Kristalografske tockine grupeprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/grupe4.pdf · je izometrija koja ksira tu guru: De nicija Preslikavanje euklidske ravnine (prostora) u sebe jeizometrijaako

Kristalografske tockine grupe

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Travanj 2018.

Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske tockine grupe Travanj 2018. 1 / 31

Elementi simetrije i simetrijske operacije

Simetrije (simetrijske operacije)

Simetrija neke geometrijske figure, recimo kristala shvacenog kao poliedra,je izometrija koja fiksira tu figuru:

Definicija

Preslikavanje euklidske ravnine (prostora) u sebe je izometrija ako je zasvake dvije tocke njihova udaljenost prije i poslije djelovanja izometrijeista. Ako neka izometrija f ima svojstvo da je za neku figuru F

f (F ) = F

govorimo o simetriji te figure.

Osnovne vrste izometrija/simetrija su:1 inverzija (centralna simetrija),2 zrcaljenje (refleksija),3 rotacija,4 translacija.



Centralna i ravninska simetrija

Osnovni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve tocke ostavljana mjestu. Ona je simetrija svakog objekta.

Centralna simetrija (inverzija) je simetrijska operacija odredena jednomtockom O (centrom simetrije). Preciznije, to je preslikavanje 1 takvo daza sve tocke T vrijedi da je O poloviste duzine koja spaja T i njenuzrcalnu sliku 1(T ).Jedina tocka koja pri centralnoj simetriji ostaje

”na

mjestu” je centar simetrije.Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija mkoja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Πtakva da je m(Π) = Π). Tu ravninu Π onda nazivamo zrcalnom ravninom.1 i m zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Zarazliku od toga, 1 cuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije kojecuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), asimetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama drugevrste.




Osnovni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve tocke ostavljana mjestu. Ona je simetrija svakog objekta.Centralna simetrija (inverzija) je simetrijska operacija odredena jednomtockom O (centrom simetrije). Preciznije, to je preslikavanje 1 takvo daza sve tocke T vrijedi da je O poloviste duzine koja spaja T i njenuzrcalnu sliku 1(T ).Jedina tocka koja pri centralnoj simetriji ostaje

”na

mjestu” je centar simetrije.

Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija mkoja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Πtakva da je m(Π) = Π). Tu ravninu Π onda nazivamo zrcalnom ravninom.1 i m zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Zarazliku od toga, 1 cuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije kojecuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), asimetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama drugevrste.





”na

mjestu” je centar simetrije.Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija mkoja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Πtakva da je m(Π) = Π). Tu ravninu Π onda nazivamo zrcalnom ravninom.

1 i m zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Zarazliku od toga, 1 cuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije kojecuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), asimetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama drugevrste.





”na

mjestu” je centar simetrije.Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija mkoja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Πtakva da je m(Π) = Π). Tu ravninu Π onda nazivamo zrcalnom ravninom.1 i m zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Zarazliku od toga, 1 cuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije kojecuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), asimetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama drugevrste.



Rotacijske simetrije

Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije.

Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu. U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?), ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦

n i odgovarajucurotaciju oznacavamo s n. Govorimo o rotaciji reda n.Element simetrije je geometrijski objekt putem kojeg se pojedini odnavedenih tipova simetrije geometrijski opisuje, tj. kojeg ta simetrijafiksira: Za zrcaljenje to je zrcalna ravnina Π, za inverziju to je centarsimetrije, a za rotaciju to je os rotacije.

Zadatak

Nacrtajte 2D objekt koji nije poliedar i kao jedini element simetrijeposjeduje os rotacije za 36◦.




Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije. Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu.

U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?), ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦


Zadatak





Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije. Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu. U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta.

Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?), ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦


Zadatak





Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije. Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu. U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?),

ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦


Zadatak





Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije. Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu. U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?), ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦

n i odgovarajucurotaciju oznacavamo s n. Govorimo o rotaciji reda n.

Element simetrije je geometrijski objekt putem kojeg se pojedini odnavedenih tipova simetrije geometrijski opisuje, tj. kojeg ta simetrijafiksira: Za zrcaljenje to je zrcalna ravnina Π, za inverziju to je centarsimetrije, a za rotaciju to je os rotacije.

Zadatak





Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj sepravac naziva os simetrije. Ako objekt posjeduje rotacijsku simetriju, ondaili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kruznojsimetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osisimetrijska operacija na objektu. U drugom slucaju je i rotacija za svakicjelobrojni visekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kakoje rotacija za 360◦ simetrija svakog objekta, te kako je ona isto sto i 1(zasto?), ako je α > 0, postoji n ∈ N takav da je α = 360◦


Zadatak




Kompozicija simetrija

Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovomkompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B,njihovu kompoziciju oznacavamo s BA.

Ako istu operaciju A izvodimouzastopno n puta, oznacavamo to s An.

Zadatak

Ako je m zrcaljenje, sto je m2?

Zadatak

Opisite centralnu simetriju kao kompoziciju rotacije i zrcaljenja.

Zadatak

Je li kompozicija rotoinverzije n sa zrcaljenjem m obzirom na ravninuokomitu na os rotoinverzije operacija prve vrste ili druge vrste?




Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovomkompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B,njihovu kompoziciju oznacavamo s BA. Ako istu operaciju A izvodimouzastopno n puta, oznacavamo to s An.

Zadatak


Zadatak


Zadatak






Zadatak


Zadatak


Zadatak






Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak

Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste?Jedne prve s jednom druge vrste?

Koje vrste je inverz operacije prve vrste?Operacije druge vrste?

Dva za kristalografiju vazna tipa komponiranih simetrija su:

Rotoinverzija: kompozicija rotacije s inverzijom obzirom na centarkoji se nalazi na osi rotacije; ako je kut rotacije α = 2π

n , onda sepripadna rotoinverzija oznacava s n;

Rotorefleksija: kompozicija rotacije sa zrcaljenjem obzirom naravninu okomitu na os rotacije; ako je kut rotacije α = 2π

n , onda sepripadna rotorefleksija oznacava s n;



Zadatak

Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste?Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste?Operacije druge vrste?








Zadatak









Zadatak









Promotrimo skup svih simetrija neke figure.

1 Ako odaberemo dvije simetrije iste figure, moze li se dogoditi danjihova kompozicija nije simetrija te figure?

Ne. Kompozicija dvijusimetrija figure F je takoder simetrija od F .

2 Koju simetriju ima svaka figura? Trivijalnu: 1. Sto dobijemo ako njukomponiramo s bilo kojom drugom simetrijom neke figure?1A = A1 = A.

3 Ako je A simetrija figure F , moze li se ona”ponistiti” (postoji li

preslikavanje koje sve tocke od F vraca u polazni polozaj)? Je li onotakoder simetrija od F? Za svaku simetriju A neke figure postojisimetrija A−1 iste figure, takva da je A−1A = 1. Kazemo da svakasimetrija A ima svoj inverz A−1.

4 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC ) = (AB)C ).




1 Ako odaberemo dvije simetrije iste figure, moze li se dogoditi danjihova kompozicija nije simetrija te figure? Ne. Kompozicija dvijusimetrija figure F je takoder simetrija od F .

2 Koju simetriju ima svaka figura?

Trivijalnu: 1. Sto dobijemo ako njukomponiramo s bilo kojom drugom simetrijom neke figure?1A = A1 = A.








2 Koju simetriju ima svaka figura? Trivijalnu: 1. Sto dobijemo ako njukomponiramo s bilo kojom drugom simetrijom neke figure?

1A = A1 = A.










preslikavanje koje sve tocke od F vraca u polazni polozaj)?

Je li onotakoder simetrija od F? Za svaku simetriju A neke figure postojisimetrija A−1 iste figure, takva da je A−1A = 1. Kazemo da svakasimetrija A ima svoj inverz A−1.








preslikavanje koje sve tocke od F vraca u polazni polozaj)? Je li onotakoder simetrija od F?

Za svaku simetriju A neke figure postojisimetrija A−1 iste figure, takva da je A−1A = 1. Kazemo da svakasimetrija A ima svoj inverz A−1.











Grupe

Definicija grupe

Grupa je (neprazan) skup G zajedno s binarnom operacijom ♥ kojadvama elementima x , y ∈ G pridruzuje element x♥y ∈ S , i to tako davrijede sljedeca tri svojstva:

1 (x♥y)♥z = x♥(y♥z) za sve x , y , z ∈ G (asocijativnost)

2 postoji element e ∈ G takav da za sve x ∈ G vrijedi x♥e = e♥x = x(e zovemo neutralni element);

3 za svaki x ∈ G postoji y ∈ G takav da je x♥y = y♥x = e (taj yoznacavamo s x−1 i zovemo inverz od x).

Ako jos dodatno vrijedi da ne treba paziti na redoslijed (x♥y = y♥x zasve x , y ∈ G ), govorimo o govorimo o komutativnoj (Abelovoj) grupi.Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednoclana grupakoja se sastoji samo od svog neutralnog elementa.


Grupe

Grupe simetrija

Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrija bilo koje promatrane figureF , recimo kristala, je uvijek grupa s obzirom na komponiranje. U tomslucaju govorimo o grupi simetrija figure F .

Grupe simetrija opcenito nisu komutativne.

Zadatak

Neka je n rotacija oko neke osi, m zrcaljenje obzirom na ravninu okomituna tu os, a m′ zrcaljenje obzirom na ravninu koja sadrzi os. Za svaki odmoguca tri para tih simetrija odredite komutira li.


Grupe

Grupe simetrija

Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrija bilo koje promatrane figureF , recimo kristala, je uvijek grupa s obzirom na komponiranje. U tomslucaju govorimo o grupi simetrija figure F .Grupe simetrija opcenito nisu komutativne.

Zadatak

Neka je n rotacija oko neke osi, m zrcaljenje obzirom na ravninu okomituna tu os, a m′ zrcaljenje obzirom na ravninu koja sadrzi os. Za svaki odmoguca tri para tih simetrija odredite komutira li.


Grupe

Tockine vs. prostorne grupe

Koja je glavna karakteristika unutrasnje grade kristala?

Kristalna strukturakao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u trinekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu seprostorne grupe. O njima cemo nesto vise reci kasnije.Tockina grupa je grupa simetrija nekog objekta u kojoj sve operacijesimetrije koje tom objektu fiksiraju jednu tocku. Kako translacije zanenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi da translacije ne mogu bitielementi tockinih grupa.


Grupe


Koja je glavna karakteristika unutrasnje grade kristala? Kristalna strukturakao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u trinekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu seprostorne grupe. O njima cemo nesto vise reci kasnije.

Tockina grupa je grupa simetrija nekog objekta u kojoj sve operacijesimetrije koje tom objektu fiksiraju jednu tocku. Kako translacije zanenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi da translacije ne mogu bitielementi tockinih grupa.


Grupe


Koja je glavna karakteristika unutrasnje grade kristala? Kristalna strukturakao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u trinekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu seprostorne grupe. O njima cemo nesto vise reci kasnije.Tockina grupa je grupa simetrija nekog objekta u kojoj sve operacijesimetrije koje tom objektu fiksiraju jednu tocku. Kako translacije zanenul-vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi da translacije ne mogu bitielementi tockinih grupa.


Grupe

Prikaz grupe simetrija pomocu stereografske projekcije

Odaberite u stereografskoj projekciji neku tocku opceg polozaja. Kamo seona preslika ako primijenimo operaciju 1? Dakle, bilo koju tocku opcegpolozaja mozemo poistovjetiti s trivijalnom simetrijom 1, koja je u svakojgrupi simetrija. Kamo se tocka 1 preslika ako primijenimo zrcaljenje mh?A ako primijenimo mh3?


Grupe


Odaberite u stereografskoj projekciji neku tocku opceg polozaja. Kamo seona preslika ako primijenimo operaciju 1?

Dakle, bilo koju tocku opcegpolozaja mozemo poistovjetiti s trivijalnom simetrijom 1, koja je u svakojgrupi simetrija. Kamo se tocka 1 preslika ako primijenimo zrcaljenje mh?A ako primijenimo mh3?


Grupe


Odaberite u stereografskoj projekciji neku tocku opceg polozaja. Kamo seona preslika ako primijenimo operaciju 1? Dakle, bilo koju tocku opcegpolozaja mozemo poistovjetiti s trivijalnom simetrijom 1, koja je u svakojgrupi simetrija.

Kamo se tocka 1 preslika ako primijenimo zrcaljenje mh?A ako primijenimo mh3?


Grupe


Odaberite u stereografskoj projekciji neku tocku opceg polozaja. Kamo seona preslika ako primijenimo operaciju 1? Dakle, bilo koju tocku opcegpolozaja mozemo poistovjetiti s trivijalnom simetrijom 1, koja je u svakojgrupi simetrija. Kamo se tocka 1 preslika ako primijenimo zrcaljenje mh?

A ako primijenimo mh3?


Grupe


Odaberite u stereografskoj projekciji neku tocku opceg polozaja. Kamo seona preslika ako primijenimo operaciju 1? Dakle, bilo koju tocku opcegpolozaja mozemo poistovjetiti s trivijalnom simetrijom 1, koja je u svakojgrupi simetrija. Kamo se tocka 1 preslika ako primijenimo zrcaljenje mh?A ako primijenimo mh3?


Grupe

Za svaku od 12 tocaka opceg polozaja utvrdite koje simetrijske operacijetreba primijeniti na 1 da bismo ih dobili. Zakljucite: Koji su elementigrupe simetrija pravilne trostrane prizme i koji je red te grupe!

Tu tockinugrupu oznacavamo s D3h.

Stereografska projekcija vs. tockina grupa

Stereografska projekcija elemenata simetrije skupa sa svim pozicijamatocke opceg polozaja vizualno predstavlja odgovarajucu grupu simetrija.Broj pozicija tocke opceg polozaja jednak je redu te grupe. Svaka od tihtocaka reprezentira po jedan element grupe: Ako je jedna od njihodabrana kao reprezentant od 1, svaka od ostalih tocaka T reprezentiraonu simetriju A cijom primjenom na tocku 1 dobijemo T . Takve prikazezvat cemo stereografskim projekcijama tockinih grupa.

Zadatak

Pomocu stereografske projekcije grupe D3h odredite sto je 21m2mh32, akomh predstavlja zrcaljenje s obzirom na ravninu okomitu na trigiru, 21 jednuod rotacija 2. reda, te m2 zrcaljenje s obzirom na ravninu koja sadrzitrigiru i jednu od druge dvije digire.


Grupe

Za svaku od 12 tocaka opceg polozaja utvrdite koje simetrijske operacijetreba primijeniti na 1 da bismo ih dobili. Zakljucite: Koji su elementigrupe simetrija pravilne trostrane prizme i koji je red te grupe! Tu tockinugrupu oznacavamo s D3h.



Zadatak



Grupe

Za svaku od 12 tocaka opceg polozaja utvrdite koje simetrijske operacijetreba primijeniti na 1 da bismo ih dobili. Zakljucite: Koji su elementigrupe simetrija pravilne trostrane prizme i koji je red te grupe! Tu tockinugrupu oznacavamo s D3h.



Zadatak



Grupe

Inverzne simetrije

Sto je u D3h inverz od mh?

Od 32? Svakom elementu grupe je taj isti ilineki drugi element te iste grupe inverz.

Zadatak

Za sve elemente u D3h odredite njihove inverze.

Ako invertiramo kompoziziju, moramo obrnutim redom invertirati pojedinesimetrije u kompoziciji:

(AB)−1 = B−1A−1

Zadatak

U grupi D3h se nalaze elementi A = 6 i B = m1 (jedno od tri vertikalnazrcaljenja). Sto je B−1AB, a sto je A−1BA? Odredite i inverze operacijaB−1AB i A−1BA.


Grupe

Inverzne simetrije

Sto je u D3h inverz od mh? Od 32?

Svakom elementu grupe je taj isti ilineki drugi element te iste grupe inverz.

Zadatak



(AB)−1 = B−1A−1

Zadatak



Grupe

Inverzne simetrije

Sto je u D3h inverz od mh? Od 32? Svakom elementu grupe je taj isti ilineki drugi element te iste grupe inverz.

Zadatak



(AB)−1 = B−1A−1

Zadatak



Grupe

Inverzne simetrije


Zadatak



(AB)−1 = B−1A−1

Zadatak



Grupe

Inverzne simetrije


Zadatak



(AB)−1 = B−1A−1

Zadatak



Grupe

Mogu li tockine grupe biti beskonacne?

Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom tockinom grupom. Hesselje 1830. dokazao da postoji samo 14 tipova tockinih grupa (u prostoru),no zbog kristalografske restrikcije ne odgovara svakoj neka kristalna klasa.

tip kristalografske t. g.

Cn C1,C2,C3,C4,C6

Dn D2,D3,D4,D6

T T

O O

I −Cnh C2h,C3h,C4h,C6h

Dnh D2h,D3h,D4h,D6h


Th Th

Oh Oh

Ih −S2n S2 = Ci,S4, S6 = C3i

Cnv Cs = C1v,C2v,C3v,C4v,C6v

Dnd D2d,D3d

Td Td


Grupe

Mogu li tockine grupe biti beskonacne?Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom tockinom grupom.

Hesselje 1830. dokazao da postoji samo 14 tipova tockinih grupa (u prostoru),no zbog kristalografske restrikcije ne odgovara svakoj neka kristalna klasa.


Cn C1,C2,C3,C4,C6

Dn D2,D3,D4,D6

T T

O O


Dnh D2h,D3h,D4h,D6h


Th Th

Oh Oh

Ih −S2n S2 = Ci,S4, S6 = C3i


Dnd D2d,D3d

Td Td


Grupe

Mogu li tockine grupe biti beskonacne?Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom tockinom grupom. Hesselje 1830. dokazao da postoji samo 14 tipova tockinih grupa (u prostoru),no zbog kristalografske restrikcije ne odgovara svakoj neka kristalna klasa.


Cn C1,C2,C3,C4,C6

Dn D2,D3,D4,D6

T T

O O


Dnh D2h,D3h,D4h,D6h


Th Th

Oh Oh

Ih −S2n S2 = Ci, S4, S6 = C3i


Dnd D2d,D3d

Td Td


Grupe

Red elementa grupe

Oznaka An u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopnoprovedenu simetriju A.

Zadatak

Ako je m zrcaljenje, m2 = m4 = m6 = . . . = 1? Koji broj treba pisati namjestu i u formuli ni = 1 ako je n rotacija n-tog reda?

Ako je A 6= 1 i A2 = 1, kasemo da je A idempotentna simetrija (odnosno,simetrija drugog reda). Opcenitije, ako je A 6= 1, Ai = 1 i pritom je inajmanji eksponent s tim svojstvom, onda i zovemo redom simetrije A.Dakle, simetrije je najmanji broj puta koliko tu simetriju trebamouzastopno primijeniti da se sve tocke vrate u polazni polozaj.

Zadatak

Kojeg su reda m, 1, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 6?


Grupe

Red elementa grupe

Oznaka An u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopnoprovedenu simetriju A.

Zadatak

Ako je m zrcaljenje, m2 = m4 = m6 = . . . = 1? Koji broj treba pisati namjestu i u formuli ni = 1 ako je n rotacija n-tog reda?

Ako je A 6= 1 i A2 = 1, kasemo da je A idempotentna simetrija (odnosno,simetrija drugog reda). Opcenitije, ako je A 6= 1, Ai = 1 i pritom je inajmanji eksponent s tim svojstvom, onda i zovemo redom simetrije A.Dakle, simetrije je najmanji broj puta koliko tu simetriju trebamouzastopno primijeniti da se sve tocke vrate u polazni polozaj.

Zadatak

Kojeg su reda m, 1, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 6?


”Izvod” 32 tockine grupe


Moguci elementi tockinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6.

Moguci elementi tockinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6.

Zadatak

Pokazite: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru)3 = 13 i 6 = m3.

Dakle, postojanje rotoinverzne digire ekvivalentno je postojanju zrcalneravnine, postojanje rotoinverzne trigire ekvivalentno je posotjanju trigire icentra simetrije, a postojanje rotoinverzne heksagire ekvivalentno jepostojanju trigire i na nju okomite zrcalne ravnine. Stoga su nam odelemenata druge vrste zanimljivi samo m, 1 i 4.




Moguci elementi tockinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6.Moguci elementi tockinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6.

Zadatak







Zadatak







Zadatak







Zadatak





Tockine grupe prve i druge vrste

Zadatak

Moze li grupa simetrija sadrzavati samo operacije druge vrste? Zasto?

Tockine grupe prve vrste su one koje sadrze samo simetrije prve vrste.Ostale tockine grupe zovemo tockinim grupama druge vrste.Je li grupa D3h prve ili druge vrste? Koliko operacija prve vrste, a kolikonjih druge vrste sadrzi D3h?

Teorem

U svakoj grupi druge vrste ima jednako mnogo operacija prve i druge vrste.Posebno, sve su grupe druge vrste parnog reda.

Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrstejedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kaoDP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Stoga se svetockine grupe druge vrste mogu naci tako da u pojedine grupe prve vrstedodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojecegire).




Zadatak


Tockine grupe prve vrste su one koje sadrze samo simetrije prve vrste.Ostale tockine grupe zovemo tockinim grupama druge vrste.Je li grupa D3h prve ili druge vrste?

Koliko operacija prve vrste, a kolikonjih druge vrste sadrzi D3h?

Teorem


Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrstejedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kaoDP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Stoga se svetockine grupe druge vrste mogu naci tako da u pojedine grupe prve vrstedodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojecegire).




Zadatak



Teorem


Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrstejedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kaoDP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi.

Stoga se svetockine grupe druge vrste mogu naci tako da u pojedine grupe prve vrstedodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojecegire).




Zadatak



Teorem


Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrstejedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kaoDP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Stoga se svetockine grupe druge vrste mogu naci tako da u pojedine grupe prve vrstedodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojecegire).Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske tockine grupe Travanj 2018. 17 / 31


Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 u grupu prve vrste

Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadrzavati ili bitina njih okomite, dakle dodavanje ravnine simetrije je moguce duz bilo kojeu grupama prve vrste postojece osi rotacije ili pak okomito na nju.

Centar inverzije ocigledno mozemo dodati samo jedan i to u sjecistu svihgira, ako ih ima; no, kako je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, slijedi dacentar inverzije ima smisla dodavati samo na trigire (ili u trivijalnu grupu).Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda

sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 42. Stoga se rotoinverzna tetragira

mora postaviti duz neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Akobismo ju postavili duz heksagire, slijedilo bi da imamo i rotoinverziju reda12. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kaoda smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne trebarazmatrati taj slucaj. Dakle, rotoinverznu tetragiru mozemo dodati samoduz neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu.




Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadrzavati ili bitina njih okomite, dakle dodavanje ravnine simetrije je moguce duz bilo kojeu grupama prve vrste postojece osi rotacije ili pak okomito na nju.Centar inverzije ocigledno mozemo dodati samo jedan i to u sjecistu svihgira, ako ih ima; no, kako je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, slijedi dacentar inverzije ima smisla dodavati samo na trigire (ili u trivijalnu grupu).

Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda






Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadrzavati ili bitina njih okomite, dakle dodavanje ravnine simetrije je moguce duz bilo kojeu grupama prve vrste postojece osi rotacije ili pak okomito na nju.Centar inverzije ocigledno mozemo dodati samo jedan i to u sjecistu svihgira, ako ih ima; no, kako je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, slijedi dacentar inverzije ima smisla dodavati samo na trigire (ili u trivijalnu grupu).Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda


mora postaviti duz neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste.

Akobismo ju postavili duz heksagire, slijedilo bi da imamo i rotoinverziju reda12. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kaoda smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne trebarazmatrati taj slucaj. Dakle, rotoinverznu tetragiru mozemo dodati samoduz neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu.






mora postaviti duz neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Akobismo ju postavili duz heksagire, slijedilo bi da imamo i rotoinverziju reda12.

Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kaoda smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne trebarazmatrati taj slucaj. Dakle, rotoinverznu tetragiru mozemo dodati samoduz neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu.






mora postaviti duz neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Akobismo ju postavili duz heksagire, slijedilo bi da imamo i rotoinverziju reda12. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kaoda smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne trebarazmatrati taj slucaj.

Dakle, rotoinverznu tetragiru mozemo dodati samoduz neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu.









Kristalografske ciklicke grupe

Grupa je ciklicka ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa ciji svielementi se dobiju uzastopnim izvodenjem samo jedne simetrije A,odnosno grupa tipa G = 〈A〉 = {1,A,A2, . . . ,An−1}. To su one tockinegrupe onih kristalnih klasa za cije kristale postoji samo jedan (ili nijedan)element simetrije.Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva ce biti i ciklickagrupa.

Kristalografske ciklicke grupe prve vrste su C1 = 〈1〉, C2 = 〈2〉,C3 = 〈3〉, C4 = 〈4〉, C6 = 〈6〉.

Kristalografske ciklicke grupe druge vrste su Ci = 〈1〉, Cs = 〈m〉,S4 = 〈4〉. Njih dobijemo dodavanjem 1 ili m u C1 odnosno 4 u C2.

No, mi cemo krenuti samo od ciklickih grupa prve vrste . . .



Kristalografske ciklicke grupe

Grupa je ciklicka ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa ciji svielementi se dobiju uzastopnim izvodenjem samo jedne simetrije A,odnosno grupa tipa G = 〈A〉 = {1,A,A2, . . . ,An−1}. To su one tockinegrupe onih kristalnih klasa za cije kristale postoji samo jedan (ili nijedan)element simetrije.Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva ce biti i ciklickagrupa.

Kristalografske ciklicke grupe prve vrste su C1 = 〈1〉, C2 = 〈2〉,C3 = 〈3〉, C4 = 〈4〉, C6 = 〈6〉.Kristalografske ciklicke grupe druge vrste su Ci = 〈1〉, Cs = 〈m〉,S4 = 〈4〉. Njih dobijemo dodavanjem 1 ili m u C1 odnosno 4 u C2.

No, mi cemo krenuti samo od ciklickih grupa prve vrste . . .



Dodavanje inverzije ili 4 u ciklicke grupe prve vrste

Ako dodamo 1 u C1, dobijemo Ci . Sto ako 1 dodamo u C2, C3, C4, C6?

Podsjetimo se i da je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, dakle imamo:

1 C1 (1. vrste, reda 1)+1 Ci (2. vrste, reda 2)

2 C3 (1. vrste, reda 3)+1 C3i (2. vrste, reda 6)

Nadalje: Rotoinverznu tetragiru mozemo dodati samo i duz neke postojecedigire (ili tetragire, ali tada je to isto kao dodavanje horizontalne ravninezrcaljenja). Dakle, ovdje imamo samo

1 C2+4 S4 (2. vrste, reda 4)




Ako dodamo 1 u C1, dobijemo Ci . Sto ako 1 dodamo u C2, C3, C4, C6?Podsjetimo se i da je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, dakle imamo:




1 C2+4 S4 (2. vrste, reda 4)




Ako dodamo 1 u C1, dobijemo Ci . Sto ako 1 dodamo u C2, C3, C4, C6?Podsjetimo se i da je 21 = m, kao i 41 = m i 61 = m, dakle imamo:




1 C2+4 S4 (2. vrste, reda 4)



Dodavanje m u ciklicke grupe prve vrste

Prvi slucaj: Ravnina okomita na postojecu os rotacije.

1 C1+m Cs (2. vrste, reda 2)

2 C2+m C2h (2. vrste, reda 4)




Drugi slucaj: Ravnina sadrzi postojecu os rotacije (mv).

1 C2+m C2v (2. vrste, reda 4)






Time smo iscrpili sve mogucnosti izvoda grupa iz ciklickih grupa 1. vrste.No, postoje i druge kristalografske tockine grupe 1. vrste. S obzirom na toda u grupama 1. vrste imamo samo rotacije, trebamo odrediti grupe1. vrste u kojima postoje rotacije oko vise od jedne osi. Za to nam treba

Eulerova konstrukcija

Kompozicija dviju rotacija oko osi koje se sijeku u tocki O je rotacija okoosi koja prolazi kroz O.

To znaci da ako u tockinoj grupi postoje dvije rotacije oko razlicitih osi,postoji i treca. Red te trece rotacije ovisi o kutu ψ medu osima i redovimapripadnih rotacija.

Imamo dva vazna slucaja:

2122 = n, pri cemu je os od n okomita na obje digire. Ako je medudigirama α, kut od n je 360◦ − 2α. Zbog kristalografske restrikcije αmoze biti samo jedno od 90◦, 120◦, 135◦ ili 150◦.

21n = 22,...,n ako je prva digira okomita na os od n. Sve nove digiresu isto okomite na tu os.






To znaci da ako u tockinoj grupi postoje dvije rotacije oko razlicitih osi,postoji i treca. Red te trece rotacije ovisi o kutu ψ medu osima i redovimapripadnih rotacija. Imamo dva vazna slucaja:








To znaci da ako u tockinoj grupi postoje dvije rotacije oko razlicitih osi,postoji i treca. Red te trece rotacije ovisi o kutu ψ medu osima i redovimapripadnih rotacija. Imamo dva vazna slucaja:





Neciklicke kristalografske tockine grupe prve vrste

Krenimo od C2 u kojoj imamo samo jednu rotaciju 2. reda. Mozemo jojdodati jos jednu rotaciju reda 2, 3, 4 ili 6 s obzirom na os okomitu napolaznu digiru. Grupe (1. vrste) ciji se svi elementi mogu opisatikompozicijom dviju razlicitih rotacija, tocnije: jedne rotacije proizvoljnogreda i jedne 2. reda s obzirom na digiru okomitu na os prve rotacije, zovuse diedralne grupe. Od njih su kristalografske njih cetiri: D2, D3, D4 i D6.Kojeg je koja reda?

Napomena

D3 je najmanja nekomutativna grupa.

Analizom mogucih odnosa medu osima rotacije, Eulerovom konstrukcijomi sfernom trigonometrijom moguce je pokazati da osim spomenutih 9kristalografskih tockinih grupa 1. vrste (ciklicke i diedralne) postoje jossamo dvije takve: tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija (T , reda 12, iO, reda 24).



Neciklicke kristalografske tockine grupe prve vrste

Krenimo od C2 u kojoj imamo samo jednu rotaciju 2. reda. Mozemo jojdodati jos jednu rotaciju reda 2, 3, 4 ili 6 s obzirom na os okomitu napolaznu digiru. Grupe (1. vrste) ciji se svi elementi mogu opisatikompozicijom dviju razlicitih rotacija, tocnije: jedne rotacije proizvoljnogreda i jedne 2. reda s obzirom na digiru okomitu na os prve rotacije, zovuse diedralne grupe. Od njih su kristalografske njih cetiri: D2, D3, D4 i D6.Kojeg je koja reda?

Napomena

D3 je najmanja nekomutativna grupa.

Analizom mogucih odnosa medu osima rotacije, Eulerovom konstrukcijomi sfernom trigonometrijom moguce je pokazati da osim spomenutih 9kristalografskih tockinih grupa 1. vrste (ciklicke i diedralne) postoje jossamo dvije takve: tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija (T , reda 12, iO, reda 24).



Tockine grupe 2. vrste izvedene iz diedralnih grupa

Dakle, ukupno postoji 11 kristalografskih tockinih grupa 1. vrste: C1, C2,C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, T i O.

Sad ponovno mozemo dodavati 1 ili m ili 4 u D2, D3, D4 i D6.Inverziju ima smisla dodati samo u D3, cime cemo dobiti grupu D3d.Nadalje, znamo da 4 ima smisla dodati samo duz postojece digire, dakle uD2. Time dobijemo grupu D2d. Kojeg je ona reda?Zrcalne ravnine mozemo dodati okomito (

”horizontalno”) ili kroz

(”vertikalno”) postojecu os rotacije.




Dakle, ukupno postoji 11 kristalografskih tockinih grupa 1. vrste: C1, C2,C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, T i O.Sad ponovno mozemo dodavati 1 ili m ili 4 u D2, D3, D4 i D6.Inverziju ima smisla dodati samo u D3, cime cemo dobiti grupu D3d.

Nadalje, znamo da 4 ima smisla dodati samo duz postojece digire, dakle uD2. Time dobijemo grupu D2d. Kojeg je ona reda?Zrcalne ravnine mozemo dodati okomito (






Dakle, ukupno postoji 11 kristalografskih tockinih grupa 1. vrste: C1, C2,C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, T i O.Sad ponovno mozemo dodavati 1 ili m ili 4 u D2, D3, D4 i D6.Inverziju ima smisla dodati samo u D3, cime cemo dobiti grupu D3d.Nadalje, znamo da 4 ima smisla dodati samo duz postojece digire, dakle uD2. Time dobijemo grupu D2d. Kojeg je ona reda?

Zrcalne ravnine mozemo dodati okomito (”horizontalno”) ili kroz





Dakle, ukupno postoji 11 kristalografskih tockinih grupa 1. vrste: C1, C2,C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, T i O.Sad ponovno mozemo dodavati 1 ili m ili 4 u D2, D3, D4 i D6.Inverziju ima smisla dodati samo u D3, cime cemo dobiti grupu D3d.Nadalje, znamo da 4 ima smisla dodati samo duz postojece digire, dakle uD2. Time dobijemo grupu D2d. Kojeg je ona reda?Zrcalne ravnine mozemo dodati okomito (





Dodavanje mh:

1 D2+mh D2h (2. vrste, reda 8)




Dodavanje mv u diedralne grupe zbog horizontalnih digira automatskiznaci i dodavanje mh, dakle ga nije potrebno razmatrati.

Naposlijetku, dodavanjem zrcaljenja u T i O dobivamo posljednje trikristalografske tockine grupe Th, Td, Oh.



Dodavanje mh:





Dodavanje mv u diedralne grupe zbog horizontalnih digira automatskiznaci i dodavanje mh, dakle ga nije potrebno razmatrati.Naposlijetku, dodavanjem zrcaljenja u T i O dobivamo posljednje trikristalografske tockine grupe Th, Td, Oh.



Podgrupe

Podgrupa grupe G je njen podskup takav da je i sam grupa obzirom naistu operaciju. Primjerice, C2 = {1, 2} i C3 = {1, 3, 32} su podgrupe odC6 = {1, 6, 62 = 3, 63 = 2, 64 = 32, 65}, dok {3, 32} i {1, 6, 3} to nisu(zasto?).

Nadite neke primjere podgrupa od D3h i njihove redove. Sto primjecujete?Vrijedi Lagrange-ov teorem: Red podgrupe konacne grupe mora bitidjeljitelj reda grupe.Koji su dakle moguci redovi podgrupa od D3h? Koje su podgrupe od D3h

reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe

Podgrupa grupe G je njen podskup takav da je i sam grupa obzirom naistu operaciju. Primjerice, C2 = {1, 2} i C3 = {1, 3, 32} su podgrupe odC6 = {1, 6, 62 = 3, 63 = 2, 64 = 32, 65}, dok {3, 32} i {1, 6, 3} to nisu(zasto?).Nadite neke primjere podgrupa od D3h i njihove redove.

Sto primjecujete?Vrijedi Lagrange-ov teorem: Red podgrupe konacne grupe mora bitidjeljitelj reda grupe.Koji su dakle moguci redovi podgrupa od D3h? Koje su podgrupe od D3h




Podgrupe

Podgrupa grupe G je njen podskup takav da je i sam grupa obzirom naistu operaciju. Primjerice, C2 = {1, 2} i C3 = {1, 3, 32} su podgrupe odC6 = {1, 6, 62 = 3, 63 = 2, 64 = 32, 65}, dok {3, 32} i {1, 6, 3} to nisu(zasto?).Nadite neke primjere podgrupa od D3h i njihove redove. Sto primjecujete?

Vrijedi Lagrange-ov teorem: Red podgrupe konacne grupe mora bitidjeljitelj reda grupe.Koji su dakle moguci redovi podgrupa od D3h? Koje su podgrupe od D3h




Podgrupe

Podgrupa grupe G je njen podskup takav da je i sam grupa obzirom naistu operaciju. Primjerice, C2 = {1, 2} i C3 = {1, 3, 32} su podgrupe odC6 = {1, 6, 62 = 3, 63 = 2, 64 = 32, 65}, dok {3, 32} i {1, 6, 3} to nisu(zasto?).Nadite neke primjere podgrupa od D3h i njihove redove. Sto primjecujete?Vrijedi Lagrange-ov teorem: Red podgrupe konacne grupe mora bitidjeljitelj reda grupe.Koji su dakle moguci redovi podgrupa od D3h?

Koje su podgrupe od D3h




Podgrupe

Podgrupa grupe G je njen podskup takav da je i sam grupa obzirom naistu operaciju. Primjerice, C2 = {1, 2} i C3 = {1, 3, 32} su podgrupe odC6 = {1, 6, 62 = 3, 63 = 2, 64 = 32, 65}, dok {3, 32} i {1, 6, 3} to nisu(zasto?).Nadite neke primjere podgrupa od D3h i njihove redove. Sto primjecujete?Vrijedi Lagrange-ov teorem: Red podgrupe konacne grupe mora bitidjeljitelj reda grupe.Koji su dakle moguci redovi podgrupa od D3h? Koje su podgrupe od D3h

reda 1?

Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe


reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2?

To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe


reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3?

C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe


reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4?

C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe


reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6?

D3, C3v i C3h. Reda 12? To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe


reda 1? Naravno, samo C1. Reda 2? To su Cs i C2. Reda 3? C3 jestpodgrupa. Reda 4? C2v . Reda 6? D3, C3v i C3h. Reda 12?

To je naravnosamo citava D3h.Koja grupa je sigurno podgrupa svake grupe?



Podgrupe





Teorem

U tockinoj grupi druge vrste podskup svih operacija prve vrste cinipodgrupu.

Dokazite!

Kompozicija dviju operacija prve vrste je takoder prve vrste, 1jest operacija prve vrste, a i inverz operacije prve vrste je operacija prvevrste.

Zadatak

Vrijedi li sljedece:”U tockinoj grupi druge vrste podskup svih operacija

druge vrste cini podgrupu.”?

Ne! U grupi mora postojati neutralni element, tj. svaka tockina grupamora sadrzavati 1. No, ako imamo skup koji se sastoji samo od operacijadruge vrste, 1 ocito nije u njemu.



Teorem


Dokazite! Kompozicija dviju operacija prve vrste je takoder prve vrste, 1jest operacija prve vrste, a i inverz operacije prve vrste je operacija prvevrste.

Zadatak






Teorem


Dokazite! Kompozicija dviju operacija prve vrste je takoder prve vrste, 1jest operacija prve vrste, a i inverz operacije prve vrste je operacija prvevrste.

Zadatak






G red vrsta elementi prave podgrupe, osimC1

C1 1 1. 1 −Ci 2 2. 1, 1C2 2 1. 1, 2Cs 2 2. 1,mC3 3 1. 1, 3, 32

C4 4 1. 1, 4, 2, 43 C2

D2 4 1. 1, 21, 22, 23 C2

C2h 4 2. 1, 2,m, 1 C2,Ci,Cs

C2v 4 2. 1,m1,m2, 2 C2,Cs

C6 6 1. 1, 6, 3, 2, 32, 65 C2,C3

D3 6 1. 1, 3, 32, 21, 22, 23 C2,C3

C3i 6 2. 1, 3, 32, 1, 3, 32

C3,Ci

C3h 6 2. 1, 3, 32,mh, 6, 65

C3,Cs

C3v 6 2. 1, 3, 32,m1,m2,m3 C3,Cs

Itd.Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske tockine grupe Travanj 2018. 28 / 31


Zadatak

Za kristalografsku tockinu grupu D6 odgovorite na sljedeca pitanja:

Kojeg je reda?

12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste?

Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred.

Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.

Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu!

Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.

D6h.



Zadatak


Kojeg je reda? 12.Je li to grupa prve ili druge vrste? Prve.Skicirajte odgovarajucu stereografsku projekciju elemenata simetrije itocaka u opcem polozaju, te temeljem iste odaberite oznake inavedite sve elemente grupe. Za sve elemente grupe navedite njihovred. Elementi grupe su (npr.): 1 (1. reda), 6 (6. reda), 3 (3. reda), 2(2. reda), 32 (3. reda), 65 (6. reda), 21, 22, 23, 24, 25, 26 (6elemenata 2. reda).Odaberite jednu simetrijsku operaciju u toj grupi koja je reda 2(operacija A) i jednu koja je veceg reda (operacija B). Odredite(koristeci svoje oznake iz prethodnog dijela zadatka) A−1B−1AB.Npr. A = 21 i B = 6 daje A−1B−1AB = 2165216 = 1.Ima li ova grupa podgrupu reda 3? Ako ne, zasto, ako da, naveditejednu! Mogla bi imati jer je 12 djeljivo s 3. Nije tesko vidjeti: Ima –to je C3.Navedite jednu kristalografsku tockinu grupu cija je D6 podgrupa.D6h.


Kristalne forme

Kristalne forme

Svaka simetrija iz tockine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikavau njoj sukladnu (zasto?).

Kazemo: tockina grupa djeluje na plohe kristala.Primjerice, grupa D3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svakiod njenih 12 elemenata na odredeni nacin preslika njene plohe: 1 sve plohefiksira, 3 fiksira baze, a ciklicki pomice strane, mh fiksira strane i zamijenibaze, i t. d.Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje sedjelovanjem njegove tockine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.Skupsvih ploha danog kristala moze se rasporediti u forme (svaka ploha u svojojformi i nikoje dvije u istoj) — objasnite zasto!


Kristalne forme

Kristalne forme

Svaka simetrija iz tockine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikavau njoj sukladnu (zasto?). Kazemo: tockina grupa djeluje na plohe kristala.Primjerice, grupa D3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svakiod njenih 12 elemenata na odredeni nacin preslika njene plohe: 1 sve plohefiksira, 3 fiksira baze, a ciklicki pomice strane, mh fiksira strane i zamijenibaze, i t. d.

Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje sedjelovanjem njegove tockine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.Skupsvih ploha danog kristala moze se rasporediti u forme (svaka ploha u svojojformi i nikoje dvije u istoj) — objasnite zasto!


Kristalne forme

Kristalne forme

Svaka simetrija iz tockine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikavau njoj sukladnu (zasto?). Kazemo: tockina grupa djeluje na plohe kristala.Primjerice, grupa D3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svakiod njenih 12 elemenata na odredeni nacin preslika njene plohe: 1 sve plohefiksira, 3 fiksira baze, a ciklicki pomice strane, mh fiksira strane i zamijenibaze, i t. d.Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje sedjelovanjem njegove tockine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.

Skupsvih ploha danog kristala moze se rasporediti u forme (svaka ploha u svojojformi i nikoje dvije u istoj) — objasnite zasto!


Kristalne forme

Kristalne forme

Svaka simetrija iz tockine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikavau njoj sukladnu (zasto?). Kazemo: tockina grupa djeluje na plohe kristala.Primjerice, grupa D3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svakiod njenih 12 elemenata na odredeni nacin preslika njene plohe: 1 sve plohefiksira, 3 fiksira baze, a ciklicki pomice strane, mh fiksira strane i zamijenibaze, i t. d.Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje sedjelovanjem njegove tockine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.Skupsvih ploha danog kristala moze se rasporediti u forme (svaka ploha u svojojformi i nikoje dvije u istoj) — objasnite zasto!


Kristalne forme

Opce forme

Djelovanje tocke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohepostoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugacije receno:djelovanje tockine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno tocno akotaj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djelujetranzitivno na plohe pravilnog tetraedra.

Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuce tockinegrupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju.Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostraneprizme obzirom na djelovanje D3h je C3v = {1, 3, 32,mv ,1,mv ,2,mv ,3}. Stomozemo zakljuciti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}?Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opce forme.


Kristalne forme

Opce forme

Djelovanje tocke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohepostoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugacije receno:djelovanje tockine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno tocno akotaj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djelujetranzitivno na plohe pravilnog tetraedra.Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuce tockinegrupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju.Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostraneprizme obzirom na djelovanje D3h je

C3v = {1, 3, 32,mv ,1,mv ,2,mv ,3}. Stomozemo zakljuciti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}?Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opce forme.


Kristalne forme

Opce forme

Djelovanje tocke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohepostoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugacije receno:djelovanje tockine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno tocno akotaj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djelujetranzitivno na plohe pravilnog tetraedra.Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuce tockinegrupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju.Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostraneprizme obzirom na djelovanje D3h je C3v = {1, 3, 32,mv ,1,mv ,2,mv ,3}. Stomozemo zakljuciti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}?

Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opce forme.


Kristalne forme

Opce forme

Djelovanje tocke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohepostoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugacije receno:djelovanje tockine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno tocno akotaj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djelujetranzitivno na plohe pravilnog tetraedra.Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuce tockinegrupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju.Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostraneprizme obzirom na djelovanje D3h je C3v = {1, 3, 32,mv ,1,mv ,2,mv ,3}. Stomozemo zakljuciti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}?Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opce forme.


Documents

Kristalografske tockine grupeprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/grupe4.pdf · je izometrija koja ksira tu guru: De nicija Preslikavanje euklidske ravnine (prostora) u sebe jeizometrijaako