1

Kompleksni brojevi (C)

Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i → simbol

koji ima vrednost 1−=i .

Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeležava se az =)Re( , b je

njegov imaginarni deo i obeležava se bz =)Im( , a 1−=i je imaginarna jedinica.

Primeri:

0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8

7)Im(,43)Re(7

43

2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45

555

444

333

222

111

==→===→=

−=−=→−−=

−==→−===→+=

zzzzziz

zziz

zzizzziz

Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.

Pošto smo rekli da je 1−=i ,zanimljivo je videti kako se ponašaju stepeni broja i .

11

11

1)1)(1(1

11

448

3347

2246

45

_________________________________

224

23

2

=⋅=

−=⋅=⋅=

−==⋅=

=⋅=⋅=

=−−=⋅=

−=⋅−=⋅=

−=

−=

iiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiii

ii

itd.

www.matematiranje.com

2

Šta zaključujemo? i stepenovano bilo kojim brojem može imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii −− ,1, ili 1.

Uopšteno, tu činjenicu bi mogli zapisati:

iii

iii

k

k

k

k

−=

−=

=

=

+

+

+

34

24

14

4

1

1

za .Nk∈

Kako ovo primeniti u zadacima?

Primeri:

Izračunati:

23

102

25

2006

100

)))))

idigivibia

100)ia

Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa ⋅=)( i nmnm aaa ⋅=+

Dakle: 1)1()( 50502100 =−== ii ili druga ideja da je 4 1ki =

11)( 50504100 === ii

Odlučite sami šta vam je lakše!

?) 2006 =ib

1)1()( 1003100322006 −=−== ii

www.matematiranje.com

3

iiiiiiiiv =⋅=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1212212425

↓

Kad je stepen neparan, napišemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest 12425 += .

1)1()() 51512102 −=−== iig

iiiiiiiid −=⋅−=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1111212223

Pazi: )1(− paran broj 1=

)1(− neparan broj 1−=

Kako se sabiraju, oduzimaju I množe kompleksni brojevi?

1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica −+− . To znači da se sabiraju I oduzimaju ‘’normalno’’, kao u R.

Primer: iz

iz10435

2

1

−=+=

iiiiizz 79103451043521 −=−++=−++=+

iiiiizz 13110435)104(3521 +=+−+=−−+=−

2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj

→++− )()( bcadibdac množi se ‘’svaki sa svakim’’ I vodimo računa da je 2 1i = − 2)()(

−+++=+⋅+ ibdbciadiacdicbia

)( bcadibdac

bdbciadiac++−=−++=

www.matematiranje.com

4

Primer: iziz

2453

2

1

−=+−=

=−++−=−⋅+−=⋅ 2

21 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 −=i , pa

10)1(1010 2 =−⋅−=− i ] iii 2621020612 +−=+++−=

Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.

Za z a bi z a bi−

= + ⇒ = − je konjugovan broj.

Primeri: za iz 1210+= je iz 1210−=−

za iz 34−= je iz 34+=−

za iz 54+−= je iz 54−−=−

Dva kompleksna broja se dele tako što izvršimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.

=−−

⋅++

=++

dicdic

dicbia

dicbia

gore množimo ‘’svaki sa svakim’’ a dole je razlika kvadrata.

2 2 2 2

( )( ) ( )( )( )

a bi c di a bi c dic di c d+ − + −

= =− +

Primer 1)

=−

++=

++

⋅−+

=−+

= 22 )3(4)34)(25(

3434

3425

3425

iii

ii

ii

ii

www.matematiranje.com

5

2

22 2

20 15 8 6 ( 1)16 3

20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25

i i i ii

i i i i

+ + += = = −

− ⋅+ + − +

= = = ++

Savet: Uvek na kraju rastavi icb

ca

cbia

+=+

da bi mogao da pročitaš )Re(z i

)Im(z Primer 2)

ii

ii

ii

3535

3573

3573

−−−−

⋅+−+

=+−+

2 2

2

2 2

(3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21

25 315 9 35 21

25 96 44 6 44 3 22

34 34 34 17 17

i ii

i i ii

i i

i i i

+ − −=

− −

− − − −=

− ⋅− − − +

=+

−= = − = −

Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=

Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z

Za iz 129−−= je 1514481)12()9( 22 =+=−+−=z

Navešćemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje će nam dosta pomoći u rešavanju zadataka:

1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost)

2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost)

3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com

6

5) 1221 zzzz ⋅=⋅

6) )()( 321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅

7) zzz =⋅=⋅ 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' =⋅=⋅ zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ ⋅ = + ( distributivnost)

10) 2121 zzzz ⋅=⋅

11) 22 zz =

12) 2

1

2

1

zz

zz

=

Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 5

12

)1()1(iiz

+−

=

Odredimo najpre ?)1( 12 =− i

Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i− = − + = − − = −

Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 −=−=−⋅=⋅=−=−=− iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i

iiiii 212121)1( 22 =−+=++=+

)1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(

2

22245

iiiiiiiiii

+−=+⋅=

+=+⋅+=+⋅+=+

i

iiiii

ii

iiiiiz

88

)1(82

)1(1611

)1(161

)1(1611

116

116

)1(464

)1()1(

22

5

12

−=

=−=−

=+−

=−−

=

=−−

⋅+

=+

=+−

−=

+−

=

Dakle : Re 8)( =z 8)Im( −=z

www.matematiranje.com

7

Primer : Nadji x i y iz

{ { {

2

ReRe ImIm

1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8

x y i i ix y i i i ix y i ix y i i

− + + = + +

− + + = + + +− + + = + −− + + = +

123

Dakle : 53883

31221=⇒−=⇒=+=⇒+=⇒=−

yyyxxx

Primer: Ako je 2

31 iw +−= dokazati da je 012 =++ ww

Rešenje:

2

2

2

1 3 1 3 12 2

1 2 3 ( 3) 1 3 14 2

1 2 3 3 1 3 14 2

1 2 3 3 2( 1 3) 44

1 2 3

i i

i i i

i i i

i i

i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ++ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − ++ + =

− + ⋅ − ++ + =

− − + − + +=

− 3 2 2 3i− − + 4 0 04 4

+= =

Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

1

2

−=−

=−

ziz

ziz

www.matematiranje.com

8

Rešenje: Neka je biaz +=

22

22

22

)1(1111

)1()1(

)2(2)2(22

bazbiabiaz

baizbiaibiaiz

baizbiaibiaiz

+−=−⇒+−=−+=−

−+=−⇒−+=−+=−

−+=−⇒−+=−+=−

Dakle:

2222

2222

)1()1(

)2(

baba

baba

+−=−+

+=−+ Kvadrirajmo obe jednačine!

___________________________________________

2 2 2 2

2 2 2 2

( 2)( 1) ( 1)

a b a ba b a b

+ − = +

+ − = − +

___________________________________________

1

4444 22

=−=−

=+−

bb

bbbzamenimo u drugu jednačinu

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1

2 21

a b a ba aa a aa

a

+ − = − +

+ − = − +

+ = − + +==

Traženi kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:

02 =+−

zz

www.matematiranje.com

9

Rešenje: Neka je biaz += traženi kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b− −

= − = +

{

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

ImRe

( ) 0

2 0

2 0

a bi a b

a abi b i a b

a b a b abi

+ + + =

+ + + + =

− + + + =144424443

Kako je ⇒−= 12i Ovde očigledno I Re I Im moraju biti nula.

2 2 2 2 0

2 0a b a bab− + + ==

______________________

Iz 002 =⇒= aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednačinu:

22

2222 000

bb

bb

=

=++− ( 2b ≥0)

Ovde je očigledno 0=b ili 1−=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednačinu:

22

22

2222

0

000

aa

aa

aa

−=

=+

=++−

nema rešenja sem 0=a

Dakle: 0=z ; iz = I iz −= su traženi brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n važi jednakost: nn ii )1()1( −=+ ? Rešenje:

1

111

)1()1(

)1()1(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⇒=−+

−=+n

n

n

nn

ii

ii

ii

www.matematiranje.com

10

Transformišemo izraz:

iiiii

iiii

ii

ii

ii

212121)1(2

)1(11)1(

1)1(

11

11

11

22

22

22

2

=−+=++=+

+=

++

=++

=++

⋅−+

=−+

Dakle:

iiiii

==+

=−+

22

2)1(

11 2

Vratimo se u 111

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+ n

ii

, dobijemo 1=ni

A ovo je ( vec smo videli ) moguće za n k4= , Nk∈ .

www.matematiranje.com