16
2/18/2017 Profesor Zorica Mladenović Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi ekonometrije, 2017. 1 ELEMENTARNI POJMOVI TEORIJE VEROVATNOĆA I STATISTIKE 1 Zorica Mladenović, profesor [email protected] , http://avs.ekof.bg.ac.rs Struktura Slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće ▫Prekidna ▫Neprekidna Očekivana vrednost i varijansa Linearna transformacija slučajne promenljive Važne teorijske raspodele ▫Normalna raspodela 2

Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 1

ELEMENTARNI POJMOVI TEORIJE VEROVATNOĆA I STATISTIKE

1

Zorica Mladenović, profesor

[email protected],

http://avs.ekof.bg.ac.rs

Struktura• Slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće

Prekidna

Neprekidna

• Očekivana vrednost i varijansa

• Linearna transformacija slučajne promenljive

• Važne teorijske raspodele

Normalna raspodela

2

Page 2: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 2

Slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće• Polazni pojam teorije verovatnoće: prostor elementarnih

događaja• To je skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta• Primeri:

1. Novčić se baca jednom:

2. Novčić se baca dva puta:

3. Kocka za igru se baca jednom:

4. Kocka za igru se baca dva puta:

3

=

66,65,64,63,62,61

,56,55,54,53,52,51

,46,45,44,43,42,41

,36,35,34,33,32,31

,26,25,24,23,22,21

,16,15,14,13,12,11

Ω

ΓΠΩ ,=

ΓΓΓΠΠΓΠΠΩ ,,,=

6,5,4,3,2,1=Ω

Prekidna slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće• Slučajna promenljiva: funkcija kojom se prostor

elementarnih događaja preslikava u skup realnih brojeva.

• Na skupu sa konačno mnogo elemenata definiše se prekidna slučajna promenljiva.

• Primer 1: Novčić se baca tri puta

Neka je X slučajna promenljiva koja pokazujebroj pojavljivanja pisma u sva tri bacanja:

4

ΓΓΓΓΓΠΓΠΓΓΠΠΠΓΓΠΓΠΠΠΓΠΠΠΩ ,,,,,,,=

81

83

83

81

3210:X

Page 3: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 3

Prekidna slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće II

• Parovi vrednosti: (0, 1/8), (1, 3/8), (2, 3/8) i (3, 1/8) predstavljaju raspodelu verovatnoće slučajne promenljive X.

• Grafički prikaz raspodele: histogram

5

.10

.15

.20

.25

.30

.35

.40

0 1 2 3

p

Prekidna slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće III• Primer 2:

Kocka za igru se baca dva puta

Neka je X slučajna promenljiva koja pokazuje zbir dobijenih brojeva iz oba bacanja

6

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

2:X

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

Page 4: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 4

Prekidna slučajna promenljiva i raspodela verovatnoće IV

Opšta definicija

Određena je raspodela verovatnoće prekidne slučajne promenljive X ako su poznate moguće konkretne vrednosti: x1, x2,..., xm i njihove verovatnoće: p1, p2,..., pm.

7

.1p...pp.2

.0,p...,p,p.1

Uslovi

p...pp

x...xx:X

m21

m21

m21

m21

=+++

Očekivana vrednost i varijansa prekidne slučajne promenljive - osnovna numerička obeležja raspodele

• Očekivana vrednost: broj oko koga se grupišu vrednosti slučajne promenljive

• Varijansa: broj kojim se meri prosek kvadrata odstupanja pojedinačnih vrednosti od očekivane vrednosti

• Kvadratni koren iz varijanse: standardno odstupanje (devijacija).

8

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) .pXEx...pXEx

XEXEXv

m2

m12

1

2

−++−=

−=

( ) .px...pxpxXE mm2211 +++=

Page 5: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 5

Očekivana vrednost i varijansa prekidne slučajne promenljive – primer 1

9

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

.87.0)X(

75.0

5.135.125.115.10

pXEx...pXEx)X(Xv

.5.1

3210

pxpxpxpxXE

3210:X

812

832

832

812

42

412

12

81

83

83

81

44332211

81

83

83

81

==

=

−+−+−+−=

−++−==

=

⋅+⋅+⋅+⋅=

+++=

0.75

σ

σ

Očekivana vrednost i varijansa prekidne slučajne promenljive – primer 2

10

( )

( )

( )

.42.2)X(

.8333.5498333.54)X(E)X(EXv

8333.54

144121...94

px...pxpxXE

7

1211...32

px...pxpxXE

:X

22

361

362

362

361

112112

221

21

2

361

362

362

361

11112211

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

==

=−=−=

=

⋅+⋅++⋅+⋅=

+++=

=

⋅+⋅++⋅+⋅=

+++=

5.8333

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

σ

Page 6: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 6

Linearna transformacija slučajne promenljive

Neka je:

Tada je:

Važna posledica:

Sa z označena je standardizovana slučajna promenljiva

11

)X(v),X(E,datoX −

)X(v)X(v

)X(E)Y(E

.const,,XY

2

0

00

α

αα

αααα

=

+=

=+=

=

=⇒

−=

−=

==

.1)z(v

,0)z(EX

)X(v

Xz

,)X(E,X2

v(X)

σ

µµ

σµ

Primer 1.1

Definiše se igra sa sledećim pravilima:

• Početni ulog: 2 dolara

• Novčić se baca tri puta i prebrojava se broj pojavljivanja pisma u tri bacanja (X)

• Dobitak se određuje u dolarskom iznosu X2-X

• Koliki je očekivani ukupni dobitak?

12

Page 7: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 7

Primer 1.1

13

X 0 1 2 3

p 1/8 3/8 3/8 1/8

Slučajna promenljiva ukupnog dobitka:

Y=(X2-X)-2 -2 -2 0 4

p 1/8 3/8 3/8 1/8

Očekivani ukupni dobitak je u stvari gubitak:

(1/8)*(-2-6+4)=-0.5.

Vežba 1

14

X 2 3 4 5 6 7

p 2/30 5/30 8/30 8/30 5/30 2/30

Data je raspodela verovatnoće prekidne slučajne promenljive:

a) Prikazati grafički raspodelu verovatnoće slučajne promenljive X.

b)

c)

d)

?)X(P =≤ 4

?)X(v?,)X(E ==

?)X(v?,)X(E =−=− 3232

Page 8: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 8

Neprekidna slučajna promenljiva i funkcija gustine

• Definiše se na skupu sa beskonačno mnogo elemenata iz poznatog intervala.

• Primer 3: Eksperiment: posmatramo kretanje kazaljki na satu. Slučajna promenljiva: vreme koje pokazuju kazaljke

kada se zaustave na slučaj. Interval mogućih vrednosti: (0, 12). Verovatnoća da će kazaljke pokazati vreme 3:25:36 je

nula. Verovatnoća da će kazaljke pokazati vreme u intervalu

3:00 -4:00 je 1/12.

15

Neprekidna slučajna promenljiva i funkcija gustine II

• Raspodela verovatnoće neprekidne slučajne promenljive naziva se funkcija gustine, f(x).

• Grafički prikaz iz primera 3:

Poruka: kod neprekidne slučajne promenljive ima smisla govoriti o verovatnoći u intervalu, što je površina ispod krive u datim granicama intervala.

16

Page 9: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 9

Neprekidna slučajna promenljiva i funkcija gustine III

Opšta definicija Neka je neprekidna slučajna promenljiva X definisana na intervalu (a,b). Raspodela verovatnoće X naziva se funkcija gustine, f(x), i definiše se na sledeći način:

Pri tome: 1. f(x) ne uzima negativne vrednosti i 2. ukupna površina ispod krive f(x) u granicama

definisanja slučajne promenljive je jedan.

17

( ) bxa,dx)x(fdxxXxP ≤≤=+≤<

Neprekidna slučajna promenljiva i funkcija gustine IV

Grafički prikaz:

Očekivana vrednost i varijansa kod neprekidne slučajne promenljive:

18

( )

( ) ( )( )∫

−=

=

b

a

b

a

dxxEx)x(fXv

xdx)x(fXE

2

Page 10: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 10

Važne neprekidne raspodele

• Ravnomerna (uniformna) raspodela

• Normalna raspodela

• Hi-kvadrat raspodela

• t – raspodela

• F – raspodela.

19

Ravnomerna raspodela • Slučajna promenljiva X uzima sve vrednosti u

intervalu [a,b], a<b.• Funkcija gustine ravnomerne raspodele:

• Primer 3. je specijalni slučaj ove raspodele za a=0 i b=12.

20

( )122

1

2ab

)X(v ,ba

)X(E

,ab

)x(f

−=

+=

−=

Page 11: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 11

Normalna raspodela • Slučajna promenljiva X uzima sve vrednosti na

realnoj pravoj.

• Oznaka:

• Raspodela je u potpunosti određena parametrima očekivane (srednje) vrednosti i varijanse.

• Alternativni naziv: Gausova raspodela

21

( )222

2

XE)X(v

)X(E

),(N:X

µσσ

µµ

σµ

−==−

=−

varijansa,

vrednost, srednja

Normalna raspodela II

• Funkcija gustine normalne raspodele:

22

2

2

2

1

2

1

σµ

πσ

σ

µ

==

=

−−

)X(v ,)X(E

e)x(f

x

Page 12: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 12

Funkcija gustine normalne raspodele: grafički prikaz

23

Normalna raspodela u poznatoj formi

24

Page 13: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 13

Značaj normalne raspodele• Mnoge pojave u prirodi i društvu poseduju

normalnu raspodelu (visina pojedinaca, koeficijent inteligencije, itd.).

• Mnoge teorijske raspodele se definišu prema normalnoj raspodeli i poprimaju njena svojstva pod određenim uslovima.

• Relevantnost primene zasniva se na rezultatu centralne granične teoreme: zbirno dejstvo (prosek) velikog broja nezavisnih slučajnih faktora poseduje normalnu raspodelu (opisna definicija).

25

Standardizovana normalna raspodela

• Oznaka z:

• Kada od slučajne promenljive X oduzmemo srednju vrednost i razliku podelimo sa standardnom devijacijom tada dobijamo novu slučajnu promenljivu z, čija je srednja vrednost 0, i varijansa 1.

• Ukoliko je polazna raspodela normalna, onda se ona postupkom standardizacije sl. promenljivene menja.

26

==⇒

−= .1)z(v,0)z(E

)1,0(N:zX

z

),(N:X2

σ

µ

σµ

Page 14: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 14

Standardizovana normalna raspodela II

( )( )( ) 99033

95022

6801

2

12

2

.zP

.zP

.1zP

e)z(f

z

≈≤≤−

≈≤≤−

≈≤≤−

=−

π

27

Standardizovana normalna raspodela na osnovu generisanih podataka: Primer iz programskog paketa EVIEWS I

• Generisani podaci: z

• Uzorak: 1000

• Ocena sred.vrednosti: -0.0218

• Maksimalna vrednost: 3.0813

• Minimalna vrednost: -3.1151

• Ocena stand. devijacije: 1.0145

28

Page 15: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 15

Standardizovana normalna raspodela na osnovu generisanih podataka: Primer iz programskog paketa EVIEWS II

29

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Graficki prikaz z

Standardizovana normalna raspodela na osnovu generisanih podataka: Primer iz programskog paketa EVIEWS III

30

0

20

40

60

80

100

120

-3 -2 -1 0 1 2 3

Histogram podataka

Page 16: Struktura - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/Glava1.pdfStandardizovana normalna raspodela • Oznaka z: • Kada od slučajne promenljive Xoduzmemo

2/18/2017Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, Osnovi

ekonometrije, 2017. 16

31

Podinterval Učestalost-3.250000 -3.000000 1.000000-3.000000 -2.750000 3.000000

-2.750000 -2.500000 2.000000-2.500000 -2.250000 5.000000-2.250000 -2.000000 13.00000-2.000000 -1.750000 17.00000

-1.750000 -1.500000 36.00000-1.500000 -1.250000 43.00000-1.250000 -1.000000 56.00000-1.000000 -0.750000 63.00000-0.750000 -0.500000 81.00000

-0.500000 -0.250000 88.00000-0.250000 0.000000 89.00000 0.000000 0.250000 98.00000 0.250000 0.500000 104.0000

0.500000 0.750000 78.00000 0.750000 1.000000 75.00000 1.000000 1.250000 44.00000 1.250000 1.500000 41.00000

1.500000 1.750000 24.00000 1.750000 2.000000 11.00000 2.000000 2.250000 16.00000 2.250000 2.500000 4.000000 2.500000 2.750000 3.000000

2.750000 3.000000 4.000000 3.000000 3.250000 1.000000

Standardizovana normalna raspodela na osnovu generisanih podataka: Van intervala (-2,2) je oko 5% (50) podataka

32

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-2<z<2 sa ukljucenim znakom jednakosti z>2 i z<-2