Jednostavne nelinearne zavisnostiavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2020/glava3.4.pdf · to se maksimalni inflacioni prihod ostvaruje pri nižim stopama inflacije. e e, 0 ln

Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd,2020 1

1

• Jednostavne nelinearne zavisnosti

2

Uvod

• Primena metoda ONK zahteva da modelbude linearan, što znači da parametri

modela figurišu na linearan način (0 i ).Model ne mora da bude linearan po

promenljivima (Y i X).

• Postoje jednostavne nelinearne forme kojesu od interesa u ekonomskim analizama, a

koje se jednostavnim transformacijama

mogu prevesti na linearne.

1

2



3

Jednostavne nelinearne zavisnosti

• Dvojno-logaritamski model (log-log model)

• Eksponencijalni model (log-lin model)

• Inverzni model

• Polu-logaritamski model (lin-log model)

• Za svaki od modela:

▫ Forma i grafički prikaz

▫ Interpretacija parametra

▫ Kako se dobijaju ocene marginalne

zavisnosti i elastičnosti?

4

Dvojno-logaritamski model: forma

+=

+=

+=

=

i*

i

X

io

Y

i

ioi

ioi

X Y

XlnlnYln

XlnlnYln

XY

i*

i

0

0

3

4



5

Dvojno-logaritamski model: interpretacija

1

(procentualna) promena Y

relativna (procentualna) promena X

i o i

i o i io i

i i i

i i i i

i i i i

Y X

dY X YX

dX X X

dY X dY / Y

dX Y dX / X

relativna

−

=

= = =

= =

=

6

Dvojno-logaritamski model: interpretacija II

Y: 16, 18, 23, 18, 26, 30, 36

X: 10, 9, 6, 9, 5, 4, 3

Y – tražnja, X - cena

β je proporcionalna promena Y

(%) koja je rezultat

proporcionalne promene X (%).

Ako se X promeni za 1% ,Y će

se promeniti za β%.

β je elastičnost Y u odnosu na

X.

Ocena: -0.65, cenovna

elastičnost tražnje

5

6



7

Jednostavni linearni model i log-log model na datom

primeru: prilagodjene funkcije

12

16

20

24

28

32

36

40

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cena

tra

zn

ja

12

16

20

24

28

32

36

40

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cena

tra

zn

ja

8

Dvojno-logaritamski model: grafički prikaz

7

8



Intepretacija parametra nagiba

u linearnom i log-log modelu

Model Forma Parametarmarginalne zavisnosti

Parametar elastičnosti

Linearni Konstantan

Log-log model

Konstantanii o iY X e

=

iii XY ++= 0

i idY dX ( )i

i i

i

XdY dX

Y

Intepretacija parametra nagiba

u linearnom i log-log modelu II



Linearni Konstantan Promenljiv

Log-log model

Promenljiv Konstantani

i o iY X e=

iii XY ++= 0

ii X/Y

ii Y/X

i idY dX( ) ii i

i

XdY dX

Y

9

10



Rezultati ocenjivanja za polazne podatke

ii*

i XlnYln ++= 0

iii XY ++= 0 5692.−

5716857236510

3642

./..

.X/Y

−

−= 6510.−

8572357165692

7080

./..

.Y/X

−

−=

Model Ocena parametra

margin. zavisnosti

Ocena parametra elastičnosti

13

Eksponencijalni model

Logaritamsko-linearni model: forma

i*

oi

io

Y

i

ioi

Xoi

XY

XlnYln

XlnYln

eY

*oi

i

+=

+=

+=

=

11

13



14

Logaritamsko-linearni model: interpretacija

(procentualna) promena Y

apsolutna promena X

i o i

i

i

i i

i

lnY X

d lnY

dX

dY / Y

dX

relativna

= +

=

=

=

15

Logaritamsko-linearni model: interpretacija II

Ako se X promeni za 1 jedinicu, Y se

promeni za procentualni iznos od 100.

Parametar nagiba je polu-elastičnost.

Značajna primena

Modeli u kojima X uzima vrednosti 1,2,....

14

15



16

Logaritamsko-linearni model: interpretacija III

• Modeli vremenskih serija

Ako je X linearni trend (1,2,...), a Y

ekonomska veličina merena recimo na

godišnjem nivou, onda je 100 godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.

• Modeli podataka preseka

Jednačina plata kojom se plate (Y) opisuju u

funkciji od godina školovanja (X): 100označava rast plata koji je rezultat dodatne

godine obrazovanja.

17

Logaritamsko-linearni model: grafički prikaz

16

17



18

Logaritamsko-linearni model: interpretacija III

Ako je X linearni trend (t=1,2,...), a Y ekonomska veličina

merena na godišnjem nivou, onda je 100 godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.

=−

=−

−+=

=+=

−

−

−

−

1

1

1

01

0

1

t

tt

rasta stope ijaaproksimac

tt

*t

*t

Y

YY

YlnYln

)t(Yln

1,2,...t ,tYln

19

Logaritamsko-linearni model: primer• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2008:4 ocenjen je

sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:

• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 1.54%

ln 13.14 0.0154 .tBDP t rezidual= + +

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

13.0

13.2

13.4

13.6

13.8

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Reziduali

Stvarno kretanje

Modelom ocenjeno kretanje

18

19



20

Logaritamsko-linearni model: primer I• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2017:3 ocenjen je

sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:

• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 0.62%, ali je rezultat nepouzdan zbog nehomogenosti perioda.

ln 13.27 0.0062tBDP t rezidual= + +

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

13.0

13.2

13.4

13.6

13.8

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17

Reziduali

Stvarno kretanje

Modelom ocenjeno kretanje

21

Logaritamsko-linearni model:

Kaganova funkcija tražnje za novcem

• Ovo je elementarni model tražnje za novcem u uslovima visoke inflacije i hiperinflacije

• Što je vrednost polu-elastičnosti veća:

▫ to je tražnja za novcem osetljivija na dalje ubrzavanje inflacije

▫ to se maksimalni inflacioni prihod ostvaruje pri nižim stopama inflacije.

( ) ( ) e

e

, 0

ln ln -

mr traznja za novcem,

očekivana inflacija

polu-elastičnost tražnje za novcem

1 NIVO INFLACIJE PRI

KOJOJ SE MAKSIMIZIRA

PRIHOD OD EMISIJE

NOVCA; TO JE MAKSIMUM

e

o

o

mr e

mr

−=

=

−

−

→

→

LAFEROVE KRIVE

20

21



22


Kaganova funkcija tražnje za novcem II

• Petrović and Mladenović (2000), Journal of Money, Credit and Banking Modifikacija za uslove hiperinflacije

▫ Umesto stope inflacije koristi se stopa deprecijacije deviznog kursa

▫ Tražnja za novcem, koja se obrazuje kao količnik novčane mase i indeksa cena, formira se uz upotrebu deviznog kursa umesto cena

▫ Model ovog tipa bolje objašnjava uslove hiperinflacije u Srbiji od klasičnog Kaganovog modela na osnovu mesečnih podataka u periodu 1991:1-1994:1.

• Mladenović and Petrović (2010), Journal of International Money and Finance

▫ Ocena modela prema dnevnim podacima za period ekstremne hiperinflacije u Srbiji pokazala je da je hiperinflacija trajala relativno dugo zato što je država ubirala rastuće prihode od emisije novca za dugi period vremena.

23


Kaganova funkcija tražnje za novcem III

• Podaci iz Mladenović and Petrović (2010)

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

1993

Realni novac (log)

-40

0

40

80

120

160

M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

1993

Dnevna promena deviznog kursa (u %)

22

23



24

Inverzni model: forma

1

i

i o

i

i o

i

X

i o i

YX

YX

Y X

= +

= +

= +

25

Inverzni model: interpretacija

Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0 po jedinici X.

Postoji asimetrična reakcija Y u

zavisnosti od nivoa X.

Pri nižim vrednostima X,

njegova procentualna promena

dovodi do oštrije reakcije Y,

nego kada se pri višim

vrednostima X menja.

2

i o

i

i

i i

ii

i i

YX

dY

dX X

dXdY

X X

= +

= −

= −

24

25



26

Inverzni model: grafički prikaz

2

za 0

za 0

i

i i

f jadY

dX X f ja

− = −

−

27

Inverzni model: primeri

Levi grafik: Engelova kriva potrošnje

(Y – potrošnja određenog proizvoda, X – dohodak) Ispod izvesnog nivoa dohotka potrošnja nije moguća. Postoji saturacioni nivo potrošnje: nezavisno od nivoa dohotka

potrošnja se ne ostvaruje iznad gornjeg praga.

Desni grafik: Filipsova kriva

(Y – stopa rasta plata, X –stopa nezaposlenosti ) Postoji asimetrična reakcija plata na promenu nezaposlenosti

na različitim nivoima nezaposlenosti. Ako je nivo nezaposlenosti ispod prirodne stope (presek krive

sa x-osom), tada jedinična promena nezaposlenosti dovodi do snažnije reakcije plata nego kada je nezaposlenost iznad prirodnog nivoa (X veće od tačke preseka krive sa x-osom).

26

27



28

Polu-logaritamski model

Linearno-logaritamski model: forma

ln

ln

i

i o i

i o i

X

i o i

Y X

Y X

Y X

= +

= +

= +

29

Linearno-logaritamski model: interpretacija

apsolutna promena Y

relativna (procentualna) promena X

i i

i

i

i i

i i i

i

i i

Y o ln X

dY

d ln X

dY dY

d ln X dX / X

dY

dX X

= +

=

= =

=

=

28

29



30

Linearno-logaritamski model: interpretacija

Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0 jedinica.

Ako je parametar nagiba pozitivan, tada Ysporije raste od rasta X.

Tražnja za trajnim potrošnim dobrima

Profit u zavisnosti od uloženog kapitala

31

Linearno-logaritamski model: grafički prikaz

za 0

za 0

i

i i

f jadY

dX X f ja

− =

−

30

31



Rezime upotrebe modela IModel Forma Parametar

marginalne zavisnosti


Linearni Konstantan Promenljiv

Log-log model

Promenljiv Konstantan

Log-linmodel

Promenljiv Promenljiv

ii*

oi XlnYln ++=

iii XY ++= 0

i idY dX ( ) ii ii

XdY dX

Y

ii X/Y

ii Y/X

ii*

oi XYln ++= iY iX

Rezime upotrebe modela II



Inverzni model


Lin-log model


i idY dX ( )i

i i

i

XdY dX

Y

iX/ iY/lni o i iY X = + +

i o i

i

YX

= + + 2

iX/− iiYX/−

32

33

Documents

Jednostavne nelinearne zavisnostiavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2020/glava3.4.pdf · to se maksimalni inflacioni prihod ostvaruje pri nižim stopama inflacije. e e, 0 ln