Embed Size (px)
Citation preview
i
MODUL
KONSEP DASAR MATEMATIKA SD
OLEH :
OLEH:
NI LUH GEDE KARANG WIDIASTUTI, S.Pd.,M.Pd NIDN. 08-1809-8602
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS DWIJENDRA
DENPASAR
2017
ii
KATA PENGANTAR
Puja dan Puji Syukur kami panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa,
karena atas Asung Kertha Wara Nugraha-Nya penulis dapat menyelesaikan Modul
mata kuliah Konsep Dasar Matematika SD. Undang-Undang menyatakan bahwa
pendidik adalah tenaga professional yang mampu membangun pembelajaran yang
menyenakngkan dan sesuai dengan karaketer peserta didik, melakukan bimbingan
dan pelatihan, serta melakukan penelitian dan pengabdian kepada masyarakat.
Dengan demikian, salah satu kompetensi yang mesti dimiliki seorang pendidik adalah
mampu merancang dan melaksanakan proses pembelajaran yang inovatif.
Modul Konsep Dasar Matematika SD ini disusun sebagai bahan ajar bagi
mahasiswa di lembaga pendidikan tenaga kependidikan. Penguasaan terhadap materi
modul ini diharapkan memberi mereka kemampuan untuk melaksanakan
pembelajaran yang ideal. Penulis menyadari bahwa di dalam modul ini mungkin saja
masih terdapat kekurangan dan ketidaksempurnaan. Untuk itu masukan dari pembaca
demi perbaikan modul ini di masa yang akan datang sangat diharapkan. Kepada
semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini penulis ucapkan
terima kasih. Kiranya karya ini dapat memberi manfaat kepada pembaca, dan
menorehkan secercah manfaat bagi peningkatan kualitas mahasiswa sebagai calon
pendidik yang profesional.
Denpasar, 2 Agustus 2017
Penulis
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I. LOGIKA MATEMATIKA....................................................................
1. Pengertian Logika…………………………...........................................
2. Pernyataan dan Bentuknya…………………..........................................
3. Operasi logika.........................................................................................
4. Tabel Kebenaran.......................................................................................
BAB II. HIMPUNAN......................................................................................... 1. Pengertian Himpunan..............................................................................
2. Penyajian Himpunan...............................................................................
3. Operasi Himpunan...............................................................................
BAB III. SISTEM NUMERISASI DAN KONSEP BILANGAN.......................
1. Pengertian Sistem Numerisasi..................................................................
2. Pengertian Bilangan……………………………………………………..
3. Jenis Bilangan...........................................................................................
BAB IV. GEOMETRI DATAR DAN RUANG..................................................
1. Geometri datar……...................................................................................
2. Geometri ruang…………………….........................................................
BAB V. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN…………………….......
1. Kalimat Terbuka………………………………………………………...
2. Persamaan Kuadrat……………………………………………………...
3. Pertidaksamaan Kuadrat………………………………………………...
BAB VI. RELASI DAN FUNGSI……………………………………………....
1. Pengertian Relasi……………………………...........................................
2. Pengertian Fungsi………………………………………..........................
DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................
ii
iii
1
1
1
2
2
14
14
15
16
24
24
30
31
38
38
64
73
73
74
78
82
82
84
90
1
BAB I
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat memahami dan
menjelaskan logika matematis.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Pengertian Logika Matematika
2. Pengertian Pernyataan dan Bentuknya
3. Operasi Logika
4. Tabel Kebenaran
C. URAIAN MATERI
C.1 PENGERTIAN LOGIKA
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan
pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal
tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari
metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara
berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu
menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika
hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan
penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
C.2 PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja
atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah
kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau
proposisi.
C.3 PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat
juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan
tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan
lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan
kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan
tunggal.
Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat
baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari
LOGIKA MATEMATIKA
2
pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-
komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal,
tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana
menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan
majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi
logika matematika.
Contoh:
1. Jakarta adalah ibukota negara RI
2. Merah putih adalah bendera negara RI
3. 2 adalah bilangan prima yang genap
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap
Soal:
Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai
kebenarannya!
C.4 OPERASI LOGIKA
Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ “
3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ “
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ “
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ “
Contoh pernyataan majemuk:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih
2. Ani dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini mendung atau cerah
4. Jika x = 0 maka x x2
5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya
sama
C.5 TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada
sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “
Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
3
Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu
pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p ~ p
B S
S B
Contoh:
p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi
konjungsi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai
benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S S
3. Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi
disjungsi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu
komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
4
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:
p q p q p q p q
B B B B B S
B S B B S B
S B B S B B
S S S S S S
4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut
implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan
konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p q
B B B
B S S
S B B
S S B
5. Operasi Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika ……
disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
5
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S B
C.6 BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:
1. Kontradiksi
2. Tautologi
3. Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh
substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal
tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Tautologi adalah
sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponen-komponennya. Kontingensi adalah sebuah pernyataan
majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh:
Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
( ~p q ) v ( q p )
p q ~ p ~ p q q p ( ~p q ) v ( q p )
B B S S B B
B S S S B B
S B B B S B
S S B S B B
Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu
tautologi
6
Soal:
Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau
kontingensi!
1. ( p q ) p
2. ( p q ) [ ( ~ q r ) ( r p ) ]
3. ( p v q ) ( ~ p q )
C.7 IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi
logis.
Contoh:
p q p q ( p q ) p [ ( p q ) p ] p
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama
disebut ekwivalen logis dengan notasi “ “ atau “ “
Contoh:
p q p q p q q p ( p q ) ( q p )
B B B B B B
B S S S B S
S B S B S S
S S B B B B
Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q ) ( q p ),
maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p q ( p q ) ( q p )
Soal:
Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!
1. [( p q ) v r ] [( p ~ q ) v r]
2. [ ~ ( p q )] ( p q )
7
C.8 KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut
kontraposisi
Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:
konvers
p q q p
invers kontraposisi invers
~p ~q ~q ~p
konvers
Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “
Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Soal:
Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-
siku
2. Jika x = 3 maka x2
= 9
C.9 PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu
kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat
tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ”
2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “
8
Contoh:
Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )
atau x, x + 3 > 5 ( B )
Jika x bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di
bawah ini!
1. ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )
2. ( x) ( y) (x + 2y = x)
3. ( x) ( y) ( x > y )
4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )
C.10 PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh pernyataan berkuantor:
1. Semua manusia fana
2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi
proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana”
maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi
dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x)
Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )
2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )
3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
C.11 NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan
berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah
“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “
Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
x, M(x) T x( ) , negasinya x, M(x) T(x)
Soal:
Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!
9
C.12 ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana
pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir
disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.
Contoh:
1. p q
2. p / q
1. ( p q ) ( r s )
2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r
1. p
2. q / p q
C.13 BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
Bukti keabsahan argumen dapat melalui:
1. Tabel Kebenaran
2. Aturan Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit
bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk
argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang
ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen
1. 1. p q
2. ~ q / ~p
2. 1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
p q ~p ~q p q [( p q) ~q] [(p q) ~q] ~p
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B
10
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah
Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
4. ( a b ) ( c d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl
6. ~ a v ~c 4,5 DD
C.14 ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP)
p q
p / q
2. Modus Tolens (MT)
p q
~q / ~p
3. Hypothetical Syllogisme (HS)
p q
q r / p r
4. Disjunctive Syllogisme (DS)
p v q
~ p / q
5. Constructive Dillema (CD)
( p q ) ( r s )
p v r / q v s
6. Destructive Dillema (DD)
( p q ) ( r s )
~ q v ~ s / ~p v ~r
7. Conjunction (Conj)
p
q / p q
11
8. Simplification (Simpl)
p q
p
9. Addition ( Add)
p
p v q
C.15 ATURAN PENGGANTIAN
1. De Morgan
a. ~ ( p q ) ~ p V ~ q
b. ~ ( p V q ) ~ p ~ q
2. Komutatif
a. ( p q ) ( q p )
b. ( p V q ) ( q V p )
3. Asosiatif
a. ( p V q ) V r p V ( q V r )
b. ( p q ) r p ( q r )
4. Distributif
a. ( p V q ) r ( p r ) V ( q r )
b. ( p q ) V r ( p V r ) ( q V r )
5. Dobel Negasi
~ ( ~ p ) p
6. Implikasi
p q ~ p V q
7. Material Equivalen
a. p q ( p q ) ( q p )
b. p q ( p q ) V ( ~ p ~ q )
8. Eksportasi
p ( q r ) ( p q ) r
9. Transposisi
p q ~ q ~ p
10. Tautologi
a. ( p v p ) p
b. ( p p ) p
C.16 HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN
1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )
12
x, B(x) R(x)
B(x)
R(x)
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
x, P(x) G(x) 2
P(x) G(x)
3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )
Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap
x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)
D. RINGKASAN MATERI
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan
pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal
tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari
metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara
berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu
menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Pernyataan adalah suatu
kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-
duanya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup,
kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi. Suatu kalimat selain
dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas
pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan
sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai
bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang
diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal. Dua
pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang
merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan
majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen
13
dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi
mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana
menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. Untuk
menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat
dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika
matematika. Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk
adalah 1) Negasi atau ingkaran, 2) Konjungsi, 3) Disjungsi, 4) Implikasi, dan 5)
Biimplikasi.
A. Tugas dan latihan
Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!
1. a ( b c )
2. c ( d e ) / a ( b d )
3. ( a b ) c
4. ( a b ) ( d e )
5. ~ ( a b ) V ( d e )
6. ( ~ a V ~ b ) V ( d e )
7. [(~ a V ~ b ) V d ] [(~ a V ~ b ) V e ]
8. (~ a V ~ b ) V d
9. ~ a V ( ~ b V d )
10. a ( b d )
B. Rambu-rambu jawaban
1, Eksportasi
3,10, Hypothetical Syllogisme
4, Implikasi
5, De Morgan
6, Distribusi
7, Simplifikasi
8, Asosiasi
9, Implikasi
14
BAB II
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat memahami dan
mengaplikasikan konsep himpunan.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Pengertian himpunan
2. Penyajian himpunan
3. Operasi himpunan
C. URAIAN MATERI
C.1 Pengertian Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang didefenisikan dengan
jelas. Objek-objek itu kemudian disebut anggota atau elemen yang biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil, obyek dilambangkan : a, b, c, ..... z
Himpunan biasanya di notasikan dengan huruf kapital atau secara umum himpunan
dilambangkan : A, B, C, ...... Z
Notasi :
p ϵ A p anggota A
A B A himpunan bagian dari B
A = B himpunan A sama dengan B
ingkaran
Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap
anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai P Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai Q P dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .
Contoh
Mahasiswa semester dua dari jurusan manajemen informatika di STMIK
Jenderal Achmad Yani merupakan anggota dari himpunan jurusan manajemen
informatika di STMIK Jenderal Achmad Yani (M). Jika P merupakan
himpunan mahasiswa semester dua tersebut, maka P merupakan himpunan
bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P M. Dapat pula ditulis sebagai
M P dan dibaca M superset dari P .
Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki
anggota bersama.
HIMPUNAN
15
Contoh
Himpunan mahasiswa D3 STMIK Jenderal Achmad Yani dan himpunan
dosen D3 STMIK Jenderal Achmad Yani merupakan himpunan yang saling
lepas.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan
dinyatakan sebagai { } atau .
Contoh 1.5.
A = { x x bilangan asli dan x < 1 } = .
Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali
dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta.
Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari
himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai
himpunan S atau U .
Contoh.
Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N
dan himpunan bilangan bulat Z .
Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang
benar-benar sama.
Contoh
{ x x + 2 = 4 } = { y 3 y = 6 }.
C.2 PENYAJIAN HIMPUNAN
1. Enumerasi
Menyajikan himpunan dengan menuliskan semua elemen himpunan yang
bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan
diberi nama dengan huruf kapital.
Contoh:
Himpunan A yang berisi lima anggota 1, 2, 3, 4, 5 dapat ditulis: A =
{1,2,3,4,5}
Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positip pertama dapat
ditulis: B = {2, 4,6,8,10}
2. Notasi Pembentuk Himpunan
Cara penyajian himpunan ini dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan
(set builder), dan himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi
oleh anggotanya.
16
Notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:
Bagian di kiri `|` tanda melambangkan elemen himpunan
Tanda `|` dibaca dimana atau sedemikian sehingga
Bagian di kanan tanda `|` menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
Setiap tanda `,` di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan
sebagai
A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas
A = {x | x ϵ P, x < 5}
2. B adalah himpunan bilangan genap positip yang lebih kecil atau sama dengan
8, dinyatakan sebagai
B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif yang kecil atau sama
dengan 8}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas
B = {x | x ϵ P, x ≤ 8}
3. Diagram Venn
Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh John Venn dari Inggris pada
tahun 1881. Di dalam diagram venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai
suatu segi empat, sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di
dalam segi empat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam
lingkaran yang lain pula. Ada kemungkinan dua himpunan mempunyai anggota yang
sama, dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U
yang tidak termasuk di dalam himpunan manapun digambarkan di luar lingkaran.
Contoh:
C.3 OPERASI HIMPUNAN
Dalam pelajaran aljabar dikenal operasi hitung seperti penjumlahan,
perkalian, pengurangan, pembagian, operasi itu membentuk bilangan baru dari
U
A B
17
bilangan yang diketahui. Demikian juga dengan operasi himpunan. Pengertian
operasi pada himpunan tidak berbeda dengan operasi pada bilangan.
Operasi pada himpunan adalah cara membentuk himpunan baru dari
himpunan-himpunan yang diketahui. Operasinya ada yang berbentuk uner dan ada
yang berbentuk biner. Operasi uner, bila himpunan baru tersebut dari satu himpunan
yang diketahui dan operasi biner bila himpunan baru diperoleh dari dua himpunan.
1. Gabungan Himpunan (Union)
Gabungan dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan ”A U B”
adalah himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau
anggota B atau anggota kedua-duanya. ”A U B” dibaca A gabungan B atau gabungan
A dan B.
Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A U B =
BdanAxatauBxatauAxx , dan jika dinyatakan dengan diagram Venn
maka daerah yang diarsir merupakan daerah gabungan.
Diagram Venn A U B
Contoh 1.
Jika A = cba ,,
B = edc ,,
Maka A U B = dcba ,,,,
Diagram Vennnya
A U B
Contoh 2.
Jika A = 4,3,2,1 dan
B = 6,5,4,3,2,1 berarti A B
Maka A U B = 6,5,4,3,2,1 = B
A B
a
b
d
c
e
18
Diagram Vennnya
Gambar 2
A B A U B = B
AUB
Contoh 3.
Jika A = 3,2,1 dan B = 6,5,4 , maka A U B = 6,5,4,3,2,1
Diagram Vennnya
A U B
Contoh 4.
Jika A = cba ,, , maka A U A = cba ,,
Demikian juga A U = cba ,,
Jadi A U A = A dan A U = A
Contoh 5.
Jika A = cba ,, dan L = edcba ,,,,
Maka A U L = edcba ,,,,
Jadi A U L = L
2. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B, yang dilambangkan dengan ”A ∩ B” adalah
himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan A dan anggota
himpunan B, atau dengan kata lain anggotanya adalah anggota sekutu A dan B. ”A ∩
.B .A
.5
.6
.2
.3 .1
.4
A B
.1
.2
.3
.4
.5
.6
19
B” dibaca ”A irisan B” atau ”irisan A dan B”. Jika dinyatakan dengan notasi
pembentuk himpunan maka A B = { x x A dan x B }
Jika dinyatakan dengan dengan diagram Venn, irisan himpunan A dan B
ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.
A ∩ B
Contoh 6.
Jika A = 3,2,1 dan B = 6,5,4,3 , maka A ∩ B = ?.
Diagram Venn
Contoh 7.
Jika A = cba ,, dan B = fed ,, , maka A ∩ B =
Diagram Venn
A B
Irisan A dan B tidak ada , hubungan antara A dan B adalah himpunan lepas,
yang berarti A B A ∩ B =
A B
.1
.2
.4
.5
.3
.6
A B
.a
.b
.c
.d
.e
.f
20
Contoh 8.
Jika A = 5,4,3,2,1 dan B = 8aslibilanganxx
Maka A ∩ B = 5,4,3,2,1 = A
Diagram Venn
Ternyata A merupakan bagian B sehingga A ∩ B = A
Contoh 9.
Jika A = uia ,, maka A ∩ A = uia ,, = A dan bila A ∩ = , berarti tidak ada
anggotanya. Jadi A ∩ A = A dan A ∩ = .
Contoh 10.
Jika U = 5,4,3,2,1 dan A = 3,2,1 maka A ∩ S = ?
U = himpunan semesta. Jadi A ∩ U = ?.
3. Selisih
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A -
B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang
bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B = { x x A dan x B }.
Jelas bahwa
B - A = { x x B dan x A }.
Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B,
ditulis sebagai A B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota
gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A
dan B.
A B = ( A B ) – ( A B )
atau
A B = ( A – B ) ( B - A ).
B A
.6
.7
.2 A
.3 .1
.4 .5
21
4. Complement
Jika U adalah himpunan semesta dan himpunan A U, komplemen dari A,
ditulis A’, adalah himpunan dari semua anggota U yang bukan merupakan anggota
A .
A’ = { x x A }
C.4 PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN
Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda, maka S adalah
himpunan berhingga (finite set), dan n adalah kardinalitas (cardinality) dari S,
kardinalitas dari S dinyatakan sebagai n(S) atau S.
Contoh 1.
Hitung kardinalitas dari S =.{ 0,1,2,3,4,5}
jawaban n(S) = 6
Contoh 2.
Hitung kardinalitas dari M =.{ 0,1,2,3,4,5,4,3,2,1}
jawaban n(S) = ?
C.5 KAIDAH-KAIDAH DALAM OPERASI HIMPUNAN
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi
berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku
pada operasi himpunan tersebut.
Hukum Asosiatif ( A B ) C = A ( B C
)
( A B ) C = A ( B
C )
Hukum
Komutatif
A B = B A A B = B A
Hukum
Distributif
A ( B C ) = ( A B ) (A
C )
A ( B C ) = ( A B ) (A
C )
Hukum Involusi (A’) ’ = A
Hukum
Idempoten
A A = A A A = A
Hukum Identitas A = A A S = A
Hukum A A’ = S A A’ =
22
Komplemen
Hukum de
Morgan
( A B ) ‘ = A’ B’ ( A B )’ = A’ B’
E. RINGKASAN MATERI
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang didefenisikan dengan
jelas. Objek-objek itu kemudian disebut anggota atau elemen yang biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil, obyek dilambangkan : a, b, c, ..... z. Himpunan
biasanya di notasikan dengan huruf kapital atau secara umum himpunan
dilambangkan : A, B, C, ...... Z. Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari
himpunan Q, jika setiap anggota P merupakan anggota Q. Dua himpunan dikatakan
saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki anggota bersama. Himpunan
kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan sebagai { }
atau .
Dalam pelajaran aljabar dikenal operasi hitung seperti penjumlahan,
perkalian, pengurangan, pembagian, operasi itu membentuk bilangan baru dari
bilangan yang diketahui. Demikian juga dengan operasi himpunan. Pengertian
operasi pada himpunan tidak berbeda dengan operasi pada bilangan.Operasi pada
himpunan adalah cara membentuk himpunan baru dari himpunan-himpunan yang
diketahui. Operasinya ada yang berbentuk uner dan ada yang berbentuk biner.
Operasi uner, bila himpunan baru tersebut dari satu himpunan yang diketahui dan
operasi biner bila himpunan baru diperoleh dari dua himpunan.
Gabungan dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan ”A U B”
adalah himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau
anggota B atau anggota kedua-duanya. ”A U B” dibaca A gabungan B atau gabungan
A dan B. Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A U B =
BdanAxatauBxatauAxx , dan jika dinyatakan dengan diagram Venn
maka daerah yang diarsir merupakan daerah gabungan. Irisan himpunan A dan B,
yang dilambangkan dengan ”A ∩ B” adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri
dari anggota himpunan A dan anggota himpunan B, atau dengan kata lain anggotanya
adalah anggota sekutu A dan B. ”A ∩ B” dibaca ”A irisan B” atau ”irisan A dan B”.
Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A B = { x x A
dan x B }. Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis
sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota
himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jika U adalah himpunan
semesta dan himpunan A U, komplemen dari A, ditulis A’, adalah himpunan dari
semua anggota U yang bukan merupakan anggota A .
23
F. Tugas dan latihan
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa:
( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’ .
G. Rambu-rambu jawaban
Pernyataan
( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( (P’ )’ R’ )
(P’ )’ = P
( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( P R’ )
( P Q ) ( P R’ ) = P ( Q R’ )
( Q R’ ) = ( Q’ R )’
( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’
Alasan
hukum de Morgan
hukum involusi
substitusi
hukum distribusi
hukum de Morgan
substitusi
24
BAB III
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat menjelaskan
numerisasi dan mengoperasikan konsep bilangan.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Pengertian Sistem Numerisasi dan Jenisnya
2. Pengertian Bilangan
3. Jenis Bilangan
4. Operasi pada Bilangan
C. URAIAN MATERI
C.1 Sistem Numerasi
Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk
menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/
lambang bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral.
Menurut sejarah ketika manusia mulai mengenal tulisan (zaman sejarah) dan
melakukan kegiatan membilang atau mencacah, mereka bingung bagaimana
memberikan lambang bilangannya. Sehingga kemudian dibuatlah suatu sistem
numerasi yaitu sistem yang terdiri dari numerial (lambang bilangan/angka) dan
number (bilangan). Sistem numerasi adalah aturan untuk menyatakan/menuliskan
bilangan dengan menggunakan sejumlah lambang bilangan.
Bilangan sendiri itu adalah ide abstrak yang tidak didefinisikan. Setiap
Bilangan mempunyai banyak lambang bilangan. Satu lambang bilangan
menggambarkan satu bilangan. Setiap bilangan mempunyai banyak nama. Misalnya
bilangan 125 mempunyai nama bilangan seratus dua puluh lima. terdiri dari lambang
bilangan 1, 2, dan 5.
Beberapa konsep yang digunakan dalam sistem numerasi adalah:
1. Aturan Aditif : Tidak menggunakan aturan tempat dan nilai dari suatu lambang
didapat dari menjumlah nilai lambang-lambang pokok. Simbolnya sama nilainya
sama dimanapun letaknya
2. Aturan pengelompokan sederhana : Jika lambang yang digunakan mempunyai
nilai-nilai n0, n1, n2,… dan mempunyai aturan aditif
3. Aturan tempat : Jika lambang-lambang yang sama tetapi tempatnya beda
mempunyai nilai yang berbeda
SISTEM NUMERISASI DAN KONSEP BILANGAN
25
4. Aturan Multiplikatif : Jika mempunyai suatu basis (misal b), maka mempunyai
lambang-lambang bilangan 0,1,2,3,..,b-1 dan mempunyai lambang untuk b2, b3,
b4,.. dan seterusnya.
C.1.1 Sistem Numerasi Mesir Kuno Mesir (±3000 SM)
Bangsa Mesir Kuno telah mengenal alat tulis sederhana menyerupai
kertasyang disebut papyrus. Mereka membuat tulisan berbentuk gambar-gambar
dengan menggunakan sejenis pena sengan tinta berwarna hitam atau merah. Tulisan
Mesir Kuno sering diesebut tulisan Hieroglif, dan tulisan ini ditemukan dalam bentuk
gambar pada papyrus ataupun guratan pada batu atau potongan kayu.Tulisan Mesir
Kuno diperkirakan berkembang pada tahun 3400 S.M. Tulisan pada zaman mesir ini
ditulis dari kata papu yaitu semacam tanaman. Sistem Numerasi Mesir Mesir Kuno
bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai
lambang-lambangnya.
Astronished man ( orang astronis )
Vertical staff
Heel Bone ( tulang lutut )
Scrool ( gulungan surat )
Lotus flower ( bunga teratai )
Pointing finger ( telunjuk )
Polliwing / burbot ( berusu )
C.1.2 Sistem Numerasi Babilonia (±2000 SM)
Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada tablet
yang terbuat dari tanah liat (clay tablets). Tulisan atau angka Babilonia sering disebut
sebagai tulisan paku karena berbentuk seperti paku. Orang Babilonia menuliskan
huruf paku menggunakan tongkat yang berbentuk segitiga yang memanjang (prisma
segitiga) dengan cara manekankannya pada lempengan tanah yang masih basah
sehingga dihasilkan cekungan segitiga yang meruncing menyerupai gambar paku.
Pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.
Sistem angka babilonia (sekitar 2400 SM) disebut juga sistem sexagesimal,
karena menggunakan basis 60 yang diambil dari Sumeria. Sexagesimal masih ada
sampai saat ini, dalam bentuk derajat, menit, dan detik di dalam trigonometri dan
pengukuran waktu yang merupakan warisan budaya Babilonia.
Berbeda dengan sistem Mesir kuno, sistem Babilonia mengutamakan posisi.
Untuk bilangan lebih dari 60, lambang mendahului lambang , dan sebarang lambang
di sebelah kiri mempunyai nilai 60 kali nilai hasilnya,
Sistem angka babilonia tidak memiliki angka nol, mereka menggunakan spasi untuk
menandai tidak adanya angka dalam nilai tempat tertentu.
Ciri-ciri Sistem Numerasi Babilonia :
26
1. menggunakan basis 60
2. menggunakan nilai tempat
3. simbol-simbol yang digunakan adalah ▼ dan <
4. tidak mengenal simbol 0 (nol)
C.1.3 Sistem Yunani Kuno (±600 SM)
Zaman keemasan bangsa yunani kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600
S.M Bangsa Yunani telah mengenal huruf dan angka yang ditandai dengan tulisan-
tulisan bangsa Yunani pada kulit kayu atau logam sehingga bentuk tulisannya pun
terlihat kaku dan kuat.
Ada 2 macam sistem yunani kuno:
Yunani kuno attik
Sistem numerasi ini berkembang sekitar abad 300 S.M. dan dikenal sebagai
angka acrophonic karena simbol berasal dari huruf pertama dari kata-kata yang
mewakili simbol: lima, puluhan, ratusan, ribuan dan puluh ribuan. Tulisan ini
ditemukan di daerah reruntuhan Yunani yang bernama Attika. Sistem numerasi attik
dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan
lambang tongkat.
Lambang-lambang lain yang mendasari sistem ini, yaitu:
1 Ι
10 Δ [Deka]
100 Η [Hɛkaton]
1000 Χ [K ʰ ilioi / k ʰ ilias]
10000 Μ[Myrion]
Dalam sistem numerasi ini, lambang nol belum ada. Sistem numerasi ini adalah
sistem numerasi aditif dan multiplikatif. Multiplikatif terlihat pada penggunaan
lambang dimana setiap lambang dasar yang sama dapat disingkat dengan
menggunakan lambang tersebut.
Contoh Penulisan Multiplikatif :
23 = Δ ΔIII
45 = Δ Δ Δ Δ┌
50 = Δ Δ Δ Δ Δ atau éΔ
120 = H Δ Δ
1234 = XHH Δ Δ ΔIIII
43210 =MMMMXXX HH Δ
27
Yunani kuno alfabetik
Digunakan setelah S.N. Yunani kuno attic, Kira-kira tahun 450 SM. bangsa
Ionia dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani
sendiri yang terdiri dari 27 huruf. Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10.
Lambang yang digunakan dalam Sistem Numerasi Yunani Kuno Alfabetik
1 = α alpha 10 = ι iola 100 = ρ rho
2 = β beta 20 = κ kappa 200 = σ sigma
3 = γ gamma 30 = λ lambda 300 = τ tau
4 = δ delta 40 = μ mu 400 = υ upsilon
5 = ε epsilon 50 = ν nu 500 = φ phi
6 = ζ obselet digamma 60 = ξ xi 600 = χ chi
7 = ι zeta 70 = ο omicron 700 = ψ psi
8 = η eta 80 = π pi 800 = ω omega
9 = θ theta 90 = ά obselet koppa 900 = Ў obselet sampi
Aturan penulisan Sistem Yunani Kuno Alfabetik
· Bilangan yang terdiri dari 2 (dua) digit caranya dengan menjumlahkan angka
puluhan dengan angka satuan.
Contoh:
19 = 10 + 9 = iq
iv23 = 20 + 3 = Àg
78 = 70 + 8 = oh
· Bilangan yang terdiri dari 3 (tiga) digit caranya dengan menjumlahkan angka
ratusan dengan angka puluhan dengan angka satuan.
Contoh:
174 = 100+70+4 =rod
448 = 400+40+8 =umh
789 = 700+80+9 =jpq
· Bilangan yang terdiri dari 4 (empat) digit atau ribuan, dengan cara membubuhi
tanda aksen (‘).
Contoh:
1000 = a’
3734 = g’jld
1287 = a’spz
· Bilangan yang terdiri dari 5 (lima) digit atau lebih, dengan menaruh angka yang
bersangkutan di atas tanda M.
Contoh:
23734 = β Mg’jld
231578 =Àg Ma’foh
28
C.1.4 Sistem Numerasi Maya (300 S.M)
Tulisan atau angka yang dekembangkan bangsa Maya bentuknya sangat aneh,
berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Alat tulis yang diapakai yaitu tongkat
yang penampangnya lindris (bulat), sehingga dengan cara menusukkan tongkat ke
tanah liat akan berbekas lingkaran atau dengan meletakkan tongkat mereka sehingga
berbekas garis.
Ciri- ciri Sistem Numerasi Maya :
menggunakan basis 20
2) mengenal simbol 0 (nol)
3) ditulis secara tegak atau vertical
Tulisan atau angka yang dekembangkan bangsa Maya bentuknya berupa
bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Alat tulis yang diapakai yaitu tongkat yang
penampangnya lindris (bulat).
Berbasis 20 dan ditulis secara tegak. Suku bangsa Maya sudah mengenal
bilangan tak hingga.
Contoh: menulis 258.458 dalam bilangan Maya
1(20)4 = 160.000
12(20)3= 96.000
6(20)2 = 2.400
2(20)1 = 40
18(20)0 = 18 +
258.458
C.1.5 Sistem Numerasi Cina (±200 SM)
Sistem numerasi ini telah ada sejak tahun 200 S.M. Bangsa Cina menuliskan
angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya
menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai
nilai seni tinggi.
C.1.6 Sistem Numerasi Jepang-Cina (±200 SM)
Sistem numerasi ini telah ada sejak tahun 200 S.M. Bangsa Cina menuliskan
angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya
menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai
nilai seni tinggi. Sistem angka Cina disebut dengan sistem “batang”, mempunyai nilai
tempat, berkembang sekitar 213 SM. Bangsa Cina menggunakan tiga sistem
penomoran, yaitu: sistem Hindu-Arab, dan dua lainnya menggunakan penomoran
bilangan setempat (disebut Daxie) yang dibedakan untuk keperluan komersil dan
financial demi menghindari pemalsuan.
Adapun Jepang, juga menggunakan sistem angka Cina, meskipun berbeda dalam
pelafalannya. Setelah kekaisaran Jepang mulai dipengaruhi Eropa, sistem angka Arab
29
mulai digunakan. Pada sistem bilangan bahasa Jepang, angka dibagi menjadi
kelompok 4 digit. Jadi bilangan seperti 10.000.000 (sepuluh juta) sebetulnya dibaca
sebagai 1000.0000 (seribu puluh-ribu). Hanya saja, karena pengaruh dunia barat
angka selalu ditulis dengan pengelompokan 3 digit gaya barat.
一
Ichi
Satu
二
Ni
Dua
三
San
Tiga
四
Yon
Empat
五
Go
Lima
六
Roku
Enam
七
Nana
Tujuh
八
Hachi
Delapan
九
Kyu
Sembilan
十
Ju
Sepuluh
C.1.7 Sistem Numerasi Romawi (±100 SM)
Bangsa Romawi menggunakan angka-angka untuk perhitungan -
perhitungannya. Lambang bilangan Romawi ditulis menggunakan huruf besar yang
sejalan dengan pemikiran orang-orang Yunani. Pada zaman dahulu kala orang
Romawi Kuno menggunakan penomeran tersendiri yang sangat berbeda dengan
sistem penomeran pada jaman seperti sekarang. Angka romawi hanya terdiri dari 7
nomor dengan simbol huruf tertentu di mana setiap huruf melangbangkan / memiliki
arti angka tertentu.
Sistem angka Romawi berkembang sekitar permulaan tahun 100 Masehi, yang
memiliki beberapa lambang dasar yaitu l, V, X, L, C, D, dan M yang masing-masing
menyatkan bilangan 1, 5, 10, 50, 100, 500, dan 1000. Sistem ini merupakan adaptasi
dari angka Etruscan. Penggunaan angka Romawi bertahan sampai runtuhnya
kekaisaran Romawi, sekitar abad ke-14, dan kemudian sebagian besar digantikan oleh
sistem Hindu-Arab.
Berikut ini simbol Sistem Numerasi Romawi :
I =1, I disebut UNUS
V =5 , V disebut QUINQUE
X =10, X disebut DECEM
L =50, L disebut QUINQUAGINTA
C =100, C disebut CENTUM
M =1000
Penjumlahan, jika lambang pada bagian kanan menyatakan bilangan yang
lebih kecil.
2. Pengurangan, jika lambang pada bagian kiri menyatakan bilangan yang
lebih kecil.
Contoh
CX = 100+10 = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun,jadi dijumlahkan)
XC = 100-10 = 90 (dari kiri ke kanan nilainya naik,jadi dikurangkan)
Adapun aturan resmi penggunaan huruf yang lain adalah sebagai berikut:
Huruf pengurangan hanyalah pangkat sepuluh, seperti l, X, dan C.
30
Kurangkan hanya satu huruf dari sebuah angka tunggal.
Jangan mengurangkan huruf dari huruf yang besarnya lebih dari sepuluh kali.
Aturan yang berlaku di Mesir, empay ditulis IV dan bukan IIII
Selama tahun pertengahan, angka Romawi N digunakan sebagai lambang
“nullae” yang menyatakan nol.
C.1.8 Sistem Numerasi Hindu-Arab (±300SM- 750 M)
Bangsa Hindu pada tahun 300 S.M diperkirakan sudah mempunyai angka-
angka dengan menggunakan bilangan basis 10, tetapi mereka belum mengenal
bilangan nol. Mereka mulai menggunakan sistem nilai tempat dan mengenal bilangan
nol diperkirakan terjadi pada tahun 500 M. Sistem numerasi Hindu-Arab
menggunakan sistem nilai tempat dengan basis 10 yang dipengaruhi oleh banyaknya
jari tangan, yaitu 10. Berasal dari bahasa latin decem yang artinya sepuluh, maka
sistem numerasi ini sering disebut sebagai sistem desimal.
Sistem Hindu-Arab berasal dari india sekitar 300 S.M dan mengalami banyak
perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani. Baru
sekitar tahun 750 sistem Hindu-Arab berkembang di Bagdad. Bukti sejarah hal ini
tertulis dalam buku karangan matematisi arab yang bernama Al- Khawarizmi yang
berjudul Liber Algorismi De Numero Indorum.
Sistem numerasi Hindu-Arab ini juga disebut dengan sistem numerasi desimal
(Ruseffendi, 1984). Dan menurut Troutman & Lichtenberg (1991) sistem numerasi
Hindu-Arab ini mempunyai karakteristik:
Menggunakan sepuluh macam angka yaitu 0 sampai dengan 9;
Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh.
Menggunakan sistem nilai tempat.
Menggunakan sistem penjumlahan dan perkalian.
C.2 Pengertian Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan
pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan
disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan
selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan
negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Bilangan
adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai
banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk
tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai
masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi
numeris.
Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran
bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang
31
mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai
keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi
numeris disebut sebagai aritmetika.
C.3 Macam-macam Bilangan
C.3.1 Bilangan Bulat
1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.
2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:
Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan
bulat.
Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
Sifat asosiatif
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
Mempunyai unsur identitas
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0)
merupakan unsur identitas pada penjumlahan.
Mempunyai invers
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a
adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.
3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).
4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
5. Jika p dan q bilangan bulat maka
p x q = pq;
(–p) x q = –(p x q) = –pq;
p x (–q) = –(p x q) = –pq;
(–p) x (–q) = p x q = pq.
6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat
tertutup terhadap operasi perkalian;
komutatif: p x q = q x p;
asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);
distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).
7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p
berlaku p x 1 = 1 x p = p.
8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
32
10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda
kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang
terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang
terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi
penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan
pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan
pengurangan (–).
Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik
negatif, nol dan positif.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….
C.3.2 Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.
Contoh :
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C.3.3 Bilangan Prima
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari
1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan
prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang
pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka
bilangan itu disebut bilangan komposit.
Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari
bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes Secara
matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima
adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah
257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan
bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan
bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013
yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama
dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.
Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan sail/asli yang hanya bisa dibagi
dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan
bilangan prima.
Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….
33
C.3.4 Bilangan Real
Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal,
seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti
42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat
direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah
bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi
ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik
“.”.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan
dengan R (real).
C.3.5 Bilangan Desimal
Bilangan Desimal adalah di mana sistem ini menggunakan 10 macam simbol
yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai
dari Sistem Bilangan Desimal ini dapat berupa integer desimal dan pecahan.
Setiap simbol pada Sistem Bilangan Desimal mempunyai absolute value dan
psition value. Absolute Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan.
Sedangkan Positif Value adalah nilai bobot dari masing-masing digit bilangan
tergantung letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.
Pecahan Desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan di belakang
koma, misalnya nilai 183,75. Nilai tersebut dapat diartikan sebagai berikut :
C.3.6 Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan
demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap
dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat.
Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah
4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini
merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa
jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.
C.3.7 Rumus bilangan ganjil
Rumus untuk bilangan ganjil tentunya negasi atau kebalikan dari rumus untuk
bilangan genap. Pada bilangan genap dikatakan bahwa bilangan genap adalah
bilangan kelipatan 2, maka untuk bilangan ganjil adalah yang bukan kelipatan 2.
Setiap yang kelipatan 2 dapat dituliskan sebagai 2n. sehingga untuk yang
bukan kelipatan 2 bisa dituliskan sebagai 2n + 1 atau 2n – 1. Artinya yaitu bilangan
kelipatan 2 yang ditambah satu sama dengan bilangan yang bukan kelipatan 2. Sama
halnya untuk dikurangi 1.
34
Misalnya bilangan 8 adalah bilangan genap dan merupakan bilangan kelipatan
2. Maka, 8 + 1 = 9 merupakan bilangan ganjil. Begitu juga untuk 8 – 1 = 7 yang
merupakan bilangan ganjil. Sehingga rumus untuk bilangan ganjil adalah 2n + 1 atau
2n – 1. Untuk setiap n bilangan bulat.
Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1. Contohnya
jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23
jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.
Bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk rumus 2k-1 atau dapat ditulis
dengan 2k+1 dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan ganjil atau
penjumlahan (2k-1)+(2k+1) yang hasilnya adalah 4k-2=2(2k-1). Misalkan 2k-1=m,
maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. Dimana ini merupakan rumus dari
bilangan genap. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun
akan menghasilkan dua bilangan genap.
Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dua. Dan bilangan
genap adalah bilangan yang habis dibagi 2.
Karena bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka bilangan
genap adalah bilangan 2 dan kelipatannya. yaitu 2, 4, 6, 8, 10, … dan kelipatan ke
bawah yaitu 2, 0, -2, -4, -6, …
Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan genap, karena bilangan genap
adalah bilangan kelipatan 2, maka bilangan genap dapat dituliskan dengan rumus 2n,
dengan n adalah sebarang bilangan bulat.
Mengapa dituliskan dengan rumus 2n? Kita tahu bahwa bilangan genap habis
dibagi 2. Dan 2n juga habis dibagi 2. Sehingga kita bisa menuliskan dengan rumus 2n
untuk setiap bilangan genap.
Mengapa tidak dituliskan dengan rumus 4n? Memang 4n habis dibagi 2. Dan
setiap bilangan berbentuk 4n merupakan bilangan genap. Tetapi tidak semua bilangan
genap berbentuk 4n. ini dikarenakan 4n adalah bilangan kelipatan 4.
Sehingga untuk bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4, maka
tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk 4n. oleh karena itu, rumus 2n untuk bilangan
genap digunakan karena 2n adalah bilangan kelipatan 2 dan bilangan genap juga
merupakan kelipatan 2.
C.3.8 Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk
a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. a disebut pembilang dan b disebut
penyebut.
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan
p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q
disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai apabila pecahan tersebut
mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama
35
Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai penyebut
Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:
Pecahan Biasa
Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat
Contoh:
1/4 , 2/5 , 9/10
Pecahan Murni
Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat dan
berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan murnai dapat
dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan
sebagai pecahan murni
Contoh:
1/6 , 3/5, 7/15
Pecahan campuran
Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni
Contoh:
3 ½, 4 ½, 5 ¾,
Pecahan desimal
Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan
tanda koma,
Contoh:
0,4; 4,6; 9,2
Persen atau perseratus
Pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %
Contoh:
4% artinya 4/100
35% artinya 35/100
Permil atau perseribu
Yaitu pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan%0
Contoh:
8%0 artinya 8/1000
125%0 artinya 125/1000
36
D. RINGKASAN MATERI
Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk
menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/
lambang bilangan, Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral.
Sejarah mengenai bilangan perlu kita ketahui, karena dalam kehidupan sehari-
hari kita tidak bisa lepas dari sesuatu yang bernama angka. Angka tersebut
merupakan salah satu kerabat dari bilangan. Selain menambah wawasan, kita bisa
sambil belajar kembali.
Sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem ijir (tallies)
yang didasarkan pada penghitungan korespondensi satu-satu. Kemudian seiring
dengan perkembangan peradaban manusia, kebutuhan akan bilangan dan angka yang
semakin kompleks menyebabkan manusia mengembangkan berbagai sistem numerasi
yang berlaku di beerbagai belahan dunia, seperti Mesir, Babilonia (sekarang Timur
Tengah), Mayan (Amerika Tengah), Yunani, Cina-Jepang, dan Romawi.
Sistem numerasi yang digunakan sekarang ini merupakan sistem numerasi
yang merupakan perpaduan antara numerasi Hindu dan Arab. Sistem ini tetap
bertahan karena dianggap masih mampu memenuhi kebutuhan angka manusia
modern.
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan
dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu
bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Ada banyak macam bilangan
diantarnya adalah : Bilangan Bulat, Bilangan Genap, Bilangan Ganjil, Bilangan
Prima, Bilangan Desimal, Bilangan Cacah dan Bilangan Real.
E. Tugas dan latihan
1. Tuliskan himpunan bilangan bulat negatif.
2. Tuliskan sifat-sifat operasi hitung penjumlahan.
3. Dijabarkan operasi bilangan sebagai berikut:
7 x (5 + 3) = (7 x 5) + (7 x 3)
Operasi tersebut melibatkan salah satu sifat dalam operasi perkalian yaitu . . .
37
F. Rambu-rambu jawaban
Jawaban no 1: { . . ., -4, -3, -2, -1}
Jawaban no 2:
Operasi penjumlahan memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
Komutatif
Assosiatif
Identitas
Invers
Tertutup
Disajikan suatu operasi sebagai berikut.
Jawaban no 3: Sifat Distributif
38
BAB IV
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat memahami dan
mendeskripsikan konsep geometri.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Geometri datar (kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang)
2. Geometri Ruang
C. URAIAN MATERI
C.1 GEOMETRI DATAR (STRUKTUR KONSEP)
Geometri sebagai salah satu sistem matematika, di dalamnya memiliki banyak
konsep pangkal, mulai dari unsur primitif atau unsur tak terdefinisi, antara lain: titik,
garis, kurva, ataupun bidang. Juga terdapat relasi-relasi pangkal yang tidak
didefinisikan, misalnya: ‘melalui’, ‘terletak pada’, ‘memotong’, dan ‘antara’. Dari
unsur-unsur yang tidak terdefinisikan ini kemudian membangun unsur-unsur yang
didefinisikan, selanjutnya ke aksioma atau postulat, dan akhirnya pada teorema atau
dalil. Gambaran hubungan antara unsur-unsur yang tidak terdefinisikan, unsur-unsur
yang didefinisikan, aksioma/postulat, dan teorema/dalil, dapat dilihat pada gambar di
bawah ini, diikuti selanjutnya oleh contoh beberapa hubungan antara konsep-konsep
tersebut.
Perhatikan Tabel 4. berikut ini. Tabel tersebut memperlihatkan kepada Anda
mengenai konsep-konsep dalam geometri beserta ilustrasinya, juga keterkaitan antara
unsur tak terdefinisi, relasi tak terdefinisi, dan aksioma-aksioma yang ada dalam
geometri. Selanjutnya, akan dipelajari beberapa konsep dasar dalam geometri yang
telah didefinisikan, serta beberapa permasalahan yang mengandung pemecahan
masalah matematik.
unsur-unsur
yang tidak
terdefinisi
unsur-unsur
yang
terdefinisi
aksioma/
postulat
teorema/
dalil-dalil
GEOMETRI DATAR DAN GEOMETRI RUANG
39
Tabel 4
Konsep Ilustrasi
Un
sur
Pan
gk
al
yan
g T
ak
Ter
def
inis
i
Titik
Tidak memiliki dimensi.
Garis
Pada garis terdapat banyak titik, panjang tak
berbatas.
Rel
asi
P
an
gk
al
yan
g
Tak
Ter
def
inis
i
Melalui
g
Garis g melalui titik P, atau titik P terletak
pada garis g.
Antara
Titk Q antara P dan R.
Ak
siom
a
Melalui dua titik yang
berbeda dapat dibuat
tepat satu garis.
Pada setiap garis g
g
40
paling sedikit trdapat
dua titik yang berbeda.
Melalui satu titik di
luar garis, dapat dibuat
tepat satu garis sejajar
dengan garis tersebut.
C.2 BEBERAPA KONSEP DASAR
C.2.1 Definisi Ruas Garis
Jika titik A dan B pada garis AB, maka ruas AB adalah himpunan yang terdiri dari
titik A, titik B dan semua titik yang terletak di antara A dan B.
Perhatikan Gambar 4.1 merupakan gambar ruas garis AB.
Gambar 4.1
Pernahkah Anda lihat rel kereta api? Rel kereta api yang lurus merupakan salah satu
contoh dua garis yang sejajar. Mengapa disebut sejajar? Karena dua garis disebut
sejajar jika mereka terletak pada satu bidang, dan jika diperpanjang terus-menerus
tidak akan berpotongan.
Definisi Kesejajaran
Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai
titik sekutu (titik potong).
g
k
h
m
(a) (b)
Gambar 4.1
41
Pada Gambar 4.1(a) garis l dan m sejajar (g // h) dan pada Gambar 4.1 (b) garis m
memotong garis k di titik P.
C.2.2 Aksioma Kesejajaran
Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar
dengan g.
h
g
Gambar 4.2
Gambar 4.2 merupakan gambar garis h melalui P dan sejajar dengan garis g.
C.2.3 SUDUT
Sudut AOB
(biasa ditulis: AOB)
Gambar 4.3
Sudut berkaitan dengan besar putaran. Untuk mengukur panjang suatu benda kita
dapat menggunakan penggaris berskala, akan tetapi untuk menghitung sudut, kita
dapat menggunakan busur derajat untuk menghitung sudut, kita dapat menggunakan
busur derajat.
Sudut Suplemen (Pelurus)
Jika sinar OA berlawanan dengan sinar OB , dan sinar OC bukan sinar OA bukan
pula sinar OB , maka dikatakan AOC suplemen COB, atau COB suplemen
AOC.
Gambar 4.4
42
Dua Sudut Kongruen
Perhatikan Gambar 4.5 di bawah ini. Gunakan kertas/plastik transparan untuk
menjiplak sudut AOB pada Gambar 4.5(a), sehingga Anda memperoleh A′O′B′
pada kertas/plastik transparan tadi. Setelah itu, letakkan jiplakan itu pada tempat
sebelah kanannya, sehingga O′ berimpit dengan P, kemudian jiplak kembali A′O′B′
ke kertas/plastik gambar. Misalkan kita namai CPD untuk hasil yang diperoleh,
seperti pada Gambar 4.5(b) Dalam hal ini, dikatakan bahwa AOB kongruen dengan
CPD (biasanya ditulis sebagai: APDCPD).
A C
O B P D
(a) (b)
Gambar 4.5
Sudut Siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang kongruen dengan suplemennya.
AOC COB dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB masing-
masing merupakan sudut siku-siku. Lihat Gambar 4.6
Gambar 4.6
Perhatikan baik-baik tiang bendera di kampus Anda!
Tiang bendera tersebut dipasang tegak lurus dengan permukaan tanah. Sudut yang
dibentuk antara tiang bendera dengan permukaan tanah di sekitarnya, pada
umumnya merupakan sudut siku-siku. Dan perlu diperhatikan oleh Anda, sudut siku-
siku dapat dipandang sebagai setengah dari sudut lurus.
Horizontal
Cobalah Anda tuangkan air ke dalam gelas, kemudian perhatikan permukaan air
ketika dalam keadaan diam. Maka permukaannya selalu memperlihatkan arah
horizontal.
43
Vertikal
Jika diketahui arah horisontal, maka garis yang membentuk sudut siku-siku dengan
arah horisontal disebut arah vertikal. Cobalah Anda gantungkan tali dengan suatu
beban, maka tali tersebut dapat dijadikan petunjuk untuk menentukan arah vertikal.
C.2.4 HUBUNGAN ANTAR SUDUT
Sifat Sudut
Suatu sudut satuan memiliki sifat- sifat berikut:
1. Sudut satuan mempunyai ukuran satu derajat (10), meskipun ada juga satuan lain
yang digunakan, yaitu radian dan gradien.
2. Sudut siku-siku mempunyai ukuran sembilan puluh derajat (900).
3. Dua sudut yang kongruen mempunyai ukuran yang sama.
Sama halnya bilangan, kita juga dapat menjumlahkan beberapa buah sudut ataupun
mengurangkannya. Akan tetapi kita harus melakukannya dengan hati-hati karena arah
sangat berpengaruh.
Penjumlah Sudut
Perhatikan Gambar 4.7
Diketahui:
0aAOB dan 0bBOC
sehingga: 000 babaAOC
Gambar 4.7
Selisih Sudut
Perhatikan kembali Gambar 4.8, lalu perhatikan juga Gambar 4.8 berikut.
Diketahui: 0000 cbabaAOC dan 0bBOC
sehingga: 000 bcbcAOB
c 0
Gambar 4.8
44
Sudut Bertolak Belakang
Andaikan terdapat dua buah garis yang saling berpotongan, seperti yang terlihat pada
Gambar 4.9
Gambar 4.9
Maka CODAOB
AODBOC
Sudut AOB dan sudut COD disebut bertolak belakang, begitu pula dengan BOC
dan AOD , keduanya bertolak belakang.
Sudut Sebagai Ukuran Perputaran
Sudut dapat dipandang sebagai suatu ukuran perputaran. Besar satu putaran penuh
terhadap sebuah titik adalah 3600 (baca: 360 derajat).
Satu putaran penuh
Gambar 4.10
Garis lurus dapat dipandang sebagai 2
1 putaran, sehingga besarnya sudut lurus adalah
: 2
1 × 3600 = 1800.
Setengah putaran
Gambar 4.11
45
Lalu bagaimana dengan sudut siku-siku?
Sudut siku-siku adalah 2
1 dari
2
1 putaran, atau sama dengan
4
1 putaran penuh.
Dengan demikian besar sudut siku-siku adalah: 4
1 × 3600 = 900.
Nama Sudut Berdasarkan Ukurannya
Dari beberapa contoh di atas, kita telah menamai beberapa sudut berdasarkan
besarnya, yaitu:
Sudut lurus, jika besarnya 1800.
Sudut siku-siku, jika besarnya 900.
Sedangkan kita juga menemukan beberapa sudut yang besarnya kurang dari 900,
antara 900 dan 1800, serta lebih dari 1800. Untuk sudut-sudut demikian, kita namakan:
Sudut lancip, jika besarnya kurang dari 900.
Sudut tumpul, jika besarnya antara 900 dan 1800.
Sudut refleks, jika besarnya lebih dari 1800.
Besar Sudut dengan Konteks Jam
Lihatlah jam dinding atau weker di rumah Anda! Jarum pendek jam membuat 1
putaran penuh dalam 12 jam. Sehingga dalam 1 jam, putaran yang dihasilkan adalah:
12
1 × 1 putaran =
12
1 putaran.
Besarnya sudut yang dibuat adalah: 12
1 × 3600 = 300.
Perhatikan Gambar 4.12
Gambar 4.12
46
Sekarang perhatikan jarum panjangnya. Jarum panjang jam membuat 1 putaran penuh
dalam 60 menit. Ini berarti, dalam 1 menit membuat putaran sebesar:
60
1 × 1 putaran =
60
1 putaran.
Besar sudut yang dibuat adalah: 60
1 × 3600 = 60
Contoh:
Tentukan besar sudut antara jarum pendek dan jarum panjang pada pukul 4 lebih 10
menit.
Jawaban:
Setelah 4 jam 10 menit atau 60
104 jam, jarum pendek telah membentuk sudut (dengan
garis ke angka 12) sebesar:
00060
10
125 30 6
25 30
1
4
Lalu, setelah 10 menit, jarum panjang telah membentuk sudut (dengan garis ke angka
12) sebesar:
10 × 60 = 600
Dengan demikian sudut yang dibuat antara jarum pendek dan jarum panjang pada
pukul 4.10 adalah:
1250 – 600 = 650
Sifat Sudut Lainnya
Andaikan dua garis terletak pada sebuah bidang, maka terdapat dua kemungkinan
yaitu sebagai berikut:
1. Dua garis berpotongan.
2. Dua garis sejajar, yaitu dua garis tidak akan berpotongan walaupun
diperpanjang terus menerus.
Sudut yang terdapat pada dua garis yang berpotongan telah kita pelajari. Untuk
memperluas wawasan, sekarang kita akan mempelajari sudut yang terbentuk dari dua
garis yang dipotong oleh garis ketiga, disebut garis transversal.
47
C.2.5 NAMA POSISI DUA SUDUT
Andaikan g dan h adalah dua garis sebarang, dipotong oleh garis ketiga t, maka akan
terbentuk 8 buah sudut. Garis t disebut sebagai garis transversal. Selanjutnya, kita
akan mempelajari nama posisi dari kedelapan buah sudut tersebut.
g h
1 2 5 6 t
4 3 8 7
Gambar 4.13
Perhatikan Gambar 4.13 di atas.
1. Sudut 2, 3, 5 dan 8 disebut sudut dalam (terhadap dua garis).
2. Sudut 1, 4, 6 dan 7 disebut sudut luar (terhadap dua garis).
3. Sudut 1, 2, 5 dan 6 disebut sudut sepihak atau sehadap (terhadap garis
transversal), demikian pula dengan sudut 4, 3, 7, dan 8.
4. Sedangkan dua sudut bersesuaian pada kelompok 1, 2, 5, 6 dan 4, 3, 7, 8 masing-
masing disebut sudut berseberangan (terhadap garis tranversal).
t
1 2 g
4 3
5 6 h
8 7
Gambar 4.14
48
Sudut Sehadap atau Sepihak
Amati Gambar 4.14 dengan seksama! Terdapat empat pasang sudut sehadap atau
sepihak, yaitu pasangan sudut berikut ini: 1 dan 5, 2 dan 6, 3 dan 7, serta
4 dan 8.
Sudut Dalam Berseberangan
Dua sudut disebut sudut dalam berseberangan jika terletak di bagian dalam dari garis
g dan h, serta mereka terletak pada pihak yang berbeda terhadap garis tranversal. Ada
dua pasang sudut dalam berseberangan, yaitu seperti pada pasangan sudut yaitu
sebagai berikut: 3 dan 5; 4 dan 6.
Sudut Luar Berseberangan
Dua sudut disebut sudut luar berseberangan jika terletak di bagian luar dari garis g
dan h dan terletak di pihak yang berbeda terhadap garis tranversal. Ada dua pasang
sudut luar berseberangan, yaitu: 1 dan 7; 2 dan 8.
Sudut Dalam Sepihak
Dua sudut disebut sudut dalam sepihak jika terletak di bagian dalam dari garis g dan
h serta terletak pada pihak yang sama terhadap garis tranversal. Ada dua pasang sudut
dalam sepihak, yaitu sebagai berikut: 3 dan 6; 4 dan 5.
Sudut Luar Sepihak
Dua sudut disebut sudut luar sepihak jika mereka terletak di bagian luar garis g dan
h serta terletak pada pihak yang sama terhadap garis tranversal. Ada dua pasang sudut
luar sepihak, yaitu: 1 dan 8; 2 dan 7.
Perlu diingat, bahwa: misalkan garis g dan k dipotong oleh suatu transversal t. Garis g
sejajar dengan k jika dan hanya jika dua sudut dalam berseberangannya kongruen.
C.2.6 KURVA
Kurva dapat dipikirkan sebagai himpunan titik yang dapat digambar, tanpa
mengangkat bolpoin atau pensil yang digunakan untuk menggambarkannya. Atau
dengan kata lain, kurva dapat kita gambar mulai dari suatu titik, kemudian dibuat
jalur dengan alat tulis sampai pada suatu titik lain atau bisa juga kembali lagi ke titik
asal. Contoh kurva dapat dilihat pada Gambar 4.15 di bawah ini.
Gambar 4.15
49
Kurva Sederhana
Kurva sederhana adalah kurva yang dapat digambar tanpa ada titik yang diulang
kecuali mungkin titik-titik ujungnya. Perhatikan Gambar 4.16 (a) sebagai contoh
kurva sederhana.
Kurva Tertutup Sederhana
Kurva tertutup sederhana adalah kurva sederhana yang kedua titik ujung berimpit.
Perhatikan Gambar 4.16(b) sebagai contoh kurva tertutup sederhana.
(a) (b)
Gambar 4.16
C.3 LINGKARAN
Lingkaran L, dengan pusat O dan jari-jari r adalah himpunan kedudukan titik-titik P
yang berjarak sama dari O, yaitu panjang OP = r.
Gambar 4.17
C.4 POLIGON
Poligon-n A1A2A3 … An, adalah himpunan titik yang terdiri semua titik pada ruas
A1A2A3 ... An–1 An , yang membatasi suatu daerah cembung. Titik A1,A2, ... , An
masing-masing disebut titik sudut dan ruas 21 AA , 32 AA , … nn AA 1 , masing-masing
disebut sisi dari poligon tersebut.
50
A2
A1 A3
A8
A4
A7
A6 A5
Gambar 4.18
Gambar 9.1.19 merupakan Poligon–A1A2A3A4A5A6A7A8. Titik-titik A1, A2, A3, A4,
A5, A6, A7, dan A8 disebut titik sudut poligon. Sedangkan 21 AA , 32 AA ,
43 AA , 54 AA , 65 AA , 76 AA , 87 AA , dan 18 AA disebut sisi poligon. Poligon demikian
disebut segidelapan (segi-8).
C.4 POLIGON BERATURAN
Poligon-n beraturan A1A2 A3 …. An adalah poligon-n yang bersifat
A1A2 A2A3 … An-1An dan A1 A2 … An.
A1 A2
A6 A3
A5 A4
Gambar 4.19
51
Gambar 4.19 di atas merupakan salah satu representasi dari poligon beraturan yaitu
segi-6 beraturan A1A2A3A4A5A6. Dalam hal ini,
654321
166554433221
AAAAAA
AAAAAAAAAAAA
C.5 SEGITIGA
Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi.
A1
A2
A3
Gambar 4.20
Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga tersebut.
Tinggi harus tegak lurus dengan alas sekawan dan melalui titik sudut yang
berhadapan dengan alas. Dan harus Anda ketahui bahwa jumlah sudut-sudut suatu
segitiga adalah 1800.
C.5.1 JENIS-JENIS SEGITIGA
a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya
1) Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang.
2) Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama
panjang.
3) Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang.
b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya
1) Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.
2) Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.
3) Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul.
52
C.5.2 KELILING SEGITIGA
Keliling suatu segitiga adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membentuk
segitiga. Jika panjang sisi-sisi segitiga masing-masing adalah a, b, dan c, maka
keliling segitiga tersebut adalah:
Keliling Segitiga, K = a + b + c
C.5.3 LUAS SEGITIGA
Luas segitiga = 2
1 × alas × tinggi
= 2
1 × a × t
Hal penting yang harus Anda ingat baik-baik, adalah:
Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga tersebut.
Tinggi harus tegak lurus dengan alas yang sekawan dan melalui titik sudut
yang berhadapan dengan alas.
C.5.4 MENENTUKAN LUAS BANGUN DARI LUAS SEGITIGA
Sangat banyak ragam bangun datar. Persegi, persegi panjang, belah ketupat,
jajar genjang, trapesium, laying-layang, maupun bangun segi-n lainnya baik yang
beraturan maupun tak beraturan. Salah satu cara untuk menentukan luas berbagai
bangun datar tersebut adalah dengan membuat sekat-sekat sehingga di dalam bangun
tersebut terbentuk beberapa bangun segitiga. Dengan demikian, luas suatu bangun
dapat ditentukan berdasarkan luas segitiga. Misalnya pada Gambar 4.21 berikut:
a b c
Gambar 4.21
53
Perhatikan bagun datar pada Gambar 4.21.c. Bangun datar tersebut merupakan
bangun datar segi enam tak beraturan, namun bisa dibuat sekat-sekat sehingga luas
bangun tersebut merupakan jumlah dari semua luas segitiga yang membentuknya.
A B
t2
C
L1 a1 L2 t4
D t1 a2 = a3 a4
L3 L4
t3
E
F
Contoh:
Untuk menghitung luas segi enam tak beraturan di atas, adalah dengan menjumlahkan
luas segitiga-segitiga pembentuknya:
Luas segi enam ABCDEF 4321 LLLL
44332211
44332211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
tatatata
tatatata
LLLL BCFABFAEFADE
Untuk segi banyak lainnya, yang dibuat sekat-sekat menjadi n buah segitiga, maka
luasnya adalah:
Luas segi banyak nLLLL ...321
nn
nn
tatatata
tatatata
...2
1
2
1...
2
1
2
1
2
1
332211
332211
54
C.5.5 PERBANDINGAN LUAS SEGITIGA
Perhatikan Gambar 4.23 berikut ini!
A B
t1 t2
F D C E
Gambar 4.23
Ada dua buah segitiga, yaitu segitiga ADC dan segitiga BCD. Sedangkan ABEF
merupakan persegi panjang, sehingga AF = BE atau t1 = t2, di mana t1 merupakan
tinggi segitiga ADC, dan t2 merupakan tinggi segitiga BCD, dan alas kedua segitiga
tersebut adalah sisi CD.
Apakah luas segitiga ACD sama dengan luas segitiga BCD? Mari kita periksa!
1
1
Luas
Luas
21
21
221
121
2221
1121
tCD
tCD
tCD
tCD
ta
ta
BCD
ADC
Berarti, BCDADC Luas Luas
Contoh:
Cara pengerjaan di atas dapat menjadi “jurus” jitu untuk menghitung luas segitiga
ataupun menentukan perbandingan luas segitiga. Contohnya dapat Anda simak
sebagai berikut.
A A
B D C B E D C
Gambar 4.24
Diberikan segitiga ABC yang memiliki luas 100 cm2. Titik D terletak pada BC
sehingga BD : DC = 3 : 1. Hitunglah luas segitiga ABD dan luas segitiga ADC.
Jawaban:
55
Misalkan AE merupakan tinggi segitiga ABC.
BD : DC = 3 : 1 berarti BD = 3DC,
BD : BC = 3 : 4 berarti BCBD4
3
sehingga:
1
33
Luas
Luas
21
21
21
21
AEDC
AEDC
AEDC
AEBD
ADC
ABD
Jadi, 1:3 Luas: Luas ADCABD
Dan,
4
3
Luas
Luas
21
4
3
21
21
21
AEBC
AEBC
AEBC
AEBD
ABC
ABD
Jadi, 4:3 Luas: Luas ABCABD .
Karena luas 100ABC cm2,
Maka 75100 Luas Luas4
3
4
3 ABCABD cm2.
Karena 1:3 Luas: Luas ADCABD ,
Maka 2575 Luas Luas31
31 ABDADC cm2.
Dengan demikian, 75 Luas ABD cm2 dan 25 Luas ADC cm2.
C.6 SEGIEMPAT
Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi.
A1 A2
A3
A4
Gambar 4.25
Terdapat pula beberapa segiempat yang memiliki sifat-sifat istimewa, seperti halnya:
persegi, persegipanjang, jajargenjang, belahketupat, layang-layang, dan trapesium.
Coba Anda perhatikan, bagaimana bentuk pintu atau jendela rumah Anda? Atau
bagaimana pula dengan bentuk ubin pada lantai rumah Anda? Pada umumnya, bentuk
yang biasa kita jumpai adalah persegi atau persegi panjang. Mengapa?
56
C.7 PERSEGI PANJANG
Beberapa sifat persegi panjang adalah:
1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang
2. Sisi-sisi yang berhadapan sejajar
3. Setiap sudutnya sama besar, yaitu 900
Besar keempat sudutnya adalah 900 (siku-siku). Dua pasang sisi persegi panjang
sering kita namakan panjang dan lebar.
4. Diagonal-diagonalnya sama panjang
5. Diagonal-diagonalnya berpotongan dan saling membagi dua sama panjang.
Gambar 4.26
C.7.1 PERSEGI
Persegi merupakan bagian persegi panjang yang istimewa, dengan beberapa sifat
berikut ini:
1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar
2. Diagonalnya sama panjang
3. Diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang.
Sifat-sifat lainnya yang khusus adalah:
1. Sisi-sisi dalam setiap persegi adalah sama panjang
2. Sudut-sudut dalam setiap persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-
diagonalnya.
3. Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri.
4. Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus.
C.7.2 KELILING
Keliling suatu bangun datar adalah jumlah semua panjang sisi yang membatasi
bidang datar tersebut.
57
Keliling persegi panjang diperoleh dengan cara menjumlahkan semua panjang sisi
pada persegi panjang tersebut, sedangkan keliling persegi diperoleh dengan cara
menjumlahkan semua panjang sisi pada persegi tersebut.
C.7.3 KELILING PERSEGI PANJANG
Rumus keliling persegi panjang adalah:
lpK 22 atau )(2 lpK
C.7.4 KELILING PERSEGI
Rumus keliling persegi adalah:
ssisiK 44
C.7.5 LUAS
Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar
tersebut.
Luas persegi panjang adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi panjang
tersebut. Sedangkan luas persegi adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi
tersebut.
Satuan luas cm2 dibaca sebagai “sentimeter kuadrat” atau “sentimeter persegi”, yang
berarti perkalian cm dengan cm pada persegi satuan.
C.7.6 LUAS PERSEGI PANJANG
Rumus luas persegi panjang adalah:
lebarpanjangL
atau,
lpL
58
C.7.7 LUAS PERSEGI
Karena persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama yang disebut sisi, maka
rumus luas persegi adalah:
sisisisiL
atau,
2sssL
Contoh:
Diketahui persegi dengan sisi (a + b). Tentukan luasnya!
Pernahkah Anda bermain layang-layang? Bagaimana bentuknya? Ya, umumnya
layang-layang berbentuk segiempat yang khas. Namun kini, layang-layang
berkembang tidak hanya berupa segiempat, layang-layang juga sudah dimodifikasi
sedemikian rupa menjadi bentuk-bentuk yang lebih beragam.
Kemudian, saat lebaran tiba, makanan khas negeri ini adalah ketupat. Dapatkah Anda
cermati bagaimana bentuk ketupat lebaran?
C.8 JAJARGENJANG
Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan
sejajar, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jajargenjang dapat dibentuk
dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar setengah putaran
dengan pusat titik tengah salah satu sisinya.
Gambar 4.27
59
SIFAT-SIFAT JAJARGENJANG
1. Pada setiap jajargenjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3. Jumlah dua sudut yang berdekatan dalam jajargenjang adalah 1800.
LUAS JAJARGENJANG
Dalam menentukan luas jajargenjang dapat menggunakan konsep luas segitiga.
Ljajargenjang = L2
ta
ta
212
Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, maka luas jajargenjang juga
dapat ditentukan sebagai:
Ljajargenjang = a × t.
Jadi, untuk setiap jajargenjang, dengan alas a, tinggi t, serta luas L, maka berlaku:
L = a × t
C.9 BELAH KETUPAT
Belah ketupat didefinisikan sebagai segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar,
keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Belah
ketupat juga merupakan jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena
itu, semua sifat yang berlaku pada jajargenjang berlaku pula pada belah ketupat.
Keistimewaan belah ketupat adalah dapat dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki
dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
Gambar 4.28
60
SIFAT-SIFAT BELAH KETUPAT
Berikut ini adalah sifat-sifat khusus belah ketupat:
Semua sisinya sama panjang
Diagonal-diagonal belah ketupat menjadi sumbu simetri
Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama
panjang.
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh
diagonal-diagonalnya.
LUAS BELAH KETUPAT
Karena belah ketupat merupakan jajargenjang, maka tentu saja luas belah ketupat pun
memiliki rumus yang sama dengan rumus luas jajargenjang, yaitu:
tinggialasLuas
212
1diagonaldiagonal +
C.10 LAYANG-LAYANG
Layang-layang didefinisikan sebagai segiempat yang setiap pasang sisinya sama
panjang dan sepasang sudut yang berhadapan sama besar. Layang-layang juga
merupakan segiempat yang terdiri dari dua segitiga sama kaki yang alasnya sama
panjang dan saling berimpit.
A
B D
C
Gambar 4.29
61
SIFAT-SIFAT LAYANG-LAYANG
1. Pada setiap layang-layang sepasang sisinya sama panjang.
2. Pada setiap layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapan yang sama besar.
3. Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri.
4. Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus
terhadap diagonal lainnya.
LUAS LAYANG-LAYANG
Luas layang-layang dapat dihitung sebagai jumlah luas dua segitiga, yaitu:
21
21
21
21
21
2
1
)(
diagonaldiagonalL
BDACL
BPDPACL
BPACDPACL
LLL
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
ABCACDABCD
Jadi, luas layang-layang adalah setengah dari perkalian panjang diagonal-
diagonalnya.
C.11 TRAPESIUM
Trapesium adalah segiempat yang sepasang sisi berhadapannya sejajar. Pada Gambar
4.30, diperlihatkan beberapa jenis trapesium, (1) trapesium sembarang, yaitu yang
keempat sisinya tidak sama panjang, (2) trapesium sama kaki, yang memiliki
sepasang sisi berhadapan sama panjang, dan (3) trapesium siku-siku, yang salah satu
kakinya membentuk sudut siku-siku.
(1) (2) (3)
Gambar 4.30
Pada suatu trapesium, jumlah sudut yang berdekatan pada suatu trapesium adalah
1800.
62
LUAS TRAPESIUM
Untuk menghitung luas trapesium, kita tarik garis diagonal sehingga membagi daerah
trapesium menjadi dua buah segitiga. Perhatikan Gambar 9.1.32. Trapesium ABCD
terbagi manjadi dua bagian yaitu ABD dan BCD.
A D
t
B C
BCDABDABCD LLL trapesium
tinggisejajarsisijumlah
tba
tbta
2
1
)(21
21
21
LATIHAN
1. Diketahui persegi panjang ABCD. Hitunglah luas daerah yang diarsir!
A 20 cm B
7 cm
E 12 cm
5 cm
D 9 cm F 11 cm C
2. Riana membuat sebuah layang-layang KLMN seluas 125 cm2. Jika kemudian
Riana membuat dua buah layang-layang baru yang ukuran setiap diagonalnya
adalah dua kali ukuran diagonal layang-layang KLMN, hitunglah luas layang-
layang baru tersebut!
63
3. Suatu persegi yang bersisi 6 cm berputar pada titik O yang merupakan titik pusat
peregi lain yang bersisi 4 cm. Tentukan luas bidang yang berada pada kedua
persegi tersebut!
4. Dalam segitiga ABC, diketahui sudut BAC = 800. Jika titik-titik D, E, dan F
berturut-turut terletak pada sisi BC, AC, dan AB, dengan CE = CD, dan BF =
BD, tentukan besar sudut EDF!
C.12 GEOMETRI RUANG
Ruang dalam arti sempit terbentuk oleh adanya banyak bidang (minimal empat
bidang). Kumpulan bidang tersebut terdapat istilah-istilah titik sudut, sisi,dan rusuk,
seperti gambar berikut ini.
Gambar 4.31
Ada hubungan antara titik sudut (T), sisi (S) dan rusuk (R), yaitu yang disebut
Rumus Euler: T + S – R = 2.
Kumpulan bidang-bidang yang beraturan ada yang berpermukaan datar, seperti:
limas, prisma, kubus, dan balok. Dan ada bidang banyak yang berpermukaan
lengkung, seperti: kerucut, tabung, dan bola.
Jika kita sedang berhadapan dengan masalah-maslah yang berhunbungan bangun
ruang-bangun ruang seperti di atas akan sangat membantu jika kita dapat
Titik
sudut Sisi
Rusuk
64
membayangkan atau dapat menggambarkannya. Untuk itu kita harus mengenal cirri-
ciri khusus dan rumus-rumus yang berkaitan dengan bangun ruang tersebut. Berikut
adalah cirri-ciri khusus dan rumus-rumus yang dapat digunakan.
C.12.1 Limas
Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut
alas), suatu titik yang tidak terletak pada bidang polygon dan segitiga-segitiga yang
ditentukan oleh titik tersebut dan sisi-sisi dari polygon. Alas-alas dari suatu limas
dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain lain. Dan jika alas limas itu
menyerupai lingkaran maka dinamakan kerucut.
Gambar 4.32: Limas Segitiga Gambar 4.33: Jaring-jaring Limas Segitiga
Luas permukaan limas merupakan gabungan dari luas alas dengan luas segitiga-
segitiga yang membentuknya (menggunakan rumus yang beruhubungan sesuai
dengan bentuknya)
Volume limas adalah: x tinggialas luas 3
1
C.12.2 Kerucut
Kerucut merupakan bentuk limas dengan alasnya berbentuk lingkaran, atau
merupakan benda putar dari bidang segitiga.
Gambar 4.34: Kerucut Gambar 4.35: Jaring-jaring Kerucut
r
s
65
Luas permukaan kerucut seluruhnya adalah: r)(sr , dengan keterangan r= jari-jari
lingkaran dan s = panjang garis pelukis (panjang dari alas ke puncak kerucut).
Volume kerucut adalah: tr 3
1 2 , dengan keterangan r= jari-jari lingkaran alas dan t=
tinggi kerucut.
C.12.3 Prisma
Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang
terletak pada bidang sejajar, dan tiga atau lebih daerah jajaran genjang yang
ditentukan oleh sisi-sisi dua daerah polygon tersebut sedemikian hingga membentuk
permukaan tertutup sederhana. Dua daerah polygon kongruen yang terletak pada
bidang sejajar dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain-lain. Dan jika dua
polygon tersebut berbentuk menyerupai lingkaran akan disebut tabung (silinder).
Berikut berturut-turut adalah gambar prisma segitiga, prisma segiempat, dan prisma
segilima.
Gambar 4.36: Prisma segitiga, segiempat, dan segilima
Cobalah Anda bayangkan atau gambar jarring-jaringnya, agar Anda lebih memahami
terhadap cirri-cirinya.
Luas permukaan prisma adalah jumlah dari kedua alasnya (atas dan bawah) ditambah
dengan luas-luas yang lain sesuai dengan bentuk prisma.
Volume prisma adalah: A.t, (A = luas alas dan t= tinggi prisma)
C.12.4 Tabung
Tabung merupakan benda ruang yang terbentuk oleh dua buah bidang yang berbentuk
lingkaran dan sebuah bidang segiempat. Gambarnya seperti berikut.
66
Gambar 4.37: Tabung dan jarring-jaring tabung
Luas permukaan tabung adalah: luas bidang alas + luas bidang atas + luas bidang
lengkung atau dengan rumus: 2 r (r + t), r = jari-jari lingkaran dan t= tinggi tabung.
Volume tabung adalah: luas alas x tinggi atau dengan rumus: r2 t
C.12.5 Kubus
Kubus adalah benda ruang yang memiliki enam bidang persegiempat (bujursangkar)
yang sama dan sebangun, gambar dan jaring-jaringnya sebagai berikut.
Gambar 4.38: Kubus dan jarring-jaringnya
Luas permukaan kunus adalah jumlah seluruh luas sisi-sisinya (6 x luas sisi) atau
dengan rumus: 6s2, s= panjang rusuk.
Volume kubus adalah: s3
67
C.12.6 Balok
Balok adalah bidang ruang yang mirip dengan kubus atau prisma segiempat, suatu
balok terbentuk oleh tiga pasang bidang segiempat, dengan gambar dan jaring-
jaringnya seperti berikut.
Gambar 4.39 Balok dan jarring-jaringnya
Luas permukaannya adalah jumlah luas dari enam sisi-sisinya atau: 2 pl sisi pertama
+ 2 pl sisi kedua + 2 pl sisi ketiga. Jika panjang sisi pertama dikatakan panjang (p),
panjang sisi kedua dikatakan lebar (l), dan panjang sisi ketiga dikatakan tinggi (t),
maka didapatkan rumus luas permukaan balok: 2pl + 2pt + 2lt.
Volume balok adalah panjang x lebar x tinggi atau plt
C.12.7 Bola
Jika kerucut merupakan benda putar dari bidang segitiga dan tabung merupakan
benda putar dari bidang segiempat, maka bola adalah benda putar dari bidnag yang
berbentuk lingkaran (cobalah anda bayangkan atau mencoba sendiri bagaimana suatu
benda yang berbentuk lingkaran, misalnya koin atau uang logam diputar agak lama,
maka akan terlihat seperti bola). Bola adalah suatu bidang lengkung yang berjarak
sama terhadap titik pusat. Gambar dan jarring-jaring (dipotong empat) bola sebagai
berikut.
68
Gambar 4.40: Bola dan irisan bola
Luas permukaan bola adalah: 4 r2
Volume bola adalah: 3
4r3
D. RINGKASAN MATERI
Geometri sebagai salah satu sistem matematika, di dalamnya memiliki banyak
konsep, mulai dari unsur primitif atau unsur tak terdefinisi, unsur yang terdefinisi
aksioma atau postulat, dan akhirnya pada teorema atau dalil. Contoh unsur-unsur
yang tak terdefinisi, misalnya: titik, garis, kurva, dan bidang. Sedangkan beberapa
unsur yang terdefinis, misalnya: sinar, setengah garis, ruas garis, kesejajaran, sudut,
segitiga, poligon, dan lain-lain. Suatu sudut satuan memiliki sifat- sifat berikut: 1)
Sudut satuan mempunyai ukuran satu derajat (10), 2) meskipun ada juga satuan lain
yang digunakan, yaitu radian dan gradient, 3) Sudut siku-siku mempunyai ukuran
sembilan puluh derajat (900), dan 4) Dua sudut yang kongruen mempunyai ukuran
yang sama. Sudut dapat dipandang sebagai suatu ukuran perputaran. Besar satu
putaran penuh terhadap sebuah titik adalah 3600. Nama sudut berdasarkan besarnya,
yaitu:
Sudut lurus, jika besarnya 1800.
Sudut siku-siku, jika besarnya 900.
Sudut lancip, jika besarnya kurang dari 900.
Sudut tumpul, jika besarnya antara 900 dan 1800.
Sudut refleks, jika besarnya lebih dari 1800.
Jika titik sudut (T), sisi (S) dan rusuk (R), maka berlaku: T + S – R = 2.
69
Mencari luas permukaan dan volume ruang adalah sebagai berikut:
No Nama Bangun Luas Permukaan Volume
1 Limas gabungan dari luas alas
dengan luas segitiga-
segitiga yang
membentuknya
x tinggialas luas 3
1
2 Kerucut x tinggialas luas
3
1
3 Prisma Gabungan dua alas
dengan sisi-sisi yang
lainnya (sesuai bentuk
prisma)
Luas alas x tinggi
4 Tabung Gabungan luas dua alas
dengan segiempatnya
Luas alas x tinggi ( r2t)
5 Kubus Jumlah keenam sisinya
(6 s2)
Panjang sisi pangkat tiga (S3)
6 Balok 2(pl + pt + lt). Panjang x lebar x tinggi
(p.l.t)
7 Bola 4 r2
3
4r3
E. Tugas dan latihan
Soal 1.
Perhatikan gambar berikut:
Berapakah volume tabung (tanpa tutup) yang
dapat dibuat dari bangun persegi di samping?
Soal 2.
Selembar kertas karton berbentuk tiga perempat lingkaran yang berjari-jari 14 cm,
akan dibuat bangun ruang kerucut. Berapakah volume kerucut tersebut?
40 cm
70
F. Rambu-rambu jawaban
Jawab soal 1:
Diketahui : persegi 40 cm merupakan keliling alas lingkaran dan tinggi lingkaran.
Ditanyakan : Volume tabung yang dibentuk oleh persegi tersebut.
Proses penyelesaian:
Rumus terkait: Keliling/luas lingkaran dan Volume Tabung
Keliling Lingkaran = 2 r
40 = 2 (3,14) r
40 = 6,28 r
r = 6.37 cm
Luas Lingkaran = r2
L = 3,14 (6.37)2
L = 3.14 (40.5769)
L = 127.41 cm2
Volume Tabung = Luas alas x tinggi atau r2 t
V= 127.41 x 40
V = 1096.4 cm3
Kesimpulan: Volume tabung yang terbentuk oleh persegi ukuran 40 cm
adalah 1096.4 cm3
Jawab soal 2:
Diketahui : 4
3lingkaran dengan jari-jari (r) = 14 cm
Ditanyakan (akan dicari): Volume kerucut
Proses penyelesaian:
1) harus dicari luas alas kerucut (luas lingkaran kerucut)
2) Harus dicari tinggi kerucut
Luas alas kerucut dibentuk oleh 4
3lingkaran dengan r = 14 cm.
71
Keliling lingkaran kerucut= 4
3.2 r
K = 4
3.2 (3.14) (14)
K = 65.94
Jari-jari lingkaran kerucut: 65.94 = 2 r
65.94 =2 (3.14) r
65.94 = 6.28 r
r = 10.5 cm
Luas alas kerucut = r2
L = 3.14 (10.5)2
L = 346.185 cm2
Tinggi kerucut dibentuk oleh jari-jari lingkaran (pada soal atau 14 cm) dan
jari lingkaran kerucut atau 10.5 cm, yaitu : c2 = a2 + b2 (rumus Phitagoras).
Perhatikan gambar berikut,
142 = a2 + (10.5)2-
196 = a2 + 110.25
a2 = 196 – 110.25
a2 = 85.75
a = 75.85
a = 9.26 (tinggi kerucut)
14= c
10.5= a
b
72
Volume kerucut= Luas alas kerucut x tinggi ( r2 t)
V = 346.185 (9.26)
V = 3205.6731 cm3
Jadi volume kerucut yang dimaksud adalah 3205.6731 cm3
73
BAB V
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat memahami dan
mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Kalimat Terbuka
2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat
C. URAIAN MATERI
C.1 KALIMAT TERBUKA
C.1.1 Pernyataan
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat
berikut.
a. Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
b. Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.
c. 8 > –5.
Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang
mengakui kebenaran kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat
berikut.
a. Tugu Monas terletak di Jogjakarta.
b. 2 + 5 < –2
c. Matahari terbenam di arah timur.
Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang
tidak sependapat dengan kalimat tersebut. Kalimat yang dapat ditentukan nilai
kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.
Sekarang perhatikan kalimat-kalimat berikut.
a. Rasa buah rambutan manis sekali.
b. Makanlah makanan yang bergizi.
c. Belajarlah dengan rajin agar kalian naik kelas.
Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran kalimat-kalimat di atas? Menurutmu,
apakah kalimat-kalimat tersebut bukan pernyataan? Mengapa?
C.1.2 Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka
Dapatkah kalimat menjawab pertanyaan “Indonesia terletak di Benua x”. Jika
x diganti Asia maka kalimat tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti Eropa
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
74
maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benua x”
disebut kalimat terbuka.
C.2 Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.
Koefisien x2 konstanta
Koefisien x
Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :
Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x
Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
a. Memfaktorkan
untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah
bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x -
1)
c. Menggunakan rumus kuadrat
Dengan b2 – 4ac ≥
Nilai diskriminan (D)
Jika b2 – 4ac < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian
Jika b2 Jika b2 – 4ac = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu
penyelesaian
Jika b2 – 4ac > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian
ax2 + bx + c = 0
(jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat
Sempurna : ax2 + c = 0
(jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak
Lengkap : ax2 + bx = 0
x1,2 = -b ± √ b2 – 4
2a
75
Menyusun Persamaan Kuadrat
Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.
Memakai faktor :
Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc
x1 + x2 = -b + √ b2 – 4ac + - b - √ b2 – 4ac
2a 2a
= -2b
2a
= -b
a
x1 x x2 = -b + √ b2 – 4ac x - b - √ b2 – 4ac
2a 2a
= b2 – (b2 – 4 ac)
4a2
= 4ac
4a2
= c
a
Sehingga dapat dinyatakan
Contoh 1 :
☺ Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???
Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8
<=> 2x2 - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)
<=> 2x2 – 3x = -8
<=> 2x2 - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
<=> 2x2 – 3x + 8 = 0
Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8
Contoh 2 :
Cara memfaktorkan
Contoh : x2 – 5 x + 6 = 0
<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
(x - x1) (x – x2) = 0
x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 =
0
76
<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0
<=> x = 2 atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}
Contoh 3
Cara Melengkapakan Kuadrat
Contoh : Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x –
15 = 0 !
Jawab : x2 + 2x – 15 = 0
x2 + 2x = 15
Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah
dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
x2 + 2x + 1 = 15 + 1
<=> (x + 1)2 = 16
<=> x + 1 = ± √16
<=> x + 1 = ± 4
<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1
<=> x = 3 atau x = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}
Contoh 4
a. Menggunakan rumus kuadrat
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0
a =1 b = 4 c = -12
penyelesaian
x1,2 = - b ± √b2 – 4ac
2a
<=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)
2 x 1
<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48
2
<=> x1,2 = - 4 ± √64
2
77
<=> x1,2 = - 4 ± 8
2
<=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8
2 2
<=> x1 = 2 atau x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}
Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???
Cara 1 : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka (x-x1) (x-x2) = 0
<=> (x-2) (x-5) = 0
<=> x2 – 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
Cara 2 : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
x1. x2 = 2.5 = 10
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat
Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika
panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah
panjang dan lebar tanah tersebut?
Penyelesaian :
Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka
Y = ( x- 12) meter
Luas tanah = x . y
4.320 = x . y
<=> 4.320 = x . (x-12)
<=> x2 – 12x – 4320 = 0
<=> (x- 72) (x + 60) = 0
<=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0
<=> x = 72 atau x = - 60
karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72.
Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60
Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.
78
C.3 Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan
dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat
adalah sebagai berikut.
Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan
= 0).
Carilah akar-akar dari persamaan tersebut.
Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.
Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval
dengan cara
menguji tanda pada masing-masing interval tersebut.
Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi
pertidaksamaan
tersebut.
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
x2 – 2x – 8 > 0
Jawab:
Nyatakan dalam bentuk persamaan.
x2 – 2x – 8 = 0
Carilah akar-akarnya
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut :
Garis bilangan terbagi dalam tiga interval yaitu Interval kiri, tengah dan kanan.
Tentukan tanda pada tiap intervalnya dengan cara mengambil salah satu
bilangan yang terdapat pada masing-masing interval, kemudian ujilah tandanya.
Untuk mempersingkat penentuan tanda pada tiap interval dapat dilakukan
dengan cara sebagai berikut.
Jika koefisien x2 bertanda positif, maka ruas kanan dari interval diberi tanda
positif, bergerak ke kiri (tengah) bertanda negatif dan interval paling kiri
kembali bertanda positif.
-2 4
79
Sebaliknya jika koefisien x2 bertanda negatif, maka ruas kanan dari interval
diberi tanda negatif, bergerak ke kiri (tengah) bertanda positif dan interval kiri
kembali bertanda negatif.
Jadi, himpunan penyelesaiannya : {x x< -2 atau x > 4}
C.4 Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan oleh x didefinisikan sebagai :
x = x jika x ≥ 0
x = -x jika x < 0
Sifat-sifat nilai mutlak :
baba
baba
bb
a
b
a
baab
0,
Ketaksamaan Yang Menyangkut Nilai Mutlak
x < a -a < x < a
x > a x < -a atau x > a
Contoh 7 :
Selesaikan ketaksamaan 3x – 5 ≥ 1
Jawab :
Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai :
3x – 5 ≤ -1 atau 3x – 5 ≥ 1
3x ≤ 4 atau 3x ≥ 6
x ≤ 4/3 atau x ≥ 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya : {x x ≤ 4/3 atau x ≥ 2, x R}
D. Ringkasan Materi
Persamaan atau identitas adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan
“samadengan” dan diberi notasi “=” tetapi tidak memuat variabel. persamaan dibagi
menjadi beberapa jenis diantaranya persamaan linier satu variabel, dua variabel dan
persamaan kuadrat.
Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau
lebih peubah dan relasi. Pertidaksamaan dibagi menjadi beberapa jenis diantaranya
pertidaksamaan linier satu peubah dan pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan linier
satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan
80
pangkat dari peubahnya adalah satu.Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan
dimana pangkat dari x adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya adalah 2.
E. Tugas dan Latihan
1. Nyatakan persamaan 2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan
kuadrat !
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є
R!
3. Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !
4. Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35.
Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !
F. Rambu-rambu jawaban
Pemyelesaian
1) 2 (x2 + 1) = x (x + 3)
<=> 2x2 + 2 = x2 + 3x
<=> 2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)
<=> x2 + 2 = 3x
<=> x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)
<=> x2 – 3x + 2 = 0
Jadi, a = 1, b = -3, dan c = 2
2) Dua bilangan yang jumlahnya -5
Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh
2x2 – 5x – 3 = 0
<=> (2x + 1) (2x – 6) = 0
<=> 2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0
<=> x = - 1 atau x = 3
2
Jadi HP = {- 1, 3}
2
3) dengan cara memfaktor
x1 = 3 dan x2 = 0
(x - x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x-0) = 0
x (x – 3) = 0
x2 – 3x = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0
81
4) Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12
Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :
x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)
<=> 12x – x2 = 35
<=> x2 – 12 = -35
<=> x2 – 12x 36 = -35 +36
<=> (x – 6)2 = 1
<=> x – 6 = ±1
<=> x - 6 = 1 atau x – 6 = -1
<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6
<=> x = 7 atau x = 5
jika x = 7 maka y = 12 - 7 = 5
jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7
jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7
82
BAB VI
A. TUJUAN
Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat memahami dan
mengidentifikasi konsep relasi dan fungsi.
B. POKOK-POKOK MATERI
1. Pengertian Relasi dan Fungsi
2. Diagram himpunan relasi
3. Merumuskan suatu fungsi
C. URAIAN MATERI
C.1 Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota
himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
1. Diagaram panah
2. Himpunan pasangan berurutan
3. Diagram Cartesius
Contoh :
Via: aku senang permen dan coklat
Andre: aku senang coklat dan es krim
Ita: aku suka es krim
Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :
Himpunan A adalah himpunan nama orang A = { Via, Andre, Ita }
Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan B = { es krim, coklat,
permen }
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat
dinyatakan dengan :
RELASI DAN FUNGSI
83
a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
c. Diagram Cartesius
Latihan
1. Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain
bola basket.
Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.
a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka:
Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah!
b. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan
2. Perhatikan gambar di bawah ini!
3
5
6
2
4
8
P Q
Tuliskanlah relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q!
via
Andre
Ita
permen
coklat
es krim
via andre ita
permen
coklat
es kr im
84
jeruk
apel
anggur
Ani Ida Bayu
3. Relasi pada diagram cartesius di samping dapat dinyatakan dengan himpunan
pasangan berurutan, yaitu …
Diagram panah dari relasi tersebut adalah …
4. { (3,4), (3,5), (4,4), (5,6), (6,5), (6,6) } adalah himpunan pasangan berurutan dari
suatu relasi.
a. Anggota himpunan pertama adalah …
b. Anggota himpunan kedua adalah …
5.Perhatikan gambar di. bawah ini. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke
himpunan B
C.2 Pengertian Fungsi
Diskusikan dengan teman-teman!
1. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu, kemudian tanyakan
nomor sepatu mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.
a. Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!
b. Jika B himpunan nomor sepatu teman-temanmu, tulislah anggota B !
c. Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah, dengan
relasi
nomor sepatu.
d)Adakah anak yang memiliki nomor sepatu lebih dari satu?
85
2. Lakukan wawancara sederhana terhadap 10 orang temanmu, kemudian tanyakan
bulan kelahiran mereka. Kemudian, jawab pertanyaan berikut,
a)Jika P himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota P!
b)Jika Q himpunan nama-nama bulan kelahiran teman-temanmu, tulislah anggota Q!
c)Nyatakan relasi himpunan P ke Q dengan diagram panah, relasinya bulan kelahiran.
d)Adakah anggota P mempunyai bulan kelahiran lebih dari satu?
e)Adakah anggota P yang tidak mempunyai bulan kelahiran?
f)Apa yang dapat kalian simpulkan dari relasi di atas?
Pada relasi di atas, adakah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A
ke himpunar. B di mana setiap anggota A mempunyai pasangan satu di anggota B?
Relasi seperti ini disebut fungsi atau pemetaan. ,
Jadi, suatu fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah :
Suatu relasi khusus, sehingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan
tepat satu anggota himpunan B.
Contoh fungsi/pemetaan:
Contoh bukan fungsi/pemetaan:
86
Perhatikan gambar di bawah ini
Himpunan A = { Nia, Tuti, Adi, Iman}, disebut daerah asal atau domain.
Himpunan B = {37, 38, 39, 40}, di sebut daerah kawan atau kodomain.
{37, 38, 39} disebut daerah hasil atau range, yaitu himpunan B yang mempunyai
kawan di himpunan A
Latihan
1. Manakah yang merupakan pemetaan?
2 . P e r h a t i k a n g a m b a r d i a g r a m p a n a h
d i s a m p i n g !
a . R e l a s i ya n g m u n g k i n d a r i
h i m p u n a n P k e h i m p u n a n Q a d a l a h
…
b . D o m a i n =
c . K o d o m a i n =
d . R a n g e =
87
3. Diketahui A = { 1,2,3,4} dan B = {5,6,7}. Pemetaan A → B mengawankan
setiap bilangan ganjil dengan bilangan genap dan bilangan genap dengan
bilangan genap. Himpunan pasangan berurutan dari relasi A→ B adalah ….
4. Setiap pasangan himpunan berurutan di bawah ini menunjukkan relasi dari
himpunan P ke himpunan Q. Relasi manakah yang merupakan pemetaan?
a. {(3,4),(5,4),(6,5),(7,6)}
b. {(4,5),(6,3),(4,2),(8,3)}
c. {(a,b),(c,b),(d,b),(a,b)}
d. {(a,4,),(b,4),(c,4),(d,5)}
5. Manakah dari grafik Cartesius berikut yang merupakan pemetaan?
C.3 Merumuskan Suatu Fungsi
Pada gambar di samping tampak bahwa anggota himpunan P dipasangkan dengan
anggota himpunan B
1. Tiga kurangnya dari 4 , ditulis 1 → 4
2. Tiga kurangnya dari 5, ditulis 2 → 5
3 . Tiga kurangnya dari 6, ditulis 3 → 6
4 . Tiga kurangnya dari 7, ditulis 4 → 7
Jika relasi di atas adalah f, maka :
f : 1 →1 + 3
f : 2 → 2 + 3
f : 3 → 3 + 3
f : 4 →4 + 3
Dalam bentuk notasi fungsi menjadi : f : x → x + 3
Dan rumus fungsinya adalah f(x) = x + 3
88
C o n t o h :
Fungsi f memetakan setiap x anggota daerah asal ke 2 x + 1 dari daerah kawan.
a . Tulislah notasi fungsi
b . Tulislah rumus f
c . Tentukan nilai f(2)
Jawab :
a. Notasi fungsi f adalah f : x → 2 x + 1
b. Rumus fungsi f adalah f ( x ) = 2 x + 1
c. Rumus fungsi f ( x ) = 2 x + 1
f ( 2 ) = ( 2 x 2 ) + 1
f ( 2 ) = 4 + 1
f ( 2 ) = 5
D. RINGKASAN MATERI
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. fungsi
(pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.Relasi dan fungsi dapat dinyatakan
dengan tiga cara, yaitu: diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan
berurutan. Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) maka fungsi
fbyang memetakkan x ke y dinotasikan dengan f : x →y, dibaca fungsi f memetakan
x ke y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f.Jika banyaknya anggota himpunan A adalah
n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka:
1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba.
2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab .
Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan
pada nilai fungsinya.Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu
jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota
A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan
dengan tepat satu anggota A.
E. Tugas dan Latihan
Fungsi f : x → 2x+ 1, jika x E { 1,2,3,4},
tentukanlah:
d. rumus fungsi
e. range
f. jika f(a) = 15, tentukan nilai a
89
F. Rambu-rambu jawaban
Jawab:
a . Rumus fungsi adalah f (x) = 2x + 1
b . f(1)=2.1+1=2+1=3
f2)=2.2+1=4+1=5
f3)=2.3+1=6+1=7
f(4)=2.4+1=8+1=9
maka range fungsi = {3,5,7,9}
c . Bila f(a) = 15, maka
f(x) = 2x + 1
f(a)=2a+1
15=2a+1
2a=15-1
2a=14
a = 7 maka nilai a = 7
90
DAFTAR PUSTAKA
Bryant, V. (1993). Aspectcs of Combinatorics: A Wide Ranging introduction.
Cambridge: Cambridge University Press.
Cabrera, G.A. (1992). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical
Thinking. Education 113 (1) 59-63.
Copi, I.M. (1972). Introduction to Logic. New York: Macmillan.
Durbin, J.R. (1979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons.
Gerhard, M. (1971). Effective Teaching Strategies With the Behavioral Outcomes
Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc.
Jhon, Bird. 2002. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga
Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series.
Singapore: McGraw Hill International Book Company.
Maulana. 2008. Dasar-dasar Keilmuan Matematika. Subang: Rayyon Press
Naga, D.S. (1980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT.
Gramedia.
Ngurah Java, I Gusti,. 2015. Pendidikan Matematika I. Singaraja: Undiksha
Purcell, E.J. dan Varberg, D. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta:
Erlangga.
