Embed Size (px)
Citation preview
KONSEP DASAR
MATEMATIKA I Hardi, M.Pd.
Seri Modul
Mata
Kuliah
PGMI – FITK – IAIN SURAKARTA
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah wa Syukurillah, penyusunan Modul Mata Kuliah Dosen di Program
Studi Pendidikan Guru Madrasah Ibtidaiyah (PGMI) Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
(FITK) Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Surakarta ini bisa diselesaikan dengan baik.
Kami selaku pengelola Prodi, sangat mengapresiasi dan mengucapkan banyak terima kasih
kepada para dosen di Prodi PGMI IAIN Surakarta, baik dosen tetap dalam Prodi dan di luar
Prodi, yang sudah berkenan dan merelakan waktu serta pikiran guna terselesaikannya
penyusunan Modul ini. Kepada mereka semua, kami hanya mampu mendo’akan semoga
perjuangan dan pengorbanan mereka mendapatkan balasan yang lebih dari Allah Swt. Amin.
Penyusunan Modul Mata Kuliah ini berfungsi untuk menjadi panduan bagi dosen
terkait khususnya dan bagi mahasiswa PGMI IAIN Surakarta pada umumnya. Hal ini
dimaksudkan supaya proses perkuliahan berjalan dengan baik, mudah, terarah, terukur dan
sesuai dengan visi-misi Prodi dan juga Visi-Misi Fakultas serta Institut.
Sekali lagi, kami ucapkan banyak terima kasih kepada para dosen penyusun, dan
semoga modul ini bermanfaat dan mendapatkan ridla Allah Swt. Amin.
Surakarta, 10 Juni 2018
Kaprodi PGMI FITK IAIN Surakarta
Dr. Saiful Islam, M.Ag.
NIP. 19621024 199203 1 002
iv
DAFTAR ISI
Daftar Isi Halaman
Halaman Cover ............................................................................................. i
Kata Pengantar ............................................................................................. ii
Persembahan ................................................................................................ iii
Daftar Isi ........................................................................................................ iv
BAB I. HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan ........................................................................... 1
B. Hubungan Dua/Lebih Himpunan ........................................................... 3
C. Sifat-sifat pada Operasi Himpunan ....................................................... 8
BAB II. RELASI DAN FUNGSI
A. Relasi ................................................................................................... 9
B. Fungsi .................................................................................................. 11
BAB III. SISTEM BILANGAN
A. Bilangan Asli ........................................................................................ 16
B. Bilangan Bulat ..................................................................................... 17
C. Bilangan Rasional ................................................................................ 17
D. Bilangan Real ...................................................................................... 18
E. Bilangan Kompleks .............................................................................. 18
F. Operasi pada Bilangan ........................................................................ 18
BAB IV. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Persamaan Linear ............................................................................... 20
B. Pertidaksamaan Linear ........................................................................ 24
BAB V. DERET
A. Barisan dan Deret Aritmatika ............................................................... 29
B. Barisan dan Deret Geometri ................................................................ 31
C. Deret Tak Hingga ................................................................................ 32
BAB VI. LOGARITMA ................................................................................. 33
BAB VII. GEOMETRI TRANSFORMASI
A. Translasi ............................................................................................... 36
B. Refleksi................................................................................................. 39
C. Rotasi ................................................................................................... 42
D. Dilatasi ................................................................................................. 44
v
BAB VIII. LOGIKA MATEMATIKA
A. Pernyataan dan Negasinya ................................................................. 47
B. Tautologi ............................................................................................. 61
C. Kuantor ............................................................................................... 67
BAB IX. PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
A. Masalah Matematika ........................................................................... 69
B. Pemecahan Masalah Matematik ......................................................... 70
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 74
SOAL-SOAL ................................................................................................ 76
TENTANG PENULIS .................................................................................... 89
����������������������������������������������������������������
��������������� ������ 1
BAB I HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita mendengar istilah seperti,
himpunan mahasiswa Indonesia, gugus pramuka siaga, perkumpulan pengurus
Masjid Ar Rahman ataupun masih banyak lagi. Tapi apa sih yang dimaksud
dengan himpunan, gugus, dan perkumpulan di sini? Himpunan mahasiswa
Indonesia, mengandung arti bahwa yang tergabung di dalamnya hanyalah
mahasiswa-mahasiswa Indonesia, bukan mahasiswa selain dari negara
Indonesia. Sedangkan gugus pramuka siaga, hanya untuk himpunan pramuka
yang termasuk dalam golongan siaga saja, bukan yang lain. Begitu pula untuk
perkumpulan pengurus Masjid Ar Rahman, hanya untuk himpunan/perkumpulan
pengurus Masjid Ar Rahman saja, bukan pengurus masjid yang.
Himpunan dalam konteks matematika dapat diartikan sebagai suatu
kumpulan dari objek-objek (berbeda) yang didefinisikan dengan jelas. Objek-
objek dari himpunan yang dimaksud adalah suatu objek yang dapat ditentukan
dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam
himpunan tersebut. Objek yang termasuk dalam himpunan itu disebut
anggota/unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Nama suatu himpunan
ditulis dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Sementara anggota
dari suatu himpunan disimbolkan dengan huruf alfabet kecil, seperti a, b, atau c,
sehingga dapat ditulis, misalkan “A=�a, b, c�”. Sedangkan notasi “a∈A” dibaca “a
adalah anggota/elemen dari A sedangkan jika tertulis “d∉A” dibaca “d bukan
anggota/elemen dari A”.
1. Keanggotaan suatu Himpunan
Setiap objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur.
Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan simbol “∈”, jika bukan anggota
himpunan dinyatakan dengan symbol “∉”. Banyaknya anggota himpunan A
adalah jumlah semua anggota himpunan A, yang ditulis “n(A)”.
��������������� ������ 2
Contoh:
P =�1, 2,3�, maka dapat ditulis 1 ∈ �1, 2,3� atau 1 ∈ P
2 ∈ �1, 2,3� atau 2 ∈ P
3 ∈ �1, 2,3� atau 3 ∈ P
2. Menyatakan suatu Himpunan
a. Cara daftar (tabulasi) yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan cara
mendaftar/menuliskan anggota-anggota himpunan tersebut di antara
kurung kurawal buka ( { ) dan kurung kurawal tutup ( } ), dan setiap dua
anggota dipisahkan dengan tanda koma (,).
Contoh:
1) P=�2, 3,5,7� adalah himpunan empat bilangan prima pertama, atau
himpunan bilangan prima satu angka. Dalam mendaftar anggota-
anggotanya, urutan anggota-anggotanya tidak diperhatikan, sehingga
himpunan tersebut dapat pula dinyatakan sebagai �2, 3,5,7�, �2, 5,3,7�, �7, 3,5,2�, dan seterusnya.
2) Dalam matematika, suatu himpunan mungkin hanya mempunyai satu
anggota atau disebut juga singleton, misal Q=�������, yaitu himpunan
sebuah nama bulan yang diawali dengan huruf a.
3) Bahkan dalam matematika mungkin terdapat suatu himpunan yang tidak
mempunyai anggota atau yang disebut himpunan kosong, dan diberi
simbol � � atau Ø. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari
2. ��������������� �0� ��� �� ?
4) Apabila suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka dapat
dinotasikan dengan menuliskan tiga atau empat anggota dan diikuti tiga
titik. Tiga atau empat anggota yang dituliskan harus dapat memberi
petunjuk untuk menentukan anggota-anggota berikutnya. Misalkan,
R=�0,1,2,3,4,… � adalah himpunan (semua) bilangan cacah; S=�1,2,3,… � adalah himpunan bilangan asli. Tetapi jika hanya dituliskan S=�1,2,3,… �, maka himpunan ini mempunyai dua kemungkinan, yaitu �1,2,3,4,5,… � atau dapat pula S=�1,2,3,5,8,13,… �. Penulisan seperti ini harus dihindari,
supaya tidak menimbulkan salah arti.
��������������� ������ 3
b. Cara deskripsi yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata
atau kalimat.
Contoh:
B adalah himpunan bilangan bulat; G adalah himpunan bilangan buat ganjil.
c. Cara notasi pembentuk himpunan yaitu menyatakan suatu himpunan
dengan cara menuliskan/menyebutkan syarat keanggotaan suatu
himpunan. Untuk menyatakan syarat keanggotaan suatu himpunan adalah
dengan cara menuliskan satu huruf sembarang sebagai peubah dari
anggota-anggotanya. Syarat keanggotaan ini harus terdefinisi dengan jelas,
artinya sesuatu objek harus dapat ditentukan dengan pasti, apakah
termasuk anggota himpunan tersebut atau tidak.
Contoh:
Himpunan A=�1,2,3,4,… � dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk
himpunan, yaitu A=�x|x ∈ bilanganasli�. B adalah himpunan bilangan bulat, jika G adalah himpunan semua bilangan
bulat yang ganjil, maka G dapat ditulis G=�x|x = 2n + 1, nϵB� atau lebih
singkatnya G=�2n + 1|nϵB� atau dapat pula ditulis
G=�2n + 1|nbilanganbulat�. Apabila banyak anggota suatu himpunan adalah berhingga, maka himpunan itu
disebut himpunan berhingga (finite set). Dan apabila banyaknya anggota suatu
himpunan adalah tak hingga, maka himpunan tersebut disebut himpunan tak
hingga (infinite set). Sebagai contoh:
D=�1,2,3,4,… ,128999� adalah suatu himpunan berhingga.
E=�x|0 < x < 1danxbilanganreal� adalah suatu himpunan tak hingga.
B. Hubungan Dua/Lebih Himpunan
Tiap dua himpunan atau lebih mempunyai hubungan, diantaranya:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
2. Dua himpunan saling lepas (asing)
3. Dua himpunan sama
4. Dua himpunan yang ekuivalen
Berikut akan dijelaskan secara lebih rinci.
��������������� ������ 4
Himpunan Bagian
Misalkan A=�1,5� dan B=�0,1,2,3,4,5�. Perhatikan bahwa, 1 dan 5 masing-
masing merupakan anggota dari himpunan A dan himpunan B. dapat dikatakan
bahwa setiap anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B juga.
Hal seperti ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari
himpunan B. Dengan kata lain, himpunan A adalah himpunan bagian dari
himpunan B (dapat ditulis A⊂B),jika setiap anggota A merupakan anggota B. A⊂B dapat pula dibaca “A termuat dalam B”, yang sama artinya dengan “B memuat
A” yang diberi simbol dengan “B⊃A”. Apabila A bukan himpunan bagian B, atau
A tidak termuat dalam B, disimbolkan dengan A⊄B. ��� ���������������������
�������� �������� ������ � �� ��� A⊂A, ������ ������ ������� A? ���������� �����
����� ∅ ⊂A, ������ ? Inilah yang dikatakan bahwa A dan ∅ adalah himpunan
bagian tak sejati (improper subset) dari A, sedangkan selain A dan ∅ (jika ada)
disebut himpunan bagian sejati (proper subset) dari A.
Untuk selanjutnya, jika tidak ada keterangan apa-apa, maka yang
dimaksud himpunan bagian adalah mencakup himpunan bagian sejati dan
himpunan bagian tak sejati. Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari
suatu himpunan yang beranggotakan n, adalah 2n. ���� �������������������
� Jika A=�a, b, c�, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah
23��∅, �a�, �b�, �c�, �a, b�, �a, c�, �b, c�, A��� Banyaknya anggota himpunan A diberi
simbol n(A), banyak anggota himpunan bagiannya diberi simbol n(2n(A))� Dalam
suatu pembicaraan atau pembahasan, kadang kita perlu membatasi supaya
pembahasan kita terfokus pada permasalahan yang sedang dibahas. Dalam
pembahasan himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggota-
anggota atau himpunan bagian himpunan bagiannya merupakan sumber
pembahasan. Himpunan seperti inilah yang dikatakan himpunan semesta atau
semesta pembicaraan (universal set), yang sering disimbolkan S atau U.
Himpunan semesta yang ditetapkan tergantung pada permasalahan yang
sedang dibahas, tetapi harus diingat bahwa himpunan-himpunan pada
permasalahan yang dihadapi harus merupakan himpunan bagian-himpunan
bagian dari himpunan semesta yang dipilih.
Hubungan antar dua atau beberapa himpunan dapat digambarkan
dalam suatu diagram, yang disebut Diagram Venn-Euler atau sering disebut
��������������� ������ 5
Diagram Venn saja. Himpunan semesta biasa digambarkan sebagai persegi
panjang dan himpunan bagian-himpunan bagiannya digambarkan sebagai kurva-
kurva tertutup sederhana.
Dua Himpunan Saling Lepas
Jika A=�1,2,3,4,5� dan B=�6,7,8,9,10�, maka A dan B dikatakan saling
lepas, dan disimbolkan A//B, dibaca A lepas dengan B. Dua himpunan yang tidak
kosong A dan B dikatakan saling lepas, jika kedua himpunan tersebut tidak
mempunyai anggota persekutuan, atau setiap anggota A bukan anggota B dan
setiap anggota B bukan anggota A.
Dua Himpunan Sama
Perhatikan himpunan A dan B berikut ini.
A=�1,2,3,4� dan B=�2,4,1,3�. Samakah himpunan A dengan himpunan B?
Dua himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A=B) jika setiap anggota A
merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A. Atau dapat
ditulis lebih singkat menjadi A=B jika hanya jika A⊂B dan B⊂A. Himpunan-
himpunan A dan B dikatakan sama (A=B) jika A merupakan himpunan bagian
dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka
dikatakan bahwa A tidak sama dengan B (A≠B).
Dua Himpunan Ekuivalen
Sebuah himpunan A=�1,3,5,7,9� dan himpunan B=�a, i, u, e, o�. Kedua
himpunan tersebut mempunyai jumlah banyak anggota yang sama, yaitu lima.
Oleh karena itu dikatakan, himpunan A ekuivalen dengan himpunan B, dan
disimbolkan A∼B.
Dua himpunan berhingga A dan B dengan n(A)=n(B), yaitu banyaknya
anggota A sama dengan banyaknya anggota B, maka dikatakan bahwa
himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (A∼B). Apabila himpunan A sama
dengan B, maka A∼B, tetapi jika A∼B belum tentu himpunan A sama dengan B.
��������������
��������������� ������ 6
Dua Himpunan Beririsan
Misalkan A=�1,2,3,4,5,6� dan B=�1,3,5,7,9�. Perhatikan masing-masing
anggota dari kedua himpunan tersebut. 1, 3, dan 5 adalah anggota yang dimiliki
oleh A maupun B. Dengan kata lain, �1,3,5� adalah anggota persekutuan A dan
B, atau yang dapat ditulis A∩B=�1,3,5�. Simbol “A∩B” dibaca “A irisan B”.
Sedangkan gambar diagram Venn-nya adalah sebagai berikut.
Perhatikan daerah arsiran di atas, daerah tersebut adalah daerah yang
menunjukkan A∩B=�1,3,5�. ��������������� B∩A?
Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota
persekutuan himpunan A dan himpunan B, atau dengan kata lain, himpunan
yang anggota-anggotanya adalah semua anggota A yang sekaligus sebagai
anggota B. Atau didefinisikan juga sebagai berikut.
A∩B=�x|x ∈ A ∧ x ∈ B� atau A∩B=�x|x ∈ Adanx ∈ B� Gabungan Dua Himpunan
Gabungan himpunan A dan B (ditulis A∪B, dibaca A gabungan/union B)
adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau himpunan B, yang dapat
ditulis,
A∪B=�x|x ∈ A ∨ x ∈ B� atau A∪B=�x|x ∈ Aataux ∈ B� Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai
berikut.
�
�
�
�
�
�
����������������� B∪A?
S A B
S A B
��������������� ������ 7
Komplemen suatu Himpunan
Misalkan S adalah suatu himpunan semesta, maka komplemen himpunan
A (disimbolkan A9 atau A:, dibaca A komplemen) adalah himpunan dari semua
anggota himpunan semesta S yang bukan merupakan anggota A. Atau dapat
ditulis,
A9=�x|x ∈ S ∧ x ∉ A� atau A9=�x|x ∈ Sdanx ∉ A� Dengan demikian, maka
A⋃A9 = S, (A9)9 = A, S9 = ∅, dan ∅9 = S Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai
berikut.
Sebagaimana bunyi hukum de Morgan,
(A ∩ B)9 = A9 ∪ B9 dan (A ∪ B)9 = A9 ∩ B9 ���� ������������������������������ ����
Selisih Dua Himpunan
Himpunan A dikurangi himpunan B (ditulis A-B, dibaca A kurang B)
adalah himpunan dari anggota-anggota himpunan A yang bukan merupakan
anggota B. Atau dapat ditulis,
A − B = �x|x ∈ A ∧ x ∉ B� atau A − B = A ∩ B9 Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai
berikut.
S A B
S
A A9
��������������� ������ 8
Perkalian Dua Himpunan
Jika A dan B adalah dua buah himpunan tidak kosong, maka himpunan
hasil perkalian dari A ke B (produk Cartesius dari A ke B) adalah himpunan
semua pasangan berurutan (x,y) dengan x∈A, y∈B, atau yang dapat ditulis,
A × B = �(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B� Simbol “A × B” dibaca “A kros B, atau A kali B, atau A silang B”.
Dalam pasangan berurutan, sepasang x dan y, dengan x pada urutan pertama
dan y pada urutan kedua, ditulis (x,y). Yang harus diingat, bahwa pasangan
berurutan (x,y) berbeda dengan pasangan berurutan (y,x).
Contoh.
Misalkan A=�1,2,3� dan B=�a, b�, maka
AxB=�(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)�, sedangkan
BxA=�(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)� Perhatikan pada contoh tersebut, n(A)=3 dan n(B)=2, maka n(AxB)=3x2=6,
n(BxA)=2x3=6. ������������������������������� ��������
C. Sifat-sifat pada Operasi Himpunan
1. Komutatif
A � B = B � A dan A U B = B U A
2. Asosiatif
(A � B) � C = A � (B � C)
(A U B) U C = A U (B U C)
3. Distributif
A � (B U C) = (A � B) U (A � C)
A U (B � C) = (A U B) � (A U C)
4. Hukum de Morgan
(A ∩ B)9 = A9 ∪ B9 (A ∪ B)9 = A9 ∩ B9 ���� ������������������������������ ����
��������������� ������ 9
BAB II RELASI DAN FUNGSI
A. Relasi
Istilah relasi yang dapat diartikan ‘hubungan’, tentunya sudah sering kita
dengarkan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti hubungan ‘anak’ dengan ‘ayah’,
hubungan ‘guru’ dengan ‘murid’, dan masih banyak lagi. Dalam matematika,
untuk mendefinisikan sebuah relasi, perlu dipahami terlebih dahulu tentang
pengertian himpunan, pasangan berurutan, produk Cartesius, dan kalimat
terbuka. �������������������������������������������Untuk lebih jelasnya, perhatikan
kasus berikut.
Himpunan tiga siswa SMP, A=�Haysen, Haydar, Nisa� Himpunan nomor sepatu, B=�36,37,38,39,40� Deskripsi:
Haysen biasa menggunakan sepatu nomor 38, tetapi kadang pula
memakai sepatu nomor 39 jika lain mereknya. Sementara Haydar bernomor
sepatu 38. Dan Nisa bernomor sepatu 36, tetapi untuk merek tertentu, nomor
tersebut kekecilan untuk kakinya, sehingga harus memilih sepatu dengan nomor
37.
Analisis:
Dari deskripsi di atas, dapat kita tentukan suatu relasi dari himpunan A
(siswa SMP) ke himpunan B (nomor sepatu), yang relasinya disebut “nomor
sepatunya” atau “memakai sepatu nomor”. Jika relasi tersebut digambarkan
dalam diagram panah, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Tanda panah menyatakan pasangan anggota-anggota himpunan yang
berelasi, dan anak panah menunjukkan arah relasi tersebut, yaitu dari A ke B.
Haysen Haydar Nisa
36 37 38 39 40
A B
��������������� ������ 10
arah tersebut tidak boleh terbalik, karena relasi dari A ke B tidak sama dengan
relasi dari B ke A. �
Selain dalam bentuk diagram panah, relasi ini juga dapat dinyatakan
dalam bentuk pasangan berurutan, yaitu misalnya (Haysen,38), dan demikian
juga untuk pasangan-pasangan relasi yang lain. Jadi, jika relasi tersebut kita tulis
dalam bentuk pasangan berurutan, maka
R=�(Haysen, 38), (Haysen, 39), (Haydar, 38), (Nisa, 36), (Nisa, 37)� !���������������������������������������������������������
"���������������������������������������
Relasi (atau yang sering ditulis “R”) dengan suatu kalimat terbuka dari
himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya semua
pasangan berurutan (x,y), dengan x ∈ A dan y ∈ B, sedemikian hingga kalimat
terbuka tersebut menjadi bernilai benar.
Perlu diketahui, jika (a,b)∈R, artinya aRb, dan dibaca “a berelasi R dengan b”,
sedangkan jika (x,y)∉R, artinya xRy, dan dibaca “x tidak berelasi dengan y”.
Sedangkan, �36,37,38,39� dikatakan sebagai range (daerah hasil)
Selain menyatakan sebuah relasi dengan diagram panah dan pasangan
berurutan, dapat juga dinyatakan dalam bentuk diagram Koordinat/Grafik.
�
�
�
�
�
�
�
�
Dari contoh kasus di atas, maka diperoleh:
Domain (D)=�Haysen, Haydar, Nisa�=himpunan A
Kodomain (K)=�36,37,38,39,40�=himpunan B
Range (Rg)=�36,37,38,39� Jika kita perhatikan, relasi R dari A ke B, kemudian kita bandingkan dengan
produk Cartesius (perkalian himpunan) dari A ke B, jelaslah bahwa relasi R itu
merupakan himpunan bagian dari A x B.
A
B
36
37
38
39
40
Haysen Haydar Nisa
��������������� ������ 11
Dengan demikian, jika A dan B adalah himpunan yang diketahui, dan di
antara anggota-anggotanya ditentukan suatu relasi R dari A ke B, maka relasi R
ini merupakan himpunan bagian dari A x B. Domain dari relasi R tersebut adalah
himpunan bagian dari A yang terdiri dari elemen pertama dari semua pasangan
berurutan anggota R. Sedangkan range dari relasi R terdiri dari elemen kedua
pada semua pasangan berurutan pada R. Dapat juga dituliskan,
Domain = D =�x|x ∈ A, (x, y) ∈ R� Range= Rg =�y|y ∈ B, (x, y) ∈ R� Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B, yang didefinisikan
R=�(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, kalimatterbukaP(x, y)benar� selalu mempunyai relasi
invers RGH dari himpunan B ke himpunan A, yang didefinisikan RGH=�(y, x)|(x, y) ∈R�. Jadi, jika R sebuah relasi dari A ke B, maka RGH adalah sebuah relasi dari B
ke A. Unsur-unsur relasi RGH dicari berdasar pada, jika (x,y) ∈ R, maka (y,x) ∈
RGH, dengan titik (y,x) diperoleh dengan cara mencerminkan titik (x,y) terhadap
garis y=x. Akibatnya, titik (y,x) adalah peta (bayangan) titik(x,y) dalam
pencerminan terhadap garis y=x.
B. Fungsi
Perhatikan relasi ‘anaknya’ dari himpunan anak-anak (A) ke himpunan
ayah-ayahnya (B), sebagaimana ditunjukkan diagram panah berikut.
Setiap anak hanya mempunyai satu ayah, sehingga setiap anggota A
dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Relasi yang demikian, dinamakan
fungsi (pemetaan). Dengan kata lain, fungsi adalah suatu bentuk yang khusus
dari relasi.
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B, yang
disimbolkan, f: A → B.
Adi Budi Andi Dodi
Ahmad Kardi Karto Cokro
A B
��������������� ������ 12
Misalkan, f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, jadi f: A → B.
Grafik f ∗ dari fungsi f terdiri dari semua pasangan berurutan dengan a ∈ A
sebagai anggota pertama, dan petanya (bayangannya) adalah f(a) sebagai
anggota ke dua. Secara matematis, dapat dituliskan,
f ∗ = �(a, b)|a ∈ A, b = f(a)� Perlu diperhatikan, bahwa f ∗, yaitu grafik fungsi f: A → B adalah himpunan bagian
dari A x B.
f ∗ ⊂ A x B dan f ∗ memiliki sifat sebagai berikut:
1. Untuk setiap a∈ A, ada pasangan berurutan (a,b)∈ f ∗ 2. Tidak ada dua pasangan berurutan berlainan dalam f ∗ yang memilki elemen
pertama sama.
Dengan demikian, untuk setiap a∈ A ada tepat satu elemen b ∈ B, sedemikian
sehingga (a,b) ∈ f ∗. Sifat 1) menjamin bahwa tiap elemen a∈ A mempunyai peta
dalam himpunan B. Sedangkan sifat 2) menjamin bahwa peta ini adalah tunggal.
Dengan demikian, f ∗ mendefinisikan sebuah fungsi dari A ke B.
Jadi, ada korespondensi antara fungsi f: A → B dengan himpunan bagian
dalam A x B yang memiliki sifat 1) dan 2). Dengan kata lain, suatu fungsi f dari A
ke B adalah himpunan bagian dari A x B yang bersifat bahwa setiap a∈ A,
sebagai anggota pertama hanya dalam satu pasangan berurutan yang berada di
f ∗. Sama haknya pada relasi, dalam fungsi juga terdapat domain, kodomain, dan
range, yaitu jika f: A → B, maka
Domain = D = �x|x ∈ A, (x, y) ∈ f� Kodomain = K = B, f(A) ⊆ B
Range = Rg = �y|y ∈ B, (x, y) ∈ f = f(A)� Berdasarkan jenis range-nya, fungsi dibedakan menjadi beberapa macam.
��������������� ������ 13
Fungsi Into
Jika f: A → B dan f(A) ⊂ B, maka f dinamakan fungsi into. Hal ini berarti,
ada elemenB yang bukan merupakan peta (bayangan) dari elemen A.
Contoh:
f: A NOPQRST B
Fungi Onto
Jika f: A → B dan f(A) = B, maka f dinamakan fungsi onto. Hal ini berarti,
bahwa setiap b ∈B merupakan peta (bayangan) dari paling sedikitnya satu
elemen A.
Contoh:
f: A QOPQRST B
aH
aU
aV
�
A
bH
bU
bV
�
B
aH
aU
aV
�
A
bH
bU
B
��������������� ������ 14
Fungsi 1-1 (satu-satu)
Misalkan, f: A → B dan untuk setiap aH, aU ∈ A, dengan aH ≠ aUberlaku
f(aH) ≠ f(aU),maka dinamakan fungsi 1-1 (satu-satu).
Contoh:
1. f: A HGHRST B
2. f: A HGHRST B
Coba perhatikan kembali contoh no.1 dan 2 di atas, bandingkan! Kesimpulan apa
yang anda dapatkan?
Fungsi Konstan
Jika f: A → B bersifat bahwa setiap elemen A dipetakan pada satu elemen
B, maka f dinamakan fungsi konstan.
Contoh:
aH
aU
aV
�
A
bH
bU
bV
�
B
aH
aU
�H
A
bH
bU
bV
�
B
aH
aU
aV
�
A
b
B
��������������� ������ 15
Fungsi Identitas
Jika f: A → B dengan B = A dan f(a) = a, ∀a ∈ A, maka f dinamakan
fungsi identitas.
Contoh:
Misalkan, diketahui suatu fungsi f: A → Bdan b ∈ B, maka invers (terhadap fungsi
f) yang dilambangkan fGH(b) adalah himpunan anggota dalam X yang elemen
petanya adalah Y. Sehingga dapat dituliskan,
fGH = �x|x ∈ A, f(x) = b� Perlu diperhatikan bahwa fGH(b) ⊆ A, sedangkanfGHdibaca “invers fungsi f”.
Misalkanf: A → B. Pada umumnya fGH(b)dapat lebih dari satu elemen,
tetapi dapat pula kosong. Jika f: A → B suatu fungsi yang 1-1 dan onto (satu-satu
onto), maka untuk setiap b ∈ B, himpunan fGH(b)terdiri atas tepat satu elemen
dalam A. Dengan demikian, ada aturan yang mengaitkan tiap elemen b dalam B
dengan satu elemen tunggal fGH(b) di A. Akibatnya, fGH adalah sebuah fungsi
dari Bke A. Jadi, fGH: B → Aadalah suatu fungsi.
Jika f: A → B adalah fungsi 1-1 dan onto (1-1 onto), maka fGH: B → A
adalah sebuah fungsi juga. Jika demikian halnya, maka disebut fungsi invertible.
aH
aU
aV
�
A
aH
aU
aV
�
B
��������������� ������ 16
BAB III SISTEM BILANGAN
Perhatikan tabel berikut!
Dalam matematika, sistem bilangan dapat diartikan sebagai himpunan
dari bilangan-bilangan, beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya,
seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya. Bilangan adalah suatu
unsur dalam matematika yang tidak didefinisikan. Bilangan dibedakan antara nilai
dan lambangnya. Bilangan adalah suatu hal yang penting dalam matematika,
matematika tidak akan terlepas dari bilangan.
Sistem bilangan setidaknya, meliputi: bilangan asli, bilangan cacah,
bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, serta bilangan kompleks. Coba
Anda perhatikan kembali tabel di atas!
A. Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang lebih besar dari 0
(nol). Himpunan bilangan ini dinotasikan dengan Z. Oleh karena itu dapat
dituliskan dengan,
Z= �1,2,3,4,5, … �
Bilangan
Kompleks (C)
Bilangan Real
(R)
Bilangan
Rasional (Q)
Bilangan Bulat
Bilangan
Cacah (c)
Bilangan Asli
(N)
Bilangan
Genap
Bilangan
Ganjil
Bilangan
Prima (P)
Bilangan
Komposit
Bilangan Nol
Bilangan Bulat
Negatif
Pecahan
Pecahan
Positif
Pecahan
Negatif
Bilangan
Irrasional
Bilangan
Imajiner
��������������� ������ 17
Bilangan asli memiliki setidaknya 2 tujuan, yaitu 1) untuk menghitung (cardinal
number); 2) untuk menyatakan tingkatan (ordinal number).
Jika dalam himpunan tersebut ditambahkan dengan nol, maka menjadi himpunan
bilangan cacah, yaitu:
Z+�0�=�0,1,2,3,4,5,… �
B. Bilangan Bulat
Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya 0, adalah negatif 2
atau -2. Suhu di daerah kutub rata-rata 20o dibawah 0o dinyatakan -20o, untuk itu
kita harus memperluas himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan lain
yaitu dengan himpunan lawan dari bilangan asli atau himpunan bilangan bulat
negatif yang disebut bilangan bulat yaitu: {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}.
Sesuai dengan namanya, bulat, berarti tidak menyertakan pecahan, baik
itu positif, negatif, ataupun bilangan nol. Dalam bilangan bulat, dikatakan positif
jika bilangan tersebut lebih besar dari 0, dan dikatakan negatif jika bilangan
tersebut lebih kecil dari 0. ���������� ������ #� ���� �������� Bilangan nol kita
pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada suatu sistem numerasi, sehingga
kita dapat membedakan antara bilangan 21, 20, dan 201.�
Bilangan bulat dinotasikan dengan ℤ (Zahlen, German for numbers)
sehingga,
ℤ=�… ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,… � C. Bilangan Rasional
Jika pecahan tidak termasuk dalam bilangan bulat, maka ia dapat
dikelompokkan ke dalam bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan
yang dapat dinyatakan sebagai \], dimana a,b ∈ ℤ dan b≠0, dan diberi simbol ℚ
(quotient).
Bagaimana dengan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan \],
dimana a,b ∈ ℤ dan b≠0? Inilah yang disebut dengan bilangan irrasional (ℚ:), seperti √2, `, dan a. Jika kita perhatikan tidak semua desimal adalah merupakan
bilangan rasional. ������������������$��������� �������
��������������� ������ 18
D. Bilangan Real
Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional adalah
bilangan real, dan dinotasikan ℝ. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan
cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan real,
maka himpunan titik-titik pada garis bilangan (grafik Cartesius) dapat
dikorespondensikan satu-satu dengan setiap bilangan real.
Bilangan real dapat diilustrasikan dalam sebuah diagram Venn, sebagai
berikut.
Jika kita mendengar bilangan real, apakah ada bilangan yang unreal?
Ada, yaitu bilangan imajiner, seperti i = √−1. Bilangan imajiner ini banyak
dipakai pada bilangan kompleks.
E. Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks biasa digunakan dalam menyatakan sebuah vektor.
Sebuah vektor mempunyai besaran dan arah. Bilangan kompleks dapat
dinyatakan sebagai penjumlahan, selisih, atau hasil kali antara bilangan real
dengan bilangan imajiner. Contoh dari bilangan kompleks, seperti halnya: ai + b,
dimana a, b ∈ ℝ dan i ∈ bilangan imajiner.
F. Operasi pada Bilangan
Operasi hitung pada sistem bilangan ada 4 (empat) macam, yaitu operasi
tambah, operasi kurang, operasi kali, dan operasi bagi.
Yang menjadi dasar adalah operasi tambah. Pengurangan adalah operasi
invers dari operasi tambah, perkalian adalah penjumlahan berulang dan
pembagian adalah operasi invers dari perkalian. Selanjutnya keempat operasi itu
dikembangkan pula menjadi proses operasi perpangkatan dan operasi logaritma.
ℝ ℚ ℚ:
��������������� ������ 19
Sifat-sifat Operasi dalam Bilangan
1. Komutatif
a + b = b + a
a x b = b x a
2. Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c )
3. Distributif
(a + b) x c = (a x c) + (b x c)
(a – b) x c = (a x c) – (b x c)
(a + b) : c = (a : c ) + (b : c)
(a – b) : c = (a : c) – (b : c)
Pangkat Rasional
1. Pangkat bulat positif � an
• am x an = am+n
• am : an = am-n
• (am)n = amxn
• (ab)n = an x bn
• c\]d n = c\e]ed 2. Pangkat bulat negatif dan nol
• aGO = H\e
• aQ = 1
3. Pangkat pecahan dan bentuk akar
• afe = √ae
• aeg = √aOg
Bentuk akar
• a√n + b√n = (a + b) √n
��������������� ������ 20
ax + b = c, dimana a ≠ 0
BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. PERSAMAAN LINEAR
Apa yang dimaksud dengan persamaan linear? Dasar dari suatu
persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua buah
ungkapan yaitu pada ruas kanan dan ruas kiri yang dipisahkan oleh tanda “=”
(sama dengan). Sedangkan linear artinya “lurus”. Dengan demikian, persamaan
linear adalah sebuah persamaan yang jika digambarkan dalam sebuah grafik,
grafiknya akan berbentuk garis lurus. Hal ini karena dalam persamaan linear hanya
ada satu variabel peubah, yang jika varibel tersebut disubstitusikan ke dalam
persamaan (pernyataan matematika), menyebabkan persamaan (pernyataan
matematika) tersebut bernilai benar.
Contoh bentuk-bentuk persamaan linear:
1. x = 10
2. 4x + 1 = 16
3. 3x + 2 = x + 29
Perhatikan kembali ketiga contoh di atas!
Nilai x adalah nilai yang belum diketahui, yang dalam sebuah persamaan disebut
sebagai variabel. Sebuah penyalesaian dari suatu persamaan adalah sebuah atau
sebarang bilangan (nilai) pengganti variabel yang jika disubstitusikan ke dalam
persaman linear, menjadikan persamaan/pernyataan matematika tersebut bernilai
benar. !��� ����� %���� %!��! � ������ ��������� ������ ���������� ������ � �������
�� ������������
Berdasarkan pada banyaknya macam variabel yang harus dicari nilainya
dalam sebuah persamaan linear, persamaan linear ada beberapa macam. Mulai
dari persamaan linear dengan satu variabel, persamaan linear dengan dua
variabel, dan seterusnya. Akan tetapi sebagai batasan, dalam kesempatan ini, kita
hanya akan membahas mengenai persamaan linear dengan satu variabel.
Adapun bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel:
��������������� ������ 21
Contoh:
1. 5x = 45, persamaan ini mempunyai penyelesaian bilangan 9. Karena 5(9)=45
adalah benar. Bilangan -8 bukan sebuah penyelesaian dari 5x = 45, karena 5(-
8)=45 adalah salah.
2. 3z + 12 = 2z + 7, jika kita selesaikan persamaan ini, maka mempunyai
penyelesaian -5, karena 3(-5)+12=2(-5)+7 adalah sebuah pernyataan yang
benar.
Dalam rangka menyelesaikan sebuah bentuk persamaan linear (mencari
nilai variabelnya), ada dua prinsip yang dapat kita gunakan, yaitu:
1. Prinsip penjumlahan/pengurangan
Untuk sebarang bilangan real, a, b, dan c, jika a = b maka
a+c = b+c, menjumlahkan kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang
sama
a-c = b-c, mengurangi kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang
sama
2. Prinsip perkalian/pembagian
Untuk sebarang bilangan real, a, b, dan c, jika a = b maka
a.c = b.c, mengalikan kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang
sama
\9 =
]9, membagi kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang sama
Contoh:
1. Selesaikanlah 3x + 19 = 31
Penyelesaian:
3x + 19 = 31
3x + 19 − 19 = 31 − 19, kedua ruas dikurangi dengan bilangan yang sama,
yaitu 19
3x = 12
cHVd 3x = cHVd 12, kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama,
yaitu HV
x = 4
��������������� ������ 22
2. Selesaikanlah 3(y − 1) − 1 = 2 − 5(y + 5) Penyelesaian:
3(y − 1) − 1 = 2 − 5(y + 5) 3y − 3 − 1 = 2 − 5y − 25, sifat distribusi
3y − 4 = −5y − 23
3y − 4 + 4 = −5y − 23 + 4, kedua ruas ditambah 4
3y = −5y − 19
3y + sy = −5y − 19 + 5y, kedua ruas ditambah 5y 8y = −19
cHid 8y = cHid − 19, kedua ruas dikalikan
Hi
y = −198
Persamaan Ekuivalen
Perhatikan contoh berikut!
4x = 16
−5x = −20
2x + 7 = 15
3x − 5 = x + 3
Keempat persamaan tersebut dikatakan ekuivalen, karena mempunyai
penyelesaian yang sama, yaitu �x|x = 4�. Persamaan Pecahan
Yang membedakan disini, hanya karena bentuk persamaan linear-nya
menggunakan unsur bilangan pecahan, contoh:
jGUk + j
V =Hk
!�����������������������������������
��������������� ������ 23
Persamaan dengan Harga Mutlak
Harga mutlak dari sebuah bilangan real xselalu bernilai positif atau nol.
|x| =
Contoh:
1. |23|=23=|-23|
2. |-41|=-(-41)=41
3. |0|=0
Contoh:
Selesaikan |x − 2| = 3
Penyelesaian:
|x − 2| = 3, persamaan ini mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu
x − 2 = 3 atau – (x − 2) = 3
masing-masing persamaan merupakan bagian dari penyelesaian.
I. x − 2 = 3
x − 2 + 2 = 3 + 2
x = 5, baru salah satu dari penyelesaian
II. – (x − 2) = 3
−x + 2 − 2 = 3 − 2
−x = 1
x = −1, kedua ruas dibagi dengan -1
Dari persamaan I) dan II) diperoleh himpunan penyelesaian, yaitu �5, −1� ���������������
x, jika x ≥ 0
-x, jika x < 0
��������������� ������ 24
B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Sebagaimana telah diungkapkan pada bagian terdahulu, bahwa
persamaan linear adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua
buah ungkapan yaitu pada ruas kanan dan ruas kiri yang dipisahkan oleh tanda “=”
(sama dengan), yang jika digambarkan dalam sebuah grafik, maka akan
menghasilkan garis linear/lurus. Sekarang apa bedanya dengan pertidaksamaan
linear? Yang membedakan hanya tanda pemisah antara pernyataan di ruas kanan
dan kiri. Apa yang dimaksud pertidaksamaan? Pertidaksamaan, disimbolkan
dengan ≠.
Ini artinya dapat berupa:
simbol dibaca:
> lebih dari atau lebih besar
< kurang dari atau lebih kecil
≥ lebih dari atau sama dengan
≤ kurang dari atau sama dengan
Lambang-lambang tersebut digunakan pada materi pertidaksamaan. Pada
kesempatan ini, hanya akan membahas materi pertidaksamaan linear satu
peubah.
Pertidaksamaan linear dengan satu peubah adalah pertidaksamaan yang
hanya mempunyai satu peubah, misalnya x saja, y saja, atau z saja, ataupun
dengan nama variabel lain, dengan pangkat tertinggi peubahnya adalah satu.
Adapun prinsip-prinsip operasi bilangan yang berlaku disini, sama dengan
prinsip yang berlaku pada persamaan linear, hanya saja ada sedikit perbedaan
yaitu, pada prinsip perkalian/pembagian, jika kedua ruas dikalikan/dibagi dengan
bilangan negatif yang sama, maka “tanda” harus diubah dari < atau ≤ menjadi >
atau ≥, ataupun sebaliknya (menyesuaikan).
Contoh:
Menggunakan prinsip penjumlahan/pengurangan
1. 13 > 7
13 + 5 > 7 + 5, kedua ruas ditambah dengan 5
18 > 12
2. a + 1 < 5
a + 1 − 1 < 5 − 1, kedua ruas ditambah dengan -1
a < 4
��������������� ������ 25
Contoh:
Menggunakan prinsip perkalian/pembagian
1. 12 < 17
5(12) < 5(17), kedua ruas dikalikan dengan 5
60 < 85
2. 10 > 4
−7(10) < −7(4), kedua ruas dikalikan dengan-7
−70 < −28
3. 6 < 9
− HV (6) > −
HV (9), kedua ruas dikalikan dengan − H
V
−2 > −3
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaiannya, 3x − 5 < x + 2
Penyelesaian:
3x − 5 < x + 2
3x − 5 + 5 < x + 2 + 5, kedua ruas ditambah dengan 5
3x < x + 7
3x − x < x − x + 7, kedua ruas ditambah dengan –x
2x < 7
HU (2x) <
HU (7), kedua ruas dikalikan dengan
HU
x < 312
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah px|x < 3 HUq. Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari 2 < x + 5 < 9
Penyelesaian:
2 < x + 5 < 9
Untuk menyelesaikan soal ini, ada dua langkah, karena pada soal ini
menggunakan kombinasi pertidaksamaan.
��������������� ������ 26
Langkah 1
2 < x + 5
2 − 2 < x + 5 − 2, kedua ruas ditambah dengan -2
0 < x + 3
0 − x < x − x + 3, kedua ruas ditambah dengan –x
−x < 3
−1(−x) > −1(3), kedua ruas dikalikan dengan -1
x > −3 ……………………1)
Langkah 2
x + 5 < 9
x + 5 − 5 < 9 − 5, kedua ruas ditambah dengan -5
x < 4 ………………………2)
Dari 1) dan 2), didapat bahwa nilai x antara -3 dan 4
Sehingga dapat ditulis,
−3 < x < 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah �x| − 3 < x < 4�. "������ ������������������%������������ ���� �����%!������������������
PERTIDAKSAMAAN BENTUK PECAHAN
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan ini, dapat
menggunakan perkalian peubah (variabel).
Contoh:
Selesaikan
z3 > 7 −
z4
Penyelesaian:
z3 > 7 −
z4
12 crVd > 12 c7 −rsd, kedua ruas dikalikan dengan 12\
4z > 84 − 3t 4z + 3z > 84 − 3t + 3t, kedua ruas ditambah dengan 3z
7z > 84
Hu (7z) >
Hu (84), kedua ruas dikalikan
Hu
z > 12
��������������� ������ 27
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari VvGH − 4 < 1 +
HvGH
Penyelesaian:
VvGH− 4 < 1 +
HvGH
(x − 1) c VvGH− 4d < (w − 1) c1 +
HvGHd, kedua ruas dikalikan dengan x-1
3 − 4(x − 1) < (x − 1) + 1
3 − 4x + 4 < x 7 − 4x < x 7 − 7 − 4x < x − 7, kedua ruas ditambah dengan -7
−4x < x − 7
−4x − x < x − x − 7, kedua ruas ditambah dengan –x
−5x < −7
cHkd (−5x) < cHkd (−7), kedua ruas dikalikan dengan
Hk
−x < − uk, jika kedua ruas dibagi dengan -1 maka
x > 75
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah px|x > ukq.
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DENGAN HARGA MUTLAK
Jika,
|x| < �, maka −a < x < �
|x| > �, maka x < −� atau x > �, untuk a > 0
Sebagai contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari xHGVvk x < 4
Penyelesaian:
y1 − 3x5 y < 4
−4 < HGVvk < 4, kedua ruas dikalikan dengan 5
−20 < 1 − 3x < 20
−20 − 1 < 1 − 1 − 3x < 20 − 1, kedua ruas ditambah dengan -1
−21 < −3x < 19
��������������� ������ 28
− HV (−21) >
HV (3x) > −
HV (19), kedua ruas dikalikan dengan − H
V
7 > x > −193
Jadi himpunan penyelesaiannya px| − HzV < w < 7q.
����� �%������������ ����� �������� �����%!������������������
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari |3 − 4x| > 5
Penyelesaian:
|3 − 4x| > 5
1. 3 − 4x > 5
3 − 3 − 4x > 5 − 3, kedua ruas ditambah -3
−4x > 2
c− Hsd (−4x) < c−
Hsd 2, kedua ruas dikalikan − H
s
x < − HU ………………………..1)
2. 3 − 4x < −5
3 − 3 − 4x < −5 − 3, kedua ruas ditambah -3
−4x < −8
c− Hsd (−4x) < c−
Hsd (−8), kedua ruas dikalikan − H
s
x > 2 ………………………….2)
Dari 1) dan 2) didapat himpunan penyelesaian dari |3 − 4x| > 5, yaitu
px|x < − 12 ataux > 2q.
����� �%������������ ����� �������� �����%!������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������������� ������ 29
BAB V DERET
Sebelum berbicara deret dan macam-macam deret bilangan, setidaknya
kita harus memahami terlebih dahulu mengenai barisan bilangan. Apa yang
dimaksud barisan bilangan?
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan
tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama
(suku pertama) uH, bilangan kedua (suku kedua) uU, bilangan ketiga (suku ketiga)
uV, …, dan bilangan ke-n (suku ke-n) adalah uO, maka barisan bilangan itu
dituliskan sebagai uH, uU, uV, …, u{, …, uO. Sebagai contoh: barisan bilangan,
1, 9, 25, 49, … atau dapat pula ditulis 1U, 3U, 5U, 7U, …
Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh bentuk uH+
uU+ uV+ …+ u{+ …, uO. Bentuk inilah yang kita kenal sebagai deret. Dalam
bentuk penjumlahan beruntun, uOjuga dapat disebut sebagai suku penjumlahan
yang ke-n. Jika n merupakan bilangan asli berhingga, maka deret tersebut
dinamakan sebagai deret berhingga.
A. Barisan dan Deret Aritmatika
Untuk mengenali ciri yang ada pada suatu barisan aritmatika, simaklah
barisan-barisan bilangan berikut ini.
a. 1, 6, 11, 16, …
b. 6, 4, 2, 0, …
Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan bilangan di atas
mempunyai ciri tertentu, yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai
nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam
dinamakan barisan aritmatika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda
dari barisan aritmatika tersebut, yang dilambangkan dengan b. Sebagai contoh:
a. Untuk barisan 1,6,11,16, …; beda b= 16-11 = 11-6 = 6-1 = 5
b. Untuk barisan 6, 4, 2, 0, …; beda b= 0-2 = 2-4 = 4-6 = -2
Dengan demikian, suatu barisan disebut barisan aritmatika, jika untuk
sebarang nilai n berlaku hubungan: uO - uOGH = b, dengan b adalah suatu
konstanta yang tidak bergantung pada n dan uO = a+(n-1)b.
��������������� ������ 30
Jika uH, uU, uV, …, uO, merupakan suku-suku barisan aritmatika, maka
bentuk uH+ uU+ uV+ …+ uO dinamakan sebagai deret aritmatika. Jumlah n
suku pertama dilambangkan dengan SO, dan SOditentukan oleh SO= uH+ uU+
uV+ …+ uOGU+ uOGH+ uO. Substitusi uH= a, uU= a+b, uV= a+2b, …, uOGU= uO-2b, dan uOGH= uO-
b, maka diperoleh:
SO= a+ (a + b)+ (a + 2b)+ …+ (uO − 2b)+ (uO − b)+ uO………..*)
Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan …*) itu dibalik, maka
diperoleh:
SO= uO+ (uO − b)+(uO − 2b) + …+ (a + 2b) + (a + b)+ a ………..**)
Jumlahkan masing-masing ruas kanan pada persamaan …*) dengan persamaan
…**), sehingga diperoleh:
2SO= (a+ uO) + (a+ uO) + (a+ uO) + (a+ uO)+ … + (a+ uO) + (a+ uO) + (a+ uO) 2SO= n(a+uO), sehingga
SO= OU (a + uO)
Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu
deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika uH+ uU+ uV+ …+ uOditentukan
dengan
SO= OU (a + uO)
Dengan n= banyaknya suku, a= suku pertama, dan uO= suku ke-n
Contoh:
Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … +60!
Penyelesaian:
Diketahui a= 2, b= 2, dan uO= 60, maka
60 = 2+(n-1)2
60 = 2n ⟺ n = 30
Sehingga SO= V}U (2 + 60) = 15 x 62 = 930.
Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … +60 adalah 930.
��������������� ������ 31
B. Barisan dan Deret Geometri
Untuk memahami ciri pada barisan geometri, simaklah barisan-barisan
bilangan berikut ini.
a. 2, 6, 18, 54, …
b. -32, 16, -18, 4, …
Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan bilangan tersebut
mempunyai ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai
nilai tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu dinamakan
sebagai barisan geometri dan perbandingan dua suku yang berurutan disebut
rasio (dilambangkan dengan r). Sebagai contoh, nilai rasio barisan-barisan di
atas dapat ditetapkan sebagai berikut.
a. r = ~U =
Hi~ =
ksHi = 3
b. r = H~GVU =
GiH~ =
sGi = − H
U
Dengan demikian, suatu barisan uH, uU, uV, …, uOdisebut barisan
geometri, jika untuk sebarang nilai n ∈ bilangan asli kurang dari n, maka berlaku
hubungan: �e�e�f = r, dengan r adalah suatu konstanta yang tidak bergantung
pada n.
Jika uH, uU, uV, …, uOmerupakan barisan geometri, maka uH+ uU+
uV+ …+ uOdinamakan deret geometri.
Misalkan bahwa jumlah n suku pertama dari deret geometri dilambangkan
dengan SO, maka
SO= uH+ uU+ uV+ …, uO SO= a+ ar+ arU …+ arOGH …………….*)
Kalikan persamaan …*) dengan r, maka diperoleh
rSO= ar+ arU + arV …+ arOGH+arO ………………..**)
Kurangkanlah masing-masing ruas pada persamaan …*) dengan persamaan
…**), sehingga diperoleh:
SO- rSO = a − arO
(1-r)SO= a(1-rO)
SO= \(HG�e)(HG�) atau SO=
\(�eGH)(�GH)
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, jumlah n suku pertama suatu deret
geometri dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.
��������������� ������ 32
Jumlah n suku pertama suatu deret geometri uH+ uU+ uV+ …+ uOditentukan
dengan
SO= \(HG�e)(HG�) atau SO=
\(�eGH)(�GH)
Dengan n= banyaknya suku, a= suku pertama, dan r= rasio
Contoh:
Hitung jumlah enam suku pertama pada deret geometri berikut ini!
a. 27 + 9 + 3 +…
b. 2 + 3 + zU + …
Penyelesaian:
a. 27 + 9 + 3 +…, deret geometri dengan a= 27 dan r= HV
S~= \(HG��)(HG�) =
Uu(HGcf�d�)(HGf�)
= UucHG f
���d��
= 40 sz
Jadi, jumlah enam suku pertama dari 27 + 9 + 3 +… adalah 40 sz b. 2 + 3 +
zU + …, deret geometri dengan a= 2 dan r=
VU
S~= \(��GH)(�GH) =
U(c��d�GH)
(��GH)= 41 z
H~
Jadi, jumlah enam suku pertama dari 2 + 3 + zU + … adalah 41 z
H~
C. Deret Geometri Tak Hingga
Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus
mendekati tak hingga, maka deret geometri semacam ini dinamakan sebagai
deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga ditulis sebagai berikut.
uH+ uU+ uV+ …+ uO+ … = a + ar + arU + arV +…+ arOGH +…
Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan S~ dan S~ diperoleh
dari SOdengan proses limit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai S~
ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
S~= \HG�
Deret geometri tak hingga a + ar + arU + arV +…+ arOGH +… dikatakan
1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika | r |< 1
2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r |> 1
