Komputerowe wspomaganie podejmowania decyzji

Komputerowe Komputerowe wspomaganie wspomaganie podejmowania decyzjipodejmowania decyzji

Wykład dla V roku GeoinformacjiWykład dla V roku Geoinformacjirok akademicki 2007/2008rok akademicki 2007/2008

Alfred StachAlfred StachInstytut Paleogeografii i Geoekologii UAMInstytut Paleogeografii i Geoekologii UAM

Niepewność procesu Niepewność procesu decyzyjnegodecyzyjnego

Niepewność jest nieodłączną częścią procesu Niepewność jest nieodłączną częścią procesu decyzyjnego; jej efektem jest ryzyko decyzjidecyzyjnego; jej efektem jest ryzyko decyzji

Lepsze zrozumienie poszczególnych źródeł niepewności i Lepsze zrozumienie poszczególnych źródeł niepewności i ich końcowego wpływu na ryzyko decyzji powoduje ich końcowego wpływu na ryzyko decyzji powoduje odchodzenie od „ostrych” rozwiązań typowych w odchodzenie od „ostrych” rozwiązań typowych w tradycyjnym GIS tradycyjnym GIS (gdzie zakłada się, że zarówno baza danych jest (gdzie zakłada się, że zarówno baza danych jest dokładna i kompletna, jak i wykorzystywane modele są optymalne)dokładna i kompletna, jak i wykorzystywane modele są optymalne) do do procedur dających wyniki „miękkie”.procedur dających wyniki „miękkie”.

Zamiast stanowczych stwierdzeń typu „coś jest” lub Zamiast stanowczych stwierdzeń typu „coś jest” lub „czegoś nie ma” uzyskuje się nieprecyzyjne stwierdzenia „czegoś nie ma” uzyskuje się nieprecyzyjne stwierdzenia o stopniu prawdopodobieństwa, czy też natężeniu o stopniu prawdopodobieństwa, czy też natężeniu „możliwości”„możliwości”

Przejście do „miękkich” zasad podejmowania decyzji Przejście do „miękkich” zasad podejmowania decyzji wymaga rozwoju zdolności systemów GID do wymaga rozwoju zdolności systemów GID do przetwarzania niepewnych danych przy pomocy przetwarzania niepewnych danych przy pomocy niepewnych reguł i metod, i zachowywania informacji co niepewnych reguł i metod, i zachowywania informacji co jest źródłem niepewności i jakim zmianom ona podlega w jest źródłem niepewności i jakim zmianom ona podlega w trakcie całego procesu decyzyjnego trakcie całego procesu decyzyjnego

Typologia źródeł Typologia źródeł niepewnościniepewności

Niepewność związana jest ze wszystkimi Niepewność związana jest ze wszystkimi znanymi i nieznanymi błędami w danych i znanymi i nieznanymi błędami w danych i w regułach ich przetwarzania i w regułach ich przetwarzania i interpretacji; wynika też z ich interpretacji; wynika też z ich niejednoznaczności i zróżnicowanianiejednoznaczności i zróżnicowania

Może zatem wynikać z błędów Może zatem wynikać z błędów pomiarowych, wewnętrznej zmienności, pomiarowych, wewnętrznej zmienności, niestabilności czasowej, niestabilności czasowej, niejednoznaczności pojęć, nadmiernego niejednoznaczności pojęć, nadmiernego uproszczenia modelu lub zwykłej uproszczenia modelu lub zwykłej niewiedzy dotyczącej istotnych jego niewiedzy dotyczącej istotnych jego parametrówparametrów

Typologia źródeł Typologia źródeł niepewnościniepewności

Traktując proces decyzyjny jak zbiór „problemów Traktując proces decyzyjny jak zbiór „problemów przynależności / braku przynależności” możemy przynależności / braku przynależności” możemy dokonać klasyfikacji źródeł i roli niepewności dokonać klasyfikacji źródeł i roli niepewności występujących w jego ramach.występujących w jego ramach.

Zakres decyzyjny (Zakres decyzyjny (decision framedecision frame) zawiera ) zawiera wszystkie uwzględniane alternatywy (lub wszystkie uwzględniane alternatywy (lub hipotezy), natomiast „dowody” (hipotezy), natomiast „dowody” (evidenceevidence) to taka ) to taka informacja na podstawie której można dokonać informacja na podstawie której można dokonać oceny szeregu funkcji przynależności określonych oceny szeregu funkcji przynależności określonych lokalizacji do zbioru decyzyjnego (lokalizacji do zbioru decyzyjnego (decision setdecision set))

Proces decyzyjny zawiera zatem trzy Proces decyzyjny zawiera zatem trzy podstawowe elementy które są źródłem podstawowe elementy które są źródłem niepewności – dowody, sam zbiór decyzyjny i niepewności – dowody, sam zbiór decyzyjny i relacje pomiędzy nimirelacje pomiędzy nimi

Niepewność dowodów Niepewność dowodów ((evidenceevidence))

Dowody to wszelkie informacje (ilościowe i Dowody to wszelkie informacje (ilościowe i jakościowe) o obiektach zbioru kandydackiego które jakościowe) o obiektach zbioru kandydackiego które poddawane są ocenie przydatności w świetle zakresu poddawane są ocenie przydatności w świetle zakresu decyzyjnego (analizowanych alternatyw lub hipotez)decyzyjnego (analizowanych alternatyw lub hipotez)

Niepewność wynika w tym przypadku z błędów Niepewność wynika w tym przypadku z błędów pomiarowych i/lub obserwacyjnychpomiarowych i/lub obserwacyjnych

Ten rodzaj niepewności przedstawiany jest zazwyczaj Ten rodzaj niepewności przedstawiany jest zazwyczaj w postaci RMSE w postaci RMSE (pierwiastka średniego błędu kwadratowego – (pierwiastka średniego błędu kwadratowego – root mean square errorroot mean square error)) w przypadku danych ilościowych, i w przypadku danych ilościowych, i błędu proporcji błędu proporcji ((proportional errorproportional error)) – danych jakościowych – danych jakościowych

Ocena tych źródeł błędu dokonywana jest na Ocena tych źródeł błędu dokonywana jest na podstawie klasycznej teorii pomiaru oraz teorii podstawie klasycznej teorii pomiaru oraz teorii prawdopodobieństwa i wnioskowania matematyczno-prawdopodobieństwa i wnioskowania matematyczno-statystycznego do ich szacowania i propagacji w statystycznego do ich szacowania i propagacji w trakcie analizytrakcie analizy

Niepewność relacji INiepewność relacji IDrugim podstawowym elementem procesu decyzyjnego jest Drugim podstawowym elementem procesu decyzyjnego jest specyfikacja relacji zachodzących pomiędzy dowodami a specyfikacja relacji zachodzących pomiędzy dowodami a zbiorem decyzyjnym. Na tym etapie niepewność może zbiorem decyzyjnym. Na tym etapie niepewność może pochodzić z trzech źródeł:pochodzić z trzech źródeł:

Niepewność związana z definicją kryteriówNiepewność związana z definicją kryteriów: „jeśli wyznaczoną : „jeśli wyznaczoną granicą dużego spadku terenu jest 10% i więcej, to czy spadek granicą dużego spadku terenu jest 10% i więcej, to czy spadek 9,99999% nie jest duży?”. Ten problem związany jest z częstych 9,99999% nie jest duży?”. Ten problem związany jest z częstych występowaniem kryteriów o charakterze nieostrym, występowaniem kryteriów o charakterze nieostrym, stopniowym. Przy takich problemach zastosowanie znajduje stopniowym. Przy takich problemach zastosowanie znajduje teoria zbiorów rozmytychteoria zbiorów rozmytych

Niepewność wynikająca z pośredniej i niejednoznacznej relacji Niepewność wynikająca z pośredniej i niejednoznacznej relacji między dowodami, a zbiorem decyzyjnymmiędzy dowodami, a zbiorem decyzyjnym, na przykład , na przykład określanie użytkowania terenu na podstawie obrazów określanie użytkowania terenu na podstawie obrazów satelitarnych, a nie bezpośredniego kartowania terenowego. satelitarnych, a nie bezpośredniego kartowania terenowego. Dysponujemy wówczas nie pewnością, ale przekonaniem (Dysponujemy wówczas nie pewnością, ale przekonaniem (beliefbelief) ) że dowody sugerują istnienie określonego zbioru (kategorii że dowody sugerują istnienie określonego zbioru (kategorii użytkowania terenu). Do analizy takich problemów wykorzystuje użytkowania terenu). Do analizy takich problemów wykorzystuje się teorię prawdopodobieństwa Bayesa i/lub Dempstera-Shafera.się teorię prawdopodobieństwa Bayesa i/lub Dempstera-Shafera.

Niepewność relacji IINiepewność relacji II Niepewność związana z błędem Niepewność związana z błędem

specyfikacji modeluspecyfikacji modelu wynikająca najczęściej wynikająca najczęściej z konieczności agregacji wielu kryteriów z konieczności agregacji wielu kryteriów aby określić zbiór decyzyjny: czy kryteria aby określić zbiór decyzyjny: czy kryteria są adekwatne do problemu i w jaki sposób są adekwatne do problemu i w jaki sposób je zagregować aby uzyskać syntetyczny je zagregować aby uzyskać syntetyczny wskaźnik.wskaźnik. W metodzie WLC stosujemy średnią ważoną, ale czy jest W metodzie WLC stosujemy średnią ważoną, ale czy jest

ona w każdej sytuacji najlepsza i jedyna? Jeśli musimy ona w każdej sytuacji najlepsza i jedyna? Jeśli musimy zagregować dwa kryteria o takiej samej ważności zagregować dwa kryteria o takiej samej ważności (wadze): jedno o przydatności 0,6, a drugie 0,7 to WLC (wadze): jedno o przydatności 0,6, a drugie 0,7 to WLC daje końcowy wynik przydatności 0,65. Zastosowanie daje końcowy wynik przydatności 0,65. Zastosowanie do tych samych danych klasycznej teorii do tych samych danych klasycznej teorii prawdopodobieństwa daje 0,42, teorii zbiorów prawdopodobieństwa daje 0,42, teorii zbiorów rozmytych – 0,6, teorii Bayesa 0,78, a teorii Dempstera-rozmytych – 0,6, teorii Bayesa 0,78, a teorii Dempstera-Shafera – 0,88. Która wartość jest bardziej prawidłowa?Shafera – 0,88. Która wartość jest bardziej prawidłowa?

Niepewność zbioru Niepewność zbioru decyzyjnegodecyzyjnego

Niepewność końcowa – zbioru decyzyjnego Niepewność końcowa – zbioru decyzyjnego jest rodzajem agregacji niepewności jest rodzajem agregacji niepewności dowodów i niepewności specyfikacji relacji dowodów i niepewności specyfikacji relacji pomiędzy nimi a zbiorem decyzyjnympomiędzy nimi a zbiorem decyzyjnym

Jeśli zatem istnieje niepewność co do Jeśli zatem istnieje niepewność co do stopnia przynależności obiektu stopnia przynależności obiektu kandydackiego do zbioru decyzyjnego to kandydackiego do zbioru decyzyjnego to do podjęcia końcowej decyzji potrzebna do podjęcia końcowej decyzji potrzebna jest dodatkowa operacja – jest dodatkowa operacja – określenie określenie progu niepewności który jesteśmy w progu niepewności który jesteśmy w stanie zaakceptowaćstanie zaakceptować..

Należy zatem ocenić możliwość podjęcia Należy zatem ocenić możliwość podjęcia złej decyzji, czyli jej ryzykozłej decyzji, czyli jej ryzyko

Niepewność danych a ryzyko Niepewność danych a ryzyko decyzji: ocena błędówdecyzji: ocena błędów

Niezbędnym aspektem oceny niepewności decyzji jest Niezbędnym aspektem oceny niepewności decyzji jest znajomość błędów pomiarowych i ich propagacji w trakcie znajomość błędów pomiarowych i ich propagacji w trakcie przetwarzania danych i łączenia poszczególnych ich zbiorów przetwarzania danych i łączenia poszczególnych ich zbiorów (warstw)(warstw)

Szacowanie błędów pomiarowych jest zazwyczaj wykonywane Szacowanie błędów pomiarowych jest zazwyczaj wykonywane poprzez selekcję próby lokalizacji terenowych, i wykonanie w poprzez selekcję próby lokalizacji terenowych, i wykonanie w ich miejscu ponownego pomiaru analizowanej cechy ich miejscu ponownego pomiaru analizowanej cechy (parametru). Wyniki tych pomiarów testowych są następnie (parametru). Wyniki tych pomiarów testowych są następnie porównywane z wcześniej posiadanymi danymi z bazy.porównywane z wcześniej posiadanymi danymi z bazy.

W oparciu o zbiór pomiarów testowych i posiadanych W oparciu o zbiór pomiarów testowych i posiadanych poprzednio, możliwe jest dokonanie szacunku błędów. W poprzednio, możliwe jest dokonanie szacunku błędów. W przypadku danych ilościowych posługujemy się pierwiastkiem przypadku danych ilościowych posługujemy się pierwiastkiem średniego błędu kwadratowego (średniego błędu kwadratowego (Root Mean Square Error:Root Mean Square Error: RMSERMSE) ) obliczanym według następującej formuły:obliczanym według następującej formuły:

2

1

1

n

i ii

x tRMSE

n

Gdzie:xi – to wynik pomiaru dotychczasowego

ti – wynik pomiaru testowego (sprawdzającego)


W przypadku danych jakościowych konstruuje się macierz błędów W przypadku danych jakościowych konstruuje się macierz błędów zawierającą ilość zidentyfikowanych punktów (lokalizacji) dla zawierającą ilość zidentyfikowanych punktów (lokalizacji) dla każdej możliwej kombinacji wartości istniejących w bazie danych każdej możliwej kombinacji wartości istniejących w bazie danych z uzyskanymi z pomiarów testowych z uzyskanymi z pomiarów testowych

Las Las iglastyiglasty

Las Las mieszanmieszan

yy

Las Las liściastyliściasty

WodyWody SumaSuma BłądBłąd

Las iglastyLas iglasty 2424 00 00 33 2727 0,110,11Las Las mieszanymieszany

33 3636 1616 00 5555 0,350,35


00 00 2828 00 2828 0,000,00

WodyWody 22 00 00 1414 1616 0,120,12SumaSuma 2929 3636 4444 1717 126126BłądBłąd 0,170,17 0,000,00 0,360,36 0,180,18 0,190,19Błędy pominięcia – Errors of omission

Błędy nadm

iaru – Errors of com

mission

Dane testowe (weryfikujące)

Dan

e po

siad

ane

Niepewność danych a ryzyko Niepewność danych a ryzyko decyzji: ocena błędówdecyzji: ocena błędów Wartości ułożone na przekątnej reprezentują przypadki kiedy pomiary Wartości ułożone na przekątnej reprezentują przypadki kiedy pomiary

testowe są zgodne z posiadanymi już danymi. Wartości umieszczone w testowe są zgodne z posiadanymi już danymi. Wartości umieszczone w tabeli poza przekątnymi podają ilość błędów i są podsumowane na tabeli poza przekątnymi podają ilość błędów i są podsumowane na marginesach. Są one podawane także jako błędy względne określeń marginesach. Są one podawane także jako błędy względne określeń każdej kategorii. Całkowity błąd względny (proporcjonalny) jest każdej kategorii. Całkowity błąd względny (proporcjonalny) jest umieszczony w prawym dolnym rogu tabeli. umieszczony w prawym dolnym rogu tabeli.



yy




33 3636 1616 00 5555 0,350,35


00 00 2828 00 2828 0,000,00


Błędy nadm


mission


Dan

e po

siad

ane


Błędy względne znajdujące się w dolnej części tabeli nazywa się Błędy względne znajdujące się w dolnej części tabeli nazywa się „błędami pominięcia”, a po prawej – „błędami nadmiaru”. Pierwsze „błędami pominięcia”, a po prawej – „błędami nadmiaru”. Pierwsze określają przypadki kiedy lokalizacje konkretnej kategorii stwierdzone w określają przypadki kiedy lokalizacje konkretnej kategorii stwierdzone w badaniach testowych były w istniejącej bazie danych zaklasyfikowane badaniach testowych były w istniejącej bazie danych zaklasyfikowane inaczej, drugie zaś kiedy lokalizacje należące w bazie do określonej inaczej, drugie zaś kiedy lokalizacje należące w bazie do określonej kategorii zostały w badaniach testowych zakwalifikowane inaczej.kategorii zostały w badaniach testowych zakwalifikowane inaczej.



yy




33 3636 1616 00 5555 0,350,35


00 00 2828 00 2828 0,000,00


Błędy nadm


mission


Dan

e po

siad

ane

Propagacja błędów w trakcie Propagacja błędów w trakcie analizyanalizy

Jeśli w wartości zapisane w warstwach danych są Jeśli w wartości zapisane w warstwach danych są niepewneniepewne, , to wtedy ich błąd jest przenoszony (ulega to wtedy ich błąd jest przenoszony (ulega propagacji) w trakcie każdego kroku analizy i łączy się z propagacji) w trakcie każdego kroku analizy i łączy się z błędami pochodzącymi z innych źródełbłędami pochodzącymi z innych źródeł

W pakietach rastrowego GIS istnieją specjalne wzory W pakietach rastrowego GIS istnieją specjalne wzory propagacji błędów powstających w trakcie typowych propagacji błędów powstających w trakcie typowych operacji matematycznych (takich jakie na przykład można operacji matematycznych (takich jakie na przykład można wykonać za pomocą modułów SCALAR i OVERLAY w Idrisi). wykonać za pomocą modułów SCALAR i OVERLAY w Idrisi). Ich użyteczność jest jednak ograniczona ze względu:Ich użyteczność jest jednak ograniczona ze względu: Propagacja błędów jest silnie uzależniona od istnienia Propagacja błędów jest silnie uzależniona od istnienia

korelacji pomiędzy zmiennymi, a „siła” takiej korelacji często korelacji pomiędzy zmiennymi, a „siła” takiej korelacji często nie jest znana na początku analizynie jest znana na początku analizy

Dla wielu operacji GIS nie poznano do tej pory charakterystyk Dla wielu operacji GIS nie poznano do tej pory charakterystyk propagacji błędów i nie opracowano formuł umożliwiających propagacji błędów i nie opracowano formuł umożliwiających ich obliczenieich obliczenie..

Typowe formuły propagacji Typowe formuły propagacji błędów: operacje arytmetycznebłędów: operacje arytmetyczne

S oznacza błąd RMSE; SS oznacza błąd RMSE; Sxx – błąd RMSE mapy – błąd RMSE mapy (warstwy) X; S(warstwy) X; Syy – błąd mapy Y; S – błąd mapy Y; Szz – błąd – błąd wynikowej mapy Z; K – stała podana przez wynikowej mapy Z; K – stała podana przez operatoraoperatora

Zazwyczaj obliczony błąd wynikowy jest stały w Zazwyczaj obliczony błąd wynikowy jest stały w obrębie całej mapy. W niektórych jednak obrębie całej mapy. W niektórych jednak przypadkach jest on jednak uzależniony od przypadkach jest on jednak uzależniony od wartości odpowiadających komórek na mapach wartości odpowiadających komórek na mapach składowych. Są one wówczas wyrażone jako X i Y. składowych. Są one wówczas wyrażone jako X i Y. W takich sytuacjach błąd jest zróżnicowany w W takich sytuacjach błąd jest zróżnicowany w obrębie mapy wynikowej, i musi być obliczany obrębie mapy wynikowej, i musi być obliczany oddzielnie dla każdego piksela.oddzielnie dla każdego piksela.

Podane formuły znajdują zastosowanie przy Podane formuły znajdują zastosowanie przy założeniu, że mapy składowe nie są ze sobą założeniu, że mapy składowe nie są ze sobą skorelowaneskorelowane

Typowe formuły propagacji Typowe formuły propagacji błędów: operacje błędów: operacje arytmetycznearytmetyczne

Dodawania / odejmowanie mapDodawania / odejmowanie mapto znaczy Z = X + Y lub Z = X – Y:to znaczy Z = X + Y lub Z = X – Y:

2 2z x yS S S

Mnożenie / dzielenie mapMnożenie / dzielenie mapto znaczy Z = X * Y lub Z = X / Y:to znaczy Z = X * Y lub Z = X / Y:

2 2 2 2z x yS S Y S X


Skalarne dodawanie i odejmowanieSkalarne dodawanie i odejmowanieto znaczy Z = X + k lub Z = X – k:to znaczy Z = X + k lub Z = X – k:

z xS S

Mnożenie skalarneMnożenie skalarneto znaczy Z = X * kto znaczy Z = X * k

z xS S k


Skalarne dzielenieSkalarne dzielenieto znaczy Z = X / k:to znaczy Z = X / k:

Potęgowanie skalarnePotęgowanie skalarneto znaczy Z = Xto znaczy Z = Xkk::

2 (2( 1)) 2kz xS k X S

xz

SS

k

Typowe formuły propagacji Typowe formuły propagacji błędów: operacje logicznebłędów: operacje logiczne

W trakcie działań logicznych, błędy mogą W trakcie działań logicznych, błędy mogą być wyrażone w postaci oczekiwanej być wyrażone w postaci oczekiwanej wartości proporcji komórek (pikseli) wartości proporcji komórek (pikseli) błędnych w kategorii która jest błędnych w kategorii która jest przetwarzana.przetwarzana.Jeśli na przykład wartość logiczna „1” na mapie oznacza Jeśli na przykład wartość logiczna „1” na mapie oznacza przynależność do kategorii „lasy” , a „0” – przynależność przynależność do kategorii „lasy” , a „0” – przynależność do wszystkich innych kategorii, to wartość błędu 0,05 do wszystkich innych kategorii, to wartość błędu 0,05 oznacza ocenę, że 5% pikseli należących do kategorii oznacza ocenę, że 5% pikseli należących do kategorii „lasy” zostało źle zaklasyfikowane.„lasy” zostało źle zaklasyfikowane.

Ponieważ operacje logiczne wykonuje się Ponieważ operacje logiczne wykonuje się na dwóch mapach, błąd na mapie na dwóch mapach, błąd na mapie wynikowej jest funkcją błędów obu map wynikowej jest funkcją błędów obu map wyjściowych i typu wykonywanej operacjiwyjściowych i typu wykonywanej operacji

Typowe formuły propagacji Typowe formuły propagacji błędów: operacje logicznebłędów: operacje logiczne

Logiczne „AND”:Logiczne „AND”:

Logiczne „OR”:Logiczne „OR”:

z x ye e e

(1 )z x x ye e e e

z x y x ye e e e e

lub równoważne:

Ocena wielkości próby potrzebnejOcena wielkości próby potrzebnejdo obliczenia RMSEdo obliczenia RMSEo zadanym poziomie ufnościo zadanym poziomie ufności Jeśli wartość RMSE lub błędu Jeśli wartość RMSE lub błędu

proporcjonalnego nie jest znana z góry to proporcjonalnego nie jest znana z góry to konieczne jest zaplanowanie dodatkowych konieczne jest zaplanowanie dodatkowych badań. Aby były optymalne konieczne jest badań. Aby były optymalne konieczne jest zbilansowanie dwóch sprzecznych celów:zbilansowanie dwóch sprzecznych celów: minimalizacji kosztów dodatkowych badań,minimalizacji kosztów dodatkowych badań, uzyskanie oceny RMSE / błędu uzyskanie oceny RMSE / błędu

proporcjonalnego o zadawalającej dokładnościproporcjonalnego o zadawalającej dokładności Do takiej optymalizacji dodatkowego Do takiej optymalizacji dodatkowego

próbkowania wykorzystuje się następujące próbkowania wykorzystuje się następujące formuły:formuły:

2 2

22z sn

e

2

2

z p qne

nn – liczebność próby, – liczebność próby,zz – stała zależna od pożądanego ufności (np. dla 95% przedziału ufności z = 1,96), – stała zależna od pożądanego ufności (np. dla 95% przedziału ufności z = 1,96),ss – szacowana wartość błędu standardowego potrzebnej charakterystyki statystycznej, – szacowana wartość błędu standardowego potrzebnej charakterystyki statystycznej,ee – pożądany przedział ufności (np. dla przedziału ufności – pożądany przedział ufności (np. dla przedziału ufności 10% e = 0,01), 10% e = 0,01),pp – szacowany błąd względny, – szacowany błąd względny, qq = (1 – = (1 – pp))

Ocena propagacji błędówOcena propagacji błędówprzy pomocy symulacji Monte przy pomocy symulacji Monte CarloCarlo

Analiza wykonywana jest dwukrotnie:Analiza wykonywana jest dwukrotnie: Pierwszy raz w sposób „zwykły”Pierwszy raz w sposób „zwykły” Za drugim razem przy użyciu warstw (map cyfrowych) zawierających Za drugim razem przy użyciu warstw (map cyfrowych) zawierających

symulowane błędysymulowane błędy Porównanie obu wyników umożliwia ocenę wpływu błędów – ponieważ Porównanie obu wyników umożliwia ocenę wpływu błędów – ponieważ

jedyną przyczyną różnic jest wprowadzony „sztucznie” błądjedyną przyczyną różnic jest wprowadzony „sztucznie” błąd Badany jest rozkład statystyczny błędów dla wszystkich pikseli wynikowej Badany jest rozkład statystyczny błędów dla wszystkich pikseli wynikowej

mapy. Jeśli jest to rozkład normalny, to odchylenie standardowe błędów mapy. Jeśli jest to rozkład normalny, to odchylenie standardowe błędów może być uznane za dobre przybliżenie RMSE mapy wynikowejmoże być uznane za dobre przybliżenie RMSE mapy wynikowej

Na przykład jeśli jedną ze składowych analizy jest model DEM o RMSE Na przykład jeśli jedną ze składowych analizy jest model DEM o RMSE równym 3, to w procedurze Monte Carlo generowana jest losowo równym 3, to w procedurze Monte Carlo generowana jest losowo powierzchnia wartości o rozkładzie normalnym, średniej równej 0 i powierzchnia wartości o rozkładzie normalnym, średniej równej 0 i odchyleniu standardowym równym 3. Powierzchnia ta (symulowany błąd) odchyleniu standardowym równym 3. Powierzchnia ta (symulowany błąd) dodawana jest do oryginalnego DEM i używana w dalszym toku analizydodawana jest do oryginalnego DEM i używana w dalszym toku analizy

Rezultaty analizy Monte Carlo mogą dać bardziej wiarygodne rezultaty Rezultaty analizy Monte Carlo mogą dać bardziej wiarygodne rezultaty jeśli zostaną powtórzone wiele razy, a wyniki uśrednionejeśli zostaną powtórzone wiele razy, a wyniki uśrednione

Należy jednakże pamiętać, że jakość wyników metody MC zależy od Należy jednakże pamiętać, że jakość wyników metody MC zależy od prawidłowego wyboru typu rozkładu statystycznego który zastosujemy prawidłowego wyboru typu rozkładu statystycznego który zastosujemy jako model częstości i wielkości błędówjako model częstości i wielkości błędów

Niepewność bazy danych a Niepewność bazy danych a ryzyko decyzji – finalna ocenaryzyko decyzji – finalna ocena

Posiadając ocenę błędu pomiaru i wyniki obliczeń jego propagacji w Posiadając ocenę błędu pomiaru i wyniki obliczeń jego propagacji w trakcie analizy decyzyjnej można w pełni ocenić związane z nimi trakcie analizy decyzyjnej można w pełni ocenić związane z nimi ryzyko decyzji.ryzyko decyzji.

Zazwyczaj polega to obliczeniu prawdopodobieństwa Zazwyczaj polega to obliczeniu prawdopodobieństwa przekroczenia / nie przekroczenia wartości poszczególnych pikseli przekroczenia / nie przekroczenia wartości poszczególnych pikseli mapy wynikowej określonej wartości granicznej (progowej)mapy wynikowej określonej wartości granicznej (progowej)

Procedura opiera się na założeniu losowości błędów i używa Procedura opiera się na założeniu losowości błędów i używa obliczonej wartości RMSE do wygenerowania ich rozkładu obliczonej wartości RMSE do wygenerowania ich rozkładu statystycznego (SD = RMSE). Dzięki temu otrzymujemy mapę statystycznego (SD = RMSE). Dzięki temu otrzymujemy mapę prawdopodobieństwa przynależności każdego piksela mapy prawdopodobieństwa przynależności każdego piksela mapy wynikowej do zbioru decyzyjnego. Jest to „miekki” odpowiednik wynikowej do zbioru decyzyjnego. Jest to „miekki” odpowiednik zwykłego przeklasyfikowania danych.zwykłego przeklasyfikowania danych.

Niepewność bazy danych a Niepewność bazy danych a ryzyko decyzji – finalna ocena ryzyko decyzji – finalna ocena (przykład)(przykład)

Ocena zasięgu obszarów zagrożonych zalaniem w rejonie portu Ocena zasięgu obszarów zagrożonych zalaniem w rejonie portu bostońskiego w wyniku prognozowanego wzrostu poziomu bostońskiego w wyniku prognozowanego wzrostu poziomu oceanu światowego (pod wpływem globalnego ocieplenia)oceanu światowego (pod wpływem globalnego ocieplenia)

Prognoza wzrostu poziomu o 1,9 m do końca obecnego stuleciaPrognoza wzrostu poziomu o 1,9 m do końca obecnego stulecia Model DEM zawiera znany błąd – można zatem ocenić Model DEM zawiera znany błąd – można zatem ocenić

niepewność zasięgu obszarów zagrożonych zalaniem.niepewność zasięgu obszarów zagrożonych zalaniem.

Prawdopodobieństwo zalania Obszar o 5% ryzyka zalania Obszar o 25% ryzyka zalania

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej)

Drugim podstawowym elementem procesu Drugim podstawowym elementem procesu decyzyjnego jest specyfikacja relacji zachodzących decyzyjnego jest specyfikacja relacji zachodzących pomiędzy dowodami a zbiorem decyzyjnympomiędzy dowodami a zbiorem decyzyjnym

Niepewność zawarta jest w ocenie kiedy obiekt należy Niepewność zawarta jest w ocenie kiedy obiekt należy do finalnego zbioru decyzyjnego i jako taka stanowi do finalnego zbioru decyzyjnego i jako taka stanowi ogólną kategorię niepewnej przynależności, nazywaną ogólną kategorię niepewnej przynależności, nazywaną miarami rozmytymimiarami rozmytymi

Miary rozmyteMiary rozmyte to jakiekolwiek funkcje przynależności to jakiekolwiek funkcje przynależności do zbiorów, które są monotonicznedo zbiorów, które są monotoniczne

Najważniejszymi przykładami miar rozmytychNajważniejszymi przykładami miar rozmytych są są prawdopodobieństwoprawdopodobieństwo Bayesa, Bayesa, przekonanieprzekonanie ( (beliefbelief) i ) i wiarygodnośćwiarygodność ( (pplausibilitlausibilityy)) Dempster Dempsteraa-Shafer-Shafera ia i możliwośćmożliwość ((possibilitpossibilityy)) zbiorów rozmytychzbiorów rozmytych

Niepewność relacji:Niepewność relacji:Reguły agregacji danych Reguły agregacji danych rozmytychrozmytych

Zazwyczaj uznaje się, że rozmyte cechy stosują Zazwyczaj uznaje się, że rozmyte cechy stosują się do praw DeMorgana dotyczących tworzenie się do praw DeMorgana dotyczących tworzenie operatorów iloczynuoperatorów iloczynu and and sumy zbiorów, a sumy zbiorów, a poprzez to podstawowych reguł propagacji poprzez to podstawowych reguł propagacji niepewności w trakcie agregacji danych. Prawo niepewności w trakcie agregacji danych. Prawo DeMorgana zakłada relację trójkątną pomiędzy DeMorgana zakłada relację trójkątną pomiędzy operatorami iloczynu, sumy i negacji w postaci:operatorami iloczynu, sumy i negacji w postaci:

T , S ,a b a b

Gdzie:Gdzie:T = Iloczyn (AND) = T-normaT = Iloczyn (AND) = T-normaS = Suma (OR) = T-CoNormaS = Suma (OR) = T-CoNorma = Negacja (NOT)= Negacja (NOT)

Niepewność relacji:Niepewność relacji: Reguły agregacji danych Reguły agregacji danych rozmytychrozmytych Operatory iloczynu są w tym kontekście nazywane normami Operatory iloczynu są w tym kontekście nazywane normami

trójkątnymi (trójkątnymi (triangular normstriangular norms), lub prosto T-Norms, natomast ), lub prosto T-Norms, natomast operatory sumowania – ko-normami trójkątnymi (operatory sumowania – ko-normami trójkątnymi (triangular co-triangular co-normsnorms) lub ) lub T-CoNorms.T-CoNorms.

T-Normy można definiować następująco:T-Normy można definiować następująco:odwzorowanie T: [0,1] * [0,1] -> [0,1] takie że:odwzorowanie T: [0,1] * [0,1] -> [0,1] takie że:T(a,b) = T(b,a)T(a,b) = T(b,a) przemienneprzemienneT(a,b) >= T(c,d) jeśli a >= c i b >= dT(a,b) >= T(c,d) jeśli a >= c i b >= d monotonicznemonotoniczneT(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) łącznełączneT(1,a) = a

Wybrane przykłady T-NormWybrane przykłady T-Norm::min(a,b)min(a,b) operator iloczynów zbiorów rozmytychoperator iloczynów zbiorów rozmytych

a * ba * b operator iloczynów prawdopodobieństwoperator iloczynów prawdopodobieństw

Niepewność relacji:Niepewność relacji: Reguły agregacji danych Reguły agregacji danych rozmytychrozmytych Wybrane przykłady T-norm (kontynuacja)Wybrane przykłady T-norm (kontynuacja)::

1 - min(1,((1-a)1 - min(1,((1-a)pp + (1-b) + (1-b)pp ) )(1/p)(1/p)) ) dla p>=1dla p>=1

max(0,a+b-1)max(0,a+b-1) T-CoNormy można definiować następująco:T-CoNormy można definiować następująco:

odwzorowanie S: [0,1] * [0,1] -> [0,1]odwzorowanie S: [0,1] * [0,1] -> [0,1]S(a,b) = S(b,a) S(a,b) = S(b,a) przemienneprzemienneS(a,b) >= S(c,d) jeśli a >= c i b >= dS(a,b) >= S(c,d) jeśli a >= c i b >= dmonotonicznemonotoniczneS(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c) łącznełączneS(0,a) = a

Niepewność relacji:Niepewność relacji: Reguły agregacji danych Reguły agregacji danych rozmytychrozmytych Wybrane przykłady T-CoNormWybrane przykłady T-CoNorm::

max(a,b)max(a,b) operator sum zbiorów rozmytychoperator sum zbiorów rozmytycha + b - a*ba + b - a*b operator sum prawdopodobieństwoperator sum prawdopodobieństwmin(1,(amin(1,(app + b + bpp ) )(1/p)(1/p))) ((dla dla p≥1)p≥1)min(1,a+b)min(1,a+b)

Przedstawione przykłady pokazują że agregacja cech rozmytych Przedstawione przykłady pokazują że agregacja cech rozmytych może być dokonywana przy użyciu bardzo szerokiego zestawu może być dokonywana przy użyciu bardzo szerokiego zestawu operatorów, stwarzając duże możliwości przy zestawianiu operatorów, stwarzając duże możliwości przy zestawianiu kryteriów w procesie decyzyjnym.kryteriów w procesie decyzyjnym. Wśród różnych dostępnych Wśród różnych dostępnych operatorów najbardziej skrajnymi (to jest dającymi najbardziej operatorów najbardziej skrajnymi (to jest dającymi najbardziej zróżnicowane wyniki numeryczne)zróżnicowane wyniki numeryczne) są operator są operator minimminimalnejalnej T- T-NormNormyy i i mamaksymalnejksymalnej T-CoNorm T-CoNormyy. . Mają one specjalne znaczenie Mają one specjalne znaczenie również z powodu że stosowane są najczęściej wśród tych, które również z powodu że stosowane są najczęściej wśród tych, które mają zastosowanie do zbiorów rozmytych. Poza tym wykazano, mają zastosowanie do zbiorów rozmytych. Poza tym wykazano, że stanowią one ekstremalne przypadki kontinuum pokrewnych że stanowią one ekstremalne przypadki kontinuum pokrewnych operatorów agregacji które można generować w trakcie operatorów agregacji które można generować w trakcie procedury średniej ważonej porządkowej (OWA).procedury średniej ważonej porządkowej (OWA).

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej) Aktualnie do wyrażania niepewności zasady decyzyjnej Aktualnie do wyrażania niepewności zasady decyzyjnej

stosowane są trzy główne reguły logiczne: teoria stosowane są trzy główne reguły logiczne: teoria zbiorów rozmytych, teoria prawdopodobieństwa Bayesa zbiorów rozmytych, teoria prawdopodobieństwa Bayesa i jej modyfikacja w postaci teorii Dempstera-Shafera.i jej modyfikacja w postaci teorii Dempstera-Shafera. Każda z nich jest odmienna i charakteryzuje się Każda z nich jest odmienna i charakteryzuje się własnym, specyficznym zestawem operatorów własnym, specyficznym zestawem operatorów T-Norm/T-CoNorm.T-Norm/T-CoNorm.

Stwierdzono, że nie ma określonej grupy operatorów Stwierdzono, że nie ma określonej grupy operatorów agregacji, która byłaby poprawna lub lepsza od innych. agregacji, która byłaby poprawna lub lepsza od innych. Różne sposoby wyrażania niepewności zasady Różne sposoby wyrażania niepewności zasady decyzyjnej wymagają odmiennych procedur agregacji.decyzyjnej wymagają odmiennych procedur agregacji.

Kontekst w którym jedna z nich powinna być użyta Kontekst w którym jedna z nich powinna być użyta zamiast innej nie zawsze jest jasny. Jest to częściowo zamiast innej nie zawsze jest jasny. Jest to częściowo efektem faktu iż zasady decyzyjne mogą obejmować efektem faktu iż zasady decyzyjne mogą obejmować więcej niż jedną formę niepewnościwięcej niż jedną formę niepewności..

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej) Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla

wyrażenia niepewności zasady decyzyjnej są wyrażenia niepewności zasady decyzyjnej są następujące:następujące: Problemy decyzyjne znajdujące się w zakresie kartowania Problemy decyzyjne znajdujące się w zakresie kartowania

przydatności do określonego celu można efektywnie przydatności do określonego celu można efektywnie rozwiązywać używając logiki zbiorów rozmytychrozwiązywać używając logiki zbiorów rozmytych.. Jeśli Jeśli definiujemy przydatność za pomocą czynników ciągłych definiujemy przydatność za pomocą czynników ciągłych ((odległość od dróg, nachylenie terenu itp.odległość od dróg, nachylenie terenu itp.), ), również sama również sama przydatność jest ciągła. Nie ma wówczas sposobu przydatność jest ciągła. Nie ma wówczas sposobu wyraźnego odróżnienia obszarów które są jeszcze wyraźnego odróżnienia obszarów które są jeszcze przydatne, o tych, które już są nieprzydatne. Wiele przydatne, o tych, które już są nieprzydatne. Wiele problemów alokacji zasobów w ramach GIS należy do tej problemów alokacji zasobów w ramach GIS należy do tej kategorii, a zatem konsekwentnie do sfery zastosowań kategorii, a zatem konsekwentnie do sfery zastosowań teorii zbiorów rozmytych.teorii zbiorów rozmytych.

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej) Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla

wyrażenia niepewności zasady decyzyjnej są wyrażenia niepewności zasady decyzyjnej są następujące (kontynuacja):następujące (kontynuacja): Obecność problemów „nieostrych” w znaczeniu Obecność problemów „nieostrych” w znaczeniu

niejednoznacznych, nie zawsze oznacza, że należą one do niejednoznacznych, nie zawsze oznacza, że należą one do zakresu stosowalności teorii zbiorów rozmytych. zakresu stosowalności teorii zbiorów rozmytych. Niedokładność pomiarów na przykład, dotyczących obiektu Niedokładność pomiarów na przykład, dotyczących obiektu (zbioru) o charakterze „ostrym” może spowodować (zbioru) o charakterze „ostrym” może spowodować konieczność użycia funkcji przynależności o identycznym konieczność użycia funkcji przynależności o identycznym charakterze jak te używane w przypadku zbiorów charakterze jak te używane w przypadku zbiorów rozmytych.rozmytych. Decydującym kryterium użycia teorii zbiorów Decydującym kryterium użycia teorii zbiorów rozmytych powinno być stwierdzenie, że analizowany zbiór rozmytych powinno być stwierdzenie, że analizowany zbiór jest sam w sobie niejednoznaczny (nieostry: jest sam w sobie niejednoznaczny (nieostry: gorąco/ciepło/chłodno/zimno itp.).gorąco/ciepło/chłodno/zimno itp.).

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej) Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla wyrażenia Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla wyrażenia

niepewności zasady decyzyjnej są następujące (kontynuacja):niepewności zasady decyzyjnej są następujące (kontynuacja): Rozmyta charakterystyka mająca postać braku przekonania to w Rozmyta charakterystyka mająca postać braku przekonania to w

zasadzie dziedzina teorii prawdopodobieństwa Bayesa i jej wariantu zasadzie dziedzina teorii prawdopodobieństwa Bayesa i jej wariantu zwanego teorią Dempstera-Shafera.zwanego teorią Dempstera-Shafera. Problem stanowi tutaj pośredni Problem stanowi tutaj pośredni charakter posiadanych informacji (danych). Posiadane dane nie dają charakter posiadanych informacji (danych). Posiadane dane nie dają możliwości bezpośredniego określenia przynależności do zbioru, możliwości bezpośredniego określenia przynależności do zbioru, lecz jedynie stanowią podstawę do przypuszczania o tej lecz jedynie stanowią podstawę do przypuszczania o tej przynależności, a więc obarczone w pewnym stopniu niepewnością.przynależności, a więc obarczone w pewnym stopniu niepewnością.

W swojej pierwotnej formie jednakże obie owe metody logiczne W swojej pierwotnej formie jednakże obie owe metody logiczne dotyczą potwierdzenia istnienia zbiorów ostrych – budzi wątpliwości dotyczą potwierdzenia istnienia zbiorów ostrych – budzi wątpliwości jedynie siła relacji między posiadanymi danymi a zbiorem jedynie siła relacji między posiadanymi danymi a zbiorem decyzyjnym.decyzyjnym.

Najbardziej typowym przykładem jest procedura klasyfikacji Najbardziej typowym przykładem jest procedura klasyfikacji nadzorowanej obrazów teledetekcyjnych.nadzorowanej obrazów teledetekcyjnych. Na podstawie powierzchni Na podstawie powierzchni testowych (tzw. testowych (tzw. training sitetraining site)) metoda bayesowska klasyfikacji metoda bayesowska klasyfikacji prowadzi do uzyskania relacji statystycznej pomiędzy danymi prowadzi do uzyskania relacji statystycznej pomiędzy danymi testowymi a wyznaczonymi klasami (zbiorem decyzyjnym), która testowymi a wyznaczonymi klasami (zbiorem decyzyjnym), która ma postać warunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa.ma postać warunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa. W W taki sposób uzyskujemy relację (nie w pełni precyzyjną, a więc taki sposób uzyskujemy relację (nie w pełni precyzyjną, a więc niepewną), która umożliwia ocenę przynależności poszczególnych niepewną), która umożliwia ocenę przynależności poszczególnych pikseli obrazu teledetekcyjnego do wyróżnionych klas (kategorii).pikseli obrazu teledetekcyjnego do wyróżnionych klas (kategorii).

Niepewność relacjiNiepewność relacji(zasady decyzyjnej)(zasady decyzyjnej) Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla wyrażenia Ogólne zalecenia dotyczące wyboru metody dla wyrażenia

niepewności zasady decyzyjnej są następujące (kontynuacja):niepewności zasady decyzyjnej są następujące (kontynuacja): Niezależnie od ich wspólnej genezy agregacja danych przy Niezależnie od ich wspólnej genezy agregacja danych przy

użyciu narzędzi teorii Bayesa i Dempstera-Shafera może dawać użyciu narzędzi teorii Bayesa i Dempstera-Shafera może dawać znacząco różne wyniki.znacząco różne wyniki.

Podstawowa różnica dotyczy znaczenia braku informacji Podstawowa różnica dotyczy znaczenia braku informacji (danych). W teorii B. brak danych popierających konkretną (danych). W teorii B. brak danych popierających konkretną hipotezę stanowi poparcie hipotezy alternatywnej. W teorii D.-S. hipotezę stanowi poparcie hipotezy alternatywnej. W teorii D.-S. takiego założenia nie ma.takiego założenia nie ma.

Z tego powodu mimo, że obie teorie zakładają że hipotezy Z tego powodu mimo, że obie teorie zakładają że hipotezy rozważane w ramach analizy decyzyjnej są kompletne (to znaczy rozważane w ramach analizy decyzyjnej są kompletne (to znaczy wyczerpują wszystkie istniejące możliwości)wyczerpują wszystkie istniejące możliwości) to teoria D.-S. to teoria D.-S. uwzględnia możliwość braku wiedzy (ignorancji); a teoria B. tego uwzględnia możliwość braku wiedzy (ignorancji); a teoria B. tego nie dopuszcza.nie dopuszcza.

Inne różnica wiąże się z w podejściu bayesowskim łączone są Inne różnica wiąże się z w podejściu bayesowskim łączone są informacje które są warunkowane hipotezami zbioru informacje które są warunkowane hipotezami zbioru decyzyjnego (czyli oparte o bezpośrednie pomiary testowe), decyzyjnego (czyli oparte o bezpośrednie pomiary testowe), podczas gdy w ramach teorii D.-S. agregowane są informacje podczas gdy w ramach teorii D.-S. agregowane są informacje (dane) pochodzące z niezależnych źródeł (dane pośrednie).(dane) pochodzące z niezależnych źródeł (dane pośrednie).

Niepewność relacji:Niepewność relacji:logika zbiorów rozmytychlogika zbiorów rozmytych

IloczynRozmyte T-norm

SumaRozmyte T-conorm

Zaprzeczenie log.Rozmyte dopełnienie

Niepewność relacji:Niepewność relacji:logika zbiorów logika zbiorów rozmytychrozmytych

Niepewność relacjiNiepewność relacjiteoria prawdopodobieństwa Bayesateoria prawdopodobieństwa Bayesa

Kiedy zakładamy, że dostępna informacja jest kompletna, lub Kiedy zakładamy, że dostępna informacja jest kompletna, lub kiedy rzeczywiście mamy do czynienia z takim faktem kiedy rzeczywiście mamy do czynienia z takim faktem wówczas zasadniczym narzędziem służącym do oceny relacji wówczas zasadniczym narzędziem służącym do oceny relacji między pośrednimi dowodami a zbiorem decyzyjnym jest między pośrednimi dowodami a zbiorem decyzyjnym jest teoria prawdopodobieństwa Bayesa. Jest ona rozszerzeniem teoria prawdopodobieństwa Bayesa. Jest ona rozszerzeniem klasycznej teorii prawdopodobieństwa które pozwala na klasycznej teorii prawdopodobieństwa które pozwala na połączenie nowych danych dotyczących analizowanej połączenie nowych danych dotyczących analizowanej hipotezy z wiedzą uprzednią aby uzyskać ocenę hipotezy z wiedzą uprzednią aby uzyskać ocenę prawdopodobieństwa że hipoteza jest prawdziwa.prawdopodobieństwa że hipoteza jest prawdziwa.

Podstawą tej teorii jest twierdzenie Bayesa które określa że:Podstawą tej teorii jest twierdzenie Bayesa które określa że:

i ii

p e h p hp h e

p e h p h

p(h|e) = prawdopodobieństwo prawdziwości hipotezy uwzględniające istniejące dowody (prawdopodobieństwo posteriori)p(e|h) = prawdopodobieństwo znalezienia dowodów prawdziwości hipotezyp(h) = prawdopodobieństwo prawdziwości hipotezy niezależne od dowodów (p. uprzednie = a priori)


Najprostszy przypadek obejmuje jedynie dwie Najprostszy przypadek obejmuje jedynie dwie hipotezy do wyboru: hipotezę hipotezy do wyboru: hipotezę hh i jej dopełnieniei jej dopełnienie ~h~h ((nieprawda że nieprawda że hh), ), prawdopodobieństwa których prawdopodobieństwa których określane są odpowiednio jako określane są odpowiednio jako p(p(hh) ) ii p( p(~h~h)).. Przykładem Przykładem może niepewność czy dany obszar zostanie zalany w trakcie corocznej może niepewność czy dany obszar zostanie zalany w trakcie corocznej powodzi.powodzi.

Pierwszy problem który musimy rozważyć dotyczy Pierwszy problem który musimy rozważyć dotyczy istnienia jakiejś wiedzy uprzedniej o możliwości że istnienia jakiejś wiedzy uprzedniej o możliwości że jedna, lub druga hipoteza jest prawdziwa. Nazywana jedna, lub druga hipoteza jest prawdziwa. Nazywana ona jest prawdopodobieństwem ona jest prawdopodobieństwem a prioria priori.. Jeśli takiej Jeśli takiej wiedzy nie mamy wtedy zakładamy, że obydwie wiedzy nie mamy wtedy zakładamy, że obydwie hipotezy są jednakowo prawdopodobne. hipotezy są jednakowo prawdopodobne. Na przykład jeśli Na przykład jeśli w ciągu ostatnich stu lat analizowany obszar był zalany 65 razy to w ciągu ostatnich stu lat analizowany obszar był zalany 65 razy to możemy przyjąć że prawdopodobieństwo możemy przyjąć że prawdopodobieństwo a prioria priori hipotezy hipotezy hh wynosi wynosi 0,65.0,65.


Wyrażenie Wyrażenie p(p(ee||hh) ) oznacza prawdopodobieństwo, że posiadane oznacza prawdopodobieństwo, że posiadane dowody (dane) popierają możliwość, że oceniana hipoteza jest dowody (dane) popierają możliwość, że oceniana hipoteza jest prawdziwa. Nazywane jest ono prawdopodobieństwem prawdziwa. Nazywane jest ono prawdopodobieństwem warunkowym i uzyskiwane jest na podstawie znanych faktów z warunkowym i uzyskiwane jest na podstawie znanych faktów z obszarów pokrewnych wskazujących na prawdziwość hipotezy i obszarów pokrewnych wskazujących na prawdziwość hipotezy i zbierania danych do oceny, że dowody którymi dysponujemy są zbierania danych do oceny, że dowody którymi dysponujemy są zgodne z hipotezą. Nazywamy je danymi „twardymi” mimo że zgodne z hipotezą. Nazywamy je danymi „twardymi” mimo że często uzyskiwane są one na podstawie teoretycznej lub przy często uzyskiwane są one na podstawie teoretycznej lub przy pomocy symulacji. pomocy symulacji. Na przykład dysponujemy wynikami pomiarów stanów Na przykład dysponujemy wynikami pomiarów stanów wody, które mają bardzo silny związek z prawdopodobieństwem wylewu wody.wody, które mają bardzo silny związek z prawdopodobieństwem wylewu wody.

Wyrażenie p(Wyrażenie p(hh||ee) jest prawdopodobieństwem ) jest prawdopodobieństwem posterioriposteriori tworzonym tworzonym z połączenia wiedzy uprzedniej (z połączenia wiedzy uprzedniej (a prioria priori) i danych potwierdzających ) i danych potwierdzających hipotezę. Dzięki uwzględnieniu dodatkowych informacji dotyczących hipotezę. Dzięki uwzględnieniu dodatkowych informacji dotyczących hipotez prawdopodobieństwo każdej z nich jest modyfikowane aby hipotez prawdopodobieństwo każdej z nich jest modyfikowane aby uwzględnić nowe dane. Opiera się to na założeniu Teorii Bayesa że uwzględnić nowe dane. Opiera się to na założeniu Teorii Bayesa że dostęp do pełnej informacji jest możliwy, a jedynym powodem dostęp do pełnej informacji jest możliwy, a jedynym powodem braku dokładnej oceny prawdopodobieństwa jest niedostatek braku dokładnej oceny prawdopodobieństwa jest niedostatek danych. Poprzez dodawanie kolejnych faktów do wiedzy uprzedniej danych. Poprzez dodawanie kolejnych faktów do wiedzy uprzedniej teoretycznie można osiągnąć prawdziwą ocenę teoretycznie można osiągnąć prawdziwą ocenę prawdopodobieństwa każdej z analizowanych hipotez.prawdopodobieństwa każdej z analizowanych hipotez.

Niepewność relacjiNiepewność relacjiteoria prawdopodobieństwa Dempstera - teoria prawdopodobieństwa Dempstera - ShaferaShafera

Teoria Dempstera – Shafera, rozszerzenie teorii Teoria Dempstera – Shafera, rozszerzenie teorii prawdopodobieństwa Bayesa, pozwala w ramach oceny prawdopodobieństwa Bayesa, pozwala w ramach oceny niepewności na wyrażenie niewiedzy. Podstawowym założeniem niepewności na wyrażenie niewiedzy. Podstawowym założeniem tej teorii jest istnienie w zakresie wiedzy obszarów ignorancji, tej teorii jest istnienie w zakresie wiedzy obszarów ignorancji, oraz że przekonanie o prawdziwości danej hipotezy nie musi być oraz że przekonanie o prawdziwości danej hipotezy nie musi być koniecznie uzupełnieniem przekonania o jej negacji.koniecznie uzupełnieniem przekonania o jej negacji.

W ramach teorii D-S hipotezy są zdefiniowane w postaci W ramach teorii D-S hipotezy są zdefiniowane w postaci hierarchicznej struktury wywodzącej się z podstawowego zbioru hierarchicznej struktury wywodzącej się z podstawowego zbioru hipotez tworzących hipotez tworzących zakres „domysłu”zakres „domysłu”..

Jeśli na przykład Jeśli na przykład zakres domysłuzakres domysłu składa się z trzech składa się z trzech podstawowych hipotezpodstawowych hipotez:: {A, B, C}, {A, B, C}, to wówczas struktura hipotez to wówczas struktura hipotez dla których w ramach teorii D-S akceptowane są dowody, dla których w ramach teorii D-S akceptowane są dowody, zawiera wszystkie możliwe kombinacje: zawiera wszystkie możliwe kombinacje: [A], [B], [C], [A, B], [A, [A], [B], [C], [A, B], [A, C], [B, C], C], [B, C], ii [A, B, C]. [A, B, C]. Pierwsze trzy z nich są nazywane Pierwsze trzy z nich są nazywane hipotezami pojedynczymi (hipotezami pojedynczymi (singletonsingleton) ponieważ zawierają tylko ) ponieważ zawierają tylko jeden podstawowy element. Pozostałe to hipotezy zbiorcze (jeden podstawowy element. Pozostałe to hipotezy zbiorcze (non-non-singletonsingleton) składające się z więcej niż jednego elementu ) składające się z więcej niż jednego elementu podstawowego.podstawowego.


Przykładem może być decyzja o wydzielaniu klas [las liściasty] i [las iglasty] dla potrzeb Przykładem może być decyzja o wydzielaniu klas [las liściasty] i [las iglasty] dla potrzeb kartowania pokrycia terenu. Dane pochodzące z panchromatycznego zdjęcia lotniczego kartowania pokrycia terenu. Dane pochodzące z panchromatycznego zdjęcia lotniczego umożliwiają jednak jedynie odróżnienie lasu od terenu bezleśnegoumożliwiają jednak jedynie odróżnienie lasu od terenu bezleśnego, , ale nie typu lasu. W tym ale nie typu lasu. W tym właśnie przypadku możemy użyć takiego źródła danych do uzasadnienia hierarchicznej właśnie przypadku możemy użyć takiego źródła danych do uzasadnienia hierarchicznej kombinacji [las liściasty, las iglasty]. Jasne jest, że wyraża to niepewność naszej wiedzy. kombinacji [las liściasty, las iglasty]. Jasne jest, że wyraża to niepewność naszej wiedzy. Mimo to jest to jednak wartościowa informacja, która może być wykorzystana z dużą Mimo to jest to jednak wartościowa informacja, która może być wykorzystana z dużą korzyścią przez procedurę D-S wraz innymi dowodami świadczącymi za tymi hipotezami.korzyścią przez procedurę D-S wraz innymi dowodami świadczącymi za tymi hipotezami.

Hierarchiczna struktura hipotez w ramach teorii prawdopodobieństwa

Dempstera - Shafera

W ramach teorii W ramach teorii D-S D-S rozróżnia rozróżnia się te hierarchiczne się te hierarchiczne zestawienia ponieważ często zestawienia ponieważ często bywa tak, iż dowody którymi bywa tak, iż dowody którymi dysponujemy potwierdzają dysponujemy potwierdzają jakąś z kombinacji hipotez jakąś z kombinacji hipotez bez możliwości ich bez możliwości ich pojedynczego rozróżnienia.pojedynczego rozróżnienia.


Do wyrażania stopnia zaangażowania w odniesieniu do Do wyrażania stopnia zaangażowania w odniesieniu do jakiejkolwiek z tych hipotez w ramach teorii D-S używane jakiejkolwiek z tych hipotez w ramach teorii D-S używane jest sześć podstawowych pojęć: jest sześć podstawowych pojęć: podstawowy przydział podstawowy przydział prawdopodobieństwaprawdopodobieństwa ( (basicbasic probability assignmentprobability assignment:: BPA BPA)), , niewiedzaniewiedza ( (ignoranceignorance)), , przekonanieprzekonanie ( (beliefbelief)), , brak brak przekonaniaprzekonania ( (disbeliefdisbelief)), , wiarygodnośćwiarygodność ((plausibilityplausibility)), , ii zakres zakres przekonańprzekonań ( (belief intervalbelief interval))..

Podstawowy przydział prawdopodobieństwaPodstawowy przydział prawdopodobieństwa (BPA) (BPA) stanowi stanowi potwierdzenie, że posiadana porcja informacji „popiera” potwierdzenie, że posiadana porcja informacji „popiera” jedną z tych hipotez lecz nie ich podzbiory. Tak więc BPA dla jedną z tych hipotez lecz nie ich podzbiory. Tak więc BPA dla [A,B] stanowi całość dowodów za [A,B], ale nie [A] lub [B] – [A,B] stanowi całość dowodów za [A,B], ale nie [A] lub [B] – to jest potwierdzeniem pewnej nierozróżnialnej kombinacji to jest potwierdzeniem pewnej nierozróżnialnej kombinacji [A] i [B]. Jest to zazwyczaj zapisywane literą „m” (od masy) [A] i [B]. Jest to zazwyczaj zapisywane literą „m” (od masy) to jest:to jest:m(A,B) = m(A,B) = podstawowy przydział prawdopodobieństwapodstawowy przydział prawdopodobieństwa dla dla [A, B].[A, B].

Podstawowy przydział prawdopodobieństwaPodstawowy przydział prawdopodobieństwa dla danej dla danej hipotezy może pochodzić z subiektywnych opinii lub danych hipotezy może pochodzić z subiektywnych opinii lub danych empirycznych.empirycznych.


Suma wszystkich BPA równa się zawsze 1. Tym samym BPA Suma wszystkich BPA równa się zawsze 1. Tym samym BPA dla najwyższego super-zbioru dla najwyższego super-zbioru ((w podanym przykładzie w podanym przykładzie [A, B, [A, B, C]) C]) będzie się równać dopełnieniu sumy wszystkich będzie się równać dopełnieniu sumy wszystkich pozostałych pozostałych BPA. BPA. Ten element zatem reprezentuje Ten element zatem reprezentuje niewiedzęniewiedzę – niezdolność do dopuszczenia jakiegokolwiek – niezdolność do dopuszczenia jakiegokolwiek zróżnicowania między elementami zróżnicowania między elementami zakresu domysłuzakresu domysłu..

PrzekonaniePrzekonanie ( (bbeliefelief)) stanowi sumę dowodów za daną stanowi sumę dowodów za daną hipoteząhipotezą, , i uzyskiwane może być z BPA wszystkich i uzyskiwane może być z BPA wszystkich podzbiorów hipotezy, to jest:podzbiorów hipotezy, to jest:

Stąd wynika, że Stąd wynika, że przekonanieprzekonanie o [A, B] może być obliczane o [A, B] może być obliczane jako suma BPA dla [A, B], [A], i [B]. W tym przykładzie jako suma BPA dla [A, B], [A], i [B]. W tym przykładzie przekonanieprzekonanie reprezentuje prawdopodobieństwo że obiekt reprezentuje prawdopodobieństwo że obiekt jest A lub B. W przypadku hipotezy pojedynczej (jest A lub B. W przypadku hipotezy pojedynczej (singletonsingleton) ) podstawowy przydział prawdopodobieństwapodstawowy przydział prawdopodobieństwa (BPA) i (BPA) i przekonanieprzekonanie ( (beliefbelief) są takie same.) są takie same.

X Y Y XBEL m kiedy


W przeciwieństwie do przekonaniaW przeciwieństwie do przekonania, , wiarygodnośćwiarygodność reprezentuje reprezentuje stopień do jakiego hipoteza nie może być kwestionowana. W stopień do jakiego hipoteza nie może być kwestionowana. W odróżnieniu od teorii prawdopodobieństwa Bayesa odróżnieniu od teorii prawdopodobieństwa Bayesa brak brak przekonaniaprzekonania nie jest automatycznie dopełnieniem nie jest automatycznie dopełnieniem przekonaniaprzekonania, , lecz reprezentuje raczej poziom poparcia dla wszystkich hipotez lecz reprezentuje raczej poziom poparcia dla wszystkich hipotez które nie mają żadnego związku z hipotezą główną. Z tego wynika:które nie mają żadnego związku z hipotezą główną. Z tego wynika:

(X) 1 (X) X X

X Y Y X

PL BEL gdzie nie

zatem PL m kiedy

Można zatem stwierdzić że Można zatem stwierdzić że przekonanieprzekonanie obejmuje „twarde” obejmuje „twarde”

dowody potwierdzające hipotezę, dowody potwierdzające hipotezę, wiarygodnośćwiarygodność zaś stopień w zaś stopień w jakim ogólne warunki (informacje) wydają się potwierdzać jakim ogólne warunki (informacje) wydają się potwierdzać hipotezę, nawet jeśli brak jest „twardych” dowodów. W odniesieniu hipotezę, nawet jeśli brak jest „twardych” dowodów. W odniesieniu do każdej hipotezy przekonanie stanowi dolną granicę jej do każdej hipotezy przekonanie stanowi dolną granicę jej „poparcia” podczas gdy wiarygodność – górną. Różnica między „poparcia” podczas gdy wiarygodność – górną. Różnica między nimi nazywana jest nimi nazywana jest zakresem przekonańzakresem przekonań ( (belief intervalbelief interval). Stanowi ). Stanowi on rozmiar niepewności co spełnienia się hipotezy.on rozmiar niepewności co spełnienia się hipotezy.


Nowe dowody (dane) największy przyrost informacji dają w obrębie Nowe dowody (dane) największy przyrost informacji dają w obrębie obszarów o najszerszym obszarów o najszerszym zakresie przekonańzakresie przekonań.. Teoria D-S jest zatem Teoria D-S jest zatem bardzo użyteczna przy ustalaniu wartości informacji i do planowania bardzo użyteczna przy ustalaniu wartości informacji i do planowania takiej strategii pozyskiwania danych która najbardziej efektywnie takiej strategii pozyskiwania danych która najbardziej efektywnie będzie zmniejszać zakres niepewności.będzie zmniejszać zakres niepewności.

Przewaga teorii D-S w porównaniu do teorii Bayesa dotyczy lepszego Przewaga teorii D-S w porównaniu do teorii Bayesa dotyczy lepszego radzenia sobie z problemem niepewności wynikającej z niewiedzy. W radzenia sobie z problemem niepewności wynikającej z niewiedzy. W teorii prawdopodobieństwa Bayesa wyróżnia się jedynie hipotezy teorii prawdopodobieństwa Bayesa wyróżnia się jedynie hipotezy pojedyncze (pojedyncze (singletonsingleton) i zakłada się, że razem wyczerpują one ) i zakłada się, że razem wyczerpują one wszystkie możliwości wszystkie możliwości ( (ich sumaryczne prawdopodobieństwo równa ich sumaryczne prawdopodobieństwo równa sięsię 1). 1). Niewiedza nie jest tu uwzględniana, a brak dowodów Niewiedza nie jest tu uwzględniana, a brak dowodów (danych) za hipotezą stanowi dowód przeciw niej (na rzecz hipotezy (danych) za hipotezą stanowi dowód przeciw niej (na rzecz hipotezy alternatywnej). Te wymagania i założenia często nie są spełniane w alternatywnej). Te wymagania i założenia często nie są spełniane w realnym świecie.realnym świecie.

Przykładem może być ustalanie zasięgu siedliska określonego gatunku ptaka, Przykładem może być ustalanie zasięgu siedliska określonego gatunku ptaka, na podstawie danych z raportów jego pojawiania się. Brak jednakże zapisu o na podstawie danych z raportów jego pojawiania się. Brak jednakże zapisu o jego zaobserwowaniu w danej lokalizacji nie musi koniecznie oznaczać, że on jego zaobserwowaniu w danej lokalizacji nie musi koniecznie oznaczać, że on tam nie występuje. Może na przykład jedynie sugerować że obserwator nie tam nie występuje. Może na przykład jedynie sugerować że obserwator nie był obecny w momencie kiedy ptak się tam pojawił, lub nie potrafił go był obecny w momencie kiedy ptak się tam pojawił, lub nie potrafił go zidentyfikować (dokonał błędnej identyfikacji).zidentyfikować (dokonał błędnej identyfikacji).


Pełna hierarchia hipotez i związanych z nimi BPA stanowi Pełna hierarchia hipotez i związanych z nimi BPA stanowi aktualny stan wiedzy, który może być rozszerzony w każdym aktualny stan wiedzy, który może być rozszerzony w każdym momencie przez dodanie nowych informacjimomencie przez dodanie nowych informacji. . W trakcie W trakcie agregacji określeń prawdopodobieństwa pochodzących z agregacji określeń prawdopodobieństwa pochodzących z różnych źródeł informacji w ramach teorii D-S stosowane są różnych źródeł informacji w ramach teorii D-S stosowane są następujące reguły:następujące reguły:

1 2

1 2

X Y X Y ZZ

1 X Y X Ym m kiedy

mm m kiedy

jeśli: 1 2X Y 0 X Ym m dla to wówczas równanie przybiera postać:

1 2Z X Y X Y Zm m m dla


Końcowe Końcowe przekonanieprzekonanie, , wiarygodnośćwiarygodność i i zakres przekonaniazakres przekonania dla dla każdej hipotezy może zostać obliczona w oparciu o każdej hipotezy może zostać obliczona w oparciu o podstawowy przydział prawdopodobieństwapodstawowy przydział prawdopodobieństwa wyliczony w wyliczony w oparciu o powyższe równania. Można wówczas również oparciu o powyższe równania. Można wówczas również ocenić niewiedzę w odniesieniu do całego zbioru. W ocenić niewiedzę w odniesieniu do całego zbioru. W większości przypadków po dodaniu nowych danych, zakres większości przypadków po dodaniu nowych danych, zakres niewiedzy ulega redukcji.niewiedzy ulega redukcji.

Podsumowanie teorii prawdopodobieństwa Dempstera – Podsumowanie teorii prawdopodobieństwa Dempstera – Shafera:Shafera:

wywodzi się z teorii Bayesawywodzi się z teorii Bayesa nie zakłada kompletności wiedzy na dany tematnie zakłada kompletności wiedzy na dany temat rozróżniarozróżnia::

przekonanieprzekonanie ( (beliefbelief) ) = = dowody potwierdzające dowody potwierdzające hipotezę,hipotezę, wiarygodnośćwiarygodność ( (plausibilityplausibility) ) = = brak dowodów przeciw brak dowodów przeciw hipoteziehipotezie zakres przekonańzakres przekonań ((bbelief elief iintervalnterval) ) = = niepewność niepewność pojedynczej hipotezypojedynczej hipotezy

Car

ter C

ente

r

Car

ter C

ente

r

Prognozowanie podatności Prognozowanie podatności ludności Sudanu na zakażenie ludności Sudanu na zakażenie robaczycą gwinejską (robaczycą gwinejską (Guinea wormGuinea worm))Robaczyca gwinejska to choroba wywoływana przez pasożyta żyjącego w wodzie. Rozprzestrzenia się w efekcie picia zanieczyszczonej wody. Zakażenie można łatwo uniknąć pijąc wodę ze studni lub filtrując tą która pochodzi ze źródeł powierzchniowych.

Źródło:Elliott, S., and Lazar, A.,: Predicting the Vulnerability of

Populations in Sudan to the Guinea Worm Parasite using Dempster-Shafer Weight-of-Evidence Theory. IDCE and Geography Departments GIS for Development and Environment, Clark University, 950 Main Street, Worcester, MA 01610

Od dziesięcioleci trwa konflikt północ – południe, pomiędzy muzułmańskim rządem w Chartumie, a chrześcijańskimi lub animistycznymi ludami południa Sudanu.

Kilka lat temu rozpoczęła się nowa wojna domowa obejmująca zachodnie prowincje państwa - Darfur.

Wojny domowe w SudanieWojny domowe w Sudanie

Dziesięć krajów afrykańskich o Dziesięć krajów afrykańskich o największym stopniu zakażenia największym stopniu zakażenia robaczycą gwinejskąrobaczycą gwinejską

Cykl życiowy pasożytaCykl życiowy pasożyta

Usuwanie pasożytaUsuwanie pasożyta

Carter C

enter

Carter C

enter

Ze względu na brak infrastruktury i niestabilną sytuację polityczną w wielu przypadkach uszkodzone pompy w studniach głębinowych nie są naprawiane co zmusza ludzi do poszukiwania alternatywnych, ale zanieczyszczonych, źródeł wody. Usuwanie pasożyta jest bolesne i trwa wiele dni. Pasożyt jest wyciągany po 5 do 7,5 cm na dzień, a niektóre „okazy” mogą osiągać nawet do 1 metra długości. Związane jest z tym duże ryzyko niebezpiecznych ubocznych infekcji, jeśli pasożyt ulegnie przerwaniu lub zginie w trakcie operacji usuwania.

DaneDane

Ogólna mapa pokrycia terenuWybrane klasy pokrycia

terenu

Ekstrakcja warstw

Przygotowanie mapPrzygotowanie mapczynników podatności na czynników podatności na robaczycęrobaczycę

Mapa odległości

Zasięg ograniczonego

ryzykaWarstwa

podstawowa

Obl

icze

nia

odle

głoś

ci

Def

inic

ja c

zynn

ika

ryzy

ka

Odległość (km)

d

c

0.5

1.0

Prawdopodobieństwo

5 70 10 15

Funkcje rozmytej przynależnościFunkcje rozmytej przynależności

Do modelowania wpływu dróg użyto monotonicznie malejącej funkcji J-kształtnej

Czynniki wpływające na kontakt z zakażoną wodą

Czynniki wpływające na dostęp do edukacji i infrastruktury

Zbiorniki wodne

Powodzie sezonowe

Długotrwałe powodzie

Małe miasta

Epizodyczne powodzie

Główne miasta Drogi

Obszary zagospodarowane

Zestaw danych

Małe miasta

Moduł BELIEF Idrisi

Przekonanie (belief)

Wiarygodność (plausibility)

Zakres przekonań (belief interval)

Belief Plausibility Belief interval

Wyniki

Wyniki wskazują, że największa podatność na robaczycę gwinejską Wyniki wskazują, że największa podatność na robaczycę gwinejską występuje na południu Sudanu. Potwierdzają to dane Centrum występuje na południu Sudanu. Potwierdzają to dane Centrum OOchrony Epidemiologicznej. chrony Epidemiologicznej.

Documents

Komputerowe wspomaganie podejmowania decyzji