Eksperimentalna istraživanja fononskih pobuđenja -

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Eksperimentalna istraživanja fononskihpobuđenja

« Fizika čvrstog stanja »

Ivo Batistić

Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu

predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 6. veljače 2015.)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Pregled predavanja

Infracrvena spektroskopija

Ramanova spektroskopija

Neutronska spektroskopija

Dodatci

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Eksperimentalna istraživanja fononskih pobuđenja

Fononska (i druga) pobuđenja mogu se eksperimentalno istražitipomoću raspršenja zraka čestica ili svjetlosti na tijelima.

Među velikim brojem različitih metoda navedimo samo neke: Infracrvena (IR) spektroskopija: apsorpcija/transmisija EM

zračenja Ramanova spektroskopija: neelastično raspršenje EM zračenja Neutronsko raspršenje: neelastično raspršenje neutrona

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Infracrvena spektroskopija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EM zračenje u sredstvuNeka zraka svjetlosti koja pada na površinu kristala.

Jedan dio zračenja se reflektira, a drugi dio prolazi kroz kristal. Prolazna zraka na svom putu može stvarati pobuđenja i tako

gubiti svoj intenzitet. Ako su takovi procesi mogući⇒ dio prolazne zrake se apsorbira u kristalu.

Za EM zračenje unutar tijela vrijedi:

k2 = ϵ(ω)ω2

c2

Gušenje (apsorpcija) postoji ako k ima imaginarnu komponentu kojadolazi od imaginarnog dijela dielektrične funkcije ϵ(ω):

n(ω) = n′ + ın′′ (indeks loma) i ϵ(ω) = ϵ′ + ı ϵ′′

Pri tome je veza između dielektrične funkcije i indeksa loma:

ϵ′ = n′2 − n′′2

ϵ′′ = 2n′ n′′

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EM zračenje u sredstvu

Tada je su realni i imaginarni dio valnog broja:

k′ =ω

cn′ =

1√2

ω

c√|ϵ|+ ϵ′

k′′ =ω

cn′′ =

1√2

ω

c√|ϵ| − ϵ′

|ϵ| =√ϵ′2 + ϵ′′2

Imaginarni dio valnog broja k′′ postoji samo ako postoji imaginarnidio dielektrične funkcije. Imaginarni dio dielektrične funkcije opisujeapsorpciju zračenja u sredstvu.Treba naglasiti radi se o vrlo malim valnim brojevima:

|k| ∼ωphc

≈ 0.

EM zračenje može pobuđivati samo one fonone koji induciraju elek-trični dipolni moment. Za takva fononska pobuđenja kažemo da suinfracrveno aktivna.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Shema uređaja za mjerenje infracrvene apsorpcije

Shema uređaja za mjerenje infracrvene apsorpcije. Ulazna zraka se razdvajana dva dijela, jedan koji sadrži podatke o zraci koja je prošla kroz kristal i čijije jedan dio apsorbiran te drugi dio koji sadrži podatke o reflektiranom dijeluzrake.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: infracrvena apsorpcija C60 molekula

Infracrveni spektar 2µm debelog sloja krutog C60 na silicijumovoj podlozi.Vrhovi u spektru odgovaraju IR aktivnim fononskim pobuđenjima C60

molekule. Iz rada W. Krätschmer et al.,Nature 347 (1990) 354.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: IR apsorpcija dvoatomnog lanca

Promatramo lanac koji ima dvije vrste iona različitih naboja ujediničnoj ćeliji. Pretpostavit ćemo da su pomaci atoma samo ujednom smjeru (smjer električnog polja EM vala). Sličan primjer većsmo imali kada smo govorili o optičkim titranjima.

Postoji razlika: ioni su izloženi dodatnoj sili koja dolazi od EMzračenja (tj. lokalnog električnog polja Eloc).

Jednadžbe gibanja su:

M1un = −K (2 un − vn − vn−1) + qEloc(n, t)M2vn = −K (2 vn − un+1 − un)− qEloc(n, t)

Pretpostavili smo da su naboji iona ±q.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Neka je EM zračenje monokromatsko frekvencije usporedive sfononskim frekvencijama:

k =ωphc

≈ 0

Zračenje će pobuditi samo fononska titranja valne duljine k ≈ 0 pa seprostorna ovisnost deformacije rešetke može zanemariti:

M1u = −2K (u− v) + qEloc(t)M2v = −2K (v− u)− qEloc(t)

Za monokromatsko električno polje:

Eloc(t) = Eloc eıωt

tražimo rješenje: (u(t)v(t)

)=

(UV

)eıωt

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Amplitude titranja zadovoljavaju sustav jednadžbi:

U(2K−M1ω2) + V(−2K) = +qEloc(t)

V(−2K) + V(2K−M2ω2) = −qEloc(t)

Električno polje pomiče ione različitih naboja u različite smjerove.⇒

Električno polje inducira dipolni moment u jediničnoj ćeliji:

p = q(U− V) = q2(

1

M1+

1

M2

)1

ω2TO − ω

Eloc

gdje je:

ω2TO = K

(1

M1+

1

M2

)=

KMR

(MR = reducirana masa)

frekvencija optičkih fononskih titranja u granici k → 0. S indeksom TOnaznačili smo da su to transverzalna optička titranja, u smjeruelektričnog polja koje jest transverzalno (okomito na k).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: IR apsorpcija dvoatomnog lancaInducirani dipolni moment doprinosi polarizabilnosti:

P = Np =Nq2

MR(ω2TO − ω2)

Eloc = Nα(ω)Eloc

Lokalno električno polje u kristalu s kubičnom simetrijom:

Eloc = E+P3ϵ0

D = ϵ0 E+ P = ϵrϵ0E

pa je:

ϵr − 1

ϵr + 2=

Nα(ω)

3ϵ0(Clausius-Mossottijeva relacija)

gdje je

α(ω) =q2

MR(ω2TO − ω2)

(polarizabilnost jedinične ćelije)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

PolarizabilnostIzraze za polarizabilnost i dielektričnu funkciju treba modificirati uzimajući uobzir kauzalnost. Odgovor sustava ne smije se dogoditi prije nego što sepojavi električnog polja koje je induciralo odgovor. Općenito:

p(t) =+∞∫

−∞

dt′ α(t− t′) E(t′)

pri tome je:α(t− t′) =

= 0 t > t′≡ 0 t < t′

To se postiže dodavanjem infinitezimalno malog imaginarnog dijela polupolarizabilnosti

q2

MR(ω2TO − ω2)

−→ q2

MR[ω2TO − (ω + ıη)2

]Polarizabilnost ima polove u donjem dijelu kompleksne ω ravnine:

ω = ±ωTO − ıη

Ako fononsko titranje ima gušenje, imaginarni dio pola ima na konačnuvrijednost proporcionalnu konstanti gušenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

PolarizabilnostAko postoji više IR aktivnih fononskih titranja tada svaki od njih doprinosipolarizabilnosti. Općenito, može se zapisati:

α(ω) =∑λ

e2fλMλ(ω2

λ − (ω + ıη)2)

=∑λ

fλe2

2Mλωλ

[1

ωλ − ıηλ − ω+

1

ωλ + ıηλ + ω

]Imaginarni dio je:

α′′(ω) =∑λ

fλ πe2

2Mλωλ[δ(ω − ωλ)− δ(ω + ωλ)]

u granici kada svi ηλ → 0+.

Polovi u polarizabilnosti (i dielektričnoj funkciji) znače postojanje imaginarnogdijela koji ima oštar vrh (δ-funkcija) na frekvenciji jednakoj realnom dijelupola, tj. ωTO ili ωλ. To su vrhovi koji se vide u mjerenjima apsorpcije.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ramanova spektroskopija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ramanovo raspršenje EM zračenja

Uzorak se izlaže monokro-matskom EM valu.

Radi se spektralna analizaraspršenog zračenja: in-tenzitet kao funkcija frek-vencije.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ramanovo raspršenjeIntenzitet (udarni presjek) može se izračunati računom smetnje izhamiltonijana međudjelovanja elektromagnetskih valova i tvari:

Hint = −q∫

dr Jp · A︸︷︷︸doprinosi tek u 2. redu r.s.

+q2

2m

∫dr ρ(r) A2

Pojednostavljeni poluklasični G. Placzekov pristup: Upadna zraka inducira dipolni moment:

pi(t) =∑j

+∞∫−∞

dt′ αij(t− t′) ϵ0Ej(t′)

Inducirani dipol dipol oscilira i tako zrači. Za upadnimonokromatski val i izotropnu sredinu intenzitet zračenja je:

I(ω) =1

32π2 ϵ0 c3|¨p|2 ∼ ω4 |α(ω)|2 |E0|2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ramanovo raspršenje

Najintenzivnije zračenje je na frekvenciji upadnog vala. Međutim, procesi emisije ili apsorpcije fonona mogu dovesti do

zračenja na manjim ili višim frekvencijama.U eksperimentima se koristi zračenje čije su valne duljine puno većeod međuatomskih razmaka:

k =ω

c, k′ =

ω′

c≪ 2π

a⇒ k, k′ ≈ 0

Impuls emitiranog/apsorbiranog fonona također je zanemarivo mali:

|k′ − k| ≈ 0

U daljnjim razmatranjima Ramanovog raspršenja pretpostavljase da je deformacija rešetke prostorno neovisna!

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Polarizabilnost ovisi o deformaciji rešetke. Ako je deformacija mala,polarizabilnost se može razviti u red potencija po deformaciji:

α(t, u) ≈ α0(t) +∑

i=x,y,z

ui(t)∂α

∂ui(t)+ . . .

Vremenska ovisnost deformacije sadrži doprinose različitih fononskihtitranja:

u(t) ∼∑λ

eλ√

ℏ2Mωλ

(aλe−ıωλt + a†λe

+ıωλt)

To znači da električni dipolni moment ima dodatnu vremenskuovisnost:

p(t) ∼ p e−ıωt +∑λ

Aλ aλe−ı(ω+ωλ)t︸︷︷︸EM val apsorbira fonon

+ Aλ a†λe−ı(ω−ωλ)t︸︷︷︸

EM val emitira fonon

Koeficijenti Aλ su članovi u razvoju dipolnog momenta p po deformaciji.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Procesi u kojima se apsorbira ili emitira fonon imaju intenzitete:

I(ω + ωλ) ∼ (ω + ωλ)4| < f|aλ|i > |2

I(ω − ωλ) ∼ (ω − ωλ)4| < f|a†λ|i > |2

Srednja vrijednost operatora A se izračunava:

| < f|A|i > |2 =∑i

pi∑f

< i|A†|f >< f|A|i >

sumiranjem po mogućim konačnim stanjima |f > i usrednjenjem popočetnom stanju |i > koje ima vjerojatnost pi.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Tako se dobiva:

I(ω + ωλ) ∼ (ω + ωλ)4 (nλ) (anti-Stokes, apsorpcija)

I(ω − ωλ) ∼ (ω − ωλ)4 (nλ + 1) (Stokes, emisija)

gdje je:nλ =

1

eℏωλ/kBT + 1

srednji broj fononskih pobuđenja na danoj temperaturi.Usporedba intenziteta:

IStokesIanti−Stokes

=

(ω − ωλ

ω + ωλ

)4

exp(ℏωλ

kBT

)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: Ramanovo raspršenje na siliciju

Temperaturna ovisnost Ramanovog raspršenja na siliciju. Uzeto iz rada T.R.Hart at al., Phys. Rev. B 1 (1970) 638. Konačna širina linija koja se povećavas temperaturom povezana je uz vrijeme života fononskih pobuđenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: Ramanovo raspršenje na C60

Ramanovo raspršenje na C60. Uzeto iz rada P. Zhou at al., Phys. Rev. B 46(1992) 2595.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


U kristalima s centralnom simetrijom (inverzijom) razvojpolarizabilnosti po deformaciji sadrži samo simetrična fononskapobuđenja - ona koja ne mijenjaju predznak kada r → −r.

S druge strane, IR aktivni fononi su samo oni kojima deformacijamijenja predznak prilikom inverzije koordinatnog sustava.

U kristalima s centralnom simetrijom fononi su ili IR aktivni iliRaman aktivni. IR i Raman se međusobno nadopunjavaju.

Mogući su procesi u kojima dolazi do stvaranja ili poništenjadvaju fononskih pobuđenja. U tim slučajevima nema ograničenjana male valne brojeve. Ovi procesi se vide kao široka pozadina(bez istaknutih vrhova) u spektru I(ω),

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Rezonantno Ramanovo raspršenje

Lokalizirana fononska i elektronska pobuđenja je teško detektirati jerje njihova koncentracija mala. ⇒ Mali se njihovi doprinosi u IR alitakođer i u Ramanovom raspršenju.

Često su lokalizirana fononska pobuđenja povezana s lokaliziranimelektronskim stanjima. Mijenjajući frekvenciju upadnog EM valamoguće je pogoditi frekvenciju pobuđivanja lokaliziranog elektronskogstanja. Tada će doći rezonantnog Ramanovog raspršenja, vrlojakog pojačanja raspršenja na lokaliziranim fononskim titranjima.

Rezonantno Ramanovo raspršenje se dobiva u drugom redu računasmetnje u energiji međudjelovanja:

Hint = −q∫

dr Jp · A+q2

2m

∫dr ρ(r) A2

kada se pojavljuju se članovi ovisni o frekvenciji ulaznog EM vala.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neutronska spektroskopija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Udarni presjek u neutronskom raspršenju

Promatra se općenito neelas-tično raspršenje čestica nakristalnoj rešetci.

Upadni snop je valnog broja k, a raspršena zraka k′ Početno stanje kristala |i >, energije ei se mijenja u konačno

stanje |f >, energije ef.Udarni presjek u 1. Bornovoj aproksimaciji:

d2σdωdΩ

=k′

k

(M2π

)2

| < k′, f|Hint |k, i > |2δ(ω + ei − ef)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Udarni presjek

Ulazni snop čestica i raspršena zraka opisani su ravnim valovima:

< r|k >= eır·k < r|k′ >= eır·k′

Raspršenje se događa na identičnom skupu čestica (čvorištakristalne rešetke) koje međudjeluju s česticama iz snopa potencijalomV(r). Hamiltonijan međudjelovanja:

Hint =∑j

V(r− Rj)

Tada je:

< k′, f|Hint |k, i > = < f|∫

dr eı(k−k′)·rHint|i >

=

∑j

< f|eı(k−k′)·Rj |i >

·∫

dr eı(k−k′)·rV(r)︸︷︷︸Vk−k′

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Udarni presjek Razlika početnog i konačnog valnog broja: K = k− k′

Početno stanje sustava nije poznato. U udarnom presjekupotrebno je uzeti sva moguća početna stanja |i >, stermodinamičkom vjerojatnošću pi.

Konačno stanje sustava također nije poznato. U udarnom jepresjeku potrebno je uzeti u obzir sva moguća konačna stanja.

d2σdωdΩ

=k′

k

(M2π

)2 ∑i,f

pi | < k′, f|Hint |k, i > |2δ(ω + ei − ef)

=k′

k

(M2π

)2

|VK|2 ·

∑i,f

pi

∑j,l

δ(ω + ei − ef)·

< i|e−ıK·Rj |f >< f|e+ıK·Rl |i >)

δ-funkcija se može prikazati pomoću integrala:

δ(ω + ei − ef) =1

2π

+∞∫−∞

dt e−ı(ω+ei−ef)t

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Udarni presjekčiji jedan dio može poslužiti kao vremenska ovisnost matričnogelementa:

< f|e+ıK·Rl(0)|i > e−ı(ei−ef)t =< f|e+ıK·Rl(t)|i >

Stoga je:

∑i,f

pi

∑j,l

< i|e−ıK·Rj |f >< f|e+ıK·Rl(t)|i >

=∑j,l

⟨e−ıK·Rj(0)e+ıK·Rl(t)⟩T

a udarni presjek:

d2σdωdΩ

=

A(K)︷︸︸︷k′

k

(M2π

)2

|VK|2 ·

S(ω,K)︷︸︸︷1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωt∑j,l


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Udarni presjek Veličina A(K) je atomski faktor koji opisuje raspršenje čestica

na jednom čvorištu.

Veličina S(ω, K) je strukturni faktor koji sadrži sve bitnepodatke o interferencijskim efektima - raspršenju na skupučvorišta (kristalnoj rešetci).

Prostorna raspodjela točkastih čvorišta na kojima se raspršuju česticeje:

ρ(r) =∑i

δ(r− Ri)

a njen Fourijerov transformat:

ρk =∑i

eık·Ri =

∫dr eık·rρ(r)

Strukturni faktor se može zapisati kao:

S(ω, K) =1

2π

∫drdr′ eıK·(r−r′)

∫dt e−ıωt⟨ρ(r, 0)ρ(r′, t)⟩T

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Strukturni faktor na rešetki koja se giba

S(ω, K) =1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωt∑j,l


=∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)

l ) 1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωt⟨e−ıK·uj(0)e+ıK·ul(t)⟩T

gdje su položaji čvorišta u rešetci koja titra:

Ri(t) = R(0)i + ui(t)

prikazani preko ravnotežnog položaja R(0)i i vektora pomaka ui(t).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


POGLEDATI DETALJNIJI RAČUN

Kao konačni rezultat se dobiva:

S(ω, K) =

Braggovo elastično r.︷︸︸︷S(0)(K) δ(ω) +

rasp. na 1 fononu︷︸︸︷S(1)(K, ω) +

rasp. na 2 fonona︷︸︸︷S(2)(K, ω) + . . .

gdje prvi član opisuje Braggovo elastično raspršenje:

S(0)(K) δ(ω) = e−2W

∑G

δ(K− G)

δ(ω)

čiji je intenzitet vrhova reduciran s Debye-Wallerovim faktorom (W):

W =∑q,λ

1

N(K · eq,λ)2

ℏ2Mωq,λ

(nq,λ +

1

2

)Debye-Wallerov faktor

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Debye-Wallerov faktor

Debye-Wallerov faktor se može aproksimirati kao:

W =∑q,λ

1

N(K · eq,λ)2

ℏ2Mωq,λ

(nq,λ +

1

2

)

=VN∑λ

∫dq (K · eq,λ)2︸︷︷︸

≈(1/3)K2

ℏ4Mωq,λ

coth(ℏωq,λ2kBT

)

≈ K2

12N

∞∫0

dω D(ω)ℏMω

coth(

ℏω2kBT

)

Što u izotropnom sredstvu svodi se na:

2W =K2

3

⟨u2(n)

⟩

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


U Debyeovoj aproksimaciji:

2W =

32

ℏ2K2

2M1

kBΘD

[1 + 2π2

3

(TΘD

)2]za T ≪ ΘD

6 ℏ2K2

2M1

kBΘD

[TΘD

+ 136

ΘDT

]za T ≫ ΘD

Debye-Wallerov (DW) faktor u području niskih temperatura jezanemarivo mali.

U području visokih temperatura (T ≫ ΘD) linearno raste stemperaturom.

Za 1d- i 2d-sustav Debye-Wallerov divergira. U 1d-rešetci nemadugodosežnog uređenja. Nema δ-funkcija u strukturnom faktoru.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Temperaturna ovisnost Braggo-vih vrhova u aluminiju. Posu-đeno iz R.M. Nicklow i R.A. Yo-ung, Phys.Rev. 152 (1966) 591.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neelastična raspršenjaPrvi dio neelastičnog raspršenja u strukturnom faktoru

S(ω, K) =

Braggovo elastično r.︷︸︸︷S(K) δ(ω) +

rasp. na 1 fononu︷︸︸︷S(1)(K, ω) +

rasp. na 2 fonona︷︸︸︷S(2)(K, ω) + . . .

dan je s:

S(1)(K, ω) = e−2W ∑

q,λ

1

N(K · eq,λ)

2 ℏ2Mωq,λ

[

(nq,λ + 1)

δ(ω−ωq,λ) emisija fonona︷︸︸︷1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωte+ıωq,λ t

∼∑G

δ(K−G−q)︷︸︸︷∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)l )e+ıq·(R(0)j −R(0)l )

+ nq,λ1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωte−ıωq,λ t

︸︷︷︸δ(ω+ωq,λ) apsorpcija fonona

∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)l )e−ıq·(R(0)j −R(0)l )

︸︷︷︸

∼∑G

δ(K−G+q)

]

što opisuje procese apsorpcije i emisije jednog fonona.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neelastična raspršenja

Neelastični dio strukturnog faktora opisuje procese emisije iapsorpcije fonona. U slučaju jednofononskih procesa zakonisačuvanja su zadovoljeni.

Emisija jednog fonona:

k′ = k+ G− q i ef = ei − ωq,λ

Apsorpcija jednog fonona:

k′ = k+ G+ q i ef = ei + ωq,λ

(Napomena: ω = ef − ei i K = k′ − k).

Oba procesa se pojavljuju s termodinamičkim vjerojatnostima čiji jeomjer:

pemisija

papsorpcija= e

ℏωq,λkBT

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neelastična raspršenjaImajući u vidu periodičnost fononske frekvencije u recipročnom prostoru,kombinirane jednadžbe sačuvanja mogu se zapisati:

ℏ2

2Mk′2 =

ℏ2

2Mk2 ± ℏωλ

(k′ − kℏ

)

U eksperimentu su valni vektor ulaznog snopa čestica poznati.

Za danu frekvenciju ωq,λ, jedina nepoznata veličina su tri komponentevalnog broja raspršenih čestica.

Gornja jednadžba povezuje povezuje tri komponente valnog brojaraspršenih čestica. Radi se površini u 3d prostoru valnih brojeva.

Ako bi se fiksirao smjer izlaznih (raspršenih) čestica, gornja jednadžbaima riješenje samo za jednu izlaznu energiju odnosno jedan iznosizlaznog valnog broja. (Tj. jedna energija po fononskoj grani.) Toodgovara vrhovima (δ-funkcijama) u S(1)(K, ω).

Iz energije izlaznih čestica u određenom smjeru moguće se rekonstruiratikako fononska frekvencija ovisi o valnom broju.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: Cu

Neutronsko raspršenje na bakru. Vrhovi u energiji izlaznih neutrona za valnebrojeve u (100) ravnini u recipročnom prostoru. Posuđeno iz E.C. Svenssonat al., Phys.Rev. 155 (1967) 619.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Primjer: Cu

Fononski spektar bakra izmjeren neutronskim raspršenjem i usporedba steorijskim modelom. Posuđeno iz E.C. Svensson at al., Phys.Rev. 155(1967) 619.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Nobelove nagrade 1994 za razvoj neutronskespektroskopije

Bertram N. Brockhouse Clifford G. Shullhttp://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1994/

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neutronski spektrometar s trostrukom osi

Neutronski spektrometar s trostrukom osi u National Institute of Standardsand Technology.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Neelastično neutronsko raspršenje U raspršenjima u kojima sudjeluje više fonona ne postoji ograničenje

kojim se može izdvojiti jedna frekvencija (ili nekoliko frekvencija) zajedan smjer raspršenih čestica.

Raspršenje s višestrukom emisijom/apsorpcijom fonona stvaraširoku pozadinu u energijskom spektru raspršenih čestica.

Na toj širokoj pozadini superponirani su vrhovi koji odgovarajuemisiji/apsorpciji samo jednog fonona.

Opaženi jednofononskivrhovi imaju konačnuširinu zbog konač-nog vremena životafononskih pobuđenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dodatci

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Strukturni faktor

U proračunu strukturnog faktora potrebno je izračunati:

+∞∫−∞


gdje su položaji čvorišta u rešetci koja titra:

Ri(t) = R(0)i + ui(t)

prikazani preko ravnotežnog položaja R(0)i i vektora pomaka ui(t):

ui(t) =∑q

1√Ne+ıq·R(0)

i uq(t)

=∑q

eq√Ne+ıq·R(0)

i

√ℏ

2Mωq

(aqe−ıωqt + a†−qe

+ıωqt)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Vektor pomaka može se prikazati kao zbroj pomaka nezavisnih HOrazličitih valnih vektora q. Operatori stvaranja i poništenja za različitevalne vektore međusobno komutiraju pa srednju vrijednost možemoizračunavati za svaki valni vektor posebno:

⟨e−ıK·uj(0)e+ıK·ul(t)⟩T =

∏q

⟨exp

[−ı

(K · eq)√N

√ℏ

2Mωqe+ıq·R(0)

j

(aq + a†−q

)]

exp

[−ı

(K · eq)√N

√ℏ

2Mωqe+ıq·R(0)

l

(aqe−ıωqt + a†−qe

+ıωqt)]⟩

T

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Doprinos i srednja vrijednost koja dolazi samo od jednog valnog brojaima opći oblik:⟨exp

(−ıαa− ıβa†

)exp

(−ıγa− ıδa†

)⟩= exp

(−(αβ + γδ)(n+

1

2) + αδ(n+ 1) + βγ(n)

)

gdje su:α = c e+ıq·Rj

β = c e−ıq·Rj

γ = c e+ıq·Rle−ıωqt

δ = c e−ıq·Rle+ıωqt

c =(K · eq)√

N

√ℏ

2Mωq

n = < a†a >=1

eℏωqkBT − 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Strukturni faktor

Stoga kao konačni rezultat se dobiva:

⟨e−ıK·uj(0)e+ıK·ul(t)⟩T = e−2WeQjl(t)

gdje su

W =∑q,λ

1

N(K · eq,λ)2

ℏ2Mωq,λ

(nq,λ +

1

2

)Debye-Wallerov faktor

i

Qjl(t) =∑q,λ

1

N(K · eq,λ)2

ℏ2Mωq,λ

[(nq,λ + 1) e+ıq·(R(0)

j −R(0)l )e+ıωq,λt

+nq,λ e−ıq·(R(0)

j −R(0)l )e−ıωq,λt

]

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Strukturni faktor

S(ω, K) =∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)

l ) 1

2π

+∞∫−∞


=∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)

l ) 1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωte−2WeQjl(t)

= e−2W∑j,l

e−ıK·(R(0)j −R(0)

l ) 1

2π

+∞∫−∞

dt e−ıωt

1 +Qjl(t) +1

2Q2

jl (t) + . . .︸︷︷︸neelastični procesi

POVRATAK NA NEELASTIČNO RASPRŠENJE

Documents

Eksperimentalna istraživanja fononskih pobuđenja -