Introduction à la dynamique chaotiqueLe pendule simple comme paradigme

Des systèmes simples, à nombre de degrés de liberté très limité, peuventdévelopper des comportements erratiques ou « chaotiques »

Même dans le cas de milieux continus, il est souvent possiblede décrire l’essentieldu mouvement à l’aide d’une dynamique « effective » portant sur un nombrelimité de modes.

Ceci justifie l’étude de systèmes élémentaires - les oscillateurs – dont l’exemple leplus typique est le pendule simple, sous différentes variantes :• libre, amorti ou non• entretenu (van der Pol)• paramétriqueLa description privilégiée est celle del’espace des phases(i.e. le plan position –vitesse en coordonnées généralisées)

Est paradigme ce que l’on montre à titre d’exemple, ce à quoi on se réfère comme à ce quiexemplifie une règle et peut donc servir de modèle. Un paradigme est l’objet « facile » surlequel on s’exerce avant de traiter d’un objet ressemblant au premier, mais plus difficile

Le pendule simple : quelques rappels

Oscillateur libre non amorti2

2

d gsin 0

ldt

θ + θ =

Simple mais non linéaire!L’énergie est conservée et définie (au facteur m près) par

( )2 20

0

1E( , ) 1 cos

2

g dE; 0

l dt

θ θ = θ + ω − θ

ω = =

ɺ ɺ

Il s’agit d’un système conservatif (invariance des équations par renversement temporel), à 2 degrés de liberté

Dans l’hypothèse des petits mouvements la solution sinusoïdale classique estsinθ θ∼

( )0 0

2 2 20

cos( t )

1E

2

θ = θ ω + ϕ

= θ + ω θɺ

Oscillateur libre amorti2

2

2

d d gsin 0

dt ldtdE

θ θ+ η + θ =

= −ηθɺ

oscillations isochrones

ηηηη>0 (frottement)Il pourra être intéressant de considérer aussi le casηηηη<0 (apport d’énergie par un mécanisme non précisé)

2dE

dt= −ηθɺ

Trajectoires dans le plan de phase

Sans amortissement :courbes fermées autour de l’origine si l’énergie initiale est petite;sinon le pendule a un mouvement de rotation autour de son point d’attache. Les courbeslimites sont appelées séparatrices.Avec amortissement (ηηηη>0) toutes les trajectoires aboutissent à l’origine (forme enspirale pour un amortissement faible au voisinage de l’origine).Ceci traduit une propriété de stabilité de l’origine qui est asymptotiquement stable(voirplus loin)

L’oscillateur libre : boussole dans un champ magnétique fixe

Boussole dans un champ magnétique fixeplan de phases

Boussole dans un champ magnétique fixeplan de phases

Oscillateur entretenu (van der Pol)

L’oscillateur libre ne présente pas une variété très grande de comportementsPour enrichir ceux-ci on peut imaginer un système dans lequel l’amortissement est variableselon l’amplitude :ηηηη<0 aux faibles amplitudes (spirales s’éloignant de l’origine);ηηηη>0 aux fortes valeurs,empêchant le système de s’éloigner indéfiniment de l’origine.

L’archétype est l’oscillateur de van der Pol(défini historiquement pour des circuits électriques en 1922)

2

0 20

1 θη = −η − θ

2 22

0 02 20

d d1 0

dtdt

θ θ θ− η − + ω θ = θ

Schéma de principe d’un circuit électronique oscillantà la van der Pol, avec sa caractéristique courant-tension présentant une région à résistance négative

amortissement non-linéaire

Un changement de variables permet d’obtenir une forme plus simple

00

0 0; t t

η θθ = = ωω θ

ɶ ɶ

( )2

2 02

0

d d0;

dtdt

ηθ θ− ε − θ + θ = ε =θ

(on abandonne les tildes!)

Équation de van der Pol

( )2d d ηθ θ θrencontrée aussi sous la forme ( )2

2 02

0 0

d d1 0; avec

dtdt

ηθ θ θ− ε − θ + θ = ε = θ =θ θ

ɶ

Cette équation admet pourεεεε>0 dessolutions périodiques, d’amplitude indépendante desconditions initiales.Dans le plan de phase ceci se traduit par l’existence d’uncycle limite vers lequels’enroulent les trajectoires issues de points situés à l’intérieur ou à l’extérieur de celui-ci.

Cycle limite de l’équation de van der Pol

Cycle limite de l’équation de van der Pol

Évaluation de la taille du cycle limite (pour εεεε petit)

L’idée physique est celle d’équilibre (sur un cycle) entre énergie dissipée et énergieapportée à l’oscillateur

( )2 21E( , )

2θ θ = θ + θɺ ɺ

( )2 2dE

dt= θθ + θθ = ε − θ θɺɺɺ ɺ ɺ (en utilisant l’équation de van der Pol)

dont on exprime que la moyenne sur un « tour » doit être nulle sur le cycle limite

d E 2 2 2d E0

dt= = ε θ − θ θɺ ɺ on pose de façon approchée (t) sin tθ ≈ ρ d’où

2 2 2 2 4 2 2 41 1; sin t.cos t

2 8θ = ρ θ θ = ρ = ρɺ ɺ

Le bilan d’énergie moyen conduit donc à au voisinage deεεεε=0+2ρ ≈ ε

Nous verrons plus tard que ce comportement est caractéristique de l’existence d’unebifurcation de Hopfen εεεε=0

« Struggle for life » : Évolution de populationsModèle Proies-Prédateurs de Lotka/Volterra

Modèle classique de système déterministe 1 proie – 1 prédateur :

[ ]

[ ]

dxx(t) a y(t)

dtdy

y(t) b x(t)dt

= − α

= − + β

Où x(t) désigne la population de proies et y(t) celles de prédateurs;a correspond au taux denatalité des proies, b au taux de mortalité des prédateurs,αααα et ββββ à l’interaction entreespèces.Ce modèle, simpliste, a mis en évidence la possibilité d’évolutions cycliques des populationset non pas seulement d’un état stable unique.Une amélioration classique consiste à introduire un taux de natalité fonction de la densité depopulation, tenant compte de la capacité limite K due aux ressources limitées disponibles

x(t)a r 1 modèle "logistique"

K → −

Robert May (1972), Stability and complexity

in Model Ecosystems

L’oscillateur paramétrique

Un oscillateur paramétrique est un système dont un paramètre dépenddu temps.On peut s’en faire une représentation mécanique en considérant unpendule simple dont lepoint de suspension est soumis à un mouvement vertical, par exemple périodique.Il revient au même de considérer que le pendule est soumis à unchamp de pesanteurdépendant du temps.

0g(t) g (t)= + β ββββ rendant compte de l’accélération verticale à laquelle est soumis le point O

Considéronspour simplifier l’équation linéariséedu mouvementConsidéronspour simplifier l’équation linéariséedu mouvement

2

2

d g(t)0

ldt

θ + θ = et un mouvement alternatif sinusoïdal du point de suspension

0 1g(t) g g cos(2 t)= + ω l’intérêt du facteur 2 apparaîtra plus tard

Il vient :

[ ]2

202

d1 hcos(2 t) 0

dt

θ + ω + ω θ = (h=g1/g0)

Forme connue sous le nomd’équation de Mathieu

Il s’agit d’une équation linéaire à coefficients périodiques, relevant de la théorie deFloquet.Les solutions se présentent sous la forme

t(t) e .P(t) où P(t) P tµ π θ = = + ω

Seule la stabilité de la solution nous intéresse ici, la détermination de P(t) faisant appel àdes fonctions spéciales,les fonctions de Mathieu.

Un calcul de perturbations peut-être mené pour h petit en posant, parcontinuité avec lasolution classique pour h=0

t(t) e cos( t ) avec petit et proche deµθ ≈ ω + ϕ µ ω ωt0(t) e cos( t ) avec petit et proche deµθ ≈ ω + ϕ µ ω ω

On peut montrer que µµµµ est solution de l’équation

( ) ( )224 2 2 2 2 2 4

0 0 0h

2 04

µ + ω + ω µ + ω − ω − ω =

Il ne peut y avoir instabilité (Re(µµµµ)>0) que s’il existe une solution avecµµµµ2 >0, ce qui a lieupour

2

20

h 2 1ω> −ω

ce qui se traduit par une « langue » instable dans le plan (ωωωω, h). Pour ωωωω=ωωωω0une excitation infinitésimale suffit à déclencher l’instabilité quand toutamortissement est négligé; dans le cas contraire il existe unseuil h0d’instabilité.

h

région instable

Limites des zones instables enl’absence d’amortissement

Limites deszonesinstablesen

Une analyse plus poussée montre que d’autres régions d’instabilitéexistent pour ωωωω/ωωωω0=1/n;cependant les « langues » d’instabilité sont plus étroites et le seuil plus élevé en présenced’amortissement, si bien que l’instabilité correspondant àωωωω=ωωωω0 est la plus efficace : elle estconnue sous le nomd’instabilité (ou de résonance) sous-harmonique(on rappelle quel’excitation du point de suspension s’effectue à la fréquence2ωωωω).

ω/ωω/ωω/ωω/ω000011111/21/21/21/21/31/31/31/3

h0

instable Limites deszonesinstablesenprésence d’amortissement

En présenced’amortissement, même à la résonance, il est nécessaire que l’amplitude desoscillations dépasse un seuil h0=2ηηηη/ωωωω0 pour que l’instabilité se déclenche. Ce seuil estnettement plus élevé pour les oscillations à 1/2, 1/3, … ce qui justifie la prédominance de larésonance sous-harmonique (nécessité d’un niveau d’excitation élevéet langue d’instabilitéétroite en dehors deωωωω/ωωωω0=1)

Pendulum Lab!

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/botafumeiro.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=iE_r6XhB4VE&feature=related

Flots et cartes itérées

FlotsPartons de l’exemple de l’oscillateur de van der Pol

( )2

22

d d0

dtdt

θ θ− ε − θ + θ =

L’idée générale est de remplacer toute ODE d’ordre n par un système de n équations du 1er

ordre; ici il suffit de poser:ordre; ici il suffit de poser:

dx et y

dt

θ= θ = pour obtenir le système

( )2

dxy

dtdy

x y xdt

= = ε − −

cette écriture se prête mieux à la fois à l’analyse théorique età la résolution numérique

En adoptant une écriture vectorielle : [ ] xdxF x(t) ; x

ydt

= =

�� � �

remarque importante :les ODE du système sontautonomes, i.e. la variable temps n’yapparaît pas explicitement.

Le système d’ODE définit un système dynamiquecontinu, appelé aussiflot, par analogieavec l’étude des écoulements en mécanique des fluides (si x est une position, dx/dt est unevitesse, et le second membre des ODE fixe donc la forme du champ de vitesses).Le « trajet » suivi par le système dynamique dans l’espace des phases quand le tempss’écoule est appeléorbite ou plus simplement trajectoire , toujours par référence à lamécanique.

Systèmes conservatifs ou dissipatifs

Cette classification,qui va au delà du sensénergétiquepremier, reposesur l’évolution d’unCette classification,qui va au delà du sensénergétiquepremier, reposesur l’évolution d’unélément de volume dans l’espace des phases (par exemple un « volume » de conditionsinitiales illustrant les incertitudes expérimentales).

V(0)

V(t)?

trajectoire

Théorème de Reynolds

V(t) V(t)

d CC(x, t)dv div(CV) dv

dt t

∂ = + ∂ ∫ ∫

��

où est le champ de vitesse, i.e.V�

V F=� �

Le cas particulier C=1 donne

V(t) V(t)

d ddv V(t) divFdv

dt dt= =∫ ∫

�

Un système dynamique estconservatif si etdissipatif sid

V(t) 0dt

= dV(t) 0

dt<

L’exemple du pendule amorti permet d’illustrer ces idées

2

2

d d gsin 0

dt ldt

θ θ+ η + θ =

dxy (x )

dtdy g

y sin xdt l

= = θ = −η −

yF ; divF 0g

y sin xl

= = −η < −η −

� �

On en conclut que lesystème est dissipatif(comme au sens ordinaire; il est conservatif siηηηη=0)

Dans ce cas particulier, la divergence de F est uniforme et il est donc possible d’intégrer larelation

dV(t)V V(t) V(0)exp( t)

dt= −η ⇒ = −η décroissance exponentielle du volume de CI au

cours du temps

« Contraction des aires »(par abus de langage)

η(=γ)η(=γ)η(=γ)η(=γ)<0 ηηηη>0ηηηη=0

Attention ! La contraction des aires n’implique pas la contraction de toutes les longueurs;On peut très bien avoir contraction dans une direction et dilatation (plus lente) dans uneautre. Bien qu’élémentaire, cette remarque est capitale car elle montre que la possibilité dedivergence de 2 trajectoires voisines subsiste même pour un systèmedissipatif.Il n’est pas inutile de rappeler ici que 2 trajectoires ne peuvent jamais se couper; en effet leprincipe de déterminisme serait alors mis en défaut (pour une même CI, le pointd’intersection, on aurait la possibilité de 2 futurs différents; mathématiquement ceci correspondau problème de Cauchy-OK si le champ de vecteurs est de classeC1 par exemple)

dx

Quid des systèmes non autonomes?en particulier les oscillateursforcés

2202

d dsin Acos t

dtdt

θ θ+ η + ω θ = ω

intervention explicitedu temps

On se ramène facilement à un systèmes d’équations du 1er ordre autonomes, mais au prix del’augmentation de la dimensiondu système.

dx ; y ; z t

dt

θ= θ = = ω

20

dxy

dtdy

Acosz x ydtdz

dt

= = − ω − η = ω

Équation non autonome de 2èmeordre����système autonome du 3èmeordre

Cartes itérées

Une application itérée (cartepar abus de langage) est définie par une relation du type

( )n 1 nx M x+ =�� �

que l’on peut considérer comme une évolution à temps discret résultant d’unéchantillonnage d’un système à temps continu(stroboscopie par exemple).

A partir d’une condition initiale x 0, l’application M permet de construire une orbite dusystème « à temps discret », x0, x1, x2, …Un exemple que nous étudierons en détail estl’application de Hénon

2x y 1 x = + − α Lesvaleurs« classiques» deHénonsontαααα=1.4 et ββββ=0.32

n 1 n n

n 1 n

x y 1 x

y x+

+

= + − α

= β

Lesvaleurs« classiques» deHénonsontαααα=1.4 et ββββ=0.3On notera le caractère non linéaire de l’application

Cette application a été construite par Hénon comme modèle à temps discret du système deLorenz décrivant de façon simplifiée la convection thermique.

Un autre exemple important est celui del’application logistique

application du segment (0,1) sur lui-même

( )n 1 n nx ax 1 x ; 0 a 4+ = − < ≤

Cartes dissipatives(contractantes)

Le Jacobiende la la transformation xn����xn+1 permet le calcul de l’évolution d’un élément devolume de « l’espace des phases »

MJ(x) det

x

∂= ∂

��

�

Si le système est dissipatif;J 1<

Si le système est conservatif; J 1=

Prenonsl’exemplede l’application de Hénon2

n 1 n nx y 1 x+ = + − α

= βn 1 n 1

n n n

n 1 n 1

n n

x x

x y 2 x 1J

y y 0

x y

+ +

+ +

∂ ∂∂ ∂ − α

= = = −β∂ ∂ β∂ ∂

Le système est dissipatif (i.e. il y a contraction des aires) si abs(ββββ)<1Plus précisément une aire unité à l’itération n devient égale à abs(ββββ) à l’itération n+1

Prenonsl’exemplede l’application de Hénonn 1 ny x+

= β

Sections de Poincaré

Il s’agit d’une méthode générale permettant la réduction d’un flot à une carte itérée.Le principe est illustré sur la figure ci-dessous : on réalise une coupe des trajectoiresassociées à un flot continu, ce qui définit les points d’intersection successifs P0, P1, P2, …

par celle de la suite des points d’intersection avec le plan de coupe

( ) ( )2P M P M P ...= =� �

[ ]dxF x(t)

dt=�� �

On remplace ainsi l’étude du flot

( ) ( )2n n 1 n 2P M P M P ...− −= =� �

Deux remarques :- sauf cas particulier (ex: stroboscopie d’un mouvement; échantillonnage périodique d’unsignal) le tempsqui s’écoule entre 2 points successifsn’est pas constant.- comme P1 ne peut avoir qu’un seul antécédent P0 (déterminisme) il s’ensuit quel’application M est inversible. Une carte itérée inversible peut donc être considérée commeéquivalente à un flot continu; cependant il est généralement impossible de préciseranalytiquement le passage de l’un à l’autre.

Il semble donc que l’étude des applications non inversibles(comme l’application logistique)soit découplée de l’analyse des systèmes continus; il n’en est rien comme nous le verronsplus tard pour le système de Lorenz(application du 1er retour).

Intérêt pratique

- réduction d’une unité du nombre de coordonnées à considérer (R3����R2 typiquement)- étude d’une application itérée au lieu de l’intégration d’un système différentiel- plus d’autres avantages de type « traitement du signal », tels que la possibilité de conclurede façon non ambiguë au caractère apériodique d’un flot(voir ci-après).

( )n 1 n nx ax 1 x ; 0 a 4+ = − < ≤

Faut-il un système de grande taille pour que le chaos puisse apparaître?

La vision classique (cf. lathéorie de la turbulence de Landau, 1944) était que le caractèreirrégulier du mouvement provenait de l’existence d’un nombre de degrés de liberté infiniou du moins très élevé (existence d’une infinité de fréquences noncommensurablesapparues par déstabilisation de régimes périodiques).Or la réalité est très différente(Ruelle & Takens, 1971)

Trois degrés de liberté suffisent pour donner naissance à un régime chaotique(i.e. un système décrit par 3 ODE du 1er ordre autonomeset non linéaires)

Illustration schématique des scénarios de Landau et de Ruelle-Takens

Quid des applications itérées?

Si on se réfère à la discussion sur les sections de Poincaré, il est clair que pour uneapplication inversible, 2 degrés de liberté suffisent(ex. Hénon)Pour une application non inversible on peut même observer le chaos à1 dimension! (ex.application logistique).

Ceci justifie de l’étude de systèmes modèles de très faible dimensionnalité

Intégration numérique des ODE (d’après «Numerical Recipes, the Art of ScientificComputing», Press, Teukolsky & al., Cambridge U.P., 1992; accessibles on-linehttp://www.nr.com/)

On aura constamment à étudier numériquement l’évolution de systèmes d’équations du 1er

ordre du genre0 0

dxf (x, t) avec une condition initiale x(t ) x

dt= =

Un développement de Taylor limité au 1er ordre conduit à la méthode d’Euler

n 1 n n nx x h.f (x , t ), h désignant le pas d'échantillonnage t+ = + ∆

Schéma explicite du 1er ordre (l’erreur est seulement d’un ordre supérieur à la« correction » faisant passerde xn à xn+1)« correction » faisant passerde xn à xn+1)

Ce schéma très simple n’est pas recommandé car peu précis et peu stable; il ne fait appelqu’à l’information sur f au début de l’intervalle ∆∆∆∆t, et peut être amélioré de la façonsuivante : on utilise la formule ci-dessus comme « essai » permettant d’estimer x au pointmilieu de l’intervalle

1 n n n 1/ 2 n 1k h.f (x , t ) x x k / 2+= → = +

Et xn+1 est évaluée à partir de la valeur de f en ce point milieu estimé

2 n 1 n

3n 1 n 2

k h.f (x k / 2, t h / 2)

x x k O(h )+

= + +

= + +

La symétrisation de la formule conduit à un schéma d’ordre 2 connu sous le nom deschéma deRunge-Kutta d’ordre 2.

On peut construire sur le même principe des schémas plus précisqui utilisent un plusgrand nombre d’évaluations du second membre (la fonction f); le schéma le plus utilisé estcelui deRunge-Kutta du 4ème ordre

1 n n

2 n 1 n

3 n 2 n

4 n 3 n

531 2 4n 1 n

k h.f (x , t )

k h.f (x k / 2, t h / 2)

k h.f (x k / 2, t h / 2)

k h.f (x k , t h)

kk k kx x O(h )

6 3 3 6+

== + += + += + +

= + + + + +

Ce schémaexplicite s’étend sansdifficulté auxCe schémaexplicite s’étend sansdifficulté auxsystèmes d’ODE; il peut se coupler à unalgorithme de pas adaptatif permettant derespecter une précision de calcul donnée.C’est la cas de la routineODE45 de Matlab,dont on donne ci-dessous un exempled’utilisation pour l’oscillateur de van der Pol.

Rem : ODE45 peut fournir un échantillonnagerégulier de x(t) (voir help Matlab); ceci peutêtre utile pour la visualisation des tracés etsurtout si on veut ensuite faire l’analyse descomposantes spectrales du signal parFFT.

Utilisation de la routine ODE45 de MatLab (voir aide Matlab à ODE)

Programme principal

global eps

eps=0.05

options=odeset('MaxStep',0.2);

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 100],[1; 1],options); % intégration sur l’intervalle (0,100); C.I. y(0)=1; y’(0)=1.

% [t,y] = ode45(@vdp1,[0 : .1 : 100],[1; 1]); % le pas d’intégration est fixé à 0.1

figure(1)

plot(t,y(:,1)) % évolution temporelle de y

figure(2)

plot(y(:,1), y(:,2)) % tracé du portrait de phase y’=f(y)

axis equalaxis equal

Sous-programme : fonction vdp1

function dydt = vdp1(t,y)

global eps

dydt = [y(2); (eps-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Analyse spectrale

Un outil classique de caractérisation des signaux est l’analyse spectrale, ie la répartition del’énergie du signal en fonction de la fréquence.

Soit x(t) le signal (réel); sa transformée de Fourier est notée X(f)i2 ft

i2 ft

X(f ) x(t)e dt

x(t) X(f )e df

− π+∞

−∞+ π+∞

−∞

=

=

∫

∫

Les TF sont évaluées par transformée de Fourier rapide(routine fft de Matlab par exemple; attention àl’échantillonnage: th. de Shannon, fs>2fmax; df=1/Tmax …)

X(f).X *(f) traduit la répartition de l’énergie du signal selon les fréquences

Théorème de Parseval : 2 *E x (t)dt X(f )X (f )df+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Rem : pour les signaux à puissance moyenne finie, comme les signaux périodiques oualéatoires stationnaires, on parle de densité spectrale de puissance Sxx(f) telle que

T 2m T xx0

1P lim x (t)dt S (f )df

T

+∞→∞ −∞

= =∫ ∫

A titre d’exemple, voici un programme de calcul de la DSP d’un signal, somme de 2sinusoïdes de fréquences non commensurables(f=1, racine de 3). On utilise la routine FFTet les normalisations appropriées. La fréquence d’échantillonnage est fixée à fs=10.

% ===================================================

% .. FFT et Spectre d'un signal multi périodique

% ===================================================

clear all;

close all;

dt = 1/10; %fmax=1/2dt=5 Hz

niter = 5000;

nfft=1024*2;

df=1/(nfft*dt);

it = 1;

for i=1:niter

T(it)=(it-1)*dt;

Xs(it) = sin(2*pi*T(it))+sin(2*sqrt(3)*pi*T(it));

it=it+1;

endend

tfxs(1:nfft)=Xs(niter-nfft+1:niter);

z=fft(tfxs);

spectre=z.*conj(z)/nfft/nfft/df; %DSP « two-sided »

for i=1:nfft

f(i)=(i-1)*df;

end

pw1=sum(Xs.^2)/niter

pw2=sum(spectre)*df % « vérification » de Parseval, pw1=pw2

figure(3)

axes('units','centimeters','position',[1.5 1.5 10. 8.]);

plot(f(1:nfft),(spectre(1:nfft)));

xlabel('fréquence f');

ylabel('DSP de x');

axis([0 nfft*df 0 50])

Fréquences de 0 à fmax, suivies des fréquences négatives