KOMPJUTERSKA ERA I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKAgvm/April2019-NoviSadExpMath.pdf · 2020. 1. 21. · KOMPJUTERSKA ERA I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKA Gradimir V. Milovanovi´c Srpskaakademijanaukaiumetnosti,Beograd,Srbija

KOMPJUTERSKA ERA I EKSPERIMENTALNAMATEMATIKA

Gradimir V. Milovanovic

Srpska akademija nauka i umetnosti, Beograd, Srbija

Peti simpozijum

“Savremeni problemi matematike”

Novi Sad, 11. april 2019.

Gradimir V. Milovanovic, [email protected]

Uvod – Rad-anje ekspermentalne matematike

Ne ulazeci u preciznu definiciju eksperimentalne matematike i da lije to posebna grana matematike, za potrebe ovog predavanjatretiracemo je kao specifican pristup matematici u kome dolaze doizrazaja izracunavanja (numericka i/ili simbolicka) u cilju:




– istrazivanja matematickih objekata i identifikacija raznih osobina irelacija;





– bolje razumevanje i popularizacija;






– testiranje (i obaranje) postojecih hipoteza;







– postavljanje novih hipoteza;








– bolje sagledavanje problema (vizuelizacija);









– nalazenje formalnih dokaza;










– supstitucije komplikovanih izracunavanja u kojima se izbegavajugreske usled ljudskog faktora;










– supstitucije komplikovanih izracunavanja u kojima se izbegavajugreske usled ljudskog faktora;

– potvrda analiticki dobijenih rezultata, itd.


Na neki nacin ovo je analogija sa onim sto se radi u laboratorijama,gde su nikle eksperimentalna fizika, eksperimentalna hemija,eksperimentalna biologija, ...



Razvoj matematike kroz vekove se dugo odvijao kroz primere, ali od17. veka pocinje apstraktno formulisanje opstih rezultata, uznavod-enje primera samo kao ilustracije.




Pojava kompjutera u 20. veku omogucila je naucnicima, posebnomatematicarima, da se mogu upustati u ozbiljna i jako kompleksnaizracunavanja na veoma brz nacin i sa ogromnom preciznoscu!




Pojava kompjutera u 20. veku omogucila je naucnicima, posebnomatematicarima, da se mogu upustati u ozbiljna i jako kompleksnaizracunavanja na veoma brz nacin i sa ogromnom preciznoscu!

Takvu mogucnost nisu imali naucnici u proslosti!


Nagli razvoj racunarske tehnike posle II svetskog rata uslovio je brzi isistematski razvoj, pre svega numericke matematike, ali i mnogihdrugih oblasti.



Rad koji su 1947. godine objavili John von Neumann (1903–1957) iHerman H. Goldstine (1913–2004) pod naslovom Numerical

inverting of matrices of high order [Bull. Amer. Math. Soc. 53(1947), 1021–1099] uzima se kao pocetak moderne numerickeanalize.





60 godina od ovog dogad-aja, organizovan je simpozijum The birth of

numerical analysis na Katolickom univerzitetu u Luvenu u Belgiji(oktobar 29–30, 2007), a 2010. godine se pojavio i Zbornik sa togskupa.





60 godina od ovog dogad-aja, organizovan je simpozijum The birth of

numerical analysis na Katolickom univerzitetu u Luvenu u Belgiji(oktobar 29–30, 2007), a 2010. godine se pojavio i Zbornik sa togskupa.

Pored svega, John von Neumann je radio na razvoju prvogelektronskog digitalnog racunara ENIAC i bio glavni dizajner racunaraEDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer).


John von Neumann Herman H. Goldstine(1903–1957) (1913–2004)


Pojam velikih sistema jednacina

U matricnim izracunavanjima pojam veliki sistem jednacinaistorijski posmatrano se znacajno menjao.




Na svakih petnaestak godina njegova dimenzija se uvecavala 10 puta,pocev od pedesetih godina prethodnog stoleca.





Prvi period je poznat po radovima James Hardy Wilkinson-a(1919–1986), kada se za takav sistem smatrao svaki onaj koji je imaodimenziju vecu od n = 20.






Pojavom knjige George E. Forsythe (1917–1972) i Cleve Barry Moler(1939 – ) sredinom sezdesetih godina nastaje tzv. Forsajt-Molerovaera, kada se pojam velikog sistema pomera na n = 200.







Osamdesetih godina, pojavom paketa LINPACK, dimenzija se pomerana n = 2000.







Osamdesetih godina, pojavom paketa LINPACK, dimenzija se pomerana n = 2000.

Vec sredinom devedesetih, kada se pojavljuje LAPACK (naslednikLINPACK i EISPACK paketa), granica postaje n = 20000.


James Hardy Wilkinson George E. Forsythe(1919–1986) (1917–1972)


Dakle, za nepunih 50 godina dimenzije matrica sa kojima jednostavnooperisemo povecale su se za faktor 103.



Ovaj impresivni progres je, med-utim, u velikoj meri uzrokovan mnogovecim progresom koji je postignut u istom periodu u racunarskomhardveru, podizanjem brzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji)!




Broj operacija O(n3) velika prepreka.





Ocigledno je da se metodi, kod kojih je broj operacija redukovan naO(np), gde je p < 3, mogu primeniti na matrice znatno vecedimenzije.






Za neke klase matrica O(n2) je postignuto sa iterativnim metodima.






Za neke klase matrica O(n2) je postignuto sa iterativnim metodima.

PRIMENE: Parcijalne jednacine; atmosferske nauke; globalne mreze;itd.


Cleve Barry Moler (1939 – )


Utemeljenje novih naucnih disciplina

Numericka matematika je dozivela ekspanziju, zahvaljujucimnogobrojnim primenama u skoro svim oblastima nauke iinzenjerstva, s jedne strane, i burnim razvojem racunarskiharhitektura, s druge strane.




Sve je to izazvalo i pojavu novih pravaca istrazivanja koji su sepostepeno utemeljili u posebne naucne discipline, npr.




Sve je to izazvalo i pojavu novih pravaca istrazivanja koji su sepostepeno utemeljili u posebne naucne discipline, npr.

1. Naucna izracunavanja (Scientific Computation). Posebnadisciplina koja izucava primenu specijalnih numerickih metoda ukonkretnim problemima koji se pojavljuju u nauci i inzenjerstvu.

Na primer, tu spadaju: numericka izracunavanja vaznih konstanata,izracunavanje elementarnih i specijalnih funkcija, resavanje jednacina,generisanje slucajnih brojeva, razvoj algoritama za teoriju brojeva,brze transformacije (diskretna Fourier-ova, brza Fourier-ova (FFT),diskretna kosinusna transformacija, ...), fraktali, algoritami za obradusignala, itd.




Gama funkcija z 7→ Γ(z) =∞∫

0

tz−1e−t dt for real z ∈ [−5, 1]

-4 -2 0 2 4-10

-5

0

5

10

Polovi u tackama z = 0,−1,−2, . . . .


3D-grafik funkcije (x, y) 7→ |Γ(x+ iy)| za (x, y) ∈ [−4, 1] × [−2, 2]


Riemann-ova-zeta funkcija s 7→ ζ(s) je najvaznija funkcija u Teorijibrojeva.



ζ(s) daje vezu sa raspodelom prostih brojeva (Eulerov identitet –Osnovna teorema aritmetike)




Definicija za Re s > 1

ζ(s) =

∞∑

n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+ · · · =

∏

p prime

1

1− p−s





ζ(s) =

∞∑

n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+ · · · =

∏

p prime

1

1− p−s

Integralna reprezentacija ζ(s) =1

Γ(s)

∫ ∞

0

xs−1

ex − 1dx.





ζ(s) =

∞∑

n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+ · · · =

∏

p prime

1

1− p−s

Integralna reprezentacija ζ(s) =1

Γ(s)

∫ ∞

0

xs−1

ex − 1dx.

Za s ∈ C \ {1} analiticko produzenje pomocu funkcionalne jednacine

ζ(s) = 2sπs−1 sinπs

2Γ(1− s)ζ(1− s).


Leonhard Euler (1707–1783) je razmatrao funkciju za realno s > 1 iodredio ζ(2k), k ≥ 1.

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4


Leonhard Euler (1707–1783) je razmatrao funkciju za realno s > 1 iodredio ζ(2k), k ≥ 1.

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

ζ(2) =π2

6, ζ(4) =

π4

90, ζ(6) =

π6

945, . . .


Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) je prosirio ζ(s) nakompleksnu ravan.



Apsolutna vrednost Riemann-ove funkcije s 7→ |ζ(s)|



Apsolutna vrednost Riemann-ove funkcije s 7→ |ζ(s)|

Jedini singularitet (pol) je u tacki s = 1


ζ(s) ima (trivijalne) nule za s = −2,−4,−6, . . .


ζ(s) ima (trivijalne) nule za s = −2,−4,−6, . . .Kompleksne (netrivijalne) nule se nalaze u traci


Netrivaijalne nule se mogu dodatno lokalizovati!


Netrivaijalne nule se mogu dodatno lokalizovati!


Polozaji netrivijalnih nula ζ(s) kontrolisu raspodelu prostih brojeva!



Riemannova hipoteza (RH) (1859):




Netrivijalne nule funkcije ζ(s) leze na kriticnoj pravoj ciji je realni deo

jednak 1/2.





jednak 1/2.

Clay Mathematics Institute (CMI) je 2000. objavio 7 MillenniumPrize Problems, med-u kojima je RH najznacajniji!





jednak 1/2.


Za korektno resenje svakog problema po US$ 1.000.000.





jednak 1/2.



Poincare-ovu hipotezu je dokazao Grigori Perelman (rod-en 1966).2006. je odbio da primi Fields-ovu medalju na Svetskom Kongresu uMadridu, a 2010. i milenijumsku nagradu!





jednak 1/2.



Poincare-ovu hipotezu je dokazao Grigori Perelman (rod-en 1966).2006. je odbio da primi Fields-ovu medalju na Svetskom Kongresu uMadridu, a 2010. i milenijumsku nagradu!

RH je numericki potvrd-ena za vise desetina biliona prvih nula!

David Hilbert (1862–1943) jednom je izjavo: Ako me za 1000godina neko probudi iz mrtvih, moje prvo pitanje ce biti – da li je

dokazana RH?


Grafik funkcije (x, y) 7→ |ζ(x+ iy)| za y ∈ [−10, 60] and x = 3/2

-��

�

�

�

�


Grafik funkcije (x, y) 7→ |ζ(x+ iy)| za y ∈ [−10, 60] and x = 1

-��

�

�

�

�


Grafik funkcije (x, y) 7→ |ζ(x+ iy)| za y ∈ [−10, 60] and x = 1/2

-��

�

�

�

�


Grafik funkcije (x, y) 7→ |ζ(x+iy)| za y ∈ [−10, 60] i x = 3/2, 1, 1/2

-��

�

�

�

�


! !! !! !

!!!!!!!!!!!"#!$%&'(!)!*+,+-*+./0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1#2#!34%55!)*+++-*.660!!!!!3#2#7#!89':4;;!)*.<=-*.==0!!!!!!!

!!! !

>#!?9&@'(A!)*.=<-*BC/0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3#?#!?4(DE!)*.++-*BC+0!

!Gradimir V. Milovanovic, [email protected]

2. Obrada signala (Signal Processing). Obuhvata analognu idigitalnu obradu svih vrsta signala koji se pojavljuju u realnom svetu,ukljucujuci sintezu signala, detekciju, modeliranje, korelaciju ispektralnu analizu signala, konstrukciju i primenu odgovarajucihfiltara, itd.



Posebno vazan deo je onaj koji se odnosi na kompresiju podataka biloda se radi o zvucnim signalima ili slikama.




3. Teorija kompleksnosti (Complexity Theory), a posebno teorijakompleksnosti izracunavanja obezbed-uje okvir za razumevanje ceneresavanja problema, merene zahtevima za resursima kakvi su vreme imemorijski prostor.




3. Teorija kompleksnosti (Complexity Theory), a posebno teorijakompleksnosti izracunavanja obezbed-uje okvir za razumevanje ceneresavanja problema, merene zahtevima za resursima kakvi su vreme imemorijski prostor.

Glavni pristup u teoriji kompleksnosti je razmatranje algoritama kojideluju na konacne nizove simbola iz jednog konacnog alfabeta(azbuke).


Nizovi mogu predstavljati najrazlicitije diskretne objekte poput celihbrojeva ili algebarskih izraza, ali ne i realne (ili kompleksne) brojeve,osim ako oni nisu zaokrugljeni na priblizne vrednosti iz jednogdiskretnog skupa.



Glavni zadatak ove teorije je da se odredi broj (racunskih) korakaneophodnih za resavanje problema u funkciji duzine ulaznog niza. Uvezi sa ovim, teorija kompleksnosti grupise probleme u tzv. klasekompleksnosti i razmatra njihov odnos.




Na primer, klasu P cine oni problemi koji se mogu resiti upolinomijalnom vremenu, tj. broj koraka neophodnih za njihovoresavanje je ogranicen polinomijalnom funkcijom duzine ulaznog niza,dok je NP klasa problema cija se resenja mogu proveriti (verifikovati)u polinomialnom vremenu.




Na primer, klasu P cine oni problemi koji se mogu resiti upolinomijalnom vremenu, tj. broj koraka neophodnih za njihovoresavanje je ogranicen polinomijalnom funkcijom duzine ulaznog niza,dok je NP klasa problema cija se resenja mogu proveriti (verifikovati)u polinomialnom vremenu.

U novije vreme tretiraju se klase kompleksnosti i nad poljem realnihbrojeva.


4. Geometrijsko modeliranje (Computer Added Geometric Design(CAGD)) je disciplina koja proucava metode konstruisanjageometrijskih i prirodnih formi sredstvima racunarske grafike.



U pozadini slozenih grafickih algoritama stoje sofisticirani numerickipristupi, neophodni u procesu optimizacije algoritamskih tokova iizbora najboljih modela.




U svemu tome vodic i inspiracija je priroda i njene tvorevine od kojihneke interesantne primere mozemo videti na sledecoj slici, preuzetoj izclanka:

S. Wolfram, The Future of Computation, The Mathematica Journal10 (2) (2006), 329–362.




U svemu tome vodic i inspiracija je priroda i njene tvorevine od kojihneke interesantne primere mozemo videti na sledecoj slici, preuzetoj izclanka:

S. Wolfram, The Future of Computation, The Mathematica Journal10 (2) (2006), 329–362.

Bilo da su zive ili nezive strukture, one fasciniraju svojom racionalnomgeometrijom kojoj u osnovi stoji hijerarhija samoslicnosti i veomaslozeni iterativni procesi.


Primeri bioloskog sveta


ICM 2014, Seoul (GVM & St. Wolfram)


5. Simbolicka izracunavanja (Symbolic Computation) se danas,takod-e, mogu izdvojiti u posebnu disciplinu.



Ona se cesto nazivaju i kompjuterska algebra, algebarskaizracunavanja, itd.




Za razliku od numerickih izracunavanja koja se realizuju u tzv.aritmetici konacne duzine, simbolicka izracunavanja se izvode sabrojevima, simbolima, izrazima i formulama na egzaktan nacin.





Ona su nastala kao rezultat teznje da se sa numerickih izracunavanjakrene ka apstraktim izracunavanjima, sto je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika, poput jezika LISP injegovih usavrsenih naslednika.





Ona su nastala kao rezultat teznje da se sa numerickih izracunavanjakrene ka apstraktim izracunavanjima, sto je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika, poput jezika LISP injegovih usavrsenih naslednika.

Danas su za simbolicka izracunavanja najpopularniji i sirokorasprostranjeni interaktivni paketi MAPLE, MACSYMA, MATLAB iMathematica, koji se, naravno, mogu koristiti i za numerickaizracunavanja, kao i za graficke prezentacije.


MATLAB je razvijen u kompaniji MathWorks, ciji je jedan odosnivaca Cleve Moler, poznati americki matematicar, programer iekspert u numerickoj analizi.



– Moler je jedan od autora u razvoju FORTRAN programskih paketaza linearnu algebru LINPACK and EISPACK i kreator programskogsistema MATLAB, koji je prilagod-en za rad sa matricama kaoosnovnim elementima u izracunavanjima.




– Naziv MATLAB dolazi od engleskih reci “matrix laboratory”.




– Naziv MATLAB dolazi od engleskih reci “matrix laboratory”.

– Prva verzija se pojavila 1984. godine, a sada je aktuelna verzija 9.5(R2018b) za sve operativne sisteme.


Mathematica je razvijena u softverskoj kompaniji Wolfram Research.



– Prva verzija se pojavila 1988. godine, a 1989. verzija Mathematica2.0 za DOS operativni sistem. Verzija Mathematica 2.2 razvijena jeza Windows 3.11.




– Aktuelna verzija 11.3, koja se pojavila u martu 2018. godine,razvijena je za sve operativne sisteme.





– Kombinovanje numerickih i simbolickih izracunavanja veoma jekorisno u mnogim primenama.






– Za numericka izracunavanja posebno su interesantne tzv. aritmetikevisestruke tacnosti (multi-precision arithmetics)






– Za numericka izracunavanja posebno su interesantne tzv. aritmetikevisestruke tacnosti (multi-precision arithmetics)

– Mathematica takod-e pruza izvanredne graficke mogucnosi!


Primer provere jedne hipoteze



U casopisu Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 45(1913/14), str. 350, Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920), poznati

indijski matematicar, je postavio hipotezu da je eπ√163 ceo broj.





On je radeci “rucno”, nasao da je

eπ√163 ∼= 262 53741 26407 68743.99999 99999 99.

Kako njegov metod nije omogucavao dobijanje sledece decimale, on jepretpostavio da se cifra 9 stalno ponavlja, i da je onda

eπ√163 = 262 53741 26407 68744.





On je radeci “rucno”, nasao da je

eπ√163 ∼= 262 53741 26407 68743.99999 99999 99.

Kako njegov metod nije omogucavao dobijanje sledece decimale, on jepretpostavio da se cifra 9 stalno ponavlja, i da je onda

eπ√163 = 262 53741 26407 68744.

Programskim paketom Mathematica jednostavno dobijamo

eπ√163 = 262 53741 26407 68743.99999 99999 99250 07259 71981 . . .

sto kazuje da je hipoteza Ramanujan-a bila pogresna.


6. Obrada teksta (Text Processing) je danas oblast bez koje se nemoze zamisliti bilo koja delatnost.



Tokom sedamdesetih i osamdesetih godina prosloga veka intenzivnose pocelo sa razvojem algoritama i konstrukcijom tzv. tekst procesoraza obradu svih vrsta tekstova, ukljucujuci i matematicki slog.




Za matematicke tekstove glavni doprinos je ucinio Donald ErvinKnuth (1938 – ), razvojem sistema TEX. Knuth je profesor emeritusna Stanford univerzitetu (SAD) i danas najpoznatije ime u oblastiinformatike i racunarstva.





Pored ogromnog doprinosa u matematickom zasnivanju algoritama,zbog cega je poznat kao “otac algoritama”, Knuth je razviosoftverske sisteme poznate kao TEX i METAFONT, koji su promenilitehnologiju stampanja matematickih i drugih publikacija, ali i nacinkomunikacije med-u naucnicima.





Pored ogromnog doprinosa u matematickom zasnivanju algoritama,zbog cega je poznat kao “otac algoritama”, Knuth je razviosoftverske sisteme poznate kao TEX i METAFONT, koji su promenilitehnologiju stampanja matematickih i drugih publikacija, ali i nacinkomunikacije med-u naucnicima.

LATEX, kao makro paket, cije su komande definisane nizom TEXkomandi, danas je postao standard u matematickoj komunikaciji.


Progres u eksperimentalnoj matematici

Pocetkom 1996. godine pojavljuje se interesantna knjiga:




Marko Petkovsek, Herbert S. Wilf, Doron Zeilberger, A = B,A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1996.





Predgovor je napisao Donald Knuth.






Knjiga sadrzi metode za analizu kompleksnih sumiranjahipergeometrijskog tipa, ukljucujuci vise osnovnih algoritama, kao stosu:







– opsti algoritam sestre Celine,








– Gosper-ov algoritam,








– Gosper-ov algoritam,

– Zeilberger-ov algoritam, itd.








Casopis Experimental Mathematics (Taylor & Francis)IF=0.805 (za 2017. god.)


Znacajan progres u eksperimentalnoj matematici dogodio se 1995.godine pojavom tzv. Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) formule, kojuje otkrio Simon Plouffe (u heksa-decimalnoj bazi),



π =∞∑

k=0

1

16k

(

4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)

,



π =∞∑

k=0

1

16k

(

4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)

,

koja omogucava brzo odred-ivanje bilo koje binarne cifre broja π beznalazenja prethodnih cifara (tzv. “spigot” algoritam).



π =∞∑

k=0

1

16k

(

4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)

,


D. Bailey, P. Borwein, S. Plouffe, On the rapid computation of

various polylogarithmic constants, Math. Comput. 66, no. 218(1997), 903–913.



π =∞∑

k=0

1

16k

(

4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)

,


D. Bailey, P. Borwein, S. Plouffe, On the rapid computation of

various polylogarithmic constants, Math. Comput. 66, no. 218(1997), 903–913.

J.M. Borwein, D.M. Bradley, D.J. Broadhurst, P. Lisonek,Special values of multiple polylogarithms, Trans. Amer. Math. Soc.353 (2001), no. 3, 907–941.


Prethodna suma je povezana sa integralom

π =

∫ 1/√2

0

−8x5 − 4√2x4 − 8x3 + 4

√2

1− x8dx,

koji, nakon smene y = x√2, postaje

π =

∫ 1

0

16(y − 1)

y4 − 2y3 + 4y − 4dy.



π =

∫ 1/√2

0

−8x5 − 4√2x4 − 8x3 + 4

√2

1− x8dx,


π =

∫ 1

0

16(y − 1)

y4 − 2y3 + 4y − 4dy.

Inace, Mathematica za prethodnu sumu daje rezultat:

1

30

{

120 2F1

(

1

8, 1;

9

8;1

16

)

− 6 2F1

(

5

8, 1;

13

8;1

16

)

−5 2F1

(

3

4, 1;

7

4;1

16

)

− 60 tanh−1

(

1

4

)}

,



π =

∫ 1/√2

0

−8x5 − 4√2x4 − 8x3 + 4

√2

1− x8dx,


π =

∫ 1

0

16(y − 1)

y4 − 2y3 + 4y − 4dy.

Inace, Mathematica za prethodnu sumu daje rezultat:

1

30

{

120 2F1

(

1

8, 1;

9

8;1

16

)

− 6 2F1

(

5

8, 1;

13

8;1

16

)

−5 2F1

(

3

4, 1;

7

4;1

16

)

− 60 tanh−1

(

1

4

)}

,

a sa naredbom FullSimplify[%] daje π.


Istim metodom dobijeni su eksplicitni izrazi za brzo odred-ivanjemnogih vaznih konstanti u obliku

∞∑

k=1

1

bckp(k)

q(k),

u razlicitim bazama b (≥ 2), gde su p i q polinomi sa celimkoeficijentima i c prirodan broj.



∞∑

k=1

1

bckp(k)

q(k),


Dobijeni su izrazi za konstante π2, π3, . . ., log 2, log2(2), . . ., ζ(3),ζ(5), . . . . Bitnu ulogu ovde igra m-ti polilogaritam Lm, definisan sa

Lm(z) =

∞∑

ν=1

zν

νm(|z| < 1).



∞∑

k=1

1

bckp(k)

q(k),


Dobijeni su izrazi za konstante π2, π3, . . ., log 2, log2(2), . . ., ζ(3),ζ(5), . . . . Bitnu ulogu ovde igra m-ti polilogaritam Lm, definisan sa

Lm(z) =

∞∑

ν=1

zν

νm(|z| < 1).

Catalan-ova konstanta

G = β(2) =

∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)2=

1

12− 1

32+

1

52− 1

72+ · · · ,

gde je β Dirichlet-ova beta funkcija.


CONTEMPORARYMATHEMATICS

American Mathematical Society

517

Gems in Experimental Mathematics

AMS Special SessionExperimental Mathematics

January 5, 2009Washington, DC

Tewodros AmdeberhanLuis A. MedinaVictor H. Moll

Editors


Neki interesantni clanci:

David H. Bailey and Jonathan M. Borwein: Experimental

computation with oscillatory integrals





David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, David Broadhurst andWadim Zudilin: Experimental mathematics and mathematical

physics






physics

Mark W. Coffey: Expressions for harmonic number exponential

generating functions






physics



Richard E. Crandall: Theory of log-rational integrals






physics




Stavros Garoufalidis and Xinyu Sun: A new algorithm for the

recursion of hypergeometric multisums with improved universal

denominator






physics






denominator

Luis A. Medina and Doron Zeilberger: An experimental

mathematics perspective on the old, and still open, question of when

to stop?






physics






denominator

Luis A. Medina and Doron Zeilberger: An experimental

mathematics perspective on the old, and still open, question of when

to stop?

Olivier Oloa: On a series of Ramanujan



Primer. Izracunati

S = limǫ→0

∫ 1

ǫx−1 cos(x−1 log x)dx.


Primer. Izracunati

S = limǫ→0

∫ 1

ǫx−1 cos(x−1 log x)dx.

�� -��

-��

�

��

��


10.80.2 0.4 0.6

30

15

0

15

30


Koriscenjem Ojler-ove formule, integral postaje

∫ 1

0ℜ(

e(i log x)/x

x

)

dx =

∫ 1

0ℜ(

e((i/x)−1) log x)

dx =

∫ 1

0ℜ(

xi/x−1)

dx.



∫ 1

0ℜ(

e(i log x)/x

x

)

dx =

∫ 1

0ℜ(

e((i/x)−1) log x)

dx =

∫ 1

0ℜ(

xi/x−1)

dx.

Sada primenimo Kosijevu teoremu, po kojoj linijski intergral analitickefunkcije izmed-u dve tacke u kompleksnoj ravni ne zavisi od putaintegracije.



∫ 1

0ℜ(

e(i log x)/x

x

)

dx =

∫ 1

0ℜ(

e((i/x)−1) log x)

dx =

∫ 1

0ℜ(

xi/x−1)

dx.

Sada primenimo Kosijevu teoremu, po kojoj linijski intergral analitickefunkcije izmed-u dve tacke u kompleksnoj ravni ne zavisi od putaintegracije.

Na primer, za putanju u kompleksnoj ravni:

z(t) = t+ it(1− t), z′(t) = 1 + i− 2it, t ∈ [0, 1].

dobijamo

S = ℜ{∫ 1

0z(t)i/z(t)−1z′(t)dt

}

.


�� -��

��

��

��

��

��

��


�� -��

��

��

��

��

��

��

Numericka integracija daje:

S = 0.32336743167777876139937008795217044665104662572546966 . . .


HVALA NA PAZNJI!


Documents

KOMPJUTERSKA ERA I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKAgvm/April2019-NoviSadExpMath.pdf · 2020. 1. 21. · KOMPJUTERSKA ERA I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKA Gradimir V. Milovanovi´c Srpskaakademijanaukaiumetnosti,Beograd,Srbija