Click here to load reader

Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. ... Skripta za usmeni ispit iz IM1

  • View
    252

  • Download
    14

Embed Size (px)

Text of Skripta za usmeni ispit iz IM1 - · PDF filezove se skup kompleksnih brojeva i označava se sa...

  • Skripta za usmeni ispit iz IM1

    Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

    1

    T 1. Pojmovi (logikog) iskaza i predikata. Definicija: Sud ili iskaz je deklarativna izjava, koja u pogledu istinitosti zadovoljava dva principa:

    1. sud je ili istinit ili neistinit (princip iskljucenja treceg), 2. sud nije i istinit i neistinit (princip kontradikcije).

    U matematici se istinit iskaz naziva stav (tvrdnja, teorema). Za iskaznu formulu F (sloeni iskaz) kaemo da je tautologija (identiki istinita) akko je (F)=T za sve vrijednosti svih njenih iskaznih slova (iskaza). Predikat je odnos izmeu promjenljivih veliina, kojeg izrie iskazna funkcija. 2. Pojmovi binarne relacije i preslikavanja (funkcije). Definicija: Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija iz A u B. Pri tome, A je polazni skup binarne relacije R, a B je dolazni skup binarne relacije R. Za binarnu relaciju AxA kaemo da je:

    (I) refleksivna akko(aA) a a (ekvivalentno: A ); (II) antirefleksivna akko(aA) a non a (ekvivalentno: A =); (III) simetrina akko (xy yx) (ekvivalentno: = -1); (IV) antisimetrina akko (x y y x) x = y (ekvivalentno: -1= A); (V) tranzitivna akko (x y y z x z) (ekvivalentno: ); (VI) jednoznana akko presjek (lijevi presjek) relacije (lijevi presjek binarne relacije AxB elementom

    a A definira se sa (a):={b B|(a,b) }) bilo kojim elementom a A je ili prazan skup, ili jednolan skup:

    (VII) relacija ekvivalencije akko (I) (III) (V); (VIII) relacija pretporetka akko zadovoljava (I) (V); (IX) relacija parcijalnog poretka akko (I) (IV) (V); (X) relacija totalnog poretka akko (I) (IV) (V) (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj. (d) (x,yA)

    (x y) (y x). Definicija: Neka su X i Y bilo koja dva (neprazna) skupa. Postupak f koji svakom elementu xX pridruuje tano jedan element yY zovemo preslikavanje (ili funkcija) sa X u Y i piemo f: X Y ili x f(x), xX . Za preslikavanje f : X Y kaemo da je surjekcija (ili preslikavanje na) ako je f (X ) = Y , injekcija (ili (1-1) preslikavanje) ako )()( 21 /= xfxf implicira 21 /= xx , bijekcija (ili obostrano jednoznano preslikavanje) ako je f surjekcija i injekcija. 3. Pojmovi konanog, prebrojivog, diskretnog i neprebrojivog skupa. Za skup A kaemo da je konaan akko ANnA )( = ~ { }n,...,2,1 . Za skup A kaemo da je beskonaan ako nije konaan. Za skup A kaemo da je prebrojiv akko je A ekvipotentan s nekim podskupom skupa N. Ako skup nije prebrojiv, kaemo da je neprebrojiv. Diskretni skup....?!? Kaemo da su skupovi X i Y ekvipotentni i piemo X~Y ako postoji bijekcija f : X Y. Klasa kojoj pripada skup X naziva se kardinalni broj skupa X, card(X).

  • Skripta za usmeni ispit iz IM1

    Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

    2

    4. Sloena funkcija i inverzna funkcija. Definicija: Neka su f: X Y i g: Z W dva preslikavanja ( dvije funkcije), takva da je R(f) Z. Tada preslikavanje h: X W definirano formulom h(x) = g(f(x)), x X oznaavamo sa g o f ili gf i zovemo kompozicijom preslikavanja ili sloenom funkcijom.. Neka je dato preslikavanje f: X Y. Za preslikavanje g: Y X kaemo da je inverzna funkcija za f, ako je Xfg 1= i Ygf 1= . 5. Skup (i polje) realnih brojeva R i algebarske operacije s realnim brojevima. Definicija: Polje realnih brojeva je skup R u kojem su definirane dvije binarne operacije + i (sabiranje i mnoenje) i jedna binarna relacija (manje ili jednako), tako da vrijedi:

    1. .15. 6. Okolina take u R i u R , take gomilanja skupa A ( R), ogranieni i neogranieni intervali. Apsolutna vrijednost realnog broja i trougaona nejednakost. Radi jednostavnijih svojstava u analizi se uvodi proireni skup realnih brojeva R . Po definiciji je { }+= ,RR , gdje su + , dvije meusobno razliite nove take. Pod okolinom take (odnosno broja) x0R podrazumijevamo bilo koji podskup skupa R koji sadi otvoreni interval skupa R kojem ta taka pripada. Definicija: Za taku a R kaemo da je taka gomilanja (ili taka nagomilavanja) skupa A ( R) ako u svakoj okolini take a postoji bar jedna taka skupa A razliita od same take a. Ogranieni interval: { }bxaRxba

  • Skripta za usmeni ispit iz IM1

    Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

    3

    koja se zove Njutnova binomna formula:

    Binomni koeficijenti se mogu definirati formulom: )!(!

    !:ini

    nin

    =

    .

    8. Polje kompleksnih brojeva C. Algebarski oblik, realni i imaginarni dio kompleksnog broja, konjugirano kompleksni brojevi i njihova svojstva. Definicija: Skup { }RyxyxRR = ,:),( u kojem su definisane operacije sabiranje i mnoenje formulama:

    ),,(),(),(),,,( dbcadcbaRdcba ++=+ ),(),(),(),,,( bcadbdacdcbaRdcba += .

    zove se skup kompleksnih brojeva i oznaava se sa C, a njegovi elementi zovu se kompleksni brojevi. Kompleksne brojeve kod kojih je druga komponenta jednaka 0, tj. elemente (x, 0) C (x0) zovemo isto realnim brojevima. Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, tj. elemente (0, y) C (y0) zovemo isto imaginarnim brojevima. Algebarski oblik kompleksnog broja: iyxz += . Konjugovan kompleksan broj: )0(, = ziyxz . Operacija konjugovanja ima sljedea svojstva:

    1. )(21)Im(),(

    21)Re( zz

    izzzz =+= ;

    2. 2121 zzzz +=+ ; 3. 2121 zzzz = ;

    4. )0(, 22

    1

    2

    1 =

    z

    zz

    zz .

    5. zz =)( (operacija konjugovanja je involutivna). 9. Modul kompleksnog broja i trougaona nejednakost. Argument, trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Definicija: Realan nenegativan broj 22 yx + zove se apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja iyxz += ( Ryx , ) i oznaava se sa z .

    Trougaona nejednakost: 2121 zzzz ++ . Definicija: Neka je ),( yxM taka koja predstavlja kompleksni broj iyxz += , )0( z . Svaki

    mjerni broj orijentisanog ugla ),( OMx koji ini radijus vektor OM sa osom Ox zove se argument broja z i oznaava se sa Argz. Argument broja z koji zadovoljava uslov

  • Skripta za usmeni ispit iz IM1

    Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

    4

    10. Moavrova teorema o proizvodu, koliniku i stepenovanju kompleksnih brojeva. Korjenovanje kompleksnih brojeva.

    (I) [ ])sin()cos( 21212121 ArgzArgziArgzArgzzzzz +++= ,

    (II) [ ])sin()cos( 21212

    1

    2

    1 ArgzArgziArgzArgzzz

    zz

    += ,

    (III) ( )[ ] ( ) ninrirz nnn sincossincos +=+= , (IV) )(,2sin2cos Zk

    nki

    nkrz nk

    ++

    +=

    .

    11. Pojmovi (konanog i beskonanog) niza, harmonijskog, aritmetikog i geometrijskog niza. Niz je svako preslikavanje skupa prirodnih brojeva na skup realnih brojeva. Definicija: Konani niz elemenata (nepraznog) skupa X je svako preslikavanje (funkcija) x:MX, gdje je M neki konaan podskup skupa N. Definicija: Beskonani niz je svako preslikavanje x: N X, skupa prirodnih brojeva N u skup X. Vrijednost x(n)X preslikavanja x u taki nN zove se n-ti lan toga niza i obino se oznaava sa xn, pa se govori o (beskonanom) nizu (xn, nN). Ako je specificirana zavisnost xn od n, onda se xn naziva opti lan niza. Harmonijski niz je niz kod kojeg je svaki lan, osim prvog, harmonijska sredina njemu dva susjedna lana. Aritmetiki niz je svaki niz za koji vrijedi: dxx nn =1 , gdje je d fiksan broj.

    Suma aritmetikog niza: [ ]dnanSn )1(22 1 += Geometrijski niz je svaki niz kod kojeg je svaki lan, osim prvog, proizvod prethodnog lana i fiksnog broja q: qxx nn =+1 .

    Suma geometrijskog niza: =

    =

    =n

    i

    in

    n qaqqaS

    011 1

    1

    12. Pojam i osnovna svojstva granine vrijednosti niza. Take gomilanja niza. Definicija: Neka je (an) niz u R i neka je aR. Kaemo da je a granina vrijednost ili limes niza (an) i piemo a = nn alim ako za svaku okolinu U take a postoji n0N takav da n > n0

    povlai an U. U sluaju kada je aR (tj. kada je a konaan broj), za niz (an) kaemo da je konvergentan, a u sluaju kada je =a ili + ili da granina vrijednost ne postoji, kaemo da niz (an) divergira (u sluaju kada je limes niza (an) beskonaan kaemo da taj niz divergira u uem smislu, a u sluaju kada limes od (an) ne postoji, kaemo da niz (an) divergira u irem smislu ili da oscilira). Jednostavno se dokazuju sljedea osnovna svojstva graninih vrijednosti nizova u R:

    (I) Ako niz ima graninu vrijednost, ona je jednoznano odreena. (II) Svaki konvergentan niz je ogranien.

  • Skripta za usmeni ispit iz IM1

    Nejra Hodzic & Amar Trnka | Skinuto sa www.etf.ba

    5

    (III) Jednakost aann =lim , gdje je a R , vrijedi akko an = a + n, pri emu je ( n)

    nula niz. (IV) Zbir i razlika dva nula niza su nula nizovi. (V) Proizvod ogranienog niza i nula niza je nula niz. (VI) (Veza izmeu algebarskih operacija u skupu R i graninog prelaza). Neka su

    (an) i (bn) konvergentni nizovi i neka je aann =lim i bbnn =lim Tada je:

    a) ( ) baba nnn =lim b) ( ) baba nnn =lim

    c) ba

    ba

    n

    n

    n=

    lim

    (VII) (Teorema o dva andara / policajca ili Sendvi teorem ili Teorema o ukljetenju.) Neka su (an) , (bn) i (cn) tri niza (u R), takva da je : 1 an bn cn za svaki nN (ili poev od nekog n); 2 Raca nnnn == limlim Tada je abnn =lim .

    (VIII) Ako je lim |an| = 0, onda je lim an = 0. Definicija: Za taku aR kaemo da je taka gomilanja (ili taka nagomilavanja) niza na u R ako postoji podniz (

    kna ) tog niza koji tei ka a kad k .

    13. Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove i nizove. Monotoni nizovi i broj e. Teorema (Bolzano Weierstrassova teorema za skupove): Svaki beskonani ogranieni skup u R ima bar jednu taku gomilanja u R. Svaki beskonani skup u R ima bar jednu taku gomilanja u R. Teorema (Bolzano Weierstrassova teorema za nizove):

    (I) Svaki ogranien niz realnih brojeva ima bar jednu taku gomi

Search related