11/28/2012

1

1

Signali i procesi

3. Signali

Dr. sc. Predrag Valožić

Analiza i sinteza signala

28.11.2012. 2

Iz 2. Signali Promjenljivost Dimenzije Složenost

Jedna

Dvije

Više

Jednostavni

Složeni

Stacionarni Nestaci-

onarni

Konti-

nuirani

Tranzi-

jentni

Determinirani Slučajni Perio-

dički

Aperi-

odički

Kvazi

perio-

dički Imp-

ulsni

Harmo

nijski

Harmo-

nijski

28.11.2012.

1.Zaključak:

- bilo koji periodički signal možemo rastaviti na sinusne i kosinusne komponente

2.Zaključak:

- sinusni ili kosinusni signal ne mijenja oblik prolaskom kroz kabel

Zaključak: Sinusni i kosinusni (harmonijski) signali pogodni su za analizu bilo

kojeg signala te za prikaz utjecaja linearnih sustava na prijenos signala

Kako opisati i

prikazati

(modelirati)

harmonijski

signal?

3 28.11.2012. 4

a(t) = A cos ( t + )max 0

t [ms] 0 1 2 3 4

v(t) [V] 311 295,8 251,6 182,6 96,1

t [ms] 5 6 7 8 9 10

v(t) [V] 0 -96,1 -182,6 -251,6 -295,8 -311

-4 0 0

-2 0 0

0

2 0 0

4 0 0

-2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2

[V ]

[m s]

28.11.2012.

11/28/2012

2

5

(A, f)

(0, f)

(A, 0)

(A, f), (0, f) i (A, 0).

0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

0 5 0

3 1 1 [ V ]

[ H z ]

- 1 8 0

- 9 0

0

9 0

1 8 0

0 5 0

[ H z ]

[ o ]

a(t) = A cos ( t + ) 0

28.11.2012. 6

a(t) = A

2 e

j ( t + ) + e

- j ( t + ) 0 0

a(t) = A cos ( t + ) 0

Dvostrani spektri, amplituda i faza

Fazorski prikaz signala -

konjugirani fazori Re

Im A/2

A/2

t+0

-t-0

A

28.11.2012.

Parametri harmonijskog signala

06.11.2012 12.09.24

Amplituda

Frekvencija Perioda, kružna frekvencija,

okretaja u sekundi …

Početni fazni kut

7 28.11.2012. 8

3. Signali Promjenljivost Dimenzije Složenost

Jedna

Dvije

Više

Jednostavni

Složeni

Stacionarni Nestaci-

onarni

Konti-

nuirani

Tranzi-

jentni

Determinirani Slučajni Perio-

dički

Aperi-

odički

Kvazi

perio-

dički Imp-

ulsni

Harmo

nijski

Harmo-

nijski

28.11.2012.

11/28/2012

3

Prikaz harmonijskog i pravokutnog signala

06.11.2012 12.09.50 9 28.11.2012.

Parametri pravokutnog signala

06.11.2012 13.02.43

Amplitude max i min

Trajanje max i min

Perioda

Frekvencija

Kutna frekvencija

Početni trenutak

promatranja

D

10 28.11.2012.

Sweep/function

generator

Voltcraft 8202 i

300 m UTP

cat5 kabela

Ulazni signal –

zeleno

Izlazni signal –

žuto

frekvencija

20 kHz

11 28.11.2012.

Sweep/function

generator

Voltcraft 8202 i

300 m UTP

cat5 kabela

Ulazni signal –

zeleno

Izlazni signal –

žuto

frekvencija

2 MHz

12 28.11.2012.

11/28/2012

4

Sweep/function

generator

Voltcraft 8202 i

300 m UTP

cat5 kabela

Ulazni signal –

zeleno

Izlazni signal –

žuto

frekvencija

20 kHz

13 28.11.2012.

Sweep/function

generator

Voltcraft 8202 i

300 m UTP

cat5 kabela

Ulazni signal –

zeleno

Izlazni signal –

žuto

frekvencija

2 MHz

2.Zaključak:

sinusni

signal ne

mijenja

oblik

prolaskom

kroz kabel! 14 28.11.2012.

15

Signali Promjenljivost Dimenzije Složenost

Jedna

Dvije

Više

Jednostavni

Složeni

Stacionarni Nestaci-

onarni

Konti-

nuirani

Tranzi-

jentni

Determinirani Slučajni Perio-

dički

Aperi-

odički

Kvazi

perio-

dički Imp-

ulsni

Harmo

nijski

Analiza, sinteza ??? 28.11.2012. 16

Signali i procesi

3. Signali

Analiza i sinteza signala

28.11.2012.

11/28/2012

5

17

Signale proglasimo jednostavnim ili složenim.

Složeni signal ys moguće je prikazati kao (linearnu) kombinaciju

jednostavnih.

Odgovor na pitanje: “Je li određeni signal jednostavan ili složen?”,

relativan je i ovisi o odabiru "jednostavnih" signala.

1.1.3. Prosti (jednostavni, elementarni) i složeni signali

6.11.2012

28.11.2012.

Uz “popločavanje poda”

06.11.2012 13.02.54

Primjer iz

Osnova

elektrotehnike,

RC spoj

18 28.11.2012.

Fourierova analiza pravokutnog signala

06.11.2012 13.03.01 19 28.11.2012. 20 28.11.2012.

11/28/2012

6

21 28.11.2012. 22 28.11.2012.

6.11.2012

23 28.11.2012. 24

Složeni signal y(t) prikaže se kao linearna kombinacija

jednostavnih – elementarnih signala:

y(t) = a y t) + a y t) +...+ a y t) 0 0 1 1 n n( ( (

y(t) = a y (t)i i

n1

n2

Skup elementarnih signala {yi(t)} tvori bazu.

t)(ya +...+ t)(ya + t)(ya y(t) nn1100 Sinteza

Analiza: Koji su udjeli elementarnih signala yi(t) u

složenom signalu y(t); a0=?, a1=?, ...

Kako odrediti (izračunati, izmjeriti...) a0, a1, a2, ...?

28.11.2012.

11/28/2012

7

25

Složeni signal y(t) prikaže se kao linearna

kombinacija jednostavnih - elementarnih signala:

y(t) = a y t) + a y t) +...+ a y t) 0 0 1 1 n n( ( (

y(t) = a y (t)i i

n1

n2

Skup elementarnih signala {yi(t)} tvori bazu.

Kvalitetnu bazu tvore ortogonalni elementarni

signali.

Pogodno je, ako su elementarni signali normirani.

U Fourierovoj analizi, elementarni signali su

harmonijski. 28.11.2012. 26

D=0,5 28.11.2012.

27 D=0,333..

28.11.2012. 28 D=0,25

28.11.2012.

11/28/2012

8

29 D=0,2

28.11.2012. 30 09.11.2012 11.56.26

28.11.2012.

31 09.11.2012 11.56.39

Ortogonalnost baze

28.11.2012. 32 09.11.2012 11.56.59

28.11.2012.

11/28/2012

9

33 09.11.2012 11.57.08

28.11.2012. 34 09.11.2012 12.25.51 28.11.2012.

09.11.2012 13.05.04 35 28.11.2012. 36 09.11.2012 12.36.27 28.11.2012.

11/28/2012

10

37

09.11.2012 13.05.13

28.11.2012. 38

Signali i procesi

3. Signali

3.4. Fourierova analiza signala

3.5. FFT

28.11.2012.

39

a(t) = A cos ( t + )max 0

t [ms] 0 1 2 3 4

v(t) [V] 311 295,8 251,6 182,6 96,1

t [ms] 5 6 7 8 9 10

v(t) [V] 0 -96,1 -182,6 -251,6 -295,8 -311

-4 0 0

-2 0 0

0

2 0 0

4 0 0

-2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2

[V ]

[m s]

28.11.2012. 40

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t[ms] v(t) [V]

0 0

1 0

2 0

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 0

10 0

11 0

12 0

13 0

14 0

15 0

16 0

17 0

18 0

=

mstms

mstms

mst

tv

1880

8310

300

)(

28.11.2012.

11/28/2012

11

41 13.11.2012 12.04.38

28.11.2012. 42 13.11.2012 12.04.52

28.11.2012.

43 13.11.2012 13.04.40

28.11.2012. 44 13.11.2012 13.04.48

28.11.2012.

11/28/2012

12

Signal možemo prikazati (modelirati)

• grafom (osciloskop)

• formulom (matematički model)

• tablicom vrijednosti (mjerenje, A/D)

“valni oblik” s(t)

transformacije:

• spektri

• fazori

• Fourier

45 28.11.2012. 46

Linearna kombinacija

- funkcija (kontinuirani signali)

n2

n1

kk (t)ya = y(t)

y(t) = a y t) + a y t) +...+ a y t) 0 0 1 1 n n( ( (

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination

dt(t)y

dt(t)yy(t)

a2

1

2

1

t

t

2

k

t

t

k

k

=

28.11.2012.

47

Linearna kombinacija

- sekvenci (digitalni signali)

n2

n1ikki ya =yinni11i00i ya +...+ ya +ya =y

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination

y

yy

a2

1

2

1

i

i

2

ik

i

i

ik i

k

=

28.11.2012.

y(t) = a y t) + a y t) +...+ a y t) 0 0 1 1 n n( ( (

inni11i00i ya +...+ ya +ya =y

dt(t)y

dt(t)yy(t)

a2

1

2

1

t

t

2

k

t

t

k

k

=

n2

n1

kk (t)ya = y(t)

n2

n1ikki ya =y

y

yy

a2

1

2

1

i

i

2

ik

i

i

ik i

k

=

23.11.2012

Kontinuirano, analogno

Diskretno, numerički, digitalno

Linearna kombinacija kao model signala

48 28.11.2012.

11/28/2012

13

49

3.4.1. Fourierov red

Rastavljanje (analiza) složenog signala y(t) u

linearnu kombinaciju elementarnih signala.

(2.2.)

Fourierova analiza kao bazu ima ortogonalan* skup

harmonijskih (sinusnih i kosinusnih) signala yi(t).

Rastaviti (analizirati) složeni signal, znači odrediti

(izračunati ili izmjeriti) koeficijente ai u izrazu (2.2.).

y(t) = a y (t)i i

n1

n2

* Ilustracija ortogonalnosti sin i cos funkcije tj. signala: SinCosOrtog.xls

28.11.2012. 50

Ako je složeni signal periodičan s periodom T, očito* je da su:

• Sve komponente periodične sa T;

• Perioda komponenti može biti T ili T/n, gdje je n N;

• Frekvencije jednostavnih (sinusnih i kosinusnih) signala,

cjelobrojni su umnožak najniže tzv. osnovne frekvencije f1:

f1 = 1/T, 1 = 2· ·f1 = 2·/T

Tada se radi o Fourierovu redu. Fourierov red u

trigonometrijskom obliku jest: (2.23.)

Složeni signal x(t) prikazan je kao linearna kombinacija

istosmjerne komponente (veličine a0/2 i frekvencije ω0=0),

osnovnih signala: "cos" i "sin" signala frekvencije ω1, te viših

harmonika frekvencije 2·ω1, 3·ω1, 4·ω1, ... i·ω1...

* Je li zaista očito? Dokažite ili pokažite!

x(t) = a

2 + (a cos i t + b sin i t) i = 1, 2, 3...0

i i

i

1 1

y(t) = a y (t)i i

n1

n2

28.11.2012.

51

Koeficijenti ai i bi predstavljaju amplitude kosinusnih i sinusnih

članova reda, a računaju* se primjenom slijedećih izraza:

i = 1, 2, 3, ... (2.24.)

i = 1, 2, 3, ... (2.25.)

Iz jednadžbe (2.24.) za i = 0, dobijemo :

(2.26.)

*Kako možemo izvesti izraz za koeficijente

Fourierova reda? Zašto se u izrazima za ai i bi

nalazi koeficijent 2?

a2

Tx(t) cos (i t) dti =

t

T+t

1

b2

Tx(t) sin (i t) dti =

t

T+t

1

a2

Tx(t) dt0 =

t

T+t

http://www.sisweb.com/math/trig/identities.htm

dt(t)y

dt(t)yy(t)

a2

1

2

1

t

t

2

k

t

t

k

k

=

28.11.2012. 52

U literaturi se može naći i drugačiji prikaz : (2.23.a)

Tada se koeficijenti ai i bi određuju primjenom izraza (2.24. i

2.25.), ali za istosmjernu komponentu izraz je drugačiji :

(2.26.a)

Fourierov red može se napisati i s kompleksnim eksponencijalnim*

funkcijama:

(2.27.)

a1

Tx(t) dt0 =

t

T+t

* Što označava i, a što j u izrazu 2.27? Što prikazuje funkcija ejt , tj. eja ?

Pogledati granice u sumiranju!

x(t) = 1

2 X e

j i ti

i = -

1

x(t) = (a cos i t + b sin i t) i = 0, 1, 2, 3...i i

i

1 1

28.11.2012.

11/28/2012

14

53

Kompleksne amplitude Xi komponenti reda moguće* je izračunati

prema izrazu:

(2.28.)

Veza koeficijenata trigonometrijskog i eksponencijalnog reda jest:

(2.29.)

(2.30.)

Moduli kompleksnih koeficijenata Fourierovog reda (2.29.) tvore

dvostrani* spektar amplituda, a argumenti (2.30.) daju dvostrani

spektar faza periodičnog signala x(t).

X = 1

T x(t) e

- j i t dti

T

X = 1

2 a + bi i

2i2

X = arc tg b

ai

i

i

* Možete li ovo izvesti?

* Zašto “dvostrani”?

28.11.2012. 54 16.11.2012 12.06.01 28.11.2012.

55 16.11.2012 12.06.12 28.11.2012. 56 16.11.2012 13.00.28 28.11.2012.

11/28/2012

15

57 16.11.2012 13.00.48 28.11.2012. 58

x(t) = a

2 + (a cos i t + b sin i t) i = 1, 2, 3...0

i i

i

1 1

a2

Tx(t) cos (i t) dti =

t

T+t

1 b2

Tx(t) sin (i t) dti =

t

T+t

1

a2

Tx(t) dt0 =

t

T+t

x(t) = (a cos i t + b sin i t) i = 0, 1, 2, 3...i i

i

1 1

a1

Tx(t) dt0 =

t

T+t

- = i

1i

tije X = x(t)

X = 1

T x(t) e

- j i t dti

T

X = 1

2 a + bi i

2i2 X = arc tg

b

ai

i

i

3.4.1. Fourierov red y(t) = a y (t)i i

n1

n2

28.11.2012.

59

Periodični signal x(t)=x(t+i·T), i = 1,2,3... ima diskretni*

spektar koji sadrži komponente s frekvencijama koje su

cjelobrojni umnošci osnovne frekvencije f1=1/T.

Vrijedi i obrat: diskretiziranjem (uzorkovanjem) signala dobije

se periodični spektar! To je posljedica sličnosti izraza 2.27 i 2.28

- Realni signali imaju "parno konjugirani" spektar*. Svaka

komponenta frekvencije fk=kf1, amplitude Ak/2 i početne faze k

ima "parnu" komponentu frekvencije -fk , amplitude Ak/2 i

početne faze -k.

* Zašto? Pogledati

izraz 2.16

Važnija svojstva Fourierova reda: * Je li to sada

imalo čudno?

28.11.2012. 60

Kompleksno-konjugirani spektar realnog signala, odgovara

fazorskoj predodžbi realnog signala (sl. 2.6.):

(2.31.)

- Izravna posljedica konjugirano-kompleksnog spektra jest, da je

realni dio spektra parno simetričan, imaginarni dio je neparno

simetričan, te istosmjerna komponenta ima početnu fazu 0 i uvijek

je realna.

X * f = X (-f)k k( )

28.11.2012.

11/28/2012

16

61

Važno je pitanje razdiobe snage signala po frekvenciji [W/Hz].

Pod "snagom" najčešće se podrazumijeva kvadrat amplitude (RMS)

signala, što je s fizikalnim pojmom snage povezano preko konstante

ovisne o dimenziji signala.

Ako se drugačije ne naglasi, pretpostavlja se da je R = 1 .

Trenutačna snaga signala vremenske funkcije x(t), jednaka je x2(t),

a srednja (prosječna) snaga tijekom jedne periode određuje se

integriranjem x2(t) po periodi signala i dijeljenjem rezultata s

periodom T:

(2.32.) P

1

T x(t) dtsrednja

T

= 2

Za harmonijski signal

rezultat je :

x(t) = X (2 f t + ) cos 0

Snaga zbroja generatora 28.11.2012. 62

P 1

T X cos(2 ft + ) dtsrednja

T

= 0

2

P X

T cos(2 ft + ) dtsrednja

2

T

= 0

2

P X

T

1

2 +

1

2cos 2 2 ft + ) dtsrednja

2

T

=

( 0

P X

srednja

2

=2

• Udio jedne komponente u ukupnoj snazi složenog signala proporcionalan

je kvadratu amplitude te komponente.

• Ukupna snaga signala jednaka je sumi snaga pojedinačnih komponenti ili

integralu kvadrata vremenske funkcije signala.

• Parsevalov teorem (2.52.).

16.11.2012 28.11.2012.

63 20.11.2012 12.02.06

28.11.2012. 64 20.11.2012 13.00.31 28.11.2012.

11/28/2012

17

65 20.11.2012 13.00.43 28.11.2012. 66

Razdioba kvadrata amplituda po frekvenciji naziva se

spektar snaga i često se upravo na to misli kada se

govori o spektru signala.

Informacija o početnim fazama pojedinih komponenti je

izgubljena, te iz spektra snaga nije moguće rekonstruirati

vremensku funkciju signala.

Phactory

Phasors and Fourier Series.htm

Fouriersynthese1

Fourier Synthese

28.11.2012.

67 23.11.2012 12.03.00

Modeli i transformacije 1.sat

28.11.2012. 68 23.11.2012 12.02.45

Modeli i transformacije 1. sat

28.11.2012.

11/28/2012

18

69

Modeli i transformacije 2. sat

23.11.2012 13.03.12 28.11.2012. 70

Modeli i transformacije 2. sat

23.11.2012 13.03.19 28.11.2012.

71

x(t) = a

2 + (a cos i t + b sin i t) i = 1, 2, 3...0

i i

i

1 1

a2

Tx(t) cos (i t) dti =

t

T+t

1 b2

Tx(t) sin (i t) dti =

t

T+t

1

a2

Tx(t) dt0 =

t

T+t

x(t) = (a cos i t + b sin i t) i = 0, 1, 2, 3...i i

i

1 1

a1

Tx(t) dt0 =

t

T+t

- = i

1i

tije X = x(t)

X = 1

T x(t) e

- j i t dti

T

X = 1

2 a + bi i

2i2 X = arc tg

b

ai

i

i

3.4.1. Fourierov red y(t) = a y (t)i i

n1

n2

28.11.2012. 72 27.11.2012 12.07.37

28.11.2012.

11/28/2012

19

73 27.11.2012 12.07.47

28.11.2012. 74 27.11.2012 13.06.01

28.11.2012.

75 27.11.2012 13.06.11

28.11.2012. 76

3.4.2. Fourierova transformacija

Zaključci o Fourierovu redu periodičnog signala, mogu se

primijeniti i na aperiodični* signal, tako što se perioda povećava do

beskonačne vrijednosti.

Zbrajanje* neprebrojivo mnogo diskretnih komponenti reda

prerasta u integral kontinuirane funkcije spektra:

(2.34.)

(2.33.)

*Aperiodičan je signal onaj koji se ponavlja “nikada” tj,

nakon beskonačno dugog vremena!

X(f) = x(t) e- j t

dt-

2f

x(t) = X(f) ej t

df-

2f

- = i

1i

t2ije X = x(t)

f

28.11.2012.

11/28/2012

20

77

Ako je varijabla a ne f, izraz 2.34. množi se faktorom 1/2:

(2.34.a) x(t) = 1

2X( ) e

j t d

-

2.33. se naziva direktna Fourierova transformacija,

2.34. je inverzna Fourierova transformacija.

Oba izraza tvore Fourierov transformacijski par.

Formalna razlika izraza 2.33. i 2.34. jest u predznaku eksponenta,

što pak znači, da se zaključci o osobinama direktne transformacije

odnose i na inverznu transformaciju.

Osnovni praktični uvjet, ali ne i nužan, za postojanje Fourierove

transformacije jest da je x(t) apsolutno integrabilna funkcija na

intervalu:

(2.35.) x(t) dt

-

Primjer 1.3.1.

28.11.2012. 78

3.4.3. Diskretna Fourierova transformacija

Diskretna Fourierova transformacija DFT definirana je izrazima:

Radi se o D-D signalu i transformatu, slika 2.2.

(2.35.1)

(2.35.2)

(2.35.3)

Inverzna transformacija je :

(2.35.4)

X(k) = 1

N x(n) e

-j2 kn

N

n =0

N-1

Re )X(k) = 1

N x(n) cos(

2 k n

Nn=0

N-1

Im )X(k) = 1

N x(n) sin(

2 k n

Nn=0

N-1

x(n) = X(k) ej2 kn

N

k=0

N-1

28.11.2012.

79

Za izračunavanje N frekvencijskih komponenti transformata, valja

obaviti N2 kompleksnih množenja.

Računski algoritam "Brza Fourierova transformacija" (engl. Fast

Fourier Transform - FFT ) daje jednak rezultat sa N·ldN

množenja, te je u primjeni na određenom računalu znatno brži.

Za N = 1024 = 210, broj množenja smanjuje se 100 puta !

Razlike u usporedbi s Fourierovim redom:

Radi se sa uzorcima signala u vremenskoj domeni x(n) ili u

frekvencijskoj domeni X(k). Realni signali kontinuirane su

vremenske funkcije (u(t), i(t) i sl.), te prije negoli primijenimo

algoritam DFT ili FFT, neophodno je digitalizirati signal A/D

pretvaračem. Pri tom, valja poštivati uvjete korektne A/D

pretvorbe.

Integrali s granicama - i + u Fourierovoj transformaciji (2.33.

i 2.34.) zamijenjeni su sumama s konačnim granicama, te je

transformacija DFT definirana izrazima (2.35.1.) i (2.35.4.)

pogodna za primjenu na digitalnim računalima.

28.11.2012. 80

• Shannon-ov kriterij uzorkovanja : fs 2 fg , gdje je fg najviša

frekvencijska komponenta u spektru analognog signala kojega

digitaliziramo. Uvjet se u praksi zadovolji primjenom tzv.

antialiasing filtra (AAF). AAF je niskopropusni filtar, najčešće

realiziran kao kaskadni spoj aktivnog filtra 2. do 5. reda i

diskretnog (SC) filtra do 12. reda. Ukupna frekvencijska

karakteristika je s oštrom gornjom graničnom frekvencijom fg,

ravnomjernom amplitudskom i linearnom faznom karakteristikom.

• Šum kvantiziranja ovisi o veličini kvanta pri kvantiziranju

uzoraka. Ukupni broj kvantnih razina izravno je vezan s brojem

bita za kodiranje. Brzina rada i broj kvantnih razina obratno su

proporcionalni, te se u praksi traži kompromisno rješenje koje

zadovolji zahtjeve sustava u kojemu se primjenjuje.

• Kodiranje je ravnomjerno, ne primjenjuju se postupci kompresije

i ekspanzije podataka.

Uvjeti korektne A/D pretvorbe:

28.11.2012.

11/28/2012

21

81

• Nakon A/D pretvorbe imamo na raspolaganju blok od N uzoraka

signala u obliku slijeda brojeva. Vremenska dimenzija se gubi, ako

nije posebno zapisana. Preostane samo redni broj uzorka - indeks i.

• Podjednako je i sa rezultatom transformacije: to je slijed

indeksiranih kompleksnih brojeva.

• Ne govori se više o frekvenciji u Hz s dimenzijom 1/s, već je

frekvencija bez dimenzije, u rasponu vrijednosti od -0,5 do 0,5, što

označava dio frekvencije uzorkovanja fs.

• Slično je i s kružnom frekvencijom ω, koja je u rasponu vrijednosti

od -π do π.

• Izvan ovog frekvencijskog pojasa, spektar signala se ponavlja.

• Ako tijekom A/D pretvorbe propustimo zabilježiti frekvenciju

uzorkovanja fs, kasnije nemamo više načina da iz rezultata DFT ili

FFT zaključimo koje su stvarne frekvencije pojedinih frekvencijskih

komponenti spektra.

28.11.2012. 82

Rezultat izračunavanja DFT je kompleksni spektar, realni i imaginarni

dio (2.35.2. i 2.35.3.), kosinusne ili sinusne komponente signala, što

se najčešće preračunava u amplitudski i fazni spektar.

(2.35.5.)

(2.35.6.)

X(k) = Re X(k) Im X(k)2 2

X(k) = arc tg Im X(k)

Re X(k)

-50

0

50

-256

-224

-192

-160

-128 -9

6-6

4-3

2 0 32 64 96 128

160

192

224

0

5

10

15

-256

-224

-192

-160

-128 -9

6-6

4-3

2 0 32 64 96 128

160

192

224

Signal

i

amplitudski

spektar FFT

28.11.2012.

83

Analizirati signal zadan tablicom vrijednosti. Tablica je nastala A/D pretvorbom

s frekvencijom uzorkovanja fs=10 kHz.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

sn 0,00 5,87 9,51 9,51 5,87 0,00 -5,87 -9,51 -9,51 -5,87 0,000

Izmjerene vrijednosti signala i pripadajući im graf

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

Sn

Dft_08_pr.xls

28.11.2012. 84

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

k

-180,0

-90,0

0,0

90,0

180,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

k

Rezultat

DFT,

moduli

Rezultat

DFT,

faze

28.11.2012.

11/28/2012

22

85

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

Sinusni

signal

amplitude

Smax = 10 V

28.11.2012. 86

Ubrzanje izračunavanja Fourierove transformacije:

• periodično ponavljanje kompleksne eksponencijalne

funkcije:

X(k) = 1

N x(n) e

-j2 kn

N

n =0

N-1

• rastavljanje (faktorizacija) matrice diskretnih vrijednosti

kompleksne eksponencijalne funkcije reda N (dimenzije

NxN) u više jednostavnijih matrica istog reda N.

3.5. Brza Fourierova transformacija

Fast Fourier Transform - FFT

X(k) = 1

N x(n) e

-j2

N

n =0

N-1 nk

2.35.1 e-j

2 kn

N

28.11.2012.

87

e ej

Nkn j

Nkn- -

=

2 360

N=8, 360°/8=45°, n = 0,…,7; k = 0,…,7

X(k) = 1

N x(n) e

-j2

N

n =0

N-1 nk

Kompl_exp_funk_N.exl

28.11.2012. 88

e ej

Nkn j

Nkn- -

=

2 360 N=8, 360°/8=45°,

n = 0,…,7; k = 0,…,7

n·k|8=0

n=0, k=0

n=0, k=1….

n=1, k=0…

n=2, k=0…

n=2, k=4...

...

n·k|8=1

n=1, k=1

n=2, k=1….

n=1, k=0…

...

Vrijednosti kompleksne eksponencijalne funkcije za N=8

X(k) = 1

N x(n) e

-j2

N

n =0

N-1 nk

28.11.2012.

11/28/2012

23

89

k \ n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 0 2 4 6

3 0 3 6 1 4 7 2 5

4 0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 5 2 7 4 1 6 3

6 0 6 4 2 0 6 4 2

7 0 7 6 5 4 3 2 1

Tablica množenja po modulu 8

28.11.2012. 90

k n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 e j- 45 e j- 90 e j- 135 e j- 180 e j- 225 e j- 270 e j- 315

2 1 e j- 90 e j- 180 e j- 270 1 e j- 90 e j- 180 e j- 270

3 1 e j- 135 e j- 270 e j- 45 e j- 180 e j- 315 e j- 90 e j- 225

4 1 e j- 180 1 e j- 180 1 e j- 180 1 e j- 180

5 1 e j- 225 e j- 90 e j- 315 e j- 180 e j- 45 e j- 270 e j- 135

6 1 e j- 270 e j- 180 e j- 90 1 e j- 270 e j- 180 e j- 90

7 1 e j- 315 e j- 270 e j- 225 e j- 180 e j- 135 e j- 90 e j- 45

e ej

Nkn j

Nkn- -

=

2 360

28.11.2012.

91

k n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

2

- j -j - -1

2

j -1 - 1

2

j j 1

2

j

2 1 -j -1 j 1 -j -1 j

3 1 - -1

2

j j 1

2

- j -1 1

2

j -j - 1

2

j

4 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

5 1 - 1

2

j -j 1

2

j -1 1

2

- j j - -1

2

j

6 1 j -1 -j 1 j -1 -j

7 1 1

2

j j - 1

2

j -1 - -1

2

j -j 1

2

- j

28.11.2012. 92

Sustav linearnih jednadžbi Matrice

y0=a00·x0 + a01·x1

y1=a10·x0 + a11·x1

y

y

a a

a a

x

x

0

1

00 01

10 11

0

1

=

Računanje sadrži 4 množenja i dva zbrajanja

Zamjena redoslijeda jednadžbi Permutacija redova matrice i

redoslijeda vrijednosti rezultata

y1=a10·x0 + a11·x1

y0=a00·x0 + a01·x1

y

y

a a

a a

x

x

1

0

10 11

00 01

0

1

=

Zamjena redoslijeda zbrajanja Permutacija stupaca matrice i

redoslijeda vrijednosti varijable

y0= a01·x1 + a00·x0

y1= a11·x1 + a10·x0

y

y

a a

a a

x

x

0

1

01 00

11 10

1

0

=

Ako svi koeficijenti aij nisu različiti, tada je moguće smanjiti broj množenja

y0 = a · x0 + a · x1

y1 = b · x0 - b · x1

y0 = a · (x0 + x1)

y1 = b · (x0 - x1)

y

y

a a

b b

x

x

0

1

0

1

=

-

y

y

a

b

x

x

0

1

0

1

0

0

1 1

1 1

=

-

Transformacije matrica i sustava linearnih jednadžbi:

28.11.2012.

11/28/2012

24

93

Naizgled, algoritam je složeniji.

Umjesto jednog, imamo dva množenja matrica, ali prvo množenje ne

sadrži "stvarna" množenja, već samo prepisivanje vrijednosti i promjenu

predznaka. U drugom množenju matrica, množenje s "0" također nije

"stvarno" množenje. Dakle, samo 2 množenja i 2 zbrajanja.

Ako je sustav višeg reda od N=2 (računamo transformaciju više od N=2

uzorka) željenu jednakost koeficijenata i njihovih submatrica postižemo:

• permutiranjem redaka matrica (eng. decimation in frequency) kada

dobijemo ispremještane rezultate (f-domena), ili

• permutiranjem stupaca i ulaznih podataka (eng. decimation in time) (t-

domena).

Najstariji je postupak podjele matrice na submatrice dvostruko manjeg

ranga (eng. radix-2), ali postoje i drugi postupci.

28.11.2012. 94

Diskretnu Fourierovu transformaciju možemo prikazati na slijedeći način

[G] = [A]·[g] (2.35.6.)

Matrica [A] određena je tablicom koeficijenata:

k n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

2 1 -j -1 j 1 -j -1 j

6 1 j -1 -j 1 j -1 -j

1 1 1

2

- j -j - -1

2

j -1 - 1

2

j j 1

2

j

5 1 - 1

2

j -j 1

2

j -1 1

2

- j j - -1

2

j

3 1 - -1

2

j j 1

2

- j -1 1

2

j -j - 1

2

j

7 1 1

2

j j - 1

2

j -1 - -1

2

j -j 1

2

- j

28.11.2012.

95

U tablici A vidimo dvije submatrice:

Aj j

j j

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

=- -

- -

- -

i A

jj

j

jj

j

jj

j

jj

j

2

11

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1

2

=

--

- -

- -

- - -

-

(2.35.7.)

te početnu matricu [A] možemo prikazati kao:

AA A

A A

A

A

I I

I I=

-

=

-

1 1

2 2

1

2

0

0

28.11.2012. 96

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 11

20 0

0 0 0 0 11

20 0

0 0 0 0 0 0 11

2

0 0 0 0 0 0 11

2

1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

j

jj

j

j

j

j

j

j

0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1j

-

-

-

-

Konačno, dobijemo slijedeće:

(2.35.15.)

[X] [Y] [Z]

[G] = [X]·[Y]·[Z]·[g]

28.11.2012.

11/28/2012

25

97

Algoritam računanja FFT za N = 8 uzoraka, ima tri koraka:

• [z] = [Z] · [g]

• [y] = [Y] · [z]

• [G] = [X] · [y]

Vrijednosti transformata nisu u normalnom redoslijedu rastućih

koeficijenata, već:

[G] = [G0 G4 G2 G6 G1 G5 G3 G7]

[G] = [X]·[Y]·[Z]·[g]

28.11.2012. 98

Indeks, dekadski 0 4 2 6 1 5 3 7

Indeks, binarni 000 100 010 110 001 101 011 111

0 4 2 6 1 5 3 7

000 100 010 110 001 101 011 111

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7

Kako bi vratili vrijednosti transformata na mjesta kamo spadaju, moramo

drukčije indeksirati vektor [G].

Čitamo li indekse u binarnom obliku, obrnutim redoslijedom binarnih znamenki,

dobijemo:

Koliko sada imamo množenja?

Množenje s 1 ili -1 i nije množenje (vrijednost se prepisuje ili samo mijenja

predznak), te će pravih kompleksnih množenja biti samo 10. Znači, čak i manje od

očekivanih N·ldN=8·3=24.

28.11.2012.

99

Prilog: trigonometrijske jednakosti

exp cos sin = j j

cos

exp exp

=

-j j

2

sin

exp exp

=

- -j j

j2

cos cos sin2 2 2 = -

sin sin cos2 2 =

sin sin

cos cosa

a a =

- -

2

sin cos

sin sina

a a =

- -

2

cos cos

cos cosa

a a =

-

2

28.11.2012. 100 28.11.2012.