33
4.4.8 Kompleksni potencijal osnovnih strujanja Jednoliko strujanje Za jednoliko strujanje kompleksni potencijal, F (z ), je: F (z )= az =(a 1 - ia 2 )(x + iy) , (4.126) gde je a proizvoljan kompleksan broj, a a 1 i a 2 su realne kon- stante. Slika 4.23: Strujnice i ekvipotencijalne linije za jedno- liko strujanje. Na slici 4.23 prikazane su strujnice i ekvipotencijalne linije za jednoliko strujanje. Ako se kompleksni potencijal, jednaqina (4.126), razdvoji na realni i imaginarni deo, dobija se potencijal, φ, kao: φ(x, y)= a 1 x + a 2 y + C (4.127) 246

Kompleksni potencijal

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Kompleksni potencijal (predavanje)

Citation preview

  • 4.4.8 Kompleksni potencijal osnovnih strujaaJednoliko strujae

    Za jednoliko strujae kompleksni potencijal, F (z), je:

    F (z) = a z = (a1 i a2) (x+ i y) , (4.126)

    gde je a proizvoan kompleksan broj, a a1 i a2 su realne kon-stante.

    Slika 4.23: Strujnice i ekvipotencijalne linije za jedno-liko strujae.

    Na slici 4.23 prikazane su strujnice i ekvipotencijalnelinije za jednoliko strujae.

    Ako se kompleksni potencijal, jednaqina (4.126), razdvojina realni i imaginarni deo, dobija se potencijal, , kao:

    (x, y) = a1 x+ a2 y + C (4.127)

    246

  • i strujna funkcija, , kao:

    (x, y) = a2 x+ a1 y + C, (4.128)

    gde je C integraciona konstanta.Strujnice i ekvipotencijalne linije za jednoliko stru-

    jae su dva sistema pravih paralelnih linija, koje se meu-sobno seku pod pravim uglom.

    Diferenciraem kompleksnog potencijala, jednaqine(4.126), dobija se kompleksna brzina, v, kao:

    dF

    dz= v = vx i vy = a = a1 i a2. (4.129)

    Iz jednaqine (4.129)sledi da su komponente vektora brzine:

    vx = a1, vy = a2, (4.130)

    a ugao vektora brzine sa horizontalnom osom dobija se izjednaqine:

    tan =a1a2

    (4.131)

    Izvor i ponor

    Za strujae ka izvoru, ili ponoru, kompleksni potencijal,F (z), je:

    F (z) = a1 ln z , (4.132)

    gde je a1 realna konstanta.Obzirom na oblik strujnica povonije je koristiti po-

    larne koordinate, u kojima vai:

    ln z = ln(r ei

    )= ln r + i . (4.133)

    247

  • Ako se (4.133) primeni u (4.132) dobija se:

    F (z) = (r, ) + i (r, ) = a1 (ln r + i ) . (4.134)

    Iz jednaqine (4.134) razdvajaju se realni i imaginarnideo. Realni deo, potencijal, je:

    (r, ) = a1 ln r + C , (4.135)

    a imaginarni deo, strujna funkcija, je:

    (r, ) = a1 ( + C) , (4.136)

    gde je C integraciona konstanta.Linije jednakih potencijala su koncentriqne krunice,

    sa centrom u koordinatnom poqetku, definisane jednaqinom(4.135). Strujnice su prave linije, koje prolaze kroz koor-dinatni poqetak i definisane su jednaqinom (4.136).

    Komponente kompleksne brzine, vr i v, dobijajaju se di-ferenciraem potencijala prema:

    vr =

    r=a1r, (4.137)

    v =1

    r

    = 0 . (4.138)

    Iz jednaqina (4.137) i (4.138) proizilazi da su vektoribrzina uvek u pravcu pravih koje prolaze kroz koordinatnipoqetak. Ako je:

    a1 < 0 vr < 0 (4.139)

    248

  • strujae je ka ponoru, jer vektori brzina imaju smer ka ko-ordinatnom poqetku. Suprotno, ako je:

    a1 > 0 vr > 0 (4.140)strujae je iz izvora, jer vektori brzina ,,izviru iz koor-dinatnog poqetka. Znak realne konstante a1 mea smer stru-jaa.

    Slika 4.24: Strujnice i ekvipotencijalne linije za strujaeprema: a) ponoru i b) izvoru.

    Na slici 4.24 prikazane su strujnice i ekvipotencijalnelinije za strujae prema ponoru i izvoru.

    a) Izdaxnost izvora i ponora

    Jediniqni proticaj (proticaj po jedinici visine u z pravcu),q, izvora i ponora jednak je proizvodu brzine i povrxine (uovom sluqaju jediniqne visine):

    q = vrO =a1r

    2 r pi ,

    q = 2pi a1 . (4.141)

    Iz jednaqine (4.141) moe se odrediti vrednost relanekonstante, a1, kao:

    a1 =q

    2pi. (4.142)

    249

  • Poxto za jediniqni proticaj vai:

    [q] =

    [L2

    T

    ](4.143)

    iz (4.142) i (4.143) sledi:

    [a] =

    [L2

    T

    ](4.144)

    250

  • Strujae u uglu

    Za strujae u uglu kompleksni potencijal, F (z), je:

    F (z) = a1 z2 , (4.145)

    gde je a1 realna konstanta. Jednaqina (4.145) se dae moenapisati kao:

    F (z) = a1 (x+ i y)2 = a1

    (x2 y2 + 2 i x y

    ), (4.146)

    odakle se moe izdvojiti realni deo:

    (x, y) = a1 (x2 y2) + C (4.147)

    i imaginarni deo:

    (x, y) = 2 a1 x y + C , (4.148)

    gde je C integraciona konstanta.Linije jednakih potencijala i strujnice definisane su

    jednaqinama (4.147), odnosno (4.148), i predstavaju sistemhiperbola, koje se seku pod pravim uglom, a prikazane su naslici 4.25.

    Kompleksna brzina, v, se dobija diferenciraem kompleks-nog potencijala, kao:

    dF

    dz= v = vx i vy = 2 a1 z = 2 a1 (x+ i y) . (4.149)

    Razdvajaem realnog i imaginarnog dela iz (4.149) dobi-jaju se komponente vektora brzine kao:

    vx = 2 a1 x , (4.150)

    251

  • Slika 4.25: Strujnice i ekvipotencijalne linije za strujaeu uglu.

    vy = 2 a1 y, (4.151)

    a intenzitet vektora, v, kao:

    v =(2 a1 x)

    2 + (2 a1 y)2 = 2 a1x2 + y2 ,

    v = 2 a1 r . (4.152)

    Kompleksni potencijal izraen sa:

    F (z) = a1 zn , (4.153)

    gde je a1 realna konstanta, a n prirodni ceo broj, definixestrujae u uglu, qije strane qine ugao , koji ne mora bitiprav. Ako je:

    n = 2 = 90

    252

  • n > 2 < 90n = 3 = 60n = 4 = 45

    Iz kompleksnog potencijala, definisanog sa jednaqinom(4.153), mogu se, na sliqan naqin kao xto je pokazano, izvestiizrazi za potencijal, strujnu funkciju i kompleksnu brzinu.

    253

  • 4.4.9 Kompleksni potencijal zbirnih strujaaSabirae izvor i ponora

    Slika 4.26: Poloaj izvora i ponora u Dekartovom i po-larnom koordinatnom sistemu.

    Na slici 4.27 prikazani su izvor ,,+q i ponor ,,q, kojiimaju jednaku izdaxnost, a nalaze se na rastojau 2l. Nekataqka ,,A odreena je koordinatama, odnosno kompleksnimbrojem z = x + i y. Pored Dekartovog koordinatnog sistemau izvoru i ponoru se nalaze koordinatni poqeci jox dva po-larna koordinatna sistema. Poloaj izvora, ,,+q, defini-san je u pomenutim koordinatnim sistemima kao:

    z + l = x+ l + i y = r1 ei 1 , (4.154)

    a poloaj ponora, ,,q, sa:z l = x l + i y = r2 ei 2 . (4.155)

    Prema slici 4.27 polarne koordinate izvora, ,,+q, su:

    r21 = (x+ l)2 + y2, (4.156)

    1 = arctany

    x+ l, (4.157)

    a polarne koordinate ponora, ,,q, su:r22 = (x l)2 + y2, (4.158)2 = arctan

    y

    x l . (4.159)

    254

  • Sabiraem kompleksnih potencijala izvora:

    F1(z) =q

    2piln (z + l) (4.160)

    i ponora:

    F2(z) =q2pi

    ln (z l) (4.161)dobija se kompleksni potencijal zbirnog strujaa kao:

    F (z) =q

    2pilnz + l

    z l . (4.162)

    Ako se u logaritmu u jednaqini (4.162) iskoriste jedna-qine (4.154) i (4.155) kompleksni potencijal zbirnog stru-jaa izvora i ponora, F (z), izraava se u polarnim koordi-natama kao:

    F (z) =q

    2pilnr1 e

    i 1

    r2 ei 2. (4.163)

    Razdvajaem realnog i imaginarnog dela iz kompleksnogpotencijala, (4.163), dobijaju se potencijal:

    =q

    2pilnr1r2

    (4.164)

    i strujna funkcija:

    =q

    2piln (1 2) . (4.165)

    U jednaqini (4.164) radijus vektori r1 i r2 mogu se za-meniti prema jednaqinama (4.156) i (4.158), pa se za poten-cijal zbirnog strujaa izvora i ponora dobija:

    =q

    4piln

    (x+ l)2 + y2

    (x l)2 + y2 . (4.166)

    255

  • Sliqno kao za potencijal i u jednaqini (4.165) uglovi 1i 2 mogu se zameniti prema jednaqinama (4.157) i (4.159),pa se za strujnu funkciju zbirnog strujaa izvora i ponoradobija:

    =q

    2pi

    (arctan

    y

    x+ l arctan y

    x l)

    =q

    2piarctan

    y/(x+ l) y/(x l)1 + [y/(x+ a)] [y/(x a)]

    =q

    2piarctan

    [y(x l) y(x+ l)]/ [(x+ l)(x l)][(x+ l) (x l) + y2] / [(x+ l)(x l)]

    =q

    2piarctan

    y x y l y x y lx2 + y2 l2

    =q

    2piarctan

    2 l yx2 + y2 l2 . (4.167)

    Da bi nacrtali strujnu funkciju zadajemo 1 = (x, y) =const. Iz jednaqine (4.167) sledi:

    1 =q

    2piarctan

    2 l yx2 + y2 l2

    1 2pi

    q= arctan

    2 l yx2 + y2 l2

    tan1 2pi

    q=

    2 l yx2 + y2 l2

    x2 + y2 +2 l

    tan(1 2pi/q)y l2 = 0 . (4.168)

    Jednaqina (4.168) je jednaqina krunice, koja je u opxtemobliku:

    x2 + y2 + 2Ax+ 2B y + C = 0 . (4.169)

    Centar krunice je u taqki sa koordinatama xc i yc, koje sudate sa:

    xc = A, (4.170)yc = B, (4.171)

    256

  • a polupreqnik krunice je:

    R =A2 + B2 C . (4.172)

    Ako se jednaqine (4.170), (4.171) i (4.172) primene na(4.168) koordinate centra krunice se izraqunavaju kao:

    xc = 0 , (4.173)

    yc =l

    tan(1 2pi/q), (4.174)

    a polupreqnik krunice kao:

    R =

    l2tan2(1 2pi/q)

    . (4.175)

    Zadajemo 1 = (x, y) = const. Iz jednaqine (4.166) sledi:

    1 =q

    4piln

    (x+ l)2 + y2

    (x l)2 + y214pi

    q= ln

    (x+ l)2 + y2

    (x l)2 + y2

    e4pi 1/q =(x+ l)2 + y2

    (x l)2 + y2 . (4.176)

    Jednaqina (4.176) moe da se napixe u obliku jednaqine(4.169) kada glasi:

    x2 + y2 2 l e4pi 1/q + 1

    e4pi 1/q 1 x+ l2 = 0 . (4.177)

    Jednaqina (4.177) definixe krunicu qiji je centar, premajednaqinama (4.170) i (4.170), data sa koordinatama:

    xc = le 4pi 1/q + 1

    e 4pi 1/q 1 , (4.178)yc = 0 . (4.179)

    257

  • Radijus krunice, prema jednaqini (4.172), je:

    R = 2 le 2pi 1/q

    e 4pi 1/q 1 . (4.180)

    Strujnice i ekvipotencijalne linije, koje su odreene jed-naqinama (4.168) i (4.177), su krunice koje se meusobnoseku pod pravim uglom, a prikazane su na slici 4.27.

    Slika 4.27: Strujna funkcija i ekvipotencijalne linije zaizvor i ponor.

    Primena potencijalnog strujaa na strujae u poroznojsredini prema bunaru pored reke

    Potencijalno strujae izvora i ponora moe se iskoris-titi za rexavae strujaa vode u poroznoj sredini izmeureke i bunara, koji je izgraen pored obale (slika 4.28).Pretpostava se da vai:

    Strujae je pod pritiskom. Arterska izdan se prostire u beskonaqnost i graniqisa rekom.

    258

  • Slika 4.28: Strujae u poroznoj sredini izmeu reke ibunara.

    Obala reke je prava i prostire se u beskonaqnost. Porozna sredina je homogena i izotropna, jednake de-bine.

    Strujae u poroznoj sredini je ustaeno.Iz bunara se crpi protok Q. Na polovini rastojaa iz-

    meu bunara i reke pijezmetarska kota se spustila za sM =

    259

  • 1, 5 m, u odnosu na kotu pre crpea. Odrediti protok kojise crpi iz bunara, Q, i sniee nivoa vode u bunaru u odnosuna stae pre crpea sb.

    Izdaxnost bunara (ponora) je protok po jedinici duine:

    q =Q

    T

    Veza potencijala brzine i pijezometarske kote je:

    = K

    Ako je z = 0 na dnu reke, onda za reku vai:

    r = Khr,a za bilo koju taqku ,,i vai:

    i = Khi.Potencijal zbirnog strujaa izvora i ponora je:

    =q

    2pilnr1r2

    + C . (4.181)

    Ako se jednaqina (4.181) primeni za obalu reke dobija se:

    r =q

    2pilnr1rr2r

    + C ,

    r = C = Khr,qime je odreena integraciona konstanta C. U tom sluqajuiz jednaqine (4.181) se moe dobiti:

    K(hr hM) = Q2piT

    lnr1Mr2M

    , (4.182)

    u kojoj je:

    (hr hM) = sM

    260

  • razlika pijezometarskih kota koja je izmerena.Jednaqina (4.182) moe se rexiti po protoku, Q, kao:

    Q =2pi T K (hr hM)

    lnr1Mr2M

    (4.183)

    Q =2pi 12 105 1, 5

    ln30

    10

    = 0, 00103m3/s.

    Za spuxtae nivoa vode u bunaru vai:

    sb = hr hb (4.184)U tom sluqaju, potencijal u bunaru je, prema jednaqini (4.182),definisan sa:

    K sb =Q

    2piTlnr2 lrb

    (4.185)

    sb =Q

    2piTKlnr2 lrb

    = 6, 29m. (4.186)

    Metoda ogledalnih slika

    Da bi se u prethodnom primeru dobili odgovarajui grani-qni uslovi, pored bunara, q, uveden je i fiktivni izvor,+q, koji se od obale reke nalazi na jednakom rastojau kaoi bunar. Tako se postie da na obali reke, koja je pravai protee se u beskonaqnost, bude jednak potencijal brzine,odnosno jednaka pijezometarska kota. Takoe i strujnice,koje polaze iz fiktivnog izvora, a zavrxavaju se u bunaru,presecaju obalu reke pod pravim uglom.

    Na slici 4.29 prikazane su strujnice za bunar pored reke.Na delu slike ,,a data je fiziqka xema, dispozicija objekatakoja postoji u prirodi, a na delu ,,b proraqnska xema, u kojojpored bunara (ponora) postoji i fiktivni izvor. Graniqniuslov prave obale, koji je zadat fiziqkom xemom, u proraqun-skoj xemi se ostvaruje uvoeem fiktivnog izvora, zbog qi-jeg se poloaja ova metoda naziva metodom preslikavaa, ilimetodom ogledalnih slika.

    261

  • Slika 4.29: Strujae prema bunaru u poroznoj sredini poredreke: a) fiziqka xema i b) proraqunska xema.

    Slika 4.30: Strujae prema bunaru u poroznoj srediniograniqenoj sa dve strane rekom: a) fiziqka xema i b) pro-raqunska xema.

    Za bunar na uxu reka, ili na mestu gde se obala ,,lomipod pravim uglom, (slika 4.30), u proraqunskoj xemi se pored

    262

  • bunara uvode dva fiktivna izvora i fiktivni bunar.Ako je na nekoj konturi porozne sredine granica nepro-

    pusna sredina, onda se ona poklapa sa strujnicom (slika4.31). Takav graniqni uslov se ostvaruje uvoeem fik-tivnog bunara.

    Slika 4.31: Strujae prema bunaru u poroznoj srediniograniqenoj rekom i nepropusnom sredinom: a) fiziqka xemai b) proraqunska xema.

    Ista je situacija i ako postoje dve prave nepropusne gra-nice, koje se seku pod pravim uglom (vidi sliku 4.32). U tomsluqaju u proraqunskoj xemi pored bunara uvode se jox trifiktivna bunara i postavaju po metodi ogledalnih slika,na rastojaima l i m.

    U nekim situacijama porozna sredina se moe nai izmeudva vodna toka, kao xto je to u sluqaju kad je bunar na reqnomostrvu (slika 4.33). Da bi se ostvarili potrebni graniqniuslovi u proraqunskoj xemi se uvode dva fiktivna izvora,koji se takoe nalaze na rastojaima l i m.

    263

  • Slika 4.32: Strujae prema bunaru u poroznoj srediniograniqenoj sa dve strane nepropusnom sredinom: a) fiziqkaxema i b) proraqunska xema.

    Slika 4.33: Strujae prema bunaru u poroznoj srediniizmeu dve reke: a) fiziqka xema i b) proraqunska xema.

    Metodom ogledalnih slika mogu se ostvariti i kompliko-vaniji graniqni uslovi, kada se granice seku pod uglovimakoji se mogu dobiti ako se pun ugao (360) deli celim brojem.

    264

  • Strujae prema grupi bunara

    Slika 4.34: Grupa bunara u poroznoj sredini, u ravni x y.

    Ako u poroznoj sredini postoji n bunara i izvora onda epotencijal brzine u nekoj taqki ,,A biti prema jednaqini:

    K A =n

    i=1

    qi2pi

    ln ri + C , (4.187)

    gde je qi = Qi/T , jediniqni proticaj koji se crpe iz bunara,,i, T debina porozne sredine, ri radijus vektor koji taqku,,i povezuje sa taqkom ,,A, i C integraciona konstanta.

    265

  • Izvor i ponor u jednolikoj struji

    Slika 4.35: Strujna funkcija izvora i ponora u jednolikojstruji.

    Na slici 4.35 prikazani su izvor ,,+q, ponor ,,q, kojiimaju jednaku izdaxnost, a nalaze se na rastojau 2l u je-dnolikoj struji. Smer jednolikog strujaa je od izvora kaponoru.

    Sabiraem kompleksnih potencijala izvora:

    F1(z) =q

    2piln (z + l) , (4.188)

    ponora:

    F2(z) =q2pi

    ln (z l) (4.189)i jednolikog strujaa:

    F3(z) = v0 z (4.190)

    dobija se kompleksni potencijal zbirnog strujaa kao:

    F (z) = v0 +q

    2pilnz + l

    z l . (4.191)

    266

  • Razdvajaem realnog i imaginarnog dela iz kompleksnogpotencijala, (4.191), dobijaju se potencijal:

    (x, y) = v0 x+q

    4piln

    (x+ l)2 + y2

    (x l)2 + y2 (4.192)

    i strujna funkcija:

    (x, y) = v0 y +q

    2piarctan

    2 l yx2 + y2 l2 , (4.193)

    u Dekartovim koordinatama.Komponente kompleksne brzine, vx i vy, dobijaju se parci-

    jalnim diferenciraem potencijala:

    vx =

    x= v0 +

    q

    2pi

    [x+ l

    (x+ l)2 + y2 x l

    (x l)2 + y2]

    (4.194)

    vy =

    y= q

    2pi

    [y

    (x+ l)2 + y2 y

    (x l)2 + y2]

    (4.195)

    Za zaustavne taqke A i B, sa koordinatama y = 0 i x = L,vai:

    vx = 0 (4.196)vy = 0 (4.197)

    iz qega se dobija:

    x = q2pi v0

    = L (4.198)

    Graniqna strujnica, koja razdvaja strujae koje potiqeiz izvora, a zavrxava se u ponoru, od jednolikog strujaa,dobija se iz uslova da je = 0, iz jednaqine (4.193) je:

    v0 y +q

    2piarctan

    2 l yx2 + y2 l2 = 0 . (4.199)

    i naziva se Rankinova ovala. en oblik se daje telima okokojih struji voda, kao xto je to mostovski stub u reci.

    267

  • Dvopol

    Ponora i izvor su na rastojau 2 l. Ovo rastojae se smaujetako da vai:

    M = liml0, q

    2 l q = const, (4.200)

    gde je M momenat dvopola, vektorska veliqina koja ima in-tenzitet, pravac i smer.

    Izvedeno je u jednaqini (4.162) da je kompleksni potenci-jal za izvor i ponor jednak:

    F (z) =q

    2pilnz + l

    z l .Iz jednaqine (4.200) sledi:

    q =M/2 l, (4.201)

    pa je kompleksni potencijal dvopola jednak:

    F (z) =M

    4piliml0

    lnz + l

    z ll

    . (4.202)

    Limes u jednaqini (4.202) rexava se primenom Lopitalovogpravila (L Hospital), diferenciraem po l, xto daje:

    liml0

    (lnz + l

    z l)

    (l)= lim

    l0[ln (z + l) ln (z l)]

    1=

    = liml0

    [ln (z + l)] [ln (z l)]1

    =

    = liml0

    [1/(z + l)] 1 [1/(z l)] (1)1

    =

    = liml0

    (1

    z + l+

    1

    z l)=

    2

    z. (4.203)

    Ako se (4.203) unese u (4.202) kompleksni potencijal dvopolaje:

    F (z) =M

    2pi

    1

    z=M

    2pi

    1

    x+ i y

    F (z) =M

    2pi

    x i y(x+ i y) (x i y)

    268

  • F (z) =M

    2pi

    x i yx2 + y2

    . (4.204)

    Razdvajaem realnog i imaginarnog dela, iz jednaqine(4.204), potencijal dvopola, u Dekartovim koordinatama, jejednak:

    (x, y) =M

    2pi

    x

    x2 + y2, (4.205)

    a strujna funkcija dvopola je:

    (x, y) =M

    2pi

    yx2 + y2

    . (4.206)

    Ako se iskoriste veze izmeu Dekartovih i polarnih koor-dinata dobijaju se:

    x

    x2 + y2=r cos

    r2=

    cos

    r, (4.207)

    y

    x2 + y2=r sin

    r2=

    sin

    r. (4.208)

    Zamenom (4.207) i (4.208), u (4.205) i (4.206), potencijaldvopola je:

    (r, ) =M

    2pi rcos , (4.209)

    a strujna funkcija dvopola je:

    (r, ) =M

    2pi rsin . (4.210)

    Na slici 4.36 prikazane su ekvipotencijalne linije istrujnice dvopola. Ekvipotencijalne linije su krunice kojetangiraju y osu u koordinatnom poqetku, a strujnice su kru-nice koje tangiraju x osu, takoe u koordinatnom poqetku.

    269

  • Slika 4.36: Potencijal i strujna funkcija dvopola.

    Komponente kompleksne brzine dobijaju se parcijalnimdiferenciraem potencijala:

    vx =

    x= M

    2pi

    x2 + y2

    (x2 + y2)2= M

    2pi r2cos 2 , (4.211)

    vy =

    y= M

    2pi

    2x y

    (x2 + y2)2= M

    2pi r2sin 2 . (4.212)

    Potencijalno strujae dvopola nema odgovarajue stru-jae u hidrodinamci, ali ako se dvopol nae u jednolikojstruji dobija se potencijalno strujae koje odgovara stru-jau koje nastaje kada se cilindriqno telo nae u jednolikojstruji.

    Jednoliko strujae sa dvopolom

    Sabiraem kompleksnih potencijala dvopola:

    F1(z) =M

    2pi z

    i jednolikog strujaa:

    F2(z) = v0 z

    270

  • dobija se kompleksni potencijal jednolikog strujaa sa dvo-polom kao:

    F (z) = v0 z +M

    2pi z. (4.213)

    Ako se iz jednaqine (4.213) razdvoje realni i imaginarnideo, na sliqan naqin kao kod dvopola, dobijaju se potencijal:

    (x, y) = x

    (v0 +

    M

    2pi

    1

    x2 + y2

    )=(v0 r +

    M

    2pi r

    )cos (4.214)

    i strujna funkcija:

    (x, y) = y

    (v0 M

    2pi

    1

    x2 + y2

    )=(v0 r M

    2pi r

    )sin . (4.215)

    Slika 4.37: Strujna funkcija jednolikog strujaa sadvopolom.

    Na slici (4.37) prikazana je strujna funkcija jednolikestruje sa dvopolom.

    271

  • Nulta strujnica se dobija iz uslova:

    = 0 y(v0 M

    2pi

    1

    x2 + y2

    )= 0 (4.216)

    iz koga je jedno rexee:

    y = 0, (4.217)

    a drugo: (v0 M

    2pi

    1

    x2 + y2

    )= 0. (4.218)

    Uz smenu x2 + y2 = R2 iz jednaqine (4.218) sledi:

    v0 =M

    2pi R2, (4.219)

    odakle je:

    R =

    M

    2pi v0. (4.220)

    Jednaqine (4.217) i (4.220) zadovoavaju uslov = 0.Kompleksni potencijal zbirnog strujaa moe se izrazi-

    ti i preko polupreqnika R, korixeem jednaqine (4.219),pa se dobija:

    F (z) = v0

    (z +

    R2

    z

    ). (4.221)

    Diferenciraem ovako izvedenog kompleksnog potencijalajednolike struje sa dvopolom dobija se kompleksna brzinakao:

    dF

    dz= v0

    (1 R

    2

    z2

    )= vx i vy, (4.222)

    odakle je realni deo:

    vx = v0

    (1 R

    2

    r2cos 2

    )(4.223)

    272

  • i imaginarni deo:

    vy = v0 R2

    r2sin 2 . (4.224)

    U taqkama A i B, koje imaju koordinate:

    r = R, = 0 (4.225)

    ir = R, = pi, (4.226)

    prema jednaqinama (4.223) i (4.224) komponente brzine su:

    vx = vy = 0. (4.227)

    zbog qega se taqke A i B zovu zaustavne taqke.U taqkama C i D, koje imaju koordinate:

    r = R, =pi

    2(4.228)

    ir = R, =

    3pi

    2, (4.229)

    ponovo prema jednaqinama (4.223) i (4.224), komponente brzinesu:

    vx = v0

    (1 +

    R2

    r2

    )

    vx = 2 v0 (4.230)

    vy = 0 (4.231)

    U taqkama C i D se postie maksimalna vrednost brzine.

    273

  • Slika 4.38: Brzine oko cilindra.

    Prilikom opstrujavaa cilindra Zakon odraa energije,ako se zanemare gubici, ili za idealan fluid, daje:

    p0 g

    + z0 +v202g

    =p

    g+ z +

    v2

    2g(4.232)

    Za istu poloajnu kotu z = z0 Zakon odraa energije je:

    p0 g

    +v202g

    =p

    g+v2

    2g(4.233)

    p p0 g

    =v20 v22g

    p p0

    =v20 v2

    2

    2p p0

    = v20

    (1 v

    2

    v20

    )

    2p p0 v20

    = 1 v2

    v20(4.234)

    p p0 v202

    = 1 (v

    v0

    )2(4.235)

    274

  • Jednaqina (4.235) omoguava da se izraquna raspored bez-dimenzionalnog pritiska po povrxini cilindra, koji je ujednolikoj struji. Na slici 4.39 prikazan je raspored pri-tiska koji je izraqunat primenom jednaqina (4.223), (4.224)i (4.235).

    Slika 4.39: Raspored pritiska p po povrxini cilindra ujednolikoj struji.

    Treba primetiti da je izraqunati raspored pritisakaoko cilindra simetriqan, xto znaqi da je rezultanta silapritiska jednaka 0. Izmerene vrednosti pritiska pokazujuda se na uzvodnoj strani cilindra dobro slau izraqunatii izmereni pritisci, a da na nizvodnoj strani nema sla-gaa. Naime, prilikom opstrujavaa cilindra nizvodno seformira vrtlona zona koja remeti raspored brzina kojiodgovara potencijalnom strujau. Zbog toga se ukupna sila,kojom jednolika struja pritiska cilindar, odreuje inte-gracijom rasporeda pritisaka samo na uzvodnoj strani.

    275

  • Izvor ili ponor u jednolikoj struji

    Slika 4.40: Strujna funkcija izvora u jednolikoj struji.

    Na slici 4.40 prikazan je izvor ,,+q u jednolikoj struji.Izvor je u koordinatnom poqetku, a brzina jednolikog stru-jaa je istog smera kao x osa.

    Sabiraem kompleksnih potencijala izvora:

    F1(z) =q

    2piln z (4.236)

    i jednolikog strujaa:

    F3(z) = v0 z (4.237)

    dobija se kompleksni potencijal zbirnog strujaa izvora iponora i jednolkoj struji kao:

    F (z) = v0 z +q

    2piln z . (4.238)

    Razdvajaem realnog i imaginarnog dela iz kompleksnogpotencijala, (4.238), dobijaju se potencijal:

    (r, ) = v0 r cos +q

    4piln r (4.239)

    276

  • i strujna funkcija:

    (r, ) = v0 r sin +q

    2pi (4.240)

    u polarnim koordinatama.Komponente kompleksne brzine, vr i v, dobijaju se parci-

    jalnim diferenciraem potencijala:

    vr =

    r=

    1

    r

    = v0 cos +

    q

    2pi

    1

    r, (4.241)

    v =1

    r

    y=

    r= v0 sin . (4.242)

    Komponente brzina u Dekartovim koordinatama su:

    vx = v0 +q

    2pi

    x

    x2 + y2, (4.243)

    vy =q

    2pi

    y

    x2 + y2. (4.244)

    Za zaustavnu taqku B, sa koordinatama y = 0 i x = xB,prema jednaqini (4.244) je:

    vx = 0 v0 + q2pi

    x

    x2 + 0= v0 +

    q

    2pi xB= 0

    iz qega se dobija:

    xB = q2pi v0

    . (4.245)

    Vrlo daleko od izvora brzina strujaa tei brzini je-dnolike struje:

    x {vx v0vy 0

    } q

    b= v0

    277

  • pa je xirina oblasti strujaa, b, koja potiqe iz izvora, jed-naka :

    b =q

    v0(4.246)

    F (z) = v0 z q2pi

    ln z . (4.247)

    Za ponor u jednolikoj struji kriva koja razdvaja strujaaokree se za 180 .

    Slika 4.41: Potencijal i strujna funkcija ponora u jedno-likoj struji.

    278