INŽINERIJOS EKONOMIKAFinansiniai – ekonominiai sprendimai

TURINYS

INŽINERIJOS EKONOMIKA....................................................................................................................................................1

PRATARMĖ..................................................................................................................................................................................3

1. INŽINERINĖ VEIKLA IR JOS EFEKTYVUMAS.........................................................................................................4

2. KAŠTAI, JŲ KLASIFIKAVIMAS IR APSKAITA..........................................................................................................6

2.1. KAŠTŲ KLASIFIKAVIMAS......................................................................................................................................................72.2. KAŠTŲ APSKAITA................................................................................................................................................................112.3. GAMYBOS KAŠTŲ APSKAITA LIETUVOJE............................................................................................................................13KONTROLINIAI KLAUSIMAI........................................................................................................................................................14

3. KAPITALO PLANAVIMAS..................................................................................................................................................16

3.1. KAPITALO SAMPRATA. KAPITALO POREIKIO NUSTATYMAS.............................................................................................163.2. KAPITALO FINANSAVIMO ŠALTINIAI................................................................................................................................203.3 KAPITALO KAŠTAI............................................................................................................................................................27KONTROLINIAI KLAUSIMAI........................................................................................................................................................33

4. PALŪKANOS IR PALŪKANŲ SKAIČIAVIMAS..............................................................................................................34

4.1. PALŪKANOS IR PALŪKANŲ NORMA....................................................................................................................................344.2. UŽDIRBANČIOJI PINIGŲ JĖGA..............................................................................................................................................364.3. PINIGU VERTĖS KITIMAS LAIKE..........................................................................................................................................374.4. PAPRASTOS IR SUDĖTINĖS PALŪKANOS..............................................................................................................................374.5. PINIGŲ SRAUTŲ VAIZDAVIMAS LAIKE................................................................................................................................394.6. PAGRINDINĖS PALŪKANŲ FORMULĖS.................................................................................................................................404.7. PALŪKANŲ FORMULIŲ IR KOEFICIENTŲ TARPUSAVIO RYŠYS.............................................................................................444.8. NOMINALI IR EFEKTYVI PALŪKANŲ NORMA.......................................................................................................................454.9. PALŪKANŲ FORMULĖS, ESANT NEPERTRAUKIAMAM SUDĖJIMUI IR DISKRETINIAM MOKĖJIMUI.........................................48KONTROLINIAI KLAUSIMAI........................................................................................................................................................50

5. EKONOMINIO EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI............................................................................................51

5.1. EKVIVALENTIŠKUMO SAMPRATA........................................................................................................................................515.2. EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI, ĮVERTINANT VIENĄ FAKTORIŲ.................................................................................525.3. EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI, ĮVERTINANT PINIGŲ SRAUTUS..................................................................................585.4. EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI, ĮVERTINANT PINIGŲ SRAUTUS..................................................................................585.5. EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI, ĮVERTINANT OBLIGACIJAS........................................................................................635.6. EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI, ĮVERTINANT PASKOLAS............................................................................................65KONTROLINIAI KLAUSIMAI........................................................................................................................................................67

6. INFLIACIJA IR PINIGŲ PERKAMOJI GALIA................................................................................................................68

6.1. INFLIACIJOS MATAVIMAS IR TEMPAI..................................................................................................................................686.2. PERKAMOJI PINIGŲ JĖGA.....................................................................................................................................................696.3. INFLIACIJOS POVEIKIS PALŪKANŲ NORMAI........................................................................................................................71KONTROLINIAI KLAUSIMAI:.......................................................................................................................................................73

PRATARMĖ

Inžinerijos ekonomika (Engineering Economy) – tai finansų ir finansinių - ekonominių sprendimų

kursas, kuris skaitomas Amerikos techninio profilio universitetuose ir aukštosiose mokyklose. Leidinys

parengtas pagal to paties pavadinimo Fleischer G.A. ir Blank L.T, Targuin A.J. vadovėlius, išleistus 1984

m. Bostone ir 1989 m. Niujorke.

Čia pateikiami kaštų skaičiavimo pagrindai, kapitalo planavimo, turto įvertinimo, nusidėvėjimo ir

vertės padengimo klausimai, vertybinių popierių (akcijų, obligacijų) samprata ir kainos skaičiavimai,

palūkanų esmė, rūšys, jų dydžio nustatymo formulės, mokesčių sistemos, infliacijos ir pinigų

perkamosios galios ryšys. Didelis dėmesys skiriamas inžinerinių sprendimų finansiniam – ekonominiam

pagrindimui: ekvivalentiškumo sampratai ir nustatymui, alternatyvų įvertinimo metodams ir sprendimų

priėmimui, lyginant kelių investicinių projektų variantus, turto pakeitimo ir ekonomiško tarnavimo

trukmės nustatymui. Problemų analizė pateikiama per finansinius rodiklius, sprendimai įvertinami per

pinigų srautus. Minimizuojant finansinės krizės grėsmę, pateikiami racionalių sprendimų išrinkimo

matematiniai metodai, taikytini rizikos ir neapibrėžtumo sąlygomis bei konservatyvių veiksmų ir

sprendimų politikoje.

Inžinierius – techninės pažangos ir ateities kūrėjas, todėl nuo jo sugebėjimo priimti aukšto

techninio lygio, racionalius ir pelningus sprendimus žymia dalimi priklausys tautos išlikimas ir

materialinė gerovė. Išstudijavę šią medžiagą, jūs galėsite nesunkiai orientuotis painiame finansiniame –

ekonominiame gyvenime. Leidinyje nemažai gyvenimiškų pavyzdžių ir problemų sprendimų, todėl juo

gali naudotis ne tik esami ir būsimi inžinieriai, bet visi mąstantys ir aktyviai kuriantys savo asmeninę

gerovę žmonės. Įsigilinę į leidinyje pateiktas problemas, jūs suprasite plačiai žmonių tarpe naudojamų

posakių “laikas - pinigai” ir “ne piniguose laimė, bet jų kiekyje” mokslinę prasmę.

Leidinį “Inžinerijos ekonomika” parengė Kauno technologijos universiteto Vadybos fakulteto

Finansų katedros dėstytojai.

Kolektyvo vadovė ir atsakingoji redaktorė –

Docentė Idalija Matickienė

1. INŽINERINĖ VEIKLA IR JOS EFEKTYVUMAS

Inžinerinė veikla vykdoma ne dėl savęs pačios, bet yra nukreipta pastoviai augančių žmogaus

poreikių tenkinimui. Inžinerinė veikla turi mažiausiai 2 veiklos aspektus. Vienu aspektu, ji susijusi su

medžiagomis ir gamtos ištekliais bei jėgomis, antra vertus, inžinerinė veikla siejasi su žmogaus

reikmėmis ir poreikiais. Pastaruoju metu gamtos ištekliai pastebimai mažėja, todėl inžinerinė veikla turi

būti vykdoma glaudžiai ją siejant su ekonomika. Prieš priimant bet kurį ekonominį sprendimą, būtina

įvertinti jo kaštus / išlaidas ir kainą.

Technika – tai ne mokslas, o mokslo taikymo sritis, kur reikia kvalifikuotai ir įžvalgiai taikyti

turimas žinais. Inžinerinės veiklos metu matematiniai ir gamtos mokslai įgyja tyrinėjimų tikslus, patirtį, o

žmogaus poreikiai tenkinami ekonomiškai panaudojant medžiagas ir gamtos jėgas. Šis teiginys patvirtina

inžinerinės veiklos taikomąjį pobūdį.

Mokslo darbuotojai turimą žmonijos supratimą papildo susistemintomis žiniomis, suranda

universalius poelgių dėsnius. Inžinerinės veiklos paskirtis yra šias žinias panaudoti ypatingose situacijose

– produkcijos ir paslaugų gamybai. Inžinierius žinias panaudoja kaip neapdorotą medžiagą, iš kurios jis

formuoja, modeliuoja struktūras, sistemas produkciją. Inžinerinės veiklos metu atitinkamai derinant

medžiagas, jėgas ir žmogaus sugebėjimus, gaunamas pageidaujamas rezultatas.

Šiuolaikinis civilizuotas pasaulis glaudžiai susijęs su inžinerine veikla. Daugelis produkcijos ir

paslaugų rūšių, naudojamų palengvinti darbą ryšiuose, transporte, tiekime ir kitose žmogaus veiklos

srityse, yra tiesioginis inžinerinės veiklos rezultatas. Be kita ko, inžinerine veikla yra įrankis žmogaus

laisvalaikiui organizuoti. Pagaliau inžinerine veikla yra svarbiausias įrankis. Užtikrinantis nacionalinę

apsaugą ir nacionalinį išlikimą.

Mokslas yra inžinerinės veiklos kuriamos žmonijos pažangai pagrindas. Nepertraukiamai

vystantis mokslui ir plačiai paplitusiai inžinerinei veiklai, gyvenimo lygis turi keistis ir formuoti poreikį

tų dalykų, kurie žmogui kuria komfortą ir potraukį grožiui.

Inžinieriai tiesiogiai susiduria su dviem svarbiomis ir tarpusavyje susijusiomis sritimis – technine

(fizine) ir ekonomine. Techninės sferos sėkmė, gaminant produkciją ir teikiant paslaugas, priklauso nuo

techninių (fizinių) dėsnių žinojimo. Tačiau produkcijos / paslaugų vertė priklauso nuo jų naudingumo,

išreiškiamo ekonominiais rodikliais. Yra žinoma daug mašinų, sistemų, atitinkančių aukštą techninį lygį,

tačiau pasižyminčių žemomis ekonominėmis savybėmis.

Inžinieriai, žinodami tam tikrus techninius (fizinius) dėsnius, ruošia savo sprendimus. Šių dėsnių

dėka galima pakankami tiksliai kurti inžinerinės veiklos fizinius pavyzdžius, juos tobulinti ir gauti naujas

produkcijos ar paslaugų rūšis. Tačiau žymiai mažiau žinoma apie ekonominę sritį. Šitai lemia pirmiausiai

tas, kad ekonomika paima žmogaus veiksmus, todėl ekonominiai dėsniai yra tikslesni negu pavienių

žmonių ar kolektyvo elgesio nusakymas.

Inžinerinės veiklos įprastinė funkcija yra fizinės (techninės) srities elementų perstatinėjimas,

manipuliavimas, kuriant ekonominė srities naudingą rezultatą. Tačiau inžinieriai nelinkę vertinti

ekonominiu požiūriu ir praktinėje veikloje vengia analizuoti situacijas, kuriose tenka vadovautis

visapusiškai pagrįstais įvertinimais ir samprotavimais. Dalis inžinierių apsiriboja tik fizinių (techninių)

veiksnių įvertinimu, o inžinerinės veiklos ekonominius ir žmogiškuosius veiksnius palieka kitiems. Kiti

inžinieriai šiuos aspektus palieka nuošalyje už inžinerinės veiklos ribų. Viena to priežasčių yra tai, kad

inžinieriai mieliau taiko gerai suprastus fizinio pasaulio aspektus, kai tuo tarpu ekonominis mąstymas

jiems sukelia tam tikrų sunkumų.

Tačiau būtina akcentuoti, jog inžinieriai privalo sėkmingai orientuotis abiejose srityse – tiek

fizinėje (techninėje), tiek ekonominėje. Tai ir yra inžinierių ekonominio paruošimo tikslas, kad jie galėtų

efektyviai susidoroti su inžinerinės veiklos fizinėmis (techninėmis) ir ekonominėmis problemomis.

Kaip žinoma, tiek žmonės tiek įmonės turi ribotus išteklius. Todėl iškyla būtinumas su

minimaliomis sąnaudomis pagaminti daugiau produkcijos – tai yra dirbti kuo efektyviau.

Žmonės pastoviai stengiasi tenkinti savo poreikius. Todėl jie atsisako tam tikrų malonumų dėl

kitų, kuriuos labiau vertina. Iš esmės tai yra ekonominis procesas, kurio tikslas – maksimizuoti ekonominį

efektyvumą.

Inžinerinės veiklos taikymo tikslas yra iš sunaudoto išteklių vieneto gauti didžiausią galutinį

rezultatą. Šis teiginys išreiškia fizinį efektyvumą:

Ši formulė nusako inžinerinės veiklos sėkmę fizinėje (techninėje) srityje. Jau buvo minėta, kad

inžinierius privalo apkreipti dėmesį ne tik į fizinės, bet ir į ekonominės srities rezultatą. Jeigu fizinės

srities efektyvumas gali būti nustatytas dalijant rezultatą iš sąnaudų, išreikštų tokiais vienetais kaip

kilovatai, metrai, kilogramai. Kalorijos ir t.t., tai fizinis efektyvumas bus visuomet mažiau 1 arba mažiau

100 %.

Ekonominio efektyvumo išraiška gaunama ekonomiškai nustatytą rezultatą dalijant iš

ekonomiškai nustatomų sąnaudų. Kiekviena dedamoji pagal galimybę iš reiškiama bendru vardikliu –

pinigais. Ekonominis efektyvumas gali būti išreikštas:

Jeigu fizinis efektyvumas negali būti didesnis už 100 %, tai ekonominis efektyvumas gali ne tik

viršyti 100 %. Bet ir privalo būti toks kiekvienam sėkmingam sprendimui.

Fizinis ir ekonominis efektyvumas tarpusavyje susiję. Pavyzdžiui, elektrotechnikos įmonė privalo

duoti pelną ekonomine prasme net ir tuo atveju, jei anglies energijos pavertimo į elektros energiją fizinis

efektyvumas būtų sąlyginai žemas. Jeigu anglie energijos pavertimo į elektros energiją efektyvumas 35

%, gigakalorijos rezultatas elektros energijos išraiškoje turi 1465 mln. p.v. ekonominę vertę, o anglies

sąnaudų gigakalorijos vertė 180 mln. p.v., tuomet:

Ši išraiška parodo, jog fizinio rezultato vieneto ekonominė vertė visuomet turi būti didesnė už

fizinių sąnaudų vieneto vertę. Tai reiškia, kad ekonominis efektyvumas daugiau priklauso nuo kainos ir

išlaidų fizinio rezultato vienetui, negu nuo fizinio efektyvumo. Fizinis efektyvumas yra reikšmingas

visuomet, tačiau praktiškai realizuojamas tik tuo atveju, jeigu tai duoda ekonominę naudą. Taip gaunasi

todėl, kad inžinerinės veiklos funkcija yra naudingumo kūrimas ekonominėje srityje, keičiant fizinės sritie

elementus.

2. KAŠTAI, JŲ KLASIFIKAVIMAS IR APSKAITA

Galutinis inžinerinių sprendimų tikslas yra žmogiškų poreikių tenkinimas. Bet jie negali būti

tenkinami be išlaidų. Įvairūs inžineriniai sprendimai skiriasi reikalingų kaštų apimtimis. Įvertinti kaštais

inžineriniai sprendimai bus geriausi, jeigu jų galutinis rezultatas bus tolygus konkuruojantiems tikslams.

Ekonominėje analizėje yra sudaryta ir praktikoje naudojama daug įvairių kaštų klasifikavimo

schemų. Šie klasifikavimai naudingi analizuojant kaštų šaltinius ir galimas jų panaudojimo pasekmes.

Kaštai – tai panaudoti ištekliai / išlaidos tam tikram inžineriniam sprendimui įgyvendinti.

Įgyvendinant sprendimus, menedžeriams būtina žinoti įvairių objektų kaštus: produkcijos (paslaugos)

vieneto kaštus, mašinos darbo valandos kaštus ir pan. Kaštų objektai parenkami taip, kad būtų lengviau

priimti sprendimus. Užsienyje dažniausiai sutinkami tokie kaštų objektai:

1. Prekės;

2. Paslaugos

3. Gamybos operacijos;

4. Firmos eksploatacinės tarnybos;

5. Firmos funkcinės tarnybos ir t.t

Visi kaštai nesunkiai sugrupuojami į tris pagrindines grupes:

1. Materialinės vertybės ir joms prilyginami kaštai;

2. Darbo jėgos kaštai;

3. Pridėtiniai kaštai;

Toks kaštų skirstymas lengvai pritaikomas tiek didelėse įmonėse, firmose, kompanijose, tiek

mažose ir naudingas analizuojant jų veiklą.

2.1. Kaštų klasifikavimas

Pradiniai kaštai (Initial costs). Jie paima įmonės veikloje atsiradusius kaštus. Charakteringa tai,

kad pradiniai kaštai susideda iš daugelio elementų, kurie nepasikartoje nuo veiklos pradžios. Įsigytiems

įrengimams, aparatūrai, įrenginiams pradiniai kaštai apima pirkimo kainą, pristatymo išlaidas,

sumontavimo išlaidas. Pagamintų gaminių pradiniai kaštai apima inžinerinio projektavimo ir įsisavinimo

kaštus, bandymo ir tobulinimo kaštus, konstravimo ir gamybos kaštus ir t.t

Gamybos ir eksploatavimo kaštai (Operating and maintenance costs). Akivaizdu, kad pradiniai

kaštai atsiranda veiklos pradžioje, o vėliau formuojasi kita grupė kaštų – gamybos ir eksploatavimo

kaštai. Šiems kaštams priskiriama: gamybos ir eksploatacijos, personalo, darbo kaštai (Labour costs),

kuro ir jėgos kaštai (Fluel and powre costs), žymi dalis netiesioginių išlaidų (Inderect costs), gamybos ir

eksploatacijos aprūpinimo išlaidos (Operating and maintenance costs), atsargų ir remonto išlaidos

(Inventory and repairance costs), išlaidos draudimui ir mokesčiams (Insurance and taxes expense).

Minėtų kaštų atsiradimo laikas yra labai skirtingas, tačiau jie fiksuojami per visą įrengimų, aparatūros ar

įrenginių eksploatavimo laikotarpį.

Gyvenimo ciklo (Life cycle costs). Gaminių, tinklų, statinių ir kt. gyvenimo ciklas prasideda jų

poreikio esminiu identifikavimu ir baigiasi jų nurašymu, likvidavimu. Šis orientacinis veiklos laikas

apima tyrimus, planavimą, projektavimą – konstravimą, bandymą ir tobulinimą, gamybą, eksploataciją ir

išėmimą iš eksploatacijos. Aplamai, gyvenimo ciklas turi dvi dideles fazes: įsigijimą ir eksploatavimą.

Gyvenimo ciklo kaštai apima visas išlaidas: tiek grįžtančias, tiek negrįžtančias. Įsigijimo fazėje

negrįžtamos išlaidos yra padarytos ir jos sudaro įrengimo, statinio arba sistemos pradinius kaštus.

Eksploatavimo (naudojimo) metu yra padaromos grįžtamos išlaidos. Gyvenimo ciklo kaštų analizė apima

visas gyvenimo ciklo išlaidas ir ieškoma ekonominio balanso tarp įsigijimo ir eksploatavimo išlaidų.

Daug naudingų projektinių sprendimų gali būti priimta gyvenimo ciklo įsigijimo fazėje, kas leidžia

minimizuoti produkto naudojimo ir eksploatavimo išlaidas. Aplamai, pagrindinis tikslas yra minimizuoti

visus gyvenimo cikle susidarančius kaštus.

Kintami ir pastovūs kaštai (Variable and fixed costs). Kintami kaštai paprastai apibrėžiami kaip

išlaidos, kurios tam tikru santykiu kinta keičiantis gamybinei veiklai. Pavyzdžiui, kuro suvartojimas,

galima tikėtis, yra proporcingas pagamintos energijos kiekiui, sunaudotų dažų keikis proporcingas

nudažytam plotui. Gamyboje medžiagų kiekis sunaudotam produkcijos vienetui, galima tikėtis, kad liks

nepakitęs, todėl išlaidos medžiagoms kis tiesiogiai proporcingai produkcijos vienetų skaičiui. Aplamai,

tokie kaštai, kaip gamybinis darbas, pagrindinės medžiagos, gamybinė energija ir kt., kurios gali būti

aiškiai priskiriamos konkrečios produkcijos vienetui, yra priimta vadinti kintamais kaštais ir įmonės kaštų

balanse jiems skiriamas žymiai didesnis dėmesys nei pastoviems kaštams.

Taigi, kintamiems kaštams priskiriame tokias išlaidas:

1. Medžiagoms;

2. Darbo jėgai;

3. Įrankiams;

4. Įrengimų aptarnavimui;

5. Energijai.

Atskirai gali būti išskirti daliniai kintami kaštai, kuriems priskiriama:

1. Pagalbinių operacijų darbo jėgos išlaidos;

2. Apšildymo išlaidos;

3. Išlaidos pagalbinėms medžiagoms.

Pastovūs kaštai paprastai apima išlaidas, kurios dėl įmonės veiklos apimties pasikeitimo išlieka

sąlyginai pastovios ir, galima tikėtis, kad jos didės plečiantis veiklai. Dalis pastovių kaštų yra būtina turėti

firmos ateities veiklai.

Pastovius kaštus sudaro tokios išlaidos, kaip nusidėvėjimo ir amortizacijos, eksploatavimo,

mokesčiai, draudimas, nuomos mokesčiai, palūkanos už investuotą kapitalą, dalis administravimo išlaidų,

moksliniai tyrimai ir kt.

Pastovūs kaštai nesunkiai gali būti suskirstyti į tris grupes:

1. Pagrindinės išlaidos , kurios būtinos įmonės tam tikroms gamybinėms galimybėms sukurti;

2. Einamosios išlaidos, kurioms priskiriamos tam tikro laikotarpio išlaidos, o jų apimtys žymiai

priklauso nuo laikotarpio trukmės;

3. Vienkartinės išlaidos , kurios atsirado praeityje įmonės vadovybei priėmus sprendimą išplėsti

veiklą.

Išlaidų klasifikavimas į pastovias ir kintamas yra naudojamas tiesioginiu metodu skirstant išlaidas

konkretiems gaminiams / paslaugoms.

Prieaugio / padidėjimo ir ribiniai kaštai (Incremental marginal costs). “Ribinių” ir “prieaugio”

kaštų terminai atitinka tą pačią sąvoką. Paprastai atkreipiamas dėmesys į kaštų padidėjimą nuo vienų ar

kitų veiksnių, todėl išskiriami prieaugio kaštai produkcijos vienetui. Ribiniai kaštai remiasi gamybos

apimties augimu, kurie tiesiai padengiami gautomis piniginėmis įplaukomis.

Ribiniai kaštai – tai bendrųjų kaštų padidėjimas, padidinus gamybos apimtį vienu vienetu. Jie

apskaičiuojami kaštų pokytį padalinus iš gamybos apimtie pokyčio.

Pastovių ir kintamų kaštų kitimas priklausomai nuo gamybos apimties parodytas 2.1 paveiksle.

2.1. pav. Pastovūs, kintami ir ribiniai kaštai

Išpūsti prieaugio / padidėjimo kaštai gali sumenkinti pelno galimybes, antra vertus, nepakankamas

pelno / padidėjimo kaštų įvertinimas gali sąlygoti veiklos nuostolingumą.

Negrįžtamos išlaidos (Non – recurrent costs). Rengiant inžinerijos ekonomikos analizes,

sprendimų priėmėjas tikisi priimti priemones, kurios ateityje duotų naudą.Kadangi alternatyvių investicijų

ateities pasekmes gali paveikti einamieji sprendimai, svarbus studijų principas yra neįvertinti išlaidų

nukrypimus praeityje. Praeities kaštai arba negrįžtamos išlaidos yra tai, ko negali pakeisti ateities būsima

veikla.

Nors principas, kad negrįžtamos išlaidos gali būti neįvertintos, atrodo suprantamas, tačiau

daugeliui žmonių jį sunku pritaikyti. Pavyzdžiui, tarkime, kad Jūs prieš du metus pirkote 1000 akcijų po

26 p.v., o dabar vienos akcijos vertė 15 p.v. Galimas dalykas, kitos akcijos yra prieinamos dėl geresnės

ateities, nei Jūsų dabar turimos. Daugelis žmonių reaguoja į tokią situaciją toliau laikydami akcijas, kol

jos padengs jų patirtus nuostolius. Todėl jis vengia atvirai pripažinti savo nuostolius ir pasirinkto

sprendimo nesėkmę. Tačiau nuostolius galima kompensuoti parduodant turimas akcijas, o gautus dabar

pinigus produktyviai panaudoti ateityje.

Bendrieji ir vidutiniai kaštai (Total and average costs). Kaštai, kuriuos įmonė padaro

pagamindama tam tikrą kiekį produkcijos arba realizuodama tam tikras paslaugas, vadinami bendraisiais

kaštais. Šiuos kaštus padaliję iš produkcijos / paslaugų vienetų skaičius, gausime vidutinius arba

produkcijos / paslaugos vieneto kaštus.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 GAMYBA, VNT./D.

140

120

100

80

60

40

20

PAST

OV

ŪS

KA

ŠTA

I, P.

V.

GAMYBOS

KAŠTŲ

Savo ruožtu įmonės veiklos analizei gali būti naudojami tokie vidutinių kaštų rodikliai:

1. Vidutiniai bendrieji kaštai (Average total costa). Šie kaštai lygūs vidutinių kintamų ir vidutinių

pastovių kaštų sumai.

2. Vidutiniai kintami kaštai (Average variable costs) – tai kintamų kaštų ir produkcijos,

pagamintos per tam tikrą laikotarpį, santykis, parodantis, kiek kintamų kaštų tenka vienam

produkcijos vienetui.

3. Vidutiniai pastovieji kaštai (Average fixed costs) – pastovių kaštų ir produkcijos kiekio,

pagaminto per tam tikrą laikotapį, santykis, parodantis, kiek pastovių kaštų tenka vienam

produkcijos vienetui.

Tiesioginiai ir netiesioginiai kaštai (Direct and indirect costs). Tiesioginiai kaštai apima išlaidas,

kurių dydis priklauso nuo pagamintų gaminių kiekio ar gamybos sugaišto laiko. Tai tiesioginės išlaido

medžiagoms; tiesioginės išlaidos užmokesčiui; tiesioginės pridėtinės išlaidos.

Netiesioginiams kaštams priskiriamos išlaidos, kurių apimtis ne visuomet tiesiogiai priklauso nuo

pagamintos produkcijos kiekio ar sunaudoto darbo laiko (pagalbinės medžiagos, pagalbinių darbininkų

darbo užmokestis ir pan.).

Tos išlaidos, kurias galima priskirti konkrečiam gaminiui ar paslaugai, vadinamos tiesioginėmis

išlaidomis. Netiesiogines išlaidas priskaičiuoti produkcijos ar paslaugos vienetui tiesioginiu būdu

negalime.

Gaminio kaštai ir galutiniai / bendrieji kaštai (Product costs and period costs). Gamyba

(Manufacturing) yra medžiagų transformavimas į prekes, panaudojant darbą ir gamybinius pajėgumus.

Prekyba (Mrchandising) yra gaminių realizavimas.

Yra išskiriami 3 svarbiausi gatavų gaminių kaštų elementai:

1. Tiesioginės medžiagų išlaidos (Direct material costs). Tai visų medžiagų įsigijimo išlaidos,

kurios priskiriamos arba gali būti priskirtos gataviems gaminiams visais įmanomais

ekonominiais būdais. Tiesioginėms medžiagoms dažnai nepriskiriama tokios išlaidos, kaip

klijai arba smeigtukai. Tokios išlaidos vadinamos pagalbinėmis arba netiesioginėmis

medžiagomis (Supplies or inderect material) ir priskiriamos netiesioginėms gamybos

išlaidoms.

2. Tiesioginės darbo sąnaudos (Direct labor costs). Tai viso darbo, reikalingo gatavam gaminiui

ir kurį visais ekonominiais būdais galima apskaityti, apmokėjimas. Pvz., mašinų operatorių

arba surinkėjų darbo sąnaudos. Tos darbo sąnaudos, kurių negalima tiesiogiai priskirti

konkretiems gaminiams, vadinamos netiesioginėmis darbo (Indirect labor) sąnaudomis; pvz.,

kiemsargių arba sargybos darbuotojų darbo užmokestis.

3. Netiesioginės gamybos išlaidos (Indirect manufacturing costs) – tai visos kitos išlaidos,

susijusios su gamybos procesu. Prie šių išlaidų priskiriamos: 1. Įmonės pridėtiniai kaštai

(Factory burden). Tai išlaidos, kurios nėra betarpiškai susijusios su prekių gamyba ar paslaugų

teikimu, tačiau būtinos, norint patenkinti vartotojų paklausą; 2. Gamybos išlaidos

(Manifacturing expenses); 3. Pridėtinės išlaidos (Factory overhead), kurios gali būti:

3.1. Kintamos (energija, atsargos);

3.2. Pastovios (nuoma, draudimas, amortizacija, turto mokestis (Proporty tax), kontrolierių alga ir

pan.)

Įvairiai sumuojant minėtus svarbiausius gaminio kaštų elementus, gaunama gamybos kaštai

(Prime costs) ir perskaičiuoti kaštai (Conversion costs):

Didelės gamybinio profilio kompanijos papildomai įvertina administravimo ir pardavimo išlaidas.

2.2. Kaštų apskaita

Įmonės metinės veiklos pobūdis atsispindi apibendrintame pelno rodiklyje. Tačiau šio rodiklio

nepakanka gilesnei įmonės veiklos analizei. Tam tikslui būtina turėti gamybos išlaidų sąmatą, sudaromą

pagal įvairias gamybos kaštų apskaitos schemas. Gamybos išlaidų apskaita sudaro prielaidas:

1. Įvertinti įmonės veiklos rezultatus, kurie išreiškiami įplaukų už realizuotą produkciją /

paslaugas ir išlaidų jai pagaminti skirtumu. Analizės patogumui išlaidos gali būti apskaičiuotos

pagal išlaidų rūšis, išlaidų vietas ir išlaidų objektus;

2. Kontroliuoti išlaidų panaudojimo naudingumą. Tam tikslui faktinės išlaidos lyginamos su jų

normatyvais arba limitais;

3. Užtikrinti įmonės menedžerių rengiamų ir priimamų sprendimų informacinį aprūpinimą.

Nuo apskaitomų išlaidų rūšies yra skiriama planinių, normatyvinių ir faktinių išlaidų apskaita.

Apskaitai gali būti pasitelkiama pilna arba nepilna informacija. Todėl pagal išlaidų apimtį gali būti

pilna arba dalinė apskaita. Tai priklauso nuo sprendžiamų tikslų. Šiek tiek detaliau apsistosime

prie kaštų apskaičiavimo pilnų išlaidų bazėje.

1. Gamybos išlaidų sąmata pagal išlaidų rūšis. Apskaitant įmonės tam tikro laikotarpio išlaidas,

analizės tikslams jas galima sugrupuoti pagal įvairius požymius:

1. Išlaidų rūšis – medžiagos, darbo jėga ir t.t;

Tiesioginės išlaidos medžiagoms

Tiesioginės darbo išlaidos

Pridėtinės išlaidos

Kintamos pridėtinės išlaidos

Pastovios pridėtinės išlaidos

Gamyboskaštai

Perskaičiuotikaštai

2. Išlaidų pastovumas – kintamos ir pastovios išlaidos;

3. Išlaidų nustatymo vietos – gamyba, aprūpinimas ir realizavimas (marketingas), moksliniai

tyrimai ir t.t.

4. Išlaidų sudėtingumas – vienarūšės ir kompleksinės.

Yra nusistovėjusios gamybos išlaidų apskaičiavimo pagal ekonominių išlaidų elementus praktika,

kai apjungiamos įvairiose įmonės veiklos srityse susidariusios vienarūšės išlaidos. Yra priimi tokie

ekonominiai išlaidų elementai:

1. Medžiagos ir žaliavos

1.1. pagrindinės

1.2. pagalbinės

2. Kuras ir energija iš šalies

3. Darbo užmokestis

4. Priskaitymai socialiniam draudimui

5. Amortizacija

6. Kitos išlaidos

Gamybos išlaidų apskaita pagal ekonominius išlaidų elementus nėra tobula, nepilnai atitinka

rinkos reikalavimus. Pavyzdžiui, “kitos išlaidos” apima daug įvairių išlaidų. Laivos rinkos

sąlygomis naudojamos ir kitos gamybos išlaidų apskaitos pagal išlaidų rūšis schemos.

2. Išlaidų apskaita pagal susidarymo vietas. Ši išlaidų apskaitos schema nustato, kur ir kokio

dydžio išlaidos susidaro. Šiai schemai charakteringa tai, kad nustatytas bendrąsias išlaidas

tenka paskirstyti atskirų produkcijos / paslaugų rūšių vienetui, atskiroms darbo vietoms arba

kiekvienam įmonės padaliniui. Čia susiduriama su problema, kuo remiantis skirstyti

bendrąsias išlaidas, pavyzdžiui, kaip remonto išlaidas paskirstyti atskiriems įrenginiams,

pagrindiniams cechams. Tas pat su bendraūkinėmis išlaidomis, kitomis išlaidomi ir pan. Tam

gali būti naudojami įvairūs vertiniai ar fiziniai rodikliai: natūriniai vienetai, mašinų valandos

ar jų koeficientai. Atidirbtas laikas, išlaidos pagrindiniam darbo užmokesčiui ir kt. Būtina

pasirinkti tokus kriterijus, kurie daro didžiausią įtaką skirstomoms bendrosioms išlaidoms.

3. Išlaidų apskaita pagal gaminamus objektus. Pagal šią išlaidų apskaitos schemą sudaroma

gaminių / paslaugų išlaidų kalkuliacija pagal šiuos straipsnius:

1. Pagrindinės medžiagos

2. Komplektiniai gaminiai

3. Pagalbinės medžiagos

4. Transporto – sandėliavimo išlaidos (K)

5. Grįžtamos atliekos (-)

6. Kuras technologiniams reikalams

7. Energija technologiniams reikalams

8. Pagrindinių gamybinių darbininkų darbo užmokestis

9. Priskaitymai socialiniam draudimui

10. Naujų gaminių įsisavinimo išlaidos (K)

11. Specialių įrankių ir prietaisų susidėvėjimas

12. Įrengimų išlaikymo ir eksploatavimo išlaidos (K)

13. Cechinės išlaidos (K)

Cechinė savikaina

14. Bendragamyklinės išlaidos (K)

Gamyklinė savikaina

15. Negamybinės išlaidos (K)

Pilnoji savikaina

Pagal šią kalkuliaciją galima nustatyti kokių ir kiek išlaidų tenka atskiram gaminiui / paslaugai.

Čia vėl iškyla kompleksinių išlaidų priskyrimo konkrečiam gaminiui problema. Šios išlaidos

schemoje pažymėtos raide K.

Laisvosios rinkos šalyse naudojama kiek kitokia gaminio / paslaugos kalkuliacija:

1. Medžiagos

2. Medžiagos paruošimo išlaidos

3. Gamybinis darbo užmokestis

4. Gamybos išlaidos

5. Valdymo išlaidos

6. Realizavimo išlaidos

Gamybos išlaidų apskaita dalinių išlaidų bazėje skiriasi nuo skaičiavimų pilnų išlaidų bazėje tuo,

kad įvertinamos ne visos išlaidos, o dažniausiai tik kintamos išlaidos. Priklausomai nuo tikslų kitos

išlaidos arba vertinamos sustambintai arba iš viso nevertinamos. Yra naudojami įvairūs metodai/ Vienas

iš jų tiesioginių išlaidų apskaitos metodas, kurio esmė yra ta, kad gaminiams / paslaugoms priskiriamos

tik tiesioginės išlaidos, kintančios proporcingai gamybos apimčiai. Dažniausiai įvertinamos išlaidos

medžiagoms, darbo užmokesčiui, energijai, remontui, nusidėvėjimui.

Galimi kiti šio metodo variantai, kai papildomai įvertinamos pastovios išlaidos ir pan.

2.3. Gamybos kaštų apskaita Lietuvoje

Lietuvos respublikos Finansų ministerija 1991 m. birželio 28 d. raštu Nr.80 N nustatė, kad

sutinkamai su Juridinių asmenų pelno mokesčio įstatymu įmonės, mokančios pelno mokestį,

apmokestinamąjį pelną apskaičiuoja iš bendrųjų įplaukų atimant šiuo faktiškus gamybos ir cirkuliacijos

kaštus:

1. materialinės ir joms prilygstančios sąnaudos;

2. Amortizaciniai atskaitymai visiškam pagrindinių fondų atstatymui;

3. Išlaidos darbo apmokėjimui;

4. Įmokos socialiniam draudimui;

5. Privalomo draudimo įmokos;

6. Žemės ir pridėtinės vertės mokesčiai;

7. Palūkanos už banko kreditą;

8. Išlaidos gamtos apsaugai.

Materialinėms ir joms prilygstančioms sąnaudoms priskiriamos atitinkamos išlaidos, kurios

apskaitomos pagal šiuos elementus:

- žaliavos ir pagrindinės medžiagos (atskaičius grįžtamas atliekas);

- pirkti gaminiai, pusfabrikačiai, gamybinio pobūdžio darbai ir paslaugos;

- pagalbinės medžiagos;

- kuras;

- energija;

- kitos išlaidos.

Išlaidos darbo apmokėjimui apima visas darbo užmokesčio formas bei visus įstatymo numatytus

išmokėjimus, išskyrus iš akcinių bendrovių pelno mokamus metinius išmokėjimu, o taip pat pagal

nuostatus mokamas premijas iš pelno (tantjemas).

Kontroliniai klausimai

1. Gamybos kaštų vaidmuo priimant inžinerinius sprendimus.

2. Pateikite pradinių kaštų pavyzdžius.

3. Kuo gamybos ir eksploatavimo kaštai skiriasi nuo pradinių kaštų?

4. Koks svarbiausias kintamų kaštų bruožas?

5. Raskite pastovių kaštų pavyzdžių.

6. Pakomentuokite ribinių kaštų esmę.

7. Kokius žinote vidutinių kaštų rodiklius?

8. Koks tiesioginių ir netiesioginių kaštų esminis skirtumas?

9. Nurodykite gamybos kaštų ir perskaičiuotų kaštų elementus.

10. Kam reikalinga gamybos kaštų apskaita?

11. Išvardinkite ekonominius išlaidų elementus/

12. Kokius žinote išlaidų kalkuliacijos straipsnius?

13. Pakomentuokite išlaidų kalkuliacijos kompleksinius straipsnius

14. Nurodykite laisvosios rinkos šalių gaminio kalkuliacijos straipsnius.

15. Kokios išlaidos sudaro gamybos ir cirkuliacijos kaštus Lietuvoje?

16. Kas sudaro materialines ir joms prilygstančias išlaidas?

3. KAPITALO PLANAVIMAS

3.1. Kapitalo samprata. Kapitalo poreikio nustatymas.

Kapitalas (Capital) – tai lėšos, naudojamos įmonės turtui ir jos veiklai finansuoti. Įmonės turtas

(Assets) ir nuosavybės (Equity) struktūra, turimo nuosavybės turto šaltiniai ir įsipareigojimai (Liability)

pateikiama įmonės buhalteriniame balanse. Klasikinė apskaitos lygybė teigia:

Įmonės turtas = skolintojų nuosavybė + savininkų nuosavybė.

3.1 pav. parodyti pinigų ir medžiagų srautai įmonėje. Kad pradėti veiklą, būtinas tam tikras

kapitalas: nuosavas (akcininkų nuosavybė) ar skolintas. Suformavus kapitalas, įsigyjamas turtas. Turtas

tai visa įmonės nuosavybė, įsigyta tam, kad ją naudojant ateityje, būtų uždirbtas pelnas. Turtas gali būti

įvairių formų:

1. Materialus (pastatai, žemė, įrengimai, prekės);

2. Nematerialus (juridinė teisė);

3. Ilgalaikis;

4. Trumpalaikis.

Ilgalaikis turtas (Long-term assets). Jį galima sugrupuoti į:

1. Gamybinės priemonės (Fixed assets);

2. Finansinės investicijos (Financial investment);

3. Nematerialus turtas (Intangible assets).

Gamybinės priemonės – tai daugelį metų įmonės ūkinėje – gamybinėje veikloje naudojamas

turtas. Planuojant kapitalą, būtina įvertinti žemę. Ji apima faktinės žemės ūkio valdos, kuri naudojama

įmonės ūkinėje veikloje, kainą.

Formuojant kapitalą, yra apskaičiuojama, kiek reikės, kad pastatytume pastatus ir statinius, kad

įsigytume įrengimus, mašinas, transporto priemones, prietaisus, skaičiavimo techniką, įrankius, inventorių

ir kitas pagrindines priemones.

Pagrindinis kapitalas pastatams ir statiniams:

Kpast = Km + Kstm + Kpr , (3.1)

Čia Km – kapitalo įdėjimai medžiagoms;

Kstm – kapitalo įdėjimai statybos – montavimo darbams;

Kpr – kapitalo įdėjimai projektavimui.

Pagrindinis kapitalas įrengimams apskaičiuojamas, įvertinant gamybinę programą, įrengimų

skaičių. Įrengimų skaičius pagal grupes skaičiuojamas:

3.1 pav.:Pinigų ir medžiagų srautai įmonėje

- turtas

- įsipareigojimai ir akcinis kapitalas

PA

RD

AV

IM

AS

P I N I G A I

MOKESČIŲMOKĖJIMAS

PALŪKANŲMOKĖJIMAS

DIVIDENDŲMOKĖJIMAS

AKCININKŲNUOSAVYBĖ

S K O L A

AKCIJŲ IŠLEIDIMAS

PASKOLOS ĖMIMAS

PADENGIMAS

PASKOLOS PADENGIMAS

PIRKIMOAPMOKĖJIMAS

PRISKAIČIUOTASATLYGINIMAS

PAGRINDINĖSPRIEMONĖS

KREDITINISĮSISKOLINIMAS

DEBITORINISĮSISKOLINIMA

S

PAGRINDINIŲPRIEMONIŲĮSIGIJIMAS

IŠM

OK

ĖJIM

AS

GATAVAPRODUKCIJA

NEBAIGTAGAMYBA

MEDŽIAGOSIR

ATSARGOS

GAMYBA: DARBO

JĖGA

ĮSIGIJIMAS KREDITAN

NU

SID

ĖVĖJ

IMA

S

(3.2)

čia

G – gamybinė programa, vienetais;

tvnt – laiko norma produkcijos vienetui pagaminti, h/vnt;

Tef – efektyvus metinis vieno įrengimo darbo laiko fondas, h/m;

kn – planuojamas normų įvykdymo koeficientas.

Gamybiniai plotai preliminariai gali būti apskaičiuojami:

(3.3)

čia

V – įrengimo užimamas gamybinis plotas, m2

Dažniausiai pagal įrengimų skaičių ir jų tipą nustatoma prietaisų, įtaisų, įrankių ir inventoriaus

kiekis. Tuo tikslų yra sudaromos specialios norminės lentelės, kuriose yra pateikiami šie pagrindinių

fondų elementai. Transporto priemonių skaičius yra nustatomas, įvertinant transportuojamų vertybių

svorį, transporto keliamąją galią, transportavimo laiką ir ridos išnaudojimo koeficientą. Ypatingas

dėmesys skiriamas skaičiavimo technikos (ESM) poreikio nustatymui, įvertinant darbų apimtis, mašinų

skaičiavimo laiką, skaičiavimo technikos galimybes ir kt.

Pagrindinių priemonių įsigijimo kaštai arba pridėtinė vertė (First cost) , gaunama įvertinant

pagrindines priemones tomis kainomis, kuriomis jie buvo pirkti pagal pardavėjo pateiktą sąskaitą pridėjus

jų pristatymo – transportavimo, sandėliavimo, montavimo – derinimo (įrengimams) išlaidas.

Įmonė pagrindines priemones numato naudoti daugelį metų. Kai pagrindinės priemonės

nenaudingos, jos gali būti parduotos, išmainytos ar išmestos kaip netinkamos.

Planuojant kapitalą, būtina įvertinti gamtinių išteklių kainas, t.y. teisės naudotis gamtiniais

ištekliais įsigijimo kainą.

Privilegijų, prestižo, patentų vertė taip pat nustatoma pagal tam tikrų teisių, privilegijų ar tam

tikros naudos savininkui įsigijimo kainą. Pavyzdžiui, patentų įsigijimas, prekių ženklai, įmonės prestižo

kaina.

Ilgalaikį turtą taip pat sudaro delsimo kainos, atspindinčios įvairias privilegijų ir leidimų kainos

kategorijas. Pavyzdžiui, teisinis įforminimas, licencijos įsigijimas ir panašiai.

Pagrindinės priemonės nusidėvi. Tai ilgalaikis turto vertės sumažėjimas dėl to, kad jos

naudojamos fiziškai nusidėvi arba tiesiog pasensta, nes atsiranda modernesnių, veikia laiko veiksnys.

Todėl gamybinių priemonių pirkimo kaina turi tapti išlaidomis, kurias reikia paskirstyti ilgam naudojimo

laikotarpiui, per kurį uždirbamos pajamos.

Trumpalaikis turtas (Current assets). Juo paprastai laikomi grynieji pinigai, jų ekvivalentai ir toks

turtas, kuris artimiausiu metu – ne vėliau kaip per metus – gali būti paverstas grynaisiais pinigais. Įprasta

trumpalaikį turtą vadinti apyvartiniu turtu. Jį sudaro: grynieji pinigai, rinkos vertybiniai popieriai,

debitinis įsiskolinimas, gamybinės atsargos, būsimos išlaidos.

Grynaisiais pinigai (Cash) laikomi ne tik pinigai kasoje, bet ir banko čekiai, piniginės perlaidos ir

kiti analogiški dokumentai. Rinkos vertybiniai popieriai – tai trumpalaikės laikinai laisvų įmonės pinigų

investicijos. Parastai jie užsienyje investuojami perkant komercinius įmonių arba vyriausybinius

vertybinius popierius. Kadangi šių pinigų gali greitai prireikti atsiskaitymui, svarbiausia, kad juos būtų

galima skubiai parduoti biržoje.

Debitinis įsiskolinimas (Accounts receivable) – tai pirkėjų įsiskolinimas už prekes arba neprekinis

(nekomercinis) įsiskolinimas. Apskritai tai pinigai, , kurių dar negavo įmonė iš savo klientų už jiems

pateiktas prekes ar paslaugas. Pirkėjams paprastai nustatomas 30, 60 arba 90 dienų sąskaitų apmokėjimo

terminas. Pirkėjų įsiskolinimą gali sudaryti ir tokios skolos, už kurias yra mokamos palūkanos. Būsimųjų

laikotarpių išlaidos yra labai mažos ir tai yra išlaidos, kurios padaromos prieš gaunant atitinkamą

paslaugą ar teisę, kuria bus pasinaudota, pavyzdžiui, draudimo mokesčiai yra apmokami prieš prasidedant

padengimo periodui.

Gamybinės atsargos (Inventory) prekes gaminančiose ir paslaugas teikiančiose įmonėse, paprastai

sudaro nemažą turto dalį. Tai žaliavos ir medžiagos, pusgaminiai ir gatavi gaminiai, tinkami parduoti.

Gamybinės atsargos yra įvertinamos pagal jų savikainą arba rinkos kainą. Į buhalterinį balansą jos

įrašomos mažesne suma, kuri turi būti adekvati pinigams, kuriuos šiuo metu būtų galima gauti už

parduotas atsargas. Gamybinių atsargų sudėtis priklauso nuo įmonės veiklos pobūdžio.

Įmonės poreikis apyvartiniam kapitalui (Current assets) yra nustatomas atskirai pagal atskirus

elementus.

Apyvartinis kapitalas atsargose apskaičiuojamas pagal formulę:

(3.4)

čia KG – apyvartinis kapitalas, reikalingas įvykdyti gamybinę programą;

Ka – apyvartinio pasikeitimas laikotarpio pabaigoje, lyginant su laikotarpio pradžia.

Apyvartinio kapitalo kiekis gamybinėse atsargose skaičiuojamas pagal formulę:

(3.5)

čia Fd - medžiagų vienos dienos sąnaudų vertė, p.v.;

nd – planinės atsargų normos, dienomis;

i – naudojamų medžiagų kiekis.

Planines atsargų normas sudaro: einamosios, draustinės, technologinės ir sezoninės atsargos.

Tačiau šiuo metu dažniausia įvertinamos tik einamosios atsargos, jei nėra specifinių įmonės reikalavimų.

Apyvartinio kapitalo kiekis nebaigtoje gamyboje tiesiogiai priklauso nuo gamybos apimties,

gamybos ciklo trukmės, produkcijos nomenklatūros ir išlaidų augimo gamyboje koeficiento ir

apskaičiuojamas pagal formulę:

(3.6)

čia Gp – vienos dienos prekinės produkcijos apimtis, p.v.;

Tc – gamybos ciklo trukmė, dienomis;

ka – išlaidų augimo gamyboje koeficientas.

Apyvartinio kapitalo kiekis gatavai produkcijai gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

(3.7)

Gp – planuojama prekinė produkcija, p.v.

TS – dienų skaičius, reikalingas produkcijai planuoti ir partijai surinkti, dienomis;

Tpl – planinio laikotarpio dienų skaičius.

Bendras poreikis apyvartiniam kapitalui apskaičiuojamas pagal formulę:

(3.8)

Iš 3.1 paveikslo matome, kad įmonė turėdama pinigų įsigyja atsargas ir medžiagas grynais arba

kreditais ir gamina produkciją su turimomis pagrindinėmis priemonėmis ir naudodama samdomą darbo

jėgą. Gatava produkcija gali būti parduodama grynais arba kreditan, kuris vėliau padengiamas, ir įmonei

įplaukia pinigai už atliktus darbus ir pagamintą produkciją. Normaliai dirbančioje įmonėje, realizavus

produkciją, gaunama pinigų suma žymiai didesnė negu ta, kurią turėjo pradėdama veiklą. Dalis šių pinigų

panaudojama tolesniam gamybos vykdymui, o kita dalis sunaudojama mokesčių ir palūkanų mokėjimams

ir jei dar lieka, tai išmokami dividendai už privilegijuotas ir paprastąsias akcijas.

3.2. Kapitalo finansavimo šaltiniai

Įmonėms yra prieinama labai didelė finansavimo metodų ir šaltinių įvairovė. 3.2 pav. pateikti

įmonės finansavimo šaltiniai, kuriuos gali pasirinkti įmonė formuodama kapitalą. Kapitalo finansavimas

(Capital finansing) gali būti ilgalaikis, trumpalaikis bei nuomos būdu ir įmonės gali pasirinkti įvairius

finansavimo šaltinius ir metodus tuo pačiu metu. Įmonės turto finansavimo šaltiniai yra pateikiami

buhalterinio balanso dešinėje pusėje: skolintojų nuosavybė arba kreditiniai įsiskolinimai ir savininkų

nuosavybė.

Trumpalaikis (skolos) finansavimas (Short-term financing) – tai trumpalaikės skolos, kurias

įmonei reikia sumokėti per vienerius metus. Jos naudojamos finansuoti trumpalaikį turtą, dažniausia tai

trumpalaikiai įsiskolinimai naudojami prekių, paslaugų tiekėjams, įsiskolinimai tiekėjams už jau u\dirbtą,

bet dar neišmokėtą atlyginimą, banko kreditai, vekseliai ir vertybiniai popieriai, kurie gali būti greit

realizuojami, taip pat uždirbtos, bet dar jiems neišmokėtos palūkanos, pensijos, nesumokėti mokesčiai ir

kitokios skolos.

Poreikis trumpalaikiam finansavimui atsiranda periodiškai; tai susiję su apyvartinio kapitalo

apyvartos ciklu. Yra išskiriamas nuolatinis ir laikina apyvartinis kapitalas ir trys finansavimo politikos:

1. Konservatyvi finansavimo politika, kai įmonė kaupia didelius atsargų, vertybinių popierių ir

pinigų kiekius, o jų panaudojimas neefektyvus;

2. Nuosaiki politika, kai įmonėje atsargos auga proporcingai produkcijos realizavimo augimui;

3. Agresyvi politika, kai įmonė stengiasi pasiekti maksimalų realizuojamos produkcijos kiekį su

minimaliomis apyvartinėmis lėšomis. Tai susiję su didele rizika, bet minimizuojamos

įšaldomos lėšos, sumažėja sandėliavimo išlaidos, paskolų palūkanos ir panašiai.

Trumpalaikio finansavimo privalumai yra greitas paskolų gavimas, lankstumas ir žemi kaštai,

lyginant su ilgalaikėmis paskolomis. Tačiau reikia pažymėti, kad trumpalaikių palūkanų normų

svyravimai yra žymiai didesni, lyginant su ilgalaikėmis paskolomis, bet žymiai didesnė rizika, kad

trumpalaikė paskola nebus pratęsta.

Trumpalaikio finansavimo šaltiniai:

1. Trumpalaikiai banko kreditai (Line of credit), kurie gali būti suteikti paskolų ir vekselių forma.

Vekseliai (Note) – tai ekonominiai įsipareigojimai, kurie išduodami 90 dienų.

2. Komerciniai kreditai (Commercial paper) ir vekseliai. Komerciniai kreditai – tai skolos tarp

įmonių parduodant kreditan, dažnai su tam tikromis sąlygomis. Komerciniai vekseliai – tai

didelių firmų skoliniai be garantijų, kurių galiojimas nuo 2 iki 6 mėnesių.

3. Kreditai su užstatu (Collateralized loans). Įmonė gali gauti paskolą, užstatydama

(garantuodama) savo atsargomis arba debitiniu įsiskolinimu.

4. Debitinio įsiskolinimo ir atsargų faktoringas (Factoring receivables and inventory).

Faktoringinės paslaugos suteikiamos ”be finansavimo” ir “su finansavimu”. Pirmu atveju

įmonė gauna atitinkamą pinigų sumą, suėjus mokėjimo laikui (per 30 – 90 dienų). Antruoju –

gali reikalauti skubiai apmokėti sąskaitą, nepriklausomai nuo mokėjimo termino. Tuo atveju ji

gauna kreditą išankstinio pristatytų prekių apmokėjimo pavidalu. Dažniausiai skubiai

apmokama 80 – 90 % nurodytos sąskaitoje sumos. Likusi dalis padengiama suėjus mokėjimo

terminui. Naudojant faktoringą, įmonė gauna apmokėjimo garantiją. Faktoringo paslaugų vertė

jungia du elementus: komisinius (procentais nuo sąskaitos vertės) ir procentus, mokamus

išankstinio apmokėjimo atveju.

pav. 3.2 : Įmonės finansavimo šaltiniai

Ilgalaikės paskolos

Garantuotos paskolos

Negarantuojamos paskolos

Paprastos akcijos

Privilegijuotos akcijos

Nepaskirstytas pelnas

Vekseliai

KreditasVekseliai

KreditasDebitorinio įsiskolinimo užstatymas

Atsargų užstatymas

Paskolos

Vertybiniaipopieriai

Nuosavybė

Finansinis

Operatyvus

Banko kreditas

Komerciniai kreditai

Kreditai su užstatu

Debitinio įsiskolinimoIr atsargų faktoringas

Trumpalaikiai

Lizingas (nuoma)

Ilgalaikiai

F i n a n s a v i m os p r e n d i m a i

Įmonės ilgalikį finansavimą apsprendžia ilaglaikės banko paskolos, vertybinių popierių išleidomas

ir savininkų nuosavybė.

Ilgalaikis finansavimas (Long-term financing). Ilgalaikes skolas sudaro tik tokios, kurias reikia

grąžinti vėliau nei po metų nuo jų gavimo.

Ilgalaikės skolos gali būti kelių tipų:

1. Ilgalaikė terminuota paskola (Term loan) gaunama iš banko ar draudimo kompanijų.

2. Garantuotos paskolos (Secured) – tai skolos, kurios garantuojamos pagrindinėmis

priemonėmis, kurias bendrovės užstato kaip įkaitą, sudarydamos įkaitinius raštus.

3. Negarantuotos paskolos(Unsecured) – reikalavimą apmokėti apsaugo ta nuosavybės dalis, kuri

niekaip kitaip neužstatyta.

Vertybiniai popieriai (Convertible security) – tai kredito forma, leidžianti emitentui – įmonei

skolininkei – kapitalo rinkoje gauti reikalingų piniginių lėšų. Išleidžiamos obligacijos (Bond) duoda

galimybę emitentui gauti piniginių lėšų tik atitinkamam periodui, apribotam paskolos terminu. Jam

pasibaigus, emitentas privalo padengti savo skolą.

Vienas iš kapitalo finansavimo šaltinių gali būti nuoma arba lizingas (Lease), kuris buhalterijoje

rašomas kaip skola. Lizingas – tai mašinų, įrengimų, transporto priemonių, skaičiavimo technikos, taip

pat gamybinės paskirties pastatų, statinių nuoma, kurią atlieka bankai arba jų dukterinės firmos –

lizinginės kompanijos. Įmonė nuomininkė turi teisę įsigyti šį turtą pagal iš anksto nustatytą kainą. Šiuo

atveju gamybos priemonės panaudojamos maksimaliai naudingai be didelių vienkartinių išlaidų. Lizingo

sutartyje numatoma: nuomos terminas, nuomos suma ir jos apmokėjimo periodiškumas, įrengimų

draudimo sąlygos, įvairūs variantai, pasibaigus sutarčiai ir kitos sąlygos. Lizingas yra labai populiarus. Jis

suteikia 100 % finansavimą, dėl ko paspartėja kapitalo investicijos, leidžia išvengti nuostolių, susijusių su

įrengimų moraliniu nusidėvėjimu – pasibaigus sutarčiai, įmonė gali išsinuomoti modernesnę techniką.

Išskiriama:

1. Finansinė arba kapitalo nuoma (financial lease), kuri pilnai amortizuojasi per įrengimų

tarnavimo laiką ir kuria neapimamas aptarnavimas;

2. Operatyvinė nuoma (Operating lease), kai nuomotojas eksploatuoja ir aptarnauja nuomojamas

pagrindines priemones, o eksploatacinės išlaidos įskaitomos į nuomos mokėjimą. Tokios

sumos dažniausiai pilnai neamortizuojamos ir gana dažnai nuomininkui suteikiama teisė

anuliuoti sutartį prieš jos pabaigą.

Sudėjus visas skolas – trumpalaikes ir ilgalaikes – gaunama bendra skolų suma.

Savininkų nuosavybė (Owner’s equity). Tai įmonės savininkų finansinė teisė į įmonės turtą.

Pirminę teisę į įmonės turtą turi skolintojai, o padengus skolas likęs turtas tenka jos savininkams.

Pažymėtina, kad dvi visiškai vienodos įmonės į balansą gana skirtingai gali įrašyti savininkų nuosavybę,

jei skiriasi jų apskaitos politika.

Savininkų nuosavybę buhalteriniame balanse atspindi 4 rodiklių grupės:

1) įmonės turimas leidimas tam tikro tipo akcijoms išleisti;

2) į apyvartą išleistų akcijų skaičius;

3) nominalinė vertė ir faktiška akcijų kaina;

4) nepaskirstytas pelnas.

Kapitalo akcijos (Stock). Tai ir yra savininkų – akcininkų – nuosavybės teisė. Nuosavybę liudija

akcijų pažymėjimai – sertifikatai, kuriuos korporacija išduoda parduodama akcijas. Išleidžiamos į

apyvartą akcijos yra skirstomos į rūšis ir klases.

Privilegijuotos akcijos (Prefeffed stock). Šios rūšies akcijos nuo kitų skiriasi jų savininkams

suteikiamomis išimtinėmis teisėmis į įmonės turtą ir dividendus. Nustatytas privilegijuotų akcijų

dividendas reiškia, kad jį tikrai gaus akcijų savininkai, jei Įmonės Direktorių taryba paskelbia dividendų

paskirstymą. Kaupiamieji akcijų dividendai – tai tokie, kurie bus išmokėti vėliau, jei kuriais nors metais

jie yra neišmokėti. Tik išmokėjus kaupiamuosius dividendus, dividendai skirstomi kitokių akcijų

savininkams. Gana dažnai privilegijuotų akcijų savininkams nesuteikiama balsavimo tiesė akcininkų

susirinkime.

Paprastosios akcijos (Common stock). Paprastųjų akcijų savininkai kasmet gali gauti vis kitokį

dividendų procentą. Jų padėtis dividendų atžvilgiu gali būti blogesnė už privilegijuotų akcijų savininkų,

kai įmonė neturi pakankamai pelno, arba geresnė, kai įmonė jiems išmoka daug didesnius dividendus.

Paprastųjų akcijų savininkai daugiau rizikuoja, bet gali daugiau ir uždirbti.

Priimant ilgalaikio finansavimo sprendimus, įmonės stengiasi apimti rinką kuo plačiau,

išleisdamos skirtingų rūšių vertybinius popierius, atsižvelgdama į rizikos ir pelno normos santykį,

būdingą konkrečių rūšių vertybiniams popieriams. (3.3 pav.).

Čia įvertinami tokie veiksniai:

1. Siekiama optimali įmonės kapitalo struktūra.

2. Finansavimo šaltinių prioritetiškumo tvarka.

3. Vertybinių popierių terminų tarpusavio priklausomybė.

4. Palūkanų normos lygiai.

5. Emisijos išlaidos.

6. Kontraktų įsipareigojimai.

7. Įmonės finansinė būklė.

3.3 Kapitalo kaštai

Norint gauti gerų rezultatų, siekiant maksimizuoti įmonės vertę, jos vadovai turi minimizuoti visų

PAPRASTOS AKCIJOS NEGARANTUOTOS OBLIGACIJOS GARANTUOTOS OBLIGACIJOS

PRIVILEGIJUOTOS AKCIJOS

ILGALAIKIAI VALSTYBĖS VERTYBINIAI POPIERIAI

TRUMPALAIKIAI IŽDO VEKSELIAI

TAUPOMOJO BANKO SĄSKAITOS

3.3 pav. Ataskirų rūšių vertybinių popierių rizika ir pelno normos.

įdėjimų, įskaitant ir kapitalo, kaštus. Įmonei priimant kapitalo investicijų (Capital investments)

sprendimus, maksimizuojant pelną, priimant kitokio pobūdžio sprendimus, susijusius su lizingu, paskolų

ir obligacijų padengimu, būtina žinoti kapitalo kaštus (Capital cost).

Ilgalaikės paskolos, privilegijuotos ir paprastosios akcijos įskaitant ir nepaskirstytą pelną

(Retained earnings) yra pirminiai kapitalo didinimo šaltiniai, tai yra sumos, kurios įtraukiamos

skaičiuojant kapitalo kaštus (WACC – weighted average cost of capital). Trumpalaikės skolos paprastai

naudojamos kaip laikina parama, atstatant apyvartinį kapitalą, todėl į jas neatsižvelgiama, skaičiuojant

kapitalo kaštus.Tačiau jei įmonė sąmoningai naudoja trumpalaikes paskolas, kaip savo ilgalaikio

(pastovaus) finansavimo dalį, tada tokia paskola turi būti įtraukta, nustatant kapitalo kaštus. Be to,

trumpalaikių paskolų naudojimas finansuoti ilgalaikes investicijas yra labai rizikinga procedūra ir ja retai

naudojasi sėkmingai veikiančios įmonės.

Taigi, kapitalas yra būtinas, kaštus turintis gamybos organizavimo veiksnys. Apskaičiuojami

kiekvieno komponento kaštai: skoloms, privilegijuotoms akcijoms, nepaskirstytam pelnui ir naujai

išleistoms paprastosioms akcijoms.

PELN

O N

OR

MA

, PR

OC

ENTA

IS

RIZIKA INVESTUOTOJAMS

Įsipareigojimų kaštai

Kiekvienai įmonei būdingos savitos įsipareigojimų (įsiskolinimų) rūšys (Liabilities). Tarkim, kad

įmonė papildo kapitalą išleisdama naujas 20 metų paskolų obligacijas. Specialistai nustatė, kad obligacijų

išleidimas reikalauja 10% kupono palūkanų normos ir kad šios obligacijos turėtų būti pasiūlytos

visuomenei už 1000 p.v. kiekviena.

Obligacijas išleidusi įmonė moka nustatytą palūkanų sumą kartą per metus ar pusmetį ir tai yra

mokėjimai pagal kuponą. Mūsų atveju kasmet palūkanos sudarys 100 p.v.

Įsipareigojimų kaštai (kds) apskaičiuojami, įvertinant mokesčius:

(3.9)

čia kd – palūkanų norma naujai paskolai;

T – vidutinė mokesčių norma (29 %)

Tada įsipareigojimų kaštai:

Jei įmonė naudoja privilegijuotas akcijas kaip ilgalaikio finansavimo dalį, tai reikia žinoti, kad

dauguma privilegijuotų akcijų išleistos be nustatyto termino ir turi tokį požymį, kaip reikalavimą

apmokėti pateiktus, ar kokią kitą sąlygą. Privilegijuotų akcijų dividendai, kaip ir paprastųjų akcijų

dividendai, nėra apmokestinami. Tik išmokėjus privilegijuotų akcijų dividendus, gali būti mokami

dividendai už paprastąsias akcijas.

Tarkim, kad įmonė galėtų pardavinėti privilegijuotas akcijas su sąlyga gauti 9 % metinių

palūkanų. Jei vienos akcijos vertė 100 p.v., tada metinis dividendas bus 9 p.v.Jei privilegijuotos akcijos

išlaidos išleidimo išlaidos 2.5 % nuo vertės, tai įmonė pardavus vieną akciją gaus 97.5 p.v., o jos

įsipareigojimai bus apmokėti 9 p.v. dividendų už kiekvieną akciją per metus.

Taigi, privilegijuotų akcijų kaštai (kp) apskaičiuojami:

(3.10)

čai Dp – metinis privilegijuotos akcijos dividendas;

Pn – kaina, kurią įmonė gauna išleisdama akcijas.

Tada

Paprastosios akcijos kaina

Kapitalas dėl paprastųjų akcijų gali būti formuojamas dviem būdais: 1) per nepaskirstytą pelną, 2)

išleidžiant naujas paprastąsias akcijas.

Nepaskirstyto pelno kaštai

Nepaskirstytas pelnas – tai toji pelno dalis, kuri išmokama akcininkams ir papildomai

investuojama į įmonės ūkinę veiklą. Paprastosios akcijos kaštai, suformuoti iš nepaskirstyto pelno, yra

pelno norma ks, kurią akcininkas gauna už paprastąją akciją. Apskaičiuoti ks nėra taip paprasta. Praktikoje

naudojami trys metodai:

1. Pagrindinio kapitalo kainos modelis (CAPM – Capital Asset Pricing Model);

2. Diskontuoto pinigų srauto modelis (DCF – Discounted Cash Flow);

3. Obligacijų pajamų ir rizikos priedo apskaičiavimas.

Įmonės nustatydamos savo kapitalo kaštus paprastosioms akcijoms naudoja visus minėtus

metodus, nors visi jie turi trūkumų.

1. Pagrindinio kapitalo kainos modelio metodu (CAPM) pelno normos ks apskaičiuojama:

(3.11)

čia kRF – pelno norma, išlaisvinta nuo rizikos;

b – įmonės akcijų koeficientas beta arba rizikos indeksas;

kM – laukiama pelno norma rinkoje.

Šis metodas priima. Kad paprastųjų akcijų savininkai susiję tik su rinkos rizika.

Nustatant kRF priimama, kad tik valstybės iždo vertybiniai popieriai yra laisvi nuo įsipareigojimų

nevykdymo rizikos, todėl skaičiavimuose priimama ilgalaikių valstybinių obligacijų pelno norma

konkrečiu laikotarpiu.

Laukiamą pelno normą rinkoje (kM) galima nustatyti tik prognozės būdu, pavyzdžiui, JAV

specialiosios konsultacinės firmos ją skelbia kas du mėnesiai.

Akcijos koeficientas (b) yra jos santykinio nepastovumo, lyginant su vidutine akcija, rodiklis. Beta

yra nustatoma panaudojant akcijų charakteristikos tiesę, kuri gaunama kaip tiesinės regresijos tarp

buvusio akcijos pelno ir buvusio akcijos pelno ir buvusio rinkos pelno indekso išraiška. Tokiu būdu bus

gaunamas istorinis beta. Kadangi ateities rizika yra pakankamai artima praeities rizikai, šio indekso

naudojimas pateisinamas. Turint tam tikrą statistinių duomenų bazę, galima gauti ir sureguliuotą beta

koeficientą, o jei dar įvertiname įmonės veiklos ir kapitalo struktūros pokyčius, gausime pagrindinį beta

koeficientą. Skirtingais būdais gauti rizikos indeksai būna skirtingi. Pavyzdžiui, jei firmos sureguliuotas

beta lygus 1.03, o istorinis 1.16, jei kRF = 8.2%, o kM=14%, tai pagrindinio kapitalo kainos modelio

metodu (CAPM) apskaičiuoti nepaskirstyto pelno kaštai svyruoja nuo 14.2% iki 14.9%.

2. Diskontuoto pinigų srauto modelio (DCF) metodu apskaičiuojama laukiama pelno norma:

(3.12)

čia D1 – akcijos dividendas;

P0 – tikroji akcijos rinkos vertė;

g – dividendų prieaugio norma.

Jei tikimasi, kad akcijos pelno normos prieaugis bus pastovus, tada pagal Gordono modelį:

(3.13)

Sunkiausia apskaičiuoti dividendų prieaugio normą g. Ją galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei pelno ir dividendų prieaugio normos stabilios ir tikimasi, kad jos išliks, priimame istoriškai

pasiektą;

2. Jei pelno dalis skirta paprastoms akcijoms ir akcijos pelnas išliks tas pats, be to įmonė neišleis

naujų paprastųjų , arba, jei išleis, naujos akcijos bus parduotos nominalia kaina, dividendų

prieaugio normą galima apskaičiuoti:

g = b r, (3.14)

čia b – įmonės pelno dalis, kurią ji tikisi išlaikyti;

r – laukiamas akcijos pelnas.

3. Prognozės būdu.

Tarkim, jei įmonė nustatė, kad buvusi dividendo prieaugio norma g = 7%, prognozuojant g =

7.8%, o akcijos kaina 28 p.v. būsimas metinis dividendas – 2 p.v., tai:

Nepaskirstyto pelno kaštai svyruoja nuo 14,1% iki 14,9%.

3. Obligacijų pajamų ir rizikos priedo apskaičiavimas. Šis metodas mažiausiai tikslus.

, (3.15)

čia Vobl – obligacijos pajamos;

RP – rizikos priedas.

Obligacijos pajamas galima lengvai rasti ar apskaičiuoti, žinant obligacijų palūkanų normą.

Rizikos priedas gali būti apskaičiuotas tyrimų pagrindu arba diskontuotų pinigų srautų pagrįstais

metodais. Per daugelį metų nustatyta, kad investitoriams reikia 3-5% priedo akcijai virš kompanijos

obligacijų pajamų, o vidutinė vertė sudaro 3,6%.

Įvairiais metodais nustačius ks, jie palyginami ir dažniausiai surandamas vidutinis dydis, kuris ir

panaudojamas skaičiavimuose.

Naujai išleistų paprastųjų akcijų kaina

Jeigu įmonė vystosi taip greitai, kad nepaskirstyto pelno neužtenka, ji privalo padidinti savo

kapitalą, parduodama naujai išleistas paprastąsias akcijas.

Akcinio kapitalo, padidinto parduodant naujas akcijas, kaštai apskaičiuojami:

, (3.16)

čia F – akcijų išleidimo išlaidų koeficientas.

Naujai išleistų akcijų savininkai tikėsis tokio paties dividendo, kaip ir seniau išleistų akcijų

savininkai, bet įmonė dėl akcijų išleidimo išlaidų gaus mažiau pajamų, parduodama naujas akcijas. Tokiu

būdu ke > ks.

Naujai išleistų paprastųjų akcijų kaštams nustatyti naudojamas diskontuoto pinigų srauto modelis

(DCF).

Tarkim, kad akcijų išleidimo išlaidos sudarys 15% nuo akcijos vertės, g = 7%; D1 = 2 p.v.; P0 = 28

p.v., tada

,

.

Taigi, papildomos išleidimo išlaidos padidino išleidimo kaštus 1,3%.

Kapitalo kaštų svertinis vidurkis

Kiekviena įmonė planuoja kapitalo struktūrą, kuri apibendrinama kaip įsiskolinimų, privilegijuotų

ir paprastųjų akcijų kapitalo derinys. Tradicinė įmonių finansų teorija teigia, kad įmonės buhalterinis

balansas rodo optimalią kapitalo struktūrą. Optimali kapitalo struktūra – tai toks procentinių skolų,

privilegijuotų akcijų ir paprasto akcinio kapitalo santykis, kuris maksimizuoja įmonės akcijų kaštus.

Racionali, vertės maksimalizavimu suinteresuota įmonė, nustato siekiamą (optimalią) kapitalo struktūrą ir

per tam tikrą laikotarpį, kaupdama kapitalą, stengiasi išlaikyti faktinę kapitalo struktūrą.

Kapitalo kaštų svertinis vidurkis (WACC – Weighted Average Cost of Capital) apskaičiuojamas:

WACC = Ka = Wdkd (1 – T) + Wpkp + Ws(ks arba ke), (3.17)

čia Wp, Wd, Ws – svarumo koeficientai, nusakantys skolų, privilegijuotų ir paprastųjų akcijų

lyginamąjį svorį kapitalo struktūroje.

Svarumo koeficientai nustatomi dviem būdais:

1. Pagal balansinę kapitalo vertę;

2. Pagal rinkos vertę.

Tarkim, kad įmonės tikslas yra tokia kapitalo struktūra:

60% - paprasto akcinio kapitalo, 30% - skolų ir 10 % - privilegijuotų akcijų. Jei kd = 10%; T =

29%; kp = 9,2%; ks = 14,5%, tai

WACC = Ka = 0,3*10*0,71 + 0,1*9,2 + 0,6*14,5 = 2,13 + 0,92 + 8,70 = 11,75%.

Gautas atsakymas 11,75 rodo kapitalo kaštų svertinį vidurkį, o taip pat papildomus ribinius

kapitalo kaštus MCC (Marginal Cost of Capital).

Ribiniai kapitalo kaštai

Jei įmonės kapitalo struktūra yra tikslinė, tai kiekvienas naujas arba ribinis (papildomas) piniginis

vienetas taip pat įtraukiamas, išlaikant tą pačią kapitalo struktūrą. Jei įmonės kapitalo kaštų svertinis

vidurkis 11,75%, tai kiekvieno naujo piniginio vieneto vidutiniai svertiniai kaštai bus 11,75%.

Tačiau, jei įmonė plečiasi taip greitai, kad nepaskirstyto pelno neužtenka reikiamam kapitalui

sukaupti, tai išleidžiamos naujos paprastos akcijos. Pirmasis lūžio taškas (Break point) – tai tokia kapitalo

apimtis , kuri parodo bendrą įmonės finansų sumą, kurią ji gali sukaupti iki parduodant naujas

paprastąsias akcijas. Tarkim, kad naujų išleistų paprastųjų akcijų kaštai ke = 15,4%, tada

WACC = Ka = 0,30*10*0,71 + 0,10*9,2 + 0,6*15,4 = 2,13 + 0,92 + 9,24 = 12,29%.

Taigi, išleidus naujas paprastąsias akcijas kapitalo kaštų svertinis vidurkis pakito nuo 11,75% iki

12,29%.

Dabar surasime lūžio tašką, t.y. kapitalo apimtį, prie kurios keičiasi kapitalo kaštų svertinis

vidurkis.

Tarkim, kad įmonė tikisi gauti per metus 10 mln. p.v. pelno. Dividendais išmokamo pelno dalis

sudaro 45%, vadinasi, pelno išsaugojimo koeficientas b = 0,55 ir nepaskirstyto pelno suma įmonėje

sudarys 5,5 mln. p.v. Jeigu žinoma, kad 60% nuo apimties sudarys naujo nepaskirstyto pelno suma, o

40% - privilegijuotos akcijos ir skolos, tada

0,6 = 5,5 * 106

= 9 166 666 p.v.

Kiekvieno piniginio vieneto vidutiniai svertiniai kaštai yra 11,75% tol, kol įmonė pasiekia bendrą

9 166 666 p.v. sumą. Jei įmonė padidino savo naują kapitalą daugiau 9 166 666 p.v., kiekvieno papildomo

piniginio vieneto 0,6 dalį sudarys parduotų naujai išleistų paprastųjų akcijų, kurių kaštai 15,4%, vertė.

Taigi: Ka padidės iki 12,29%.

Kapitalo kaštai taip pat auga, augant įsiskolinimų kaštams arba privilegijuotų akcijų kaštams, arba

didėjant akcijos išleidimo išlaidoms, išleidžiant vis daugiau naujų akcijų, t.y. ribinio kapitalo kaštų MCC

kreivėje gali būti keli lūžio taškai. Ribinio kapitalo kreivei daro įtaką ir nusidėvėjimas.

Kontroliniai klausimai

1. Kas sudaro įmonės turtą?

2. Kas nulemia įmonės ilgalaikio turto dydį?

3. Kuo skiriasi ilgalaikis ir trumpalaikis įmonės turtas?

4. Kaip apskaičiuojamas apyvartinis kapitalas?

5. Kokie yra įmonės finansavimo šaltiniai?

6. Kas tai yra kapitalo nuoma arba lizingas?

7. Kokie vertybiniai popieriai yra mažiausiai rizikingi ir kurie daugiausia?

8. Ar veikia skolos kaštų mokesčiai?

9. Kuo pasižymi privilegijuotos akcijos ir jų kaštai?

10. Kokie veiksniai turi įtakos paprastosios akcijos kainai?

11. Kaip gali būti suformuotas įmonės kapitalas?

12. Kas tai yra optimali kapitalo struktūra?

13. Ką parodo ribiniai kapitalo kaštai?

4. PALŪKANOS IR PALŪKANŲ SKAIČIAVIMAS

4.1. Palūkanos ir palūkanų norma

Palūkanų terminas (Interest) naudojamas apskaičiuoti finansinių institucijų nustatomų pajamų

dydį už pinigų panaudojimą (skolinimą). Palūkanos – tai tam paskolintų pinigų prieaugis. Šis ekonominis

prieaugis dėl pinigų panaudojimo pasireiškia tuo, kad pinigams laikinai suteikiama tam tikra vertė.

Žinant, kad inžineriniams projektams būtinos piniginės investicijos, svarbu, jog ta laikina pinigų vertė

būtų teisingai nustatoma ir taikoma šių projektų įvertinimui.

Palūkanų norma (Interest Rate), kuri dar vadinama paskolintų pinigų renta, rentos pajamomis,

kapitalo kaina, kapitalo augimo įkainiu ir kt. – tai procentinis dydis (rečiau naudojamas koeficientas),

kuris parodo, kad kiekvienas paskolintas piniginis vienetas tam tikro laikotarpio metu (paprastai per

vienerius metus) turi būti susigrąžintas su palūkanos normos dydžio prieaugiu. Tokiu būdu 14% palūkanų

norma reiškia, kad paskolintas 1 p.v. turi būti grąžintas su 0,14 piniginio vieneto priedu (koeficientu 1,14)

per nustatytą laikotarpį. Palūkanų normos dydis nustatomas abipusiu susitarimu tarp imančio paskolą

(skolininku) ir ją duodančio (kreditoriaus). Palūkanų normos dydį lemia rinka per pasiūlą ir paklausą,

infliacijos lygis, valstybės vykdoma ekonominė politika ir kt.

Iš vienos pusės, palūkanos yra suma pinigų, gautų už paskolintą kapitalą, kuris investuojamas į

nekilnojamą turtą, naudojamas medžiagoms, žaliavoms pirkti. Taip gautos palūkanos tampa pajamomis.

Iš kitos pusės, palūkanos gali virsti išlaidomis, jei jos išmokamos skolininkui.

Palūkanų norma kreditoriaus požiūriu. Žmogus (kreditorius), turintis tam tikrą pinigų kiekį,

susiduria su įvairiomis jų panaudojimo alternatyvomis. Galimi tokie atvejai:

1. Pinigus panaudoti prekėms ar paslaugoms įsigyti, kurie tenkina jo asmeninius poreikius;

2. Panaudoti prekių ir įrankių ar įrengimų gamybai, t.y. gamybinei veiklai;

3. Kaupti pinigus, jaučiant iš to pasitenkinimą ir laukiant reikiamo momento tolimesniam jų

panaudojimui;

4. Skolinti pinigus, reikalaujant nustatytą dieną grąžinti skolą;

5. Skolinti pinigus su sąlyga, kad skolininkas tam tikrą dieną grąžins pradinę sumą su

atitinkamomis palūkanomis;

6. Žmogus numatys infliacijos augimą didesnį negu šiandien galima palūkanų norma ir pasirinks

1-mą arba 2-rą alternatyvą, žinodamas, kad toks pasirinkimas ateityje atneš daugiausia naudos.

Jeigu žmogus (kreditorius) nuspręs skolinti pinigus su viltimi gauti papildomas pajamas, tai būtina

įvertinti daugiau palūkanų normą apsprendžiančių veiksnių:

1. Kokia yra tikimybė, kad skolininkas negrąžins pinigų? Atsakymas turi sekti iš skolininko

reputacijos, poelgių, sąžiningumo, turimo turto dydžio. Jei šansai, kad paskola nebus grąžinta,

lygus 4 iš 100, tai nustatoma 4% norma nuo sumos, kad kompensuoti pinigų praradimo riziką;

2. Kiek bus išleista pinigų kliento analizei, prieš suteikiant jam paskolą? Jeigu skolinama 1000

p.v. vieneriems metams ir kreditorius minėtas pastangas įvertina 40 p.v., tuomet bus nustatytas

4% įkainis analizės išlaidoms kompensuoti;

3. Kokia suma kompensuoja atimtą-prarastą galimybę pasirinkti kitą pinigų panaudojimo

alternatyvą?

Tarkime, kad 8 p.v. 100-ui p.v. bus priimama kaip pakankama kompensacija, nagrinėjant prarastų

investavimų galimybę, t.y. 8%.

4. Kokia tikimybė, kad palūkanų norma pasikeis dėl infliacijos poveikio? Jeigu tikimasi

infliacijos didėjimo per paskolos laiką, tai tinkamas bus didesnė norma, ir atvirkščiai, jei

infliacija mažės.

Išnagrinėto pavyzdžio pagrindu, nenagrinėdami infliacijos poveikio, galima sakyti, kad tikėtina

palūkanų norma bus: (4 + 4 + 8) = 16%. Taigi, palūkanų norma gali būti suprantama kaip susidedanti iš

procentų už riziką prarasti pinigus (1), administracinių išlaidų (2), kompensavimo kitų investavimo

galimybių praradimo (3) ir kt. Be abejo, palūkanų normos dydis daugiausiai ir tiesiogiai priklauso nuo

infliacijos lygio. Apie tai bus kalbama toliau.

Palūkanų norma skolininko požiūriu. Daugeliu atveju skolininkui alternatyvos skolintų lėšų

panaudojimui apribojamos kreditoriaus, kuris galai reikalauti, kad paskola būtų panaudota tik

atitinkamiems tikslams. Atmetus apribojančias paskolos sąlygas, skolininkas turi iš esmės tas pačias

pinigų panaudojimo alternatyvas kaip ir asmuo, kuris turi pinigus savo nuosavybėje. Tačiau skolininkui

yra būtina sąlyga sugrąžinti paskolintą sumą ir palūkanas nuo jos pagal paskolos sutartį arba turėti

nuostolius. Nuostoliai gali būti: reputacijos praradimas, turtiniai nuostoliai arba areštuojami būsimieji

uždarbiai. Visuomenė žymia dalimi veikia teisiškai ir socialiai, priversdama skolininką mokėti skolą.

Nesilaikymas sutarties sąlygų gali būti pražūtingas skolininkui.

Skolininko požiūris į palūkanų normą yra veikiamas tikslo, kuriam skolinami pinigai. Jei asmuo

skolina lėšas asmeniniams tikslams, mokamos palūkanos bus matas sumos, kurią asmuo norės mokėti už

privilegiją turėti pasitenkinimą iškart vietoj tuo, kad turėti tai ateityje.

Jei lėšos skolinamos finansuoti priemones, kurių rezultate tikimasi pelno, palūkanos turi būti

mažesnės, nei tikimasi pelno. Pavyzdžiu gali būti bendra bankų ir paprastų įmonių praktika: vienų

kredituojančių, o kitų skolinančių lėšas. Šiuo atveju akivaizdu, kad sumokama suma palūkanų pavidalu +

+ rizika + administracinės išlaidos turi būti mažesnė, nei palūkanos gautos už paskolas, kad operacijos

būtų pelningos. Skolininkas turi siekti paskolinti lėšas esant įmanomai mažiausiai palūkanų normai.

Jeigu skolinimosi metu yra infliacija, skolininkas apsvarstys jos poveikį dabartinei palūkanų

normai. Tuo atveju, jeigu infliacija auga, apsimoka skolintis, ypatingai jeigu infliacijos norma viršija

palūkanų norma. Atvirkščiai, esant defliacijai, skolintos lėšos yra ypač sunki našta, nes palūkanų norma

viršija infliacijos normą. Šias priklausomybes paaiškina pinigų uždirbančioji jėga.

4.2. Uždirbančioji pinigų jėga

lėšos skolinamos, kad gauti pelną, paprastai yra išleidžiamos prekių, paslaugų ar gamybos

priemonių pirkimui. Tai ir yra pagrindas išnagrinėti uždirbančiąją pinigų galią (Earning power of money),

kuri sukuria prielaidas skolinti pinigus ir padaryti paskolą naudinga.

Išnagrinėkime tokį pavyzdį. Darbininkas rankiniu būdu kasa griovius požeminiam kabeliui. Už tai

jis gauna 0,4 p.v. 1 linijinei pėdai ir vidutiniškai iškasa 200 linijinių pėdų per dieną. Oro sąlygos riboja šio

pobūdžio darbą iki 180 dienų per metus. Taigi, jo įplaukos (pajamos) sudaro 80 p.v. per darbo diena arba

14400 p.v. per metus.

Iš reklamos jis sužinojo, kad parduodamas ekskavatorius už 8000 p.v. jis gali nusipirkti

ekskavatorių pasiskolinęs 8000 p.v., esant 16% palūkanoms. Mašina per dieną vidutiniškai iškas 800

linijinių pėdų. Jeigu jis sumažins vienos linijinės pėdos kainą iki 0,30 p.v., tai gali gauti pakankamai

darbo mašinos apkrovimui tam laikui, kai tik leis orai.

Įvertinti eksploatavimo ir išlaikymo kaštai ekskavatoriui yra 0,4 p.v. per 1 dieną. Metų pabaigoje

mašina taps bevertė, nes ji susidėvės. Apibendrinus gaunama:

Pajamos

Iškasto griovinio kaina

(180 dienų × 800 pėdų × 0,30 p.v.) 43200

Viso pajamų: 43.200

Išlaidos

Ekskavatoriaus įsigijimas 8000

Eksploatacija ir išlaikymas

(180 dienų × 0,4 p.v.) 7200

Palūkanos už paskolą 8000 × 0,16 1280

Viso išlaidų: 16.480

Pajamos viršija išlaidas 26.720

Uždarbio padidėjimas, lyginant su praėjusiais metais:

26720 – 14400 = 12320 p.v. patenkina darbininką.

Šis pavyzdys rodo tai, kas yra vadinama “uždirbančioji pinigų jėga”. Tai buvo gamybos įrankis –

ekskavatorius, kuris įgalino darbininką padidinti savo uždarbį. Paskolinti pinigai įgalino įsigyti gamybos

įrankį.

Kiti taip pat išlošia, kai gamybos įrankiai naudingai pritaikomi. Visuomenė išlošia, kai kasami

grioviai po 0,3 p.v. vietoje 0,4 už 1 linijinę pėdą. Taip pat padidėja mokesčių pajamos dėl didesnių

darbininko pajamų. Padidėjęs našumas dėl įrengimo panaudojimo padaro visas šias naudas įmanomomis.

4.3. Pinigu vertės kitimas laike

kadangi pinigai gali atnešti tam tikras pajamas – palūkanas dėl jų investavimo atitinkamam laiko

tarpui, tai p.v., gautas tam tikru būsimu laiko momentu, nėra tiek vertas, kaip p.v.. turimas rankose

esamuoju metu. Ši priklausomybė tarp palūkanų ir laiko veda prie pinigu vertės kitimo laike sampratos

(Time value of money).

P.v. turimas rankose dabar yra vertas daugiau, nei p.v. gautas po n metų. Kodėl? Kadangi

turėdami p.v. dabar, sudarome galimybę investuoti p.v. n metų daugiau, nei p.v. gautą praėjus n metų.

Kadangi pinigai turi uždirbančiąją jėgą, ši galimybė gali uždirbti pelną taip, kad po n metų pradinė p.v.

suma plius palūkanos bus didesnė suma negu 1 p.v. gautas tuo metu. Taigi, faktas, kad pinigai keičia savo

vertę laike reiškia, kad vienoda pinigų suma skirtingais laiko momentais turi skirtingą vertę tokiu dydžiu,

kiek palūkanų norma, kurią galima uždirbti, viršija nulį.

Esant infliacijai, prekių kiekis, kurį galima įsigyti už uždirbtą pinigų sumą, ateityje mažėja. Nors

šie pasikeitimai perkamojoje galioje yra labai svarbūs, tačiau pinigų vertės kitimas laike dažniausiai yra

siejamas su tuo faktu, kad pinigai turi uždirbančiąją jėgą.

4.4. Paprastos ir sudėtinės palūkanos

Palūkanų norma pinigų sumai paprastai išreiškiama kaip procentinė dalis sumos, sumokama už

pinigų naudojimą vienerių metų laikotarpiu. Palūkanų normos gali būti skiriamos ir kitiems laiko tarpams,

vadinamiems palūkanų laikotarpiais. Palyginkime paprastų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo būdus,

akcentuojant pinigų vertės kitimą laike.

Paprastosios palūkanos (Simple Interest). Palūkanos, kurios mokamos paskolą grąžinant yra

proporcingos laiko tarpui, kuriam pagrindinė suma yra skolinama. Uždirbamos palūkanos yra

apskaičiuojamos taip: tegu I rodys palūkanas uždirbtas nuo P pradinės sumos, n - palūkanų laikotarpis, i -

palūkanų normos. Tada: I = P * n * i.

Tarkime, kad 1000 p.v. yra pasiskolinama esant 18% metinių paprastų palūkanų. Pirmų metų

pabaigoje palūkanos bus:

I = 1000 * (1) * (0,18) = 180 p.v.

Pagrindinė suma su palūkanomis bus 1180 p.v.ir priklauso išmokėti metų pabaigoje.

Paskola su paprastomis palūkanomis gali būti apskaičiuojama bet kokiam laikotarpiui. Kai yra

būtina paskaičiuoti palūkanas už dalį matų, yra nagrinėjama metai, susidarantys iš 12 mėnesių po 30

dienų, t.y. 360 dienų. Pavyzdžiui, 100 p.v. paskolai, esant 18% metinių palūkanų normai, nuo vasario

mėn. 1 d. iki balandžio 20 d. kartu su pradine 100 p.v. suma. Tai bus: 0,18 (100) (80 / 360) = 4 p.v.

Sudėtinės palūkanos (Compound Interest). Kai paskola paimama keliems palūkanų laikotarpiams,

palūkanos yra skaičiuojamos kiekvieno laikotarpio pabaigoje. Tuo būdu yra keli paskolos grąžinimo

būdai: galima mokėti palūkanas kiekvieno laikotarpio pabaigoje ir galima visas priklausančias palūkanas

sumokėti, kai reikia grąžinti paskolą. Pavyzdžiui, 1000 p.v. sumos mokėjimai 4 metų paskolai, esant 16%

metinių palūkanų normai, kurias reikia mokėti kasmet, parodyta 4.1 lentelėje

4.1 lentelė

Sudėtinių palūkanų skaičiavimai, kai palūkanos mokamos kasmet

Metai Suma turima metų pradžioje

Palūkanos mokamos metų pabaigoje

Suma turima metų pabaigoje

Suma sumokama skolininko metų

pabaigoje1 1000 160 1160 1602 1000 160 1160 1603 1000 160 1160 1604 1000 160 1160 1160

Jei skolininkas neišmoka palūkanų uždirbtų kiekvieno laikotarpio pabaigoje ir palūkanos

sumokamos kartu su pagrindine suma, yra sakoma, kad palūkanos sudedamos. Palūkanos, priklausančios

ankstesniais metais, tampa dalimi pagrindinės šių metų sumos. Šių metų palūkanos apima palūkanas,

kurios buvo uždirbtos ankstesniais palūkanų laikotarpiais. Pavyzdžiui, 1000 p.v. paskola, esant 16%

palūkanų normai, sudedamos kasmet. Jos 4 metų laikotarpiui duos efektą, parodytą 4.2 lentelėje.

4.2 lentelė

Sudėtinių palūkanų skaičiavimai

Metai Suma turima metų pradžioje

Palūkanos pridedamos prie paskolos metų

pabaigoje

Suma turima metų pabaigoje

Suma sumokama skolininko jo metų

pabaigoje1 1000 1000*0,16 = 160 1000*1,16 = 1160 002 1160 1160*0,16 = 185,50 1000*1,162 = 1345,60 003 1345,60 1345,6*0,16 = 215,30 1000*1,163 = 1560,90 004 1560,90 1560,9*0,16 = 249,75 1000*1,164 = 1810,64 1810,64

Nors abejose lentelėse 4.1 ir 4.2 reikalaujama, kad palūkanos būtų mokamos nuo nemokėto

likučio, dvi schemos duoda skirtingą efektą. Pirmu atveju mokėjimai palūkanų tuo laiku, kai priklausė,

išvengia palūkanų mokėjimo nuo palūkanų. Ir priešingai kitoje mokėjimo schemoje, kuri vadinama

palūkanų skaičiavimas, naudojant procentų procentus. Taigi, sudėtinių palūkanų efektas priklauso nuo

mokėjimų apimties ir nuo to, kada mokėjimai yra vykdomi.

4.5. Pinigų srautų vaizdavimas laike

Daugelyje inžinerijos ekonomikos tyrimų nagrinėjami maži įmonės elementai. Pavyzdžiui, tyrimai

dažnai vykdomi,kad įvertinti vieno įrengimo pasekmes visame įrengimų komplekse. Tokiais atvejais

pageidautina išskirti elementą iš visų, tam tikra prasme, analogų. Taigi, būtina išvardinti visas pajamas ir

išlaidas, kurios gali atsirasti, įsigijus ir dirbant suanalizuojamu įrengimu. Tada išlaidos minusuojamos iš

pajamų. šis skirtumas duoda pelną.

Siekiant atpažinti ir užrašyti investicinį alternatyvų ekonominį efektą, galima panaudoti grafinį

kiekvienos piniginės operacijos vaizdą. Šis grafinis vaizdavimas vadinamas pinigų srauto diagrama. Ji

suteikia visą būtiną informaciją, analizuojant investicinius pasiūlymus. Pinigų srauto diagrama pajamas,

gautas per laikotarpį, rodo aukštyn nukreipta rodykle, parodyta laikotarpio pabaigoje. Rodyklės aukštis

proporcingas įplaukų dydžiui, gautam per šį laikotarpį. Panašiai išlaidos, padarytos per laikotarpį, yra

rodomos žemyn nukreiptomis rodyklėmis. Visos šios rodyklės išdėstomos laiko skalėje, kuri apima visą

analizuojamą laiko tarpą.

Kaip pavyzdį, galima panagrinėti pinigų srautų diagramas 4.1 paveiksle.

1000 1160

160 160 160

1 2 3 4

1 2 3 4

160 160 160

SKOLININKAS KREDITORIUS

1160 1000

4.1 pav. Pinigų srautų diagramos

Diagramose pavaizduoti pinigų srautai, susiję su paprastos paskolos operacija, pateikta 4.1

lentelėje. Šiame paveiksle skolininkas gauna 1000 p.v. ir ši suma pasirodo teigiamų pinigų srautų

pavidalu skolininko diagramoje. Kiekvienais metais skolininkas moka 160 p.v. šios sumos palūkanų plius

grąžinama paskola 1000 p.v., kurie pavaizduoti neigiamais pinigų srautais. 4.1 paveiksle taip pat parodyta

kreditoriaus pinigų srauto diagrama. Kreditorius patiria neigiamą 1000 p.v. pinigų srautą, kurį seka

teigiami gautų palūkanų srautai ir grąžinta pradinė paskolinta kredito suma.

Tuo metu, kai investicinėje alternatyvoje yra ir pajamos ir išlaidos tuo pačiu metu, reikia

paskaičiuoti grynąjį pinigų srautą. Grynasis pinigų srautas – tai aritmetinė pajamų (+) bei išlaidų (-) suma,

atsirandanti nagrinėjimo metu. Grynojo pinigų srauto naudojimas sprendimų priėmime reiškia, kad

grynieji pinigai gauti, ar išleisti turi tokį patį poveikį investiciniam sprendimui, kaip ir bendros įplaukos

bei išlaidos nagrinėjamos atskirai.

Aprašant investicijų pinigų srautus, taikomi šie žymėjimai. Tegu Ft – grynasis pinigų srautas laike

t. Jei Ft rodo grynąsias išlaidas, tai Ft < 0. Jei Ft > 0, tada Ft rodo grynąsias pajamas.

Inžinerijos ekonomikos studijose išlaidos padaromos pradedant tam tikrą priemonę. Pajamos ir

išlaidos, atsirandančios per priemonės gyvenimą, paprastai, priimamos metų arba kito laikotarpio

pabaigoje. Ši “metų pabaiga” yra sutartinė, priimama pinigų srauto aprašymui laike ir pinigų srautų

diagramų sudarymui.

4.6. Pagrindinės palūkanų formulės

Yra žinoma labai daug palūkanų skaičiavimo formulių (daugiau nei 30). Čia pateiksime pačias

pagrindines, kad parodyti dažniausiai pasitaikančius palūkanų skaičiavimo būdus inžinerinių sprendimų

priėmime.

Jau buvo minėta, kad didelę svarbą pinigų panaudojimui turi laiko veiksnys, kurio pasėkoje,

vykdant investavimo ir kitas operacijas, pinigų srautai yra perskaičiuojami-diskontuojami. Palūkanų

skaičiavimą pateiksime peršiuos terminus ir žymėjimus:

1. P (Present principal sum) – esamoji (dabartinė) pradinė pinigų suma;

2. A (Single payment in a series of equal payments) – vienkartinis mokėjimas lygių mokėjimų

serijoje (eilėje), vykdomas kiekvieno palūkanų periodo gale;

3. F (Future sum) – būsimoji pinigų suma po n metinių palūkanų periodų, kuri lygi sudėtinei

sumai arba A mokėjimų serijos (eilės)sudėtinei sumai;

4. i (Interest rate) – metinė palūkanų norma;

5. n (Number of annual interest rate) – palūkanų periodų skaičius.

Reikia pažymėti, kad mokėjimai pagal pinigų sumų dydžius ir mokėjimų terminus, gali būti:

1. Vienkartiniai.

2. Periodiniai.

Periodiniai dar skirstomi į: lygių (vienodų) serijų, nelygių (nevienodų) serijų mokėjimus,

begalinius, fiksuoto periodo mokėjimus ir kt.

Palūkanų skaičiavimuose yra naudojamos standartinės koeficientų lentelės, kuriose duodami

palūkanų procentai arba diskonto normos ir palūkanų periodų skaičius, pagal kuriuos matriciniu principu

surandama 1 p.v. perskaičiavimo koeficientas esamajai arba būsimajai pinigų sumai nustatyti.

Formulių suvokimui svarbu įsiminti šiuos 4 momentus:

1. Vienų metų pabaiga yra kitų metų pradžia;

2. P yra metų pradžioje, priklausančių dabarties laikotarpiui;

3. F yra n-ųjų metų pabaigoje;

4. A atsiranda nagrinėjamo laikotarpio metų pabaigoje. Kai eina P ir A, tai pirmoji A iš serijos

atsiranda po metų nuo P, o kai F ir A – paskutinė A atsiranda tuo pačiu metu kaip ir F.

Dabar panagrinėsime vienkartinius ir periodinius lygių (vienodų) serijų mokėjimus, jų esamąsias

ir būsimąsias sumas.

1. Vienkartinio mokėjimo būsimosios sumos koeficientas. Tarkim, kad suma P yra investuojama

dabar ir uždirba palūkanų normą i per metus. Kokia suma su palūkanomis bus sukaupta po n metų?

Pinigų srauto diagrama parodyta 4.2 paveiksle.

F

0 … 1 2 3 n-2 n-1 n

P

4.2 pav. Vienkartinė esamoji ir būsimoji suma

Kadangi ši operacija neduoda jokio išmokėjimo iki tol, kol investicija pasibaigs, tai palūkanos yra

sudedamos, kaip parodyta 4.2 lentelėje. Čia uždirbtos palūkanos pridedamos prie pagrindinės sumos

kiekvieno metinio palūkanų laikotarpio gale. Pakeisdami čia priimtais žymėjimais skaitines 4.2 lentelės

reikšmes, rezultatus parodome 4.3 lentelėje. Rezultatyvusis koeficientas (1+i)n yra vadinamas vienkartinio

mokėjimo sudėtinės sumos koeficientu ir žymimas . Šis koeficientas naudojamas būsimosios sumos F

radimui iš esamosios pradinės sumos P. Priklausomybė tokia:

F = P(1+i)n arba F = P (4.1)

4.3 lentelė

Vienkartinio mokėjimo būsimosios sumos koeficiento išvedimas

Metai Suma metų pradžioje

Palūkanos uždirbtos per metus

Būsimoji suma turima metų pabaigoje

1 P P*i P+P*i = P(1+i)2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+ P(1+i)I = P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2*i P(1+i)2+ P(1+i)2*i = P(1+i)3

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1*i P(1+i)n-1+ P(1+i)n-1*i = P(1+i)n = F

Vienkartinio mokėjimo būsimosios sumos koeficientas žymimas F/Pi,n. Jis rašomas virš vietos, kur

turi būti įrašyta koeficiento skaitinė reikšmė. Pirmasis žymėjimo elementas F/P rodo santykį, kuris

reiškia, kad koeficientas reikalingas P padauginimui, kad rasti F. i – palūkanų norma per periodą, n –

periodų skaičius nuo P iki F atsiradimo.

Grįžtame prie 4.2 lentelės pavyzdžio. Jei 1000 p.v. investuojama, esant 16% palūkanoms,

sudedamoms kasmet metų pradžioje, tai sudėtinė suma ketvirtų metų pabaigoje bus:

F = 1000 (1+0,16)4 = 1000 (1,811) = 1811 p.v. arba naudojant palūkanų koeficientą:

F = 1000 = 1811 p.v.

2. Vienkartinių mokėjimų esamosios (dabartinės) sumos koeficientas. Vienkartinių mokėjimų

sudėtinės sumos ryšys sumai P gali būti išspręstas sekančiai:

. (4.2)

Rezultatyvusis koeficientas 1/(1+i)n yra žinomas kaip vienkartinių mokėjimų esamosios sumos P

būsimosios sumos F suradimui, kuri bus reikalinga investicijai parodytai 4.2 paveiksle. Tada į klausimą,

kiek reikia investuoti dabar, esant 16% palūkanoms, sudedant kasmet taip, kad 1811 p.v. būtų gauti po 4

metų, reikia atsakyti tokia lygtimi:

= 1811 (0,5523) = 1000.

Arba naudojant koeficiento pažymėjimą ir standartines palūkanų lenteles užrašyti taip:

P = 1811 = 1000.

Atkreipkite dėmesį, kad vienkartinių mokėjimų būsimosios sumos koeficientas ir vienkartinių

mokėjimų esamosios sumos koeficientas yra atvirkščiai proporcingas.

3. Lygių mokėjimų serijos (eilės) sudėtinės arba būsimosios vertės koeficientas. Daugelyje

inžinerinės veiklos sprendimų dažnai reikia surasti vienkartinę būsimąją sumą, kuri gali būti sukaupta per

15 lygių mokėjimų, įvykstančių gale metinių palūkanų periodų. Tokia pinigų srautų serija yra parodyta

4.3 paveiksle.

F

1 2 3 4 n-1 0

A A A A A A

4.3 pav. Lygių mokėjimų serija ir būsimoji suma

Lygių mokėjimų serijos sudėtinė suma arba būsimoji suma apskaičiuojama, naudojant

vienkartinių mokėjimų sudėtinės sumos koeficientą. Pavyzdžiui, skaičiavimas būsimosios 100 p.v. sumos

lygių mokėjimų serijomis, daromomis kiekvienų metų gale su 12% palūkanomis, kurios parodytos 4.4

lentelėje.

4.4 lentelė

Būsimoji suma lygių mokėjimų serijomis

Metų pabaiga

Metų pabaigos mokėjimų sudėtinės sumos

Sudėtinė suma 5-ųjų metų pabaigoje

Bendra sudėtinė suma, p.v.

1 100 (1,12)4 1572 100 (1,12)3 1413 100 (1,12)2 125

100 (1,12)1 112n 100 (1,12)0 100 634

Akivaizdu, kad lentelinis iliustravimo būdas tinka skaičiuojant būsimąją sumą didelėms serijoms.

Tačiau yra pageidautina gauti glaustą šio tipo situacijos sprendimą. Jei A yra serijos n lygių mokėjimų,

tokių kaip 100 p.v. serijomis 4.4 lentelėje, tai

F = A (1) + A (1+i) + … + A (1+i)n-2 + A (1+i)n-1.

Bendra būsimoji suma F yra lygi sumai individualių būsimųjų sumų apskaičiuotų kiekvienam A

mokėjimui. Dauginant šią lygtį iš (1+i), galima parašyti:

F (1+i) = A (1+i) + A (1+i)2 + … + A (1+i)n-1 + A (1+i)n.

Atimant pirmąjį lygtį iš antros, gauname:

F (1+i) = A (1+i) + A (1+i)2 + … + A (1+i)n-1 + A (1+i)n – F = - A – A (1+i) - A (1+i)2 - … - A (1+i)n-1

F (1+i) – F = - A

Išreiškę F, gauname:

. (4.3)

Duotas koeficientas yra žinomas lygių mokėjimų serijos sudėtinės arba būsimosios sumos

koeficientas ir žymimas .

Šis koeficientas gali būti naudojamas rasti sudėtinę arba būsimąją lygių mokėjimų serijos A sumą

F. Pavyzdžiui, būsimoji 100 p.v. mokėjimų suma, įnešama kiekvienų metų pabaigoje, po 5 metų esant

12% metinėms palūkanoms, bus:

= 100 (6,353) = 635 p.v.

Tai sutampa su rezultatu gautu 4.4 lentelėje. Naudojant koeficiento pažymėjimą ir standartines

palūkanų lenteles, gauname:

4.7. Palūkanų formulių ir koeficientų tarpusavio ryšys

Mokėjimai, vykstantys pagal atitinkamas palūkanų formules, turi atitikti jų paskirtį, t.y.

vienkartinius arba įvairių rūšių periodinius mokėjimus. Mes čia nenagrinėjame aritmetinės ir geometrinės

progresijos, nelygių (nevienodų) serijų mokėjimų, todėl tokie pinigų srautai nepateikiami. 4.5 lentelėje

pateiktas scheminis aptartų palūkanų formulių ir koeficientų naudojimo ryšys.

4.5 lentelė

Palūkanų koeficientų ir pinigų srautų tarpusavio ryšio schematinė iliustracija

Metų pabaiga

Vienkartiniai mokėjimai Periodiniai lygių serijų mokėjimaiBūsimoji (sudėtinė) suma ir koeficientas

Esamoji suma ir koeficientas

Būsimoji (sudėtinė) suma ir koeficientas

Esamoji suma ir koeficientas

0 P P - - F1 A A2 A A3 A AN F F A F A

F = P P = F F = A P = A

Daugybė ryšių, kurie egzistuoja tarp palūkanų koeficientų, leidžia skaičiuoti vieno tipo koeficientą

iš kito. Tokių ryšių žinojimas leidžia efektyviau naudoti standartines palūkanų lenteles, suprasti, kaip šie

veiksniai veikia pinigų srautus laike. Mūsų aptartų palūkanų koeficientų priklausomybės arba tarpusavio

ryšiai gali būti tokie:

1. = i * +1;

2. = 1 - * i; (4.4)

3. = 1 + + + … + ;

4. = - i =

4.8. Nominali ir efektyvi palūkanų norma

Iki šiol nagrinėjome tiktai vienerių metų palūkanų laikotarpius. Tačiau praktiškai pinigų srautai

arba paskolų sutartys sudaromos, kad palūkanos būtų mokamos daug dažniau: kas pusmetį, ketvirtį,

mėnesį. Tokie susitarimai suskaldo palūkanų periodus į pusmetinius, vieno ketvirčio, arba vieną

dvyliktąją metų ir sudeda palūkanas atitinkamai 2, 4 arba 12 kartų į metus.

Palūkanų koeficientas, asocijuojantis su dažnesniu mokėjimu, paprastai remiasi faktine baze. Kada

faktinė arba efektyvi palūkanų norma yra 3%, palūkanas sudedant šešių mėnesių periodu, metinės arba

nominalios palūkanos bus 6% į metus, sudedant po 3% kas pusmetį. Esant 1,5% efektyviai palūkanų

normai, sudedant kiekvienų trijų mėnesių periodo pabaigoje, nominali palūkanų norma yra vertinama

kaip 6% per metus, sudedant po 1,5% kas ketvirtį. Taigi, nominali palūkanų norma yra išreiškiama

metinėje bazėje ir yra apibrėžiama padauginant faktinę arba efektyvią palūkanų normą per palūkanų

periodą iš palūkanų mokėjimo periodų skaičiaus per metus.

Diskretinis palūkanų sudėjimas. Dažnesnio palūkanų sudėjimo efektas yra tas, kad faktinė arba

efektyvi palūkanų norma per metus yra didesnė nei nominali metinė palūkanų norma. Panagrinėkime,

pavyzdžiui, nominalią 12% palūkanų normą sudedamą kas pusmetį. 1 p.v. vertė metų pabaigoje, kai 1

p.v. yra sudedamas su 6% palūkanom kiekvienam pusmečiui, yra:

F = 1(1,06)(1,06) = 1(1,06)2 = 1,1236 p.v.

Faktinės 1 p.v. palūkanos uždirbtos per 1 metus ars 1,1236 – 1,0000 = 0,1236 p.v. Taigi, efektyvi

palūkanų norma yra 12,36%.

Efektyvios metinės palūkanų normos išraiška gali būti išvesta iš ankščiau duoto pagrindimo.

Tegu:

r – nominali palūkanų norma (per metus);

ie – efektyvi palūkanų norma (per metus);

c – palūkanų mokėjimo periodų skaičius per metus.

Taigi, efektyvi metinė palūkanų norma bus:

. (4.5)

Nepertraukiamas palūkanų sudėjimas. Palūkanos gali būti skaičiuojamos nepabaigiamą kartų

skaičių per metus, t.y. nepertraukiamai. Tada efektyvi metinė palūkanų norma nepertraukiamam

sudėjimui yra skaičiuojama taip:

. (4.5’)

Kadangi

ir

, tada

.

Vadinasi, kai palūkanos yra sudedamos nepertraukiamai, efektyvi metinė palūkanų norma bus:

ie = er – 1. (4.7)

Palūkanų normų sulyginimas. Efektyvios palūkanų normos atitikimas nominaliai metinei palūkanų

normai lygiai 18%, sudedant kasmet, pusmečiui, ketvirčiui, mėnesiui, savaitei, dienai ir nepertraukiamai

parodyta 4.6 lentelėje.

4.6 lentelė

Efektyvi metinė palūkanų norma įvairiems sudėjimo periodams,

kai nominali palūkanų norma 18%

Sudėjimo dažnumas Periodų skaičius metuose

Efektyvi palūkanų norma periodui, %

Efektyvi metinė palūkanų norma, %

Metinis 1 18,0000 18,0000Pusmetinis 2 9,0000 18,81000Ketvirtinis 4 4,5000 19,2517Mėnesinis 12 1,5 19,5618Savaitinis 52 0,3642 19,6843Kasdieninis 365 0,0493 19,7142Nepertraukiamai 0,0000 19,7217

Kadangi efektyvi palūkanų norma rodo dabartines uždirbtas palūkanas, ši norma gali būti

naudojama lyginant įvairių nominalių palūkanų normų naudojimą. Pavyzdžiui, gali būti priešpastatoma

viena kitai problemos: kas yra geriau, ar gauti 16% palūkanų, sudedant kas metus, ar 15% - sudedant kas

mėnesį. Efektyvi 16% palūkanų norma sudedant kasmet bus ie = 16%, kai tuo tarpu 15% palūkanos

sudedant kas mėnesį, efektyvi metinė palūkanų norma ie bus:

.

Šis pavyzdys iliustruoja tą faktą, kad didesnio nominalo metinė faktinė palūkanų norma, vykdant

galimai didesnius perskaičiavimus.

Efektyvios ir nominalios palūkanų normos naudojimas. Palūkanų formulės metiniam sudėjimui ir

metiniam palūkanų mokėjimui buvo išvestos efektyvios palūkanų normos bazėje. Tačiau jos gali būti

panaudotos, kai sudėjimas vyksta daug dažniau, nei kartą per metus. Tai galima padaryti dviem būdais:

1. Rasti efektyvią metinę palūkanų normą iš (4.7) formulės arba naudotis efektyvios palūkanų

normos standartinė lentelė, kai laiko periodas yra metai;

2. Sulyginti palūkanų normą palūkanų mokėjimo periodui ir tiesiai naudoti formulę arba jai

atitinkančią lentelinę vertę.

Panarinėkime sekančius pavyzdžius. Norime rasti būsimąją sumą 1000 p.v. sumai nuo šios dienos

per 4 metus, kai metinė nominali palūkanų norma yra 18%, o sudedama kas pusmetį. Efektyvi palūkanų

norma yra 18,81% ir galima naudoti vienkartinio mokėjimo sudėtinės sumos koeficientą:

F = 1000 (1+0,1881)4 = 1000 = 1992,60 p.v.

Arba, kadangi nominali metinė palūkanų norma 18%, sudedant kas puse metų, palūkanų norma

bus 9% vieno pusmečio palūkanų periodui. Tokiu būdu skaičiavimai bus tokie:

F = 1000 (1+0,09)8 = 1000 = 1992,60 p.v.

Ši analizė gali būti naudojama nominaliai metinei palūkanų normai, sudedant bet kokiu dažnumu,

įskaitant ir nepertraukiamą sudėjimą. Atkreipiame dėmesį, kad viršijant dažnumą 52 kartus per metus,

skaičiavimas mažai skiriasi nuo priimto nepertraukiamo palūkanų sudėjimo.

Palūkanų formulių išvedimai 4 skyriaus pradžioje pritaikomi palūkanų normai per periodą arba

efektyviai palūkanų normai. Raidė i buvo naudojama parodyti, kad šios formulė labiau reikalauja

efektyvios palūkanų normos, nei nominalios r. žinoma, kai sudedama metinėje bazėje, nominali palūkanų

norma gali būti naudojama šiose formulėse, kadangi tada ji atitinka efektyvią palūkanų normą.

Jeigu įstatoma efektyvi palūkanų norma ir sudėjimo dažnumas žinomas, nominali palūkanų

norma, kaip ir efektyvi norma gali būti lengvai nustatoma. Pavyzdžiui, efektyvi metinė palūkanų norma

10,38%, skaičiuojant ketvirtinius sudėjimus duoda nominalią metinę normą, kurią apskaičiuojame taip:

.

Tada r = 10%, sudedant kas ketvirtį. Efektyvi palūkanų norma per ketvirtį yra 0,10 / 4 = 0,025

arba 2,5%.

4.9. Palūkanų formulės, esant nepertraukiamam sudėjimui ir diskretiniam mokėjimui

Kai kuriuose ekonominiuose skaičiavimuose tikslinga priimti, kad nepartraukiamas palūkanų

sudėjimas daug geriau atspindį esamą situaciją, nei metinis sudėjimas. Be to, nepertraukiamo mokėjimo

taikymas gali būti labiau pageidautinas tam tikrose taikymo srityse skaičiavimo požiūriu. Taigi, šiame

skyriuje pateiktos palūkanų formulės, kurios gali būti vartojamos tais atvejais, kai pageidaujamas metinis

palūkanų mokėjimas ir nepertraukiamas jų sudėjimas. Bus naudojami tokie simboliai:

r – nominali metinė palūkanų norma;

n – metinių periodų skaičius;

P – esamoji pradinė suma;

A – vienetiniai mokėjimai, serijomis po n lygių (vienodų) mokėjimų, daromų kiekvienų metų

periodo pabaigoje;

F – būsimoji suma, praėjus n metų, lygi sudėtinei sumai esamosios sumos P arba lygi sudėtinei

sumai A mokėjimų serijomis.

Vienkartinių mokėjimų būsimosios arba sudėtinės sumos koeficientas. Vienkartinių mokėjimų

būsimosios arba sudėtinės sumos koeficientas gali būti išreikštas kaip funkcija nuo sudėjimų periodų

skaičiaus:

1. Metiniam sudėjimui F = P (1+r)n;

2. Pusmetiniam sudėjimui ;

3. Mėnesiniam sudėjimui .

Bendru atveju, jeigu yra c sudėjimų periodų per metus, vienkartinių mokėjimų būsimoji suma bus:

. (4.8)

Kai reikia palūkanas sudėti nepertraukiamai, uždirbtos pajamos yra pridedamos prie pagrindinės

sumos begalinio palūkanų periodo gale. Nepertraukiamam palūkanų sudėjimui mokėjimų periodų

skaičius per metus priimamas begalinis. Tada:

.

Arba

, bet

,

tada F = Pern.

Rezultatyvinis koeficientas ern yra vienkartinių mokėjimų būsimosios sumos koeficientas

nenutrūkstamam palūkanų sudėjimui ir užrašomas .

Vienkartinių mokėjimų esamosios sumos koeficientas. Vienkartinių mokėjimų sudėtinės sumos

priklausomybėje P gali būti išreikšta sekančiai:

. (4.10)

Rezultatyvinis koeficientas e-rn yra vienkartinių mokėjimų esamosios sumos koeficientas

nenutrūkstamam palūkanų sudėjimui ir užrašomas .

Lygių (vienodų) mokėjimų serijos esamosios sumos koeficientas. Nagrinėjant kiekvieną mokėjimą

serijose atskirai, bendra serijos esamoji suma yra atskirųjų esamųjų sumų suma, t.y.:

P = A (e-r) + A (e-r2) + … + A (e-rn) = Ae-r (1 + e-r + … +e-r(n-1),

čia Ae-r – geometrinės progresijos kartotinis .

Tada

. (4.11)

Rezultatyvinis koeficientas yra lygių mokėjimų serijos esamosios sumos koeficientas

nenutrūkstamam palūkanų sudėjimui ir užrašomas .

Kontroliniai klausimai

1. Koks yra skirtumas tarp palūkanų ir palūkanų normos?

2. Kokia yra rinkos palūkanų norma ir kaip ji nustatoma?

3. Kokie veiksniai yra nagrinėjami kreditoriui nustatant palūkanų normą?

4. Kaip infliacija veikia potencialaus skolintojo elgesį?

5. Kodėl pinigai turi uždirbančiąją jėgą?

6. Ką reiškia laikas pinigų vertės kitime?

7. Kas tai yra paprastos palūkanos?

8. Kas tai yra sudėtinės palūkanos?

9. Kuo skiriasi paprastosios nuo sudėtinių palūkanų?

10. Kaip yra parodomas pinigų srautas laike?

11. Kaip skaičiuojamas vienkartinių mokėjimų sudėtinės sumos koeficientas?

12. Kaip skaičiuojamas esamosios sumos koeficientas?

13. Kaip skaičiuojamas lygių mokėjimų serijos sudėtinės sumos koeficientas?

14. Kas tai yra nominali ir efektyvi palūkanų norma? Kuo jos skiriasi?

5. EKONOMINIO EKVIVALENTIŠKUMO SKAIČIAVIMAI

Inžinerinės veiklos ekonominiuose skaičiavimuose reikalinga, kad dviejų ir daugiau alternatyvių

pasiūlymų būsimosios pajamos ir kaštai būtų suskaičiuoti ekvivalentinėje (tapačioje) sulyginimo bazėje.

Tai būtina palūkanų formulių, pateiktų praėjusiame skyriuje, teisingam vartojimui ir bendram ekonominio

ekvivalentiškumo supratimui. Čia pateiksime ekonominio ekvivalentiškumo koncepciją ir palūkanų

skaičiavimo metodus, naudojamus inžinerinės veiklos ekonominėje analizėje.

5.1. Ekvivalentiškumo samprata

Jei lyginamos dvi ir daugiau situacijos, jų charakteristikos sulyginamos, t.y. adekvačios. Kas yra

vertingiau, ar 4 produkto A kibirai, ar 65 jo litrai? Kad atsakyti į šį klausimą, būtina šiuos du skaičius

išdėstyti vienoje sulyginimo bazėje, naudojant teisingą perskaičiavimo koeficientą. Perskaičiavus kibirus į

litrus, klausimas bus toks: “Kas vertingiau, ar 48, ar 65 litrai produkto A”? Dabar atsakymas tampa

suprantamu ir akivaizdžiu. Sakoma, kad daiktai yra ekvivalentiški, kai jie turi tą pačią reikšmę.

Pinigų sumų sulyginimas apima 3 variantus:

1. Pinigu sumas (kiekius);

2. Pinigų sumų atsiradimo momentus;

3. Palūkanų normas.

Kaip buvo parodyta, palūkanų formulės įvertina laiką ir palūkanų normą. Vadinasi, jos yra

patogios, kad išreikšti pakeitimo arba perskaičiavimo koeficientus, skaičiuojant pinigų sumų, atsiradusių

skirtingais laiko momentais, atitikimą.

Panagrinėkime pavyzdį. Inžinierius parduoda savo patentą korporacijai ir jam siūloma pasirinkti –

12500 p.v. dabar, arba 2000 p.v. per metus 10 metų laikotarpiui, t.y. laikotarpiui, kuriam įvertintas duoto

patento pelningas gyvenimas. Inžinierius moka 12% palūkanas už savo namo kreditą, todėl suprantama,

kad jos bus pasirinktos pagrindu, nulemiančiu jo pasirinkimą. Kiti duomenys pateikti 5.1 lentelėje.

5.1 lentelė

Alternatyvų A ir B įplaukų duomenys

Metų pabaiga Įplaukos, p.v.Alternatyva A Alternatyva B

0 12500 01 0 20002 0 20003 0 20004 0 20005 0 20006 0 2000

7 0 20008 0 20009 0 200010 0 2000

Bendros įplaukos 12500 p.v. 20000 p.v.

Kadangi pinigų vertė kinta priklausomai nuo laiko, neįdėmus šių 2 alternatyvų įplaukų

nagrinėjimas neparodo, kuri iš jų ekonomiškai labiau pageidaujama. Pavyzdžiui, neteisinga sakyti, kad

alternatyva B yra labiau pageidautina, nei alternatyva A todėl, kad įplaukų suma yra atitinkamai 20000

p.v. ir 12500 p.v. Šis teiginys bus teisingas tik tada, jai palūkanų norma bus lygi nuliui.

Ekvivalentinės šių dviejų alternatyvų reikšmės, esant 12% palūkanų normai, gali būti randamos,

naudojant palūkanų formules. Vienas būdas nustatyti alternatyvos B ekvivalentinę reikšmę yra

paskaičiuoti šiandieninę sumos vertę, kuri ekvivalentiška 10-čiai 2000 p.v. įplaukų:

P = 2000 = 11300 p.v.

Ši suma atitinka 10-tį būsimų mokėjimų po 2000 p.v. ir yra tiesiogiai sulyginama su 12500 p.v.

Taip yra todėl, kad abu skaičiai rodo pinigų sumą tam pačiam laiko momentui, t.y. šiai dienai. Taigi,

inžinierius dabar gali matyti, kad sulyginimo bazėje 12500 p.v. suma yra labiau pageidaujama.

Reikia pastebėti, kad 11300 p.v. yra tiktai sumos ekvivalentas iš laukiamos pinigų serijos įplaukų.

Iš tikrųjų, 11300 p.v. įplaukos gali ir nesusidaryti, net jei ir bus pasirinkta ši alternatyva. Tikrosios

įplaukos gali būti 2000 p.v. į metus 10 metų laikotarpį. 11300 p.v. yra sprendimas apie dydį tiesiogiai

sulyginamą su 12500 p.v.

5.2. Ekvivalentiškumo skaičiavimai, įvertinant vieną faktorių

Palūkanų formulės, išvestos 4 skyriuje, išreiškia priklausomybes, kurios egzistuoja tarp keleto

elementų, sudarančių formulę. Šios formulės demonstruoja ryšius tarp P, A, F, i ir n, kai sudedama

kasmet ir tarp P, A, F, r ir n, sudedant nepertraukiamai. Toliau bus parodyta ekvivalentiškumo

skaičiavimo metodai, remiantis palūkanų formulėmis.

Vienkartinių mokėjimų sudėtinės arba būsimosios sumos koeficiento skaičiavimai. Vienkartinių

mokėjimų sudėtinės sumos koeficientas duoda sumą F, apibrėžtu laiku ateityje, kuri atitinka esamąją

sumą P, esant apibrėžtai palūkanų normai i, sudedamai kasmet arba r, sudedant nepertraukiamai.

Pavyzdžiui, radimas sumos 1992 m. balandžio 1 dienai, kuri atitiktų pradinei 2000 p.v. sumai 1984 m.

balandžio 1 dienai, kai palūkanų norma i = 9%, sudedant kasmet bus toks:

n = 1992 – 1984 = 8;

F = P = 2000 = 3986 p.v.

Jeigu palūkanos sudedamos nepertraukiamai sprendimas būtų:

F = P = 2000 = 4108 p.v.

Jeigu esamoji suma P, būsimoji suma F ir metų skaičius yra žinomi, palūkanų norma i gali būti

apibrėžta, interpoliuojant palūkanų lentelių pagalba. Pavyzdžiui, jeigu P = 300 p.v., F = 595 p.v., n = 9,

sprendimas i suradimui bus:

F = P ;

525 = 300

.

Žiūrint palūkanų lenteles metiniam palūkanų sudėjimui, matyti, kad 1,750 patenka tarp

vienkartinių mokėjimų sudėtinės sumos koeficiento prie palūkanų normų, lygių 6% ir 7%, kai metų

skaičius n = 9. Tada 6% lentelinė reikšmė yra 1,689 ir 7% lentelinė reikšmė yra 1,838. Pagal tiesinę

proporciją:

.

Tiesinės interpoliacijos panaudojimas yra pavaizduotas 5.1 paveiksle. Kadangi inžinerinės veiklos

ekonomikos studijos paprastai yra pagrįstos ateities įvertinimu, maža klaida, kuri galima interpoliavimo

pasekoje, retai gali būti žymi.

Koeficiento reikšmė 1,838

1,750

1,689

6 6 + Δi 7 palūkanų norma

5.1 pav. Palūkanų normos interpoliavimas

Rasti i galima skaičiuojant kalkuliatoriumi ir nesinaudojant lentelėmis:

F = P (1 + i)n

525 = 300 (1 + i)9

(1 +i)9 =

= 1,0642 – 1 = 0,0642 arba 6,42%.

Jeigu yra žinoma pradinė suma P, jos sudėtinė suma F ir palūkanų norma i, metų skaičius n gali

būti nustatytas interpoliacijos būdu lentelių pagalba. Pavyzdžiui, jei P = 400 p.v., F = 800 p.v. ir i = 9%,

norint rasti n reikia:

F = P

800 = 400

.

Žiūrint 9% palūkanų normos lentelę, matosi, kad koeficientas 2,000 papuola tarp vienkartinių

mokėjimų sudėtinės sumos koeficientų, kai n = 8 ir n = 9. Kai n = 8, koeficientas lygus 1,993 ir kai n =9,

koeficientas lygus 2,172. Pagal tiesinę proporciją:

metų.

Tiesinė interpoliacija panaudota n radimui pavaizduota 5.2 paveiksle.

Nesinaudojant lentelėmis, n randama tokiu būdu:

F = P (1+i)n;

800 = 400 (1+0,09)n

(1,09)n = = 2,000, n = 8,043 metų.

Koeficiento reikšmės 2,172

2,000

1,993

8 8 + Δn 9 palūkanų periodai

5.2 pav. Interpoliavimas metų skaičiui n nustatyti

Čia parodoma, kad reikia 8,043 metų pradinei 400 p.v. sumai uždirbti pakankamai palūkanų tam,

kad bendroji arba sudėtinė suma po šio laiko prilygtų 800 p.v. Tačiau, kai sudėjimas vyksta diskretinių

periodų gale, kaip tai daroma pavyzdyje, rezultatas parodo tik apytikrį laiką, reikalingą sukaupti duotai

sumai. Šio netikslumo priežastis yra ta, kad palūkanos yra mokamos tiktai kiekvieno periodo gale ir

mažiausiai reikalingi 9 metai, kad sukaupti 800 p.v. ar daugiau. Po 9 metų sukaupta suma iš tikrųjų gali

būti 868,76 p.v.

Aukščiau aprašytame pavyzdyje suma pinigų dvigubinasi per n metų. Priartėjimas prie pinigus

dvigubinančio laikotarpio yra vadinamas 72 taisykle. Pagal šią “taisyklę”, kai i (Integer) padaugintas iš n

lygus 72, surasta n reikšmė yra dvigubinimo periodas Kaip buvo parodyta aukščiau, 400 p.v. padidėja

dvigubai per 8,043 metus, kai i = 9%. Apytiksliai yra 8 pagal taisyklę (9*8) = 72.

Tada:

2P = P

2P = P (1+i)n

2 = (1+i)n

ln2 = n ln(1+i)

n = .

72 taisyklės tikslumas priklauso nuo palūkanų normos, kaip parodyta 5.2 lentelėje. Ši taisyklė

labiausiai teisinga, kai palūkanų norma 8%.

5.2 lentelė.

72 taisyklės tikslumas

Palūkanų norma, i Metai, po kurių pradinė suma padvigubėja Sandauga i nPagal taisyklę 72 Pagal formulę

4 18,000 17,673 70,695 14,400 14,207 71,036 12,000 11,896 71,377 10,286 10,245 71,718 9,000 9,006 72,059 8,000 8,043 72,3910 7,200 7,273 72,7311 6,545 6,642 73,0612 6,000 6,116 73,4013 5,538 5,671 73,7214 5,143 5,290 74,0615 4,800 4,959 74,3916 4,500 4,670 74,7217 4,235 4,415 75,0518 4,000 4,188 75,3819 3,789 3,985 75,7120 3,600 3,802 76,04

Sprendimas grindžiamas tuo, kad

= … ,

čia n = n1 + n2 + … + nk.

Sakykime, kad reikalinga 1 p.v. suma prie . Iš ankstesnės priklausomybės suma bus: =

… = 15933000.

Taigi, po 174 metų 1 p.v. investicija bus verta 15933000 p.v., jeigu palūkanos bus sudedamos po

10% kasmet. Toks pavyzdys rodo ypatingą sudėjimo arba palūkanų sudėtinės sumos jėgą.

Vienkartinių mokėjimų esamosios sumos koeficiento skaičiavimai. Vienkartinių mokėjimų

esamosios sumos koeficientas parodo pradinę arba esamąją sumą P, laiko momentu atitinkančiam šią

dieną, kuri prilygsta būsimajai sumai F. Pavyzdžiui, sprendžiant, kokia esamoji vertė 400 p.v., kurie bus

gauti praėjus 12 metų, kai palūkanų norma 6% sudedama kasmet, yra:

P = F = 400 = 198,80 p.v.

Taigi, jei asmuo pageidauja 400 p.v. 1997 m. gale, jis turi padėti į banką 1985 m. pradžioje 198,80

p.v. sumą su 6% palūkanomis sudedamomis kasmet.

Kai palūkanų norma 6% sudedama nepertraukiamai, ta pati užduotis gali būti įvykdyta su

mažesniu pinigų kiekiu investuotu dabar. Tai yra:

P = F = 400 = 194,72 p.v.

Pastebėkite, kad 72 taisyklė gali būti panaudota apytiksliam P nustatyti, kadangi i n = 72.

Lygių (vienodų) mokėjimų serijos sudėtinės sumos koeficiento skaičiavimas. Lygių mokėjimų

serijos sudėtinės sumos koeficientas parodo sumą F duotu laiku ateityje, kuri atitinka mokėjimų A seriją

vykdomą sėkmingų metų pabaigoje taip, kad paskutinis A sutampa su F. Norint rasti ekvivalentinę sumą

po 7 metų serijos septynių mokėjimų po 40 p.v. metų pabaigoje. Kurių paskutinis mokėjimo momentas

sutampa su sudėtinės sumos išreiškimu, kai palūkanų norma i = 6%:

F = A = 40 = 335,75 p.v.

Jeigu sudedama suma F, metiniai mokėjimai A ir metų skaičius yra žinomas, palūkanų norma gali

būti nustatyta interpoliacijos būdu iš palūkanų lentelių. Pavyzdžiui, jeigu F = 441,10 p.v.; A = 100 p.v.; n

= 4, tada i bus:

F = A ;

441,10 = 100 ;

.

Ši lygių mokėjimų serijos sudėtinės sumos koeficiento reikšmė yra 6% ir 7% lentelėje, kai n = 4.

Pagal tisinę interpoliaciją:

i = 6 + (1) = 6,55%.

Tokie skaičiavimai taikomi pensijiniame plane, kuriame asmenys reguliariai atideda dalį savo

uždarbio, pensijos užtikrinimui. Jei asmuo padeda 800 p.v. per metus į pensijinį planą, kur mokama 7%

palūkanų sudedant kasmet. Kokia suma gali būti išimta, jei dalyvavimas apima 35 metų intervalą?

Praėjus 35 metams, asmuo gali atsiimti vienetinę sumą:

F = 800 p.v.

Taigi, atidėjus 28000 p.v. per 35 metus (800*35), sukaupiama uždirbtų palūkanų 82590 p.v., kas

duoda bendrą sumą 110590 p.v.Jeigu asmuo turi galimybę investuoti visą 28000 p.v. sumą prieš 35

metus, tai didesnė suma gali būti sukaupta, kaip tai parodyta sekančiame skaičiavime:

F = 28000 p.v.

Tarkime, kad egzistuoja 100 p.v. kasmetinis lygus metinis pinigų srautas. Paskaičiuokime, kiek

laiko reikės 2000 p.v. kaupimui, jeigu palūkanų norma i = 8% sudedama nepartraukiamai:

F = A ,

2000 = 100 ,

,

n = 12 + (1) metų.

Sprendimas, naudojant palūkanų formulę, kai reikia rasti n prie F, A ir r, bus:

; ern – 1 = ;

rn = ; n = .

Kai F = 2000 p.v., A = 100 p.v., r = 8%,

n = metų.

Kai yra palūkanų koeficientų lentelės, paprastai sunaudojama mažiau laiko paskaičiuoti

koeficiento reikšmę ir tada interpoliuoti iš lentelės yra greičiau, negu naudoti pavaizduotą būdą.

5.3. Ekvivalentiškumo skaičiavimai, įvertinant pinigų srautus

Kai skaičiavimai apima keletą sudarytų palūkanų koeficientų, gali kilti sunkumų, organizuojant

pinigų srautus ir palūkanų koeficientus. Taip pat gali būti kai kurių sunkumų išlaikant laikotarpio

vientisumą. Šio tipo problemų kompleksui spręsti gali būti naudinga grafinė arba lentelinė pinigų srautų

pavaizdavimo forma.

Pinigų srauto lentelinis vaizdavimas. Tarkime, pavyzdžiui, kad mes norime nustatyti, kokia

šiandieninė suma yra ekvivalentiška sekantiems pinigų srautams, kai palūkanų norma i = 12%: 300 p.v. 6-

tų metų pabaigoje;

Kai F 2000 p × v ×, A 100 p × v ×, r 8 ,

n log 2000/100 (e -1)+1 /0.08 log e 20(0.0833)+1 /0.08

log e 2.666 /0.08 0.981 /0.08 12.26 metų.

Kai yra palūkanų koeficientų lentelės, paprastai sunaudojama mažiau laiko paskaičiuoti

koeficiento reikšmę ir tada interpeliuoti iš lentelės yra greičiau , negu naudoti pavaizduotą būdą.

5.4. Ekvivalentiškumo skaičiavimai, įvertinant pinigų srautus

Kai skaičiavimai apima keletą sudarytų palūkanų koeficientų, gali kilti sunkumų, organizuojant pinigų

srautus ir palūkanų koeficientus. Taip pat gali būti kai kurių sunkumų išlaikant laikotarpio vientisumą.

Šio tipo problemų kompleksui spręsti gali būti naudinga grafinė arba lentelinė pinigų srautų

pavaizdavimo forma.

Pinigų srauto lentelinis vaizdavimas. Tarkime, pavyzdžiui, kad mes norime nustatyti, kokia

šiandieninė suma yra ekvivalentiška sekantiems pinigų srautams, kai palūkanų norma i 12 300 p. v.

6 - tų metų pabaigoje;

60 p. v. gale 9, 10, 11, 12 metų;

210 p. v. 13 – tų metų pabaigoje;

80 p. v. 15 – tais, 16 – tais, 17 – tais metais. Šie mokėjimai schematiškai pavaizduoti 5.3 lentelėje.

Siekiama nustatyti sumą pirmų metų pradžiai, kuri yra lygi vienkartiniams mokėjimams ir grupėms

mokėjimų, apimančių pinigų srautus, aprašytus aukščiau. Keičiant įvairius mokėjimus į jų ekvivalentus

tam pačiam laiko mokėjimui, mes galime nusakyti bendrą ekvivalentinę sumą pagal tiesioginį sumavimą.

Atsiminkite, kad kai palūkanos yra uždirbamos, pinigai, atsirandantys skirtingais laiko momentais, negali

būti tiesiogiai sudėti.

Tam, kad naudoti palūkanų formules teisingai, atsiminkite, kad P atsiranda palūkanų periodo pradžioje

ir kad F ir A mokėjimai atsiranda palūkanų periodo pabaigoje. Pavyzdžiui, keturi 60 p. v. mokėjimai

pakeičiami į vienetinę ekvivalentinę sumą 182.24 p. v. aštuntų metų pabaigai, kurie yra vienu palūkanų

periodu prieš pirmą 60 p. v. mokėjimą. Tai sutampa su keitimo formulės išraiška, kuri reikalauja, kad

suma P atsirastų vienu palūkanų periodu anksčiau nei įvyks pirmas A sumos mokėjimas, 5.3 lentelėje 17

metų

5.3 lentelė

Pinigų srauto lentelinis pavaizdavimas

Metų Pabaiga 0 313,05P1 151,98)+(P273,61)+(P348,13)+(P439,33) 1 2 3 4 5 P/F 12,6 6 300 300 (0,5066) 7 P/F , 8 182,24 (0,4039) 9 60 10 60 P/A 12,4 60(3,0374) 11 60

12 60 P/F 12,13 13 210 210(0,2292) 14

15 80 F/A 12,3 80(3,374)

16 80 P/F 12,7 17 80 269,92(0,1457)

pabaigoje rodo 269.92 p. v.sumą kaip ekvivalentinę būsimąją vertę trijų 80 p. v. mokėjimo. Pastebėkite,

kad 269.92 p. v. suma sutampa su paskutiniaisiais 80 p. v. Vėlgi, tai sutampa su išraiška, pritaikyta

koeficiento, išreiškiančio F, kai duota mokėjimų A serija

Skaičiavimų seka, sprendžiant šią problemą, yra aiškiai parodyta lentelėje. Kiekvienos sandaugos

rodyklė rodo poziciją rezultato, atsižvelgiant į laiką. Tarpinių sumų 182.24 ir 269.92 nereikėjo rasti. Daug

laiko galima sutaupyti, jeigu mes pažymėsime skaičiavimus, pirmiausia pažiūrėdami į lentelines

koeficientų reikšmes, o skaičiuojant anksčiau parodytą pavyzdį, tai gali būti padaryta sekančiai:

P/F 12.6 P1 300(0.5066) 151.98

P/A 12.4 P/F 12.8 P2 60(3.0374) (0.4039)73.61

P/F 12.13 P3210(0.2292) 48.13

F/A 12.3 P/F 12.17 P480(3.374)(0.1457) 39.33

P P1 +P2 +P3 +P4 313.05 p.v.

Jei 12 palūkanos būtų sudedamos nepertraukiamai vietoje 12 sudedamų kasmet, sumos galėjo būti

paimtos iš lentelės nepertraukiamam palūkanų sudėjimui. Visi kiti skaičiavimai gali likti nepakitę.

Ekvivalentiškumas tarp pinigų srautų. Inžinerinės veiklos ekonomikoje ekvivalentiškumo reikšmė turi

pirminę svarbą pakeičiančiai vertei. Pavyzdžiui, 300 p. v. esamoji vertė atitinka 798 p. v. , jei sumas

skiria 8 metai ir jei palūkanų norma yra 15. Taip yra todėl, kad asmeniui, kurį patenkina 15 palūkanų

norma turėtų būti tas pats, ar gauti dabar 300, ar po 7 metų 798 p. v.

Šis ekvivalentiškumas tarp 2 – jų pinigų srautų 5.3 paveiksle gali būti pavaizduotas, naudojant

vienkartinių mokėjimų formules. 300 p. v. esamoji suma yra ekvivalentinė.

F/P 15.7 300(1+0.15)300(2.660)p. v. sumai po septynių metų.

Paprastai, 798 p. v. gaunami po 7 metų atitinka

P/F 15.7 7981/(1+0.15) 798(0.3759)300 p. v. šiandieną.

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

5.3 pav. Du ekvivalentiški pinigų srautai,

kai palūkanų norma i 15

Pirmasis skaičiavimas duoda ekvivalentinę 300 p. v. sumos turimos dabar sumą, praėjus 7 metams.

Antrasis skaičiavimas duoda dabartinę sumą, kuri atitinka 798 p. v. gaunamiems po 7 metų. Sprendimas

apriboti analizę dabartiniu laiku arba po 7 metų yra tik skaičiavimo palengvinimui. Gali būti panaudotos

kitos analizės, kadangi yra žinoma, kad tam, kad vienas pinigų srautas prilygtų kitam, jų ekvivalentinės

reikšmės turi atitikti bet kuriuo laiko momentu. Priešingu atveju asmuo, nagrinėdamas kiekvieną iš pinigų

srautų, negali būti abejingas skirtumui tarp jų ir negalima vadinti tokių pinigų srautų ekvivalentiškais.

Pavyzdžiui, ekvivalentinė pinigų srauto suma laisvai pasirenkant laiko momentą n10, yra:

F/P 15,10 300(4.046) 1214 p. v.

Ir 2- am pinigų srautui, ekvivalentinė reikšmė, kai n 10, yra:

F/P 15,3 798(1.521) 1214 p. v.

Ekvivalentiškumas tarp įplaukų ir išlaidų. Daugeliu atvejų atitikimas tarp žinomų išlaidų (įplaukų) ir

nežinomų įplaukų (išlaidų) yra randamas duotai palūkanų normai. 5.2 ir 5.3 lentelės demonstruoja tokius

pavyzdžius. Šios situacijos yra pagrindiniai ekvivalentiškumo principo variantai, kurie bus pateikiami

bandyme.

300 798

1 pinigų srautas 2 pinigų srautas

metai metai

Panagrinėkime pinigų srautų diagramą 5.4 paveiksle. Yra laikoma palūkanų norma, kuri nustato

įplaukas atitinkančias išlaidas. Mes galime pasiekti tai rasdami i reikšmę , kuri tenkintų priklausomybę:

P/F i , 1 P/F i , 5 P/A i, 3 P/F i, 1 1000+500( )+ 250( ) 482 ( ) ( ) +

P/A i,2 P/F i , 5 +482 ( ) ( ). Bandymų – klaidų metodu yra randama, kad 10 yra i reikšmė, tenkinanti esamosios sumos lygybę,

kai t .

0 1 2 3 4 5 6 7 metai

5.4 pav. Įplaukų ir išlaidų pinigų srautas

Kaip buvo parodyta aukščiau, ekvivalentiniai pinigų srautai demonstruoja savo ekvivalentiškumą laiko

atžvilgiu ir yra naudojami kaip ekvivalentiškumo pagrindas. Tai galima pavaizduoti pinigų srautui 5.4

paveiksle laisvai pasirinkto n5 bazėje:

F/P 10, 5 F/P 10,4 F/A 10,31000( 1.611 ) + 500(1.464) + 250 482(3.310)

F/P 10,1 F/A 10,2(1.100) + 482 (1.7355) ,

2593 2593.

Pinigų srautų ekvivalentiškumo antras principas gali būti nustatytas: jei įplaukų ir išlaidų pinigų

srautas yra atitinkamas kažkuriai palūkanų normai, pinigų srautas bet kokios ekvivalentinės pinigų srauto

dalies yra lygus, esant šiai palūkanų normai, ekvivalentinei pinigų srauto sumai su minuso ženklu (-),

kuri sudaro likusią investicijos dalį.

Pavyzdžiui, grįžtant prie 5.4 paveikslo, šis principas garantuoja, kad pirmas pinigų srauto ekvivalentas

bus lygus neigiamam 2 – am pinigų srautui, kai palūkanų norma 10. 1 ir 2 pinigų srautai buvo laisvai

išrinkti ir parodyti 5.5 paveiksle. Tam, kad atskirti įplaukas ir išlaidas, yra teigiamas (+) ir neigiamas (-)

ženklai. Ekvivalentiškumas yra randamas, kai n 4, sekančiai skaičiavimo bazei:

F/P 10,4 F/P 10,3 F/A 10,3

1000

500

482 482 482

250

482 482ĮPLAUKOS

IŠLAIDOS

-1000(1,464) – 500(1,331) + 482(3,310)

P/F 10,1 P/A 10,2 P/F 10,1 -250(0,9091) + 482(1,7355) (0,9091) -534 -534.

Laisvai pasirinkta dalis pinigų srauto gali būti įvertinta bet kurio laiko momento atžvilgiu, kaip tai

įrodyta anksčiau.

5.5 pav. Paveikslas 5.4 padalintas į du pinigų srautus

5.5. Ekvivalentiškumo skaičiavimai, įvertinant obligacijas

Obligacija – finansinis įrankis, nustatantis tolimesnes sąlygas , pagal kurias yra skolinami pinigai. Ji

susideda iš skolintojo įsipareigojimo mokėti numatytą palūkanų normą arba procentą nominalo ar

grynosios vertės numatytais intervalais ir grąžinti nominalią vertę numatytu laiku. Obligacijos paprastai

išleidžiamos nominalinėmis vertėmis, kartotinomis 1000 p. v. Tipinė 1000 p. v. obligacija gali,

pavyzdžiui, apimti pažadus mokėti jos savininkui 60 p. v. per pirmus pirkimo metus ir kiekvienais

sekančiais metais iki nustatyto laiko , kai pagrindinė suma arba nominali 1000 p. v. vertė bus sugrąžinta.

Tokia obligacija gali būti apibrėžta kaip obligacija su palūkanomis, mokamomis vieną kartą į metus.

Obligacijos taip pat gali užtikrinti palūkanų mokėjimus, vykdomus kas pusė metų ar kas ketvirtį.

Obligacijos kaina ir palūkanos. Obligacijos yra perkamos ir parduodamos, kadangi jos apima

įsipareigojimus mokėti ir tokiu būdu turi vertę. Obligacijos rinkos kaina gali kisti aukščiau arba žemiau

jos nominalios vertės, numatomų nuo vyraujančių ir numatomų rinkos sąlygų .

Tarkime, kad asmuo gali nusipirkti už 900 p. v. municipalinę 1000 p. v. nominalios vertės obligaciją,

kuri moka 6 neapmokestinamų palūkanų kas pusmetį. Jeigu obligacijos laikas pasibaigia po 7 metų,

2 pinigų srautas

-1000

-500

0 12 3 4

5

6 7

482 482 482 482 482482

-250

1 pinigų srautas

kokia bus ekvivalentinė palūkanų norma? Finansiniais terminais kalbant, kokios yra obligacijos pajamos

iki mokėjimo termino”(Yield to maturity)”?

Pinigų srautų diagrama šiai situacijai yra parodyta 5.6 paveiksle.

5.6 pav. Obligacijų pinigų srautų diagrama

Pajamos iki mokėjimo termino gali būti nustatytos randant palūkanų normą, kuri šiandienines 900 p. v.

išlaidas sulygina su laukiamų įplaukų šiandienine suma tokiu būdu:

P/A i,14 P/F I, 14 90030( ) + 1000( ).

Surasti i turime pagal bandymų – klaidų metodą. Kai i 3, esamoji įplaukų suma yra:

P/A 3,14 P/F 3,14 30 (11.2961) + 1000(0.6611) 1000.

Esamoji įplaukų suma , kai i 4 yra:

P/A 4,14 P/F 4,14 30 (10.5631) + 1000(0.5775) 894.

Esamoji i reikšmė, kuri prilygina esamąją įplaukų sumą, lygią 900 p. v. yra tarp 3 ir 4 . Interpoliuodami randame: i 3 +1 × (1000-900)/(1000-894 ) 3 +0,94 3,94 per pusmetį.

Nominali metinė palūkanų norma yra:

r (3,94 per pusmetį ) (2 pusmečiai) 7,88 ir efektyvi metinė palūkanų norma

uždirbta iš šios obligacijos:

ie (1+0,788/2)2 - 1 1,0804 – 1 8,04 .

Kadangi obligacijos rinkos kaina yra truputį mažesnė nei jos nominali vertė, realios uždirbtos įplaukos

viršys nustatytą obligacijos palūkanų sumą.taip pat šios realios pajamos nebus sumažintos pajamų

mokesčių, kadangi municipalinės obligacijos yra atleidžiamos nuo pajamų mokesčio.

1000 nominali vertė900

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

30

1030

7654321

0

Investitorius, svarstantis obligacijos pirkimą, gali reikalauti tam tikro minimumo palūkanų pajamų.

Pavyzdžiui, jei nominali palūkanų norma 10 sudedant kas pusmetį yra reikalaujama aprašytai

municipalinei obligacijai, tai kokią maksimalią sumą galima už ją sumokėti dabar?

Sprendimas reikalauja nustatyti šiandieninę sumą P, kuri atitiktų ateities įplaukų eilei kaip reikalauja

obligacijos sutartis. Tai yra nustatoma taip:

P/A 5,14 P/F 5,14 P 30(9.8987) + 1000(0.5051) 820.06 p. v.

Kadangi 820.06 p. v. yra žymiai mažiau esamos obligacijos rinkos kainos, todėl, vargu, ar esant tokiai

kainai įvyks pirkimas?

Obligacijų rinka. Obligacijų kaina kinta laikui bėgant, kadangi obligacijas veikia palūkanų ar

nominalinės vertės nesumokėjimo rizika, paklausa ir pasiūla, ir būsimoji perspektyva, susijusi su

infliacija. Šie veiksniai veikia su esamomis pajamomis ir pajamomis iki mokėjimo termino, nustatydami

kainą, pagal kurią obligacija bus parduodama.

Obligacijos esamos pajamos (Current yield) – tai palūkanos, uždirbamos kasmet, kaip procentas nuo

esamosios kainos, dažnai vadinama kupono norma. Šios pajamos nustato tiesioginių metinių įplaukų dydį,

gaunamą nuo investicijos. Pajamos iki mokėjimo termino yra apskaičiuojamos surandant i reikšmę, kaip

parodyta prieš tai buvusiame skyriuje. Jei obligacija yra perkama nuvertėjusi (esamoji kaina yra mažesnė

nei nominali vertė) ir laikoma iki mokėjimo termino, investitorius uždirba tiek palūkanų įplaukas, tiek

skirtumą tarp pirkimo kainos ir jos nominalinės vertės. Kai obligacija yra perkama su priemoka, (esamoji

kaina yra didesnė nei jos nominalinė vertė) ir laikoma iki mokėjimo termino, investitorius uždirba

palūkanų įplaukas, bet atiduoda skirtumą tarp pirkimo kainos ir nominalinės vertės. Taigi, pajamos iki

mokėjimo termino rodo ne tik palūkanų pajamas, bet taip pat gautą naudą arba nuostolius, jei obligacija

yra laikoma iki mokėjimo termino.

Gali būti žymus skirtumas tarp pajamų iki mokėjimo iki termino pabaigos ir esamų obligacijos

pajamų. Todėl kad obligacijos rinkos kaina gali būti didesnė ar mažesnė už jos nominalią vertę,

esamosios pajamos arba pajamos iki mokėjimo termino gali žymiai skirtis nuo nustatytos obligacijos

vertės. Tiktai tada, kai obligacija yra perkama pagal jos nominalią vertę, esamosios pajamos ir pajamos

iki mokėjimo termino atitiks kupono normai.

Kai tiktai investitoriaus norimos palūkanų normos lygis keičiasi, keičiasi obligacijų rinkos kaina, kas

sudaro obligacijos pajamas. Taigi, kai vyraujančios galimos investitoriaus palūkanos didėja ar mažėja,

obligacijos rinkos kaina atitinkamai krenta arba didėja. Obligacijos pirkėjas gali tikėtis išlošti iš kylančios

ar krentančios obligacijos kainos. Perkant obligaciją, kai palūkanų norma yra aukšta, ir parduodant ją, kai

palūkanų norma mažesnė, investitorius gali gauti priklausančią naudą iš padidėjusios jos rinkos vertės.

Žinoma, investitorius turi teisę laikyti obligaciją iki mokėjimo termino , kol uždirbs pajamas,

nepriklausomai nuo pasikeitimų pagrindiniame palūkanų normos lygyje.

5.6. Ekvivalentiškumo skaičiavimai, įvertinant paskolas

Paskola arba kreditas – yra susitarimas tarp skolintojo ir kreditoriaus, sąlygojantis duodamą pinigų

sumą ir būdą, pagal kurį pinigai bus grąžinami. Nors yra standartinės paskolinių sutarčių klasės, bet

praktikoje egzistuoja didžiulė įvairovė paskolinių sutarčių derybų tarp skolintojo ir kreditoriaus.

Pagrindiniai ekvivalentiškumo skaičiavimai paskoloms yra pateikti šiame skyriuje. Todėl, kad yra

platus diapazonas paskolinėms sutartims, sustosime prie tam tikrų tipų paskolų, sutinkamų dažniausiai

tarp asmenų ir veiklų.

Efektyvios palūkanos paskolai. Skolintojas turi žinoti skirtumą tarp esamosios palūkanų kainos

paskolai ir nustatytos kreditoriaus palūkanų normos. Efektyvi palūkanų norma, kuri nustato lygias

pajamas išlaidoms ekvivalentinėje bazėje, yra norma, kuri teisingai atspindi tikrąją paskolos palūkanų

kainą.

Pavyzdžiui, panagrinėkime paskolos ‘’pridėjimą’’, naudojamą finansuoti daugelio vartotojiškų prekių

pirkimą. Šiame paskolos tipe, bendros pajamos, kurios turės būti išmokėtos, yra paskaičiuojamos ir

pridedamos prie pradinės sumos. Pagrindinė suma plius šių pajamų suma yra mokama lygiais mėnesiniais

mokėjimais.

Tarkime, kad asmuo pageidauja pirkti namų apyvokos daiktą už 300 p.v. Pardavėjas nustato, kad

palūkanų norma bus lygi 20 pridėtos ir mokėjimus galima padaryti per vienerius metus. Privalomi

skaičiavimai bendrai sumai yra 300 + 0.20 ( 300 ) 360 p.v. Mokėjimų suma per mėnesį bus: 360/ 12

30 p.v. 5.7 paveikslas iliustruoja pinigų srautą šiai pridėtai paskolai.

5.7 pav. Pinigų srautas pridėtai paskolai

Dabartinę arba efektyvią palūkanų normą šiai paskolinei situacijai apskaičiuojame, randant i reikšmę,

kai nustatoma pajamų ir išlaidų lygybė, naudojant

P/A i, 12

300

0

3030 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

121110987654321

P A ( ),

P/A i, 12 300 30 ( 10,000 )

Rezultatas yra : i 2,9 ; r 2,9 ( 12 ) 34,8

ie ( 1,029 )12 – 1 = 40,9 .

Nors nustatyta palūkanų norma buvo 20 , tikroji arba efektyvi išmokama metinė norma viršija 40 .

Paskolos balanso likutis. Paskolos balanso likutis yra žinomas įvairiais pavadinimais, tokiais kaip:

skolos suma, nepadengtas balansas, neapmokėtas balansas ir pagrindinės sumos skola. Tam, kad atlikti

paskolos balanso likučio paskaičiavimą po apibrėžto skaičiaus mokėjimų, yra būtima rasti ekvivalentą

pasiskolintos pradinės sumos, mažesnį ekvivalentą sugrąžintos sumos, apimant padengtą paskutinį

mokėjimą.

Tarkime, kad yra pasiskolinta 10000 p.v. suprantant, kad ji bus grąžinama lygiais ketvirtiniais

mokėjimais per 5 metus su palūkanų norma 16 per metus sudedant kas ketvirtį. Ketvirtiniai mokėjimai

bus:

A/P 4, 20 10000 ( 0,0736 ) 736 p.v.

Po 13 padaryto mokėjimo skolintojas nori sumokėti likutį taip, kad įsipareigojimas baigtųsi. Balanso likutis keturioliktojo periodo pradžioje yra randamas skaičiuojant ekvivalentą pradinės skolintos sumos šiam laiko momentui, ekvivalentą sugrąžintos sumos bei jų skirtumą : F/A 4, 13 F/A 4, 13 10000 ( 1,665 ) - 736 ( 16,627 ) 4413 p.v.

Pasirinktinai, mokėjimų likučio ekvivalentas gali būti rastas laiko momentui, kai balanso likutis turi

būti sumokamas.

Šiam pavyzdžiui, balanso likutis po 13 – tojo mokėjimo, liekant septyniems mokėjimams yra : P/A 4,7 736 ( 6,0021 ) 4418 p.v.

kur skirtumas gaunamas nuo apvalinimo.

Šio skaičiavimo interpretacija yra tokia: kreditorius paima dalį sumos po 13 mokėjimo, kuri atitinka

mokėjimų likučiui, esant taikomai palūkanų normai. Kadangi balanso likutis atitinka mokėjimų likučiui,

kreditoriui turi būti tas pats, ar dalį sumos gaus tuojau pat, ar ateityje iš lygios serijos mokėjimų.

Toms paskoloms, kuriose palūkanų norma kinta kintant laikui, pirmasis parodytas priėjimas gali būti

taikomas analizuojant palūkanų normos keitimąsi. Tarkime, kad asmuo skolinasi 6000 p.v. grąžinamus po

300 p.v. lygiais mokėjimais kas mėnesį ir su priklausančiu balanso likučiu penktų metų pabaigoje.

Palūkanų norma kinta kasmet, prisitaikydama prie rinkos efektyvios palūkanų normos. Tarkime, kad

rinkos palūkanų norma pirmais metais buvo 1,5 per mėnesį ir sudarė 1,0 per mėnesį antraisiais

metais. Po 19 – to mokėjimo, balanso likutis šiai paskolai yra:

F/P 1,5,12 F/P 1,7 F/A 1,5,12 F/P 1,7 6000 ( 1,196 ) ( 1,072 ) - 100 ( 13,041 ) ( 1,072 ) +

F/A 1,7

+ 100 ( 7,214 ) 5573.

Kai rinkos palūkanų norma visiems 5 metams yra žinoma, balanso likučio paskaičiavimui naudojama

aukščiau išdėstyta procedūra.

Kontroliniai klausimai

1. Kas tai yra ekvivalentas? Ką jis reiškia ekonomikoje?

2. Kokiais atvejais naudojamas vienkartinio mokėjimo sudėtinės sumos koeficientas ekvivalentiškumo

skaičiavimui?

3. Kokiais atvejais naudojamas vienkartinio mokėjimo esamosios sumos koeficientas ekvivalentiškumo

skaičiavimuose?

4. Kokiais atvejais ekvivalentiškumo skaičiavime naudojamas lygių mokėjimų serijos sudėtinės sumos

koeficientas?

5. Kaip galima parodyti grafiškai ekvivalentiškumo skaičiavime pinigų srautų pagalba?

6. Kaip skaičiuojamas ekvivalentas, esant dažnesniems palūkanų sudėjimams negu vieni metai?

6. Infliacija ir pinigų perkamoji galia

6.1. Infliacijos matavimas ir tempai

Infliacija – tai bendrojo kainų lygio augimo pasekmė. Ir atvirkščiai- infliacijos metu kyla kainos.

Darbo užmokestis kaip darbo jėgos kaina, infliacijos metu, paprastai, taip pat kyla. Jis gali kilti

proporcingai infliacijos tempams, sparčiau arba lėčiau. Tai praktiškai stebime mūsų respublikos

ekonomikos pertvarkoje.

Norint išlaikyti pragyvenimo lygį, reikia vis daugiau ir daugiau pinigų. Infliacijos metu piniginio

vieneto perkamoji galia vis mažėja. Ekonomistų tyrimai jau seniai įrodė, kad pinigų perkamoji jėga

nėra pastovi laiko bėgyje. Dažniausiai perkamų prekių vienetų kiekis mažėja, kai dabartį lyginame

su kažkokiu ankstesniu laiku (infliacija). Tačiau būna, nors retai, laiko periodų, kai padidėja piniginio

vieneto perkamoji jėga (defliacija). Infliacija ir defliacija – priešišką prasmę turinčios ekonominės

kategorijos.

Labiausiai nuo infliacijos kenčia žmonės, kurie gauna fiksuotas pajamas – pensininkai, studentai.

Tačiau dėl infliacijos vieni kažko neteks, kiti – atvirkščiai – laimi. Dažnai kreditoriai, skolinę pinigus

ilgam laikui – pralaimi, o kurie patys skolinosi tomis sąlygomis – laimi. Vadinasi, infliacija labai

veikia pajamas ir turtą.

Infliacijos dydį galima numatyti arba ne, nes daugumoje atvejų ji ateina nelauktai. Numatyti

tiksliai infliacijos dydį – labai sunku. Skelbiamos prognozės, kaip taisyklė, žymiai prasilenkia su

gyvenimu. Kad išvengti palūkanų nuostolių, kreditoriai stengiasi paaukštinti palūkanų normą. Nesant

palūkanų normas ribojančių įstatymų, kreditoriai lobsta, daugumoje mūsų gyvenimo atvejų – tiesiog

lupikauja. Iš kitos pusės, galimi atvejai, kai verslininkai, pastoviai didindami akcininkų dividendus,

neprognozuotai išaugus infliacijai, gali atsidurti ant bankroto ribos. Ta pati bėda ištinka smulkias

santaupas bankuose turinčius žmones, jei infliacijos tempai viršija palūkanų už santaupas normą,

kadangi infliacijos metu mažėja pinigų perkamoji jėga. Todėl šuoliuojančios infliacijos metu, kai

greitai besikeičia kainos, nepatartina sudarinėti ilgalaikių piniginių sutarčių.

Ekvivalentiškumo inžineriniuose sprendimuose skaičiavimuose teisingam pinigų vertės

nustatymui atitinkamu laiko momentu yra svarbu, kad būtų teisingai nustatyta tiek uždirbančioji, tiek

ir perkamoji pinigų jėga.

Infliacijos ir defliacijos matavimas. Darbo našumo augimas ir prekių pasiūlos didėjimas veikia

kainų mažėjimo kryptimi. Tuo tarpu vyriausybės politika kainų palaikymo srityje, deficito

finansavimas – veda prie kainų didėjimo. Kad išmatuoti kainų lygio kitimą atskiroms prekėms arba

bendro gyvenimo lygio kitimą, skaičiuojamas kainų indeksas. Kainų indeksas – tai santykis tarp

atskirų prekių kainos tam tikru laiko momentu su tų pačių prekių kaina ankstesniu laiko momentu.

Ankstesnis laiko momentas dar vadinamas baziniais metais. Pavyzdžiui, prekės kaina 0.85 p. v. už 1

kg 1987 m. (baziniais) ir 2.63 p. v. už 1 kg 1992 m. Tada kainos indeksas: ( 2.63/0.85) * 100

309.4. Gali būti skaičiuojami įvairūs kainų indeksai – santykiniai, absoliutiniai ir kt. – tačiau mums

tolimesnėje pinigų perkamosios galios koncepcijoje indekso išraiška neturi esminės reikšmės, todėl

pasitenkinsime čia pateiktu. Esmingas tolimesniuose skaičiavimuose yra pačios infliacijos poveikio

įvertinimo būtinumas.

Infliacijos tempai. Kai nagrinėjamas infliacijos ar defliacijos poveikis, įprasta naudoti metinę

procentinę infliacijos normą. Infliacijos norma rodo metinį kainų padidėjimą arba sumažėjimą per

vienerių metų laikotarpį. Kadangi kiekvienų metų infliacijos norma yra skaičiuojama ankstesnių

metų kainų bazėje, ji turi sudedamąjį požymį. Eilutė infliacijos normų per tam tikrą laikotarpį parodo

infliacijos tempus. Taigi, prekės kainos dydis antrų metų pabaigoje, kai nustatyta 9 metinė

infliacijos norma 1 – ais metais ir 8 - antrais metais, bus:

(Kaina antrų metų pabaigoje) (1 + 0.09)(1 + 0.08)×(Kaina pirmų metų pradžioje).

Kadangi infliacijos ar defliacijos normų prigimtis yra sudėtinė, tai palūkanų formulės ir

koeficientai, uždirbančiąją jėgą, yra pritaikomi, kai skaičiuojami pasikeitimai pinigų perkamojoje

jėgoje arba kainų pasikeitimas (infliacija).

6.2. Perkamoji pinigų jėga

Kai kainos kyla ar krenta, prekių ir paslaugų kiekis, kuris gali būti įsigytas už fiksuotą p. v.

skaičių, atitinkamai gali didėti arba mažėti. Šis perkamosios jėgos pasikeitimas turi būti įvertintas

inžineriniuose sprendimuose.

Tarkime, žmogus gali investuoti 100 p. v. dabar, uždirbamas 15 palūkanų į metus per sekančius

5 metus. Penktų metų pabaigoje sukaupta suma gali būti:

F/P 15,5 100(2,011) 201.10 p. v.

Šiandien šis žmogus gali nusipirkti 1 – ą automobilio padangą už 100 p. v. Bet, tarkime, kad šių

padangų kaina auga 10 normos dydžiu per metus. Po 5 metų ta pati padanga kainuos:

F/P 10,5 100(1,611) 161.10 p. v.

Jeigu investavimo sprendime šis žmogus neatsižvelgs į perkamosios galios sumažėjimą, tai gali

labai apsirikti. Jis gali suklysti, įsivaizduodamas, kad po 5 metų už tuos pinigus jis nusipirks 2

automobilio padangas. Kaip rodo skaičiavimai, už pinigus, gautus po 5 metų investicijos termino, jis

galės nusipirkti tik 1.25 padangos.

Nors kainų augimas ir perkamosios galios mažėjimas yra iš esmės panašūs, tačiau jų skaičiavimai

skiriasi. 10 kainų padidėjimas nereiškia, kad perkamoji pinigų galia sumažės taip pat 10. Jei

infliacijos norma 10 , tai procentinis pinigų perkamosios galios sumažėjimas bus:

1 – (1/1.10) 1 –0.909 9.1 .

Perkamosios jėgos nuostoliai šiuo atveju (100 – 9.1) 90.9 .

Reikia pažymėti, kad toliau infliacijos poveikį mes nagrinėsime ne perkamosios jėgos kitimo, bet

daugiau kainų kitimo prasme, nes tai labiau tinka inžinerinių sprendimų analizėje.

Infliacijos poveikiui pinigų srautų sudaryme nagrinėti būtina išsiaiškinti dvi piniginių vienetų

(dolerių, rublių, litų) sampratas:

1. Piniginio srauto įvertinimas dabartiniais (esamais) piniginiais vienetais;

2. Piniginio srauto įvertinimas pastoviais piniginiais vienetais.

Dabartiniai (esamieji) p. v. nusako gautus arba išleistus pinigus bet kuriuo analizuojamu laiko

momentu. Čia pinigų suma skaičiuojama pagal bendrą nominalią valiutos vertę. Pinigų srautai parodyti

ankstesniuose skyriuose yra būtent pagal šią sampratą.

Pastovūs p. v. rodo hipotetinę būsimų įplaukų ar išlaidų perkamąją jėgą kažkokių bazinių metų p. v.

perkamosios jėgos atžvilgiu. Ši bazė gali būti laisvai pasirinkta, nors dažnai priimama, kad laikas

investicijos pradžioje yra nulinis.

Dabartinių p. v. pakeitimas į pastovius p. v. bet kuriam laiko momentui į tą patį laiko momentą, kai

infliacijos palūkanų norma f () per metus, bus atliekamas taip:

Pastovūs p. v. 1/(1 + f)n (Dabartinai p. v. ) ir atvirkščiai.

Dabartiniai p. v. = (1 + f)n. (Pastovūs p. v. ).

Panagrinėkime tokį pavyzdį. Išsiaiškinkime 1976 m. dabartinių p. v. pakeitimą į 1976 m. pastovius p.

v., kurių bazė yra 1967 m., kai duoti kainų indeksai f nuo 19680 iki 1976 m.

Taikome išraišką 1/(1 + f’’)n,

Čia f’’ - infliacijos normos geometrinis vidurkis per 9 metus nuo 1968 – 1976 m.;

n – metų skaičius, apimantis 1968 – 1976 metų periodą

(1 + f1968) + (1 + f1969) + ...(1 + f1976) (1 + f’’)9.

Daug inžinerinių sprendimų yra susiję yra susiję su būsimais siūlomų investicijų rezultatais, kai

dabartinio (esamo) ar pastovaus p. v. pinigų srautas turi būti pagrįstas ateities palūkanų norma.

Pavyzdys. Jeigu 5000 p.v. 8 obligacija turi 5 metus, likusius iki mokėjimo termino, jos pinigų srautas

esamais p. v. bus toks, kaip parodyta 6.4 lentelėje.

Pastovių p. v. pinigų srautas pagrįstas pinigų perkamąja jėga šiai dienai (t 0) su 10 palūkanų

norma per metus.

Obligacijos savininkas gali sužinoti, ką siūlo obligacija šios dienos pirkimo jėgos prasme, žiūrėdamas į

pastovaus p. v. pinigų srautą: po 5 metų 5400 p. v. pirks tiktai tiek, kiek šiandien už 3397 p. v., t.y, kad po

5 metų gautas p. v. bus vertas tik 0.629 p. v. jo šiandieninės vertės.

6.3. Infliacijos poveikis palūkanų normai

Čia bus nagrinėjamas infliacijos normos f ir palūkanų normos

6.1. lentelėDabartinių (esamų ) p.v. pakeitimas į pastovių p.v. pinigų srautą.

Laikas Pinigų srautas Pakeitimo koeficientas Pinigų srautas ( esami p.v.) ( pastovūs p.v.)

P/F 10,1 1 400 1/1,101=( 0,9091 ) 364

P/F 10,22 400 1/1,102=( 0,8265 ) 331

P/F 10,33 400 1/1,103=( 0,7513 ) 301

P/F 10,44 400 1/1,104=( 0,6330 ) 273

P/F 10,55 5400 1/1,105=( 0,6290 ) 3397

I tarpusavio ryšys. Yra išskiriama 2 palūkanų normos :

1. Rinkos palūkanų norma I ;

2. Laisva nuo infliacijos palūkanų norma i‘ .

Rinkos palūkanų norma ( I ) suteikia galimybę uždirbti. Ji yra investuotojų veiklos funkcija,

sąlygojama rinkos. Kai infliacija auga, tai rinkos palūkanų norma mažėja.

Laisva nuo infliacijos palūkanų norma (i’) rodo pinigų uždirbančiąją jėgą su pašalintu infliacijos

poveikiu. Tai abstrakti palūkanų norma. Finansinės rinkos sandėriuose ji nėra naudojama. Jei

ekonomikoje nėra infliacijos, tai i=i’ .

Ypač svarbus palūkanų ir infliacijos ryšys, nagrinėjant pinigų srautus dabartiniais ir pastoviais p.v.

Skaičiuojant ekvivalentą tiek esamais, tiek pastoviais p.v., svarbu išsiaiškinti ryšius tarp i , i ’ ir f. 6.1

paveiksle pavaizduota vienkartinė piniginė įplauka n laiko momente nuo dabar F ( esamais p.v.) ir F ’

(pastoviais p.v. ).

Įsiminkite:

1. Jeigu tikėtina infliacijos norma f % per metus, tai anksčiau parodėme, kad 1/(1+f) n keičia F ir F’

prie vienodo n. Koeficientas (1+f)n daro atvirkštinį keitimą. Vadinasi, infliacijos norma f yra naudojama

pakeisti pinigų srautą iš esamo p.v. srities į pastovaus p.v. sritį, esant tam pačiam laiko momentui;

2. Pakeisti piniginius vienetus į jų ekvivalentus skirtingais laiko momentais esamo p.v. srityje,

naudojama rinkos palūkanų norma i. Koeficientas 1/(1+i)n pakeičia esamą p.v. laiko momentu t=n į esamą

p.v. laiko momentu t=0. Koeficientas (1+i)n pakeičia esamą p.v. ankstesniu laiko momentu į jų

ekvivalentą būsimame laiko periode. Vadinasi, esamo p.v. srityje rinkos palūkanų norma i yra naudojama

ekvivalento radimui.

3. Palūkanų norma i’ yra bazė ekvivalento skaičiavimui pastovaus p.v. srityje. Koeficientas 1/(1+

i‘)n randa pastovaus p.v. ekvivalentą, kai t=0 ir pastovaus pinigų srauto prie t=n. Vadinasi, uždirbančios

pinigų jėgos skaičiavimai gali būti pritaikomi palūkanų normai, kuri yra laisva nuo infliacijos poveikio.

F (1+i)n

Dabartiniai 1/(1+i)n (esamieji ) p.v.

..... 0 1 2 n-2 n-1 n

(1+f)n

1/(1+f)n

F’

(1+i’)n

1/(1+i’)n

Pastovūs p.v.

..... 0 1 2 n-2 n-1 n

6.1 pav. Ryšiai tarp i, i‘ ir f.

Jei analizė vykdoma esamais p.v. ir pastoviais p.v., gali iškilti sunkumų, parenkant ekvivalento

suradimo būdą. Kokią palūkanų norma čia naudoti, priklauso nuo srities, kurioje yra vykdomi

skaičiavimai.

Palūkanų norma, tinkanti rastiPinigų srauto sritis ekvivalentus skirtingiems laiko

momentams

1. Dabartinis (esamasis) p.v. Rinkos palūkanų norma I2. Pakeitimas tarp sričių esant infliacijos normai f3. Pastovus p.v. Laisva nuo infliacijos palūkanų

norma I,

Jei analizė tiek esamo p.v., tiek pastovaus p.v. yra nuosekli, ekvivalentinė suma, kai t=0, bet kurioje

srityje turi būti lygi. Pradedant, kai t=n su suma F esamų p.v. srityje ir skaičiuojant jos ekvivalentą, kai

t=0, tai gali būti įvykdyta dviem būdais. Pirmas būdas naudoja esamą p.v. ir konvertuoja jį į jo

ekvivalentą, kai t=0:

P=F×(1/(1+I)n)

Antras būdas konvertuoja esamą p.v. į pastovų p.v. ir tada randa ekvivalentą pastovaus p.v. srityje,

kai t=0:

F’ =F×(1/(1+f)n) ;

P=F’×(1/(1+i)n)= F×(1/(1+f)n)×(1/(1+i’)n).

Sulyginus dviejų skaičiavimo metodų rezultatų lygybes, gaunama:

F=1/(1+i)n=F×(1/(1+f)n)×(1/(1+i’)n),

(1+i)n=(1+f)n×(1+i’)n,

1+i=(1+f)×(1+i’),

i=(1+f)×(1+i’)-1

Iš čia i‘ =((1+i)/(1+f))-1

Pavyzdys. Jei infliacijos norma f=10% į metus, i=15% tam pačiam laikui, tai

i=(1,15/1,10)-1=4,55%. Jei vienkartinis mokėjimas 100 p.v. yra gaunamas po 12 metų, kokiai sumai

prilyginsime šitą, kai t=0 ?

P/F 15,12P=100(0,1869)=18,69 p.v. arba

P/F 10,12 P/F 4,55,12P= 100 (0,3186)× (0,5866) =18,69.

Pasirinktas būdas paprastai priklauso nuo to, ar rezultatai turi būti esamais p.v., ar pastoviais p.v.

Kontroliniai klausimai:1. Kas yra infliacija ir defliacija?

2. Kaip nustatoma infliacijos norma?

3. Kas yra pinigų perkamosios jėgos sumažėjimas?

4. Kas yra dabartiniai (esamieji) piniginiai vienetai?

5. Kas yra pastovus piniginiai vienetai?

6. Kaip keičiami dabartiniai p.v. į pastovius p.v.?

7. Kas yra laisva nuo infliacijos palūkanų norma?

8. Kas yra rinkos palūkanų norma?

9. Kokia palūkanų norma naudojama pakeisti esamus p.v. skirtingais laiko momentais?

10. Kokia palūkanų norma naudojama perskaičiuoti pastovius p.v. skirtingiems laiko momentams?