JEDAN REKURZIVNI ALGORITAM ZA HARMONIJSKU ANALIZU

Miodrag Kušljević, Termoelektro Enel AD, Beograd

Josif Tomić, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad

Vladimir Vujičić, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad

Sadržaj – U radu je prikazana jedna rekurzivna metoda za merenje amplitude i faze osnovnog i viših harmonika napona i/ili struje elektroenergetske mreže. Korišćena je efikasna metoda za on-line implementaciju digitalnih filtera sinusoidalnog signala bazirana na paralelnoj strukturi rezonatora sa zajedničkom povratnom vezom. Predloženi algoritam je pogodan za primene u realnom vremenu. U cilju procene performansi algoritma izvršene su računarske simulacije i eksperimentalna merenja i dati njihovi rezultati.

1. UVOD

Sa razvojem industrije energetska elektronika zauzima sve širu primenu u energetskim sistemima. Nelinearne karakteristike ovakvih uređaja vrše ozbiljno zagađenje

harmonicima. Zbog svega toga harmonijska analiza predstavlja veoma bitan alat za monitoring i upravljanje elektroenergetskim mrežama. Merenje harmonika je bitno za procenu kvaliteta električne energije. U cilju automatske procene parametara razvijene su mnoge metode i uređaji. Razvijaju se novi digitalni instrumenti za merenje pokazatelja kvaliteta električne energije, a već se mogu kupiti i uređaji za njihovu automatsku procenu.

Pored toga što su harmonici pojava stacionarne prirode, u praksi se merenje nekada treba vršiti u dinamičkim uslovima. Dobre metode za merenje parametara treba da daju precizna merenja u prisustvu izobličenja i šuma, kao i da prate relativno brze promene frekvencije. U nekim slučajevima, u prisustvu fluktuacije harmonika, merni algritam treba da je dovoljno brz da meri spektar trenutno, tako da se harmonijski sadržaj može detektovati sa promenom signala [1,2]. Primer je upravljanje aktivnim filterima za suzbijanje harmonika ili monitoring fluktuacije harmonika kod frekventnih regulatora, [3].

U literaturi je prisutno nekoliko algoritama za harmonijsku analizu. Diskretna Fourierova transformacija (DFT) je algoritam koji se sastoji od dva digitalna filtera koji eliminišu neželjene harmonike i obezbeđuju odgovarajući fazni pomak harmonika koji se meri. Izlazi iz filtera se dodatno obrađuju, čime se na izlazu dobijaju amplituda i faza u diskretizovanim tačkama frekvencije. Brza Furijerova transformacija (Fast Fourier Transform - FFT) je numerčki efikasan algoritam za računanje DFT i najčešće je korišćen algoritam za harmonijsku analizu. Međutim, FFT ima i lošu osobinu da zahteva sinhronizaciju frekvencije uzorkovanja sa frekvencijom signala. U slučajevima kada taj uslov nije ispunjen javljaju se efekti alijasinga (aliasing effect), curenja (leakage effect) i rastera (picket-fence effect). U literaturi su prisutne razne metode za korekciju ovih nedostataka [4,5].

Pored nedostataka koji se odnose na potrebu sinhronizacije frekvencije sempliranja sa frekvencijom signala, FFT ima nedostatke koji su prouzrokovani blokovskom implementacijom. Naime, FFT obrađuje kompletan blok podataka i ne može dati rezultate za momente vremena unutar prozora. Ako se obrada vrši u tzv. slajd modu, tj. FFT se uzastopno primenjuje na prozore pomaknute za jedan korak, potrebno je mnogo više računanja. Obim

računanja koji je potreban za dobijanje N/2 Fourierovih koeficijenata od prozora od N uzoraka proporcionalan je

Nlog2(N). Kod obrade u slajd modu, gde se FFT uzastopno primenjuje na poslednjih N-1 uzoraka iz prethodnog prozora i najnoviji uzorak ulaznog signala, proporcionalan je N

2log2(N). U radovima [6-8] je primenjena metoda FIR filtriranja

koja izbegava probleme vezane za sinhronizaciju frekvencije uzorkovanja sa frekvencijom signala. Međutim, obim potrebnih računanja potrebnih za procenu N/2 koeficijenta u prozoru od N uzoraka proporcionalan je sa N

3.

U ovom radu je primenjen rekurzivni algoritam za računanje fazora (amplitude i faze) harmonika koji se odlikuje manjim zahtevima za računarskim resursima. Algoritam se bazira na ne tako davno uvedenoj opštoj formi za rekurzivne diskretne transformacije sa namerom da se njom realizuju FIR i IIR prenosne funkcije filtera kako bi se izbegli nedostaci gore navedenih algoritama. Struktura se sastoji od digitalnih rezonatora u paralelnoj vezi, sa zajedničkom povratnom vezom. Obim potrebnih računanja je znatno smanjen tako da je za procenu N/2 koeficijenta u prozoru od N uzoraka proporcionalan sa N

2.

2. FILTRIRANJE HARMONIKA

2.1 FIR filtriranje harmonika

U mernim uređajima filteri se koriste za minimizaciju uticaja šuma i eliminisanje neželjenih harmonika prisutnih u ulaznom signalu. Pored toga, veći broj algoritama koristi ortogonalne komponente signala dobijene pomoću dva ortogonalna FIR filtera. Frekventna karakteristika filtera treba da ima nule za frekvencije neželjenih harmonika i jedinično pojačanje za frekvenciju harmonika koji se meri. Kaskadna struktura je posebno pogodna za implementaciju FIR filtera. U [6-8] je primenjena pogodna metoda računanja koe-ficijenata filtera tokom merenja frekvencije. Metoda se u osnovi sastoji od sinteze FIR podsekcija drugog reda koje trebaju da eliminišu DC komponentu i neželjene više harmonike i koje imaju jedinično pojačanje za željeni harmonik. Kompletan filter za jedan harmonik je realizovan kao kaskada ovih podsekcija, a algoritam za harmonijsku analizu bazira se na paralelnoj strukturi ovih filtera (Sl.1.).

Sl. 1. Blok dijagram algoritma za estimaciju harmonika

2

Podsekcija FIR filtera koja eliminiše DC komponentu i

frekvenciju 2

Sω i ima jedinično pojačanje za frekvenciju m-

tog harmonika (frekvenciju 1ωω mm = ) ima sledeći oblik:

( )2

2

0

1

1−

−

−

−=

m

m

z

zzH (1)

gde je ( )tmzm ∆=−−

1

2sin21 ω , Sf

fj

ezπ21 −− = ,

fπω 2= , fs je frekvencija uzorkovanja,

Sft

1=∆ , i

Sf

mfj

m ez121 π−− = , 11 2 fπω = , f1 je osnovna frekvencija

(frekvencija osnovnog harmonika).

Podsekcija drugog reda koja eliminiše harmonik i

(frekvenciju 1ωω ii = ) i ima jedinično pojačanje za

harmonik m (frekvenciju 1ωω mm = ) ima sledeći oblik

( )( )

( ) 21

21

cos21

cos21−−

−−

+∆−

+∆−=

mmi

i

im

zzt

zztzH

ω

ω (2)

gde je

( ) ( ) ( )titmzzt mmi ∆−∆=+∆−−−

11

21coscos2cos21 ωωω ,

i=1,2,3,…, M i služi da obezbedi jedinično pojačanje za m-ti

harmonik. ( )1

, 12SfMf

Mω π

=

< je jednak broju podsekcija

u kaskadi.

Prenosna funkcija kompletnog filtera koji eliminiše sve

harmonike izuzev m-tog harmonika data je na sledeći način

( ) ( ) ( )0

1

M

m m im

ii m

H z H z H z=≠

= ∏ . (3)

Očigledno je da se koeficijenti jednostavno računaju ako je

poznata osnovna frekvencija signala 1ω .

Zahvaljujući kaskadnoj strukturi, filter (3) je pogodan za

realizaciju različitih varijanti dodavanjem ili izostavljanjem

pojedinih podsekcija.

Frekventne karakteristike filtera za m=1 i za različite

osnovne frekvencije uz frekvenciju sempliranja fs = 600 Hz

(12 uzoraka po periodi T0=1/50=0.02s) prikazane su na Sl. 2.

Ovakva filterska struktura, zbog velikih zahteva za

računarskim resursima, realno zadovoljava potrebe off-line

aplikacija. Korišćenjem paralelnih računarskih algoritama

mogli bi se zadovoljiti zahtevi on-line aplikacija, čime bi

algoritam postao znatno praktičniji.

Sl. 2. Frekventne karakteristike filtera za m=1 i za različite

osnovne frekvencije

2.2. Filteri bazirani na strukturi frekvencijskih uzoraka

Numerički efikasna struktura za implemetaciju prenosne

funkcije (3) može se dobiti primenom Lagrangeove

interpolacione formule, [9]:

( ) ( ) 11

mm W

m

AH z H z

z z−

=−

(4)

gde je

( ) ( )11M

W n

n M

H z z z−

=−

= −∏ (5)

takozvani filter beljenja (odbacuje sve harmonike), [10] i

( )1

1

1m M

n m

n Mn m

A

z z−

=−≠

=

−∏. (6)

Realizacija (4) je pogodna za implementaciju zbog toga

što je filter ( )zHW zajednički kod realizacije filtera za sve

harmonike, tako da ga je potrebno primeniti samo jednom u

svakoj iteraciji, čime se znatno smanjuje obim numeričkog

računanja.

Set {zn}, M n M− ≤ ≤ čini 2M+1 odabranih tačaka u z

ravni za koje z transformacija daje jediničnu vrednost u tački

zm, dok u ostalim tačkama daje vrednost nula. Rezultujuća

struktura (4) sastoji se od kaskade 2M+1 podsekcija prvog

reda (koje imaju nule u z=zn, n=-M,..,0,…,M) u kaskadi sa

podsekcijom prvog reda koja ima pol u z=zm.

Struktura se naziva struktura frekvencijskih uzoraka zbog

toga što su njeni osnovni koeficijenti ( ){ }nH z vrednosti

frekvencijskog odziva filtera ( )[ ]ωjeH uzorkovane u tačkama

raspoređenim po jediničnoj kružnici.

Struktura frekvencijskih uzoraka ima nedostatak koji se

odnosi na aritmetiku sa fiksnim zarezom (ograničenom

tačnošću). U tom slučaju, korišćenjem filtera (4) pol filtera

neće egzaktno poništiti odgovarajuću nulu. Zbog toga će

rezultujuća struktura imati i pol i nulu pa njen impulsni odziv

neće imati konačno trajanje.

2.3. Filteri bazirani na rezonatorima

Nedavno je za rekurzivne diskretne transformacije

preporučena opšta forma [11], pogodna za sve filterske

obrade signala. Do forme i njenih parametara se došlo na

osnovu formulacije u prostoru stanja i rezultata teorije

estimacije stanja sistema [12], dok njena primena na FIR i

IIR filtriranje proizilazi iz generalizacije metode

frekvencijskog uzorkovanja. Preporučena je forma koja se

bazira na modelu signala, koja se pokazala posebno

pogodnom za realizaciju DFT. Struktura nije ništa drugo do

estimator koji koristi model signala koji se meri, [11,12].

Blok dijagram strukture je prikazan na Sl. 3. Struktura je

bazirana na diskretnim rezonatorima sa zajedničkom

povratnom vezom. Zahvaljujući povratnoj vezi, struktura se

suštinski razlikuje od gore opisane strukture frekvencijskih

uzoraka.

3

U ovom radu ćemo se ograničiti na vremenski

nepromenljvu opštu formu (Sl. 3.). Zbog jednostavnosti

nećemo razmatrati slučaj rezonatora sa višestrukim polovima,

tako da ćemo u svakom kanalu paralelne struture imati

prenosnu funkciju:

( )1

11

mm

m

r zH z

z z

−

−=

−,

1 = - , ... , 0, ... , , m M M Mω π< . (7)

koja je obično funkcija kompleksnih koeficijenata i koja ima

pol na jediničnoj kružnici. Rezultujuća prenosna funkcija za

svaki kanal je

( )( )

( )1

m

m M

n

n M

H zT z

H z=−

=

+ ∑, = - , ... , 0, ... , m M M . (8)

Pretpostavljeno je da su polovi i nule realni brojevi ili da

se pojavljaju kao parovi konjugovano kompleksnih brojeva,

tj. m m

z z∗

−= .

Interesantno svojstvo ovakve strukture je da važi

( )1

0m n

za n mT z

za n m

==

≠

= - , ... , 0, ... , m M M , n = - , ... , 0, ... , M M (9)

iz čega se može zaključiti da je osetljivost prenosne funkcije

u z=zm, = - , ... , 0, ... , m M M , nula u odnosu na bilo koji

Hn(z) i zn ( = - , ... , 0, ... , n M M ) izuzev u slučaju n=m,

[13]. Ovo svojstvo je posledica beskonačnog pojačanja

povratne sprege u ovim frekvencijama, što omogućava

apsolutnu nezavisnost od koeficijenata unutar povratne petlje.

Veoma je bitno napomenuti da ova opšta forma sa povratnom

spregom omogućava idealan mehanizam za poništavanje pol-

nula. Polovi u (7), koji u opštem slučaju ne moraju obavezno

biti smešteni na jediničnoj kružnici, transformišu se pomoću

povratne veze u nule, koje automatski i idealno poništavaju

njihove „generatore“ u (8). To je razlog zašto primena

idealnih rezonatora ne prouzrokuje probleme prilikom

realizacije, pošto je svaki pol poništen nulom generisanom

zajedničkom povratnom spregom. To važi čak i u

slučajevima kada se pojave greške prilikom zaokruživanja,

[13].

Sl. 3. Blok dijagram rezonatorske strukture za filtriranje i estimaciju

Računanje parametara za ovakvu strukturu je krajnje

jednostavno. Ako su poznate pozicije rezonatora i ako su

{pn}, n=0,l, ... , N-1, polovi filtera tada su, [11]:

( )

( )

11

0

1

1

1

N

n m

nm m M

n m

n Mn m

p z

r z

z z

−−

=

−

=−≠

−

=

−

∏

∏

, = - , ... , 0, ... , m M M (10)

Za dead-beat observer parametri se mogu računati na

sledeći način:

( )11

mm M

n m

n Mn m

zr

z z−

=−≠

=

−∏, = - , ... , 0, ... , m M M (11)

Amplituda i faza harmonika m se računaju iz harmonijske

komponente na sledeći način:

( ) ( ) ( )2 2

Re ( ) Im ( )m m m

V k v k v k= + (12)

Im ( )( ) arctan

Re ( )m

mm

v kk

v kϕ = (13)

3. REZULTATI SIMULACIJA

Vremenski odziv opisanog algoritma za step promenu

amplitude osnovnog harmonika sa 1 na 0,9 p.u. prikazan je na

Sl. 4. U signalu je bio prisutan aditivni beli gausovski šum

nulte srednje vrednosti sa SNR=60dB. Fluktuacije merene

vrednosti oko tačne vrednosti su posledica prisustva šuma u

ulaznom signalu. Ako bi se htela postići bolja tačnost efekat

prisustva šuma bi se mogao umanjiti uvođenjem polova u

prenosnu funkciju rezonatorske strukture. Međutim, treba

naglasiti, da se to svodi na dodatno filtriranje ulaznog signala

koje dodatno produžava vreme odziva algoritma.

Sl. 4. Greške merenja amplitude za y(t)=sin(2πft) uz f=50Hz,

V1=1 p.u. za t<0s i V1=0.9 p.u. za t>0s , sa SNR=60 dB.

U drugom testu je analizirana osetljivost algoritma na

slučajan šum, prisutan u obrađivanom signalu. Obrađivanom

prostoperiodičnom signalu konstantne frekvencije u opsegu

30-70 Hz je dodavan aditivni šum, amplituda raspodeljenih

po Gausovoj raspodeli. Kao mera prisustva šuma u signalu

iskorišćen je odnos signal-šum SNR [dB]. Na Slici 5 su

prikazane maksimalne greške u proceni amplitude na

vremenskom intervalu od 5 sekundi u zavisnosti od SNR sa

fs=1600 Hz. S obzirom na relativno nizak nivo šuma u mreži,

između 50dB i 70dB, dobijene greške su u dozvoljenim

granicama.

4

Sl. 5. Maksimalne greške estimacije amplitude za signal sa šumom

4. REZULTATI EKSPERIMENATA

U ovom poglavlju su prikazani rezultati merenja

dobijeni pomoću realizovanog prototipnog mernog sistema. Na taj način je omogućena metrološka, eksperimentalna

provera rezultata dobijenih teorijski i simulacijom. Sistem se

bazira na PC platformi, akvizicionoj kartici NI PCI-6221 i

programskim paketima MATLAB i NI LabView. Programski

moduli razvijeni u MATLAB koji su korišćeni za računarske

simulacije su učitavani u programski paket NI LabView. Na taj način je znatno skraćeno vreme potrebno za evaluaciju metode. Ovakav koncept ima očigledne prednosti u smislu fleksibilnosti i kratkoće vremena implementacije, nasuprot veće inicijalne cene koštanja sistema. Rezultati procene (merenja) frekvencije i amplitude signala frekvencije 50 Hz, generisanog pomoću signal generatora HP3325A prikazani su na Sl. 6. Korišćena je frekvencija uzorkovanja fs=1600Hz. Slični rezultati dobijeni su u opsegu frekvencije 30-70Hz.

-0,10%

-0,08%

-0,06%

-0,04%

-0,02%

0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

t(s)

Amplitude Estimation Error

Sl. 6. Rezultati eksperimenata

5. ZAKLJUČAK

Predloženi algoritam za estimaciju fazora harmonika

koristi rekurzivnu strukturu filtera koja se bazira na

rezonatorima prvog reda sa zajedničkom povratnom vezom.

Struktura omogućava uštedu računarskih resursa i

memorijskog prostora. Metoda je jednostavna za

implementaciju i zahteva skromne računarske resurse, što je

čini pogodnom za primenu u realnom vremenu. Izvršene si-

mulacije i eksperimentalni rezultati su pokazali da predložena

metoda omogućava veoma precizno merenje amplituda sa

greškom 0.03% (uz SNR 60dB). Vreme konvergencije

algoritma iznosi jednu periodu signala, pa se metoda može

upotrebiti i za potrebe zaštite elektroenergetskih sistema.

Metoda nema nedostatke kao što su efekat curenja

(leakage effect) i efekat rastera (picket-fence effect) koji su

prisutni kod FFT metode. Takođe je manje izražen efekat

alijasinga (aliasing effect).

LITERATURA

[1] H. Gu, M. Bollen, “Time frequency and timescale domain analysis of voltage disturbances”, IEEE Transactions on

Power Delivery, Volume 15, No. 4, October 2000.

[2] I. Kamwa, R. Grondin and D. Mcnabb, “On-Line Tracking of Changing Harmonics in Stressed Power Systems: Application to Hydro-Quebec Network”, IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 11, No. 4, October 1996..

[3] G. Bucci, and C. Landi, “On-Line Digital Measurement for the Quality Analysis of Power Systems Under Nonsinusoidal

Conditions”, IEEE Transactions on Instrumentation and

Measurement, Vol. 48, No. 4, August 1999.

[4] M. Wang, Y. Sun, “A Practical, Precise Method for Frequency Tracking and Phasor Estimation”, IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 19, No. 4, pp. 1547-1552, October 2004.

[5] J-Z. Yang, C-.W. Liu, “A Precise Calculation of Power Syatem Frequency and Phasor”, IEEE Trans. on Power

Delivery, Vol. 15, No.2, pp. 494-499, April 2000.

[6] J-Z. Yang, C-S. Yu, C-W. Liu, “A New Method for Power Signal Harmonic Analysis”, IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 20, No. 2, pp. 1235-1239, April 2005.

[7] M.Kušljević, J. Tomić, “Jedan novi rekurzivni algoritam za merenje električnih veličina u elektroenergetskoj mreži”, Zbornik radova 50. Konferencije ETRAN, Beograd, jun 2006,

tom III, pp. 296-299.

[8] J. J. Tomić, M. D. Kušljević, V. V. Vujičić, “A New Power System Digital Harmonic Analyzer”, IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 22, No. 2, pp. 772-780, April 2007.

[9] L.R. Rabiner, B. Gold,: Theory and application of digital

signal processing, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

[10] A. Nehorai, B. Porat, “Adaptive comb filtering for harmonic signal enhancement”, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal

Processing, vol. ASSP-34, no. 5, pp. 1124–1138, October 1986.

[11] G. Peceli, “A common structure for recursive discrete transforms,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 33, pp. 1035–1036, Oct. 1986.

[12] G. H. Hostetter, “Recursive discrete Fourier Transformation”, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. ASSP-

28, pp. 183-190, Apr. 1980.

[13] G. Peceli, “Sensitivity Properties of Resonator-Based Digital Filters”, IEEE Trans. Circuits Syst., Vol. 35, No. 9, pp. 1195–1197, Sept. 1988.

Abstract – In this paper, a simple algorithm for harmonic

estimation with benefits in reduced complexity and computa-tional efforts estimation is prescribed. An implementation based on a recently introduced common structure for recur-

sive discrete transforms are contemplated as a implementa-

tion of FIR and IIR filter transfer functions in order to avoid above mentioned disadvantages. This structure consists of digital resonators in a feedback loop. To demonstrate the per-formance of the developed algorithm, computer simulated data records are processed. This technique provides accurate amplitudes estimates in one period and requires modest com-

putations. It has been found that the proposed algorithm is suitable for real–time applications.

A RECURSIVE HARMONIC ANALYSIS METHOD

Miodrag Kušljević, Josif Tomić, Vladimir Vujičić