Embed Size (px)
Citation preview
KOMPETENCIJE I
VREDNOVANJE U
(DODATNOJ) NASTAVI
MATEMATIKE
Matija Bašić, PMF-MO
Stručni skup nastavnika matematike,
Zagreb, kolovoz 2016.
KOMPETENCIJE ZA 21. STOLJEĆE
kompetencije su znanja, vještine i sposobnosti, te stavovi
za 21. stoljeće označava potrebe modernog društva, zanimanjabudućnosti
EU inicijativa: Lisabon Agenda (2000-2010) i Europe 2020
održivi ekonomski razvoj, društvo temeljeno na znanju, promicanje aktivnog građanstva. ostvarivanje cjeloživotnog obrazovanja i mobilnosti, podrška državama EU u razvoju vlastitih obrazovnih sustava i poboljšavanju kvalitete i efikasnosti, poticanje kreativnosti, inovativnosti i poduzetništva
matematička kompetencija i osnovne kompetencije u prirodoslovlju i tehnologiji – jedna od osam ključnih kompetencija Europskog referentnog okvira za cjeloživotno učenje
NACIONALNI OKVIRNI KURIKULUM
MATEMATIKA
Domene
•brojevi
•algebra i funkcije
•oblik i prostor
•mjerenje
•podatci
• infinitezimalni račun
Procesi
•prikazivanje i komunikacija
•povezivanje
•logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje
•rješavanje problema i matematičko modeliranje
•primjena tehnologija
GENERIČKE KOMPETENCIJE (ONK)
•Rješavanje problema i donošenje odluka
•Metakognicija
•Kritičko mišljenje
•Kreativnost i inovativnost
Oblici mišljenja
•Upravljanje sobom
•Upravljanje obrazovnim i profesionalnim razvojem
•Povezivanje s drugima
•Aktivno građanstvo
Osobni i socijalni razvoj
•Komunikacija
•Suradnja
• Informacijska pismenost
•Digitalna pismenost
Oblici rada i korištenje alata
BLOOMOVA TAKSONOMIJA
Evaluacija
Sinteza
Analiza
Primjena
Razumijevanje
Znanje
REDOVNA I DODATNA NASTAVA
Redovna nastava
Natjecanja
Dodatna nastava
NAČELA I CILJEVI NATJECANJA IZ
MATEMATIKE
1. pravednost i transparentnost
2. poticanje izvrsnosti
3. promicanje znanosti kao pokretača razvoja modernog društva
4. popularizacija matematike i uključivost svih učenika
5. sinergijsko djelovanje svih sudionika
PRAVEDNOST I TRANSPARENTNOST
Hrvatska matematička
olimpijada
revizija županijskog natjecanja
KAKO OSIGURATI SVA NAČELA
ISTOVREMENO?
poticanje izvrsnosti
popularizacija
NAČELO SINERGIJSKOG DJELOVANJA
Učenici
MentoriKomisija
NATJECANJA IZ MATEMATIKE I KOMPETENCIJE
Mane klasičnog pristupa podučavanja (nastavnik prezentira rješenja zadataka
kao ilustraciju određene metode):
nedostatak vremena da se ”pokriju sve
metode”
učenici su pasivni i ne usvajaju način
razmišljanja
nedostaje izgradnja samopouzdanja i
samostalnosti učenika
učenik ne prepoznaje ključne elemente i nema
povratnu informaciju o svom znanju kako bi mogao izgraditi
realistična očekivanja
NATJECANJA IZ MATEMATIKE I KOMPETENCIJE
Aktivirajući pristup:
učenje istraživanjem (minimalne intervencije nastavnika)
nastavnik s učenikom
rješava zadatke koje nije prije vidio (istraživački
pristup)
pokazivanje strategija rješavanja
umjesto metoda
učenik samostalno pronalazi i
grupira zadatke
pokazati emocije
(prenošenje interesa)
postizanje aha-efekta
ULOGA MENTORA
Učenik Mentor
• partnerski odnos, autoritet temeljen na znanju
• poticanje autonomnog učenja, preuzimanja odgovornosti i razvoj samopouzdanja
• poticanje individualnosti, razvoj vlastitog pristupa rješavanju problema
• pomoć u integraciji, zaštita od ruganja
• podrška u nošenju sa stresom i pritiskom
• prikaz pogrešaka kao ishodište za učenje i kao sastavni dio života
• isticanje temeljne uloge matematike u razvoju društva, veza sa svakodnevnim životom i primjenama
DODATNA NASTAVA – ISHODI UČENJA
Učenik... koristi matematičke metode i alate s razumijevanjem
koristi matematički jezik, uvodi vlastite oznake i pomoćne elemente sa svrhom;
pristupa zadacima koje nije prije vidio sa samopouzdanjem da ih može riješiti;
uspješno artikulira i prenosi svoje misli drugima (pismeno i usmeno);
koristi tehnologiju u rješavanju problema i učenju
samostalno uči i traži materijale vezane za određenu temu
svjesno koristi strategije rješavanja problema
kritički pristupa svom radu
slijedi svoju prirodnu znatiželju i pokazuje želju za učenjem
preuzima odgovornost za svoje učenje i napredovanje
ima realistična očekivanja
prepoznaje ulogu matematike u razvoju modernog društva
RJEŠAVANJE PROBLEMA
Strategije
• prisjećanje relevantnih situacija, informacija i metoda
• samostalno ispitivanje posebnih slučajeva
• otkrivanje uzorka koristeći vlastite logiku
• postavljanje hipoteze
• dokazivanje i opovrgavanje hipoteze
• konstrukcija primjera i kontraprimjera za svoje slutnje
• kombinirana primjena razmišljanja unatrag i unaprijed
• formuliranje kreativnih alternativa
• stvaranje i izvršavanje plana rješavanja problema
• kritičko evaluiranje ideja
DODATNA NASTAVA
SVRHA
•pri uvođenju oznaka i dodatnih elemenata rješenje objasniti svrhu – je li svrha nama poznata? jesmo li samostalno došli do onoga o čemu pričamo?
PLAN
•planirati vrijeme za pitanja, poticati raspravu – planirati znači pripremiti se za moguće smjerove u kojima rasprava može otići, potrebna fleksibilnost
JASNOĆA
•jasno uvesti nove koncepte (pojmove, metode), naglasak na malom broju ključnih osnovnih koncepata, ne poticati preskakanje
PODRŠKA
•pronaći ravnotežu u odnosu, poticanje u inicijalnim fazama, strpljivost, pažljivo prepuštanje odgovornosti učeniku da preuzme inicijativu, poticanje samostalnosti, ohrabrivanje
METAKOGNICIJA
•osvijestiti strategije i više oblike razmišljanja koje koristimo, mijenjati kontekst, povezivati sa primjenama
VREDNOVANJE NATJECATELJA
Dodatna nastava
formativno vrednovanje (vrednovanje kao učenje i vrednovanje za učenje)
samovrednovanje
Natjecanje
sumativno vrednovanje (vrednovanje naučenog)
vanjsko vrednovanje normativno vrednovanje
PREGLED TEMA, VREDNOVANJE I ISPRAVLJANJE
NA NATJECANJIMA
•Matija Bašić, Algebra i Geometrija
•Azra Tafro, Kombinatorika i Teorija brojeva
Radionica
LITERATURA
Zbirke za rješavanje problema iz matematike
• 1. Arthur Engel, Problem Solving Strategies
• 2. Paul Zeitz, The Art and Craft of Problem Solving
• 3. Loren C. Larson, Problem-Solving Through Problems
• 4. Svetoslav Savchev, Titu Andreescu, Mathematical Miniatures
• 5. Babinskaja, Zadaci s ruskih matematičkih natjecanja
• 6. Dušan Djukić et al., IMO Compendium
• 7. Željko Hanjš, Međunarodne matematičke olimpijade
• 8. George Polya, Kako riješiti matematički zadatak? (How to solve it?)
• 9. George Polya, Matematičko otkriće
• 10. Yufei Zhao, http://yufeizhao.com/olympiad.html
• 11. Titu Andreescu et al., Problems Around the World (zbirke 1996-97, 1997-98, 1998-99, 1999-2000, 2000-01)
• 12. Materijali s priprema, http://natjecanja.math..hr
PREGLED TEMA
• najvažniji ishodi: manipuliranje algebarskim izrazima, nejednakosti, osnovna svojstva elementarnih funkcija
• dodatna literatura:
• Kiran Kedlaya, 𝐴 < 𝐵 (A is less than B)
• Titu Andreescu, Zuming Feng, 101 Problems in Algebra
• B. J. Venkatachala, Functional Equations: A Problem SolvingApproach
• Radmila Bulajich Manfrino et al., Topics in Algebra and Analysis
ALGEBRA
PREGLED TEMA
•skupovi i skupovne operacije
•osnovne računske operacije i karakteristična svojstva skupova racionalnih i realnih brojeva (decimalni brojevi, aproksimacije, uređaj, od 1.r.) te kompleksnih brojeva (konjugiranje, algebarska zatvorenost, od 2.r.)
•algebrski izrazi, rješavanje, (ne)jednadžbi i sustava, uključujući ideju supstitucije
•nejednakosti (dodatna tema na svim razinama osim školske u 1.r.) -
•računanje konačnih zbrojeva (Gaussova dosjetka, rastav na parcijalne razlomke, teleskopiranje, od 1.r.)
•korištenje matematičke indukcije u dokazivanju algebarskih tvrdnji, nizovi i redovi (4.r.)
•pojam funkcije, svojstva elementarnih funkcija i njihovih grafova
• funkcija najveće cijelo (od 1.r.),
•linearna funkcija, (veza s proporcionalnošću,1.r.),
•kvadratna funkcija i polinomi višeg stupnja (značenje diskriminante, traženje nultočaka, Vieteoveformule, 2.r.),
•eksponencijalna i logaritamska funkcija (eksponencijalna formula, monotonost, pojam inverza, od 3.r. na natjecanjima),
•trigonometrijske funkcija (adicijske formule, izvođenje ostalih formula, periodičnost, ograničenost 3.r.)
•funkcijske jednadžbe (4.r.)
ALGEBRA
PREGLED TEMA
• sintetičke i analitičke metode
• najvažniji ishodi: svrhovito crtanje dodatnih elemenata, geometrijski zor, angle chasing, zapisivanje dokaza
• dodatna literatura:
• Anđelko Marić, Planimetrija
• Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiad
• Yufei Zhao (notes), Lemmas in Euclidean Geometry
• Arseniy Akopyan, Geometry in Figures
• Vladimir Prasolov, Plane Geometry
• Sotirios E. Louridas, Michael Th. Rassias, Problem-Solving andSelected Topics in Euclidean Geometry
• Mea Bombardelli, Dijana Ilišević, Elementarna geometrija, skripta za istoimeni kolegij na PMF-MO
GEOMETRIJA
PREGLED TEMA
• Pitagorin i Euklidov teorem
• sukladnost i sličnost - uočavanje i korištenje u složenim dokazima
• paralelnost i kutovi - korištenje transverzale, zbroj kutova u trokutu, dijagonale paralelograma se raspolavljaju
• karakteristične točke trokuta – dokazivanje konkurentnosti pravaca, teorem o simetrali kuta, srednjica trokuta, težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1
• površine - rastavljanja likova i osnovne formule za površinu trokuta, metoda površine u dokazima iz planimetrije
• krug i kružnica (1.r. od državne razine, ostali razredi od školske razine)
• tetivni četverokut: obodni i središnji kut, Talesov teorem, potencija točke obzirom na kružnicu
• tangencijalni četverokut: jednakost duljina odsječaka tangenti
• primjena trigonometrije - teorem o sinusima i teorem o kosinusu (3.r.)
• stereometrija (3.r.) - računanje obujma geometrijskih tijela, crtanje presjeka tijela ravninom
• vektori (3.r.)
• analitička geometrija - koordinatna metoda (od 1.r.), krivulje drugog reda (na natjecanjima od 4.r.)
GEOMETRIJA
PREGLED TEMA
• najvažniji ishodi: dokaz egzistencije (eksplicitno i neeksplicitno), dokazivanje nemogućnosti određene situacije, prebrojavanje
• dodatna literatura:
• Mario Krnić, Dirichletov princip
• Maja Cvitković, Kombinatorika
• Darko Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika
• predavanja i vježbe iz kolegija Diskretna matematika, PMF-MO
• Titu Andreescu, Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems
• Jiri Herman et al., Counting and Configurations
• Pablo Soberón, Problem-Solving Methods in Combinatorics
KOMBINATORIKA
PREGLED TEMA
• logički zadaci
• Dirichletov princip
• prebojavanje
• invarijante
• princip ekstrema
• optimizacija (ekstremalna kombinatorika)
• matematička indukcija u kombinatornim zadacima (od 3. r. )
KOMBINATORIKA
PREGLED TEMA
• najvažniji ishodi: korištenje faktorizacije/djeljivosti, dokazivanje da diofantska jednadžbe nema rješenja
• dodatna literatura:
• Peter Vandendriessche, Hoojoo Lee, Problems in ElementaryNumber Theory (project PEN)
• Michael Th. Rassias, Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory
• Naoki Sato, Number Theory
• Dolinka, Elementarna teorija brojeva
• Andrej Dujella, Uvod u teoriju brojeva, skripta za istoimeni kolegij na PMF-MO
TEORIJA BROJEVA
PREGLED TEMA
• zadaci sa znamenkama, korištenje dekadskog sustava, kriterij djeljivosti sa 3 i 9
• djeljivost – djelitelji (broj, sparivanje), mjera, rastav na proste faktore
• Euklidov algoritam i linearne diofantske jednadžbe
• metoda faktorizacije
• metoda kvocijenta
• periodičnost ostataka potencija modulo n
TEORIJA BROJEVA
PREGLED TEMA
• kombinatorna geometrija
• primjena trigonometrije u geometriji
• analitička geometrija
• kombinatorna teorija brojeva
• geometrijska vjerojatnost
• itd.
INTERDISCIPLNARNE TEME
SMJERNICE ZA IZRADU BODOVNE SHEME
Idealna situacija: prvo vidjeti sve testove, a onda izraditi kriterije bodovanja
Samostalno riješiti zadatak
Prikupiti što više različitih rješenja
Odrediti ključne korake – lakše napraviti shemu s manjim rasponom bodova
Revidirati i usporediti bodovanja različitih rješenja
Pojasniti specifične situacije napomenama
ZADATAK IZ GEOMETRIJE
U konveksnom četverokutu ABCD vrijedi ∢BAD=50°, ∢ADB=80° i ∢ACB=40°. Ako je ∢DBC=30°+ ∢BDC, izračunaj ∢BDC.
ZADATAK IZ GEOMETRIJE
koje dodatne elemente možemo
docrtati? s kojim ciljem?
koje kutove možemo izračunati? pojavljuju
li se tetivni četverokuti?
je li trigonometrijskorješenje jednostavnije
ili složenije od sintetičkog?
ZADATAK IZ TEORIJE BROJEVA
Za prirodne brojeve a, b i prost broj p vrijedi a2+p2=b2. Dokaži da je 2(b+p) kvadrat nekog prirodnog broja.
ZADATAK IZ TEORIJE BROJEVA
postoji li „najprirodniji način” za rješavanje
ovog zadatka?
mora li učenik znati za Pitagorine trojke?
što čini zadatak teškim?
