Integrali tripli: esercizi svolti

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolta mag-

giore.

Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali tripli sugli insiemi specificati:

a)

xyz dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

}

[18

]

b)

2z dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : 2

x2 + y2 < z < x + 2

}

[6427

3

]

c)

x2

x2 + z2dx dy dz,

={(x, y, z) R3 : 1 < x2 + y2 + z2 < 2, x2 y2 + z2 < 0, y > 0

}

[6

(5

2 6)]

d)

(x2 + y2 + z2 1

)dx dy dz,

={(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 < 2, x2 + y2 < z

} [

(415

2 1960

)]

e)

(x + z) dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1

}

[112

]

f)

x|z| dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 :

x2 + z2 < y 0, 0 < y < 2z + 1, x2 + y2 + 4z2 < 1

}

[16 +

16

]

h)

y dx dy dz,

={(x, y, z) R3 : x2 + y2 2x < 0, 0 < z < x, x2 + y2 < 1, y > 0

} [548

]

i)

y2

x2 + y2dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : 1 < x2 + y2 < 2x, 0 < z < x

2 + y2

x2

}

[ 32

3]

l)

2z dx dy dz,

={(x, y, z) R3 : 0 < y < x2, x2 2x + y2 < 0, 0 < z < xy

} [1324

]

m)

log

x2 + z2 dx dy dz,

={

(x, y, z) R3 : 1 < x2 + z2 < e2, z < x, 0 < y < 1x2 + z2

} [2

]

n)

y2|z| dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : 1 < x2 + y2 < 2x, 0 < z < 2

x

}

[2 33

]

o)

|z| dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : x2 + y2 < z2 1, 2x2 + y2 + z2 < 2

}

[6

12 ]

p)

x2|y| dx dy dz, =

{(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 < 1, 0 < z < x + 1

}

[48 +

245

]

Integrali tripli: esercizi svolti 3

Svolgimento

I grafici degli insiemi di integrazione di questi esercizi si trovano sulla pagina web

http://calvino.polito.it/lancelot/didattica/analisi2/esercizi/grafici integrali tripli esercizio 1.html.

a) Consideriamo lintegrale

xyz dx dy dz, dove

={(x, y, z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

}.

Linsieme e un cubo con spigoli paralleli agli assi coordinati. Poiche la funzione

integranda f(x, y, z) = xyz e il prodotto di una funzione di x, una di y e una di z,

si ha che

xyz dx dy dz =

( 10

x dx

) ( 10

y dy

) ( 10

z dz

)=

=[12x2

]1

0

[12y2

]1

0

[12z2

]1

0=

18.

b) Consideriamo lintegrale

2z dx dy dz, dove

={

(x, y, z) R3 : 2

x2 + y2 < z < x + 2}

.

x

z

4 3 2 1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

Fig. 1: Sezione dellinsieme con il piano xz (in azzurro).

4 Integrali tripli: esercizi svolti

Osserviamo che e linsieme dei punti compresi fra il semicono di equazione z =

2

x2 + y2 e il piano di equazione z = x + 2. Integrando per fili paralleli allasse

z, si ha che

2z dx dy dz = 2

D

[ x+22

x2+y2z dz

]dx dy =

= 2

D

[12z2

]x+2

2

x2+y2dx dy =

D

[(x + 2)2 4

(x2 + y2

)]dx dy,

dove

D ={

(x, y) R2 : 2

x2 + y2 < x + 2}

.

Osserviamo che

2

x2 + y2 < x + 2 (x 23

)2

169

+y2

43

< 1.

Quindi D e linsieme dei punti interni allellisse di equazione (x 2

3)2

169

+ y2

43

= 1.

2/3 0 2/3 2

1

1

x

y

Fig. 2: Linsieme D (in azzurro).

Passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi

:

x = 23 +43 cos

y = 23

3 sin, 0, 0 2, |detJ(, )| = 89

3.

Allora

(x, y) D {

0 < 10 < 2.

Integrali tripli: esercizi svolti 5

Quindi si ha che D = (D), dove

D ={(, ) R2 : 0 < 1, 0 < 2

}.

0 10

2

Fig. 3: Linsieme D (in verde).

Quindi si ha

2z dx dy dz =

D

[(x + 2)2 4

(x2 + y2

)]dx dy =

=

D

(4 + 4x 3x2 4y2

)dx dy = 3

D

[169

(x 2

3

)2 4

3y2

]dx dy =

=12827

3

D

( 3

)d d =

essendo D un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda

prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene

=12827

3

( 10

( 3

)d

) ( 20

d

)=

25627

3

[122 1

44

]1

0=

6427

3.

c) Consideriamo lintegrale

x2

x2 + z2dx dy dz, dove

={(x, y, z) R3 : 1 < x2 + y2 + z2 < 2, x2 y2 + z2 < 0, y > 0

}.

Linsieme e la parte dello spazio compresa fra le sfere di equazione x2+y2+z2 = 2

e x2 + y2 + z2 = 1 e il semicono y =

x2 + z2.

6 Integrali tripli: esercizi svolti

y

z

1 0 1 1.5 2 3

2

1.5

1

0

1

1.5

2

Fig. 4: Sezione dellinsieme con il piano yz (in azzurro).

Passiamo in coordinate sferiche in cui la colatitudine e misurata rispetto allasse

y. Poniamo quindi

:

x = sin cos

y = cos

z = sin sin,

0, 0 , 0 2, |detJ(, , )| = 2 sin.

Si ha che

(x, y, z)

1 < 2 < 2

sin2 cos2 < 0cos > 0.

Quindi si ha che = (), dove

={

(, , ) R3 : 1 < 0, z > 0, x + y + z < 1

}.

Linsieme e un tetraedro. Integrando per fili paralleli allasse z si ottiene

(x + z) dx dy dz =

D

( 1xy0

(x + z) dz)

dx dy =

D

[xz +

12z2

]1xy

0dx dy =

=

D

[x(1 x y) + 1

2(1 x y)2

]dx dy,

dove D ={(x, y) R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1 x

}.

x

y

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

Fig. 7: Linsieme D (in azzurro).

Essendo D y-semplice, si ottiene

(x + z) dx dy dz =

10

( 1x0

[x(1 x y) + 1

2(1 x y)2

]dy

)dx =

= 10

[1

2(1 x y)2 1

6(1 x y)3

]1x

0dx =

10 Integrali tripli: esercizi svolti

= 10

[12x(1 x)2 + 1

6(1 x)3

]dx =

10

[12x x2 + 1

2x3 +

16(1 x)3

]dx =

=[14x2 1

3x3 +

18x4 1

24(1 x)4

]1

0=

112

.

f) Consideriamo lintegrale

x|z| dx dy dz, dove

={

(x, y, z) R3 :

x2 + z2 < y 0

}.

z

y

1 1/2 0 1/2 1

1

1/2

0

1/2

1

Fig. 11: Linsieme D = D1 D2, con D1 in rosso e D2 in verde.

Quindi si ha che

2x dx dy dz =

D

(1 y2 4z2

)dy dz =

=

D1

(1 y2 4z2

)dy dz +

D2

(1 y2 4z2

)dy dz.

Calcoliamo separatamente i due integrali. Essendo D1 y-semplice, si ha che

D1

(1 y2 4z2

)dy dz =

0 1

2

[ 2z+10

(1 y2 4z2

)dy

]dz =

= 0 1

2

[(1 4z2

)y 1

3y3

]2z+1

0dz =

0 1

2

(32

3z3 8z2 + 2

3

)dz =

=[8

3z4 8

3z3 +

23z

]0

12

=16.

Essendo D2 la parte del I quadrante compresa nellellisse di equazione y2 + z2

14

= 1,

passiamo in coordinate ellittiche nel piano zy. Poniamo quindi

:

{z = 12 cos

y = sin, 0, 0 2, |detJ(, )| = 12.

14 Integrali tripli: esercizi svolti

Allora

(z, y) D2 { 0 < < 1

0 < < 2 .

Quindi si ha che D2 = (D2), dove

D2 ={

(, ) R2 : 0 < < 1, 0 < < 2

}.

Quindi si ha che

D2

(1 y2 4z2

)dy dz =

D2

12

(1 2

)d d =

ed essendo D2 un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda

prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene

=

( 2

0d

) [12

10

( 3

)d

]=

4

[122 1

44

]1

0=

16.

In conclusione si ha che

2x dx dy dz =

16+

16.

h) Consideriamo lintegrale

y dx dy dz, dove

={(x, y, z) R3 : x2 + y2 2x < 0, 0 < z < x, x2 + y2 < 1, y > 0

}.

x

y

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Fig. 12: Proiezione dellinsieme sul piano xy (in azzurro).

Linsieme e la parte dello spazio compresa fra i cilindri di equazione (x1)2+y2 =1, x2 + y2 = 1 e i piani y = 0, z = 0 e z = x.

Integrali tripli: esercizi svolti 15

Passiamo in coordinate cilindriche con asse parallelo allasse z. Poniamo quindi

:

x = cos

y = sin

z = z,

0, 0 2, |detJ(, , z)| = .

Si ha che

(x, y, z)

0 < < 1

< 2 cos

0 < z < cos

0 < < 2 .

Quindi si ha che = (), dove

={

(, , z) R3 : 0 < < 2, 0 < < 1, < 2 cos , 0 < z < cos

}.

Allora si ha che

y dx dy dz =

2 sind dy d =

integrando per fili paralleli allasse z

=

D

( cos 0

2 sindz

)d d =

D2 sin

[z] cos 0

d d =

=

D3 cos sind d,

dove D = D1 D2, con

D1 ={

(, ) R2 : 0 < < 1, 0 < < 3

},

D2 ={

(, ) R2 : 3 <

2, 0 < < 2 cos

}.

16 Integrali tripli: esercizi svolti

1 0.5 0 0.5 /3 /2 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 13: Linsieme D = D1 D2, con D1 in rosso e D2 in verde.

Ne segue che

y dx dy dz =

D3 cos sind d =

=

D13 cos sind d +

D23 cos sind d =

essendo sia D1 che D2 -semplici e la funzione integranda prodotto di una funzione

in e di una di , si ottiene

=( 1

03 d

) ( 3

0cos sind

)+

2

3

cos sin

[ 2 cos 0

3 d

]d =

=[144

]1

0

[12

sin2 ]

3

0+

2

3

cos sin[144

]2 cos

0d =

=332

+ 4

2

3

cos5 sind =332

+ 4[1

6cos6

]2

3

=548

.

i) Consideriamo lintegrale

y2

x2 + y2dx dy dz, dove

=

{(x, y, z) R3 : 1 < x2 + y2 < 2x, 0 < z < x

2 + y2

x2

}.

Linsieme e la parte dello spazio esterna al cilindro di equazione x2 + y2 = 1,

interna al cilindro di equazione (x 1)2 + y2 = 1 e delimitata dal piano z = 0 edal grafico della funzione g(x, y) = x

2+y2

x2.

Integrali tripli: esercizi svolti 17

Integrando per fili paralleli allasse z si ottiene

y2

x2 + y2dx dy dz =

D

x2+y2x2

0

y2

x2 + y2dz

dx dy =

D

y2

x2dx dy,

dove D ={(x, y) R2 : 1 < x2 + y2 < 2x

}.

x

y

1 0 1 2

1

0

1

Fig. 14: Linsieme D (in azzurro).

Passiamo in coordinate polari nel piano xy. Poniamo quindi

:

{x = cos

y = sin, 0, , |det J(, )| = .

Si ha che

(x, y) D {

1 < < 2 cos

3 < < 3 .Quindi si ha che D = (D), dove

D ={

(, ) R2 : 3

< 0

}.

Integrali tripli: esercizi svolti 19

x

y

1 0 1 2 3

1

0

1

Fig. 16: Linsieme D (in azzurro).

Osserviamo che D = D1 D2, dove

D1 ={(x, y) R2 : 0 < x 1, 0 < y < x2

},

D2 ={(x, y) R2 : 1 < x < 2, 0 < y 0, z > 0, x + y + z < 1

}

[16

]

b) E =

{(x, y, z) R3 : x2 + 4y2 < 2, x2 + y2 >

2

4, x > 0, 0 < z < x cos y

}

[6]

c) E ={(x, y, z) R3 : x2 + y2 < z < 3x2 + 5y2, z < 8 x2 3y2

}

[4

2]

d) E ={

(x, y, z) R3 : 0 < y < 3|z|, x2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 + 12|z|

}

[16]

e) E ={(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 2x < 0

}

[163 649

]

f) E ={

(x, y, z) R3 :

x2 + y2 < z 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1

}.

Linsieme E e un tetraedro. Integrando per fili paralleli allasse z si ottiene

m(E) =

Edx dy dz =

D

( 1xy0

dz

)dx dy =

D(1 x y) dx dy,

dove D ={(x, y) R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1 x

}.

x

y

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

Fig. 26: Linsieme D (in azzurro).

Essendo D y-semplice, si ottiene

m(E) =

D(1 x y) dx dy =

10

[ 1x0

(1 x y) dy]dx =

= 10

[(1 x)y 1

2y2

]1x

0dx =

12

10

(1 x)2 dx = 12

[1

3(1 x)3

]1

0dx =

16.

b) Consideriamo linsieme

E =

{(x, y, z) R3 : x2 + 4y2 < 2, x2 + y2 >

2

4, x > 0, 0 < z < x cos y

}.

Integrali tripli: esercizi svolti 31

Linsieme E e la parte dello spazio esterna al cilindro di equazione x2 + y2 = 2

4 ,

interna al cilindro di equazione x2 + 4y2 = 2 e delimitata dai piani x = 0 e z = 0

e dal grafico della funzione g(x, y) = x cos y.

Integrando per fili paralleli allasse z si ottiene

m(E) =

Edx dy dz =

D

( x cos y0

dz

)dx dy =

Dx cos y dx dy,

dove

D =

{(x, y) R2 : x2 + 4y2 < 2, x2 + y2 >

2

4, x > 0

}

=

(x, y) R

2 : 2

< y 1, z2 2 < x < 1 + 12z

}.

Integrando per fili paralleli allasse y si ottiene

m(E) = 2m(E1) = 2

E1dx dy dz = 2

D

( 3z0

dy

)dx dz = 6

Dz dx dz,

dove D ={(x, z) R2 : x2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 + 12z, z > 0

}. Osserviamo

che D = D1 D2 D3, dove

D1 ={(x, z) R2 : 2 < x 1 , 0 < z < x + 2

},

D2 ={(x, z) R2 : 1 < x < 1,

1 x2 < z < x + 2

},

D3 ={(x, z) R2 : 1 x < 2, 2x 2 < z < x + 2

}.

Integrali tripli: esercizi svolti 35

x

z

2 1 0 1 20

1

1.5

2

Fig. 29: Linsieme D = D1 D2 D3, con D1 in rosso, D2 in verde e D3 in azzurro.

Quindi

m(E) = 6

Dz dx dz = 6

(

D1z dx dz +

D2z dx dz +

D3z dx dz

)=

essendo D1, D2, D3 z-semplici, si ottiene

= 6

[ 12

( x+20

z dz

)dx +

11

( x+2

1x2z dz

)dx +

21

( x+22x2

z dz

)dx

]=

= 6

( 12

[12z2

]x+2

0dx +

11

[12z2

]x+2

1x2dx +

21

[12z2

]x+2

2x2dx

)=

= 3[ 12

(x + 2) dx + 11

(x2 + x + 1

)dx +

21

(4x2 + 9x 2

)dx

]=

= 3

([12(x + 2)2

]1

2+

[13x3 +

12x2 + x

]1

1+

[4

3x3 +

92x2 2x

]2

1

)= 16.

e) Consideriamo linsieme

E ={(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 2x < 0

}.

Linsieme E e la parte dello spazio interna al cilindro di equazione (x1)2+y2 = 1e alla sfera di equazione x2 +y2 +z2 = 4. Osserviamo che linsieme E e simmetrico

rispetto al piano xy. Infatti, se (x, y, z) E, allora anche (x, y,z) E. Quindim(E) = 2m(E1), dove

E1 ={

(x, y, z) R3 : 0 < z