5.5. ODZIV NA HARMONIJSKU UZBUDUODZIV NA HARMONIJSKU UZBUDU

Deterministička dinamička opterećenja mogu biti:a) Periodička (ponovljiva s višeciklusnom promjenom jedne amplitude)

- harmonijska- neharmonijska

b) Neperiodička- kratkotrajna impulsna djelovanja (udari, eksplozije)- dugotrajna (podrhtavanje tla usljed potresa).

Harmonijska opterećenja najčešća su u industrijskim i energetskim postrojenjima i uzrokuju harmonijske oscilacije dogod su strojevi u pogonu. Ove se vibracije sastoje od dvije komponente:- prolazna komponenta – “transient” (usljed početnih uvjeta s frekvencijom jednakom vlastitoj frekvenciji konstruktivnog sustava, brzo se prigušuju te se stoga često zanemaruju)- stalna komponenta – “steady-state” (pojavljuje se pri frekvenciji uzbudne sile te može dovesti do rezonancije ako se izjednači s vlastitom frekvencijom konstrukcije (može doći do velikih amplituda pomaka i rezultirati preopterećenjem i slomom sustava.

5.1 PRISILNI HARMONIJSKI ODZIV NEPRIGUŠENOG 5.1 PRISILNI HARMONIJSKI ODZIV NEPRIGUŠENOG SSUSTAVAUSTAVA

Harmonijske oscilacije javljaju se kod različitih konstruktivnih imehaničkih sustava usljed djelovanja:- alternirajućih i rotirajućih strojeva, motora i kompresora- turbina- radarskih uređaja.

Oblik harmonijske sile uzbude :

Jednadžba gibanja :

Rješenje :

X0 = F0/k - ekvivalentni statički progibr = Ω / ω - omjer frekvencijaµ din = 1/(1 - r2) - dinamički koeficijent prolazni dio trajni dio odziva

uvećanja (transient) (steady state)

( ) tFtF 0 Ω= sin

tm

Fxx 02 Ω=ω+ sin&&

( )( )

t1

kFtBtAtx

20 Ω

ωΩ−+ω+ω= sincossin

( ) ( )( )

t1

kFtXtx

20 Ω

ωΩ−+ϕ+ω= sinsin

( ) ( ) tr1

XtXtx

20 Ω

−+ϕ+ω= sinsin

F0 - amplituda sile W - kružna frekvencija

uzbudne sile

Moguće su tri vrste odziva :- r < 1 ⇒ Ω < ω : prirodna frekvencija prolaznog odziva je veća

od frekvencije trajnog odziva (vidi sliku);- r = 1 !r = 1 !- r > 1 ⇒ Ω > ω

Slika odziva

neprigušenog sustavas jednim stupnjem

slobode na

harmonijsku uzbudu

5.2 PULZIRANJE I REZONANC5.2 PULZIRANJE I REZONANCIJAIJAREZONANCIJAr = 1 : Ω = ω, µ ⇒ ∝

PULZIRANJEr ⇒ 1 : Ω ⇒ ωza početno stanje mirovanja :

gdje je

( ) tt2

Xtx 0 εΩ

εΩ

−= sincos

2

Ω−ω=ε

( ) ( ) tt2

XtXtx 0 ω

ω+ϕ+ω= sinsin

5.3 PRISILNE HARMONIJSKE VIBRACIJE S VISKOZNIM 5.3 PRISILNE HARMONIJSKE VIBRACIJE S VISKOZNIM PRIGUŠENJEMPRIGUŠENJEM

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )ψξ

ϕω

ψξ

ωω

ξω

ξω

−Ω+−

++=

−Ω+−

++=

Ω=++

−

−

trr

XtXetx

trr

XtBtAetx

tFkxxcxm

dt

ddt

sin21

sin

sin21

cossin

sin

222

0

222

0

0&&&

Odziv viskozno prigušenog sustavas jednim stupnjem slobode na harmonijsku uzbudu

5.5.44 UTJECAJ KOEFICIJENTA PRIGUŠENJA NA UTJECAJ KOEFICIJENTA PRIGUŠENJA NA USTALJENI ODZIVUSTALJENI ODZIV

Odnos koeficijenta dinamičkog uvećanja (DMF) i omjera frekvencija r za različite stupnjeve prigušenja

5.5.44 UTJECAJ KOEFICIJENTA PRIGUŠENJA NA UTJECAJ KOEFICIJENTA PRIGUŠENJA NA USTALJENI ODZIVUSTALJENI ODZIV

Odnos faznog kuta i omjera frekvencija za različite stupnjeve prigušenja

5.5.55 HARMONIJSKE OSCILACIJE USLJED ROTACIJE HARMONIJSKE OSCILACIJE USLJED ROTACIJE EKSCENTRIČNE MASEEKSCENTRIČNE MASE

5.5.55 HARMONIJSKE OSCILACIJE USLJED ROTACIJE HARMONIJSKE OSCILACIJE USLJED ROTACIJE EKSCENTRIČNE MASEEKSCENTRIČNE MASE

Trajni dio amplitude odziva SDOF sustava s ekscentričnom rotacijom

5.6 OSCILACIJE TEMELJA5.6 OSCILACIJE TEMELJA

( ) ( )

( )r2tgk

ctg

tckYkxxcxm

tYctkYkxxcxm

yckykxxcxm

11

22

ξ−=

Ω−=γ

γ−ΩΩ+=++

ΩΩ+Ω=+++=++

−−

sin

cossin

&&&

&&&

&&&&

( ) ( )( ) ( )

( )β−Ωξ+−

ξ+= t

r2r1

r21Ytx

222

2

sin

Trajni dio pomaka mase:

−ξ

=ψψ+γ=β −2

1

r1

r2tg ,

Xf

PRENOSIVOST (transmissibility)PRENOSIVOST (transmissibility)mjera gibanja koje se prenosi na masuusljed oscilacija temelja

( )( ) ( )222

2f

r2r1

r21

Y

XTr

ξ+−

ξ+==

5.7 IZOLACIJA VIBRACIJA I PRENOSIVOST5.7 IZOLACIJA VIBRACIJA I PRENOSIVOST

- izolacija sila i pomaka;- izolatori vibracija (prirodne frekvencije mnogo manje od

frekvencije uzbude koju izoliramo);

Sila koja se prenosi na temelje:

( ) ( )β−ΩΩ+=+= tckXxckxF 22fT sin&

( ) ( ) ( )( ) ( )222

22022

fT

r2r1

ckXckXF

ξ+−

Ω+=Ω+=max

( ) ( )( ) ( )

( )2din

222

2

0

T r21r2r1

r21

F

FTr ξ+µ=

ξ+−

ξ+== maxPrenosivost :

Izolacija vibracija može se postići samo u području r > √2, pri čemu sunajučinkovitiji apsorberi opruge s malim ili gotovo nikakvim prigušenjem.

5.7 IZOLACIJA VIBRACIJA I PRENOSIVOST5.7 IZOLACIJA VIBRACIJA I PRENOSIVOST

Prenosivost TRTR kao funkcija omjera frekvencija i prigušenja