SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

JOSIP BAOTIĆ

GRAVITACIJSKE LEĆE

Završni rad

Osijek, 2014.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

JOSIP BAOTIĆ

GRAVITACIJSKE LEĆE

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika fizike

Osijek, 2014

"Ovaj završni rad je izrađen u pod vodstvom mentora: doc.dr.sc. Josipa Brane i komentora:

dr.sc. Marine Poje u sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku".

1

Sadržaj

Sažetak ...................................................................................................................................2

Abstract ..................................................................................................................................3

1. Uvod ..................................................................................................................................4

1.1 Osvrt na temu rada ........................................................................................................4

1.2 Povijest gravitacijskih leća ............................................................................................4

2. Matematički račun gravitacijskih leća .................................................................................5

2.1 Osnove gravitacijskih leća ............................................................................................5

2.2 Jednadžba gravitacijskih leća ........................................................................................5

2.3 Einsteinov polumjer ......................................................................................................7

2.4 Pozicija slike i povećanje ..............................................................................................8

2.5 Gravitacijska mikroleća ................................................................................................9

3. Pojave uzrokovane gravitacijskim lećama ...........................................................................9

3.1 Einsteinov prsten ..........................................................................................................9

3.2 Višestruke slike kvazara .............................................................................................. 10

3.3 Gigantski svjetleći lukovi ............................................................................................ 12

3.4 Tamna materija ........................................................................................................... 13

3.5 Otrkriće planeta OGLE-2005-BLG-390Lb .................................................................. 14

4. Zaključak .......................................................................................................................... 15

5. Popis oznaka, kratica i simbola ......................................................................................... 15

6. Literatura .......................................................................................................................... 16

7. Životopis .......................................................................................................................... 17

2

GRAVITACIJSKE LEĆE

JOSIP BAOTIĆ

Sažetak

U ovom završnom radu biti će govora o gravitacijskim lećama. Pojava u Svemiru koju

je predvidjela Einsteinova Opća teorija relativnosti. Biti će razrađen matematički račun vezan

uz gravitacijske leće. Jednadžba gravitacijskih leća, formule za povećanje i položaj slike.

Nakon matematičkog računa, biti će govora o samim pojavama gravitacijskih leća u Svemiru.

Kada su pojedini tipovi otkriveni i kako, te što se sve zna o tamnoj energiji i materiji, odnosno

dijelu Svemira koji ne vidimo.

(17 stranica, 7 slika, 1 graf, 9 literaturnih navoda, 13 jednadžbi)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: Einsteinov prsten, gravitacijske leće, tamna materija

Mentor: doc.dr.sc. Josip Brana, dr.sc. Marina Poje

Rad prihvaćen:

3

GRAVITACIJSKE LEĆE

JOSIP BAOTIĆ

Abstract

In this final paper will be discussion about the gravitational lenses. The phenomena of

the universe foreseen by Einstein's General Theory of Relativity. There will be discussion

about the mathematical calculations related to gravitational lensing. The equation of

gravitational lenses, formula for magnification and image position. After a mathematical

calculus, focus will be on the phenomenon of gravitational lenses in space. When certain

types of lenses were discovered and how, and what is known about dark energy and matter, a

part of the universe that we cannot see.

(17 pages, 7 figures, 1 diagram, 9 references, 13 equations)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: Einstein ring, gravitational lenses, dark matter

Supervisor: Professor Josip Brana, PhD; Marina Poje, PhD

Thesis accepted:

4

1. Uvod

1.1 Osvrt na temu rada

Skretanje svjetlosti je predvidjela Einsteinova Opća teorija relativnosti te je

eksperimentalno dokazano 1919. godine. To je dovelo do ideje gravitacijskih leća u kojima se

masivni objekti poput galaksija ili skupova galaksija nalaze između promatrača i izvora

svjetlosti te izazivaju zrcaljenje ili povećanje izvora ili i jedno i drugo. U prvom dijelu rada

biti će razmatran matematički dio vezan uz gravitacijske leće, a u drugom dijelu rada biti će

govora o samim pojavama gravitacijskih leća u Svemiru.

1.2 Povijest gravitacijskih leća

1804. godine prvi puta je pisano o skretanju zrake svjetlosti zbog gravitacije. Taj je

efekt prvi opisao Johann Soldner njemački astronom i matematičar koji je otkrio efekt

skretanja zrake svjetlosti blizu ruba Sunca, te je taj kut iznosio 0.84'' zanimljivo je da njegova

mjerenja i nemaju veliko odstupanje od stvarne vrijednosti o kojoj će se tek govoriti u

sljedećem stoljeću.

1911. godine Einstein nije još u potpunosti razvio Opću teoriju relativnosti, došao je

do istog rezultata kao Johann Soldner, te je tražio da se ta pretpostavka eksperimentalno

provjeri. Bilo je planova da se taj rezultat provjeri 1914. godine na Krimu, prilikom

pomračine Sunca, ali kako je izbio Prvi svjetski rat znanstvenici su bili uhićeni te srećom po

Einsteina provjera rezultata je odgođene za par godina. Kada je Einstein završio Opću teoriju

relativnosti došao je do jednadžbe za kut otklona.

Gdje je M masa Sunca, r polumjer Sunca, c brzina svjetlosti u vakuumu, G univerzalna

gravitacijska konstanta.

U današnje vrijeme Einsteinova vrijednost za kut je potvrđena sa preciznošću od 0.02%.

Einstein je 1936. godine primijetio svjetleću kružnicu između izvora i leće, a takva se

pojava zove Einsteinov prsten. Iako su gravitacijske leće još uvijek u razvitku, pokazale su se

jako korisne u astronomiji, uz njihovu pomoć otkriveni su mnogi kvazari i skupovi

galaksija.[1][8]

5

2. Matematički račun gravitacijskih leća

U ovom dijelu biti će govora o osnovama gravitacijskih leća, kako izvesti jednadžbu

gravitacijskih leća, povećanju i položaju slike, te kako izvesti formulu za specijalni slučaj

gravitacijskih leća takozvani Einsteinov prsten.

2.1 Osnove gravitacijskih leća

U ovom odlomku biti će razmatrana aproksimacija tankih leća, odnosno pretpostavka

da je leća uvjetovana jednom nehomogenom masom između izvora i promatrača, te da se oni

nalaze na jednoj stalnoj udaljenosti. Ova aproksimacija će vrijediti samo ako su relativne

brzine izvora, slike i promatrača jako male u odnosu na brzinu svjetlosti.

Pretpostavka vrijedi za sve astronomske slučajeve, zato što su galaksije ili skupovi

galaksija reda veličine nekoliko 106

pc1. Ta aproksimacija je malena u odnosu na uobičajene

vrijednosti udaljenosti između leće i izvora ili leće i promatrača, a njihov red veličine

udaljenosti je nekoliko 109 pc. [1]

2.2 Jednadžba gravitacijskih leća

Osnovna pretpostavka za slučaj gravitacijskih leća je prikazana na Slici 1.

Slika 1. Shematski prikaz gravitacijskih leća

1 Parsec je astronomska jedinica za duljinu te iznosi 3.0857×1016 m

6

Osnovne tri stavke ove situacije su izvor S, leća L, promatrač O. U ovom slučaju svjetlost

koju emitira izvor bit će skrenuta zbog leće te će nastati dvije slike izvora S1 i S2.

Slika 2. Odgovarajući kutovi i kutni promjeri

Slika 2 pokazuje odgovarajuće kutove i odgovarajuće kutne promjere. DL, DS, DLS.

Pretpostavka da je leća sferno simetrična, te je zbog toga prostor-vrijeme oko leće dobro

opisano Schwarzchildovom metrikom:

(

)

( )

(1)

U tom slučaju kut skretanja dan je sa:

( ) ( )

(2)

7

Gdje je ( ) masa unutar prostora . Iz Slike 2 vrijede sljedeće relacije:

(3)

( ) (

) ( ) (4)

( )

(5)

Ovo vrijedi a sve astrofizičke relevantne situacije u kojima su [1] [8]

2.3 Einsteinov polumjer

Uvrštavanjem jednadžbe (2) u jednadžbu (4) i za jednadžbu leće dobije se:

( )

(6)

Za specijalni slučaj gdje izvor leži točno iza leće vrijedi:

√

(7)

Gdje je kutni polumjer slike izvora, koja ima izgled prstena, a i takva slika se zove

Einsteinov prsten. Za masivne galaksije sa masom sa crevnim pomakom

i izvor sa crvenim pomakom Einstanov polumjer iznosi [1] [8]

√

(8)

8

2.4 Pozicija slike i povećanje

U slučaju točkaste leće, jednadžba leće (5) može se preformulirati u:

(9)

Rješavanjem jednadžbe po dobije se:

( √

) (10)

Jednadžba (10) govori kako će izolirani točkasti izvor uvijek dati dvije slike od izvora sa

odgovarajućim kutnim pozicijama .

Povećanje slike definirano je kao omjer između prostornog kuta slike i izvora:

(11)

Iskorištavanjem jednadžbe leće, uz supstituciju dobije se:

( [

]

)

√

(12)

Suma apsolutnih vrijednosti povećanja daje ukupno povećanje:

| | | |

√ (13)

Povećanje je uvijek veće od 1. [1] [8]

9

2.5 Gravitacijska mikroleća

Ukoliko je polumjer Einsteinovog prstena premalen da bi se razlučio teleskopom, neće

se vidjeti izvor a ni slika, nego će se ti doprinosi svjetla zbrajati, što će dovesti do prividnog

povećanja sjaja zvijezde izvora. U takvom slučaju riječ je o učinku gravitacijske mikroleće.

Povećanje sjaja izvora dano je jednadžbom (13).

Ako je leća sastavljena od dva ili više tijela, što je slučaj kod dvojnih zvjezdanih

sustava ili sustava zvijezde koja ima planet kao pratioca, račun više nije trivijalan. Zato što

tijela lome zrake u različitim smjerovima, ovisno o položajima i masama pojedinih tijela.

Takav problem nije više rješiv analitički, te treba koristiti numeričke metode kako bi se

izračunala povećanja u pojedinim djelovima neba.

Numeričke simulacije pokazale su kako bi se metodom gravitacijskih leća, mogli

otkriti i planeti vrlo malene mase u orbitama od nekoliko astronomskih jedinica2, odnosno

planeti slični Zemlji na kojima je moguć život. [11]

3. Pojave uzrokovane gravitacijskim lećama

Ovo poglavlje rada će se dotaći pojava kao što su Einsteinov prsten, višestruke slike

kvazara, te tamne materije koja je velika misterija Svemira. Kada su prvi put uočene neke od

pojava, koji su uvjeti pronalaska pojava, te što se može saznati iz pojava koje su uzrokovane

gravitacijskim lećama.

3.1 Einsteinov prsten

Specijalni slučaj gravitacijske leće kada izvor leži točno na pravcu iza leće, slika će biti

prstenastog oblika, također kutni polumjer dan je jednadžbom (7). Uvjet da bi se uopće

mogao primijetit Einsteinov prsten, je da masa leće mora biti osno simetrična, sa strane

promatranja.

2 Astronomska jedinica je srednja udaljenost između Sunca i Zemlje te iznosi 150 milijuna kilometara.

10

Einsteinov prsten [2]

Prvi Einsteinov prsten opažen je 1988. godine. Radio izvor MG1131+0456 promatran

je sa visoko razlučivim radio promatranje, ispostavilo se da je riječ o prstenu s promjerom od

1.75’’. Crveni pomak izvora iznosio je ZS=1.13, a leća je bila galaksija s crvenim pomakom3

ZL=0.85.

Do danas mnoštvo slučajeva se može svrstati u Einsteinove prstenove, kod kojih je

promjer reda veličine 0.33’’ do 2’’. Prstenovi su pronađeni u radiovalnom području i s

manjim dijelom u infracrvenom i vidljivom dijelu spektra. [1]

3.2 Višestruke slike kvazara

Kvazar je nebesko tijelo koje prividno izgleda kao obična zvijezda ali ima izražen

pomak prema crvenom dijelu spektra. 1979. godine, gravitacijske leće su postale znanost

promatranja za sebe kada je otkriven dupli kvazar Q0957+561. U samom početku, kada je

kvazar otkriven nije bilo sasvim jasno je li riječ o dvostrukoj slici kvazara uzrokovanoj zbog

zakrivljenosti prostor vremena ili da su to pak blizanci sličnih atributa. Promatranjem spektra

ispostavilo se da je spektar jednog kvazara jednak spektru drugog kvazara. Što je uistinu

značilo da je kvazar zrcaljen.

Kvazar Q0957+561 otkriven je radiovalnim istraživanjem, te je privukao mnogo

pažnje. Napisano je preko 100 znanstvenih radova o njemu, mnogo više nego o bilo kojem

drugom sustavu kojem su uzrok gravitacijske leće.

3 Crveni pomak je porast valne duljine elektromagnetskog zračenja uzrokovan Dopplerovim učinkom, odnosno

udaljavanjem izvora zračenja od promatrača.

11

Kvazar Q0957+561 (radiovalna slika) [3]

Do danas je pronađeno dvadesetak višestruko zrcaljenih kvazara, a postoji još 10

dobrih kandidata. To i nije velik broj s obzirom da se već zadnjih 20 godina traže višestruki

kvazari, postoji više razloga zašto su pronalasci rijetki:

1. Općenito kvazare nije lako pronaći (do sad ih je pronađeno 104)

2. Postotak zrcaljenih kvazara je jako malen (manji od 1%)

3. Prilikom pronalaska, teško je razlučiti zrcaljeni kvazar od poznatih

[1]

Dvostruki kvazar [4]

12

3.3 Gigantski svjetleći lukovi

Pojava je otkrivena 1986 godine, uvećane, iskrivljene i jako izdužene slike galaksija

koje leže iza skupova galaksija.

Kako su skupovi galaksija imaju crveni pomak

predstavljaju efikasne gravitacijske leće. Njihov Einsteinov polumjer je reda veličeni 20''. Ali

nijedan cijeli Einsteinov prsten nije pronađen s obzirom da skupovi galaksija većinom nemaju

sferno raspoređenu masu, te poravnanje između leće i izvora nije perfektno.

Gigantski svjetleći lukovi, promatraju se na dva načina. Prvi način, lukovi daju jako

uvećane galaksije sa velikim crvenim pomakom. Koje je nemoguće otkriti ili analizirati

ukoliko nisu zrcaljene. Drugi način, odnosno čestični pristup omogućuje promatranje

potencijala i raspoređenosti mase skupova galaksija koji su leća. Najjednostavniji model

sferno raspoređene mase koji je rijedak, stvara Einsteinov prsten. Mjereći crveni pomak skupa

galaksija i svjetlosnog luka, može se numerički odrediti masa leće.

Zanimljivi rezultati promatranja gigantskih svjetlosnih lukova je da u njima

prevladava tamna materija. [1]

Skup Abell 2218 [5]

13

3.4 Tamna materija

Sastav cijelog svemira kakvog danas poznajemo prikazan je u grafu.

Graf 1. Sastav svemira

Kako se tamna materija i energija ne mogu vidjeti, 96% svemira je nepoznato.

Misteriozno i otvoreno za istraživanje. [10]

Veliki skupovi galaksija većinom su sastavljeni od tamne materije, te stoga ona

uzrokuje pojavu gravitacijskog polja koje nadalje uzrokuje pojavu gravitacijskih leća.

Astronomi promatrajući pojavu gravitacijskih leća stvaraju stvarnu sliku svemira, gdje i

koliko tamne materije se nalazi, te kako je ona raspoređena. [6]

Karta tamne materije [7]

75%

21%

4%

Tamna energija

Tamna materija

Vidljiva materija

14

3.5 Otrkriće planeta OGLE-2005-BLG-390Lb

Dana 11. srpnja 2005. OGLE (od engl. Optical Gravitational Lensing Experiment) je

objavio početak povećanja sjaja zvijezde žuti div (kratica BLG dolazi od eng. Bulge, odnosno

označava da se događaj zbiva u smjeru središta Mliječnog puta, a 390 je redni broj događaja

oglašenog u sezoni 2005. godine). Kolaboracija PLANET (od engl. Probing Lensing

Anomalies NETwork) je nastavila promatrati povećanje sjaja zvijezde. Treba napomenuti da

je kolaboraciju PLANET osnovala skupina entuzijasta oduševljena učinkom gravitacijske

mikroleće, te je njihova osnovna ideja bila praćenje promjene sjaja što većeg broja zvijezda u

smjeru središta Mliječnog puta, da bi se pomoću toga odredilo postoje li planeti u orbitama

zvijezda koje se nalaze između Zemlje i opažanih zvijezda, djelujući pritom poput

gravitacijskih leća. Kolaboracija PLANET je promatrala svjetlosnu krivulju kod planeta

OGLE-2005-BLG-390Lb, te su je podvrgli modeliranju pomoću kompjuterskih programa,

kako bi doznali što se krije u sustavu leće odnosno izvora.

Svjetlosne krivulje se analiziraju numeričkim modeliranjem, odnosno simulacijama.

Računalni programi s jedne strane simuliraju svjetlosne krivulje koje se mogu opaziti u

slučaju različitih sustava leća i izvora, a s druge strane variraju sve parametre poput mase

zvijezda, planeta, udaljenosti, sve dok ne pronađu skup parametara koji stvara svjetlosnu

krivulju koja se najbolje podudara s izmjerenom svjetlosnom krivuljom. Taj proces se naziva

optimizacija rješenja.

Optimizacijom rješenja svjetlosne krivulje, planeta OGLE-2005-BLG-390Lb ima 5.5

puta veću masu od Zemljine mase, te je temperatura reda veličine 50 kelvina. Na planetu

vjerojatno nije moguć život, zbog vrlo niske temperature. No međutim znanstvenicima radost

leži u tome što je otkriven mali, čvrsti, hladni planet, što je potvrdilo sposobnost metode

gravitacijskih leća za otkrivanje planeta koji su slični Zemlji, te se nalaze u takozvanoj

naseljivoj zoni. Mali nevidljivi planeti na kojima je moguć život su češći u Svemiru, nego što

se ranije pretpostavljalo. [11]

15

4. Zaključak

Gravitacijske leće, kao posljedica Einsteinove Opće teorije relativnosti, pokazale su se

kao izvrstan aparat za određivanje pojedinih pojava u Svemiru. Kod gravitacijskih leća jedna

stvar je drugačija nego kod optičkih leća, tako što gravitacijske leće neovisne o valnoj duljini

svjetlosti. Sve svjetlosne zrake su jednako skrenute zbog gravitacije, dok kod optičkih leća

postoji difrakcija odnosno razdvajanje svjetlosti.

Kako bi bolje spoznali Svemir, ono što se dešavalo u nastanku Svemira, gravitacijske

leće su izvrstan aparat u astronomiji. No kako obično biva, tu se nameću i nova pitanja. Uz

pomoć gravitacijskih leća dokazano je postojanje tamne materije i energije. Pojedini

znanstvenici nisu sigurni u valjanost sadašnjeg modela gravitacije, te da bi tu trebalo dodati i

doprinos tamne materije i energije. Nova pitanja uzrokuju nove rasprave i ideje, te bi se u

budućnosti o samoj gravitaciji moglo saznati više.

Iako je Einstein rekao 1939. godine u svom radu4 o gravitacijskim lećama:

“....there is no great chance of observing this phenomenon.” (ne postoji velika šansa da se ova

pojava promatra), ipak se ta mala šansa ostvarila, te se pojava proučava i još više razvija. [9]

5. Popis oznaka, kratica i simbola

(

)

4 Einstein, A. Lens-Like Action of a Star by the Deviation of Light in the

Gravitational Field, Science, Vol 84, p506, (1936)

16

6. Literatura

[1] A. Abdo, Gravitational Lensing

URL: http://www.pa.msu.edu/~abdo/GravitationalLensing.pdf

[2] Einsteinov prsten

URL:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/A_Horseshoe_Einstein_Ri

ng_from_Hubble.JPG

[3] Kvazar Q0957+561 (radiovalna slika)

URL: http://www.cfa.harvard.edu/castles/Individual/Q0957.html

[4] Dvostruki kvazar

URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Quasar

[5] Skup Abell 2218

URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Abell_2218

[6] What is Gravitational Lensing?; Emma Grocutt

URL: http://www.cfhtlens.org/public/what-gravitational-lensing

[7] Karta tamne materije

URL: http://www.cfhtlens.org/public/what-gravitational-lensing

[8] J. Wambsganss; Gravitational Lensing in Astronomy; Living Rev Relativity 1, (1998),

12.

URL: http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-1998-12/download/lrr-1998-

12Color.pdf

[9] S. Frittelli, E. Newman;An Exact Gravitational Lensing equation; v1 5 Oct 1998

URL: http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9810017.pdf

[10] What is the Universe Made Of?

URL: http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_matter.html

[11] Dijana Dominis Prester, Otkriće planeta sličnog Zemlji pomoću metode gravitacijske

leće; Matematičko fizički list, LVII, 1, 2006-2007

17

7. Životopis

Josip Baotić rođen je 05.12.1992 godine u Vinkovcima u Hrvatskoj. Srednju školu je

završio u Orašju, Bosna i Hercegovina, a osnovnu u Kostrču i Tolisi, Općina Orašje, Bosna i

Hercegovina.