25
Skripta za usmeni ispit iz IM1 © Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba 1 T 1. Pojmovi (logičkog) iskaza i predikata. Definicija: Sud ili iskaz je deklarativna izjava, koja u pogledu istinitosti zadovoljava dva principa: 1. sud je ili istinit ili neistinit (princip iskljucenja treceg), 2. sud nije i istinit i neistinit (princip kontradikcije). U matematici se istinit iskaz naziva stav (tvrdnja, teorema). Za iskaznu formulu F (složeni iskaz) kažemo da je tautologija (identički istinita) akko je τ (F)=T za sve vrijednosti svih njenih iskaznih slova (iskaza). Predikat je odnos između promjenljivih veličina, kojeg izriče iskazna funkcija. 2. Pojmovi binarne relacije i preslikavanja (funkcije). Definicija: Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija iz A u B. Pri tome, A je polazni skup binarne relacije R, a B je dolazni skup binarne relacije R. Za binarnu relaciju ρ ⊆AxA kažemo da je: (I) refleksivna akko(aA) aρ a (ekvivalentno: Δ A⊆ ρ ); (II) antirefleksivna akko(aA) a nonρ a (ekvivalentno: Δ A∩ ρ =); (III) simetrična akko (xρy yρx) (ekvivalentno: ρ =ρ -1); (IV) antisimetrična akko (xρ y yρ x) x = y (ekvivalentno: ρ ∩ ρ -1 = Δ A); (V) tranzitivna akko (xρ yyρ z xρ z) (ekvivalentno: ρ ο ρ ⊆ ρ ); (VI) jednoznačna akko presjek (lijevi presjek) relacije ρ (lijevi presjek binarne relacije ρ ⊆AxB elementom aA definira se sa ρ (a):={bB|(a,b)∈ ρ }) bilo kojim elementom aA je ili prazan skup, ili jednočlan skup: (VII) relacija ekvivalencije akko (I) (III)(V); (VIII) relacija pretporetka akko zadovoljava (I)(V); (IX) relacija parcijalnog poretka akko (I) (IV) (V); (X) relacija totalnog poretka akko (I)(IV)(V)(d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj. (d) (x,yA) (xρ y)(yρ x). Definicija: Neka su X i Y bilo koja dva (neprazna) skupa. Postupak f koji svakom elementu xX pridružuje tačno jedan element yY zovemo preslikavanje (ili funkcija) sa X u Y i pišemo f: X Y ili x α f(x), xX . Za preslikavanje f : X Y kažemo da je surjekcija (ili preslikavanje na) ako je f (X ) = Y , injekcija (ili (1-1) – preslikavanje) ako ) ( ) ( 2 1 / = x f x f implicira 2 1 / = x x , bijekcija (ili obostrano jednoznačno preslikavanje) ako je f surjekcija i injekcija. 3. Pojmovi konačnog, prebrojivog, diskretnog i neprebrojivog skupa. Za skup A kažemo da je konačan akko A N n A ) ( = ~ { } n ,..., 2 , 1 . Za skup A kažemo da je beskonačan ako nije konačan. Za skup A kažemo da je prebrojiv akko je A ekvipotentan s nekim podskupom skupa N. Ako skup nije prebrojiv, kažemo da je neprebrojiv. Diskretni skup....?!? Kažemo da su skupovi X i Y ekvipotentni i pišemo X~Y ako postoji bijekcija f : X Y. Klasa kojoj pripada skup X naziva se kardinalni broj skupa X, card(X).

Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

1

T 1. Pojmovi (logičkog) iskaza i predikata. Definicija: Sud ili iskaz je deklarativna izjava, koja u pogledu istinitosti zadovoljava dva principa:

1. sud je ili istinit ili neistinit (princip iskljucenja treceg), 2. sud nije i istinit i neistinit (princip kontradikcije).

U matematici se istinit iskaz naziva stav (tvrdnja, teorema). Za iskaznu formulu F (složeni iskaz) kažemo da je tautologija (identički istinita) akko je τ (F)=T za sve vrijednosti svih njenih iskaznih slova (iskaza). Predikat je odnos između promjenljivih veličina, kojeg izriče iskazna funkcija. 2. Pojmovi binarne relacije i preslikavanja (funkcije). Definicija: Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija iz A u B. Pri tome, A je polazni skup binarne relacije R, a B je dolazni skup binarne relacije R. Za binarnu relaciju ρ ⊆AxA kažemo da je:

(I) refleksivna akko∀(a∈A) aρ a (ekvivalentno: Δ A⊆ ρ ); (II) antirefleksivna akko∀(a∈A) a nonρ a (ekvivalentno: Δ A∩ ρ =∅); (III) simetrična akko (xρy ⇔ yρx) (ekvivalentno: ρ =ρ -1); (IV) antisimetrična akko (xρ y ∧ yρ x) ⇒ x = y (ekvivalentno: ρ ∩ ρ -1= Δ A); (V) tranzitivna akko (xρ y∧ yρ z ⇒ xρ z) (ekvivalentno: ρ ο ρ ⊆ ρ ); (VI) jednoznačna akko presjek (lijevi presjek) relacije ρ (lijevi presjek binarne relacije ρ ⊆AxB elementom

a∈ A definira se sa ρ (a):={b∈ B|(a,b)∈ ρ }) bilo kojim elementom a∈ A je ili prazan skup, ili jednočlan skup:

(VII) relacija ekvivalencije akko (I) ∧ (III)∧ (V); (VIII) relacija pretporetka akko zadovoljava (I)∧ (V); (IX) relacija parcijalnog poretka akko (I) ∧ (IV) ∧ (V); (X) relacija totalnog poretka akko (I)∧ (IV)∧ (V)∧ (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj. (d) ∀(x,y∈A)

(xρ y)∨ (yρ x). Definicija: Neka su X i Y bilo koja dva (neprazna) skupa. Postupak f koji svakom elementu x∈X pridružuje tačno jedan element y∈Y zovemo preslikavanje (ili funkcija) sa X u Y i pišemo f: X →Y ili x α f(x), x∈X . Za preslikavanje f : X →Y kažemo da je surjekcija (ili preslikavanje na) ako je f (X ) = Y , injekcija (ili (1-1) – preslikavanje) ako )()( 21 /= xfxf implicira 21 /= xx , bijekcija (ili obostrano jednoznačno preslikavanje) ako je f surjekcija i injekcija. 3. Pojmovi konačnog, prebrojivog, diskretnog i neprebrojivog skupa. Za skup A kažemo da je konačan akko ANnA )( ∈∃∨∅= ~ { }n,...,2,1 . Za skup A kažemo da je beskonačan ako nije konačan. Za skup A kažemo da je prebrojiv akko je A ekvipotentan s nekim podskupom skupa N. Ako skup nije prebrojiv, kažemo da je neprebrojiv. Diskretni skup....?!? Kažemo da su skupovi X i Y ekvipotentni i pišemo X~Y ako postoji bijekcija f : X → Y. Klasa kojoj pripada skup X naziva se kardinalni broj skupa X, card(X).

Page 2: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

2

4. Složena funkcija i inverzna funkcija. Definicija: Neka su f: X → Y i g: Z → W dva preslikavanja ( dvije funkcije), takva da je R(f) ⊆Z. Tada preslikavanje h: X → W definirano formulom h(x) = g(f(x)), x ∈X označavamo sa g o f ili gf i zovemo kompozicijom preslikavanja ili složenom funkcijom.. Neka je dato preslikavanje f: X → Y. Za preslikavanje g: Y → X kažemo da je inverzna funkcija za f, ako je Xfg 1=ο i Ygf 1=ο . 5. Skup (i polje) realnih brojeva R i algebarske operacije s realnim brojevima. Definicija: Polje realnih brojeva je skup R u kojem su definirane dvije binarne operacije + i · (sabiranje i množenje) i jedna binarna relacija ≤ (manje ili jednako), tako da vrijedi:

1. ….15. 6. Okolina tačke u R i u R , tačke gomilanja skupa A ( ⊆ R), ograničeni i neograničeni intervali. Apsolutna vrijednost realnog broja i trougaona nejednakost. Radi jednostavnijih svojstava u analizi se uvodi prošireni skup realnih brojeva R . Po definiciji je { }+∞∞−∪= ,RR , gdje su +∞∞− , dvije međusobno različite nove tačke. Pod okolinom tačke (odnosno broja) x0∈R podrazumijevamo bilo koji podskup skupa R koji sadži otvoreni interval skupa R kojem ta tačka pripada. Definicija: Za tačku a∈ R kažemo da je tačka gomilanja (ili tačka nagomilavanja) skupa A ( ⊆ R) ako u svakoj okolini tačke a postoji bar jedna tačka skupa A različita od same tačke a. Ograničeni interval: { }bxaRxba <<∈= |:),( . Neograničeni intervali: { }axRxa <∈=−∞ ::),( i { }bxRxb >∈=+∞ ::),( Za svaki realan broj Rx ∈ definira se apsolutna vrijednost (modul) realnog broja x izrazom:

⎩⎨⎧

<−≥

=.0,

,0,:

xxxx

x .

Trougaona nejednakost: yxyx +≤+ . 7. Metod indukcije i Njutnova binomna formula. Metod matematičke indukcije:

(I) Baza indukcije (n = 1, ili, općenitije, n = n∈N): Provjerimo da tvrdnja T(n) vrijedi za n = 1 (odnosno, za n = n),

(II) Induktivna pretpostavka (n = k ≥ 1, odnosno n = k ≥ n0): Pretpostavimo da tvrdnja T(n) vrijedi za prirodan broj k,

(III) Korak indukcije (n = k+1) : Koristeći induktivnu pretpostavku pokažemo da tvrdnja T(n) vrijedi i za prirodan broj k+1.

Teorema: Za svaki prirodan broj n i za sve Ryx ∈, važi relacija

nniinnnn ynn

xyn

nyx

in

yxn

xn

yx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −−− 11

1......

10)( ,

Page 3: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

3

koja se zove Njutnova binomna formula:

Binomni koeficijenti se mogu definirati formulom: )!(!

!:ini

nin

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛.

8. Polje kompleksnih brojeva C. Algebarski oblik, realni i imaginarni dio kompleksnog broja, konjugirano kompleksni brojevi i njihova svojstva. Definicija: Skup { }RyxyxRR ∈=× ,:),( u kojem su definisane operacije sabiranje i množenje formulama:

),,(),(),(),,,( dbcadcbaRdcba ++=+∈∀ ),(),(),(),,,( bcadbdacdcbaRdcba +−=⋅∈∀ .

zove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. Kompleksne brojeve kod kojih je druga komponenta jednaka 0, tj. elemente (x, 0) ∈C (x≠0) zovemo čisto realnim brojevima. Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, tj. elemente (0, y) ∈C (y≠0) zovemo čisto imaginarnim brojevima. Algebarski oblik kompleksnog broja: iyxz += . Konjugovan kompleksan broj: )0(, ≠−= ziyxz . Operacija konjugovanja ima sljedeća svojstva:

1. )(21)Im(),(

21)Re( zz

izzzz −=+= ;

2. 2121 zzzz +=+ ; 3. 2121 zzzz ⋅=⋅ ;

4. )0(, 22

1

2

1 ≠=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

zz

zz .

5. zz =)( (operacija konjugovanja je involutivna). 9. Modul kompleksnog broja i trougaona nejednakost. Argument, trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Definicija: Realan nenegativan broj 22 yx + zove se apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja iyxz += ( Ryx ∈, ) i označava se sa z .

Trougaona nejednakost: 2121 zzzz +≤+ . Definicija: Neka je ),( yxM tačka koja predstavlja kompleksni broj iyxz += , )0( ≠z . Svaki

mjerni broj ϕ orijentisanog ugla ),( OMx koji čini radijus vektor OM sa osom Ox zove se argument broja z i označava se sa Argz. Argument ϕ broja z koji zadovoljava uslov

πϕπ ≤<− zove se glavna vrijednost argumenta broja z i označava se sa argz. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja: )sin(cos ϕϕ irz += - Eksponencijalni oblik kompleksnog broja: ϕierz ⋅= .

Page 4: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

4

10. Moavrova teorema o proizvodu, količniku i stepenovanju kompleksnih brojeva. Korjenovanje kompleksnih brojeva.

(I) [ ])sin()cos( 21212121 ArgzArgziArgzArgzzzzz +++⋅⋅=⋅ ,

(II) [ ])sin()cos( 21212

1

2

1 ArgzArgziArgzArgzzz

zz

−+−⋅= ,

(III) ( )[ ] ( )ϕϕϕϕ ninrirz nnn sincossincos +=+⋅= ,

(IV) )(,2sin2cos Zkn

kin

krz nk ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

⋅=πϕπϕ .

11. Pojmovi (konačnog i beskonačnog) niza, harmonijskog, aritmetičkog i geometrijskog niza. Niz je svako preslikavanje skupa prirodnih brojeva na skup realnih brojeva. Definicija: Konačni niz elemenata (nepraznog) skupa X je svako preslikavanje (funkcija) x:M→X, gdje je M neki konačan podskup skupa N. Definicija: Beskonačni niz je svako preslikavanje x: N→ X, skupa prirodnih brojeva N u skup X. Vrijednost x(n)∈X preslikavanja x u tački n∈N zove se n-ti član toga niza i obično se označava sa xn, pa se govori o (beskonačnom) nizu (xn, n∈N). Ako je specificirana zavisnost xn od n, onda se xn naziva opšti član niza. Harmonijski niz je niz kod kojeg je svaki član, osim prvog, harmonijska sredina njemu dva susjedna člana. Aritmetički niz je svaki niz za koji vrijedi: dxx nn =−−1 , gdje je d fiksan broj.

Suma aritmetičkog niza: [ ]dnanSn )1(22 1 −+=

Geometrijski niz je svaki niz kod kojeg je svaki član, osim prvog, proizvod prethodnog člana i fiksnog broja q: qxx nn ⋅=+1 .

Suma geometrijskog niza: ∑=

=−−

=n

i

in

n qaq

qaS0

11 11

12. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti niza. Tačke gomilanja niza. Definicija: Neka je (an) niz u R i neka je a∈R. Kažemo da je a granična vrijednost ili limes niza (an) i pišemo a = nn

a∞→

lim ako za svaku okolinu U tačke a postoji n0∈N takav da n > n0

povlači an ∈ U. U slučaju kada je a∈R (tj. kada je a konačan broj), za niz (an) kažemo da je konvergentan, a u slučaju kada je −∞=a ili ∞+ ili da granična vrijednost ne postoji, kažemo da niz (an) divergira (u slučaju kada je limes niza (an) beskonačan kažemo da taj niz divergira u užem smislu, a u slučaju kada limes od (an) ne postoji, kažemo da niz (an) divergira u širem smislu ili da oscilira). Jednostavno se dokazuju sljedeća osnovna svojstva graničnih vrijednosti nizova u R:

(I) Ako niz ima graničnu vrijednost, ona je jednoznačno određena. (II) Svaki konvergentan niz je ograničen.

Page 5: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

5

(III) Jednakost aann=

∞→lim , gdje je a ∈R , vrijedi akko an = a + αn, pri čemu je ( αn)

nula – niz. (IV) Zbir i razlika dva nula – niza su nula – nizovi. (V) Proizvod ograničenog niza i nula – niza je nula – niz. (VI) (Veza između algebarskih operacija u skupu R i graničnog prelaza). Neka su

(an) i (bn) konvergentni nizovi i neka je aann=

∞→lim i bbnn

=∞→

lim Tada je:

a) ( ) baba nnn±=±

∞→lim

b) ( ) baba nnn⋅=⋅

∞→lim

c) ba

ba

n

n

n=

∞→lim

(VII) (“Teorema o dva žandara / policajca “ ili “Sendvič teorem” ili “Teorema o uklještenju”.) Neka su (an) , (bn) i (cn) tri niza (u R), takva da je : 1° an ≤ bn ≤ cn za svaki n∈N (ili počev od nekog n); 2° Raca nnnn

∈==∞→∞→

limlim Tada je abnn=

∞→lim .

(VIII) Ako je lim |an| = 0, onda je lim an = 0. Definicija: Za tačku a∈R kažemo da je tačka gomilanja (ili tačka nagomilavanja) niza na u R ako postoji podniz (

kna ) tog niza koji teži ka a kad ∞→k . 13. Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove i nizove. Monotoni nizovi i broj e. Teorema (Bolzano – Weierstrassova teorema za skupove): Svaki beskonačni ograničeni skup u R ima bar jednu tačku gomilanja u R. Svaki beskonačni skup u R ima bar jednu tačku gomilanja u R. Teorema (Bolzano – Weierstrassova teorema za nizove):

(I) Svaki ograničen niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u R. (II) Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u R .

Definicija: Za niz (an) u R kažemo da je neopadajući ako je an ≤ an+1 za svaki n∈N, a da je rastući (strogo rastući) ako je an < an+1 za svaki n∈N. Analogno se definira nerastući i opadajući (strogo opadajući) nizovi. Jednim imenom nizove navedena četiri tipa zovemo monotoni nizovi. Eulerov broj e je transcedentan (ne zadovoljava niti jednu algebarsku jednačinu) i iracionalan; ima velik značaj u matematičkoj analizi i njenim primjenama, a uzima se i za bazu logaritma (prirodni logaritam); ...718281,2),32( =<< ee

enn

n

n

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

∞→∞→

111lim11lim

14. Pojmovi (beskonačnog) reda (u R i u opštem normiranom vektorskom prostoru), njegove konvergencije i divergencije.

Page 6: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

6

Definicija: Neka je dat niz (an) u R (ili u normiranom vektorskom prostoru X) i neka je

∑=

=k

nnk as

1

za svaki k∈N. Beskonačni red ili, kraće, red u R (ili u proizvoljnom normiranom

vektorskom prostoru X) je uređen par ((an), (sk)) koji se sastoji od dva niza (an) , (sk) (an, sk ∈ R, odnosno, an, sk∈X ); an su članovi reda, a sk (k∈N) k – te parcijalne sume reda. Niz (sk) nazivamo nizom parcijalnih suma datog reda. Sam red se kraće označava ∑

nna .

Definicija: Neka je (an) niz u R. Kažemo da je niz (an) sumabilan u R ( odnosno, u X ) ili da je red Σan konvergentan ( u R, odnosno, u X ) ako je niz parcijalnih suma (sk) reda Σan konvergentan ( u R, odnosno, u X ). Limes kk

ss∞→

= lim: naziva se suma reda Σan i označava se sa:

∑∞

=

=1n

nas .

Red Σan je divergentan u dva slučaja: 1. Red Σan ima sumu s ali je ±∞=s i tada još kažemo da je red određeno divergentan ili

divergentan u užem smislu, 2. Red Σan nema nikakvu sumu i tada još kažemo da je red oscilirajući ili da je divergentan

u širem smislu. Teorema (Cauchyjev kriterijum za konvergenciju redova): Red Σ an konvergira akko za svaki ε>0 postoji n0∈N takav da iz n >n0 , p∈N slijedi |an+1 + an+2 + … + an+p|< ε . 15. Potreban uslov za konvergenciju reda. Geometrijski, harmonijski i opšti harmonijski (hiperharmonijski) red. Teorema (Potreban uslov za konvergenciju reda): Ako je red Σ an konvergentan, onda niz (an) njegovih članova konvergira ka nuli, tj. 0lim =

∞→ nna .

Red ∑ −1naq naziva se geometrijskim redom. Parcijalna suma geometrijskog reda:

( )

⎪⎩

⎪⎨

=

≠−−

=)1(,

)1(,11

qak

qqqa

s

n

k .

Za 1<q konvergentan, za 1≥q divergentan (i to za 1≥q u određenom smislu, a za 1≤q oscilira). Za 1−≤q limes ne postoji.

Hiperharmonijski red: ∑∞

=1

1n nα ⇒ za 1>α konvergentan ( +∞=

∞→

αnnlim ),

za 1≤α divergentan (za 0=α , 1lim =∞→

αnn

;

za 0<α 0lim =∞→

αnn

).

Harmonijski red: ∑∞

=1

1n n

(divergentan red)

Page 7: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

7

16. Redovi s nenegativnim članovima (pozitivni redovi). Osnovni kriteriji za ispitivanje konvergencije pozitivnih redova. Za red Σan kažemo da je pozitivan ako je an ≥ 0 za svaki n∈N. Kriterijumi konvergencije pozitivnih redova:

Dalamberov kriterij: Neka je La

a

n

n

n=+

∞→

1lim , tada vrijedi:

1. ako je L<1, red je konvergentan, 2. ako je L>1, red je divergentan, 3. ako je L=1, ne daje odgovor.

Koshijev kriterij: Neka je Lannn

=∞→

lim , tada vrijedi:

1. ako je L<1, red je konvergentan, 2. ako je L>1, red je divergentan, 3. ako je L=1, ne daje odgovor.

Rabeov kriterij: Neka je Laa

nn

n

n=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+∞→

1lim1

, tada vrijedi:

1. ako je L<1, red je divergentan, 2. ako je L>1, red je konvergentan, 3. ako je L=1, ne daje odgovor.

Gausov kriterij: Neka za neko R∈μλ, i za 1>α vrijedi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=

μλn

ona

a

n

n 1

1

)( ∞→n :

1. za 1>λ ili 1<λ red Σan konvergira, 2. za 1,1 >= μλ ili 1,1 <= μλ red Σan konvergira, 3. za 1,1 == μλ red divergira.

17. Redovi sa članovima s promjenljivim znakom. Leibnizov kriterij i apsolutna konvergencija. Osnovni kriterijumi konvergencije redova s članovima proizvoljnog znaka:

Dirihleov kriterij: Neka je dat red ∑∞

=1nnnba i neka su zadovoljeni uslovi:

1. niz na monotono tezi 0, 2. niz nB parcijalnih suma reda nb je ogranicen,

tada je dati red konvergentan.

Abelov kriterij: Neka je dat red ∑∞

=1nnnba i neka:

1. niz na monotono tezi 0,

2. ∑∞

=1nnb je konvergentan,

tada je i dati red konvergentan.

Page 8: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

8

Stav: Ako red Σ|an| konvergira, onda konvergira i red Σan (u R). Ako red Σ|an| konvergira, onda se kaže da red Σan apsolutno konvergira. Za red Σan kaže se da uslovno konvergira ili da je semikonvergentan ako konvergira, ali pri tom ne konvergira apsolutno.

Lajbnicov kriterij: Neka je dat alternativni red 0,)1(1

1 ≥−∑∞

=

−n

nn

n aa i pretpostavimo da su

zadovoljeni sljedeći uslovi: 1. ,0,0 →→ nan 2. 1+≥ nn aa ,

tada je dati red konvergentan. 18. Redovi s kompleksnim članovima. Brojni red ∑∑

≥≥

+=11

)(:n

nnn

n ibaz čiji su članovi zn : = an + ibn (an, bn ∈R, ∀ ( n∈N)) kompleksni

brojevi nazivamo brojni red s kompleksnim članovima (ili kompleksni brojni red ili red kompleksnih brojeva).

Red ∑∑≥≥

+=11

)(:n

nnn

n ibaz konvergira i ima sumu iBAS +=: ( ∑=

∞→∞→==

n

kknnn

aAA1

lim:lim: i

∑=

∞→∞→==

n

kknnn

bBB1

lim:lim: ) akko konvergiraju redovi ∑ na i ∑ nb i pišemo:

∑∑∑∞

=

=

=

+=+111

)(n

nn

nn

nn biaiba . Σan zovemo realni dio reda ∑∑≥≥

+=11

)(:n

nnn

n ibaz , a red Σbn

zovemo imaginarni dio reda. 19. Opšti pojmovi o realnoj funkciji jedne realne promjenljive (definicija pojma realne funkcije jedne realne promjenljive, (prirodni) domen, grafik, zadavanje i opšta svojstva). Definicija: Svako preslikavanje f : X → Y, definirano na nekom podskupu X skupa R realnih brojeva i sa vrijednostima iz nekog podskupa Y skupa R, zove se realna funkcija jedne realne nezavisno promjenljive. Dakle, realna funkcija realne promjenljive je svaka uređena trojka (X,Y,f), koja se sastoji od skupa X ( ⊆ R), kojeg zovemo oblast definisanosti (domen), skupa Y ( ⊆ R ), kojeg zovemo područje vrijednosti (kodomen), te nekog pravila f. Neka je f : X → Y realna funkcija realne promjenljive. Tada se skup svih onih tačaka (x, y) ∈R2 kod kojih je x∈X i y = f(x) naziva grafikom ili grafom funkcije f. Označavamo ga sa G(f). Prema tome, po definiciji je { } )(|))(,( 2RYXXxxfxG f ⊆×⊆∈= . Funkcija može biti zadana na razne načine: analitički, tablički, grafički, riječima. Postoji i eksplicitno, implicitno i parametarsko zadavanje funkcija. Opća svojstva (parnost, periodičnost, monotonost, ograničenost): Definicija: Za skup D( ⊆ R) kažemo da je simetričan u odnosu na nultu tačku (tj. tačku 0) ako za svaki x∈D broj – x takođe pripada skupu D. Kažemo da je funkcija f : D → K (D, K ⊆ R), definirana na simetri_nom skupu D, parna ako je f (– x) = f (x) za svaki x∈D, a neparna ako je za svaki x∈D ispunjeno f (–x) = – f (x).

Page 9: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

9

Definicija: Kažemo da je funkcija f : D → R periodična ako postoji broj p∈R\{0} (koji se naziva periodom funkcije f ), takav da važi: (i) ∀ (x∈D) x+ p∈ D ;

(ii) ∀ (x∈D) f (x+p) = f(x). Najmanji pozitivan broj p (ako postoji) za koji su ispunjeni uslovi (i) i (ii) naziva se osnovni (temeljni) period funkcije f i obično se označava sa T. Definicija: Neka je E ⊆ D ⊆ R. Za funkciju f : D → K (K ⊆ R) kažemo da je: 1° neopadajuća na skupu E ako (∀ x1, x2∈E) (x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)); 2° rastuća na skupu E ako (∀ x1, x2∈E) (x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)); 3° nerastuća na skupu E ako (∀ x1, x2∈E) (x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2)); 4° opadajuća na skupu E ako (∀ x1, x2∈E) (x1<x2 ⇒ f (x1) > f (x2)). Za funkciju f koja zadovoljava bilo koji od uslova 1°– 4° kažemo da je monotona, a za funkciju f koja zadovoljava uslov 2° ili uslov 4° da je strogo monotona na skupu E. Definicija: Za funkciju ),(: RKDKDf ⊆→ kažemo da je ograničena odozgo (odozdo) na skupu )( DE ⊆ ako postoji broj RP ∈ ( Rp ∈ ), takav da za sve Ex ∈ vrijedi Pxf <)( ( pxf >)( ). Za funkciju koja je ograničena odozdo i odozgo na skupu E kažemo da je ograničena na skupu E. 20. Osnovne elementarne funkcije. Skup elementarnih funkcija čine:

1. stepena, racionalna, eksponencijalna i logaritamska funkcija, 2. trigonometrijske funkcije i njihove inverzne funkcije, 3. sve funkcije koje se dobiju pomoću prethodnih konačnim brojem operacija.

Definicija: Stepen sa realnim izložiocem (eksponentom) x i osnovom a (a>0), je izraz xa definiran sa BAa x infsup == . Funkcija xax → zove se eksponencijalna funkcija sa bazom a. Definicija: Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije xaxf =)( , naziva se logaritamska funkcija sa bazom a i označava: RRa →+:log ( x

a ayyx =⇒= log ). Definicija: Za svaki R∈α , funkcija αxx α , definirana na R+ naziva se stepena funkcija sa eksponentom α . Trigonometrijske funkcije su sin, cos, tg i ctg. Inverzne trigonometrijske funkcije su arcsin, arccos, arctg, arcctg. 21. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti (limesa) realne funkcije jedne realne promjenljive. Definicija: (Po Cauchyju) Neka je f : X → Y realna funkcija realne promjenljive i x0∈R tačka gomilanja skupa X. Kažemo da je y0∈R granična vrijednost (limes) funkcije f u tački x0 (ili da funkcija f (x) teži vrijednosti y0 kada x teži vrijednosti x0) i simbolički to označavamo sa 0)(lim

0

yxfxx

=→

, ako za svaku okolinu V (y0) tačke y0 postoji okolina U(x0) tačke x0, takva da

vrijedi (∀ x∈X ) ( (x∈U(x0), x ≠ x0) ⇒ ( f (x)∈V(y0) ). Definicija: Neka je xo∈R tačka gomilanja skupa { }oo xxXxXxR >∈=∩+ |: i f : X → Y (X ⊆ R, Y ⊆ R). Vrijednost )(lim xf

oo xXxxR →∈∩+

(ako postoji) označava se sa )(lim xfoxx +→

i zove desna

Page 10: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

10

granična vrijednost funkcije f u tački x0. Analogno se definira lijeva granična vrijednost funkcije. Definicija: (Po Heineu): Za funkciju f : D → R realne promjenljive kaže se da ima u tački x0 R graničnu vrijednost jednaku y0 ( y0∈R ), ako za svaki niz x1, x2, ..., xn, ... tačaka iz D, za koji je xn ≠ xo za svaki n∈N i 0lim xxnn

=∞→

važi 0)(lim yxf nn=

∞→.

Osnovne teoreme teorije graničnih vrijednosti funkcija: (I) Funkcija f : D → K (D, K ⊆ R) ne može imati u tački x0 (∈R ) dvije različite

granične vrijednosti (II) Ako funkcija f : D → K (D, K ⊆ R) ima konačnu graničnu vrijednost u tački x0 (∈R),

onda postoji okolina U(x0) tačke x0, takva da je funkcija f ograničena na skupu

)( 0xU D

ο

(III) Za svaku fukciju f : D → K (D, K ⊆ R) važi da je bxf

ax=

→)(lim (b∈R, a∈R ) akko je

f(x) = b + α (x), gdje je α beskonačno mala kad x → a. (Iz bxfax

=→

)(lim ∈R slijedi

0))((lim =−→

bxfax

).

(IV) Ako je Axfax

=→

)(lim (∈R), onda je Axfax

=→

)(lim , tj )(lim)(lim xfxfaxax →→

= (a∈R ).

(V) Teorema o dva žandara. Neka su f, g, h tri realne funkcije jedne realne promjenljive, D presjek domena D( f ), D(g) i D(h) kojem je tačka a tačka gomilanja i neka je f(x) ≤

g(x) ≤ h(x) za sve )(aUx D

ο

∈ gdje je U(a) neka okolina tačke a. Ako je bxhxf

axax==

→→)(lim)(lim (a, b ∈ R ), onda je i bxg

ax=

→)(lim

(VI) O algebarskim operacijama za limese funkcija. Neka je bxfax

=→

)(lim i cxgax

=→

)(lim

(b, c∈ R ), gdje je tačka a (∈R ) tačka gomilanja presjeka D ( ⊆ R) domena D( f ) i D(g) realnih funkcija f i g. Tada je:

i. ( ) cbxgxfax

±=±→

)()(lim

ii. ( ) )(lim)(lim xfkxfkaxax →→

⋅=⋅

iii. ( ) cbxgxfax

⋅=⋅→

)()(lim

iv. cb

xgxf

ax=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛→ )(

)(lim

(VII) O nekim svojstvima beskonačnih graničnih vrijednosti i. Ako je +∞=

→)(lim

0

xfxx

(ili ∞− )(x0∈R ), onda je +∞=→

)(lim0

xfxx

ii. Ako je +∞=→

)(lim0

xfxx

(x0∈R ), onda je 0)(

1lim0

=→ xfxx

iii. Ako je 0)(lim0

=→

xfxx

i ako je 0)( ≠xf onda je +∞=→ )(

1lim0 xfxx

Page 11: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

11

iv. Ako je RAxfxx

∈=→

)(lim0

i +∞=→

)(lim0

xgxx

onda je

( ) ∞⋅=⋅→

Axgxfxx

sgn)()(lim0

, A 0≠ i 0)()(lim

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ xg

xfxx

22. Egzistencija limesa za monotone funkcije. Poznati limesi. Tehnike računanja limesa. Teorema: Neka je f : D → K (D, K ∈ R) neopadajuća funkcija i neka su i : = inf D i s : = sup D tačke gomilanja skupa D. Tada postoje )(lim xf

ix→i )(lim xf

sx→. Da bi limes )(lim xf

ix→ bio konačan

potrebno je i dovoljno da funkcija f na skupu D bude ograničena odozdo; analogno važi za funkciju )(lim xf

sx→.

Analogna tvrđenja važe za nerastuće funkcije. Poznati limesi:

1. 0lim =∞→ n

k

n an , )1,1( >> ka

2. 0!

lim =∞→ n

a n

n, )( Ra ∈∀

3. 0lim =∞→

n

nq , )1( <q

4. 1lim =∞→

n

nn

5. 1lim =∞→

n

na , )( +∈∀ Ra

6. 1sinlim0

=→ n

nn

7. 11lim0

→ nen

n

8. enn

n

n

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

∞→∞→

111lim11lim

23. Primjena asimptotskih razvoja za izračunavanje limesa. Definicija: Kažemo da je funkcija f beskonačno mala u odnosu na funkciju g kad x →a (ili u tački x = a, odnosno u okolini tačke a ) i pišemo f (x) = o( g (x) ) (x → a) (“ f je malo o od g kad

x → a”) ako postoji takva okolina tačke a da je )()()( xgxxf ⋅= α za svaki DUxο

∈ , gdje je α

(x) beskonačno mala funkcija kad x → a, tj. 0)(lim =→

xaxα .

Definicija: Ako postoji okolina U tačke a i funkcija β koja je ograničena na DUο

, tako da je f

(x) = β (x) g (x) za svaki DUxο

∈ , pišemo f (x) = O( g (x) ) (x → a) (“ f (x) je veliko O od g(x) kad x → a ”). Ako je istovremeno ))(()( xgOxf = i )))((()( axxfOxg →= , kažemo da su funkcije f i g istog reda. Ako je istovremeno ))(()( kxgOxf = i ( ) )))((()( axxfOxg k →= ,

Page 12: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

12

onda kažemo da je f funkcija k – tog reda u odnosu na g kad x → a. Definicija: Neka postoji okolina U tačke a i funkcija γ, takve da je 1)(lim =

→x

axγ i

)()()( xgxxf γ= za svaki DUxο

∈ . Tada kažemo da se funkcija f asimptotski ponaša kao funkcija g kad x→a (ili da su f i g ekvivalentne funkcije kad x → a ) i pišemo f (x) ~ g (x) (x →

a), (3.8.3) (“f (x) je ekvivalentno sa g(x) kad x → a “). Navedeni izrazi zovu se asimptotske relacije. Stav: Granična vrijednost količnika beskonačno malih veličina ne mijenja se ako ove zamijenimo ekvivalentnim beskonačno malim veličinama . 24. Asimptote: horizontalna, vertikalna i kosa. Pri aproksimaciji funkcije y=f(x) pravim linijama kad ±∞→x ili kad ±∞→y , ako je to moguće, prave linije se nazivaju asimptotama. Ako za funkciju f vrijedi ±∞=

→)(lim xf

ax, onda je prava x=a vertikalna asimptota.

Ako postoji broj Rb ∈ takav da je bxfx

=±∞→

)(lim , onda je prava y=b (ako +∞→x , desna, a ako

−∞→x lijeva) horizontalna asimptota funkcije y=f(x).

Ako postoje limesi xxfk

x

)(lim±∞→

= i [ ]kxxfnx

−=±∞→

)(lim , onda je prava y=kx+n (ako +∞→x ,

desna, a ako −∞→x lijeva) kosa asimptota. 25. Pojmovi neprekidnosti, tačaka prekida i singulariteta realne funkcije jedne realne promjenljive. Definicija: Neka su D, K podskupovi od R i f : D → K funkcija. Kažemo da je funkcija neprekidna (neprekinuta, kontinuirana) u tački x0∈D ako za svaku okolinu V tačke f (x0) u K postoji okolina U tačke x0 u D takva da je f (U) ⊆ V. U protivnom slučaju kaže se da je f prekidna u tački x0 , a u tom slučaju se za tačku x0 kaže da je tačka prekida funkcije f . Svaku tačku gomilanja x0 domena D funkcije f : D → K (D, K ⊆ R) ćemo zvati singularna

tačka ili singularitet funkcije f ako x0∉D . Definicija: Za realnu funkciju f definiranu na skupu D ( ⊆ R) kažemo da je neprekidna slijeva (zdesna) u tački x0∈D ako je )()(lim 0

0

xfxfxx

=−→

(odnosno )()(lim 00

xfxfxx

=+→

). Za tačku x0 iz

domena D funkcije f kažemo da je tačka prekida slijeva (zdesna) funkcije f ako f nije neprekidna slijeva (zdesna) u toj tački. Definicija: Neka je f realna funkcija definirana na skupu D ( ⊆ R) i x0∈D tačka prekida funkcije f. Kaže se da je u tački x0 :

(I) prekid prve vrste funkcije f ako postoje konačne granične vrijednosti f (x0 – ) i f (x0+), pri čemu se zahtijeva postojanje samo prvog (odnosno, samo drugog) od tih limesa ako je x0 samo lijeva (odnosno, samo desna) tačka gomilanja skupa D ; specijalno se kaže da je takav prekid otklonjiv (odstranjiv, uklonjiv ili nebitan) ako je još f (x0 – )= =f(x0 + ), tj. ako postoji (konačan) )(lim

0

xfxx→

,

Page 13: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

13

(II) prekid druge vrste funkcije f ako nije prve vrste (tj. ako bar jedna od graničnih vrijednosti f (x0 –) i f (x0 +) ne postoji ili je beskonačna).

Definicija: Neka je f realna funkcija definirana na skupu D ( ⊆ R) i x0∈D tačka prekida funkcije f. Kaže se da je u tački x0 :

(I) otklonjiv prekid funkcije f ako postoji konačna granična vrijednost )(lim0

xfxx→

(II) pol funkcije f ako postoji beskonačna granična vrijednost ±∞=→

)(lim0

xfxx

(III) esencijalni prekid funkcije f ako granična vrijednost )(lim0

xfxx→

ne postoji; pri tome se

za esencijalni prekid funkcije f u x0 kaže da je esencijalni prekid prve vrste ako postoje konačne granične vrijednosti )(lim

0

xfxx −→

i )(lim0

xfxx +→

, a za esencijalni prekid

koji nije prve vrste kaže se da je esencijalni prekid druge vrste. 26. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija. Lokalna svojstva neprekidnih funkcija: Svako svojstvo neprekidne funkcije koje je u vezi sa ponašanjem te funkcije u nekoj okolini njene tačke neprekidnosti nazivamo lokalno svojstvo neprekidne funkcije. Pravila o aritmetičkim operacijama sa neprekidnim funkcijama: Neka su na skupu D( ⊆ R) definirane realne funkcije f, g i neka je svaka od funkcija f, g

neprekidna u tački x0∈D. Tada su i funkcije f + g, f – g, λf (λ∈R) , f · g , f / g (uz dodatnu pretpostavku g (x0)≠0 ) i |f | neprekidne u tački x0 . Pravilo o neprekidnosti složene funkcije: Kompozicija dviju neprekidnih funkcija također je neprekidna funkcija. Globalna svojstva neprekidnih funkcija: Definicija: Za funkciju f : D → K (D, K ⊆ R) kažemo da je neprekidna na skupu S ⊆ D ako je ona neprekidna u svakoj tački x0 iz S. Prva Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] ( ⊂ R) , ona je na tom segmentu i ograničena. Druga Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] ( ⊂ R), ona na tom segmentu postiže svoj infimum i supremum, tj. postoje brojevi m, M ∈R i tačke xm, xM ∈ [a, b] (koje se mogu i poklapati) takvi da je m ≤ f (x) ≤ M za svaki x∈ [a, b], m = f (xm) i M = f (xM). Bolzanova teorema: Neka je f realna i na segmentu [a, b] ( ⊆ R) neprekidna funkcija. Ako f na

rubovima toga segmenta ima suprotne predznake, tj. ako je f(a)·f(b)< 0, onda postoji bar jedna tačka c∈ (a, b) takva da je f (c) = 0. Bolzano – Cauchyjeva teorema o međuvrijednostima: Neka je f realna i na segmentu [a, b] ( ⊆ R) neprekidna funkcija. Ako su x1 i x2 dvije tačke toga segmenta takve da je f (x1) ≠ f (x2), onda za ma koji realni broj C između f (x1) i f (x2) postoji bar jedna tačka c između x1 i x2 takva da je f(c)=C, tj. neprekidna funkcija na segmentu prima svaku međuvrijednost. Definicija: Za funkciju f: D→K (D, K ⊆ R) kažemo da je uniformno (ravnomjerno, jednoliko) neprekidna na skupu A ⊆ D ako za svaki ε>0 postoji δ(=δ(ε)>0) koji ne ovisi o x takav da za svaki x, x'∈A iz |x–x'|<δ slijedi |f (x)–f(x')|<ε.

Page 14: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

14

Cantorova teorema: Ako je f : [a, b] → K ([a, b] ⊂ R, K ⊆ R) neprekidna funkcija na segmentu [a, b], onda je ona i uniformno neprekidna na tom segmentu. 27. Elementarne funkcije i njihova neprekidnost. Pod elementarnim funkcijama u širem smislu podrazumijevamo sve one realne funkcije jedne realne promjenljive koje se od osnovnih elementarnih funkcija, pored algebarskih operacija +, –, · , : i operacije kompozicije funkcija, dobijaju i restrikcijom domena ili su dio po dio jednake tako dobijenim funkcijama. Teorema: Svaka elementarna funkcija je neprekidna (tj. elementarna funkcija je neprekidna gdje je i definirana). Elementarne funkcije se klasificiraju na sljedeći način:

(I) Funkcije koje se mogu obrazovati iz funkcija f (x) : = x i g(x): = const konačnom primjenom operacija + i · nazivaju se polinomima ili cijelim racionalnim funkcijama.

(II) Funkcija koja može biti obrazovana iz funkcija f (x) : = x i g(x): = const konačnom primjenom operacija + , · i : naziva se racionalnom funkcijom.

(III) Funkcije koje mogu biti dobijene iz funkcija f (x) = x i g(x) = const = 1 konačnom primjenom operacija + , · , : i operacije izvlačenja korijena nazivaju se algebarskim funkcijama (pri čemu se kod parnih korijena bira njegova aritmetička vrijednost). Algebarske funkcije koje nisu racionalne nazivaju se iracionalnim.

(IV) Sve ostale elementarne funkcije nazivaju se elementarnim transcendentnim funkcijama

28. Pojam kompleksne funkcije. Osnovne elementarne kompleksne funkcije. Definicija: Svako preslikavanje f : D → K, gdje je D ⊆ C i K ⊆ C, a (C, +, · ) polje kompleksnih brojeva, zove se kompleksna funkcija kompleksne promjenljive. Ako je pak D ⊆ R i K ⊆ C, onda za f : D → K kažemo da je kompleksna funkcija realne promjenljive. Osnovne elementarne kompleksne funkcije:

2

xx eeshx−−

= , 2

xx eechx−+

= , xx

xx

eeeethx

+−

= , xx

xx

eeeecthx

−+

= .

29. Pojmovi izvoda (derivacije) i njegova geometrijska i fizikalna interpretacija. Jednostrani i beskonačni izvodi. Neka je funkcija y=f(x) definisana u nekoj okolini tačke x0. Ako postoji limes

xxfxxf

x Δ−Δ+

→Δ

)()(lim 00

0,

onda ovaj limes zovemo izvod (derivacija) funkcije y=f(x) u tački x0 i označavamo ga sa f'(x) ili

y' ili dxdy .

Page 15: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

15

Ako izvod funkcije y=f(x) u tački x0 postoji, tada je koeficijent tangente, grafika funkcije u tački M(x0,y0) jednak izvodu funkcije u toj tački, tj. )(' 0xfkt = . Ako je s=f(t) jednačina kretanja tačke koja se kreće po pravoj liniji, tada je brzina kretanja u trenutku t0 jednak izvodu u toj tački funkcije f(t), tj. )(')( 90 tftv = 30. Pojmovi diferencijabilnosti i diferencijala realne funkcije jedne realne promjenljive. Svojstva diferencijabilnih funkcija. Za funkciju koja ima izvod u tački x0 kažemo da je diferencijabilna u toj tački. Ako funkcija y=f(x) ima izvod u svakoj tački intervala (a,b) onda kažemo da je diferencijabilna na (a,b). Teorema: Ako je funkcija f derivabilna u točki x0, tada je i neprekidna u toj točki. Diferencijal funkcije y=f(x) je proizvod izvoda funkcije i priraštaja argumenta funkcije:

xxfdy Δ⋅= )(' . Za razliku od derivacije koja daje koeficijent smjera tangente, diferencijal je linearna aproksimacija prirasta funkcije u okolini neke točke. Geometrijska interpretacija diferencijala:

31. Pravila deriviranja (diferenciranja), tehnika diferenciranja. Teorema 1: Izvod konstante jednak je nuli, tj. 0', == yCy . Teorema 2: Izvod zbira (razlike) funkcija jednak je zbiru (razlici) izvoda funkcija, tj.

''', vuyvuy ±=±= . Teorema 3: Izvod proizvoda konstante i funkcije jednak je proizvodu konstante i izvoda funkcije, tj. )(''),( xafyxafy == . Teorema 4: Ako je nxy = , n – prirodni broj, tada je 1' −= nnxy . Teorema 5: Ako je xy sin= , onda je xy cos'= . Teorema 6: Ako je xy cos= , tada je xy sin' −= . Teorema 7: Ako je dat proizvod dviju funkcija ))(,)(( xvvxuuvuy ==⋅= tada je izvod ovod proizvoda: '')'(' uvvuuvy +== .

Page 16: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

16

Teorema 8: Ako je dat količnik dviju funkcija )0)(),(),(( ≠=== xvxvvxuuvuy , tada je izvod

ovog količnika 2

' '''v

uvvuvuy −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Teorema 9: Ako je xy alog= , onda je ex

y alog1'= . Specijalno za a=e imamo x

x 1)'(ln = .

Teorema 10: Ako je y=ax , onda je aay x ln'= . Specijalno za a=e je xx ee =)'( . Teorema 11: Neka je inverzna funkcija )(1 yf − neprekidna u tački y=f(x), tada je

)('1)()'( 1

xfyf =− .

32. Izvodi i diferencijali višeg reda. Izvod f' funkcije f nazivamo prvim izvodom funkcije f. Izvod drugog reda funkcije f definiše se kao izvod funkcije g(x)=f'(x). Ako je definisan izvod reda n-1, u oznaci )1( −nf , tada se izvod reda n definiše kao izvod funkcije )1( −→ nfx . Izvod reda nula, )0(f je, po definiciji, jednak funkciji f. Za funkciju koja u tački x ima konačan izvod reda n kažemo da je u toj tački n puta diferencijabilna. Lajbnicova formula za n-ti izvod proizvoda: Ako funkcije )(xux → i )(xvx → imaju konačne izvode do reda n u tački x, onda funkcija )()( xvxux → ima izvod reda n u toj tački i važi:

∑=

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅

n

k

knkn xvxukn

xvxu0

)()()( )()())()(( .

33. Osnovne teoreme diferencijalnog računa. Farmatova teorema: Ako funkcija f ima u tački x0 lokalni ekstrem i ako u toj tački ima izvod, onda je f'(x0)=0. Rolleova teorema: Neka je funkcija f definisana na [ ]ba, , pri čemu važi:

1. funkcija je neprekidna na [ ]ba, , 2. funkcija ima izvod (konačan ili beskonačan) na (a,b), 3. f(a)=f(b).

Tada postoji ),( bac ∈ , tako da je f'(c)=0. Cauchyjeva teorema: Neka su f i g funkcije definisane na [ ]ba, (a<b) za koje važi:

1. f i g su neprekidne na [ ]ba, , 2. f i g imaju izvode ),( ba , 3. 0)(' ≠xg za svako ),( bax ∈ .

Tada postoji ),( bac ∈ tako da je )(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf

=−− .

Lagrangeova teorema: Neka je funkcija f definisana na [ ]ba, (a<b) i neka važi: 1. f je neprekidna na [ ]ba, , 2. f ima izvod na (a,b).

Page 17: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

17

Tada postoji ),( bac ∈ tako da je )(')()( cfab

afbf=

−− .

34. L' Hospitalovo pravilo i Taylorova formula. L' Hospitalovo pravilo: Neka su funkcije f i g definisane i diferencijabilne u nekoj okolini tačke a (osim, možda, u samoj tački a) gdje je Ra ∈ . Neka je 0)(lim)(lim ==

→→xgxf

axax ili ∞± i neka je

0)(' ≠xg u nekoj okolini tačke a. Tada je )(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax →→= , ako postoji (konačna ili

beskonačna granična vrijednost sa desne strane. Taylorova formula: Ako funkcija f ima u tački a konačne izvode do red n, definišemo polinom

Tn pomoću nn

n axn

afaxafaxafaxo

afxT )(!

)(...)(!2

)()(!1

)()(!

)()()(

2''

1'

0)0(

−++−+−+−= .

Polinom Tn naziva se Taylorov polinom stepena n funkcije f u okolini tačke a. Neka funkcija f ima konačne izvode do reda n u tački a i neka je Tn njen Taylorov polinom stepena n u okolini tačke a. Tada je )())(()()( axaxoxTxf n

n →−+= Taylorova formula. Za a=0, razvoj se naziva Maklorenov. Neka funkcija f ima u okolini tačke a konačne izvode do reda n+1 i neka je )()()( xTxfxR nn −= . Tada se Rn može predstaviti u sljedećim oblicima:

Lagrangeov ostatak: )1,0(,)()!1(

))(()( 1)1(

∈−+

−+= +

+

θθ nn

n axn

axafxR

Cauchyjev ostatak: )1,0(,)()1(!

))(()( 1)1(

∈−−−+

= ++

θθθ nnn

n axn

axafxR

35. Primjena izvoda na ispitivanje (toka i crtanje grafika) funkcija. Primjena prvog izvoda: Teorema: Da bi funkcija f(x) u nekoj tački x rasla, potrebno je i dovoljno da vrijedi f'(x)>0. Teorema: Da bi funkcija f(x) u nekoj tački x opadala, potrebno je i dovoljno da vrijedi f'(x)<0. Teorema: Da bi funkcija f(x) imala maksimum u tački x0:

1. potrebno je da je f'(x0)=0, 2. dovoljno je da prvi izvod funkcije f(x) pri prolazu kroz tačku x0 mijenja znak sa pozitivnih

na negativne vrijednosti. Teorema: Da bi funkcija f(x) imala minimum u tački x0:

3. potrebno je da je f'(x0)=0, 4. dovoljno je da prvi izvod funkcije f(x) pri prolazu kroz tačku x0 mijenja znak sa

negativnih na pozitivne vrijednosti. Teorema: Funkcija f(x) u tački x0 ima prevojnu tačku ako je f'(x0)=0, a f'(x) ne mijenja znak za x desno i lijevo od tačke x0. Primjena drugog izvoda: Teorema: Neka je u tački x=x0 prvi izvod funkcije f(x) jednak nuli, tj. f'(x0)=0.

Page 18: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

18

Ako je pri tome u toj tački drugi izvod negativan, tj. f''(x0)<0, tada funkcija f(x) ima u tački x0 maksimum. Ako je tada u toj tački drugi izvod pozitivan, tj. f''(x0)>0, funkcija f(x) ima u tački x0 minimum. Na intervalima na kojima je f''(x)>0 funkcija je konveksna. Na intervalima na kojima je f''(x)<0 funkcija je konkavna. Ako je drugi izvod funkcije f(x) na intervalima (a,x0) i (x0,b) različitog predznaka, onda funkcija u tački x0 prelazi iz konveksne u konkavnu granu i obrnuto. Tačka x0 naziva se prevojna tačka funkcije f(x). 36. Pojmovi primitivne funkcije i neodređenog integrala. Definicija: Neka je f funkcija definisana na intervalu (a,b). Ako postoji funkcija F takva da je:

)()()(' bxaxfxF <<= , tada kažemo da je F primitivna funkcija funkcije f na intervalu (a,b). Definicija: Neka je F proizvoljna primitivna funkcija funkcije f na intervalu (a,b). Neodređeni integral funkcije f, u oznaci ∫ dxxf )( , definiše se pomoću:

),()()( bxaconstcCxFdxxf <<=+=∫ .

37. Osnovna svojstva i osnovne metode izračunavanja neodređenog integrala. Osobine:

1. Integral diferencijala: [ ] Cxfdxxfdxdf +== ∫∫ )()()( ; specijalno: Cxfdx +=∫ . 2. Integral zbira jednak je zbiru integrala sabiraka, tj. [ ]∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 3. Integral proizvoda konstante i funkcije jednak je proizvodu konstante i integrala funkcije,

tj. ,)()( ∫∫ =⋅ dxxfKdxxfK K-konstanta. Metode izračunavanja:

1. Metoda zamjene (supstitucije) • Smjena )(tx ϕ= : Ako su funkcije f, ϕ i 'ϕ neprekidne, tada je: ∫∫ += Cdtttfdxxf )('))(()( ϕϕ .

• Smjena )(xt ϕ= : Ako funkcija ϕ ima inverznu funkciju 1−= ϕψ i ako su funkcije ψϕ, i 'ψ neprekidne, tada je: Cdtttfdxxf += ∫∫ )(')())(( ψϕ .

2. Metoda parcijalne integracije • Ako su u i v diferencijabilne funkcije promjenljive x na nekom intervalu, onda je

Cxduxvxvxuxdvxu +−= ∫∫ )()()()()()( .

Page 19: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

19

38. Pojmovi određenog (Riemannovog) integrala i integrabilnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive. Definicija: Za ograničenu funkciju f : [a,b] →K ( [a, b]⊂R, K⊆R) kažemo da je integrabilna po

Riemannu na segmentu [a,b] ako je ∫∫−

= dxxfdxxf )()( . Tada se broj

)()()()(: IdxxfIdxxfI ==== ∫∫−

naziva (određeni) Riemannov integral funkcije f na

segmentu [a, b] i piše se ∫=b

a

dxxfI )( .

Pri tome se a i b nazivaju donjom i gornjom granicom integrala, respektivno; funkcija f naziva se podintegralnom funkcijom (integrandom), a izraz f (x)dx naziva se podintegralni izraz. Promjenljiva x se naziva integraciona promjenljiva ili varijabla integriranja. Za funkciju za koju postoji određeni integral na segmentu [a, b] , kažemo da je integrabilna na tom segmentu. 39. Klase integrabilnih funkcija.Osnovna svojstva određenog integrala. NAPOMENA !!!!! OVAJ ODGOVOR JE NETACAN VRACAO JE RADI OVOGA POTRAZITE U KNJIZI:!!!!! Klase:

• Racionalne funkcije. Problem integracije ovih funkcija svodi se na nalaženje integrala oblika:

∫ −= kax

dxu)(

, ∫ ++= kk qpxx

dxv)( 2 , ∫ ++

= kk qpxxxdxw

)( 2 .

• Iracionalne funkcije. Neka je podintegralna funkcija oblika kiZqpxxxR ii

qpqpqp kk ,...,2,1;,),...,,( /// 2211 =∈ . Smjenom tx q =/1 , ),...,,( 21 kqqqNZSq = dobije se integral racionalne funkcije.

• Trigonometrijske funkcije. Smjena: 212sin

ttx

+= , 2

2

11cos

ttx

+−

= , 212

tdtdx

+=

Osnovna svojstva: 1. Linearnost. Ako su funkcije f i g integrabilne na [ ]ba, , tada je integrabilna i funkcija

gf βα + gdje su α i β proizvoljne konstante i važi jednakost:

∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( βαβα .

2. Ako je funkcija f integrabilna na [ ]ba, , tada je integrabilna i na proizvoljnom intervalu [ ] [ ]badc ,, ⊂ .

3. Aditivnost. Neka su a,b,c proizvoljni realni brojevi. Ako je funkcija f integrabilna na

najvećem od intervala [ ] [ ] [ ]cbcaba ,,,,, , tada je ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( .

Page 20: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

20

4. Ako je )()( xgxf = i [ ]bax ,∈ osim u konačno mnogo tačaka i ako je jedna od ovih

funkcija integrabilna na [ ]ba, , onda je i druga, i važi jednakost: ∫∫ =b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

40. Teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala. Fundamentalne teoreme integralnog računa. Teorema: (Prva teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala) Neka su [ ]baRgf ,, ∈ i 0)( ≥xg (ili 0)( ≤xg ) za svaki [ ]bax ,∈ , te neka je

[ ])(inf:

,xfm

bax∈= ,

[ ])(sup:

,xfM

bax∈= . Tada postoji broj )( Mm ≤≤ μμ takav da je ∫∫ =

b

a

b

a

dxxgdxxgxf )()()( μ .

Teorema: (Druga teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala) 1. Ako funkcija [ ] [ ] ),,(,: RKRbaKbaf ⊆⊂→ ne raste na segmentu [ ]ba, , 0)( ≥xf za svaki

[ ]bax ,∈ i [ ]baRg ,∈ , onda postoji [ ]ba,∈ξ tako da je ∫∫ =ξ

a

b

a

dxxgafdxxgxf )()()()( .

2. Ako funkcija [ ] [ ] ),,(,: RKRbaKbaf ⊆⊂→ ne opada na segmentu [ ]ba, , 0)( ≥xf za

svaki [ ]bax ,∈ i [ ]baRg ,∈ , onda postoji [ ]ba,∈η tako da je ∫∫ =bb

a

dxxgbfdxxgxfη

)()()()( .

Teorema: (Osnovna teorema integralnog računa)

Ako je [ ]baRf ,∈ , onda je funkcija ∫=x

a

dttfx )(:)(φ za bxa ≤≤ diferencijalna funkcija u

svakoj tački [ ]bax ,∈ u kojoj je funkcija f neprekidna i pri tom važi )()(' xfx =φ (u toj tački). Teorema: (Osnovna formula integralnog računa – Druga osnovna teorema integr. računa) Ako je [ ]baRf ,∈ i skup tačaka prekida funkcija f je najviše prebrojiv skup, a funkcija F

proizvoljna primitivna funkcija f na segmentu [ ]ba, , onda važi formula )()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

(Njutn- Lajbnicova formula). 41. Metoda smjene (supstitucije) promjenljive i metoda parcijalne integracije za izračunavanje određenog integrala. Metoda zamjene (supstitucije): Neka su f i ϕ takve funkcije da je:

• 'ϕ neprekidna na [ ]ba, , • f neprekidna na rangu )(ϕR funkcije ϕ , • βϕαϕ == )(,)( ba .

Tada je: ∫∫ =b

a

dtttfdxxf )('))(()( ϕϕβ

α

.

Page 21: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

21

Metoda parcijalne integracije: Neka su funkcije )(xuu = i )(xvv = zajedno sa svojim izvodima )(' xu i )(' xv neprekidne na

[ ]ba, , tada je: ∫∫∫∫ +=+=b

a

b

a

b

a

b

a

vduudvdxvuuvdxuv )''()'( , pri čemu svi ovi integrali postoje jer su

podintegralne funkcije neprekidne na [ ]ba, . Po Njutn-Lajbnicovoj formuli bit će:

∫∫∫ −=⇒=b

a

ba

b

a

ba

b

a

vduuvudvuvdxuv |)(|)()'( .

42. Pojmovi nesvojstvenih integrala prve i druge vrste i njihove glavne vrijednosti. Definicija: Neka je funkcija f definisana na polusegmentu [ )+∞= ,: aJ i neka je integrabilna na

nekom segmentu [ ] Jba ⊂, . Ako postoji granična vrijednost ∫+∞→

b

ab

dxxf )(lim , onda tu graničnu

vrijednost nazivamo nesvojstvenim integralom prve vrste funkcije f na polusegmentu J i

označavamo sa ∫+∞

a

dxxf )( .

Definicija: Neka je funkcija [ ) )(,: RbaJ ⊂= , pri čemu je b singularna tačka i neka je funkcija )(: RKKJf ⊆→ integrabilna na proizvoljnom segmentu [ ] Ja ⊂β, . Ako postoji granična

vrijednost ∫−→

β

βa

bdxxf )(lim

0, onda tu graničnu vrijednost nazivamo nesvojstvenim integralom

druge vrste funkcija f na polusegmentu J i označavamo sa ∫b

a

dxxf )( .

Definicija: Neka je [ ] { } ( )),,(c\,: bacRKKbaf ∈⊆→ funkcija koja je neograničena u nekoj

okolini tačke c. Ako za proizvoljno dovoljno malo broj 0>ε postoje integrali ∫−εc

a

dxxf )( i

∫+

b

c

dxxfε

)( i ako postoji granična vrijednost ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∫∫

+

→ +

b

c

c

a

dxxfdxxfε

ε

ε)()(lim

0, tada se ta granična

vrijednost naziva glavna vrijednost ili Cauchyjeva glavna vrijednost nesvojstvenog integrala

∫b

a

dxxf )( i pišemo

V.P. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∫∫

+

→ +

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfε

ε

ε)()(lim)(

0.

Page 22: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

22

43. Osnovni kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenih integrala. Apsolutna konvergencija. Teorema: (Cauchyjev opći kriterij konvergencije nesvojstvenih integrala)

Da bi nesvojstveni integral ∫b

a

dxxf )( koji ima singularitet u tački b ( Rb ∈ ili +∞=b )

konvergirao, potrebno je i dovoljno da za svaki 0>ε postoji ba <<= 000 ),( βεββ tako da za

svaki par bxxxx <<< 21021 ,, β važi ε<∫2

1

)(x

x

dxxf .

Definicija: Ako konvergira integral ∫b

a

dxxf )( , onda kažemo da nesvojstveni integral ∫b

a

dxxf )(

apsolutno konvergira. Svaki konvergentan nesvojstveni integral koji nije i apsolutno konvergentan naziva se uslovno konvergentan ili semikonvergentan. Teorema: (Dirihleov kriterij za ispitivanje neapsolutne konvergencije) Neka su f i g realne funkcije definirane na [ ) Rba ⊂, i neka su ispunjeni ovi uslovi:

1. f na [ )ba, ima ograničenu primitivnu funkciju ∫x

a

dttfx )(α ;

2. g monotono teži nuli kad −→ bx .

Tada nesvojstveni integral ∫b

a

dxxgxf )()( konvergira.

Teorema: (Abelov kriterij za konvergenciju nesvojstvenih integrala)

Neka su f i g realne funkcije definirane na [ ) Rba ⊂, i neka konvergira integral ∫b

a

dxxf )( , a

funkcija g je monotona i ograničena. Tada integral ∫b

a

dxxgxf )()( konvergira.

44. Definicije pojmova površine lika u ravni, dužine luka krive, površine obrtne površi i zapremine obrtnog tijela i obrasci za izračunavanje vrijednosti tih veličina. Definicija: Kažemo da je figura D izmjeriva ako je PP = . Pri tome zajedničku vrijednost P i P

nazivamo površinom figure D i označavamo sa P(D): ∫∫∫ −==b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfP )()()( .

Teorema: Neka su )(tϕ i )(tψ , βα ≤≤ t , neprekidne funkcije koje imaju i neprekidne izvode. Tada se kriva L, određena jednačinama βαψϕ ≤≤== ttytx ),(),( , može rektificirati

(ispraviti). Pri tome njena dužina s iznosi: ( )∫ +=β

α

ψϕ dttts )(')(' 22 .

Zapremina i površina obrtnog tijela:

Page 23: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

23

Ako grafik krive bxaxfy ≤≤= ),( rotira oko x-ose, on opisuje rotaciono tijelo čija je

zapremina ∫=b

a

dxxfV )(2π , a površina omotača je ∫ +=b

a

dxxfxfS )('1)(2 2π .

45. Pojmovi obične, apsolutne i uniformne konvergencije niza i reda funkcija. Cauchyjev i Weierstrassov kriterij uniformne konvergencije. Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova i redova. Definicija: Za niz )( nf realnih funkcija definiranih na skupu )( RD ⊆ kažemo da konvergira u tački Dx ∈0 ako konvergira niz ))(( 0xfn u R, tj. ako postoji konačna granična vrijednost

)(lim 0xfnx ∞→. Za niz )( nf kažemo da konvergira na )( DM ⊆ ka graničnoj funkciji F ako je

)(lim)( xfxF nn ∞→= za svaki Mx ∈ .

Definicija: Ako za svaki 0>ε postoji prirodni broj )(εNN = takav da je ε<− )()( xfxfn za svaki n>N i svaki )( RMx ⊆∈ , onda kažemo da niz )( nf uniformno konvergira na skupu M ka funkciji F i pišemo )(xf

nn∞→

))(( MxxF ∈ .

Teorema: (Cauchyjev kriterij uniformne konvergencije funkcionalnih nizova) Da bi niz realnih funkcija definiranih na )( RD ⊆ ravnomjerno konvergirao ka graničnoj funkciji na skupu )( DM ⊆ potrebno je i dovoljno da za svaki 0>ε postoji prirodan broj )(εNN = takav da je ε<− )()( xfxf mn za svaki Nnm >, i za svaki Mx ∈ .

Red funkcija ∑ )(xan konvergira prema funkciji f u tački 0x ako niz parcijalnih suma

∑=

=n

kkn af

1 konvergira prema funkciji f u tački 0x .

Funkcionalni red ∑∞

=1

)(i

i xa apsolutno konvergira u tački Mx ∈ ako konvergira red čiji su

članovi apsolutne vrijednosti članova reda, tj. ako konvergira red ∑∞

=1

)(i

i xa .

Teorema: (Cauchyjev kriterij)

Da bi red ∑∞

=1)(

ii xa bio uniformno konvergentan na skupu M potrebno je i dovoljno da za svaki

0>ε postoji prirodni broj )(εNN = takav da je ε<+++ +++ )(...)()( 21 xaxaxa mnnn za sve ),(, N∈> mnNnm i za svaki Mx ∈ .

Definicija: Za red ∑∞

=1)(

ii xa kažemo da je majoriran na skupu )( RM ⊆ ako postoji

konvergentan pozitivni red ∑∞

=1iic takav da je za svaki Mx ∈ zadovoljen niz nejednakosti

,...)(,...,)(,)( 2211 nn cxacxacxa ≤≤≤

Page 24: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

24

Teorema: (Weierstrassov kriterij) Funkcionalni red koji je majoriran na skupu M uniformno konvergira na tom skupu. 46. Pojam stepenog (potencijalnog) reda. Abelov stav (kriterij konvergencije), radijus i interval konvergencije za stepene redove.

Stepeni red je red oblika ...)(...)()( 00100

0 +−++−+=−∑∞

=

nn

n

nn xxaxxaaxxa gdje su

,...,...,,, 100 naaax realne konstante (koeficijenti stepenog reda). Teorema: (Abelov stav)

Ako stepeni red ∑∞

=0n

nn xa konvergira za 0xx = , onda on apsolutno konvergira za svaki Rx ∈ za

koji važi 0xx < , a ako stepeni red ∑∞

=0n

nn xa divergira za 0xx = , onda on divergira za svaki

Rx ∈ za koji važi 0xx > .

Teorema: Za svaki stepeni red ∑∞

=0n

nn xa koji konvergira bar za jedno 00 ≠x postoji interval

RRR ⊆− ),( takav da stepeni red apsolutno konvergira u svakoj tački intervala, a divergira za svaku spoljašnju tačku tog intervala. Definicija: Interval ),( RR− zove se interval konvergencije, a R>0 je njegov poluprečnik konvergencije. 47. Abelova teorema i osnovna svojstva stepenog reda. Teorema: (Abelova teorema)

Stepeni red ∑∞

=0n

nn xa ravnomjerno konvergira na segmentu [ ]R,ξ (ili [ ]R−,ξ ) , gdje je

),( RR−∈ξ proizvoljan, akko konvergira apsolutno ili uslovno na kraju intervala konvergencije x=R (ili Rx −= ). Teorema: (Cauchy-Hadamardov stav)

Poluprečnik konvergencije reda ∑∞

=0n

nn xa dat je sa

nnn

aR

suplim1

∞→

= .

Teorema: Stepeni red ∑∞

=0n

nn xa ravnomjerno konvergira na [ ]ba, koji je sadržan u njegovom

intervalu konvergencije (–R,R).

Teorema: Suma stepenog reda ∑∞

=0n

nn xa je neprekidna funkcija na njegovom intervalu

konvergencije.

Teorema: Suma reda ∑∞

=0n

nn xa na intervalu (-R,R) je diferencijabilna funckija i red se može

diferencirati član po član.

Page 25: Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1

© Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

25

Teorema: Stepeni red ∑∞

=0n

nn xa može se na svakom segmentu [ ]ba, koji je sadržan u njegovom

intervalu konvergencije (-R,R), )0( ≠R integrirati član po član i poluprečnik konvergencije dobijenog reda je R. 48. Taylorov red. Definicija: Taylorov red realne funkcije f u tački 0x njenog domena )( RD ⊆ u kojoj ona ima konačan izvod proizvoljnog reda je stepeni red:

...)(!

)(...))((')( 0

0)(

000 +−++−+ nn

xxn

xfxxxfxf .

Ako je 00 =x red se zove Maclaurinov. Teorema: Taylorov red u tački 0x realne funkcije f konvergira na razmaku )(, Rba ⊆ ka funkciji f akko niz ostataka Taylorove formule konvergira ka 0 na tom razmaku. Teorema: Dovoljan uslov da funkciju f možemo prikazati njenim Taylorovim redom u okolini tačke 0x je da postoje realni brojevi R>0 i M>0 takvi da vrijedi:

1. funkcija f ima sve derivacije )()( xf n u intervalu ),( 00 RxRx +− ,

2. za svaki Nn ∈ je RxxRxMxf n +<<−< 00)( ,)( .

49. Stepeni redovi s kompleksnim članovima. Kompleksni stepeni red je svaki red ∑

≥0n

nn za pri čemu je Cz ∈ i Can ∈ za svaki 0Nn ∈ .

(Vrijede iste teoreme kao i za stepene redove sa realnim članovima., osim teoreme o integraciji.)