog veličini energije ili snage signala.

Signal je energetski nosač informacije.

Grom je električna iskra ogromne energije koja može prouzročiti veću ili manju štetu izravnim

udarom. Bljesak i zvuk groma koji je moguće, negdje raskolio stablo, na velikoj će udaljenosti

biti tek poruke o nadolasku oluje. Svakako, samo onome tko je tu poruku sposoban zamijetiti i

ispravno protumačiti. Reakcije na bljesak i zvuk, po mjeri uloženog rada, mogu biti znatno veće

1 Koje su to brzine? Postoje li valovi koji nisu EM naravi? Koje od njih koristimo za komuniciranje?

5

od energije groma: tisuće ljudi će zatvarati prozore, pospremati stvari koje su na otvorenom,

sklanjati životinje, te i sami potražiti zaklon od nadolazeće oluje.

Ili, energija signala kojim nam je dostavljen SMS neusporediva je s energijom koja je utrošena

na obavljanje djelatnosti na koju nas je taj SMS potaknuo; npr. odlazak u trgovinu po kruh.

Možemo zaključiti, kako je signal tek nosač informacije u mehatroničkom sustavu, poruka

električne ili EM forme, ali ne i sama informacija. To je nešto posve različito.

Signal putuje prostorom (slobodni prostor ili vodič) dakle, funkcija je vremena i mjera prostornih

koordinata.

Najčešće, prostornu dimenziju sustava svodimo na lokacije odašiljača signala i prijamnika

signala, te preostane vrijeme t kao neovisna varijabla signala s(t). Matematički model (zapis)

signala u obliku funkcije s(t) predstavlja trenutačnu vrijednost električnog ili EM procesa

pridijeljenu određenim trenutcima vremena.

𝑠(𝑡) (2.1.)

6

Unutar mehatroničkog sustava, signali su električki ili elektromagnetski valovi i određene su

fizikalne veličine:

struja i(t), napon u(t), jakost električnog polja E(t), jakost magnetskog polja H(t),

snaga P(t) ili energija W(t),

pa su jedinice jakosti signala:

Amper, Volt, V/m, A/m odnosno Wat i Joule.

Izučavanje signala temelji se na promatranjima i mjerenjima, te na analizi i teorijskom

poopćavanju. Redovito, signali nisu izravno dostupni našim osjetilima: vidu, sluhu... Zato smo

razvili mjerne sustave (naprave i metode) kojima možemo zahvatiti u električne i EM procese te

ih prikazati na nama razumljiv način.

7

2.4. Prikaz signala

Signale je moguće prikazati:

Matematički, jednadžbom analitičke funkcije s(t) u kojoj je neovisna varijabla vrijeme t.

Tablično. Tablica sadrži numeričke vrijednosti signala s(ti) tj. si i trenutaka vremena ti u kojima

su te vrijednosti signala zabilježene ili računate. Tablica sadrži konačan broj redaka ili stupaca,

numeričke su vrijednosti zaokružene na konačan broj decimalnih (binarnih) mjesta, te je očito

kako je tablični prikaz signala – digitalan.

Grafički, u vidu grafa funkcije (signala). Na apscisi grafa je vrijeme t.

Činjenicu, kako je napon među mjernim točkama u trenutku 3 ms nakon početka promatranja

iznosio 200 V, možemo kraće zapisati kao: u(3 ms) = 200 V ili u3 ms = 200 V. Ako je više

mjerenih vrijednosti, pogodnije ih je prikazati tablicom nego li običnim tekstom:

u(0 ms)=10 V, u(3 ms)=200 V, u(5 ms)=300 V, u(9 ms)=200 V, u(13 ms)=100 V, u(15 ms)=20

V...

t [ms] 0 3 5 9 13 15

u(t) [V] 10 200 300 200 100 20

Tablica 2.1. "Mjerene" trenutačne vrijednosti mrežnog napona

8

Fizikalno najjednostavniji – harmonijski signali biti će prikazani prvi, a slijede prikazi složenijih

signala: periodičkih, diskretnih, te kontinuiranih slučajnih signala.

2.4.1. Prikaz harmonijskog signala

Prikaz harmonijskih signala detaljno je opisan u Pogreška! Izvor reference nije pronađen..

Ovdje će biti ponovljeni samo zaključci. Harmonijski signal prikažemo matematičkom

formulom (2.2.).

(2.2.)

Frekvencija f iskazuje broj titraja periodičnog, pa tako i harmonijskog, signala u jednoj sekundi.

Ako j e poznata frekvencija, periodu T signala u(t) računamo:

(2.3.)

(2.4.)

Neovisna varijabla u (2.2.) može biti ukupni argument trigonometrijske funkcije:

)sin()( tUtu

2

1

T

fT

9

α(t)=ωt (2.5.)

(2.6.)

Perioda signala u(t) je 2ili 360°.

Tablice diskretnih vrijednosti funkcije dobije se izračunavanjem vrijednosti signala u(t) za

odabrane, diskretne vrijednosti ti. Diskretizacija vrijednosti funkcije (kvantiziranje) posljedica je

zaokruživanja rezultata izračunavanja (Tablica 2.2.).

Primjer 2.1. :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

φi 0 0,7853 1,5707 2,3561 3,1415 3,9269 4,7123 5,4977 6,2831

y(φi) 0 0,7071 1 0,7071 0 -0,7071 -1 -0,7071 0

Tablica 2.2. Izračun funkcije y=sin() za n=8 uzoraka po periodi

tUtu sin)(

10

Slika 2.3. Graf signala y=sin() numerički prikazanog u Tablica 2.2

Možemo li harmonijski signal jednostavnije grafički prikazati?

11

Primjer 2.2. :

Harmonijski signal određen je amplitudom A, frekvencijom f ili kružnom frekvencijom ω, te

početnom fazom φ0. Tri vrijednosti (A, f ili ω, 0) grafički možemo prikazati jednom točkom u

trodimenzionalnom (A,f, pravokutnom koordinatnom sustavu Slika 2.4.

Slika 2.4. 3-D točkasti prikaz

harmonijskog signala s(t) =

10∙cos(2∙∙1000∙t+45°) [V]

A[V]

φ0[rad] f[kHz]

12

Prvi par (A, f) frekvencijski je spektar

amplituda (Slika 2.5). U slučaju diskretnog

spektra jednostavnog harmonijskog signala

spektar amplituda prikazuje frekvenciju

signala i njegovu amplitudu.

Slika 2.5. Spektar amplituda signala s(t) =

10∙cos(2∙∙1000∙t+45°)

13

Drugi par brojeva (0, f)

frekvencijski je spektar faza

(Slika 2.6) i za jednostavne

hermonijske signale prikazan je

početni fazni kut 0.

Slika 2.6. Spektar faza signala

s(t) = 10∙cos(2∙∙1000∙t+45°)

Slika 2.7.

14

Treći par (A, 0)

fazorski je prikaz

harmonijskog signala

(Slika 2.8). Graf fazora

ne daje podatak o

frekvenciji signala, te

nije uobičajeno crtati

fazore za signale

različitih frekvencija ili

za složene signale s više

frekvencijskih

komponenata. Izuzetak

su npr. komponente

amplitudno moduliranog

signala (samo ih je tri).

Slika 2.8. Fazorski

prikaz signala s(t) =

10∙cos(2∙∙1000∙t+45°) u

pravokutnom sustavu

15

2.5. Statistika

Statistika se bavi prikupljanjem podataka, njihovom obradom i donošenjem zaključaka na

temelju te obrade. Ti podaci imaju slučajni karakter, pa u njihovoj obradi važnu ulogu ima teorija

vjerojatnosti.

Mehatronički signali redovito su slučajni, poruke tvore slučajne nizove, te je primjena

statističkih metoda pogodna u analizi signala i poruka u cilju donošenja upravljačkih odluka u

mehatroničkim sustavima. Elementarni postupci prikaza statističkih podataka su izračun njihove

aritmetičke sredine, disperzije (varijance) i standardne devijacije. Za prikaz podataka i izračun

statističkih vrijednosti, primjenjivat će se tablični kalkulator MS Excel, te su tom alatu

prilagođeni i primjeri što slijede.

Primjer 2.3. : A/D pretvorbom slučajnog signala, dobivene su slijedeće vrijednosti:

5 4 5 6 6 7 3 5

6 4 4 3 3 4 4 3

4 5 5 5 5 5 6 5

5 4 7 6 7 4 7 3

6 6 7 5 4 6 5 6

Tablica 2.3. Uzorci stohastičkog signala

Prikazati frekvencije, relativne frekvencije, odrediti aritmetičku sredinu, disperziju i

standardnu devijaciju zadanih vrijednosti.

16

Odgovor:

Sažetiji prikaz od izvorne tablice jest tablica frekvencije2 uzoraka. U odnosu na sve moguće

vrijednosti sastavit ćemo tablicu samo onih vrijednosti koje se zaista i javljaju. Zato, prvo

pronađemo minimalnu vrijednost:

Tablica 2.4. Excel tablica podataka i

određivanje minimalne vrijednosti

Minimalna je vrijednost 3, a Excel funkcijom

MAX(A11:H15) u polju J12 određen je i

maksimum 7. Tablicu frekvencija Tablica 2.6

sastavimo tako što prebrojimo koliko je vrijednosti 3, koliko 4 ... do 7. U posljednjem retku

tablice je zbroj frekvencija. Vidimo, da je to ukupni broj podataka. Relativne frekvencije

dobijemo tako što frekvencije fx podijelimo s ukupnim brojem podataka n=40. Relativne su

frekvencije u trećem stupcu tablice.

2 Ovo je statistička frekvencija i nema nikakve veze s frekvencijom signala i jedinicom [Hz]

17

Tablica 2.5. Excel tablica podataka i određivanje frekvencija

Vrijednost x Frekvencija fx Relativna frekvencija

3 5 0,125

4 9 0,225

5 12 0,3

6 9 0,225

7 5 0,125

40 1

Tablica 2.6. Tablica frekvencija i relativnih frekvencija

18

Grafički prikaz, dijagrami i grafovi, pogodniji su način prikaza od tablica.

Slika 2.9. Poligon frekvencija (a) i poligon relativnih frekvencija (b)

Slika 2.10. Histogram frekvencija (a) i histogram relativnih frekvencija (b)

19

Slika 2.11. Histogram izračunat i nacrtan primjenom MS Excel Tools-a

20

Aritmetičku sredinu ili određujemo iz:

(2.7.)

5 4 5 6 6 7 3 5

6 4 4 3 3 4 4 3

4 5 5 5 5 5 6 5

5 4 7 6 7 4 7 3

6 6 7 5 4 6 5 6 =155

x_

200/40 = 5

Tablica 2.7. Izračun aritmetičke sredine

x_

x

x

N

i

i

N

_

1

21

U MS Excelu, aritmetička sredina računa se funkcijom AVERAGE.

Slika 2.12. Izračun aritmetičke

sredine u MS Excelu

Aritmetička srednja vrijednost

uzoraka električnog signala

odgovara njegovoj istosmjernoj

komponenti.

Slika 2.13. Graf uzoraka i prikaz

njihova rasipanja u odnosu na

aritmetičku sredinu x_

5

Srednja vrijednost kvadrata

rasipanja određuje se disperzijom

(varijancom) 2. U [2] je pokazano,

kako se dobije bolja procjena varijance ako je u nazivniku N-1 umjesto N.

22

2

2

1

1

x x

N

i

i

N _

(2.8.)

U MS Excelu (Tablica 2.8), izravno se izračunava standardna devijacija , a disperzija se dobije

kvadriranjem standardne

devijacije.

Tablica 2.8. Tablica razlika xi -

x_

i izračun varijance

Standardna devijacija uzoraka električnog signala odgovara efektivnoj vrijednosti njegove

izmjenične komponente, a iz disperzije (varijance) moguće je odrediti snagu izmjenične

komponente.