Kapitel 11 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung...Institute of Structural Engineering Page 3 Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi Herleitung der Differenzialgleichung nach Theorie 2.Ordnung

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Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi

Kapitel 11Berechnung nach Theorie 2.

Ordnung



Lernziele:

• Herleitung der Differenzialgleichung nach Theorie 2. Ordnung

• Ermittlung der Eulerknickfälle – Analytisches Verfahren (exakt)

• Eulersche Knickfälle (Knicklänge, Knicklasten)

• Näherungsverfahren

• Energiemethode – Rayleigh Quotient

• Methode nach Vianello



Herleitung der Differenzialgleichung nach Theorie 2.Ordnung

Gleichgewicht am verformten System nach Theorie 2. Ordnung

𝑤𝑤

qzz, w

x, u

𝑑𝑑𝑑𝑑

y, v

w(x

)

𝑀𝑀𝑦𝑦(𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝑀𝑀𝑦𝑦(𝑑𝑑)𝑁𝑁𝑑𝑑(𝑑𝑑)

𝑁𝑁𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝑉𝑉𝑧𝑧(𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝑉𝑉𝑧𝑧(𝑑𝑑)𝑤𝑤𝑤

w(x

+dx

)

Source: Baustatik II , Simon Zweidler

Infinitesimales Balkenelement

Balken

Von der Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung lässt sich folgende Beziehung ableiten:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

sin und cos( ') 10

cos cos sin sin ' 0

' 0

0

w w w

z z z x x

z z z x x

z z x

V

q dx V x dx w x dx V x w x dx N x dx w x dx N x w x

q dx V x dx V x N x dx w x dx N x w x

q V N w

′ ′= == →

′ ′ ′+ + + − + + + + − =

′⇒ + + − + + + − = ⇒

′′ ′+ + =

∑

𝑃𝑃




𝑤𝑤

qz

z, w

x, w

𝑑𝑑𝑑𝑑

y, v

w(x

)𝑀𝑀𝑦𝑦(𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑)





w(x

+dx

)


Infinitesimales BalkenelementBalken

aber

( ) ( ) 0 '''' y x z y zM N w q EI w Nw q′ ′′ ′ ′′+ + = ⇒ − =

&y y zy

Mw M V

EIκ ′′′= − = =

Differenzialgleichung für kombinierte Biege-und Normalkraftbeanspruchung:

𝑃𝑃





𝑤𝑤

qz

z, w

x, w

𝑑𝑑𝑑𝑑

y, v

w(x






w(x

+dx

)



𝑃𝑃

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

1 2 3 4

20

0

wenn 0 : '''' , wo /

Homogene Lösung: cosh sinh

Partikuläre Lösung für ( ) : 2

für ( ) 0: ( ) 0 kein Knicken beim Zug

y z y

h

p

h

N EI w Nw q N EI

w x C C x C x C x

q xq x q w xN

q x w x w x

λ

λ λ

′′> − = =

= + + +

−= =

= = =


Differenzialgleichung für kombinierte Biege- und Normalkraftbeanspruchung:

wenn N>0 (Zugkraft):




𝑤𝑤

qz

z, w

x, w

𝑑𝑑𝑑𝑑

y, v

w(x






w(x

+dx

)



4 2 2 2 2

2

2 2

2

2 sin ,cos,

wenn 0 : '''' , wo /

'''' '

0 0 or

'

''

y z y

zy y z

y

x xx x

N EI w Nw q N EIqEI w EI w q w w EI

iλ λ

κ κ κ κ λ κ λ

λ

λ λ

λ = ⇒ = = − ⇒

′′< + = =

= ±

′′ ′′+ = ⇒ + =

+

charakteristisches Polynom


𝑃𝑃


beim Knicken, N




𝑤𝑤

qz

z, w

x, w

𝑑𝑑𝑑𝑑

y, v

w(x






w(x

+dx

)



( ) ( ) ( )

( )

2

1 2 3 4

20

0

wenn 0 : '''' , wo /

Homogene Lösung: cos sin

Partikuläre Lösung für ( ) : 2

y z y

h

p

N EI w Nw q N EI

w x C C x C x C x

q xq x q w xN

λ

λ λ

′′< + = =

= + + +

= =


𝑃𝑃


beim Knicken, N



Beschreibung des Stabilitäts- bzw Verzweigungsproblems


( ) ( ) ( )

2

1 2 3 4

0, 0 '''' 0 , wo /

Homogene Lösung: cos sinz y y

h

N q EI w Nw N EI

w x C C x C x C x

λ

λ λ

′′< = ⇒ + = =

= + + +

Perfekt gerader Stab ohne Querbelastung (qz=0) in Form eines Pendelstabes 𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

( ) ( ) ( )2 23 4 3

1 3 1

0 0 (0) 0 cos 0 sin 0 0 0

(0) 0 0 0

M w C C C

w C C C

λ λ′′= ⇒ = ⇒ − − = ⇒ =

= ⇒ + = ⇒ =

𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛 = 2

( )( )

kinematische Randbedigungen: (0) 0

statische Randbedigungen: (0) 0

w w l

M M l

= =

= =






𝑙𝑙 yEI

( ) ( ) ( )

( )

3 02 23 4

2 4

0 ( ) 0 cos sin 0

sin 0 , 1, 2,

( ) 0 sin

CM l w l C l C lnl l n nl

nw l C l C ll

λ λ λ λ

πλ λ π λ

π

=′′= ⇒ = ⇒ − − = →

= ⇒ = ⇒ = =

= ⇒ +

20 0C= ⇒ =

max( ) sinn xw x w

lπ =

𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛 = 2

( ) ( ) ( )

2

1 2 3 4

0, 0 '''' 0 , wo /


h

N q EI w Nw N EI

w x C C x C x C x

λ

λ λ

′′< = ⇒ + = =

= + + +

( )( )

kinematische Randbedigungen: (0) 0

statische Randbedigungen: (0) 0

w w l

M M l

= =

= =





( )

2

max max

2 22

2

0, 0 '''' 0 , wo /

( ) sin sin , wo

z y y

yy

N q EI w Nw N EI

n x nw x w x wl l

N n N n EIEI l l

λ

π πλ λ

π π

′′< = ⇒ + = = = = =

⇒ = ⇒ =


𝑙𝑙 yEI

𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛 = 2

Aus strukturmechanischer Sicht ist nur der kleinste Wert mit n=1gemäß:

2

2cr yN EI lπ

=

von Bedeutung.



Anwendungsbeispiel: Ermittlung der EulerknickfälleVerallgemeinerung (beliebige Balkenelemente):

Die unbekannten Koeffizienten werden entsprechend der angegebenen Randbedingungen bestimmt

( ) ( ) ( )

2

1 2 3 4

0, 0 '''' 0 , wo /


h

N q EI w Nw N EI

w x C C x C x C x

λ

λ λ

′′< = ⇒ + = =

= + + +

4 Unbekannte

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI



Anwendungsbeispiel: Ermittlung der Eulerknickfälle

Die unbekannten Koeffizienten werden entsprechend der angegebenen

Randbedingungen bestimmt

( )( )( )( )

( )1 2 30 cos 00 00 0

0

0

C C Cw

w

w l

w l

λ + ⋅ +=

′′ = ⇒

= ′′ =

( )1

4 sin 0C λ+

( )

0

23

0

cos 0Cλ λ

=

− ( )1 2

4 sin 0Cλ λ−

( ) ( )( ) ( )

0

1 2 3 42 2

3 4

0

cos sin 0cos sin 0

C C l C l C lC l C l

λ λλ λ λ λ

=

+ + + =− − =

Homogenes lineares Gleichungssystem

Fall 1 – Pendelstab:

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −






( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

12

2

32 2

4

0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0

1 cos sin 000 0 cos sin 00

w Cw C

l l l Cw ll l Cw l

λλ λ

λ λ λ λ

= ′′ = − ⇒ = = − − ′′ = x 0A


det(A)= 0


𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −







( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

2 2

0 0 1 0 1 00 0 0 0 0

01 cos sin00 0 cos sin0

w

wl l lw l

l lw l

λλ λ

λ λ λ λ

=

′′ = −⇒ =

= − −′′ =


det(A)= 0

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −







2

2cr yN EI lπ

=


det(A)= 0 ( ) 1sin 0 nl l nλ λ π == ⇒ = →

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

( ) sin xw x ALπ

=Knickfigur:



Anwendungsbeispiel: Ermittlung der EulerknickfälleVerallgemeinerung:



Fall 2 – beidseitig eingespannter Balken:

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( )( )( )( )

( )1 2 30 cos 00 00 0

0

0

C C Cw

w

w l

w l

λ + ⋅ +=

′ = ⇒

= ′ =

( )1

4 sin 0C λ+

( )

0

2 3

0

sin 0C Cλ λ

=

− ( )0

4 cos 0Cλ λ+

( ) ( )( ) ( )

1

1 2 3 4

1 2 3

0

cos sin 0sin cos 0

C C l C l C lC C l C l

λ λλ λ λ λ

=

+ + + =− + =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )det

0 0 1 0 1 00 0 0 1 0

01 cos sin00 1 sin cos0

w

wl l lw l

l lw l

λλ λ

λ λ λ λ

=

′ = ⇒ =

= −′ =

A


det(A)= 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

det(A)= 0 ( ) ( )

( ) ( )22 2cos sin 0 mit:

cos 1 2sin & sin 2sin cos2 2 2

l l l

l l ll l

λ λ λ

λ λ λλ λ

− − =

− = − =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −



21

2

2sin 02 2 4 &

2 cos sin

2 2 2

crn

cr y crcr

cr

l l nl lP EI l

ll l lor

λ λ ππ λπ π

λλ λ λ λ λ

=

= ⇒ = ⇒ = → = = =

= ⇒ >





𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

sin cos sin 02 2 2 2l l l lλ λ λ λ − = ⇒

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

( ) 2cos 1xw x ALπ = −

Knickfigur:






Fall 3 – einseitig eingespannter Balken:

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( )( )( )( )

( )1 2 30 cos 00 00 0

0

0

C C Cw

w

w l

w l

λ + ⋅ +=

′ = ⇒

= ′′ =

( )1

4 sin 0C λ+

( )

0

1 2

0

sin 0C Cλ λ

=

− ( )0

3 cos 0Cλ λ+

( ) ( )( ) ( )

1

1 2 3 42 2

3 4

0

cos sin 0cos sin 0

C C l C l C lC l C l

λ λλ λ λ λ

=

+ + + =− − =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

2 22 3

1 cos sin

sin cos

sin cos

w x C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −


𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

det

0 0 1 0 1 00 0 0 1 0

01 cos sin00 0 cos sin0

w

wl l lw l

l lw l

λλ λ

λ λ λ λ

=

′ = ⇒ =

= − −′′ =

A


det(A)= 0






( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

2 22 3

1 cos sin

sin cos

sin cos

w x C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −


𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

2

2

2 & 0.7cr y crN EI l llπ π

λ= = ≈

det(A)= 0

( ) 4.493tan 0.7

l ll l

πλ λ λ= ⇒ = ≈ ⇒



𝑉𝑉𝑧𝑧 = −𝐸𝐸𝐼𝐼𝑦𝑦𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤

Anwendungsbeispiel: Ermittlung der EulerknickfälleVerallgemeinerung::



Fall 4 – Kragarm (einseitig eingespannter und freier Stab):

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑤𝑤𝑤

𝑤𝑤𝑤

Randbedingungen: ( ) ( ) ( )0 0, 0 0, 0w w w l′ ′′= = =

Querkraft am freien Ende = 0

( ) ( ) ( )2 20 ''' 0yN EIz y yNw l V EI w l EI w l

λ λ=′ ′+ = → − =







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

( )( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

22

det

0 0 1 0 1 00 0 0 1 0

00 0 cos sin00 0 0''' 0

w

wl lw l

w l w l

λλ λ λ λ

λλ

=

′ = ⇒ = − −′′ =

′ − = A


det(A)= 0







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

( )

2

2 & 22cr y crN EI l l

lπ π

λ= = =

det(A)= 0

( ) ( )cos sin 1 0 2

l l πλ λ λ− + = ⇒ = ⇒







𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

𝑁𝑁

𝑙𝑙 yEI

1 2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4

2 3 4

2 23 4

cos sin

sin cos

cos sin

w x C C x C x C x

w x C C x C x

w x C x C x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= + + +

′ = − +

′′ = − −

( ) cos 12

xw x AL

π = −

Knickfigur:



Anwendungsbeispiel: Ermittlung der EulerknickfälleEulersche Knickfälle

𝑁𝑁

𝑙𝑙

𝑁𝑁

𝑙𝑙

𝑁𝑁

𝑙𝑙

𝑁𝑁

𝑙𝑙

1 2 3 4

Knickfälle 1 2 3 4

Knicklänge lk l 0.5l 0.7l 2lKritische Knicklast

22

2cr y yk

N EI EIlπ λ= =

2

2yEI lπ 2

2

4yEI lπ 2

2

2yEI lπ 2

24yEI

lπ

𝑙𝑙 𝑘𝑘=

2l

𝑙𝑙 𝑘𝑘=

.7l

𝑙𝑙 𝑘𝑘=

.5l

𝑙𝑙 𝑘𝑘=

l



Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.

Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung

Berechnung nach Theorie 2. Ordnung

A

B

EIS

F

crN

N

totw0w totw

crF N<

w0,max

wtot,max

wmax

Stabilitätsproblem

Theorie 2. Ordnung

1. Ordnung





( )0'''' 0 yEI w N w w ′′+ + =


Die effektiv vorhandene Vorverformungsfigur ist zum Zeitpunkt der Bemessung gar nicht bestimmbar. Es ist deshalb von einer zur Knickfigur affinen Vorverformung auszugehen.

w0: unbelasteter Zustand (kein Biegemoment wegen w0)





( )0'''' 0 yEI w N w w ′′+ + =

Die Verformung soll affin zur Knickfigur verlaufen:

Pendelstab →


( ) ( )max 0 0,max2

2 2

sin sin

cr crly y

x xw x w w x wl l

N l NEI EI

πλ

π π

λ π=

= ⇒ =

= → =

24

max4 2 sincrl N xw

llπ π

π

( )2

max 0,max2 sinxN w w

llπ π − +

2

2

0

lπ

= ⇒

2

2crN N lπ

−2

max 2w N lπ

=

0,max0,max max max 0,max 1

crNa N

cr

Nw aw w w wN N a

=⇒ = → =

− −



Näherungsverfahren

Es ist nicht immer möglich einerseits die Eulerknickkraft Ncr und anderseits die maximale Auslenkung nach Theorie 2. Ordnung exakt zu bestimmen.

Näherungsverfahren

• Energiemethode – Rayleigh Quotient

• Methode nach Vianello



𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

Näherungsverfahren

Energiemethode – Rayleigh Quotient

𝑢𝑢min

wobei:potentielle Energieelastisches Potential(Formänderungsarbeit)Potential der äusseren Kräfte

U V

U

V W

Φ = + →

Φ ==

= = −

( )2

2

0 0

1 12 2

l lM EIwMU dx U EI w dx

EI′′=− ′′= → =∫ ∫

U ist positiv, weil das Arbeitsvermögen der zugeordneten inneren Schnittgrössen in Form von gespeicherter Formänderungsenergie zunimmt (mit zunehmender Belastung).

( )V Fu w= − V ist negativ, weil die äussere Kraft F auf ihrem Verschiebungsweg potentielle Energie verliert.

Source: BSI §6.3.2, B. Sudret/B II , Simon Zweidler



Näherungsverfahren


𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

𝑢𝑢

( )V Fu w= −

( )

( )( )( ) ( )

( )

( )

22 2

2

0 0 02

2

2

0

2

0

1 '

1 1 ' 1

'Taylor: 1 ' 1

2'

2

'2

l l l

l

l

ds dx dw dx w

dl ds dx

dsl dl dx w dxdx

ww

wl dx

FV F l w dx

= + = ⋅ +

= −

∆ = = − ⋅ = + − ⋅

+ ≈ +

→ ∆ = ⋅

→ = − ⋅∆ = − ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫

∫

∫




Näherungsverfahren


Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)



𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

Näherungsverfahren


𝑢𝑢Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)

( ) ( )2 20 0

1 '' ' min2 2

l lFU V EI w dx w dxΦ = + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →∫ ∫

( )( )

( )

2

0

2

0

''min

'

l

l

EI w dxR w

w dx

⋅ ⋅= →

⋅

∫

∫bzw. Rayleigh-Quotient:

Der Rayleigh-Quotient liefert im Allgemeinen einen oberen Grenzwert für die Traglast. Derminimale Wert von R entspricht der Knicklast.

min crR F→ =




Näherungsverfahren


Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr

Nehmen wir ein beliebig wählbare kinematisch zulässige Verformung w an:

𝐹𝐹

𝑙𝑙

wmax

( )2

maxxw x wl

=

z.B. Parabelform

mit dem entsprechenden Rayleigh-Quotient:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2max0 max2 32 0

2 2 23max0 max42

0max max2 2

''2 4

3'

4232 2

,

l

l

l

l

EI w dxw wEI dxR w EIl EIlR w R w R ww dx

w llw x dx llw ww x w x x

l l

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

′′ ′= =

∫∫

∫∫

( )

2

2 22.4672y

cr y

EIN EI

llπ

= =

genauer Wert

Annährung




Näherungsverfahren


Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr

mit dem Ansatz

𝐹𝐹

𝑙𝑙

wmax

( ) max 1 cos 2xw x wl

π = −

ergibt sich die bereits hergeleitete exakte Eulerknicklast ( )

2

2 22.4672y

cr y

EIN EI

llπ

= =

Ansatzfunktion Rayleigh-Quotient

( ) 2 3 46 4 , xwl

ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.8EIRl

=

( ) 2 3 520 10 , xwl

ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.69EIRl

=

( ) 2 3 520 10 , xwl

ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.46EIRl

=



Methode nach VianelloEinführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze

𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝐻𝐻 = 120kN

Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs.

−

Hl−

0,max0

1Arbeitsgleichung: 42.673

l M Hlw M dx l l mmEI EI

= = =∫

Mit der Arbeitsgleichung ergibt sich nach Theorie 1. Ordnung die in Bild dargestellte maximale Verformung:


0,maxw

260yEI

MNm

=

1kN

l−

[ ]M M




𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝐻𝐻 = 120kN


Unter der Annahme der parabolischen Biegelinie

−

0,maxFw−

2

1,max 0,max0

5 3.3212

l M lw M dx Fw mmEI EI

= = =∫

( )2

0 0,maxxw x wl

=

entsteht infolge der konservativen


Kraft F=700kN die im Bild dargestellte Momentenverteilung nach Theorie 2. Ordnung.

w1 = Verformung infolge (F,w0) d.h. infolge Moment 1. Ordnung

und die daraus resultierende w2 = Verformung infolge (F,w1)2

2,max 1,max0

5 0.2612

l M lw M dx Fw mmEI EI

= = =∫

1,max 2,max0 1 2

0,max 1,max

3.32 0.26, , , affin42.67 3.32

w ww w w

w w⇒ = = =




𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝐻𝐻 = 120kN



260yEI

MNm

=

0,maxFw−

( )2

0 0,maxxw x wl

=




( )

0 1 2 32 3

0 0 0 0 0

2 30 0

0 0 0

.......... .................... ..........

11 .......... ..........1

1 11 1

tot nn

n

tot

cr

w w w w w ww w w w w

w w

w w w wFF

= + + + + + +

= + α⋅ + α ⋅ + α ⋅ + + α ⋅ +

= ⋅ + α + α + α + + α + = ⋅− α

= ⋅ = ⋅ = µ ⋅− α −

Totale Auslenkung:

binomische Reihe

Die Beziehung ist exakt falls die Vorverformungs- und die Verformungsfigur nach Theorie 1. Ordnung affin zur Knickfigur sind.

Vergrösserungsfaktor




𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝐻𝐻 = 120kN



260yEI

MNm

=

0,maxFw−

( )2

0 0,maxxw x wl

=




0,max1 1 42.67 46.27

1 1 0.078totw w mm mm= ⋅ = =

− α −

Totale Auslenkung:

Die Beziehung ist exakt falls die Vorverformungs- und die Verformungsfigur nach Theorie 1. Ordnung affin zur Knickfigur sind.

Einspannmoment:

( )max 120*4 700*0.04627 512.4totM Hl Fw kNm kNm= + = + =






crN

N

totw0w 02w

F

0w 1w

2w

1. Ordnung

Stabilität 2. Ordnung

2. Ordnung




Mit der Methode nach Vianello lässt sich ebenfalls eine Approximation für die Eulerknicklast Ncr angeben.


crN

N

totw0w 02w

F

Im Fall von F = Ncr α = 1 sind alle Zusatzverformungen identisch

1

0 cr

w Fw F

α = =

21,max

0,max 0,max 0

12 2

1 51 112

12 2.45cr

l

acrF N

w M lM dx Fw w EI EI

EI EINl l

==

α = ⇒ = = =

→ = =

∫

( )

2

2 22.4672y

cr y

EIN EI

llπ

= =

genauer Wert

Annährung

1. Ordnung

Stabilität

2. Ordnung



Bemerkungen

• Mit der Methode von Vianello wird die exakte Knickkraft Ncrentweder über- oder unterschätzt.

• Ncr wird mit der Energiemethode überschätzt.

• Bei nicht genau affiner Anfangsverformung kann die Knickkraft approximativ wie folgt bestimmt werden wie verdeutlicht in MB-11

https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/baug/ibk/structural-mechanics-dam/education/Baustatik%20II/Kolloquium/BSII_MB_11.pdf

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Kapitel 11 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung...Institute of Structural Engineering Page 3 Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi Herleitung der Differenzialgleichung nach Theorie 2.Ordnung