JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

763102P

Petri Mutka

Fysikaalisten tieteiden laitosOulun yliopisto

2005

1. JohdantoSuhteellisuusteoria, joka koostuu kahdesta erillisesta teo-

riasta, on toinen modernin fysiikan perusteorioista. Erikoi-nen tai suppea suhteellisuusteoria kasittelee aikaa ja paik-kaa tasaisen liikkeen tapauksessa. Teorian laajennettu ver-sio – yleinen suhteellisuusteoria on gravitaataatioteoria, jo-ka kasittelee kiihtyvaa liiketta.

Suhteellisuusteoria laajentaa klassisen Galilein ja Newto-nin mekaniikan suurille energioille ja nopeuksille. Erikoisensuhteellisuusteorian tapauksessa tama tarkoittaa nopeuk-sia, jotka ovat merkittavan lahella valonnopeuden asetta-maa ylarajaa. Talloin ajan ja paikan kasitteet eivat oleenaa klassisessa mielessa yksiselitteisia.

Talla kurssilla kasitellaan erikoista suhteellisuusteoriaa.Kurssilla opitaan, kuinka suhteellisuusteoria rakentuu kah-den peruspostulaatin pohjalta ja johtaa Lorentzin koordi-naatistomuunnokseen, kun koordinaatistojen valinen no-peus on vakio. Suhteellisuusteoriaa pyritaan ymmartamaanneliulotteisen aika-avaruusjatkumon ominaisuuksien poh-jalta.

Samanaikaisuuden suhteellisuus, pituuden kontraktio jaajan dilataatio saadaan teorian valittomina seurauksina.Fysiikan lakien liiketilariippumattomuus on yksinkertaisin-ta esittaa nelivektorein, joihin kurssilla tutustutaan. Kurssijohdattelee myos suhteellisuusteorian tarkeaan sovellutusa-lueeseen, hiukkasten kinematiikkaan sironta- ja tuottopro-sesseissa.

Kurssin tavoitteena on, etta sen jalkeen opiskelija:

1. Tunnistaa fysikaaliset tilanteet, jotka johtavat suhteel-lisuusteoreettisiin efekteihin.

2. Ymmartaa mita nama efektit ovat.

3. Pystyy kaytannossa kasittelemaan osaa niista.

Kirjoja

Suhteellisuusteoriasta on kirjoitettu lukuisia oppikirjoja,tassa muutama lahdeteos joihin kurssi osittain perustuu

• Suhonen, E. Johdatus Suhteellisuusteoriaan luentomo-niste, 1991

• French, A. P. Special Relativity, 1968

• Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. Spacetime Physics(5th ed.), 1998

1.1 Kuinka tiede toimii?Tieteen yleisia tunnusmerkkeja ovat

• Objektiivisuus.

• Kriittisyys.

• Autonomisuus.

• Edistyvyys.

Tieteellinen tieto perustuu tosiasioihin, joiden taytyy ollaaina tarkistettavissa ja testattavissa. Taman takia tieteentuottaman tiedon taytyy olla avointa ja julkista.

Tiede on itse itseaan korjaavaa, ja tieteellinen tieto onjatkuvan tarkastelun ja kritiikin kohteena. Taman takiaavoimuus ja riippumattomuus ovat hyvin tarkeita.

Tieteen ja sen tekijoiden tuottamien tulosten luonnetaytyy olla riippumattomia ulkoisista auktoriteeteista. Vii-mekadessa tieteen tuottama tieto saa riippua ainoastaantehdyista havainnoista, joihin havaitsijan omat nakemyksettai ulkoiset auktoriteetit eivat saa vaikuttaa.

Tiede on edistyvaa, eli vanhojen nakemysten ja tulkin-tojen osoittautuessa jollain tavoin vaariksi tai vajavaisiksi,ne pyritaan korvaamaan uusilla.

Enta kaytannossa? Mieti esimerkkeja tilanteista joissanelja edella lueteltua tieteen ominaisuutta voisivat tullaesille? Kuinka niista poikkeaminen ilmenee ja mita siitaseuraa?

Mika on tieteellinen teoria?

Kaytannossa tieteen kehitys on jatkuvaa havaintojen jateorian vuoropuhelua. Uudet havainnot ja mittaukset luo-vat uutta teoriaa ja painvastoin. Tieteellinen teoria on mal-li, joka pyrkii selittamaan havainnot. Teoria kertoo ainoas-taan siita ilmiomaailmasta, jonka kuvaamiseksi se on laa-dittu.

Tieteellista teoriaa ei voida koskaan todistaa oikeaksi -ainoastaan vaaraksi todistaminen on mahdollista.

Karkeasti tieteen kehitysta voidaan kuvata seuraavanlai-sella jatkuvasti toistuvalla syklilla.

Tiede uusiutuu tieteellisten kriisien kautta, jotka syn-tyvat uusista havainnoista, joita vallitseva teoria ei pystyselittamaan oikein. Tama ilmenee eri teorioiden tai niidenosa-alueiden valisina ristiriitaisuuksina tai vaarina ennus-teina kasiteltavista ilmioista.

Uusien havaintojen selittamiseksi pyritaan luomaan hy-poteeseja, jotka selittavat seka vanhat etta uudet, ristirii-taiset havainnot. Hypoteesien tasolla eri selitysmallit sekateoriat kilpailevat keskenaan.

Parhaalla hypoteesilla, joka korvaa vallitsevan teorian tailaajentaa sita, on seuraavat ominaisuudet:

• Se selittaa teorian kattaman ilmiomaailman seka kaik-ki havainnot mahdollisimman laajasti.

• Occamin partaveitsi: se on yksinkertaisin.

Taman jalkeen vallitsevaksi teoriaksi paassyt paras hy-poteesi on jatkuvan kritiikin ja testaamisen kohteena, kun-nes tehdaan havaintoja, jotka ovat sen kanssa ristiriidassaja sykli alkaa uudelleen.

Kuinka edella luetellut tieteen nelja tunnusmerkkia liit-tyvat edella kuvattuun tieteen kehityksen kiertokulkuun?Keksitko kaytannon esimerkkeja? Tama sykli on toistunutmonissa mittakaavoissa useita kertoja tieteen historiassa,muistatko yhtaan esimerkkia? Milla muilla tavoilla tiedevoi kehittya ja miksi tama on karkea yksinkertaistus?

1.2 Kaytannon esimerkki

Klassinen fysiikka vuonna 1880...

1800-luvun loppupuolella ajateltiin, etta klassisen fysii-kan avulla voidaan selittaa kaikki luonnonilmiot. Taman

1

kasityksen mukaan ainostaan muutama yksityiskohta olienaa selvittamatta.

Myohemmin nama valon liikkeeseen ja materian perus-olemukseen liittyvat kysymykset kuitenkin muuttivat kai-ken.

Klassinen Galilein-Newtonin mekaniikka kasittelee kap-paleiden liikkeisiin ja dynamiikkaan liittyvia ongelmia, ku-ten esimerkiksi planeettojen liiketta.

Maxwellin sahkomagnetismi selittaa sahkoon ja mag-netismiin liittyvat ilmiot, mista esimerkkina valo jasahkomagneettisen sateilyn luonne.

Termodynamiikka kasittelee kaasujen ja nesteiden ole-musta makroskooppisessa mittakaavassa.

Boltzmannin statistinen mekaniikka kasittelee ainet-ta ja sen eri olomuotoja mikroskooppisista lahtokohdistalahtien.

Klassisen fysiikan luomassa maailmankuvassa oli kak-si keskeista selvittamatonta ongelmaa. Maxwellin teorianmukaisen sahkomagneettisen sateilyn (aaltoliikkeen) hypo-teettisen valiaineen, eli eetterin, olemusta ei ymmarretty.Toinen ongelmakohta oli aineen sateileman spektrin se-littaminen.

... ja sen jalkeen.

Vuosisadan vaihtuessa tehtiin nopeaan tahtiin lukuisiahavaintoja, jotka olivat ristiriidassa klassisen fysiikan tuot-tamien ennusteiden kanssa:

• Rontgensateet (Rontgen, 1895), joiden tuottaminenon kvantti-ilmio. Vasta vuonna 1912 osoitettiin, ettarontgensateet ovat lyhytaaltoista sahkomagneettistasateilya.

• Elektroni (Thomson, 1895), jonka sahkovaraus muo-dostaa alkeisvarauksen. Alkeisvarauksen olemassaoloaoli epailty aiemminkin.

• Radioaktiivisuus (Becquerel, 1896), jossa atomiytimetsateilevat hiukkas- tai sahkomagneettista sateilya ha-jotessaan.

• Valosahkoinen ilmio (Hertz, Hallwachs, Lenard, 1887-1899), jossa sahkomagneettinen sateily irrottaa elekt-roneja metallista oikeissa olosuhteissa. Klassinen fy-siikka antaa tassa taysin vaaria ennusteita. Einsteinsai valosahkoisen ilmion selittamisesta Nobelin palkin-non vuonna 1921.

• Michelsonin ja Morleyn koe (Michelson, Morley1887), jolla pyrittiin selvittamaan maapallon liiketilaasahkomagneettisen sateilyn hypoteettisen valiaineen,eetterin, suhteen.

Naiden havaintojen lisaksi selvat ristiriidat klassisen fy-siikan teorian sisalla johtivat myohemmin modernin fysii-kan kahteen perusteoriaan:

Kvanttimekaniikka kasittelee mikroskooppisen mittakaa-van ilmioita. Kaikki modernit aineen rakenteen teoriat pe-rustuvat kvanttimekaniikkaan. Kvanttimekaniikan syntyynvaikutti useita henkiloita, joista mainittakoon deBroglie,Bohr, Heisenberg, Born, Planck, Jordan, Schrodinger, Di-rac, Pauli jne. (likimain 1924-1930).

Suhteellisuusteoria on teoria ajasta ja paikasta. Teo-rian pohjalta on myohemmin kehitelty gravitaatioteorioitaeteenpain, mutta perusmuodossaan se on Albert Einsteininluoma (1905,1915).

1.3 SuhteellisuusteoriaSuppea tai erikoinen suhteellisuusteoria, jonka Albert

Einstein julkaisi vuonna 1905, kasittelee vapaasti liikkuviahavaitsijoita. Teoria on erikoistapaus myohemmin julkais-tusta yleisesta suhteellisuusteoriasta (1915).

Suhteellisuusteoria romuttaa klassisen ajan ja paikankasitteen, ja sitoo ne havaisijan liiketilaan. Teoria perus-tuu oletuksille, joiden mukaan valon tyhjionopeus (suurinmahdollinen nopeus) on vakio ja fysiikan lait ovat samatkaikille havaitsijoille.

Teorian taustalla on neliulotteinen kuva aika-avaruusjatkumosta, jossa aika rinnastetaan paikkakoordi-naatteihin. Kaytannossa erikoinen suhteellisuusteoria onvarsin yksinkertainen, vaikkakin se johtaa arkiajattelullevieraisiin tilanteisiin.

Yleinen suhteellisuusteoria laajentaa erikoisen suhteel-lisuusteorian kasitteet myos kiihtyvassa liikkeessa oleviinhavaitsijoihin. Kaytannossa tama johtaa teoriaan gravitaa-tiosta.

Teorian perusajatuksen mukaisesti painovoima syn-tyy neliulotteisen aika-avaruusjatkumon kaareutumisesta.Tata kaareutumista kuvaa Einsteinin kenttayhtalo, jokamaaraa kuinka aine (=massa, energia) vaikuttaa kaarevuu-teen. Vastaavasti avaruuden kaarevuus maaraa sen, kuinkaaine siella liikkuu.

Kaarevien avaruuksien kasittely johtaa matemaattisestimelko vaativaan yleiseen vektorilaskentaan, ja aihe onkinhuomattavasti erikoista suhteellisuusteoriaa vaativampi jaraskaampi.

1.4 Suhteellisuusteoria ja klassinen fysiik-ka

Edella kuvailtu modernin fysiikan perusteorioiden syn-ty ei tarkoita sita, etta klassinen fysiikka olisi hylattava.Klassisen fysiikan teoriat toimivat hyvin tarkasti omillapatevyysalueillaan.

Ilmioiden energiatiheys maaraa sen, ovatko relativistisetefektit merkittavia. Tama ei ole aina itsestaanselva tilanne,silla energiaa voi olla monessa muodossa, kuten esimerkik-si:

• Liike-energia: jos kappaleelle annetaan tarpeeksi liike-energiaa, sen nopeus nousee tarpeeksi lahelle valonno-peutta (relativistiseksi) ja klassisen mekaniikan mu-kainen kuvaus tilanteelle pettaa.

• Massa: Massa on energiaa ja painvastoin. Jos kappa-leen tiheys on tarpeeksi suuri, se alkaa kaareuttamaanavaruutta hyvin voimakkaasti. Tama voi johtaa voi-makkaisiin kiihtyvyyksiin ja relativistiin nopeuksiin.

• Lampotila: lampotila on liiketta, johon on sitoutunee-na energiaa. Tarpeeksi korkeat lampotilat vaativat re-lativististen efektien huomioonottamista.

2

• Paine: paine ja lampotila liittyvat laheisesti toisiin-sa. Energiaa voi olla varastoituneena myos staattisiinjannityksiin, mika voi periaatteessa johtaa myos rela-tivistisiin ilmioihin.

Matalaenergisella rajalla relativististen efektien tuleehavita ja suhteellisuusteorian taytyy talloin tuottaa klassi-sen fysiikan mukaisia tuloksia.

Keksitko todellisia fysikaalisia tilanteita, jotka voivatjohtaa relativistisiin efekteihin? Entapa esimerkkeja edellaluetelluista energian olomuodoista?

1.5 Suhteellisuusteorian testitKun kahta modernin fysiikan perusteoriaa yritetaan so-

veltaa yhtaaikaa, paadytaan ongelmiin. Suhteellisuusteoriaja kvanttimekaniikka eivat sovi yhteen.

Pitkaan on jo epailty, etta taustalla olisi yksi teoria jo-ka kattaa seka kvanttimekaniikan etta suhteellisuusteorian.Taman vuoksi teorioiden testaaminen on hyvin tarkeaa,silla niiden ennusteista poikkeavat havainnot antavat vih-jeita uudesta fysiikasta!

Erikoinen suhteellisuusteoria

Erikoista suhteellisuusteoriaa on testattu paljon, jatahan mennessa kaikki sen antamat ennusteet ovat olleethyvin tarkkoja:

• Eetterikokeet, joissa yritetaan loytaa absoluuttista le-pokoordinaatistoa mittaamalla valon tyhjionopeuttaeri suunnissa interferometrilla.

• Modernit eetteritestit, jotka perustuvat laserin tai ma-serin kayttoon.

• Mitataan valonnopeutta hyvin tarkasti, esimerkiksi ta-saisesti liikkuvassa, kiihtyvassa, pyorivassa tms. koor-dinaatistossa, ja yritetaan loytaa poikkeamia valontyhjionopeudessa.

• Punasiirtymamittaukset, joissa etsitaan poikkea-mia suhteellisuusteorian ennustamasta relativisti-sesta doppler-siirtymasta (liikkuvan valonlahteensateileman sahkomagneettisen sateilyn aallonpituudenmuutos).

• Ajanmittaustestit. Suhteellisuusteoria ennakoi liikku-vien kellojen kayvan eri tahtiin kuin levossa olevien.Tasta on etsitty poikkeamia lennattamalla hyvin tark-koja kelloja esimerkiksi satelliiteissa.

Yleinen suhteellisuusteoria

Yleisen suhteellisuusteorian testaaminen on huomatta-van paljon vaikeampaa kuin erikoisen suhteellisuusteorian.Tama johtuu siita, etta yleista suhteellisuusteoriaa vaati-vat relativistiset ilmiot syntyvat yleensa suurien massojenlahettyvilla.

Niinpa useimmat yleisen suhteellisuusteorian testit ovatkaytannossa havaintoja astrofysikaalisista kohteista joissarelativistiset efektit ovat voimakkaina nakyvissa.

Tallaisia testeja ovat esimerkiksi:

• Yleisen suhteellisuusteorian mukainen valon kaareutu-minen painovoimakentassa on havaittiin ensimmaisenkerran Auringon lahettyvilla. Nykyaan tama ilmionahdaan monien astrofysikaalisten kohteiden yhtey-dessa.

• Merkuriuksen radan (perihelin) kiertyminen on mitat-tu ilmio, joka vastaa hyvin tarkasti yleisen suhteel-lisuusteorian ennustetta. Suurin osa radan kiertymi-sesta selittyy klassisen mekaniikan avulla, mutta senylitse jaava osa on tarkasti suhteellisuusteorian mu-kainen.

• Yleinen suhteellisuusteoria ennustaa, etta neliulot-teisessa aika-avaruusjatkumossa voi liikkua aalto-ja, jotka syntyvat nopeasti muuttuvan gravitaatio-kentan yhteydessa. Naista aalloista on toistaiseksivain epasuoria havaintoja, mutta meneillaan on useitahavaintoprojekteja, jotka pyrkivat gravitaatioaaltojensuoraan havaitsemiseen.

• Gravitaation aiheuttama punasiirtyma on mitattumaapallon pinnalla ja se havaitaan myos monien astro-fysikaalisten kohteiden yhteydessa.

3

2. KoordinaatistojarjestelmatKlassisesti kappaleen liikkeen kuvaamiseksi tarvitaan

koordinaatistojarjestelma (frame tai frame of reference),joka koostuu seuraavista kasitteista:

• Piste, jonka suhteen paikkaa mitataan, eli origo.

• Sopimus tavasta, jolla paikkaa origon suhteen mita-taan.

• Kello, joka kertoo milla ajanhetkella kappale on kus-sakin paikassa.

Koska suhteellisuusteorian kannalta aika ja paikka eivatole yksikasitteisia klassisessa mielessa, muutamia koordi-naatistojarjestelmiin liittyvia kasitteita joudutaan tarken-tamaan.

Kello liittyy jokaiseen koordinaatiston pisteeseen, ja sa-massa koordinaatistossa olevat kellot ovat synkronoitukeskenaan. Kaytannossa tama synkronointi tehdaanseuraavasti: valitaan referenssipiste, jossa oleva kellonollataan. Lahetetaan tasta pisteesta radiaalisesti laa-jeneva valorintama. Jokaisessa valorintaman saavut-tamassa pisteessa oleva kello asetetaan aikaan, jokaon valorintaman mukana kulkevan referenssikellon senhetkisesta ajasta vahennettyna valorintaman laajene-miseen kulunut aika.

Tapahtuma on tietty aika ja paikka avaruudessa, jokamaaritellaan esimerkiksi yhden aika- ja kolmen paik-kakoordinaatin avulla (t, x, y, z).

Havaitsija on olio, joka pystyy mystisesti lukemaan kaik-kia koordinaatiston kelloja valittomasti ilman valon-nopeuteen liittyvaa signaaliviivetta.

Koordinaatistojarjestelma on yksinkertaisesti sopimussiita kuinka aikaa ja paikkaa ilmaistaan. Suhteellisuus-teorian vahvuus on koordinaattivapaa ilmaisu, jossa luon-nonlait maaritellaan valitusta koordinaatistojarjestelmastariippumattomalla – invariantilla – tavalla.

Itseasiassa valitulla koordinaatistojarjestelmalla mita-taan abstraktimpaa matemaattista kasitetta, eli monistoa,joka voidaan tassa yhteydessa mieltaa “jatkuvaksi avaruu-deksi”. Monisto itsessaan voi olla kaareva, kuten koordi-naatistokin. Tasta esimerkkina maapallon kartta, jota eivoi esittaa tasossa ilman mittakaavavirheita, koska maanpinta on kaareva pallon pinta.

Erilaisia koordinaatistoja, joilla voidaan kuvata samaatilannetta on aareton maara. Pelkastaan tutusta karteesi-sesta koordinaatistosta on monia muunnelmia (oikea- taivasenkatinen, vino- eli skewed -koordinaatisto, ortogonaali-nen jne.). Muista koordinaatistoista mainittakoon esimer-kiksi napa-, sylinteri- tai vaikkapa elliptinen koordinaatis-to.

Myos itse koordinaatisto voi olla liikkeessa tai vaikkapapyoria, jolloin itse koordinaatisto on ajasta riippuvainen.

Sopivan koordinaatiston valinta on hyvin tarkeaa on-gelman ratkaisussa, silla joissain koordinaatistoissa senkasittely voi muuttua hyvin yksinkertaiseksi ja joissain taasaarimmaisen hankalaksi!

Sama pallo!

Sama paikka!

Sama aika!

Kuva 1: Heitetyn pallon lentoradan muoto on havaitsijanliiketilasta riippuva. Molemmissa taloissa pallon paikka janopeus, seka itse talon paikka, on heittohetkella sama. Va-semmassa talossa, joka pysyy maan suhteen paikallaan, len-torata on paraabeli. Pallon lahtohetkella vapaasti tippuvantalon suhteen rata on suoraviivainen.

Keksitko todellisia tilanteita, joissa pyorivan tai liikku-van koordinaatiston kaytosta voisi olla hyotya?

2.1 Vapaa koordinaatistoMiksi maan pinnalta heitetty pallo lentaa paraabelira-

dalla? Tarkastellaan seuraavanlaista tilannetta uhkaroh-keasti kallion kielekkeelle rakennetussa talossa (kuva 1).

Maanpinnan suhteen levossa olevassa talossa pallo lentaaparaabeliradalla, ja vapaasti tippuvassa talossa lentorataon suoraviivainen. Jokapaivaisen kokemuksen mukaisestipallon paraabelirata on seurausta painovoimasta.

Tilannetta voidaan tarkastella myos toisin. Pallon ha-vaittu paraabelirata on seurausta havaitsijan “epaluonnol-lisesta” koordinaatistosta, jossa esiintyy huonosta koordi-naatiston valinnasta johtuvia ylimaaraisia kiihtyvyyksia.

Vapaassa pudotuksessa oleva havaitsija nakee pallon liik-kuvan “luonnollisen” suoraviivaisesti. Gravitaatio on ha-vaitsijan liiketilasta johtuvaa “harhaa” – aina voidaanmaaritella hetkeksi paikallinen koordinaatisto, jossa sita eiole.

2.2 Vapaan koordinaatiston paikallinenluonne

Painovoimaa ei voida havittaa mielivaltaisen pitkaksi ai-kaa mielivaltaiselta alueelta. Ammutaan esimerkinomaises-ti avaruusalus ja kaksi VR:n junavaunua Maata kiertavalleradalle.

Kuvan 2 avaruusaluksessa olevat testikappaleet liikkuvatkuten vapaassa koordinaatistossa. Kaytannossa niihin eivaikuta koordinaatiston valinnasta johtuvia voimia, mikalitarkastelu rajoitetaan tarpeeksi pienelle alueelle (aluksensisaosaan).

Jos koordinaatistoa levennetaan tarpeeksi sivusuunnas-sa, kuten vaakalennossa radallaan etenevassa junavaunus-sa (kuva 3), vaunun eri paissa oleviin testikappaleisiin vai-

4

Kuva 2: Avaruusaluksen sisalla tarpeeksi pienella, vapaas-ti liikkuvalla alueella Maan kiertoradalla gravitaatiota eivoida havaita.

Kuva 3: Jos vapaasti liikkuva alue on tarpeeksi suuri si-vusuunnassa, kuten tassa VR:n junavaunussa, gravitaatio-voimien suunta vaunun eri osissa muuttuu.

kuttavat hieman erisuuntaiset voimat ja koordinaatistossaesiintyy sen valinnasta johtuvia sisaisia voimia.

Vastaavasti radiaalisessa suunnassa (kuva 4), pystyssaolevassa vaunussa testikappaleisiin vaikuttavat voimat ovaterisuuria vaunun eri paissa. Nain ollen tassakin koordinaa-tistossa esiintyy sen valinnasta johtuvia sisaisia voimia.

Jos vapaassa koordinaatistossa tarkasteltava alue on tar-peeksi pieni ja aikavali on tarpeeksi lyhyt, painovoimaa eiole. Koska gravitaatiokentta ei ole tasainen, tarpeeksi suu-rella alueella (tai pitkana aikana) sen vaikutukset tulevatesille myos vapaassa koordinaatistossa.

Se, mita tarpeeksi pieni alue ja lyhyt aikavali tar-koittaa, riippuu taysin tarkasteltavasta ongelmasta. Jo-ka tapauksessa koordinaatisto taytyy erikoisen suhteel-lisuusteorian ongelmissa rajata sopivalle alueelle aika-avaruusjatkumossa.

Jos tama ehto rikkoutuu, tarvitaan yleista suhteel-lisuusteoriaa, jossa ongelmaa kasitellaan (periaatteessa)maarittelemalla sarja paikallisia koordinaatistoja sekasaanto siita, kuinka niiden valilla liikutaan.

2.3 InertiaalikoordinaatistoNewtonin ensimmainen laki, eli inertiaalilaki, kuuluu

seuraavasti:

a) Levossa oleva kappale pysyy levossa, jos siihen ei vai-kuta ulkoisia voimia ja

b) liikkuva kappale jatkaa liikettaan vakionopeudella, jossiihen ei vaikuta ulkoisia voimia.

Kuva 4: Vaapaasti liikkuvan alueen ollessa laaja radiaali-sessa suunnassa, voimien suuruudet muuttuvat, koska gra-vitaatiovoima on kaantaen verrannollinen etaisyyden ne-lioon.

Inertiaalilain voimassaolo riippuu valitusta koordinaa-tistosta. Koordinaatistoa, jossa Newtonin inertiaalilaki onvoimassa, kutsutaan inertiaalikoordinaatistoksi.

Inertiaalikoordinaatisto on idealisaatio, jota ei todelli-suudessa ole olemassa. Kaytannossa koordinaatistoa voi-daan aina laajentaa siten, etta siihen sisaltyy (epatasaisia)gravitaatiokenttia, jotka tuottavat sisaisia koordinaatistonvalinnasta johtuvia kiihtyvyyksia.

Kaytannossa kuitenkin lahes aina voidaan maaritella so-pivan kokoinen vapaa koordinaatisto, jota voidaan kasitellahalutulla tarkkuudella, kuten inertiaalikoordinaatistoa.

Koordinaatistoja, jotka eivat ole inertiaalikoordinaatis-toja, ja joissa on sisaisia kiihtyvyyksia, kutsutaan epainer-tiaalikoordinaatistoiksi. Jos voitaisiin tehda mielivaltaisenpitkia ja tarkkoja mittauksia, kaikki reaalimaailman koor-dinaatistot olisivat todellisuudessa epainertiaalikoordinaa-tistoja.

2.4 Fysiikan lait inertiaalikoordinaatis-tossa

Kahdesta toistensa suhteen liikkuvasta inertiaalikoor-dinaatistosta on mahdotonta sanoa, kumpi on levossa jakumpi liikkeessa. Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat sa-manarvoisia.

Periaatteessa tama on Galilein esittama suhteellisuuspe-riaate hieman laajennetussa muodossa:

Fysiikan lait ovat samat kaikissa

inertiaalikoordinaatistoissa!

Einstein laajensi suhteellisuusperiaatteen Galileonesittamasta suoraviivaisesta liikkeesta koskemaan myosvapaata liiketta (ks. edella kasitelty vapaa koordinaatisto).

Olkoot kaksi inertiaalikoordinaatistoa A ja A’, joista A’liikkuu A:n suhteen vakionopeudella v suuntaan x. Hetkellat = t′ = 0 koordinaatistojen origot ovat samassa pisteessa.

Koordinaatistosta A siirrytaan koordinaatistoon A’muunnoksella

{

x′ = x − vtt′ = t

(1)

Muunnosta (1) kutsutaan Galilein koordinaatistomuun-

5

nokseksi.

Esimerkki: Newtonin toinen laki

Newtonin toinen laki

F = ma ⇔ a =F

m(2)

kertoo, etta kappaleen kiihtyvyys a on suoraan verrannol-linen siihen vaikuttavaan voimaan F ja kaantaen verran-nollinen sen massaan m.

Tama on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa,koska derivoitaessa muunnosyhtaloita (1) ajan suhteen, no-peudet edellamainituissa inertiaalikoordinaatistoissa A jaA’ muuntuvat kuten

u′ = u − v. (3)

Koska kiihtyvyys on nopeuden muutos ajan funktiona, jakoordinaatistojen A ja A’ valinen nopeus v on vakio, saa-daan uudelleen ajan suhteen derivoimalla kiihtyvyyksille

a′ = a. (4)

Eli Newtonin toinen laki (2) on voimassa kaikissa inerti-aalikoordinaatistoissa.

2.5 Fysiikan lait epainertiaalikoordinaa-tistoissa

Newtonin toinen laki ei ole voimassa sellaisenaan epa-inertiaalikoordinaatistossa.

Esimerkiksi maata kiertavaan avaruusalukseen sidottutarpeeksi laaja koordinaatisto on tallainen epainertiaali-koordinaatisto. Vaikka aluksen sisalla olevaan testikappa-leeseen vaikuttaa Maan vetovoima, se pysyy avaruusaluk-sen suhteen paikallaan.

Tama voidaan ymmartaa maarittelemalla kiihtyvassaliikkeessa olevasta koordinaatistosta johtuva keinotekoinenvoima - keskipakoisvoima - joka kumoaa Maan vetovoiman.

Epainertiaalikoordinaatistoja voidaankin kasitella maa-rittelemalla keinotekoisia koordinaatistoon liittyvia voimia.Tallaisia inertiaalivoimia ovat esimerkiksi keskipakois- jaCoriolisvoima.

On tarkeaa ymmartaa, missa ja millaisessa koordinaatis-tossa ongelmaa kasitellaan, silla epainertiaalikoordinaatis-toja taytyy kasitella eri tavalla kuin inertiaalikoordinaatis-toja!

6

3. Suhteellisuusteorian perusperi-aatteet

Erikoinen suhteellisuusteoria (ja tama kurssi) kasitteleeajan ja paikan kasitetta kappaleilla, joiden suhteelliset no-peudet ovat merkittava osa valon tyhjionopeudesta c ≈3.0× 108m/s. Teoria kasittelee tasaista liiketta eli erilaisiainertiaalikoordinaatistoja.

Epainertiaalikoordinaatiston tapauksessa voidaan jou-tua turvautumaan yleiseen suhteellisuusteoriaan, joka me-nee kasittelemamme ongelmakentan seka taman kurssin ul-kopuolelle.

nopeus v Inertiaali- Epainertiaali-

koordinaatisto koordinaatisto

v ≪ c Newtonin lait Newtonin lait +

inertiaalivoimat

v <∼ c Suppea Yleinen

suhteellisuusteoria suhteellisuusteoria

3.1 HistoriaaModernia fysiikkaa edeltava klassinen fysiikka perustuu

pitkalti kahdelle perusteorialle:

• Klassinen mekaniikka, joka sai alkunsa 1500 - 1600 -luvun aikana (Newton ja Galilei).

• Maxwellin sahkomagnetismin teoria 1800-luvulta.

Klassinen mekaniikka lepaa vahvasti Galileo Galileinaikoinaan muotoileman suhteellisuusperiaatteen varassa,jonka mukaan fysiikan lait ovat liiketilasta riippumatto-mat.

Maxwellin sahkomagnetismia kuvaavat yhtalot kuiten-kin ennustavat valolle nopeuden c ≈ 3.0 × 108m/s. Klas-sisen fysiikan kriittiseksi kysymykseksi 1800-luvun lopullatuli, minka suhteen Maxwellin teorian tuottama valonno-peus on maaritelty?

On helppo osoittaa, etta Maxwellin yhtalot eivat oleinvariantteja Galilein koordinaatistomuunnoksen suhteen.Maxwellin sahkomagnetismi ja klassinen Galilein ja New-tonin mekaniikka ovat ristiriidassa.

1800-luvun lopulla valon tiedettiin olevan aaltoliiketta.Koska aaltoliike tapahtuu (yleensa) valiaineessa, paateltiinetta Maxwellin yhtalot antavat valonnopeuden tuntemat-toman hypoteettisen valiaineen, eetterin suhteen.

Tasta voitiin edelleen paatella, etta valonnopeuden ol-lessa vakio eetterin suhteen maaritellyssa inertiaalikoordi-naatistossa, taytyy valonnopeuden muuttua Galilein koor-dinaatistomuunnosten mukaiseksi muissa inertiaalikoordi-naatistoissa.

Michelsonin ja Morleyn kokessa (1881,1887) yritettiinmitata valonnopeuden muutoksia eri suuntiin eetterin suh-teen liikkuvien havaitsijoiden koordinaatistoissa (kuva 5).

3.2 Michelsonin ja Morleyn koeKoejarjestelyssa mitataan kahden toisiaan vastaan koh-

tisuoraan liikkuvan valonsateen nopeutta interferometrinavulla (kuva 6).

Interferometrissa monokromaattisesta valonlahteestalahteva valonsade jakautuu puolilapaisevassa peilissa Pkahteen osaan. Ensimmainen valonsade kulkee matkan l1

Kuva 5: Michelson ja Morley mittasivat valonnopeuttainterferometrilla maapallon ratanopeuden suuntaan sekasita vastaan kohtisuorassa suunnassa. Nopeuksien oletet-tiin muuttuvan (vasen puoli), mutta mittaustuloksen (oi-kea puoli) mukaan valonnopeus oli suunnasta riippumaton.

ja heijastuu peilista P1 ilmaisimelle T. Vastaavasti toinenvalonsade kulkee ensin matkan l2 ja heijastuu peilista P2

puolilapaisevan peilin P kautta samalle ilmaisimelle T, jol-la molemmat valonsateet interferoivat.

Syntynyt interferenssikuvio riippuu molempien va-lonsateiden matkaan kayttamasta ajasta. Laitettapyoritettaessa, eetterin suhteen vakionopeudella liikkuvanvalon nopeuden tulisi muuttua maan rataliikkeen sekamittaussuunnan mukaisesti ja interferenssikuvion tulisimuuttua vastaavasti.

Oletetaan, etta maapallon nopeus on hypoteettisen eet-terin suhteen v, ja valonnopeus vastaavasti c. Tarkastellaanensin tapausta, jossa haara S-P-P2 on maan rataliikkeensuunnassa.

Peilin P2 kautta kukevan valonsateen nopeus on Galileinmuunnosten mukaisesti

suunnassa P-P2 ⇒ c + vsuunnassa P2-P ⇒ c − v

,

jolloin matkaan P-P2-P kuluu valolta aika

t2 =l2

c − v+

l2c + v

=2cl2

c2 − v2

⇔ t2 =2l2γ

2

c, γ =

1√

1 − (v/c)2. (5)

Vastaavasti peilin P1 kautta kulkevalle valonsateelle

suunnassa P-P1 ⇒√

c2 − v2

suunnassa P1-P ⇒√

c2 − v2,

jolloin matkaan P-P1-P kuluu valolta aika

t1 = 2l1√

c2 − v2=

2l1c

γ. (6)

7

Puoliläpäiseväpeili

l 1

l 2

P1

P2

Valonlähde

Peili

Peili

Ilmaisin

T

P

Kuva 6: Michelson ja Morley kokeessa valonlahteestalahteva, eetterin suhteen vakionopeudella liikkuva, kahteenosaan jaettu valonsade kulkee kahta toisiaan vastaan koh-tisuoraan olevaa haaraa pitkin ja interferoi sen jalkeen il-maisimella. Laitetta pyoritettaessa tulisi mittaussuunnanmuuttua maapallon rataliikkeen suhteen ja interferenssi-kuvion muuttua vastaavasti.

Nyt eri reitteja kulkeville valonsateille (5) ja (6) aika-eroon

∆t = t2 − t1 =2γ

c(γl2 − l1). (7)

Kun laitetta kaannetaan siten etta P1-P-T on rataliik-keen suunnassa, kuluu matkoihin aikaa t1 = t2 ja t2 = t1ja

∆t = t2 − t1 =2γ

c(l2 − γl1). (8)

Nain ollen ilmaisimella T havaittu interferenssikuvionsiirtyma on verrannollinen aikojen (7) ja (8) erotukseen

∆ = ∆t − ∆t =2γ

c(γl2 − l1 − l2 + γl1)

=2γ

c(γ − 1)(l1 + l2). (9)

Jos T = λ/c on sateilyjakson kesto, jossa λ on sateilynaallonpituus, on siirtyma

S =∆

T=

2γ

λ(γ − 1)(l1 + l2). (10)

Koska maan ratanopeus on merkittavasti alle valonnopeu-den (v/c ≪ 1), voidaan γ kehittaa sarjaksi

γ =1

√

1 − (v/c)2= 1 +

1

2

v2

c2+ ... , (11)

joka katkaistaan toisen asteen termin jalkeen (v4/c4 ≈ 0).Talloin

S ≈ l1 + l2λ

v2

c2. (12)

Michelson ja Morleylla oli l1+l2 ≈ 22m, λ = 5.5×10−7mja maan ratanopeus on v ≈ 30km/s. Nailla arvoilla tuleesiirtymaksi yhtalon (12) mukaisesti S = 0.4. Nain suuri siir-tyma olisi varmasti havaittu jo 1800-luvun mittalaitteilla.

Kuitenkaan minkaanlaista muutosta ei havaittu. Tamanjalkeen Michelsonin ja Morleyn jalkeen koe on uusittu huo-mattavasti suuremmilla mittaustarkkuuksilla, eika muu-toksia valonnopeudessa ole havaittu.

Valon tyhjionopeus on sama kaikissa

koordinaatistoissa!

Useiden epaonnistuneiden selitysyritysten jalkeen tamanristiriidan Maxwellin sahkomagnetismin ja klassisen Gali-lein ja Newtonin mekaniikan valilla ratkaisi Einstein vuon-na 1905 erikoisella suhteellisuusteoriallaan.

Einsteinin elegantti ratkaisu perustuu yksinkertaiselle oi-vallukselle. Jos valonnopeus on vakio kaikissa koordinaatis-toissa, taytyy ajan olla koordinaatistosta riippuva!

v < c~Absoluuttinen aika

Galilein koordinaatistomuunnos

3.3 Suhteellisuusteorian peruspostulaatitErikoinen suhteellisuusteoria rakentuu kahden peruspos-

tulaatin varaan:

1. Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisiafysiikan lakien suhteen. Absoluuttista lepokoordinaa-tistoa ei ole olemassa.

2. Valon tyhjionopeus on sama (vakio) kaikissa koordi-naatistoissa.

Ensimmaista postulaattia kutsutaan suhteellisuusperi-aatteeksi. Sen mukaan jotkut mitattavat suureet voivat ollakoordinaatistoriippuvaisia, sen sijaan fysiikka sellaisenaanon aina sama kaikille havaitsijoille.

Suhteellisia, tai havaitsijan koordinaatiston liiketilastariippuvaisia, suureita voivat olla mm.

• Spatiaaliset etaisyydet.

• Aikavalit.

• Kiihtyvyydet, koska ne ovat aikariippuvaisia.

• Voimat, koska nekin ovat riippuvaisia ajasta.

• Kentat, jotka aiheuttavat voimia.

Suhteellisuusperiaatteen mukaisesti muuttumattomia taiinvariantteja ovat mm.

• Fysiikan lainalaisuudet.

• Luonnonvakiot.

8

• Tapahtumien valiset syy- ja seuraussuhteet.

Naista kahdesta postulaatista on suorana seurauksenaLorentz-muunnos, joka korvaa relativistisessa tapauksessaklassisen Galilein koordinaatistomuunnoksen.

Olkoot kaksi koordinaatistoa A ja A’, joiden akselit jaorigo ovat paallekkain hetkella t = t′ = 0. Koordinaatis-to A’ liikkuu nopeudella v koordinaatiston A suhteen x-akselin suuntaan.

Talloin koordinaatistosta voidaan siirtya toiseenedellamainitun Lorentz muunnoksen avulla

x′ = x−vt√1−v2/c2

y′ = yz′ = z

t′ = t−vx/c2√1−v2/c2

(13)

Tassa c on koordinaatistosta riippumaton valon tyh-jionopeus c ≈ 3.0 × 108m/s.

3.4 Lorentz-muunnosJohdetaan Lorentz -muunnos lahtien peruspostulaateis-

ta. Olkoot kaksi koordinaatistoa O ja O’. O’ liikkuu O:nsuhteen vakionopeudella v x-akselin suuntaan. Hetkellat = t′ = 0 koordinaatistojen origot ja akselit yhtyvat.

Jos joku piste liikkuu O:ssa tasaisella nopeudella, taytyysen liikkua tasaisesti myos koordinaatistossa O’. Nainollenmuunnoksen koordinaatistojen valilla taytyy olla lineaari-nen:

{

x′ = x′(x, t) = αx + βtt′ = t′(x, t) = γx + δt

, (14)

jossa α, β, γ ja δ ovat vakioita. Muunnoksessa (14)on jatetty kirjoittamatta muunnoksessa sailyvat y- ja z-komponenttien muunnokset (y′ = y seka z′ = z).

Muunnoksessa taytyy patea

1. Piste levossa O’:ssa liikkuu nopeudella v O:ssa.

2. Piste levossa O:ssa liikkuu nopeudella −v O’:ssa.

3. Valonnopeus c on sama molemmissa koordinaatistois-sa.

O:ssa nopeudella u = dx/dt liikkuva piste liikkuu O’:ssanopeudella u′ = dx′/dt′. Differentioimalla muunnosyhtalot(14) saadaan

{

dx′ = αdx + βdtdt′ = γdx + δdt

⇔ u′ =dx′

dt′=

αdx + βdt

γdx + δdt=

αdx/dt + β

γdx/dt + δ

=αu + β

γu + δ. (15)

Ehdosta 1. saadaan u′ = 0 ⇒ u = v, jolloin

αv + β

γv + δ= 0 ⇔ β = −αv, δ 6= −γv. (16)

Vastaavasti ehdosta 2. tulee u′ = −v ⇒ u = 0, ja

−v =β

δ⇔ β = −δv. (17)

Nyt yhtaloista (16) ja (17) saadaan

δ = α. (18)

Ehdosta 3. saadaan u′ = c ⇔ u = c, jolloin

c =αc + β

γc + δ=

αc − αv

γc + α=

α(c − v)

γc + α

⇔ c(γc + α) = α(c − v)

⇔ γc =α(c − v)

c− α ⇔ γ = −αv

c2(19)

Huomaa, etta δ 6= −γv ⇔ v2 6= c2, eli koordinaatistojenvalinen nopeus ei voi olla valonnopeus!

Nyt yhtaloiden (17), (18) ja (19) avulla muunnoksiksi(14) saadaan

{

x′ = αx − αvt = α(x − vt)t′ = −αvx/c2 + αt = α(t − vx/c2)

. (20)

Maaritellaan kerroin α lahettamalla hetkella t = t′ = 0valorintama, joka etenee joka suuntaan nopeudella c. Valokulkee ajassa t matkan r = ct, nainollen

x2 + y2 + z2 = c2t2 ⇔ x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0.

Koska valo liikkuu samalla tavalla kaikissa koordinaatis-toissa, taytyy olla myos

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 − c2(t′)2 = 0.

Nainollen tatyy olla voimassa

x2 + y2 + z2 − c2t2 = A2{(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 − c2(t′)2}

= A2{(x′)2 + y2 + z2 − c2(t′)2},missa A on jokin vakio. Tasta seuraa, etta

⇔ (1 − A2)(y2 + z2) + x2 − c2t2 = A2{

(x′)2 − c2(t′)2}

.

Taman perusteella taytyy olla A2 = 1 ja

x2 − c2t2 = (x′)2 − c2(t′)2. (21)

Kun sijoitetaan yhtaloon (21) muunnos (20),saadaan

x2 − c2t2 = α2(x − vt)2 − c2α2(

t − vx/c2)2

⇔ α2(

1 − v

c

)(

1 +v

c

)

= 1

α =1

√

1 − v2/c2. (22)

Tassa taytyy valita positiivinen juuri nelioidysta lausek-keesta, jotta ajan suunta sailyy. Lopulliseksi muunnokseksitulee siis yhtalon (22) avulla muunnoksesta (20)

x′ = x−vt√1−v2/c2

y′ = yz′ = z

t′ = t−vx/c2√1−v2/c2

(23)

9

ja vastaava kaanteismuunnos saadaan vaihtamalla muut-tujien paikkaa ja korvaamalla v → −v:

x = x′+vt′√1−v2/c2

y = y′

z = z′

t = t′+vx′/c2√1−v2/c2

. (24)

Usein Lorentz-muunnoksessa kaytetaan lyhennysmer-kintoja β = v/c tai γ = 1/

√

1 − v2/c2.

3.5 Lorentz-muunnos ja Minkowskin dia-gramma

Edellisessa kappaleessa johdetut muunnosyhtalot eriinertiaalikoordinaatistojen valilla voidaan kuvata graafi-sesti kayttaen Minkowskin diagrammaa. Tama on erittainhyodyllinen tyokalu analysoitaessa relativistisia efektejaerilaisissa tilanteissa.

Minkowskin diagramma on kuvaaja neliulotteisesta aika-avaruusjatkumosta, jossa y-koordinaatti vastaa aika- ja x-koordinaatti kaikkia avaruuskoordinaatteja.

Kuvassa 7. on esitetty Minkowskin diagramma. Kuvaa-jassa on y-akselilla aika normitettuna valonnopeudella jax-akselilla paikka. Talla tavalla valo kulkee diagrammassaaina 45◦ kulmassa.

Lorentz-muunnetut koordinaattiakselit (’) ovat kierty-neet saman kulman verran kohti 45◦ valon maailmanviivaa.Kun koordinaatistojen valinen nopeus lahestyy valonno-peutta, lahestyvat muunnetut koordinaattiakselit em. va-lon maailmanviivaa.

Kukin Minkowskin diagramman piste vastaa tapahtu-maa, eli paikkaa ajassa seka avaruudessa. Koordinaattis-tomuunnokset eivat vaikuta itse tapahtumiin, ainoastaankoordinaattiakseleihin, joilta aika ja paikka luetaan.

Kuvaajassa tarkeita ovat samanaikaisuuden viivat, jot-ka ovat aina (paikka) x-akselin suuntaisia viivoja koordi-naatistoissa. Huomaa, etta muunnetun koordinaatiston (’)samanaikaisuuden viivat ovat kiertyneet koordinaattiakse-leiden tavoin kohti valon maailmanviivaa.

Siirryttaessa koordinaatistosta toiseen, seka aika ettapaikka muuttuvat Lorentz-muunnoksen mukaisesti! Tutus-tu kuvaan 7 huolellisesti ja varmista, etta ymmarrat, mistaon kysymys.

3.6 Samanaikaisuuden suhteellisuusAika muuttuu siirryttaessa inertiaalikoordinaatistosta

toiseen Lorentz muunnoksella, t′ 6= t. Keskeinen seuraustasta on se, ettatoisistaan riippumattomien tapahtumien havaittu

jarjestys riippuu havaitsijan liiketilasta!

Havainnollistetaan tata kuvan 8. mukaisella ajatusko-keella. Liikkukoon junavaunu relativistisella nopeudella ra-taa eteenpain kuvan mukaisesti. Tasmalleen keskella ju-navaunua on valonlahde, josta lahtee samanaikaisesti va-lonsateet kohti vaunun paatyja.

Junavaunussa olevan havaitsijan mielesta valonsateetosuvat vaunun paatyihin yhtaaikaa (ylin kuva).

Radan varrella olevan havaisijan nakokulmasta (kes-kimmainen kuva) valo liikkuu Einsteinin 2. postulaatin mu-

ct ct’

x’

x

Aika t on vakio x−akselinsuuntaisilla suorilla.

Valon kulkee 45asteen kulmassa.

Paikka x on vakio ct−akselinsuuntaisilla suorilla.

y − akselina on ct ajan t sijaan, jolloinvalo kulkee 45 asteen kulmassa.

cT on valon kulkema matka ajassaT (x,t)−koordinaatistossa.

Paikka x’ on vakio ct’−akselinsuuntaisilla suorilla.

cT’ on valon kulkema matka ajassaT’ (x’,t’)−koordinaatistossa.

Aika t’ on vakio x’−akselinsuuntaisilla suorilla.

cT

cT

cT’

cT’

* Galilein transformaatio kiertää ainoastaan aika−akselia t.* Lorentz transformaatio kiertää akseleita ct ja x.

Kuva 7: Minkowskin diagrammalla voidaan esittaaLorentz-muunnos graafisesti. Tamankaltaisten diagram-mojen avulla paradoksaalisilta vaikuttavien relativististentilanteiden selvittely onnistuu helpommin.

kaisesti tasmalleen samalla nopeudella kuin junavaunussaolevan havaisijan mittaamana.

Radan varrelta katsoen myos junavaunu liikkuu ly-hyen matkan sina aikana, kun valonsade etenee kohti vau-nun paatyja. Taman vuoksi valonsateilta menee vaununpaatyjen saavuttamiseen hieman eri aika, ja valonsade osuuensin vaunun takaosaan ja sitten vasta keulaan (radan var-relta katsottuna).

Liikuttaessa junavaunua nopeammin (alin kuva), valoliikkuu edelleen kaikille havaitsijoille samalla vakionopeu-della ja vaunu ehtii loitontua havaitsijasta hieman sina ai-kana, kun valo matkaa kohti vaunun paita. Siksi autostakatsottuna etuosaan osuva valonsade on perilla hieman en-nen vaunun takaosaan osuvaa valonsadetta.

Eli kaikki kolme havaitsijaa (vaunussa, radan varrel-la ja nopeammassa autossa) ovat eri mielta tapahtu-mien jarjestyksesta. Tama on taysin mahdollista, silla va-lonsateiden osumisella vaunun paatyihin ei ole kausaalista(syy ja seuraus) yhteytta. Samanaikaisuus on suhteellista!

Tarkastellaan tilannetta viela Minkowski-diagrammojenja puhtaasti matemaattisten Lorentz-muunnosten avulla.

Junavaunut Minkowski diagrammoina

Oheisissa kuvissa 9. ja 10. on kuvattuna sama tilanneMinkowski diagrammoina kuin kuvassa 8. Molemmissa dia-grammoissa valo kulkee 45◦ asteen kulmassa.

Kuvan 9. Minkowski diagramma vastaa kuvan 8. kes-kimmaista osaa, jossa (x, ct)-koordinaatisto on sidottu ju-narataan ja (x′, ct′)-koordinaatisto junavaunuun.

Junavaunussa samanaikaisesti vaunun paihin osuvien va-lonsateiden (tapahtumat A ja B) samanaikaisuuden viivaon kiertynyt kohti valon maailmanviivaa samalla tavallakuin Lorentz-muunnettu x′-akseli. Nain ollen (x, ct) koor-dinaatistossa tapahtumat A (t1) ja B (t2) eivat ole enaasamanaikaiset. Valonsade osuu ensin vaunun peraan (t1)

10

Junan koordinaatistossa valon−säteet osuvat vaunun päätyihinyhtäaikaa.

Junaa nopeammin liikkuvassakoordinaatistossa valonsäde osuuensin junan etuosaan ja sittentakaosaan.

Maahan kiinnitetyssä koordinaa−tistossa valonsäde osuu ensinjunan takaosaan ja sen jälkeenetuosaan.

c c

c c

cc

Kuva 8: Valonlahde relativistisella nopeudella liikkuvassajunavaunussa.

ja sen jalkeen vaunun keulaan (t2).Samalla tavalla kuvan 10. Minkowski diagramma vastaa

kuvan 8. alimmaista osaa, jossa (x, ct)-koordinaatisto onsidottu radan suhteen liikkuvaan junavaunuun ja (x′, ct′)-koordinaatisto sita nopeammin liikkuvaan autoon.

Junavaunussa samanaikaisesti vaunun paihin osuvien va-lonsateiden (tapahtumat A ja B) samanaikaisuuden viivaon kiertynyt auton koordinaatistossa (x′, ct′) kohti valonmaailmanviivaa samalla tavalla kuin Lorentz-muunnettux′-akseli. Siksi myos tassa tapauksessa (x′, ct′) koordinaa-tistossa tapahtumat A (t′1) ja B (t′2) eivat ole enaa saman-aikaiset. Valonsade osuu ensin vaunun peraan (t′2) ja senjalkeen vaunun keulaan (t′1).

Junavaunut Lorentz-muunnoksina

Olkoon tapahtuma A valonsateen osuminen l-pituisenjunavaunun takapaahan, vaunun koordinaatistossa(ct1, x1) = (ct1, 0). Merkitaan tapahtumalla B valonsateenosumista junavaunun keulaan (ct2, x2) = (ct2, l). Junankoordinaatistossa siis t1 = t2.

Kuvan 8. keskimmaisessa osassa rata liikkuu x-akselinsuunnassa vaunun suhteen nopeudella −v. Talloin tilan-netta voidaan kasitella Lorentz-muunnosten (23) avulla

t′1 =t1 + vx1/c2

√

1 − v2/c2ja t′2 =

t2 + vx2/c2

√

1 − v2/c2,

eli radan koordinaatistossa tapahtumilla on aikavali

∆t′ = t′1 − t′2 =t1 − t2 + (x1 − x2)v/c2

√

1 − v2/c2

= − vl

c2√

1 − v2/c2< 0.

Nyt siis t′1 < t′2 ja valonsade osuu ensin vaunun takaosaan.Vastaavasti kuvan 8. alimmassa osassa auto liikkuu vau-

nun suhteen nopeudella v x-akselin suuntaan. Lorentz

t’1 t’2=t1

t2

x

x’

ct ct’

Vaunun perä Vaunun keulaLamppu

Valons

äde

rada

n ai

ka−

akse

li

vaun

un a

ika−

akse

li

AB

Kuva 9: Minkowski diagramma valonlahteesta relativisti-sella nopeudella liikkuvassa junavaunussa (keskimmainenosio kuvasta 8). (x, ct)-koordinaatisto on kiinnitetty radanvarteen, ja (x′, ct′) on tasaisella nopeudella liikkuvan juna-vaunun koordinaatisto.

muunnosten (23) avulla auton koordinaatistossa tapahtu-milla on aikavali

∆t′ = t′1 − t′2 =t1 − t2 − (x1 − x2)v/c2

√

1 − v2/c2

=vl

c2√

1 − v2/c2> 0.

Nyt siis t′1 > t′2 ja valonsade osuu ensin vaunun etuosaanauton koordinaatistosta katsoen.

3.7 Tapahtumien synkronointiSamanaikaisuuden suhteellisuuden suora seuraus on se,

etta yhdessa inertiaalikoordinaatistossa synkronoidut kel-lot eivat ole valttamatta synkronoituja toisessa inertiaali-koorinaatistossa.

Tama voidaan ymmartaa kuvien 11. ja 12. avulla. Siir-ryttaessa inertiaalikoordinaatistosta toiseen, aika ja paik-ka menevat relativistisilla nopeuksilla tavallaan “sekaisin”.Kukin eri nopeudella liikkuva inertiaalihavaitsija “siivut-taa” neliulotteista aika-avaruusjatkumoa hieman eri taval-la.

Minkowski diagrammassa tama nahdaan liikkuvan koor-dinaatiston (kuvissa (x′, ct′)-koordinaatistot) samanaikai-suuden viivojen kiertymisena paikallaan olevan koordinaa-tiston suhteen.

Sama nahdaan myos tarkasteltaessa Lorentz-muunnoksia (23). Siirryttaessa koordinaatistosta Onopeudella v liikkuvaan koordinaatistoon O’ ja pi-dettaessa aika t vakiona, on muunnettu aikakoordinaattit′ riippuvainen myos paikasta.

11

= t2t1

t’2

t’1

x

x’

ct

Vaunun perä Vaunun keulaLamppu

vaun

un a

ika−

akse

li

auto

n ai

ka−a

ksel

i

ct’

Valons

äde

Kuva 10: Minkowski diagramma valonlahteesta relativisti-sella nopeudella liikkuvassa junavaunussa (alimmainen osiokuvasta 8). (x, ct)-koordinaatisto on kiinnitetty junavau-nuun, ja (x′, ct′) on tasaisella nopeudella liikkuvan autonkoordinaatisto.

3.8 Ajan dilataatioToinen seuraus samanaikaisuuden suhteellisuudesta on

se, etta kellot kayvat eri tahtiin eri nopeudella liikkuvissakoordinaatistoissa.

Olkoot kaksi koordinaatistoa O seka O’, joka liikkuukoordinaatiston O suhteen nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan. Hetkella t = t′ = 0 koordinaatistojenorigot yhtyvat.

Tarkastellaan hetkella t = t′ = 0 synkronoituja kello-ja eri koordinaatistoissa samaan aikaan myohemmin, kuva13. Koska kasitteet samaan aikaan ja myohemmin riip-puvat havaisijan liiketilasta, eri inertiaalikoordinaatistois-sa olevien havaitsijoiden mielesta toisessa koordinaatistos-sa oleva havaitsija lukee omassa koordinaatistossa olevaakelloa menneisyydessa.

Lorentz-muunnoksesta nahdaan, etta aikavalit ∆t ja ∆t′

eri koordinaatistojen valilla muuntuvat kuten

∆t′ =∆t

√

1 − v2/c2. (25)

Tata ilmiota kutsutaan ajan dilataatioksi.Tassa yhteydessa kannattaa olla hieman varuillaan ja

tarkkana, etta aika muunnetaan samoissa paikoissa. Ajandilataatiolausekkeen soveltaminen sellaisenaan voi joskusjohtaa vaariin lopputuloksiin.

Tarkastellaan edella mainituissa koordinaatistoissa Oja O’ muuntuvaa aikavalia lahtien Lorentz-muunnoksesta(23) ja sen kaanteismuunnoksesta (24).

Aikavali ∆t = t2−t1 muuntuu koordinaatistosta O koor-

ct ct’

x

x’

Höpö höpö!

Kaikki kelloni ovatsynkronoitu!

Kuva 11: Tien varrella, (x, ct)-koordinaatistossa ole-van havaitsijan synkronoidut kellot eivat ole synk-ronoituja relativistisesti liikkuvan autoilijan ((x′, ct′)-koordinaatisto) nakokulmasta. Tama johtuu siita, etta(x′, ct′)-koordinaatiston samanaikaisuuden viivat ovat kier-tyneet (x, ct)-koordinaatiston suhteen.

dinaatistoon O’ Lorentz muunnoksen (23) avulla kuten

∆t′ =t2 − vx/c2

√

1 − v2/c2− t1 − vx/c2

√

1 − v2/c2=

t2 − t1√

1 − v2/c2

=∆t

√

1 − v2/c2. (26)

Kun tasta ratkaistaan ∆t ∆t′:n avulla, saadaan

∆t = ∆t′√

1 − v2/c2. (27)

Toisaalta taas kaanteismuunnoksesta ∆t′ = t′2−t′1 saadaan

∆t =t′2 + vx/c2

√

1 − v2/c2− t′1 + vx/c2

√

1 − v2/c2=

t′2 − t′1√

1 − v2/c2

=∆t′

√

1 − v2/c2. (28)

Nyt selkeasti (27) on erisuuri kuin (28). Mita tapahtui??Eroavuutena naiden kahden tuloksen valilla on se, ettaaikaa ei ole mitattu samoissa paikoissa, koska x′ riippuumyos ajasta! Jotta tilanne olisi symmetrinen taytyy en-simmaisessa muunnoksessa myos paikat muuntaa, eli kun

x′1 = −vt1√

1−v2/c2

x′2 = −vt2√

1−v2/c2

,

saadaan aikavalille muunnoksesta (23):

∆t =t′2 + vx′

2/c2

√

1 − v2/c2− t′1 + vx′

1/c2

√

1 − v2/c2

12

ct ct’

x

x’

Puhu pukille!

Nyt ne kellot ovatkunnolla synkronoitu!

Kuva 12: Vastaavasti, jos kellot synkronoidaan autoilijankoordinaatistossa (x′, ct′), ne eivat enaa ole synkronoitujatienvarren (x, ct) koordinaatistossa.

=t′2

(

1 − v2/c2)

− t′1(

1 − v2/c2)

√

1 − v2/c2

= ∆t′√

1 − v2/c2.

Nyt tulokset ovat yhtapitavia, kun aikavalit mitataan sa-moissa paikoissa. Koska aika ja paikka muodostavat ko-konaisuuden relativistisissa ongelmissa, kannattaa muut-tuvia aikavaleja kasitella tarkastelemalla tapahtumia jokoLorentz-muunnosten tai Minkowskin diagrammojen kaut-ta, eika lauseketta (25) mekaanisesti soveltamalla.

3.9 Pituuden kontraktioKolmas seuraus samanaikaisuuden suhteellisuudesta on

fyysisten pituuksien muuttuminen. Kappaleen pituus onsen paiden valinen etaisyys samalla hetkella. Edelleen, kos-ka samalla hetkella on riippuvainen havaitsijan liiketilasta,myos pituudet muuntuvat.

Olkoot kaksi koordinaatistoa O ja O’, joista O’ liikkuuO:n suhteen nopeudella v positiivisen x-akselin suhteen.Hetkella t = t′ = 0 koordinaatistojen origot yhtyvat.

Olkoon kappaleella pituus L′ = x′2−x′

1 lepokoordinaatis-tossaan O’ hetkella t′. Talloin koordinaatistossa O Lorentz-muunnoksia (23) soveltaen sen pituudeksi L havaitaan

L = x2 − x1 =x′ − vt′

√

1 − v2/c2− x′

1 − vt′√

1 − v2/c2=

x′2 − x′

1√

1 − v2/c2

=L′

√

1 − v2/c2⇔ L′ = L

√

1 − v2/c2. (29)

Huomaa etta nyt t1 6= t2. Relaatiota (29) kutsutaan pi-tuuden kontraktioiksi tai Lorentz-Fitzgerald-kontraktioksi.Tilannetta kuvaava Minkowski diagramma on esitetty ku-vassa 14.

Sinun kellosi kulkeehitaammin kuin minun!

Meidän kellome ovatnyt synkronoitu!

ct ct’

x’

x

Eipäs, kun sinä vertaatkelloasi minunkellooni menneisyydessä!

nyt

Sinä vertaat omaa kelloasiminun kellooni menneisyydessä!

Kuva 13: Liikkuva kello kay hitaammin. Tama johtuusiita, etta paikallaan oleva havaisija vertaa kelloaan liik-kuvasta koordinaatistosta katsoen liikkuvaan kelloon men-neisyydessa!

Myos tassa tapauksessa kaanteismuunnosta soveltaenhavaitaan samankaltainen symmetria kuin ajan dilataatio-ta kasiteltaessa edellisessa kappaleessa. Eli yhtalon (29)mekaanisen soveltamisen sijaan on tarkeaa, etta huo-mioidaan milloin kappaleiden paiden paikkaa mitataanmissakin koordinaatistossa!

Edelleen kannattaa muistaa, etta kontraktion havaitse-miseen tarvitaan aikaisemmin maaritelty suhteellisuusteo-reettinen havaitsija, joka pystyy tekemaan mittauksia koor-dinaatistossa ilman signaaliviivetta.

Jos kuvassa 14. sijoitettaisiin kamera ct-akselille, juna-vaunua ei nahtaisi lyhentyneena, koska kameraan muodos-tuu kuva kohteesta siita heijastuvien valonsateiden avulla.

Kameraan muodostuvan kuvan matemaattinen kasittelyei ole aivan yksioikoista, mutta se on mahdollista. Todel-lisuudessa relativistinen objekti nahtaisiin kameran avullakiertyneena (vaaristyneena), siten etta sen takaosaa voitai-siin nahda enemman kuin normaalin geometrian mukaanon mahdollista.

3.10 Inertiaalikoordinaatistojen samanar-voisuus

Erikoisen suhteellisuusteorian ensimmainen postulaat-ti asettaa kaikki inertiaalikoordinaatistot samanarvoisiksi.Siksi aikavalien ja pituuksien muuttuessa erilaisten iner-tiaalikoordinaatistojen valilla, taytyy muutosten tapahtuamyos toisinpain.

Kuvan 15. relativistisella nopeudella liikkuvassa juna-vaunussa aikavalit ja pituudet muuntuvat radanvarreltahavaittuna. Koska vaunuun sidotusta inertiaalikoordinaa-tistosta katsoen muu maailma liikkuu, taytyy vastaavatmuutokset tapahtua myos vaunun ulkopuolella vaunustakatsoen.

Puhtaasti erikoisen suhteellisuusteorian tapauksessa re-lativistiset efektit ovat aina symmetrisia!

3.11 Nopeuksien muunnos

13

vaun

un ta

kaos

a

vaun

un e

tuos

a

L

L’

x

x’

vv

ct ct’

Kuva 14: Liikkuvat kappaleet lyhenevat liikesuunnassa.Tamakin on seurausta samanaikaisuuden suhteellisuudes-ta, eli mitattaessa kappaleen paiden paikat samaan aikaankoordinaatistoita (x, ct) ja (x′, ct′) katsoen mittaukset ta-pahtuvat eri pisteissa aika-avaruusjatkumossa.

Nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen: kun derivoi-daan Lorentz-muunnokset (23) ajan suhteen, saadaan vas-taava nopeuksien muunnos.

Olkoot O ja O’ kaksi koordinaatistoa, joista O’ liik-kuu koordinaatiston O suhteen nopeudella v positiivisenx-akselin suuntaan. Hetkella t = t′ = 0 koordinaatistojenorigot ja akselit yhtyvat.

Olkoot nopeus u = (ux, uy, uz) koordinaatistossa O javastaava nopeus u′ = (u′

x, u′y, u

′z) koordinaatistossa O’.

Differentioimalla Lorentz-muunnokset (23) saadaan

dx′ = γdx − vγdtdy′ = dydz′ = dzdt′ = γdt − vγ

c2 dx

. (30)

Differentiaaleista (30) voidaan laskea nopeuskomponen-

−v

vL’

T’

L

T

T’

L’

L

T

Kuva 15: Inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisia, elirelativistiset muutokset ovat symmetrisia. Radan varreltahavaittavat relativistiset muutokset liikkuvassa vaunussaovat samat kuin vaunusta havaitut ulkomaailman muutok-set.

tit. Esimerkiksi nopeuden x-komponentti muuntuu kuten

dx′

dt′=

γdx − vγdt

γdt − vγc2 dx

=dx/dt − v

1 − (dx/dt)(v/c2)

⇔ u′x =

ux − v

1 − vux/c2.

Kasittelemalla nopeuden y- ja z-komponentit vastaavasti,saadaan nopeuden muunnokseksi inertiaalikoordinaatisto-jen O ja O’ valilla

u′x = ux−v

1−vux/c2

u′y =

uy

√1−v2/c2

1−vux/c2

u′z =

uz

√1−v2/c2

1−vux/c2

. (31)

Huomaa, etta koordinaatistojen valisen nopeuden ollessatarpeeksi pieni (v ≪ c), muunnos (31) lahestyy klassistanopeuksien muunnosta.

3.12 Nopeuden suuntakulman muunnosTarkastellaan sellaista liiketta, jolla on nollasta poikkea-

va nopeuskomponentti myos koordinaatistojen valista no-peutta vastaan kohtisuorassa suunnassa (uy 6= 0), edellaesitellyissa koordinaatistoissa O ja O’.

Kun kirjoitetaan xy- ja x′y′-tasossa nopeuskomponen-tit (31) napakoordinaatistossa, voidaan ratkaista nopeudensuuntakulman muunnos.

Huomaa, etta nopeus on kaantaen verrannollinen aikaan,jolloin pelkka suuntakulman muuntaminen antaa vaarantuloksen. Aikadilataatio taytyy ottaa huomioon nopeudenLorentz-muunnosten (31) kautta.

Kirjoitetaan nopeuden muunnosyhtaloiden (31) x- ja y-komponentit napakoordinaatiston

{

x = r cos θy = r sin θ

avulla:{

u′x = u′ cos θ′ = u cos θ−v

1−(vu cos θ)/c2

u′y = u′ sin θ′ =

u sin θ√

1−v2/c2

1−(vu cos θ)/c2

. (32)

14

Jaettaessa nama nopeuskomponentit toisillaan saadaan

tan θ′ =u′

y

u′z

=sin θ

√

1 − v2/c2

cos θ − v/u. (33)

Esimerkki: liikkuvan hiukkasen valoemissio

Laboratoriokoordinaatiston O suhteen nopeudella v liik-kuva hiukkanen emittoi omassa lepokoordinaatistossaan O’valoa kulmassa θ′ nopeuttaan vastaan. Valonnopeus on mo-lemmissa koordinaatistoissa u = u′ = c.

Muunnoksen (31) y-komponentin lausekkeesta napa-koordinaatistossa saadaan kulmaksi laboratoriokoordinaa-tistossa

sin θ =sin θ′

√

1 − v2/c2

1 + v cos θ′/c.

Laboratoriossa mitattu suuntakulma on esitetty kuvas-sa 16. muutamilla nopeuksilla v. Kuvasta nahdaan, ettahiukkasen nopeuden lahestyessa valonnopeutta, valo pyr-kii ohjautumaan etenemissuunnassa olevaan kartioon.

Kuva 16: Laboratoriokoordinaatistossa O mitattu emis-sion suuntakulma θ, hiukkasen lepokoordinaatistossa O’tapahtuvan emission suuntakulman θ′ funktiona.

15

4. Lorentz-Minkowski avaruudenkausaali rakenne

Kausaliteetti: tapahtumien valinen syy-seuraus suhde.Kuten jo edella on useamman kerran todettu, valon-

nopeus tyhjiossa on suurin mahdollinen nopeus, jolla in-formaatiota voidaan valittaa. Minkowski-diagrammassa(ct, x)-koordinaatisto on normitettu siten, etta valonsateetkulkevat aina 45◦ kulmassa.

Lahettamalla valonsateet Minkowski-diagramman ori-gosta, Lorentz-Minkowski avaruus voidaan jakaa origossaolevan tapahtuman suhteen kolmeen eri kausaaliseen alu-eeseen kuvan 17 mukaisesti.

x

ct

P

Q

R

S

tulevaisuusAbsoluuttinen

Absoluuttinen

menneisyys

Epämääräisyysalue

Epämääräisyysalue

valon

säde

valon

säde valonsäde

valonsäde

Kuva 17: Laakean Lorentz-Minkowski avaruuden kausaa-liset alueet.

Kuvan origossa oleva tapahtuma P voi olla seurausta ai-noastaan tapahtumille, jotka ovat sen absoluuttisessa men-neisyydessa (esim. R).

Vastaavasti tapahtuma P voi olla syyna ainoastaan senabsoluuttisessa tulevaisuudessa oleville tapahtumille (esimQ). Tapahtumalla P ei voi olla minkaanlaista kausaalistayhteytta epamaaraisyysalueella oleviin tapahtumiin (esim.S).

Kun sarja kausaalisesti toisiinsa yhteydessa olevia tapah-tumia yhdistetaan viivaksi, saadaan maailmanviiva. Tamavoi olla vaikkapa hiukkasen rata ajan funktiona. Huomaakuitenkin etta maailmanviivan taytyy pysya kaikissa pis-teissaan poissa epamaaraisyysalueelta.

Absoluuttinen tulevaisuus muodostaa tapahtuman Psuhteen kartion. Aluetta kutsutaankin joskus tulevaisuu-den valokartioksi. Vastaavasti absoluuttisen menneisyydenaluetta kutsutaan menneisyyden valokartioksi.

Koska kausaalisten alueiden rajat maarittaa valonsade,ja koska valonnopeus on kaikille havaitsijoille sama, voi-daan todeta:

Valonnopeuden invariantista luonteesta johtuen,

tapahtumien valiset kausaaliset suhteet ovat

kaikille havaitsijoille samat!

Toisin sanoen, jos tapahtuma B on seurausta tapah-tumasta A, tapahtuu se kaikissa koordinaatistoissa A:njalkeen!

Tarkastellaan tilannetta, jossa hetkella t = t′ = 0 A:stalahtee valorintama. Samalla hetkella nopeudella v liikku-van koordinaatiston A’ origo on koordinaatiston A origonkanssa paallekkain. Miten koordinaatistossa A’ oleva ha-vaitsija nakee valorintaman, kuva 18?

A A’

v

valorintama

Kuva 18: Valorintama havaitsijan A koordinaatistossa.

Koska valonnopeus on kaikille havaitsijoille sama, tulisikoordinaatistossa A’ origossa olevan havaitsijan nahda it-sensa myoskin valorintaman keskella! Tama naennaisestiparadoksaalinen tilanne voidaan helposti havainnollistaakuvan 19. Minkowski-diagramman avulla.

Koordinaatistojen valisesta nopeuserosta johtuen, A’:nsamanaikaisuuden viivat ovat kiertyneet Minkowski-diagrammassa siten, etta myos A’ mittaa olevansa valo-kartion keskella.

Eli A:lla ja A’:lla on samat kausaaliset alueet koordinaa-tistojen valisista nopeuksista riippumatta. Kausaalinen ra-kenne on Lorentz-invariantti!

Valoa nopeampi matkustaminen

Valoa nopeampi matkustaminen tai edes informaationvalitys ei ole suhteellisuusteorian nakokulmasta mahdollis-ta. Oletetaan kuitenkin hetkeksi, etta suhteellisuusteoriasallisi valoa suuremmat nopeudet ja tarkastellaan mihin sejohtaisi.

Kuvan 20. Minkowski diagrammassa jousimies pisteessaA ampuu valoa nopeamman nuolen pisteeseen B. Talloinnuolen maailmanviiva on valonnopeutta loivemmassa kul-massa. Tapahtumia A ja B havainnoivat ampuja (ct, x)-koordinaatistosta, autoilija (ct′, x′)-koordinaatistossa ja

16

A=A’

A’A

ct ct’

x

x’

valon

säde

valonsäde

Kuva 19: Valorintama Minkowski-diagrammana. Molem-mat havaitsijat nakevat itsensa valorintaman keskella, erihavaitsijat ainoastaan “siivuttavat” aika-avaruutta eri ta-valla. Valokartioiden sisalla olevien kausaalisesti toisistaanriippuvien tapahtumien jarjestys on kaikille havaitsijoillesama.

toinen autoilija (ct′′, x′′)-koordinaatistossa.Jousimiehen samanaikaisuuden viivat ovat diagrammas-

sa vaakatasossa, joten han havaitsee nuolen lahtevan het-kella tA ja osuvan omenaan hetkella tB. Nuoli osuu ome-naan hetkella tB sen jalkeen kun se on ammuttu hetkellatA.

Jousimiehen suhteen liikkuvalla autoilijalla koordinaatis-tossa (ct′, x′) on sellainen nopeus, etta koordinaatiston sa-manaikaisuuden viivat ovat samassa kulmassa kuin nuolenmaailmanviiva. Nain ollen koordinaatistossa (ct′, x′) nuoliammutaan ja se osuu maaliinsa samalla hetkella t′A = t′B.

Koordinaatistossa (ct′′, x′′) olevan autoilijan samanaikai-suuden viivat ovat jyrkemmassa kulmassa, kuin valoa no-peamman nuolen maailmanviiva. Talloin nuolen maaliinosuminen (tapahtuma B hetkella t′′B) tapahtuu ennen nuo-len ampumista (tapahtuma A hetkella t′′A)! Tama johtaakausaliteetin rikkoutumiseen, eli tilanteisiin, joissa syy voiedeltaa seurausta, mika on mahdotonta.

Kausaliteettirikkomusten salliminen johtaa mahdotto-miin tilanteisiin. Tahan riittaa jo valoa nopeampi kommu-nikointi. Havainnollistetaan tata kuvan 21. ajatuskokeella.

Oletetaan, etta hullu tiedemies on keksinyt tavan viestiailman signaaliviivetta. Yksi tallainen viestilaite on sijoitet-tuna junaan, joka liikkuu relativistisella nopeudella pitkinrataa. Radan varrella on toinen vastaava viestilaite kuvan21. mukaisesti.

Kun junassa ja radan varrella olevat havaitsijat ovatsamalla kohdalla, A lahettaa lipulla signaalin B:lle. Ju-nan keulassa B lahettaa signaalin (valittomasti) junanloppupaahan C:lle. Saatuaan signaalin, C viestittaa li-pulla siita radan varteen D:lle, joka lahettaa signaalin(valittomasti) takaisin A:lle.

Tarkasteltaessa kuvan 21. tilannetta Minkowski-diagramman avulla, nahdaan etta radanvarren koordinaa-

ct’ = ct’A B

Act’’

Bct’’Act

Bct

A B

A

ct

x’

ct’

B

ct’’

x’’

Valoa nopeampi nuoli!

B tapahtui ennen A:ta!!?

x

A ja B tapahtuivat yhtäaikaa!

Kuva 20: Valoa nopeampi nuoli ammutaan (A) jousellaomenaan (B). Eri nopeuksilla liikkuvat havaitsijat nakevattapahtumat eri jarjestyksessa. Sallimalla valoa suuremmatnopeudet voi joissain koordinaatistoissa seuraus edeltaasyyta ja kausaliteetti rikkoutua!

tistossa junavaunun samanaikaisuuden viivat, jotka ovatkiertyneet kohti valonnopeuden maailmanviivaa, vievatsignaalia ajassa taaksepain radanvarrelta katsottuna!

Eli ilman signaaliviivetta, lippumies A voi saadalahettamansa viestin ennen sen lahettamista. Jos lippu-mies A paattaa signaalin saatuaan olla lahettamatta sita,tai vaikkapa rikkoa laitteen, paadytaan mahdottomaan ti-lanteeseen.

Joissain tapauksissa on spekuloitu valoa nopeammanmatkustamisen tai kommunikoinnin mahdollisuudesta.Tassa yhteydessa on kehitelty yleiseen suhteellisuusteo-riaan perustuvia teorioita madonrei’ista, erilaisista aika-avaruuden poimutuksista ja niin edelleen.

Nama teoriat eivat poista edella kuvattua ongelmaa.Vaikka ylivalonnopeudet tehtaisiin mahdolliseksi kaarevanavaruuden avulla, tarkastelemalla pelkkia alku- ja lopputi-loja, edellaolevia vastaavat ajatuskokeet ovat mahdollisiaja paadytaan samankaltaisiin ongelmiin.

Nainollen suhteellisuusteorian kannalta ylivalonnopeu-det eivat ole missaan tilanteessa eivatka millaan keinoillafysikaalisesti sallittuja, koska ne johtavat aina kausaliteet-tirikkomusten mahdollisuuteen.

Naita ongelmia ei synny, jos valoa suurempia nopeuksiaei sallita.

4.1 Tapahtumien valiset etaisyydetOlkoon meilla kaksi samassa koordinaatistossa olevaa ta-

pahtumaa. Tapahtumalla A on koordinaatit (ct1, x1) ja ta-pahtumalla B koordinaatit (ct2, x2) em. koordinaatistossa.

Tapahtumien A ja B valimatka ∆s aika-

17

C saa signaalin B:ltä javälittää sen D:lle jokalähettää sen välittömästi takaisin A:lle.

A lähettää signaalin B:llejoka lähettää sen välittömästiC:lle.

A saa signaalin ennenkuin lähettää sen!!!

A

BC

D

Välitön signaali

Välitön signaali

B:n

liik

erat

a

C:n

liik

erat

a

x

x’

ct ct’

Välitön signaali maan koordinaatistossa

Välitön signaali junan koordinaatistossa

Kuva 21: Relativistisesti liikkuvassa junassa ja radan var-rella on kaksi valoa nopeampaa viestilaitetta. Lippumies Avoi saada lahettamansa signaalin ennen sen lahettamista,jos valoa nopeampi (tassa tapauksessa valiton) signaali-nopeus sallitaan. Tama johtaa umpikujaan, jota ei voidasallia, joten suhteellisuusteorian mukaan valoa nopeampikommunikointi (tai matkustaminen) taytyy olla mahdoton-ta!

avaruuskoordinaatistossa on

(∆s)2 = c2(t1− t2)2− (x1 −x2)

2 = c2(∆t)2− (∆x)2. (34)

Valimatka (34) on Lorentz invariantti, eli sen suuruus eiriipu kaytetysta koordinaatistosta. Toisin sanoen, A:n jaB:n koordinaateille voidaan tehda mielivaltainen Lorentz-muunnos ja silti etaisyys ∆s sailyy samana.

Vastaavaa differentiaalia

ds2 = c2dt2 − dx2

kutsutaan viivaelementin nelioksi.Huomaa, etta valimatka ∆s voi olla nolla vaikka A:n

ja B:n koordinaatit ovat erisuuret. Myos negatiivisetetaisyydet ovat mahdollisia. Tama on tarkea Lorentz-

Minkowski avaruuden perustavaa laatua oleva omi-

naisuus, joka erottaa sen normaalista Euklidisesta

avaruudesta jossa etaisyydet ovat aina positiivisia!Tapahtumien valiset etaisyydet voidaankin luokitella

∆s:n, yhtalo (34), etumerkin avulla:

• (∆s)2 > 0 : Aikakoordinaattien erotus on suurempikuin spatiaalisten komponenttien, jolloin tapahtumatvoidaan yhdistaa signaalilla ja molemmat pisteet ovatsaman valokartion sisalla. Talloin etaisyys on ajankal-tainen.

• (∆s)2 = 0 : Aikakoordinaattien erotus on yhtasuurikuin spatiaalisten komponenttien. Talloin tapahtumatovat valokartion reunalla, ja ne voidaan yhdistaa ai-noastaan valosignaalilla. Etaisyys on valonkaltainen.

• (∆s)2 < 0 : Aikakoordinaattien erotus on pienempikuin spatiaalisten komponenttien, ja tapahtumilla eivoi olla kausaalista yhteytta. Tapahtumat eivat olesamassa valokartiossa, ja etaisyys on avaruudenkaltai-nen.

4.2 Invariantti hyperbeliTapahtuman P→ (ct, x, y, z) (Lorentz-invariantti)

etaisyys origosta on

(∆s)2 = c2t2 − x2 − y2 − z2, (35)

ja se maarittelee laakean Lorentz-Minkowski avaruudenominaisuudet seka sen “rakenteen”. Laakea tarkoittaatassa yhteydessa tasaista, eli avaruus ei ole kaareva ja eri-koinen suhteellisuusteoria toimii globaalisti.

Merkinnoista

Etaisyyden maaritelmassa (35) on kaytossa kaksi toisis-taan poikkeavaa merkkisopimusta:

(∆s)2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 (+ − −−)

tai(∆s)2 = −c2t2 + x2 + y2 + z2 (− + ++).

Kirjallisuudessa kaytetaan vaihtelevasti molempia merkki-sopimuksia. Oleellista tassa on se, etta viivaelementissaaika- ja spatiaalikomponenteilla on vastakkaiset merkit,jotta negatiiviset etaisyydet tulevat mahdollisiksi.

Edellisessa kappaleessa esitetty etaisyyksien luokittelumuuttuu merkkisopimusta vastaavasti, joten on tarkeaa ol-la selvilla oletetusta jarjestelmasta kaytettaessa useita erilahteita aiheesta!

Oletetaan etta spatiaalikoordinaatit y = z = 0, ja tar-kastellaan etaisyytta

(∆s)2 = c2t2 − x2 (36)

origosta. Olkoot

c2t2 − x2 = a2 (vakio). (37)

Tama on itseasiassa hyperbelin yhtalo; eli niiden pisteidenmuodostaman kayran yhtalo, joiden ajankaltainen (a2 > 0)etaisyys origosta on a2.

Vastaavasti

c2t2 − x2 = −b2 (vakio). (38)

muodostaa hyperbelin, joka muodostuu niista pisteista joi-den etaisyys origosta on avaruudenkaltainen −b2 < 0.

Nama kayrat (37) ja (38) ovat asymptoottisia kayrillejoiden kulmakerroin on yksi (origon kautta kulkevien va-lonsateiden maailmanviivoille), kuva 22.

18

a 2

a 2

b 2 b 2

ct

x

Kuva 22: Invariantit hyperbelit.

Koska hyperbelien yhtalot tulevat Lorentz-invariantinetaisyyden neliosta, ovat ne samoja kaikissa koordinaa-tistoissa. Koordinaatistomuunnoksissa akselit skaalautuvatinvariantin hyperbelin mukaisesti, kuva 23.

Huomautus: ictJoissain kirjoissa on kaytossa merkintatapa, jossa aika-

koordinaatti on imaginaarinen. Tama siksi, etta

• Aika-avaruusgeometrian kasittely naytaa formaalistiEuklidiselta.

• Lorentz-muunnos voidaan esittaa (hyperbolisena)koordinaatiston kiertona.

• Vektorien rinnalla ei tarvita yksimuotoja (yksimuo-doista puhutaan myohemmin).

Tama vanhahtava esitysmuoto on pahasta siksi, etta

• Kaikki edellisen listan kohdat; aika-avaruuden geomet-ria ei ole Euklidinen, Lorentz-transformaatio ei olekoordinaatiston kierto ja yksimuodot ovat hyvin kes-keisessa osassa maariteltaessa vektorilaskennan perus-teita Lorentz-Minkowski avaruudessa!

• Periodinen kiertokulma hyperbolisessa koordinaatis-ton kierrossa on taysin eri asia kuin asymptoottisestikayttaytyva nopeusparametri.

• Imaginaarinen aika tekee keskeisen eron Euklidisen(+++) Lorentz-Minkowski (-+++) geometrian valillahankalaksi havaita: Euklidisessa geometriassa kahdenpisteen valinen etaisyys on nolla vain, jos pisteetovat samat, kun taas Lorentz-Minkowski avaruudes-sa etaisyys on nolla jos, pisteiden valimatka on valon-kaltainen!

a 2

b 2

ct

x

ct’

x’

Kuva 23: Lorentz-muunnetut koordinaattiakselit (ct′, x′)skaalautuvat invarianttien hyperbelien mukaisesti.

• Imaginaarinen aikakoordinaatti ei toimi kaarevassaavaruudessa, mika tekee erikoisesta suhteellisuusteo-riasta yhteensopimattoman yleisen suhteellisuusteo-rian kanssa.

Eli: ict ⇒ EI!

4.3 Suhteellisuusteorian paradoksitSuhteellisuusteorian sovellusalue on jossain maarin ar-

kiajattelun ulkopuolella, silla jokapaivaisessa elamassa eitarvitse kasitella valonnopeutta lahella olevia nopeuksia.Tama johtaa moniin paradoksaalisen tuntuisiin tilanteisiin.

Todellisuudessa suhteellisuusteorian nakokulmastamitaan ristiriitaa ei ole, vaan kyse on virheellisesta ti-lanteen tulkinnasta. Yleensa paradoksaaliset tilanteetsuhteellisuusteoriassa johtuvat:

• Samanaikaisuus riippuu havaitsijasta, jolloin tapahtu-mat eivat ole(kaan) samanaikaisia kaikkien havaitsi-joiden mielesta.

• Tilanne on maaritelty siten, etta esimerkiksi inertiaali-koordinaatistoehto, tai joku muu perusoletus, rikkou-tuu.

• Kausaliteetti on ymmarretty vaarin tai se on rikkoon-tunut.

Useimmiten tilanteen pystyy selvittamaan piirtamallaMinkowskin aika-avaruus diagramman aiheesta!

Kaydaan viela esimerkinomaisesti lapi yksi kuuluisim-mista suhteellisuusteorian paradokseista.

Kaksosparadoksi

19

Tervetuloa kotiin! Einsteinoli oikeassa, sinä oletminua nuorempi!

Hmm... aika raketissa kulkeehitaammin kuin Maapallolla,sisareni on minua nuorempikun hän tulee takaisin!

Aika Maapallolla kulkee hitaamminkuin raketissa, sisareni on minuanuorempi kun pääsen takaisin!

Maapallolla hyppäsi A:staOho! Mitä tapahtui, aika

B:hen!!?? Minä olen sittenkinnuorempi!?

ct

ct’

ct’’

x

x’

x’’

A

B

C

Paluumatkan avaruusakseli

Menomatkan avaruusakseli

Paluum

atkan aika−akseli

Men

omat

kan

aika

−aks

eli

Hyvää matkaa!

Maa

pallo

n ai

ka−

akse

li

Maapallon avaruusakseli

Men

omat

ka

Paluum

atka

Kiitoksia, se johtuu siitä ettäjotain kummallista tapahtui pisteessäC joutuessani kiihdyttämäänsiirtyäkseni koordinaatistostatoiseen!

Kuva 24: Kaksosparadoksi.

Samanikaisista kaksosista toinen jaa maahan ja toinenlahtee relativistisella nopeudella liikkuvalla raketilla ava-ruusmatkalle. Takaisin tullessaan matkustanut sisar onmaahan jaanytta sisarta nuorempi. Miksi?

Koska inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisia, si-sarusten ikaero nayttaisi aiheuttavan ristiriidan. MatkanMinkowski-diagramma on esitetty kuvassa 24.

Paradoksin selitys on inertiaalikoordinaatistoehdon rik-koutuminen. Kuvan raketin kaantyessa takaisin pisteessaC, sen taytyy ensin pysahtya ja kiihdyttaa paluumatkalle,jonka ajan se on epaintertiaalikoordinaatistossa.

Tata ei voida tarkalleenottaen kasitella erikoisen suhteel-lisuusteorian avulla.

Kuitenkin, jos oletetaan etta takaisin kaantyminen ta-pahtuu nopeasti, eli pisteessa C hypataan valittomasti iner-tiaalikoordinaatistosta (ct′, x′) inertiaalikoordinaatistoon(ct′′, x′′), tilannetta voidaan kasitella ilman yleista suhteel-lisuusteoriaa.

Itse meno- ja paluumatkoilla tilanne on, kuten inerti-aalikoordinaatistoehdon mukaan taytyy ollakin, symmet-rinen. Pisteessa C, hypattaessa inertiaalikoordinaatistos-ta (ct′, x′) inertiaalikoordinaatistoon (ct′′, x′′), raketin sa-manaikaisuuden viiva kiertyy valittomasti pisteesta A pis-teeseen B. Talloin raketin matkustaja nakee Maapallollejaaneen sisaren vanhenevan nopeasti!

Sisarusten ikaero voidaan laskea yksinkertaisesti aikadi-lataatiota soveltamalla.

20

5. Vektorilaskenta

5.1 Uudet yksikotLuodaan uusi yksikkojarjestelma siten, etta valon-

nopeudesta tulee dimensioton, eli c = 1. Tallaistayksikkojarjestelmaa kutsutaan geometrisoiduksi yk-sikkojarjestelmaksi. Talloin kaikista yhtaloista voidaanjattaa valonnopeuden potenssit pois, ja ajan yksikoksitulee metri. Talloin valonnopeus on

c =matka jonka valo kulkee aikayksikossa

aikayksikko

=1m

aika jossa valo kulkee metrin=

1m

1m= 1.

Tasta seuraa mm. seuraavat konversioyhtalot

3 × 108 m/s = 11 s = 3 × 108 m1 m = 1

3×108 s,

ja esimerkiksi seuraavat johdannaisyksikot

[energia] = kg[liikemaara] = kg[kiihtyvyys] = m−1

[voima] = kg/m

.

Nain relativistiset yhtalot voidaan kirjoittaa yksinker-taisemmin, kun valonnopeutta c ei tarvitse kuljettaa kokoajan mukana. On kuitenkin tarkeaa osata siirtya geometri-soiduista yksikoista normaaleihin yksikoihin ja painvastointarvittaessa. Jatkossa kaytetaan geometrisoituja yksikoitamikali toisin ei mainita.

5.2 NelivektoritNelivektori on esimerkiksi

∆x→O

(∆t, ∆x, ∆y, ∆z),

joka osoittaa yhdesta tapahtumasta toiseen, jolloin senkomponentit ovat naiden tapahtumien koordinaattien ero-tukset. Huomaa, etta ∆t:n kertoimena on tassa valonno-peus (c = 1), koska kaikilla komponenteilla taytyy olla sa-ma yksikko!

Vektorin komponentit transformoituvat, kuten koordi-naatit koordinaatistomuunnoksessa. Tassa kaytetty mer-kinta ’→

O’ viittaa vektorin komponentteihin O koordinaa-

tistossa.Merkinnalla ’→

O’ pyritaan korostamaan sita, etta vektori

on itsenainen ja riippumaton geometrinen olio. Sen sijaanvektorin komponentit riippuvat valitusta koordinaatistos-ta. Eli vektori ∆x voidaan tulkita nuolena tapahtumasta Atapahtumaan B ja ∆x→

O(∆t, ∆x, ∆y, ∆z) ovat nelja koor-

dinaatiston valinnasta riippuvaa lukuarvoa!Toinen tapa merkita sama asia on

x→O{∆xα} ,

missa α = 0, 1, 2, 3, eli vektorin komponentit ovat ∆x0,∆x1, ∆x2, ∆x3. Vastaavasti samalla vektorilla on kompo-nentit jossain toisessa koordinaatistossa O

x →O

{

∆xα}

.

Tassa vektori ∆x on sama, mutta kaytetty koordinaatis-to on O:n sijaan O, jolloin vektorin komponentit muut-tuvat. Uudet komponentit saadaan vaikkapa Lorentz-muunnoksen avulla.

Esimerkiksi aikakomponentille

∆x0 =∆x0

√1 − v2

− v∆x1

√1 − v2

=

3∑

β=0

Λ0β∆xβ ,

missa {Λ0β} ovat nelja numeroa:

Λ00 = 1√

1−v2

Λ01 = − v√

1−v2

Λ02 = 0

Λ03 = 0

.

Yleisesti vektorin komponenttien Lorentz-muunnos voi-daan siis kirjoittaa

∆xα =3

∑

β=0

Λαβ∆xβ ,

missa {Λαβ} on 16 numeroa, jotka muodostavat Lorentz-

muunnosmatriisin.Lorentz-muunnosmatriisit ovat x-akselin suuntaan

Λαβ =

γ −vγ 0 0−vγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, (39)

y-akselin suuntaan

Λαβ =

γ 0 −vγ 00 1 0 0

−vγ 0 γ 00 0 0 1

(40)

ja z-akselin suuntaan

Λαβ =

γ 0 0 −vγ0 1 0 00 0 1 0

−vγ 0 0 γ

. (41)

Tassa γ = 1/√

1 − v2.Otetaan viela kayttoon Einsteinin summaussaanto, jon-

ka mukaan summataan aina automaattisesti samojen yla-ja alaindeksina olevien symbolien yli. Esimerkiksi

∆xα =3

∑

β=0

Λαβ∆xβ = Λα

β∆xβ = Λαγ∆xγ ,

eli summausindeksin β voi vaihtaa toiseksi (γ) muuttamat-ta lopputulosta.

21

Huomaa: Kreikkalaiset aakkoset α, β, δ, γ, ... viittaa-vat aina nelikomponentteihin 0, 1, 2, 3. Latinalaiset aakko-set i, j, k, ... viittaavat vektorin spatiaalikomponentteihin1, 2, 3. Toisinsanoen

Λαβ∆xβ 6= Λα

i ∆xi.

Huomaa: Yhtaloissa vapaiden indeksien, eli siis nii-den indeksien joiden yli ei summata, taytyy olla samatyhtasuuruusmerkin molemmin puolin. Summausindeksithaviavat summatessa.

Yleisesti siis nelivektori on

A→O{Aα} =

(

A0, A1, A2, A3)

,

ja sen komponentit koordinaatistossa O ovat

Aα = ΛαβAβ .

Nelivektorit summautuvat ja ne voidaan kertoa skalaa-rilla normaalien vektoreiden tapaan:

A + B→O{Aα + Bα}

=(

A0 + B0, A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)

jaµA→

O{µAα} =

(

µA0, µA1, µA2, µA3)

.

5.3 KantavektoritKoordinaatiston maarittelee geometrisesti sen akseleiden

suuntaiset yksikkovektorit, eli kantavektorit. Ortonormaa-lissa koordinaatistossa O kantavektorit ovat

e0 →O

(1, 0, 0, 0)

e1 →O

(0, 1, 0, 0)

e2 →O

(0, 0, 1, 0)

e3 →O

(0, 0, 0, 1)

Vastaasti koordinaatistossa O esimerkiksi ajan kantavek-torille e0 →O (1, 0, 0, 0) ja niin edelleen. Yleisesti e0 6= e0,

koska kantavektorit maarittelevat eri koordinaatiston.Kantavektoreille (α:nnen kantavektorin β:nnelle kompo-

nentille)(eα)β = δ β

α

missa

δ βα =

{

1, α = β0, α 6= β

.

Kantavektoreiden avulla nelivektori A on koordinaatti-vapaana geometrisena oliona

A = Aαeα = A0e0 + A1e1 + A2e2 + A3e3. (42)

5.4 Kantavektoreiden transformointiVastaavasti edellamainitulle vektorille (42) koordinaatis-

tossa OA = Aαeα.

Tassa siis Aα 6= Aα ja eα 6= eα, mutta

A = Aαeα = Aαeα

koska vektori geometrisena oliona ei muutu koordinaatis-tomuunnoksessa.

Tasta voidaan johtaa kantavektoreiden koordinaatisto-muunnokselle

ΛαβAβeα = Aαeα ⇔ AβΛα

βeα = Aαeα

⇔ AαΛααeα = Aαeα

⇔ eα = Λβαeβ . (43)

Toisin sanoen muunnos (43) antaa koordinaatiston O kan-tavektorit koordinaatiston O kantavektoreiden avulla.

Huomaa: Koordinaatiston O kantavektorit eβ transfor-moituvat koordinaatistoon O painvastaisella tavalla (43)kuin vektorin komponentit, joille siis

Aβ = ΛβαAα.

Esimerkki

Koordinaatisto O liikkuu nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan koordinaatiston O suhteen. Yhtalon (39)mukaisesti Lorentz-muunnosmatriisi on silloin

Λαβ =

γ −vγ 0 0−vγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,

missa γ = 1/√

1 − v2. Nyt nelivektori A→O

(5, 0, 0, 2), jol-

loin sen komponentit koordinaatistossa O ovat

A0 = Λ00A

0 + Λ01A

1 + Λ02A

2 + Λ03A

3

= γ5 + (−vγ) · 0 + 0 · 0 + 0 · 0 = 5γ.

Vastaavasti muille komponenteille

A1 = −5vγ

A2 = 0

A3 = 2

eli nelivektorilla A on koordinaatistossa O komponentit

A →O

(5γ,−5vγ, 0, 2).

Muunnetaan viela kantavektorit muunnoksen (43) mukai-sesti:

e0 = Λ00e0 + Λ1

0e1 + Λ20e2 + Λ3

0e3

= γe0 − vγe1,

ja vastaavasti muille kantavektoreille

e1 = −vγe0 + γe1

e2 = e2

e3 = e3

.

22

t

x

e0

e1

0e

1e

Kuva 25: Muunnetut kantavektorit.

5.5 KaanteismuunnoksetLorentz-muunnos on ainoastaan nopeuden funktio Λβ

α =Λβ

α(v), joka muuntaa kantavektorit kuten

eα = Λβα(v)eβ .

Koska kanta O saadaan O:sta nopeuden v funktiona tapah-tuvalla transformaatiolla, taytyy kaanteismuunnoksessanopeuden olla −v, eli

eµ = Λνµ(−v)eν ,

jossa voidaan vapaa indeksi vaihtaa β:ksi:

eβ = Λνβ(−v)eν ,

⇒ eα = Λβα(v)eβ = Λβ

α(v)Λνβ(−v)eν = δν

αeν .

EliΛβ

α(v)Λνβ(−v) = δν

α,

toisin sanoen kaanteismuunnosmatriisi on alkuperaisenmuunnoksen kaanteismatriisi! Eli, vektorille Aβ =Λβ

α(v)Aα on kaanteismuunnos

Λνβ(−v)Aβ = Λν

β(−v)Λβα(v)Aα = δν

αAα = Aν ,

joka muuntaa jo muunnetut komponentit takaisin alku-peraisiksi.

Kaanteismuunnosmatriisi on siis alkuperaisen muun-nosmatriisin kaanteismatriisi. Kaytannossa Lorentz-muunnosmatriisin kaanteismatriisi saadaan vaihtamallanopeuden v etumerkkia, jolloin muunnetut koordinaa-tit palaavat takaisin alkuperaisiksi kaanteismuunnoksenjalkeen.

5.6 NelinopeusNelinopeus U on kappaleen maailmanviivan tangentti,

jonka pituus on yksi aikayksikko kyseisen kappaleen lepo-koordinaatistossa.

Tasaisesti liikkuvan kappaleen koordinaatistossa nelino-peus on aika-akselin suuntainen ja aikayksikon pituinen.

Eli kyseessa on kantavektori e0 kappaleen omassa koordi-naatistossa.

Toisinsanoen, kappaleen lepokoordinaatistossa O nelino-peus voidaan kirjoittaa

U = e0 →O

{

U α}

= (1, 0, 0, 0).

Vastaavasti nopeudella v liikkuvan kappaleen nelinopeussaadaan Lorentz transformoimalla nelinopeus U lepokoor-dinaatistosta O liikkuvaan koordinaatistoon O:

Uβ = ΛβαU α →

O

(

U0, U1, U2, U3)

.

e0

= U

e1

A

x

t

Kuva 26: Kappaleen nelinopeus on sen maailmanviivantangentti, jonka pituus on yksi aikayksikko kyseisen kap-paleen lepokoordinaatistossa.

Nelinopeuden spatiaalikomponentit (α = 1, 2, 3) ovat hy-vin laheisesti sidoksissa kappaleen normaaliin (kolmi-) no-peuteen.

Luonnollisestikaan kiihtyvassa liikkeessa olevalla kappa-leella ei ole koordinaatistoa, jossa se olisi aina levossa. Voi-daan kuitenkin maaritella kullakin hetkella koordinaatisto,joka liikkuu kuten kiihtyvassa liikkeessa oleva kappale kul-lakin hetkella.

Tallaista koordinaatistoa kutsutaan MCRF-koordinaatistoksi (Momentarily Comoving ReferenceFrame). Talloin nelinopeus kiihtyvassa liikkeessa olevallakappaleella on sen MCRF-koordinaatiston kantavektorie0.

5.7 Neliliikemaara (-impulssi)Kappaleen neliliikemaara maaritellaan P = m0U, missa

m0 on kappaleen massa sen omassa koordinaatistossa (le-pomassa). Eli kappaleeseen sidotussa lepokoordinaatistos-sa O neliliikemaara on

P = m0U=O

m0e0 →O

(m0, 0, 0, 0).

Vastaavasti kappaleen suhteen liikkuvassa koordinaatistos-sa O on neliliikemaara

P = m0U →O

(P 0 = E, P 1, P 2, P 3),

23

missa aikakomponentti P 0 vastaa kappaleen kokonaisener-giaa E ja spatiaalikomponentit P i lineaarista liikemaaraa.

Esimerkki

Kappale, jonka lepomassa on m0 liikkuu nopeudella vx-akselin suuntaisesti O-koordinaatistossa. Lasketaan sennelinopeuden ja neliliikemaaran komponentit.

Lepokoordinaatistossaan O ajan kantavektori on e0, jol-loin nelinopeus U = e0 ja neliliikemaara P = mU. Nelino-peuden komponenteille

Uα = Λαβ(e0)

β = Λα0,

jolloin vastaavasti neliliikemaaralle Pα = m0Λα0. Eli neli-

nopeudella on komponentit

U0 = (1 − v2)−1/2

U1 = v(1 − v2)−1/2

U2 = 0U3 = 0

ja vastaavasti neliliikemaaralla

P 0 = m0(1 − v2)−1/2

P 1 = m0v(1 − v2)−1/2

P 2 = 0P 3 = 0

.

Pienilla nopeuksilla v ≪ c, saadaan {U i} = (v, 0, 0), mistatulee nimitys nelinopeus. Vastaavasti pienilla nopeuksillaneliliikemaaralle {P i} = (m0v, 0, 0) ja kappaleen energialle

E ≡ P 0 = m0(1 − v2)−1/2 ≈ m0 +1

2m0v

2.

Toisin sanoen kappaleen energia on pienilla nopeuksilla(v ≪ c) sen massaa vastaavan energian ja liike-energiansumma.

5.8 Neliliikemaaran sailymislakiGalilein ja Newtonin klassisessa mekaniikassa

• Energia sailyy.

• Liikemaara sailyy.

Vastaavasti erikoisessa suhteellisuusteoriassa neli-impulssisailyy kokonaisuutena, jossa siis aikakomponentit vastaa-vat energiaa ja spatiaalikomponentit klassista liikemaaraa.

Maaritellaan relativistinen neliliikemaaran sailymislaki:Neliliikemaara P sailyy, eli useampien kappaleiden vuo-

rovaikuttaessa kokonaisneliliikemaara

P ≡∑

kaikkikappaleet

(i)

Pi (44)

on sama ennen ja jalkeen vuorovaikutuksen.Tama on tarkea sailymislaki etenkin hiukkasten kinema-

tiikkaa tutkittaessa, ja sen paikkaansapitavyytta on testat-tu paljon.

Eparelativistisella rajalla sailymislaki (44) pelkistyyklassisiksi energian ja liikemaaran sailymislaeiksi. Energiansailymisessa taytyy kuitenkin ottaa mukaan kappaleiden le-pomassat.

Kuitenkin, kuten kurssin alkupuolella on opittu,kasitteet “ennen” ja “jalkeen” riippuvat havaitsijan liiketi-lasta. Yksittaiset nelinopeudet voivat siten riippua havait-sijasta, mutta niiden summa on vakio kaikissa koordinaa-tistoissa.

Maaritellaan hyvin kayttokelpoinen koordinaatisto. CM-koordinaatisto (Center of Momentum), joka on inertiaali-koordinaatisto, jossa

∑

i

P(i) →CM

(Etotal, 0, 0, 0).

5.9 Nelivektoreiden sisatuloTasta eteenpain viivalementin neliossa ja sisatulossa

kaytetaan merkkisopimusta (-+++), jolloin vektorin suu-ruus on

A2 = −(A0)2 + (A1)2 + (A2)2 + (A3)2.

Nyt on voimassa kaikissa koordinaatistoissa O ja O

−(A0)2 + (A1)2 + (A2)2 + (A3)2

= −(A0)2 + (A1)2 + (A2)2 + (A3)2,

silla vektorin suuruus ei riipu kaytetysta koordinaatistos-ta. Vektorit voidaan luokitella suuruutensa A2 mukaisestikuten tapahtumien valimatkat ∆s2:

• A2 > 0, A on avaruudenkaltainen vektori.

• A2 < 0, A on ajankaltainen vektori.

• A2 = 0, A on valonkaltainen vektori (null vector).

Tassa on tarkeaa huomata, etta valonkaltainen vekto-ri (null vector) EI ole nollavektori, toisinsanoen Aα 6= 0,ainoastaan A2 = 0.

Koordinaatistossa O kahden nelivektorin A ja B sisatuloon

A ·B = −A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3.

Myos sisatulo A · B on vektorin suuruuden tavoin koordi-naatistosta riippumaton, eli invariantti.

Kantavektoreille eα

e0 · e0 = −1e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1eα · eβ = 0 jos α 6= β

Nama kantavektorit muodostava siis ortonormaalin kan-nan, jossa kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vas-taan ja normalisoitu yksikkovektoreiksi.

Yksikkovektoreiden sisatulot voidaan kirjoittaa lyhyestieα · eβ = ηαβ , missa

ηαβ =

0, α 6= β−1, α = β = 01, α = β

,

24

tai toisin ilmaistuna

η00 = −1, η11 = η22 = η33 = 1ηαβ = 0, josα 6= β

.

Edella esitelty viivaelementin merkkikonventio on siis itsea-siassa lahtoisin ηαβ :n diagonaalikomponenttien merkeista.

Itseasiassa ηαβ on vektorilaskennassa hyvin keskeisellasijalla oleva metrinen tensori, joka maarittelee sisatulonja sen kuinka kahden pisteen valinen etaisyys lasketaan.Tama taas maarittelee avaruuden “rakenteen”.

Metrisen tensorin avulla edella ollut sisatulo voidaan kir-joittaa

A · B = −A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3

= AαBβηαβ .

Esimerkki

Myos koordinaatistossa O sisatulo eα · eβ = ηαβ , ja e0 ·e1 = 0, kuva 27.

0e

1e

t

x

φ

φ

Kuva 27: Kantavektorit e0 ja e1 koordinaatistossa O.

Koordinaatistoon piirretyt kantavektorit eivat nayta ole-van kohtisuorassa, kuitenkin niiden sisatulo on nolla! Tassataas nahdaan, etta jokapaivaisen Euklidiseen avaruuteenharjaantuneen intuition kayttaminen Lorentz-Minkowskiavaruudessa voi johtaa harhaan.

Vektorit ovat Lorentz-Minkowski avaruudessa ortogo-naalisia, jos niiden kulmat 45◦ kulmaan nahden ovat sa-mat. Tasta nahdaan myos, etta valon maailmanviivan tan-gentti on kohtisuorassa itse itseaan vastaan!

Esimerkki

Kappaleen nelinopeus U on ajan kantavektori sen omas-sa lepokoordinaatistossa (MCRF), joten U·U = −1. Tamapitaa paikkansa sisatulon invarianssin nojalla kaikissa koor-dinaatistoissa! Toisin sanoen aina on

U2 = U ·U = UαUβηαβ

= −U0U0 + U1U1 + U2U2 + U3U3 = −1.

5.10 Ominaisaika

Tarkastellaan aikaa t laboratoriokoordinaatistossa sekasen suhteen liikkuvan kappaleen lepokoordinaatistossa.

Olkoon kappale laboratoriokoordinaatiston pisteessax, josta se siirtyy infinitesimaalisesti siirroksen dx =(dt, dx, dy, dz) verran. Siirroksen suuruus on siten

ds2 ≡ dx · dx = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2.

Ajankaltaiselle siirrokselle tama on negatiivinen. Kappa-leen lepokoordinaatistossa paikka ei muutu, joten dx =dy = dz = 0. Siksi

ds2 = −dt2 = −dτ2, (45)

missa τ on kappaleen ominaisaika, ts. aika lepokoordinaa-tistossa. Kappaleen liikkuessa nopeudella v laboratorio-koordinaatistossa, voidaan ominaisajalle kirjoittaa

dτ2 = −ds2 ⇔ dτ =√

dt2 − dx2 − dy2 − dz2

⇔ dτ = dt

√

1 − dx2 + dy2 + dz2

dt2= dt

√

1 − v2.

Eli ominaisajan ja laboratoriokoordinaatiston ajan valinenrelaatio on

dτ = dt√

1 − v2 =dt

γ. (46)

Jos tama integroidaan puolittain, saadaan aikavaleille

τ2 − τ1 =

t2∫

t1

dt√

1 − v2.

Viela, jos oletetaan koordinaatistojen valinen nopeus va-kioksi, on

τ2 − τ1 = (t2 − t1)√

1 − v2,

mika on kaytannossa ajan dilataation lauseke. Tastanahdaan myos, etta tapahtumien valinen ominaisaika onverrannollinen niiden valisen maailmanviivan pituuteen.

Edelleen, koska ds2 on invariantti, voidaan ominaisajallekirjoittaa

dτ2 = −dx · dx,

josta nahdaan, etta vektori dx/dτ , missa siis dτ =√−dx · dx, on tangentti maailmanviivalle. Vektorin suu-

ruus ondx

dτ· dx

dτ=

dx · dx(dτ)2

= −1,

joka on normaaleissa yksikoissa valonnopeuden nelio. Toi-sinsanoen dx/dτ on ajankaltainen vektori, jonka suuruuson −1 ja joka on tangentti maailmanviivalle.

Kappaleen MCRF koordinaatistossa siirrosvektorilla dxon komponentit

dx →MCRF

dτ = dt

(dt, 0, 0, 0),

jotendx

dτ→

MCRF

(1, 0, 0, 0)

25

taidx

dτ= (e0)MCRF.

Nama ovat edella jo esitellyn nelinopeuden ominaisuuksia,eli nelinopeus on paikan ominaisaikaderivaatta

U =dx

dτ. (47)

Esimerkki: Lepomassa ja liikemassa

Tarkastellaan nopeudella v liikkuvan kappaleen massaalaboratoriokoordinaatistossa O seka kappaleeseen sidotus-sa lepokoordinaatistossa O.

Lepokoordinaatistossa O kappaleen massa on tietenkinm0 (lepomassa). Vastaavasti neliliikemaaran komponentitovat

P →O{Uα} = (m0, 0, 0, 0).

Kun tama neliliikemaara Lorentz-muunnetaan laboratorio-koordinaatistoon O saadaan komponenteille

P→O

{

Uα = ΛαβUβ

}

= m0γ(1, vx, vy , vz)

= (E ≡ m, γpx, γpy, γpz). (48)

Nyt voidaan assosioida laboratoriokoordinaatistossa liik-kuvan kappaleen kokonaisenergia E vastaavaan (lii-ke)massaan m. Neliliikemaaran aikakomponenteista (48)lahtien voidaan kirjoittaa liikemassan ja lepomassanvaliseksi relaatioksi

m = m0γ =m0√1 − v2

.

5.11 Nelikiihtyvyys ja liikeyhtaloTarkastellaan nelinopeuden U ominaisaikaderivaattaa

dU

dτ=

d2x

dτ2

differentioimalla nelinopeuden nelio

U · U ⇒ d

dτ(U · U) = 2U · dU

dτ.

Koska nelinopeuden sisatulo U · U = −1 on aina vakio,taytyy olla

d

dτ(U · U) = 2U · dU

dτ= 0.

Toisin sanoen nelinopeus on aina nelikiihtyvyytta vastaankohtisuorassa. Koska MCRF:ssa nelinopeudella U on ai-noastaan aikakomponentti, nelinopeuden ja nelikiihtyvyy-den kohtisuoruus tarkoittaa, etta

dU

dτ→

MCRF

(0, A1, A2, A3).

Kutsutaan tata nelivektoria nelikiihtyyvydeksi, jolle

A =dU

dτ⇔ U · A = 0.

Klassisessa dynamiikassa voima f maaritellaan liikeyhtalon

f =dp

dt

avulla. Vastaava neliyhtalo on

F =dP

dτ=

dt

dτ

dP

dt= γ

dP

dt. (49)

Liikkuvassa koordinaatistossa O neliliikemaaralla on kom-ponentit

P→O

(E, p1, p2, p3),

joten nelivoiman spatiaalikomponenteille

F i = γdpi

dt= γf i

ja aikakomponentille

F 0 =dt

dτ

d

dt(m0γ) = γ

dm

dt.

Toisinsanoen, nelivoiman aikakomponentti on sidoksissamassan muutokseen ajan funktiona. Yleensa massa olete-taan aina vakioksi, jolloin aikakomponentti on nolla. Elinelivoiman komponentit ovat koordinaatistossa O

F→O

γ

(

dm

dt, f i

)

. (50)

Esimerkki: Lepomassan vakioisuus

Kun lahdetaan liikkeelle neliliikeyhtalosta (49), on

F =dP

dτ=

d

dτ(m0U) =

dm0

dτU + m0

dU

dτ.

Kun tasta otetaan puolittain sisatulo nelinopeuden U kans-sa, saadaan

F · U =

(

dm0

dτU + m0

dU

dτ

)

·U

=dm0

dτU ·U + m0U · dU

dτ.

Koska U · U = −1 ja U · (dU/dτ) = 0, saadaan

F ·U = −dm0

dτ.

Kappaleen lepomassa on siten vakio, mikali nelivoima onkohtisuorassa hiukkasen maailmanviivaa vastaan.

Esimerkki: Massan ja energian vastaavuus

Tarkastellaan tapausta, jossa lepomassa m0 on vakio, eliF ·U = 0. Nyt F i = γf i ja F 0 = γ(dm/dt). Nainollen

F · U = 0 ⇔ U0γdm

dt= γf jU iηij .

Koska nelinopeuden komponentit ovat lepokoordinaatis-tossa U →

MCRF

(1, 0, 0, 0) ja liikkuvassa koordinaatistossa

U→O

γ(1, vx, vy, vz), on

γ2 dm

dt= γ2f jvjηij = γ2f · v ⇔ dm

dt= f · v. (51)

26

Kun hiukkanen liikkuu voiman f vaikutuksesta matkan dr,tehty tyo on f ·dr, joka on toisaalta hiukkasen saama ener-gialisa dE. Nainollen

dE = f · dr ⇔ dE

dt= f · dr

dt= f · v =

dm

dt

yhtalon (51) nojalla. Kun tama integroidaan saadaan m =E + vakio. Eli energia E = m = γm0 = m0/

√1 − v2 ja

kappaleen energia on sen liikemassa. Olkoon kappaleen le-pokoordinaatistossa E0 = m0, eli kappaleen lepomassaanliittyy energia. Toisaalta myos kaanteisesti: energiaan liit-tyy massa, johon myos gravitaatio vaikuttaa!

Kokonaisenergian E ja lepoenergian E0 erotus on kap-paleen kineettinen energia

T = E − E0 = m − m0 = (γ − 1)m0.

Esimerkki: Energia ja liikemaara

Tarkastellaan kappaletta, jonka neliliikemaara on P.Talloin neliliikemaaran neliolle P · P = m2

0U · U = −m20.

Toisaalta

P ·P = −E2 + (P 1)2 + (P 2)2 + (P 3)2,

jolloin kappaleen kokonaisenergian taytyy olla

E2 = m20 +

3∑

i=1

(P i)2.

Esimerkki: Liikkuva havaitsija

Olkoot kappaleella neliliikemaara P ja liikkukoon havait-sija nelinopeudella UO. Talloin

P · UO = P · e0,

missa e0 on havaitsijan koordinaatiston O ajan kantavek-tori. Samassa koordinaatistossa kappaleen neliliikemaarallaon komponentit

P→O

(E, P 1, P 2, P 3),

joten−P · UO = E.

Kappaleen energia E havaitsijan O suhteen voidaan las-kea missa tahansa koordinaatistossa skalaaritulon P · UOavulla.

5.12 Fotonit ja massattomat kappaleetFotoneille ei ole maaritelty nelinopeutta! Fotonit liikku-

vat valonkaltaisilla suorilla, joten valolle

dx · dx = 0.

Tasta ja ominaisajan lausekkeesta (45) nahdaan, etta dτ =0, ja nelinopeutta ei voida maaritella. Kaytannossa tamatarkoittaa sita, etta ei ole mahdollista valita sellaista koor-dinaatistoa, jonka suhteen valo olisi levossa. Nain ollenmyoskaan MCRF-koordinaatistoa ei valon tapauksessa oleolemassa.

Tasta seuraa myos se, etta ei ole olemassa sellaista yk-sikkovektoria e0, joka olisi tangentti valon maailmanviival-le. Tangenttivektori voidaan kylla maarittaa, mutta se eivoi olla yksikkovektori.

Neliliikemaara ei ole yksikkovektori, vaan se antaa ener-gian ja liikemaaran valitussa koordinaatistossa. Jos x-akselia pitkin liikkuvalla fotonilla on jossain koordinaatis-tossa energia E, niin kyseisessa koordinaatistossa sen neli-nopeuden aikakomponentti on P 0 = E. Koska liike tapah-tuu x-akselilla, taytyy olla P 2 = P 3 = 0. Jotta vektori olisivalonkaltainen, taytyy olla P 1 = E, eli

P · P = −E2 + E2 = 0.

Eli fotonien liikemaara vastaa aina sen energiaa!Kvanttimekaniikasta tiedetaan, etta fotonin energia on

E = hν, missa h = 6.6256 × 10−34Js on Planckin vakio,ja ν on fotonin taajuus. Tarkastelemalla fotonin energianLorentz-muunnosta voidaan johtaa relativistinen Doppler-siirtyma fotoneille.

Tarkastellaan laboratoriokoordinaatistossa O positiivi-sen x-akselin suuntaan liikkuvaa fotonia, jonka taajuus onν. Talloin laboratoriokoordinaatiston x-akselia pitkin pos-titiiviseen suuntaan nopeudella v liikkuvassa koordinaatis-tossa O silla on energia E = P 0 seka taajuus ν. Talloinneliliikemaarille koordinaatistoissa O ja O voidaan lausua

P 0 = Λ0αPα,

jolloin

E =E√

1 − v2− P 1v√

1 − v2=

hν√1 − v2

− hνv√1 − v2

= hν.

Tasta saadaan fotonin taajuuksien suhteeksi koordinaatis-toissa O ja O

⇒ ν

ν=

1 − v√1 − v2

=

√

1 − v

1 + v,

mika on siis relativistisen Doppler siirtyman lauseke. Huo-maa, etta tassa yhteydessa oletettiin etta fotoni ja labo-ratorikoordinaatiston O suhteen liikkuva koordinaatisto Oliikkuvat samaan suuntaan. Jos koordinaatistolla O on no-peuskomponentteja fotonin liikesuuntaa vastaan, Doppler-siirtyman lauseke muuttuu hieman.

Kuten aiemmin on opittu, hiukkasen neliliikemaaranneliosta saadaan sen lepomassa. Koska fotonin nelilii-kemaaran nelion taytyy olla nolla, jotta se liikkuisi va-lon kaltaisia geodeeseja pitkin, on fotonin lepomassavalttamatta nolla. Eli fotonille

m20 = −P ·P = 0.

Tama patee fotonien lisaksi myos kaikille muille massatto-mille hiukkasille.

Vain lepomassattomat kappaleet voivat kulkea valon-nopeudella, koska massalliselta kappaleelta valonnopeudensaavuttamiseen vaaditaan aareton energia.

Eli valonnopeudella liikkuvalle kappaleelle

P 1

P 0= 1,

27

kun taas m0 lepomassaiselle kappaleelle

P · P = −m20, ja

P 1

P 0=

√

1 − m2

(P 0)2< 1.

Huomaa! Kappaleelle, jolle m 6= 0 voidaan ainamaarittaa MCRF-koordinaatisto (inertiaalikoordinaatisto,jossa se on levossa), mutta fotonilla ja muilla massattomillakappaleilla ei ole olemassa lepokoordinaatistoa!

6. Tensorit

6.1 Metrinen tensoriOlemme jo tavanneet yhden tensorin, eli metrisen tenso-

rin, joka maarittelee kahden nelivektorin valisen sisatulon.Olkoot nelivektorit A ja B kannassa {eα} koordinaatis-

tossa O:A = Aαeα, B = Bβeβ.

Naiden vektoreiden valinen skalaaritulo on

A · B = (Aαeα) · (Bβeβ) = AαBβ(eα · eβ)

= AαBβηαβ .

Tama on sama asia kirjoitettuna koordinaatistosta riippu-mattomalla tavalla kuin

−A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3.

Tassa luvut ηαβ ovat metrisen tensorin komponentit ! Met-riikka antaa “saannon” siita, kuinka kahdesta vektoristasaadaan luku.

Tensori tyyppia ( 0N ) on lineaarinen N :n vektorin funk-

tio, joka palauttaa reaaliluvun.Esimerkiksi alussa esitelty metrinen tensori ηαβ on (02)

tensori, joka ottaa kaksi vektoria argumenteikseen ja pa-lauttaa reaaliluvun. Merkinnat

AαBβηαβ = AαBβ = A ·B = η(A,B)

ovat ekvivalentteja.Tensorien lineaarisuus tarkoittaa sita, etta (α, β ∈ ℜ)

{

(αA) · B = α(A ·B)(A + B) · C = A · C + B · C

tai{

A · (βB) = β(A · B)A · (B + C) = A · B + A · C

Symbolilla ηαβ merkitaan laakean Lorentz-Minkowskiavaruuden metrista tensoria. Laakea avaruus tarkoittaasita, etta inertiaalikoordinaatistoehto on voimassa. Ylei-sesti metrista tensoria merkitaan

gαβ = g( , ),

eli sisatulo A ·B = g(A,B) = AαBβgαβ ∈ ℜ. Lineaarisuusvastaavasti tarkoittaa sita, etta

g(αA + βB,C) = αg(A,C) + βg(B,C).

Huomautus!

Tensorit ovat invariantteja koordinaatistomuunnostensuhteen! Eli tensori on itse vektoreiden, koordinaatistostaja yksittaisista komponenteista riippumattomien olentojenfunktio.

Huomautus!

Paikan funktio f(t, x, y, z) on reaaliluvun palauttavafunktio, jonka argumentteina ei ole vektoreita. Funktio onsiten (00)-tensori.

Huomatus: Funktion kasite

Merkinnassa y = f(x)

28

• y on reaaliluku.

• x on reaaliluku.

• f( ) on “saanto“ (mapping) reaaliluvusta toiseen reaa-lilukuun.

Nama ovat kolme eri asiaa. Vastaavasti tensoreiden tapauk-sessa

• A ja B ovat nelivektoreita.

• A ·B on reaaliluku.

• g( , ) on “saanto“, joka liittaa vektorit A,B seka re-aaliluvun A ·B toisiinsa!

Tensorin komponentit

Samoin kuin nelivektoreilla, myos tensoreilla on kompo-nentit:

( 0N ) tensorin komponentit koordinaatistossa O ovat sen

arvot, kun tensorin argumentteina ovat koordinaatiston Okantavektorit {eα}.

Esimerkki

Metrisen tensorin komponentit koordinaatistossa O ovat

g(eα, eβ) = eα · eβ = ηαβ .

6.2 (01)-tensorit: yksimuodot (one-form)

Tyypin (01)-tensorit ovat erikoisasemassa, silla ne muo-dostavat normaalien nelivektoreiden rinnalle duaalisenkannan. Duaalisella kannalla tarkoitetaan rinnakkais-ta vektoriavaruutta, jossa jokaista vektoria vastaa yk-sikasitteisesti (01)-tensori ja painvastoin. Siksi niilla on omanimensa, eli yksimuoto. Joissain vanhemmissa lahteissa yk-simuotoja kutsutaan kovarianteiksi vektoreiksi.

Englannin kielella yksimuotoja kutsutaan: covector, co-variant vector tai one-form.

Merkitaan yksimuotoa aaltoviivalla p, ja koska kyseessaon (01) tensori, ottaa yksimuoto argumentikseen yhden vek-torin ja palauttaa reaaliluvun. Eli p(A) ∈ ℜ.

Olkoot q toinen yksimuoto, talloin tensorien las-kusaannot patevat ja kun

{

s = p + q

r = αp,

on{

s(A) = p(A) + q(A)r(A) = αp(A)

.

Yksimuodot tayttavat vektoriavaruuden maaritelman,niinpa ne muodostavat normaalien nelivektoreiden rinnalleedella mainitun duaalisen vektoriavaruuden.

Yksimuotojen komponentit muodostetaan samalla taval-la kuin tensoreidenkin komponentit, eli

pα ≡ p(eα).

Komponenttimuodossa yksimuodon indeksi on alhaalla,kun taas vektoreilla indeksi on ylhaalla. Eli seuraavat mer-kinnat

p(A) = p(Aαeα) = Aαp(eα) = Aαpα

= A0p0 + A1p1 + A2p2 + A3p3

ovat ekvivalentteja. Huomaa, etta viimeisessa muodossakaikkien komponenttien edessa on ’+’-merkit, toisin kuinkahden vektorin valisessa sisatulossa!

Operaatio Aαpα on vektorin A ja yksimuodon p kont-raktio (contraction), joka voidaan suorittaa minka tahansavektorin ja yksimuodon kanssa ilman muita tensoreita.

Yksimuodon p komponentit Lorentz-muunnetussa kan-nassa {eβ} ovat

pβ ≡ p(eβ) = p(Λαβeα) = Λα

βp(eα) = Λαβpα.

Kun verrataan tata kantavektoreiden transformointiin

eβ = Λαβeα,

nahdaan, etta yksimuotojen komponentit transformoituvatkuten kantavektorit, ja vastakkaisella tavalla kuin vekto-rien komponentit.

On helppo osoittaa, etta kontraktio Aαpα on koordinaa-tistosta riippumaton:

Aαpα =(

ΛαβAβ

)

(Λµαpµ) = Λα

βΛµαAβpµ

= δµβAβpµ = Aβpβ .

Tama on suoraaan rinnastettavissa siihen, etta vektori A =Aαeα on koordinaatistosta riippumaton geometrinen olio.

6.3 KantayksimuodotNelivektoreiden tapaan nelja lineaarisesti riippumaton-

ta yksimuotoa virittavat kannan. Mista tahansa vekto-rikannasta voidaan maaritella vastaava yksimuotokanta{ωα, α = 0, ...3}, joka on duaali vektorikannalle {eα}.

Eli yksimuoto voidaan kirjoittaa kantayksimuotojenavulla kuten

p = pαωα,

missa ωα ovat nelja eri kantayksimuotoa.

Kun tarkastellaan vektorin A ja yksimuodon p kontrak-tiota

p(A) = pαωα(A) = pαω

α(Aβeβ) = pαAβω

α(eβ)

nahdaan, etta⇒ ω

α(eβ) = δαβ . (52)

Kantayksimuodoilla on koordinaatistossa O komponen-tit

ω0 →

O(1, 0, 0, 0)

ω1 →

O(0, 1, 0, 0)

ω2 →

O(0, 0, 1, 0)

ω3 →

O(0, 0, 0, 1)

Huomautus!

Relaatio (52) maarittaa kantavektoreiden {eα} avullayksikasitteisen yksimuotokannan {ωα}.

Huomautus!

29

Vaikka seka vektori etta yksimuoto voidaan kuvataneljalla eri komponentilla, on niilla taysin erilainen geo-metrinen merkitys!

Kantayksimuodot transformoituvat kuten vektoreidenkomponentit:

ωα = Λα

βωβ.

Yksimuodon geometrinen merkitys

Kun vektori mielletaan yleensa nuoleksi, yksimuodollaon vastaava toisenlainen geometrinen merkitys. Yksimuo-to ei ole nuoli. Matemaattisesti yksimuoto kuvaa vektoritluvuiksi.

Yksimuoto on sarja pintoja, ja sen suuruus riippuu pin-tojen valimatkoista, kuva 28.

(a) (b) (c)

Kuva 28: Yksimuodon geometrinen merkitys. (a) Yksi-muoto on “sarja” pintoja. (b) Yksimuodon antama lukuvektorista vastaa niiden pintojen maaraa, jotka “nuoli”lavistaa. (c) Pienempi yksimuoto samasta vektorista vas-taa vahempaa maaraa pintoja!

Huomaa, etta 4-ulotteisessa aika-avaruusjatkumossa yk-simuotojen maarittamat pinnat ovat kolmiulotteisia. Yk-simuoto ei siis maarita suuntaa, vaan tavan “viipaloida”avaruutta. Pintojen valimatka on kaantaen verrannollinenyksimuodon suuruuteen.

Esimerkiksi gradientti on yksimuoto.

Funktion derivaatta = yksimuoto!

Olkoon jokaisessa aika-avaruuden pisteessa maariteltyskalaarikentta φ(x). Kappaleen maailmanviivalla on kus-sakin pisteessa jokin arvo φ(x), joka muuttuu liikuttaessamaailmanviivaa pitkin.

Parametrisoidaan taman kappaleen maailmanviiva omi-naisajalla τ (kuva 29).

Nyt kappaleen nelinopeus on sen maailmanviivan tan-gentti, eli

U→O

(

dt

dτ,dx

dτ,dy

dτ,dz

dτ

)

,

ja edellamaaritelty skalaarikentta φ muuttuu maailmanvii-vaa pitkin liikkuttaessa kuten

dφ

dτ=

∂φ

∂t

dt

dτ+

∂φ

∂x

dx

dτ+

∂φ

∂y

dy

dτ+

∂φ

∂z

dz

dτ

=∂φ

∂tU0 ∂φ

∂xU1 +

∂φ

∂yU2 +

∂φ

∂zU3.

Tassa siis tuotetaan luku dφ/dτ vektorista U, joka vas-taa φ:n muutosta maailmanviivalla, jonka tangentti on U.

(τ),t (τ),x (τ),y (τ)]zφ(τ)=φ[

t

x

τ=0

τ=1

τ=2

U

Kuva 29: Ominaisajalla τ parametrisoitu maailmanviiva.

Toisinsanoen dφ/dτ on U:n lineaarinen funktio ja ky-seessa on yksimuoto, jonka komponentit ovat

dφ→O

(

∂φ

∂t,∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)

.

Eli dφ on funktion φ gradientti, ja sen geometrinen merki-tys on sama kuin yksimuodolla.

Huomautus!

Vektori on suora, ja myos yksimuodon pinnat ovat suo-ria ja yhdensuuntaisia, koska yksimuoto on paikallisestimaaritelty kussakin koordinaatiston pisteessa!

Huomautus!

Gradientti sellaisenaan ei ole vektori, vaan tarvitaanmetriikka, jotta gradienttiin voitaisiin liittaa vektori. Geo-metrisesti gradientti (yksinaan) on yksimuoto!

Tarkastellaan viela, kuinka gradientti transformoituu.Yksimuodolle

(dφ)α = Λβα(dφ)β ,

ja toisaalta derivoinnin ketjusaannon perusteella

∂φ

∂xα=

∂φ

∂xβ

∂xβ

∂xα⇒ (dφ)α =

∂xβ

∂xα(dφ)β .

Koska

xβ = Λβαxα ⇒ ∂xβ

∂xα= Λβ

α,

ja transformaatio on sama kuin yksimuodoilla muutenkin!

Huomautus: derivaatta

Derivaattaa merkitaan usein

∂φ

∂x≡ φ ,x tai

∂φ

∂xα≡ φ ,α.

Yleisesti on voimassa

xα,β ≡ δα

β ⇔ dxα ≡ ωα,

30

ja nain ollen mille tahansa funktiolle

df =∂f

∂xαdxα.

Huomaa, etta tama on tensori, eika infitesimaalinen muu-tos f :ssa. Tama taytyisi kontraktoida infinitesimaalisenvektorin kanssa, jotta saataisiin f :n muutos johonkin suun-taan!

6.4 (02) tensorit ja ulkotulo

Otsikon mukainen tensori on sellainen, joka ottaa kaksinelivektoria argumenteikseen. Yksinkertaisin mahdollinentensori on kahden yksimuodon (ulko)tulo.

Olkoot p ja q yksimuotoja, talloin ulkotulo p⊗ q on (02)tensori, joka tuottaa kahdella vektorilla luvun p(A)q(B).Eli kyseessa on (01) tensoreiden (yksimuotojen) tuottamienlukujen tulo.

Tata operaatiota merkitaan siis symbolilla ’⊗’.

Huomaa!

Ulkotulo ’⊗’ EI kommutoi, eli tensorit p ⊗ q 6= q ⊗ p,toisinsanoen

p(A)q(B) 6= p(B)q(A).

Komponentit

Yleisesti (02) tensori ei ole ulkotulo, mutta se voidaan ai-na ilmaista ulkotuloista muodostettujen tensoreiden sum-mana. Tensorin f komponentit ovat siis

fαβ ≡ f(eα, eβ).

Tassa molemmat indeksit α ja β voivat saada nelja eri ar-voa, joten (02) tensorilla on 16 komponenttia, jotka voidaanajatella 4x4 matriisina.

Mielivaltaisille vektoreille

f(A,B) = f(Aαeα, Bβeβ) = AαBβf(eα, eβ)

= AαBβfαβ.

Tutkitaan seuraavaksi, voidaanko talle tensorille muo-dostaa kanta kuten nelivektoreille tai yksimuodoille sitenetta

f = fαβωαβ .

Talloin taytyisi olla

fµν = f(eµ, eν) = fαβωαβ(eµ, eν)

⇒ ωαβ(eµ, eν) = δα

µδβν .

Mutta kuten aiemmin on jo nahty, on δαµ = ω(eµ), joten

ωαβ = ω

α ⊗ ωβ .

Toisinsanoen tensorit ωα ⊗ ω

β muodostavat kannan (02)tensorille ja

f = fαβωα ⊗ ω

β .

Tensoreiden symmetriat

(02) tensori ottaa siis kaksi nelivektoria argumentteina,joiden jarjestys on tarkea. Nainollen voidaan tarkastella (02)tensoreiden symmetriaominaisuuksia.

Symmetrinen tensori:

f(A,B) = f(B,A) ∀ A,B.

Kun asetetaan A = eα ja B = eβ saadaan komponenteillefαβ = fβα.

Mielivaltaisesta (02) tensorista h saadaan symmetrinentensori asettamalla

h(s)(A,B) =1

2h(A,B) +

1

2h(B,A)

⇔ h(s)αβ = h(αβ) =1

2(hαβ + hβα).

Antisymmetrinen tensori:

f(A,B) = −f(B,A) ∀A,B.

Kun asetetaan A = eα ja B = eβ saadaan komponenteillefαβ = −fβα.

Vastaavasti mielivaltaisesta (02) tensorista h saadaan an-tisymmetrinen tensori asettamalla

h(a)(A,B) =1

2h(A,B) − 1

2h(B,A)

⇔ h(a)αβ = h[αβ] =1

2(hαβ − hβα).

Huomaa!

Mille tahansa tensorille

hαβ =1

2(hαβ + hβα) +

1

2(hαβ − hβα)

= h(αβ) + h[αβ].

Eli kaikki (02) tensorit voidaan jakaa symmetriseen ja anti-symmetriseen osaan!

Esimerkiksi metrinen tensori g on symmetrinen, elig(A,B) = g(B,A).

6.5 Metriikka ja tensoritOlkoot metriikka g ja nelivektori V. Koska metrinen ten-

sori g vaatii kaksi vektoria argumenteiksi, puuttuu lausek-keesta g(V, ) yksi vektori! Eli

g( ,V) = g(V, ) ≡ V( )

on yksimuoto (metriikka g on symmetrinen) ja kun tallaoperoidaan vektoriin A on

V(A) ≡ g(V,A) = g(A,V) = A ·V.

Komponenttimuodossa tama on

Vα ≡ V(eα) = V · eα = eα ·V = eα · (V βeβ)

= (eα · eβ)V β ⇒ Vα = ηαβV β .

Toisinsanoen, metrinen tensori kuvaa vektorit yksimuo-doiksi. Huomaa, etta vektorin komponentin indeksi on

31

ylhaalla (V α) ja yksimuodon alhaalla (Vα)! Erikoistapauk-sena laakeassa Lorentz-Minkowski avaruudessa gαβ = ηαβ

jaV → (a, b, c, d) ⇔ V → (−a, b, c, d),

eli siirryttaessa vektoreista yksimuotoihin ainoastaan aika-komponentin etumerkki muuttuu.

Yksimuodot vektoreiksi

Kun metrisen tensorin kaanteismuoto on ηαβ , saadaankaanteisesti

Aα ≡ ηαβAβ .

On helppo osoitta, etta {ηαβ} = {ηαβ}, jolloin yksimuodos-ta paastaan vektoriin vaihtamalla aikakomponentin etu-merkkia.

Miksi yksimuotoja ja vektoreita??

Tutussa euklidisessa avaruudessa metriikan karteesisetkomponentit ovat {δij}. Talloin yksimuodoilla ja vektoreil-la on samat komponentit.

Erikoisessa suhteellisuusteoriassa nain ei ole, vaan esi-merkiksi kentan φ gradientille

dφ → (∂φ

∂t,∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z)

seka tahan liittyvalle vektorille, joka on normaali φ:n tasa-arvopintoihin nahden on

dφ → (−∂φ

∂t,∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z).

Erikoisen suhteellisuusteorian epaeuklidisen metriikan ta-kia yksimuotojen ja vektoreiden valista eroa ei voida unoh-taa! Vastaavanlaisia vektoreiden dualismeja on muuallakinfysiikassa, kuten esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Yksimuotojen suuruus ja skalaaritulo

Yleisesti yksimuodoille ja vektoreille on voimassa

p2 = p2 = ηαβpαpβ .

Koskap2 = ηαβ(ηαµpµ)(ηβνpν)

ja ηαβηβν = δνα, on

p2 = ηαµpµpα.

Eli yksimuotojen suuruus saadaan kaanteisen metrisen ten-sorin avulla. Toisinsanoen

p2 = −(p0)2 + (p1)

2 + (p2)2 + (p3)

2,

mika on sama kuin vektoreille, joten yksimuodot voivatolla kuten vektoritkin ajankaltaisia, avaruudenkaltaisia taivalonkaltaisia.

Vastaavasti, kuten vektoreille myos kahden yksimuodonsisatulolle tulee

p · q = −p0q0 + p1q1 + p2q2 + p3q3.

6.6 (MN ) tensorit

Kuten yksimuoto on kuvaus, joka antaa vektorista re-aaliluvun, voidaan myos vektori kasittaa kuvauksena jokaantaa yksimuodosta reaaliluvun, eli

V(p) ≡ p(V) ≡ pαV α ≡< p,V > .

Tama voidaan lyhyella harppauksella yleistaa (M0 ) ten-

soreille, joka on siis M :n yksimuodon lineaarinen funktio,joka palauttaa reaaliluvun.

Esimerkki

(20) tensori V ⊗ W palauttaa luvun

V(p)W(q) ≡ p(V)q(W) = V αpαW βqβ.

Tensorilla V⊗W on komponentit V αW β ja kantavektoriteα ⊗ eβ.

Yleistetaan tata viela edelleen siten, etta otetaan mu-kaan argumentteihin myos yksimuodot. Eli (M

N ) tensori onM :n yksimuodon ja N :n vektorin lineaarinen funktio, jokapalauttaa reaaliluvun.

Esimerkki

Olkoot R (11) tensori, ja tarkastellaan sen komponenttientransformaatiota:

Rαβ = R(ωα; eβ) = R(Λα

µωµ; Λν

βeν) = ΛαµΛν

βRµν .

Eli tensorin jokainen indeksi transformoidaan erikseen!

Indeksien nostaminen ja laskeminen

Kuten jo aiemmin nahtiin, metriikka kuvaa vektorin V

yksimuodoksi V, eli

g(V, ) = V( ).

Tama voidaan yleistaa myos tensoreille. Eli, metriikka ku-vaa (N

M ) tensorin (N−1M+1) tensoriksi. Vastaavasti kaanteinen

metriikka kuvaa (NM ) tensorin (N+1

M−1) tensoriksi.

Esimerkki

Olkoot (21) tensori T αβγ , talloin

T αβγ = ηβµT αµ

γ ,

joka on (12) tensori. Tassa siis keskimmainen indeksi lasket-tiin ylhaalta alas.

Esimerkki

Metrikalleηα

β ≡ ηαµηµβ ≡ δαβ .

Tensoreiden differentiointi

Funktio f on (00) tensori, ja sen gradientti df on (01)tensori. Toisin sanoen tensorin differentiointi nostaa senkovarianttia luokkaa.

Olkoot (11) tensori T, jolla on komponentit {T αβ}, jotka

ovat paikan funktioita. Tensori T voidaan kirjoittaa

T = T αβ ω

β ⊗ eα.

32

Nyt liikutaan maailmanviivaa pitkin, jolloin

dT

dτ= lim

∆τ→0

T(τ + ∆τ) − T(τ)

∆τ

ja koska kantayksimuodot ja -vektorit ovat vakioita on

dT

dτ=

(

dT αβ

dτ

)

ωβ ⊗ eα =

(

T αβ,γUγ

)

ωβ ⊗ eα.

Eli tensoria differentioitaessa maailmanviivaa pitkin,taytyy sen derivoidut komponentit kontraktoida maail-manviivan tangentin (nelinopeuden) kanssa. Tama vastaavektorilaskennasta tuttua suunnattua derivaattaa.

Huomaa!

dT/dτ on myos (11) tensori, koska

dT

dτ=

(

T αβ,γω

β ⊗ eα

)

Uγ .

Tasta nahdaan, etta T:n gradientti

∇T ≡ T αβ,γω

β ⊗ ωγ ⊗ eα

on (12) tensori! Toisinsanoen

dT

dτ≡ ∇UT, ∇UT →

{

T αβ,γUγ

}

.

Tassa yhteydessa on oletettu, etta kantayksimuodot jakantavektorit ovat vakoioita. Tama oletus pitaa paikkaan-sa erikoisen suhteellisuusteorian tapauksessa. Jos avaruuson kaareva, nain ei enaa ole ja kantavektoreiden seka -yksimuotojen muutokset taytyy ottaa huomioon tensoreitadifferentioitaessa. Tama johtaa yleiseen suhteellisuusteori-aan ja siina kaytettyyn yleiseen vektorilaskentaan.

6.7 Metriset ja epametriset vektorial-gebrat

Miksi juuri metrinen tensori kuvaa vektorit yksimuo-doiksi ja painvastoin? Miksi ei joku muu (02) tensori? Tar-kastellaan naita kysymyksia kahdessa eri osassa:

1. Miksi yleensa vektoreiden ja yksimuotojen valillaon yhteys? Ilman tata yhteytta, jossa siis vektorioperoi yksimuotoa tai painvastoin, sisatuloa ei olisimaaritelty. Fysiikassa sisatulo ja sen kautta avaruu-det, joissa voidaan maaritella etaisyys tavalla tai toi-sella, ovat erittain kayttokelpoisia. Nain ollen metriik-kaa tarvitaan.

2. Miksi metriikka, eika joku muu tensori? Jos metriikkaaei olisi, joku muu symmetrinen tensori tekisi vastaavankuvauksen yksimuotojen ja vektoreiden valilla. Tatatensoria voitaisiin yhta hyvin kutsua metriikaksi...

Metriikka on vektorialgebraan kiinteasti kuuluva osa,joka maarittaa avaruuden rakenteen. Eri avaruuksil-la on erilaiset rakenteet. Esimerkiksi Riemannin ava-ruudessa vektoreilla on aina positiivinen pituus. Toi-saalta taas pseudo-Riemannin avaruudessa vektorinpituus voi olla myos negatiivinen (esim. erikoisensuhteellisuusteorian Lorentz-Minkowski avaruus). Voi-daan myos maaritella vaikkapa antisymmetrinen met-riikka, joka johtaisi spinori-avaruuteen.

Metriikka maarittaa siis sisatulon ja sita kautta vekto-rien pituudet. Se kuvaa avaruuden rakenteen, minka takiaerikoisen suhteellisuusteorian Lorentz-Minkowski avaruu-desta puhutaan laakeana avaruutena tai laakeana metriik-kana.

33

7. Relativistinen dynamiikkaNormaaleissa eparelativistisissa tapauksissa klassinen

Galilein ja Newtonin mekaniikka toimii hyvin. Nyt meillaon matemaattiset tyokalut rakentaa vastaava formalismi,jolla kasitella myos relativistisia ongelmia.

Tassa tapauksessa sovellusalueena ovat lahinna relativis-tiset atomaariset ja alkeishiukkasilmiot.

Hiukkasprosesseja kasitellaan soveltaen kahta jo perus-mekaniikasta tuttua periaatetta:

1. Liikemaaran sailyminen.

2. Energian sailyminen.

Kohdan (1) kasittely muistuttaa hyvin paljon vastaavaaklassisen mekaniikan formalismia. Sailyvana suurena on re-lativistisessa tapauksessa neliliikemaara vektorisuureena.

Seuraavan kohdan (2) mukaisesti energia sailyy myosrelativistisissa hiukkasprosesseissa, mutta se voi ottaa erimuotoja (esim. massa).

Naita perusperiaatteita sovelletaan siten, etta tarkastel-laan tilannetta ennen ja jalkeen vuorovaikutuksen. Tamamahdollistaa hiukkasprosessien luonnehdinnan, vaikka itsevuorovaikutuksen yksityiskohtia ei tiedeta.

Relativistisessa formalismissa ei juurikaan tarvitaitse Lorentz-muunnosta, vaan se perustuu Lorentz-invarienttien suureiden kasittelyyn.

7.1 Massattomat hiukkasetTallaisia hiukkasia ovat esimerkiksi fotonit. Massatto-

mat hiukkaset ovat jossain maarin erikoisasemassa relati-vistisia hiukkasilmioita tarkasteltaessa.

Absorptio

Tarkastellaan paikallaan olevaa hiukkasta (lepomassam0), johon osuu laboratoriokoordinaatiston O x-akseliapitkin liikkuva fotoni (energia Eν), jonka hiukkanen ab-sorboi.

Vuorovaikutuksen jalkeen hiukkasella (h) on massa m′

ja se liikkuu nopeudella v fotonin (f) liikesuuntaan.Ennen vuorovaikutusta hiukkasen neliliikemaara on

Ph →O

(E0 = m0, 0, 0, 0)

ja fotonin liikemaara

Pf →O

(Eν , pν = Eν , 0, 0).

Vuorovaikutuksen jalkeen fotoni haviaa, ja hiukkasella onneliliikemaara

P′h →

O(E′ = m′, p′, 0, 0)

Nyt neliliikemaara sailyy hiukkasprosesseissa, eli Ph +Pf = P′

h. Kun tarkastellaan eri komponentteja, nahdaanetta

1. Energia sailyy, eli aikakomponenteista

E0 + Eν = E′ ⇔ m0 + Eν = m′.

2. Liikemaara sailyy, toisinsanoen spatiaalikomponen-teista

pν = p′ ⇔ Eν = m′v

Naista voidaan ratkaista hiukkasen nopeudeksi absorptionjalkeen

v =Eν

m′ =Eν

m0 + Eν

Huomaa!

Jos Eν ≪ m0, on v ≈ Eν/m0, joka vastaa klassista ta-pausta, jossa m0 vakiomassainen kappale saa fotonilta im-pulssin Eν .

Emissio

Tarkastellaan laboratoriokoordinaatistossa O paikallaanolevaa m0 massaista atomia, joka emittoi fotonin energiallaEν positiivisen x-akselin suuntaan.

Vuorovaikutuksen jalkeen fotonilla (f) ja atomilla (h) onliikemaaraa ja energiaa. Talloin atomin liikemassa on m′

seka (uusi) lepomassa m′0 ja se liikkuu nopeudella v fotonin

liikesuuntaa vastaan.Atomilla on siis ennen emissiota neliliikemaara

Ph →O

(E0 = m0, 0, 0, 0).

Vuorovaikutuksen jalkeen syntyneella fotonilla seka atomil-la on neliliikemaarat

P′h →

O(E′ = m′, p′, 0, 0)

P′f →

O(E′

ν , p′ν = E′ν , 0, 0)

.

Koska neliliikemaara sailyy, on Ph = P′h + P′

f ja

1. Energia sailyy, eli aikakomponenteista

E0 = Eν + E′ ⇔ m0 = Eν + m′. (53)

2. Liikemaaran sailyminen saadaan spatiaalikomponen-teista

0 = p′ν + p′ ⇔ p′ − Eν = 0.

Kohdasta (1) ja (2) saadaan siten yhtalopari

{

m′ = m0 − Eν

p′ = Eν.

Kun otetaan atomin neliliikemaaran vektorista sisatulo it-sensa kanssa, saadaan

P′h ·P′

h = −(m′)2 + (p′)2 = −(m′0)

2. (54)

Tassa ensimmainen muoto sisatulolle on laskettu laborato-riokoordinaatistossa ja toinen atomin lepokoordinaatistos-sa. Lausekkeet ovat yhtasuuria, koska sisatulo on Lorentz-invariantti.

Sisatulosta (54) ja energian sailymisesta (53) saadaan

(m′0)

2 = m20 − 2m0Eν . (55)

Tassa massat m0 ja m′0 ovat siis hiukkasen lepomassat

ennen ja jalkeen emission. Niiden erotus vastaa energiaa

34

Q = m0 − m′0. Tasta erotuksesta saadaan m′

0 = m0 − Q,jolloin lausekkeesta (55) tulee

m20 − 2m0Q + Q2 = m2

0 − 2m0Eν

⇔ Eν = hν = Q

(

1 − Q

2m0

)

(56)

Koska fotonin energia Eν on suoraan verrannollinen taa-juuteen ν, lauseketta (56) vastaava taajuus laskee ja aallon-pituus kasvaa erotuksen Q kasvaessa. Tama kuvaa atominkokemaa rekyylia fotonin emittoituessa.

Huomaa, etta jos emittoiva atomi ei kokisi rekyylia, kaik-ki energia Q menisi fotonille.

Lausekkeella (56) on suoria fysikaalisia seurauksia. Kos-ka atomit tai niiden ytimet virittyvat ainoastaan tietynkokoisilla energiapaketeilla (energiatasot ovat kvantittu-neet), ne eivat pysty absorboimaan niille ominaista emis-siosateilya!

Toisin sanoen atomin viritystilan laskiessa, sen energiamuuttuu ja se emittoi fotonin. Osa fotonin energiasta me-nee kuitenkin atomin kokemaan rekyyliin.

Jos edella emittoitu fotoni tapaa samanlaisen atomin,joka on vastaavassa alemmassa energiatilassa, silla ei oleenaa tarpeeksi energiaa, jotta se pystyisi virittamaan ato-min uudelleen.

Jos atomien emissioviivat olisivat teravia (emissio ainatasmalleen samalla energialla) ja emittoivat seka absorboi-vat atomit olisivat paikallaan, kaasu olisi lapinakyvaa omi-naissateilylleen!

Kaytannossa kuitenkin

• Energiatasot eivat ole tarkastiottaen teravia.

• Jos absorboivalla atomilla on oikea nopeus, se voi kom-pensoida taajuusmuutoksen Doppler siirtymalla.

• Nakyvalle valolle terminen liike havittaa taman efek-tin.

• Korkeampitaajuuksisilla γ-sateilla rekyyli on paljonvahvempi ja efekti on siten havaittavissa.

Esimerkki

Elohopean (Hg) kokema rekyyli on yhtalon (56) mu-kaisesti verrannollinen Q/(2m0) = Q/(2m0c

2):een. Gam-masateille, joita viritetty elohopea emittoi, Q = 412keV jaelohopealle m0 = 198amu = 3.28 × 10−25kg.

Gammasateiden tapauksessa Q/(2m0c2) ≈ 10−6 osa

energiasta menee rekyyliin. Valolle (Q ≈ 2eV) efekti onviisi kertaluokkaa pienempi.

Kun tarkastellaan emissiota ja absorptiota, tulee rekyyliottaa huomioon kaksi kertaa. Ehto sille, etta seka absorp-tio etta emissio ovat mahdollisia on se, etta emissiolahdeliikkuu absorptiokohteen suhtee nopeudella

v

c≈ Q

m0c2= 2.24 × 10−6 ≈ 670m/s.

Koska Doppler-siirtyma nostaa energiaa osalla v/c, nopeu-den v ollessa pieni:

E

E′ =ν

ν′ =

√

1 + v

1 − v=

1 + v√1 − v2

≈ 1 + v,

kun v/c ≪ 1. Joten E ≈ E′(1 + v).

Mossbauer efekti

Joissain olosuhteissa emission tai absorption rekyyli ja-kautuu kaikkien kiteen hilassa olevien atomien kesken.

Kiteen hilassa voi olla esim. 1010 atomia, jolloin termiQ/(2m0) yhtalossa (56) kaytannossa haviaa ja lahes kaikkienergia menee fotonille. Esimerkiksi 1010 atomin iridiumkiteelle Q/(2m0) ≈ 3 × 10−17.

Jos atomin emissiotaajuus on hyvin terava, niin samapatee myos absorptiotaajuudelle, ja pienetkin muutoksetenergiassa tekevat absorption mahdottomaksi. Tata kut-sutaan Mossbauer ilmioksi, jonka loytamisesta Rudolf L.Mossbauer sai Nobelin palkinnon vuonna 1957.

Kiteiden tapauksessa ilmio tulee voimakkaana esille,ja absorption voimakkuus riippuu vahvasti emittoivan jaabsorpoivan atomin suhteellisesta nopeudesta. Emissio-absorptio resonanssi on hyvin herkka gammasateilla, jopa0.1 cm/s nopeusero voi tuhota resonanssin.

Jos joku efekti tuhoaa resonanssin, gammasateiden taa-juutta muuttamalla se voidaan palauttaa. Muutoksen avul-la efekti voidaan mitata erittain tarkasti.

Mossbauer efekti on havaittu 35 eri isotoopilla, joillaon stabiili perustila ja virittynyt tila joka purkautuu gam-masateilyna.

Kaanteisesti, Mossbauer ilmion avulla voidaan tuottaagammasateita, joiden taajuus tiedetaan hyvin tarkasti.

Kaikenkaikkiaan Mossbauer ilmiolla on lukuisia erilai-sia sovelletuksia. Ilmiota on kaytetty esim. gravitaatiopu-nasiirtyman mittauksissa, ytimen ja elektronin vuorovai-kutusten tutkimiseen seka hilassa olevien ytimien ja hilanvuorovaikutusten tutkimiseen. Mossbauer ilmiota voidaankayttaa myos spektroskopiassa. Ilmio on hyvin tarkea eten-kin ydinfysiikassa.

Fotoniraketti

Sahkomagneettinen sateily tyontaa rakettia eteenpain.Koska fotonit liikkuvat valonnopeudella ja tyontovoima onsuoraan verrannollinen pakokaasujen lahtonopeuteen, olisitallainen raketti hyvin tehokas.

Olkoon m0 raketin lepomassa, ja merkitaan f :llahyotykuorman (= fm0) osuutta lepomassasta.

Jos raketti (r) lahtee levosta ja antaa hyotykuormalle no-peuden v, tietty maara sateilyenergiaa Er (f) liikkuu vas-takkaiseen suuntaan.

Raketin neliliikemaara alussa on

Pr →O

(m0, 0, 0, 0)

ja lopussaP′

r →O (m′, p′, 0, 0)

P′f →

O(Er,−Er, 0, 0)

.

Tassa siis neliliikemaaravektori P′f =

∑

Pν edustaa kaik-kien fotoneiden liikemaaraa. Kun muistetaan, etta m′ =fm0γ ja p′ = m′v = fm0γv (missa γ = 1/

√1 − v2 on

Lorentz-tekija) saadaan aika- ja spatiaalikomponenteistasailymisyhtalot

{

m0 = m′ + Er = fm0γ + Er

0 = p′ − Er = fm0γv − Er

35

⇔ m0 = fm0γ + fm0γv ⇔ fγ + fvγ = 1. (57)

Kunγ = (1 − v2)−1/2 ⇔ γ2v2 = γ2 − 1,

saadaan yhtalosta (57)

f√

γ2 − 1 = 1 − fγ ⇔ f2 − 2fγ + 1 = 0.

Asetetaan Lorentz-tekijan arvoksi γ = 10, jolloin mat-kantekoaika raketin koordinaatistossa lyhenee huomatta-vasti. Talloin hyotykuorman osuudeksi tulee

f = γ −√

γ2 − 1 = 10 −√

99 ≈ 0.05,

mika on noin 5%.Jos halutaan pysahtya kohteessa ja kaantya takaisin, pa-

laavan massan osuus on f−4, eli tassa tapauksessa 10−5m0.Tasta nahdaan, etta relativistisia nopeuksia on hyvin han-kala saavuttaa makroskooppisilla kappaleilla.

7.2 Parisynty ja annihilaatio

Massa-energia ekvivalenssi

Tietyissa olosuhteissa on mahdollista luoda uusia hiuk-kasia, jos energiaa on riittavasti tarjolla.

Jos halutaan luoda hiukkanen, jonka lepomassa on m0,vaaditaan siihen energiaa vahintaan E = m0c

2 ver-ran. Kaytannossa kuitenkin energiaa vaaditaan paljonenemman. Tama johtuu seuraavista seikoista.

Energian ja liikemaaran sailymislakien lisaksi on muitasailymislakeja, joiden taytyy olla voimassa (esim. varauk-sen sailyminen). Taman takia on mahdotonta luoda vainyksi hiukkanen tormaysprosessissa.

Esimerkiksi elektroni-positronipari voi syntya γ-fotonista (energia 1.02Mev) reaktion γ → e− + e+

kautta.Hiukkasia syntyy tavallisesti tormaytettaessa olemassao-

levia hiukkasia. Esimerkiksi π-mesoneja (pioneja) saadaanaikaan pommittamalla vetyatomien ytimia energeettisillaprotoneilla reaktioyhtalon P1 + P2 → P + N + π+ mukai-sesti.

Tassa tormaavista protoneista syntyy protoni, neutro-ni ja pioni. Koska liikemaaran taytyy sailya, on suuri osaenergiasta sidottuna systeemin liiketilaan.

Tarkastellaan fotonien parisyntya. Kuvassa 30. on kaa-vakuva hiukkasilmaisimessa havaitusta elektronin ja posit-ronin radasta.

Selvasti fotoni, joka on neutraali, eika jata jalkea ilmai-simeen, on tullut alhaalta. Radat ovat lahes symmetriset,joten elektronilla ja positronilla on lahes sama energia.

Prosessiin tarvitaan viela yksi osapuoli lisaa, silla lii-kemaaran taytyy sailya. Tama johtuu siita, etta kahdel-le massalliselle hiukkaselle voidaan aina maaritella koordi-naatisto, jossa niiden kokonaisliikemaara on nolla.

Fotonilla on aina liikemaara kaikissa koordinaatistoissa,eika sita voida havittaa koordinaatistoa vaihtamalla!

Tassa tapauksessa neljas kappale on atomiydin, joka pys-tyy ottamaan paljon liikemaaraa vastaan viematta paljoaenergiaa koska ydin on massiivinen.

elektroni

positroni

fotoni

Kuva 30: Kaavakuva elektroni-positroniparin muodostu-misen jattamasta jaljesta hiukkasilmaisimessa.

Myos kaanteinen prosessi e− + e+ → γ + γ on mahdol-linen. Tata kutsutaan annihilaatioksi, jossa hiukkanen jaantihiukkanen muuttuvat sateilyksi. Myos tahan tarvitaanvahintaan kaksi fotonia, silla liikemaaran taytyy sailya!

Hiukkasilmaisimet

Hiukkasilmaisimilla havaitaan hiukkaskiihdyttimissa ta-pahtuvien tormaysprosessien tuottamia hiukkasia. Ilmaisi-messa hiukkassuihku tormaytetaan joko paikallaan olevaankohtioon tai vastakkaiseen suuntaan liikkuvaan hiukkas-suihkuun. Vastaavanlaisia ilmaisimia kaytetaan myos maa-pallon ulkopuolelta tulevan kosmisen sateilyn ilmaisimissa.

Tormayttamalla hiukkassuihkuja keskenaan laboratorio-koordinaatistossa paikallaan olevan kohtion sijaan, voidaantormaysenergioita nostaa huomattavasti.

Ilmaisimissa tapahtuvat tormaykset tuottavat suurenmaaran erilaisia hiukkasia, joiden kaikkien havaitseminenon hyvin hankalaa. Kaytannossa nama yha hyvin energeet-tiset tormaystuotteet sinkoutuvat useassa kerroksessa ole-viin ilmaisimiin, joissa mitataan hiukkasten varausta, mas-saa, energiaa ja liikerataa.

Varautuneet hiukkaset erotetaan sahkoisesti neutraaleis-ta hiukkasista magneettikentalla, ja hiukkasten radat mi-tataan ratailmaisimilla. Kaikki ratailmaisimet perustuvatsiihen, etta energeettiset varatut hiukkaset voivat ionisoidaliikeradallaan valiainetta.

Erilaisia ratailmaisintyyppeja ovat mm. kaasu- tai nes-tetaytteiset ilmaisimet (sumukammiot, kuplakammiot), ki-pinakammiot ja lankakammio seka puolijohdeilmaisimet.

Varsinaisten ilmaisimien lisaksi tarvitaan niiden tuot-taman tiedon analysointiin ja tallentamiseen erilaisiaapulaitteita. Ilmaisimesta jannitepulsseina saatu tietokasitellaan elektronisesti. Jos taas reaktiotuotteet syn-nyttavan nakyvan jaljen, tutkiminen tapahtuu optisesti.

• Sumukammiossa ionisoivat hiukkaset aiheuttavat lii-

36

Kamera

Hiukkasuihku

Magneettikenttä

Kääm

it

Kää

mit

Mäntä

Neste

Kuva 31: Donald A. Glaserin vuonna 1952 kehittamakuplakammio. Hiukkassuihku ohjataan ylikuumentunee-seen nesteeseen (neste saadaan ylikuumentuneeseen tilaanpienentamalla painetta nopeasti mannan avulla). Nesteenkiehuminen varattujen hiukkasten kulkuradalla valokuva-taan.

keradallaan ylikyllaisessa vesihoyryssa sumujaljen.Nama jaljet voidaan havaita optisesti, esimerkiksi va-lokuvaamalla.

• Sumukammion syrjaytti helppokayttoisempi kupla-kammio, jossa kriittisessa tilassa oleva ylikuumentu-nut neste (vety) kiehuu ionisoivan hiukkasen liikera-dalla. Liikeradat havaitaan kolmiulotteisesti kuvaa-malla ne kameralla useasta eri kulmasta.

• Kipinakammiossa on sarja jannitee-erossa pidettyjametallilevyja. Kammion lapi kulkeva varattu hiukka-nen ionisoi radallaan levyjen valissa olevaa kaasua ai-heuttaen sarjan kipinapurkauksia, jotka voidaan ha-vaita. Tallainen ilmaisin on jatkuvakayttoinen, eikasita tarvitse virittaa uudelleen kupla- ja sumukam-mion tavoin.

• Lankakammiossa on kaasuun upotettuna kahden ka-toditason valissa olevia anodilankoja. Perakkaisienelementtien langat ovat kohtisuorassa toisiaan vas-taan. Kammion lapi kulkeva hiukkanen ionisoi ele-

menttien sisalla olevaa kaasua aiheuttaen sarjan ki-pinapurkauksia anodilangoissa. Nama radat voidaanmitata, tallentaa ja analysoida suoraan tietokoneenavulla.

7.3 Dopplerin ilmioTarkastellaan fotonin liiketta emissiolahteen suhteen liik-

kuvan havaitsijan nakokulmasta.Liikkukoon valonlahde (lepokoordinaatisto O) laborato-

riokoordinaatiston O x-akselin suuntaisesti nopeudella v.Laboratoriokoordinaatistossa O valonlahteesta emittoitufotoni liikkuu kulmassa θ liikesuuntaa (x-akseli) vastaan.Talloin silla on neliliikemaara

P→O{Pα} = (E, px = E cos θ, py = E sin θ, 0),

missa E on fotonin energia laboratoriokoordinaatistos-sa. Muunnetaan neliliikemaara hiukkasen lepokoordinaa-tistoon O, jolloin

P →O

{

P α = ΛααPα

}

= (E = γ(E − vpx), px = γ(−vE + px), py = γpy, 0).

Muunnetun neliliikemaaran aikakomponentista saadaan fo-tonin energialle E lepokoordinaatistossa

E = γ(E − vpx) = γE(1 − v cos θ).

Koska fotonin energian riippuvuus taajuudesta on E = hνja vastavasti E = hν, saadaan tasta Doppler siirtymaksi

ν =ν√

1 − v2

1 − v cos θ. (58)

Huomaa, etta vastaava klassinen Doppler-siirtyman muotoon ν = ν/(1− v cos θ). Jos valonlahde liikkuu kohti havait-sijaa, kulma θ = 0 ja

ν =ν√

1 − v2

1 − v,

eli ν > ν (sinisiirtyma). Vastakkaiseen suuntaan lahtevallevalonsateelle θ = π ja

ν =ν√

1 − v2

1 + v,

eli tassa tapauksessa ν < ν ja kyseessa on punasiir-tyma. Suorassa kulmassa havaitsijaan nahden lahtevallevalonsateelle θ = π/2 ja

ν = ν√

1 − v2

(vrt. tata ajan dilataation lausekkeeseen!).

7.4 Comptonin sirontaFotoni ja (vapaa) elektroni tormaavat elastisesti. Vali-

taan koordinaatisto O, jossa fotoni lahestyy levossa olevaaelektronia x-akselia pitkin. Fotoni siroaa elektronista xy-tasossa.

37

Ennen tormaysta elektronilla ja fotonilla on nelilii-kemaarat K ja P:

K →O

(m0, 0, 0, 0)

P →O

(Eν , Eν , 0, 0).

Tormayksen jalkeen elektroni liikkuu nopeudella u

ja fotoni, joka siroaa kulmaan θ nopeudella{

vi}

=(sin θ, cos θ, 0). Talloin tormayksen jalkeen neliliikemaaratovat

K′ →O

(E, px, py, 0)

P′ →O

(E′ν , E′

ν cos θ, E′ν sin θ, 0)

.

Fotoni liikkuu laboratoriokoordinaatistossa O kulmaan θtormayksen jalkeen. Kokonaisneliliikemaara sailyy proses-sisa, eli

K + P = K′ + P′.

Koska haluamme paasta eroon Lorentz-tekijasta γ,jatetaan tassa yhtasuuruusmerkin toiselle puolelle vain K′,jolloin

K′ = K + P − P′.

Kun tasta otetaan sisatulo itsensa kanssa, saadaan

⇔ K′ · K′ = K ·K + P · P + P′ ·P′

+2(K ·P − K · P′ − P ·P′). (59)

Tassa P ·P = P′ ·P′ = 0, koska fotonin neliliikemaaran ne-lio on kaikissa koordinaatistoissa nolla. Vastaavasti K·K =K′ · K′ = −m2

0, koska hiukkasen neliliikemaaran nelio onsama kaikissa koordinaatistoissa (myos lepokoordinaatis-tossa).

Nain ollen yhtalosta (59) jaa jaljelle ainoastaan ristiter-mit, eli

⇒ K ·P − K · P′ − P · P′ = 0. (60)

Jaljelle jaavat sisatulot voidaan laskea:

K ·P = −m0Eν

K ·P′ = −m0E′ν

P · P′ = −EνE′ν + EνE′

ν cos θ = EνE′ν(cos θ − 1)

,

jolloin yhtalosta (60) saadaan

m0Eν − m0E′ν + EνE′

ν(1 − cos θ) = 0

⇔ 1

ν′ −1

ν=

h

m0(1 − cos θ), (61)

kun Eν = hν ja E′ν = hν′.

Yhtalo (61) sitoo siroavan fotonin taajuuden muutok-sen sirontakulmaan. Vastaavsti aallonpituuden avulla (λ =c/ν = 1/ν)

∆λ =h

m0(1 − cos θ).

Aallonpituuden muutos on suurin kun θ = π, ja fotonisiroaa liikesuuntaansa vastakkaiseen suuntaan. Talloin

λmax =2h

m0,

ja vastaavasti ilman sirontaa (jos θ = 0) fotonin aallonpi-tuus ei muutu.

7.5 Atomiytimen sidosenergia ja massa-kato

Stabiilia atomiydinta pitaa koossa ytimessa olevien al-keishiukkasten valilla vaikuttavat voimat. Jos ytimestapoistetaan protoni tai neutroni, taytyy tehda tyota sido-senergiaa vastaan.

Tahan tyohon seka siihen liittyvaan energiaan liittyyvastaava massa. Ytimen massa on siis pienempi kuin senrakenneosien massojen summa.

Massakato on siten

∆m = Zmp + (A − Z)mn + Zme − MZ,A, (62)

missa mp on protonin lepomassa, mn neutronin lepomassa,MZ,A Z-protonia ja A − Z neutronia sisaltaman ytimenmassa ja me on elektronin massa.

Vastaavat sidosenergiat saadaan kertomalla yhtalo (62)valonnopeuden neliolla.

Energian yksikkona on usein elektronivoltti eV, joka vas-taa elektronin saamaa liikenergiaa, kun se kiihdytetaan 1V potentiaalieron lapi.

Tyypillinen sidosenergia on noin 8 MeV nukleonia kohti,vastaavasti elektronien sidosenergiat ovat noin 10 - 100 eVluokkaa. Nain ollen elektronien sidosenergian vaikutus onhaviavan pieni.

7.6 Hiukkasen hajoaminenEpastabiili hiukkanen, jonka lepomassa on M , hajoaa

kahdeksi tytarhiukkaseksi (lepomassat m1 ja m2). Valitaankoordinaatisto O siten, etta hajoava hiukkanan on levossa(energia E = M), ja tytarhiukkaset saavat energiat E1 jaE2 seka vastaavat liikemaarat p1 ja p2.

Hiukkasen neliliikemaara on ennen hajoamista

P→O

(E, 0, 0, 0),

ja hajoamisen jalkeen tytarhiukkaset liikkuvat pitkinx-akselia vastakkaisiin suuntiin. Tytarhiukkasten nelilii-kemaarat ovat siten

P1 →O

(E1, p1, 0, 0)

P2 →O

(E2, p2, 0, 0).

Neliliikemaara sailyy, joten

P = P1 + P2 ⇔{

E = M = E1 + E2

p1 = −p2(63)

Toisaalta neliliikemaaravektoreiden neliot antavat

P1 · P1 = −E21 + p2

1 = −m21

P2 · P2 = −E22 + p2

2 = −m22

⇔{

E21 = p2

1 + m21

E22 = p2

2 + m22

. (64)

Kun yhtalot (64) vahennetaan toisistaan, saadaan

E21 − E2

2 = p21 + m2

1 − p22 − m2

2 = m21 − m2

2

38

E1 − E2 =m2

1 − m22

E1 + E2=

m21 + m2

2

M. (65)

Nyt tytarhiukkasten energiat voidaan ratkaista yhtaloista(63) ja (65) muodostetun yhtaloparin avulla:

{

E1 + E2 = E = M

E1 − E2 =m2

1−m2

2

M

.

Laskemalla nama yhteen ja vahentamalla toisistaan saa-daan

{

E1 =M2+m2

1−m2

2

2M

E2 =M2−m2

1+m2

2

2M

.

Tytarhiukkasten liikemaarat saadaan edellisesta yhtalostaja yhtalosta (64):

p1 = −p2 =

√

(M2 − m21 − m2

2)2 − 4m2

1m22

2M.

7.7 Elastinen sirontaTarkastellaan identtisten, m0 lepomassaisten hiukkasten

sirontaa laboratoriokoordinaatistossaO seka massakeskus-koordinaatistossa CM.

θ’

θ’

m0

m0

m0

m0

θ

φ

yy

x

Massakeskuskoordinaatisto (CM)Laboratoriokoordinaatisto

x

Kuva 32: Elastista sirontaa kasitellaan tarkastelemalla ti-lannetta yhtaaikaa laboratoriokoordinaatistossa ja massa-keskuskoordinaatistossa.

Laboratoriokoordinaatistossa O liikkuva hiukkanen siro-aa paikallaan olevasta identtisesta kohtiohiukkasesta.

Kuvan 32 mukaisesti neliliikemaariksi tulee ennen siron-taa

P1 →O

(E1, p1, 0, 0)

P2 →O

(E2 = m0, 0, 0, 0)

ja sironnan jalkeen

P3 →O

(E3, p3 cos θ, p3 sin θ, 0)

P4 →O

(E4, p4 cosφ, p4 sin φ, 0).

Vastaavasti massakeskuskoordinaatistossaCM hiukkasetlahestyvat toisiaan samalla nopeudella (energialla), ja si-roavat symmetrisesti kulmaan θ′. Kuvan mukaisesti nelilii-kemaariksi tulee ennen sirontaa

P1 →CM

(E, p, 0, 0)

P2 →CM

(E,−p, 0, 0)

ja sironnan jalkeen

P3 →CM

(E′, p′ cos θ′, p′ sin θ′, 0)

P4 →CM

(E′,−p′ cos θ′,−p′ sin θ′, 0).

Tassa siis sirontakulma on θ′. Neliliikemaaran sailymisestalahtien (P1+P2 = P3+P4) on helppo osoitaa, etta E = E′

ja p = p′. Joten sironnan jalkeisiksi nelivektoreiksi tulee

P3 →CM

(E, p cos θ′, p sin θ′, 0)

P4 →CM

(E,−p cos θ′,−p sin θ′, 0).

Lasketaan systeemin massakeskusenergia E laborato-riossa (koordinaatisto O) kiihdytetyn hiukkasen ener-gian avulla. Ennen sirontaa hiukkasten neliliikemaaransisatulo on laboratoriokoordinaatistossa O ja CM-koordinaatistossa

P1 · P2CM= −E2 − p2 O

= −E1m0. (66)

Lisaksi massakeskuskoordinaatistossa

P1 · P1CM= −E2 + p2 = −m2

0

⇔ p2 = E2 − m20. (67)

Kun yhtalo (67) sijoitetaan sistatulon P1 ·P2 lausekkeeseen(66), saadaan massakeskuenergiaksi E kiihdytysenergianE1 avulla

−E1m0 = −E2 − E2 + m20 = −2E2 + m2

0

⇔ E =

√

E1m0 + m20

2. (68)

Lausutaan sironneen hiukkasen energia (alaindeksi kol-me) sirontakulman θ′ ja kiihdytysenergian E1 avulla. Ne-liliikemaarien P2 ja P3 sisatulon avulla on

P2 ·P3CM= −E2 − p2 cos θ′ = −m0E3.

Sijoittamalla tahan yhtalo (67) saadaan

⇔ −E2 − (E2 − m20) cos θ′ = m0E3,

josta yhtalon (68) avulla tulee

⇔ m0E3 =E1m0 + m2

0

2+

[

E1m0 + m20

2− m2

0

]

cos θ′.

Tasta vahennettaessa puolittain m20, saadaan

m0E3 − m20 =

E1m0 − m20

2+

E1m0 − m20

2cos θ′

=E1m0 − m2

0

2(1 + cos θ′) = (E1m0 − m2

0) cos2θ′

2,

koska

cosθ′

2=

√

1 + cos θ′

2⇔ cos2

θ′

2=

1 + cos θ′

2.

39

Nain ollen tasta jaa jaljelle sironneen hiukkasen energiaksiE3 sirontakulman θ′ ja kiihdytysenergian E1 avulla lausut-tuna

⇔ E3 = (E1 − m0) cos2θ′

2+ m0.

Vastaavasti sirontakulma θ laboratoriokoordinaatistossaO voidaan ratkaista lausumalla sisatylo P1 ·P3 koordinaa-tistoissa O ja CM. Kohtihiukkasen energia E4 laboratorio-koordinaatistossa O sironnan jalkeen saadaan sisatulojenP1 ·P4 ja P2 · P4 avulla.

7.8 KynnysenergiaKun hiukkasia tormaytetaan yhteen, voi syntya uusia

hiukkasia, mikali systeemin energia on tarpeeksi korkea.Pienin energia, joka riittaa ainoastaan hiukkasprosessis-

sa syntyvien ja jo olemassaolevien hiukkasten lepoenergi-aan, on kynnysenergia.

Esimerkiksi protoni-antiprotoni parin syntyprosessi voi-daan esittaa reaktioyhtalolla p + p → p + p + (p + p).

Maaritetaan pienin energia, joka riittaa p+p parin synty-miseen. Tarkastellaan tilannetta laboratoriokoordinaatis-tossa O ja massakeskuskoordinaatistossa CM.

Laboratoriokoordinaatistossa O ensimmainen protoni(1) liikkuu x-akselia pitkin ja tormaa paikallaan olevaanprotoniin (2). Talloin neliliikemaarat ovat

P1 →O

(E, p, 0, 0)

P2 →O

(m0, 0, 0, 0).

Massakeskuskoordinaatistossa CM molemmilla proto-neilla on ennen tormaysta sama energia, ja ne liikkuvatkohti toisiaan x-akselia pitkin.

Reaktion jalkeen kaikki hiukkaset ovat levossa CM-koordinaatistossa (kynnysenergiaehto), eli

P′1 = P′

2 = P′3 = P′

4 →CM

(m0, 0, 0, 0).

Tarkastellaan seuraavaksi systeemin kokonaisnelilii-kemaaraa P. Ennen tormaysta

P = P1 + P2 →O

(E + m0, p =√

E2 − m20, 0, 0),

koskaP1 · P1

O= −E2 + p2 = −m2

0

⇔ p =√

E2 − m20.

Vastaavasti tormayksen jalkeen systeemilla on kynnyse-nergiaehdon nojalla neliliikemaara

P′ =∑

i

P′i →

CM(4m0, 0, 0, 0).

Nelivektoreiden sisatulon koordinaatistoinvarianssin janeliliikemaaran sailymisen nojalla

P ·P = P′ · P′

⇔ −(E + m0)2 + E2 − m2

0 = −16m20

⇔ E = 7m0.

Koska protonin leponenergia on E0 = m0, taytyy kiih-dytetylle protonille antaa kineettista energiaa maara T =6m0, jotta protoni-antiprotoni parin synty olisi mahdolli-nen.

Kynnysenergia yleisessa tapauksessa

Maaritetaan reaktion

a + b → c + d

kynnysenergia, kun hiukkasten (erisuuret) lepomassat ovatma 6= mb 6= mc 6= md.

Tarkastellaan tilannetta edellaolevan kasittelyn ta-paan ennen tormaysta laboratoriokoordinaatistossa O jatormayksen jalkeen massakeskuskoordinaatistossa CM.

Laboratoriokoordinaatistossa O ennen tormaysta hiuk-kanen a liikkuu x-akselia pitkin kohti paikallaan olevaahiukkasta b. Talloin neliliikemaarat ovat

Pa →O

(E, p =√

E2 − m2a, 0, 0)

Pb →O

(mb, 0, 0, 0),

koskaPa ·Pa = −m2

aO= −E2 + p2

⇔ p =√

E2 − m2a.

Massakeskuskoordinaatistossa CM tormayksen jalkeenhiukkaset c ja d ovat levossa, jolloin neliliikemaarat ovat

Pc →CM

(mc, 0, 0, 0)

Pd →CM

(md, 0, 0, 0).

Nain ollen laboratoriokoordinaatistossa O on systeeminkokonaisliikemaara ennen tormaysta

P = Pa + Pb →O

(E + mb,√

E2 − m2a, 0, 0)

ja tormayksen jalkeen massakeskuskoordinaatistossa CM

P′ = Pc + Pd →CM

(mc + md, 0, 0, 0).

Nelivektoreiden sisatulon invarianssin ja neliliikemaaransailymisen nojalla on

P ·P = P′ · P′

⇔ −(E + mb)2 + E2 − m2

a = −(mc + md)2

⇔ E =(mc + md)

2 − (m2a + m2

b)

2mb.

Koska E on kiihdytetyn hiukkasen kokonaisenergia, jaE = T + ma, saadaan laboratoriokoordinaatistossa O liik-kuvan hiukkasen kineettiseksi energiaksi

T =(mc + md)

2 − (m2a + m2

b)

2mb− ma

(mc + md)2 − (ma + mb)

2

2mb. (69)

40

Huomaa, etta yhtalossa (69) osoittajassa termi (mc +md)

2 vastaa tytarhiukkasia ja termi (ma + mb)2 alku-

peraisten hiukkasten osuutta.Jos alkuperaisten hiukkasten lepomassojen summa on

suurempi kuin tytarhiukkasten lepomassojen summa (ma+mb > mc + md), reaktio voi tapahtua milla tahansa kiih-dytysenergialla.

Toisaalta, jos alkuperaisten hiukkasten lepomassojensumma on pienempi kuin tytarhiukkasten lepomassojensumma (ma + mb < mc + md), tarvitaan vahintaan lause-ketta (69) vastaava maara kineettista energiaa reaktion to-teutumiseksi.

41