1 Universit "La Sapienza" di RomaFacolt di Ingegneria (sede di
Latina) Esercizi svolti di Campi elettromagnetici Paolo Burghignoli
Corso di laurea in Ingegneria dellInformazione (indirizzi EL e TLC)
Corso di Campi elettromagnetici I novembre 2011 2 Indice Algebra e
analisi vettoriale3 Algebra diadica7 Numeri e vettori complessi10
Relazioni costitutive13 Teorema di Poynting16 Onde piane24
Coordinate curvilinee29 Radiazione33 Incidenza normale di onde
piane44 Incidenza obliqua di onde piane51 Riflessione totale60
Linee di trasmissione69 Strati antiriflettenti75 Guida donda
rettangolare81 Guida donda circolare e cavo coassiale90 3 Esercizi
di algebra e analisi vettoriale Esercizio 1 Nello spazio euclideo
ordinario individuare una base ortonormale di vettori{ }0 0, u
vnelsottospazioortogonalealvettore 0 0 0= + + w x y z
(suggerimento:fareusodel prodotto vettoriale). Esercizio 2
Datiicampiscalari( ) , , 3 2 xyz x z f = + e( )5, ,yxyz e y-=
calcolareilgradientedel loro prodotto ( ) fy (suggerimento: fare
uso dellappropriata identit differenziale). Esercizio 3
Datoilcampovettoriale( ) ( ) ( )0 0, , sin 2 2 cos 2 xyz y x y = +
A x y calcolarnela circuitazionelungolacirconferenza 2 21 x y + =
delpiano0 z= descrittainun verso a piacere (suggerimento: applicare
un opportuno teorema integrale). Esercizio 4 Dato il campo scalare(
)( )2 2 2, , 1/ 4 Gxyz x y z p = + +calcolarne il gradienteG e
ilflussodelgradienteattraversolasfera 2 2 21 x y z + + =
connormaleorientata verso lesterno (suggerimento: utilizzare per il
calcolo del flusso le coordinate sferiche). 4 Soluzioni Esercizio 1
Sipuscegliereunvettorequalunque(purchnonparalleloaw),adesempioil
versore 0x ,efarneilprodottovettorialeconw,ottenendoinquestomodoun
vettoreuche certamente ortogonale aw: ( )0 0 0 0 0 0 0= = + + = - +
u x w x x y z y z Poi si fa il prodotto vettoriale diw conu ,
ottenendo un altro vettorev ortogonale sia aw sia au : ( ) ( )0 0 0
0 00 0 0 0 0 0 02= = + + - == - - + + = - -v w u x y z z yy z x x x
y z Lacoppia{ } , uv
percostruzioneunabasenelsottospazioortogonaleaw.Per avere una base
ortonormale basta dividere i vettori della base ciascuno per il
proprio modulo(cionormalizzarli).Essendo( )2 21 1 2 = - + = u e ( )
( )2 2 22 1 1 6 = +- +- = vrisulta infine 0 0 00 0 0 01 12 22 1 16
6 6= - += - -u y zv x y z Esercizio 2 Calcoliamo innanzitutto i
gradienti delle funzionifey : 0 0503 25yefy- = + = -x zy Mediante
lidentit differenziale( ) fy f y y f = + si ottiene: ( ) ( )5 50 0
05 5 50 0 03 2 5(3 2 )3 (15 10 ) 2y yy y ye x z ee x z e efy- -- -
- = + - + == - + +x z yx y z 5 Esercizio 3 Applichiamo il teorema
di Stokes: 0d dS Ss Sg= = s A n A
doveg lacirconferenza 2 21 x y + = delpiano0 z= ,S
ilcerchiodaessa delimitatonellostessopiano, 0s
ilversoretangenteallacirconferenzaorientatonel
versopresceltodipercorrenzae 0= n z
ilversorenormalealcerchioorientato concordemente con la
circonferenza. Calcoliamo il rotore di( ) , , xyz A : ( ) ( )( ) (
) [ ]0 0 00/ / / 2cos 2 2cos 2sin 2 2 cos 2 0x y z y yy x y = = -
=x y zA z 0 Pertanto il flusso del rotore diA attraversoSvale zero
e per il teorema di Stokes la circuitazione diAlungog nulla.
Esercizio 4 Calcoliamo la derivata del campo scalare rispetto ax :
( )2 2 22 2 2 3/22 2 21 144G xx y zx x x y zx y zpp -= - + + = + ++
+ Analogamente si calcolano le derivate rispetto ayez . Il
gradiente pertanto risulta: ( ) ( ) ( )( )( )0 0 03/2 3/2 3/22 2 2
2 2 2 2 2 20 0 03/22 2 24 4 414x y zGx y z x y z x y zx y zx y zp p
pp- - - = + + =+ + + + + += - + ++ +x y zx y z Il versore normale
alla sferaS : 2 2 21 x y z + + = 6 ( )0 0 02 2 21x y zx y z= + ++
+n x y z Pertanto per il flusso cercato si ha 2 2 21 1d d4S SG S Sx
y z p = -+ + n Questo integrale superficiale si pu calcolare in
coordinate sferiche parametrizzando la superficieSmediante gli
angoli sferici( ) , q f . Poich suSrisulta 2 2 21 x y z + + =e il
differenziale d sind d S q q f =si ottiene 22 2 20 01 1 1 1d d sin
d 2 2 14 4 4SSx y zp pf q q pp p p- = - = - = -+ + 7 Esercizi
sullalgebra diadica Esercizio 1 Dato il diadico 0 0 0 0 0 02 = + -
D xx xy zycalcolarne la rappresentazione matriciale e i prodotti
scalari con il vettore 0 02 = + v x ya destra ( Dv ) e a sinistra (
v D). Esercizio 2 Dato il diadico 0 0 0 0 0 02 5 = + + D xy xz
zzcalcolarne la parte simmetrica SD , la parte antisimmetrica ADe
le relative rappresentazioni matriciali. Esercizio 3 Datoildiadico
0 0 u= - P I uu (dove 0u unversore)eungenericovettorevcalcolare il
prodotto scalare u= w P ve dire qual il suo significato geometrico.
Esercizio 4 Datoilcampovettoriale( )2 20 0 0, ,yxyz e x xz-= + + A
x y z calcolareildiadico = D A. 8 Soluzioni Esercizio 1 La
rappresentazione matriciale di 0 0 0 0 0 02 = + - D xx xy zy: 1 2
00 0 00 1 0D = - . Si ha poi ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
00 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 42 2 2 4 = + - + = + - = - = + + - =
+Dv xx xy zy x y x x z x zv D x y xx xy zy x y da cui si vede che
Dv v D (infatti il diadico non simmetrico). Esercizio 2 Si ha ( ) (
) ( )( ) ( ) ( )S T0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0A T0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 12 5 2 52 21 152 21 12 5 2 52
21 12 2 = + = + + + + + = = + + + + = - = + + - + + = = - + -D D D
xy xz zz yx zx zzxy yx xz zx zzD D D xy xz zz yx zx zzxy yx xz zx
con le relative rappresentazioni matriciali S A0 1 1/2 0 1 1/21 0 0
, 1 0 01/2 0 5 1/2 0 0D D = = - - . 9 Esercizio 3 Risulta ( )( )0 0
0 00 0 0uuv^= = - = - == - = - = - =w P v I uu v I v uu vv u u v v
u v v v| cioilvettore u= w P v ilcomponentediv ortogonalealversore
0u (come
sappiamotalecomponentesipuancheotteneremedianteildoppioprodotto
vettoriale 0 0 ^= v u v u ). Esercizio 4 Posto [ ][ ]301ii ix= =x e
301j jjA==A x ,risulta 3 30 01 1ji ji i jAx= == =D A x x ;
scambiandoleduesommatorietalegradiente(diadico)sipuanchescriverenella
forma 3 3 30 0 01 1 1ji j j ji j i jAAx= = = = = A x x x
incuicompaionoigradienti (vettoriali) delle singole componenti
cartesiane del vettoreA. Nel nostro caso si ha dunque ( )( )( ) (
)( )( ) ( ) ( )2 20 0 02 20 0 020 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 0, ,2
22 2yyyyxyz e x xze x xze x z xx z e x---- = + + == + + ==- + + +
== + - +A x y zx y zy x x y x z zxy xz yx zz 10 Esercizi su numeri
e vettori complessi Esercizio 1 Datoilnumerocomplesso9 z j =
calcolarnetutteleradiciquarteerappresentarle nel piano complesso.
Esercizio 2
Calcolaregliscalaricomplessi(fasori)associatiallegrandezzerealiscalarivariabili
cosinusoidalmente nel tempo() ( ) 3cos /3 t t w p = + ae() ( ) sin
/4 t t w p = + b . Esercizio 3
Calcolareivettoricomplessirappresentativideivettorirealivariabili
cosinusoidalmenteneltempo() ( ) ( ) ( )0 0 02sin cos cos /6 t t t t
w w w p = + + - x y z A e () ( ) ( )0 0cos /2 cos /2 t t t w p w p
= + + - x z B . Esercizio 4 Datiivettoricomplessi 0 02 2j = + V x y
e( )( )0 01 3 j j = + + - W x y calcolarei corrispondenti vettori
reali variabili cosinusoidalmente nel tempo e stabilirne il tipo di
polarizzazione. 11 Soluzioni Esercizio 1 Rappresentiamo il numero
complessozin forma polare: ( )22 29 9 9j n jz j e ep pp += = =
Nellultimo passaggio si evidenziato il fatto che largomento del
numero complesso
definitoamenodimultiplidi2p.Comenotoleradicim-esimediz hanno modulo
pari alla radice m-esima del modulo dize argomenti pari
allargomento di zdiviso per m. In questo caso4 m =quindi ( )224 8 2
4 49 3nj n jz e eppp p++= = Si ottengono cos 4 determinazioni
distinte, corrispondenti a0,1, 2, 3 n = : Esercizio 2 Per() ( )
3cos /3 t t w p = + a sihasubito 33ja ep= .Per() ( ) sin /4 t t w p
= + b occorre ricondursi alla funzione coseno:() ( ) cos /4 cos
/42t t tpw p w p = + - = - bda cui si ottiene 4jb ep-= . 83jepReIm(
)8 23jep p+( )83jepp +38 23jep p + 12 Esercizio 3 PerA abbiamo ( )
( )( )R 0 0 0 0J 0 0 0 030 cos /6212 cos /2 /6 24 2 2Tppp pw= = + -
= + = - = - = - - - = - - A y z y zA x z x zAA A dunque R J 0 0 0 0
0 0 03 1 32 22 2 2jj j j - = + = + + - - = - + + A A A y z x z x y
z . PerBsipuprocedereallostessomodo.Inalternativa,possiamoprocedere
determinando direttamente i fasori delle componenti cartesiane diB
: ( )2 20 0 0 0 0 0j je e j j jp p-= + = - = - B x z x z x z
Esercizio 4 Si ha R 02 = V x , J 02 = V y , R 0 03 = + W x y , R 0
0= - W x y , dunque ()()( ) ( )R J 0 0R J 0 0 0 0cos sin 2 cos 2
sincos sin 3 cos sint t t t tt t t t tw w w ww w w w= - = -= - = +
- -V V x yW W x y x yVW Essendo R J= V V e R J0 = V V
lapolarizzazionedelvettoreV circolare.Essendo R J W W
lapolarizzazionedelvettoreW noncircolare;daltraparte R J 0(1 3) = -
+ W W z 0,quindilapolarizzazionedelvettoreW nonnemmeno lineare; si
conclude che W polarizzato ellitticamente. 13 Esercizi sulle
relazioni costitutive Esercizio 1
Scriverelarelazionecostitutivachelegalinduzioneelettrica( ) ,t r D
alcampo elettrico( ) ,t r E
inunmezzolineare,stazionario,omogeneo,anisotropoenon
dispersivosapendocheaicampielettrici(cause) 1 02 = x E , 2 03 = y E
, 3 0= z Eespressiin/ V
mcorrispondonorispettivamenteleinduzioni(effetti) ( )1 0 0 02 4 e =
+ x y D ,( )2 0 0 06 6 e = + x y D , 3 0 05 e = z Despresse in 2/ C
m . Esercizio 2
UndielettricononpolarevienedescrittomedianteilmodellodiLorentzcon
parametri 173 10-3 m = N , 251.1 10kg-= m , 171.6 10C-= q , 902
10rad/s = , 84 10-1 s = . Calcolare il valore della costante
dielettrica relativa ( )re wper 0w w =e nei limiti di bassa
frequenza e alta frequenza. 14 Soluzioni Esercizio 1 La relazione
costitutiva per il mezzo considerato si scrive ( ) ( ) , , t t = r
r D E e . Perlacostantedielettricadiadicasiha 301j jj ==x e e
doveivettori, 1, 2, 3jj= e ,
sonoleinduzioni(effetti)dovutiaicampielettrici(cause)diampiezzaunitaria
0 , 1, 2, 3j jj = = x
.Conidatiadisposizionesihaallora(tenendocontoche 01 0 02 0 03 0, ,
= = = x x x y x z ) 1 12 = D e , 2 23 = D e , 3 3= D e
dacuirisulta( )1 0 0 02 e = + x y e , ( )2 0 0 02 2 e = + x y e , 3
0 05 e = z e .Lacostante dielettrica diadica quindi ( ) ( )[ ]0 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2 52 2 2 5ee = + + + + = = + +
+ +x y x x y y zzxx xy yx yy zze. Si tratta di un diadico
simmetrico la cui rappresentazione matriciale 01 2 02 2 00 0 5e .
15 Esercizio 2 Secondo il modello di Lorentz per la costante
dielettrica relativa si ha ( )( )( )( )2 2 20rR22 2 2 2002rJ22 2 2
2001424NqmNqmw we wew w awawe wew w aw-= +- += -- + Allafrequenza
0w w = risulta( )rR 01 e w = ,( )2rJ 00 052Nqme wwe a= - -pertanto
( )r 01 5 j e w -. Nel limite di bassa frequenza invece si ha (
)2rR20 01 3Nqme wwe+ ,( )rJ 00 e w pertanto ( )r3 e w.
Nellimitedialtafrequenzainfinerisulta ( )2 19rR2 207.9101 1Nqme we
w w- -( )rJ 00 e w pertanto ( )19r27.9101 e ww-. Nei grafici
seguenti sono riportati gli andamenti delle funzioni ( )rRe we (
)rje w -in funzione della pulsazione normalizzata 0/ w w . 1 2 3
4-22468101 2 3 4246810rRerJe -0/ w w0/ w w 16 Esercizi sul teorema
di Poynting Esercizio 1 Dato il campo elettromagnetico nel dominio
del tempo ( )( )( )( )0 0 0 02 21 1, , ,1 1zt ztz ct z ct= =- -+ +x
y/ /E H E H dove 01V/m = E , 0 0 0/h = H E ,6 m = / (einoltre 80
01/ 310 m/s c m e = , 0 0 0/ 120 h m e p = W):
1)verificarechetalecamposoddisfaleequazionidiMaxwellnel vuoto;
2)calcolarelenergiaimmagazzinatanelcampoelettromagnetico
allistante0 s t = allinternodelcubodilato2/ aventeilcentro
nellorigine delle coordinate;
3)calcolarelapotenzaelettromagneticauscentedallasuperficiedi
frontiera dello stesso cubo agli istanti0 s t =e40 ns t = .
Esercizio 2 Dato il campo elettromagnetico nel dominio dei fasori (
)( )( )( )0 0 0 0,j j z j j zz E e z H eb a b a - - - -= = E x H y
dove[ ]01V/m E = , 0 0 / H E h = ,[ ]/8440 / 2jeph p = W einoltre
-1420 2 cos m8pb p = , -1420 2 sin m8pa p = : 17
1)verificarechetalecamposoddisfaleequazionidiMaxwellnel
dominiodeifasoriallafrequenzadi1 GHz inunmezzolineare,
stazionario,omogeneo,isotropoenondispersivoconparametri costitutivi
r1 m = , r9 e = ,[ ] 0.5S/m s = ;
2)calcolareladensitdipotenzadissipatamediamentepereffetto Joule
nellorigine delle coordinate; 3)calcolare la densit di potenza
scambiata mediamente in un periodo
conilcampoelettricoeconilcampomagneticonelloriginedelle coordinate.
18 Soluzion1 Esercizio 1 1) Calcoliamo il rotore del campo
elettrico: ( )( )( )0 0 003/220 0 0 02, / / /, 0 01 1 2121xxzt x y
zzztz ct z ctzz ct- = = = - - = = - + - + x y xyy y/ / //EEEE E. e
la derivata temporale del campo magnetico ( )( )( )3/220 0 0 0 02,
1 1 2121zt z ct z ctct tz ct- - - = = - + - - + y y y/ / //HH H .
Essendo 0 0 0 0 0/ / c c h m = = H E E
,confrontandoleespressioniprecedentirisulta verificata la prima
Equazione di Maxwell: 0tm = -HE . Analogamente si procede per la
seconda Equazione di Maxwell. 2) La densit di energia elettrica Ew
data da ( ) ( )20 0 0 01 1 1, = ,2 2 2E x x xw zt zt e e = = x x ED
E E E Lenergia elettrica contenuta allistante0s t =nel
volumecubicotdi lato2/con centro nellorigine si ottiene integrando
sutla densit di energia( ) , 0Ew z: 19 ( ) ( ) ( ) ( )( )22 20 0112
2 2 2 3 20 0 0 0 0 02 21193 2 3 2 32 90 0 0 01 1, 0 d , 0 d d d 2 ,
0 d2 21 1 1 1 14 d 4 d 4 arctan2 2 2111 104 2 6 1 610 J2 4 36E E x
xW w z z x y z z zz z zzztt e ee e epe pe pp- - - -+-- ---= = = = =
= = = + + = = = / / / // / / ///// // /// / E EE E EE E
Analogamente, la densit di energia magnetica Hw data da ( ) ( )20 0
0 01 1 1, = ,2 2 2H y y yw zt zt m m = = y y H B H H H Poich
risulta( ) ( )0, , /y xzt zt h = H E , si ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
20 0 0001 1 1 1, , , , ,2 2 2H y x x Ew zt zt zt zt w zt m m eme= =
= = H E E quindi lenergia magnetica contenuta int pari allenergia
elettrica contenuta nello stesso volume: 9610 JH EW W-= = .
Lenergia totale immagazzinata nel campo elettromagnetico la somma
delle energie elettrica e magnetica: 91210 JH EW W W-= + = . 3)
Lapotenzaelettromagnetica()SP t uscenteallistantet
dallasuperficiedifrontiera S t = si ottiene calcolando il flusso
del vettore di Poynting= E H Puscente da S : () dSSP t St =n
= P (doven il versore normale aSorientato verso lesterno dit ).
Essendo 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )0 0 00 0 0 02, , , , ,1,1x y x
yzzt zt zt zt ztztz ct= = == = P-+x y zz z/P E H E HE H si vede che
il vettore di Poynting diretto lungo lassez . Pertanto le facce
laterali del cubot postesuipiani, x y = = / /
,avendonormaliortogonaliallassez ,non danno contributo al flusso
diP. Allistante0s t =si ha poi ( ) ( )( )0 0 0 021, 0 , 01zz zz=
P+z z/P = E H ; essendo( ) , 0zz Punafunzione pari dizil flusso diP
attraverso la faccia del cubo posta sul pianoz= -/ uguale ed
opposto al flusso attraverso la faccia inz= +/(i versori sulle due
facce sono opposti). In definitiva quindi risulta( ) 0 0SP = . Ad
un istante0s t si ha invece ( ) ( )( )0 0 0 021, ,1zzt ztz ct= P-+z
z/P = E H . In particolare per40ns t t = =risulta 8 9310 4010 12m=2
ct-@ = /quindi si ha 2 z ct z - -=// /. Il flusso del vettore di
Poynting attraverso la faccia posta inz= -/vale allora ( ) ( ) ( )2
20 0 0222 2 00 001, d d 2 , 42114 21 9 5zzt x y th+ +- -- = - P - =
- = -- + = - = -+ z/ // // / // /// /P E HEE H mentre il flusso
attraverso la faccia inz= +/risulta 21 ( ) ( ) ( )2 20 0 0222 2 00
001, d d 2 , 42114 21 1zzt x y th+ +- - = P + = = +- + = =+ z/ //
// // / /// /P E HEE H. In definitiva quindi, sommando i contributi
delle facce inz= /si trova ( )2 2 2 22 2 2 2 0 0 00 0 01 1240ns 2 2
8 86 0.153 W5 5 5120 25SP th h h p p= = - + = @ = @/ / /E E E.
Esercizio 2 1) Calcoliamo il rotore del campo elettrico: ( )( )( )(
)( )0 0 000 0 0 0, / / /, 0 0xxj j z j j zEzt x y zzE ztE e j j E
ezb a b ab a- - - - = = = = = - - x y xE yy y. e il secondo membro
della prima equazione di Maxwell ( ) ( ) 00 0 0j j z j j zEj j H e
j eb a b awm wm wmh- - - -- = - = - H y y . La prima Equazione di
Maxwell sar verificata se risulta jwmb ah- = ; calcolando il
rapporto a secondo membro si ottiene: 9 74 48842 10 4 1020 2 20
2cos sin8 8 402jje jeppwm p p p pp ph p-- = = = - ; 22 confrontando
con le espressioni date perbea si conclude che la prima Equazione
di Maxwell verificata. Calcoliamo poi il rotore del campo magnetico
( )( )( )( )0 0 000 0 0 0/ / / x0 , 0x xyyj j z j j zHx y zzH ztHe
j j Hezb a b ab a- - - - = = - = = - = - x y xH. e il secondo
membro della seconda equazione di Maxwell ( ) ( )( )( )( )0 00 0j j
zj j zj j j E ej H eb ab as we s we s wes weh- -- -+ = + = + == +E
E E xx. La seconda Equazione di Maxwell sar verificata se risulta (
) ( ) j j j j s weh b a a b + = - = + ; calcolando il prodotto a
primo membro si ottiene: ( )99844 48 84410 400.5 2 10 936 21 14020
2 20 2cos sin2 2 2 8 820 2sin cos8 8jj jj j ej e j e j jjpp pps weh
ppp p pp pp pp-- + = + = = + = = - = = + = ;
confrontandoconleespressionidateperb easiconcludecheanchelaseconda
Equazione di Maxwell verificata. 2) La densit di potenza dissipata
mediamente in un periodo per effetto Joule ( )22 2 2c 0 0 01 1 1=2
2 2j j z zE e E eb a as s s- - -= = E x p Nellorigine delle
coordinate quindi risulta 23 22 3c 01 10.51 0.25W/m2 2E s = = = p
3)
Ledensitdipotenzascambiatemediamenteinunperiodoconilcampoelettricoe
con il campo magnetico sono date da 2E J2H J1212wewm= -= -EHpp
Poicheem nel mezzo considerato sono reali entrambe le quantit sono
nulle. 24 Esercizi sulle onde piane Esercizio
Unondapiananellospazioliberohailcampoelettricoespressoneldominiodei
fasori da ( )( )( )403 20 0j x yep- += - Er x y .
Individuareilvettoredipolarizzazionedelcampoelettricoeilsuovettoredi
propagazione (vettore di fase e vettore di attenuazione);
1)verificarechetalecamposoddisfalequazionediHelmholtzela condizione
di solenoidalit alla frequenza di2 GHznel vuoto;
2)calcolareilcampomagneticodellondaedeterminareiltipodi
polarizzazione dei campi elettrico e magnetico; 3)scrivere
lequazione cartesiana delle superfici equifase; 4)calcolare la
velocit di fase dellonda nella direzione dellassex . Ripetere i
precedenti punti per unonda piana avente campo elettrico ( )( )(
)105 5 3 23 20 03 2 5j x y j zj ep- + -= + Er y z . 25 Soluzione 1)
Perilprimocampoelettricoilvettoredipolarizzazione[ ]0 0 0V/m = - E
x y ,il vettoredifase( ) [ ]0 040rad/m3 2p= + x y b
,ilvettorediattenuazionenullo: [ ] Np/m = 0 a , quindi il vettore
di propagazione ( ) [ ]0 040rad/m3 2p= + k x y .
Perilsecondocampoelettricosihavettoredipolarizzazione [ ]0 0 03 2 5
V/m j = + E y z ,vettoredifase( ) [ ]0 050rad/m3 2p= + x y b
,vettoredi attenuazione[ ]0 030 210 Np/m3 2pp = = z z a
einfinevettoredipropagazione ( ) ( )-10 0 0 0 0 050 1010 5 3 2 m3 2
3 2j jp pp = + - = + - k x y z x y z . 2) Affinch il campo
elettrico di unonda piana soddisfi lequazione di Helmholtz deve
esseresoddisfattalacondizionediseparabilit 2 2ck wme = = k k
.Inquestocaso essendo la frequnza pari a2 GHze poich il mezzo il
vuoto risulta 22 2 92 2 -20 082 210 40m3 310ccw p pwme wm e = = = =
Per il primo campo elettrico si ha ( ) ( ) ( )2 2-20 0 0 040 40 40
401 1 m3 2 3 2 3 2 3p p p p = + + = + = k k x y x y Per il secondo
campo elettrico si ha ( ) ( )( )0 0 0 0 0 02 2 2 2-210 105 3 2 5 3
23 2 3 210 10 10 4025 25 18 32 216 m3 2 3 2 3 2 3j jp pp p p p = +
- + - = = + - = = = k k x y z x y z 26 Pertanto entrambi i campi
soddisfano lequazione di Helmholtz.
Lacondizionedisolenoidalitdelcampoelettricodiunondapianaespressa
dallequazione 00 = k E . Per il primo campo elettrico si ha ( ) ( )
( )0 0 0 0 040 401 1 03 2 3 2p p = + - = - = k E x y x y Per il
secondo campo elettrico si ha ( )( )0 0 0 0 0 0105 3 2 3 2 53 21015
2 15 2 03 2j jj jpp = + - + = = - =k E x y z y z Pertanto entrambi
i campi elettrici sono solenoidali. 3) Il campo magnetico della
prima onda dato da ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )403 20 0 0 00 0403
20 0 0 09 7403 201 1 403 21 403 2 2 210 4 10160 2j x yj x yj x
yeeeppppwm wmpp pp- +- +-- + = = + - = = + - = = -Hr k Er x y x yx
y x yz Tale campo diretto lungo lassezpertanto polarizzato
linearmente. Il campo elettrico della prima onda ha vettore di
polarizzazione[ ]0 0 0V/m = - E x yreale, pertanto anchesso
polarizzato linearmente. Il campo magnetico della seconda onda dato
da 27 ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )0105 5 3 23 20 0 0 0 00105 5 3 23
20 0 0 0 09 71030 0 0 011 105 3 2 3 2 53 21 105 3 2 3 2 52 210 4 10
3 2115 2 25 25 18480 2j x y j zj x y j zjj j ej j ej epppwmpwmpp
pp- + -- + ---= = = + - + = = + - + = = - + -Hr k Erx y z y zx y z
y zz y x x( )( )( )5 5 3 22105 5 3 23 20 0 017 25 15 2480 2x y j zj
x y j zj epp+ -- + -== - + x y z Talecampoproporzionalealvettore 0
0 07 25 15 2 j - + x y z chehapartirealee
immaginariaortogonali(quindiescludiamolapolarizzazionelineare)eaventi
modulodiverso(quindiescludiamolapolarizzazionecircolare);pertantoilcampo
magnetico polarizzato ellitticamente. Con un ragionamento analogo
si conclude che anche il campo elettrico della seconda onda
polarizzato ellitticamente. 4)
Lequazionedellesuperficiequifasesiottieneuguagliandoaunacostantela
funzionedifasedellonda.Nelcasodiunondapianalafunzionedifase ( )F =
r r b . Per la prima onda si ha ( ) ( )( )0 0 0 0 0403 2403 2x y zx
ypp = + + + = = +r x y x y z b
pertantolequazionedellesuperfici(piani)equifasecost x y + =
.Perlaseconda onda si ha ( ) ( )( )0 0 0 0 0503 2503 2x y zx ypp =
+ + + = = +r x y x y z b pertanto lequazione delle superfici
(piani) equifase ancoracost x y + = . 28 5) La velocit di fase di
unonda in una direzione orientatarcon versore 0r data da 0rruw wb=
= r b Per la prima onda la velocit di fase nella direzione
dellassex quindi ( )[ ]00 0 098403 22 2103 2 10 m/s403 2xxuw w
wpbpp= = = =+ = = xx y xb mentre per la seconda onda si ha ( )[ ]00
0 098503 22 210 122 10 m/s5053 2xxuw w wpbpp= = = =+ = = xx y xb 29
Esercizi sulle coordinate curvilinee Esercizio 1
Partendodallerelazionicheesprimonolecoordinatecartesiane( , , ) xyz
infunzione delle coordinate sferiche ( , , ) rq j : sin cossin
sincosx ry rz rq jq jq===
sidetermininoleespressionideiversorifondamentaliincoordinatesferiche
( )0 0 0, , r q jin funzione dei versori fondamentali( )0 0 0, , x
y zin coordinate cartesiane e viceversa le espressioni di( )0 0 0,
, x y zin funzione di( )0 0 0, , r q j . Esercizio 2 Calcolare in
coordinate sferiche il gradiente e il laplaciano della funzione ( )
( )4jkreg Grr p-= = r definitaper0 r > .Detta at
lasferaconcentronellorigineeraggioa ,calcolareil
flussodelgradientedig attraversolasuperficie aS t =
aventenormalenorientata verso lesterno di at . Esercizio 3
Calcolare in coordinate sferiche il rotore della funzione ( )( ) 0
0sin cos4jkrerq qp-= - + Ar r q 30 Soluzioni Esercizio 1
Derivandorispettoar
leespressionidellecoordinatecartesianeinfunzionedelle
coordinatesferichesiottengonolecomponenticartesianediunvettorevtangente
alla linea coordinata r : 0 0 00 0 0sin cos sin sin cosx y xr r r
rq j q j q = = + + = + +rv x y zx y z Essendo 2 2 2 2 2 2 2sin cos
sin sin cos sin cos 1 q j q j q q q = + + = + = v ,ilversore
fondamentale 0rtangente alla linea coordinata r proprio il
vettorev: 0 0 0 0sin cos sin sin cos q j q j q = + + r x y z
Analogamente si procede per gli altri due versori fondamentali: 0 0
00 0 02 2 2 2 20 0 0 0cos cos cos sin sincos cos cos sin sincos cos
cos sin sinx y xr r rr rq q q qq j q j qq j q j qqq j q j q = + + =
+ -= + + = = + -rx y zx y zrx y z q 0 0 00 02 2 2 20 0 0sin sin sin
cossin sin sin cos sinsin cosx y xr rr rj j j jq j q jq j q j qjj j
= + + = - += + = = - +rx y zx yrx y j Sinteticamente possiamo
scrivere: 31 ( ) ( )0 0 0 0 0 0sin cos cos cos sinsin sin cos sin
coscos sin 0, , , , AAq j q j jq j q j jq q-- = = r x y z q j La
matrice[ ] Ache esprime il cambiamento di base una matrice
ortogonale, poich lebasi( )0 0 0, , x y z e( )0 0 0, , r q j
sonoortonormali.Pertantolasuainversaparialla sua trasposta e
abbiamo immediatamente ( ) ( )T0 0 0 0 0 0Tsin cos sin sin coscos
cos cos sin sinsin cos 0, , , , AAq j q j qq j q j qj j-- = = x y z
r q j Esercizio 2 Lespressione generale del gradiente di una
funzioneF in coordinate sferiche : ( )0 0 01 1sin r r r q q jF F FF
= + + r r q j Nel caso in esame la funzione Gnon dipende dalle
coordinate angolari, pertanto 0 0 02 214 4jkr jkrjkrG jkre e jkrG
er r r p p- -- - - + = = = -r r r Dallespressione generale del
laplaciano in coordinate sferiche ( )22 22 2 2 2 21 1 1sinsin sinrr
r r r rqq q q q j F F F F = + + rabbiamo poi ( )( )2 22 2221 1
141144jkrjkr jkrjkrG jkrG r er r r r rjke jkr jkerekrppp-- -- + = =
- = = - + + - = = - 32 Infine, tenendo conto che su aS t = risulta
0= n r , calcoliamo il flusso richiesto: ( )22020 020 01d sind
d41sind d414 14jkaSjkajka jkajkaGS e aajkaejkae jkaep ptp pq q jpq
q jppp-=-- -+ = - =+= - =+= - = - + r
Esercizio 3 Lespressione generale del rotore di una funzione (
)Arin coordinate sferiche : ( )( )( )( )0001sinsin1 1sin1rrAArArAr
rArAr rqjjqqq q jq jq = - + + - + + - Ar rqj Nel caso in esame (
)cosrA Gr q = , ( )sin A Grqq = - ,0 Aj=e/ 0 j = , pertanto ( )( )(
)( )( )( )( )( )( )( )0000011sin cos1sin
sin1sin41sin4rjkrjkrjkrArAr rrGr Grr rrGr Grr reer r rejkr rqqq qqq
qqpqp--- = - = = - - = = - + = = - + = = + Ar jjjjj 33 Esercizi
sulla radiazione Esercizio 1
Undipoloelettricoelementarepostonellorigine delle coordinate lungo
lasseze irradianelvuotoallafrequenza[ ] 500 MHz f = con[ ]510 Am
I-= / .Unantenna filiformedilunghezza [ ]20 cm d= parallelaallassez
,concentronelpuntoP di coordinate [ ]( , , ) (5, 0, 0) m xyz = ,
riceve il campo irradiato dal dipolo. 1)Calcolare il campo
elettrico irradiato dal dipolo nel puntoP . 2)
Scriverelespressionedellondapianacheapprossimalonda prodotta dal
dipolo nellintorno diPadottando lapprossimazione di campo lontano
(o di Fraunhofer).
3)Valutarelerrorerelativochesicommettesulmodulodelcampo
elettricoapprossimandoilcampomediantelondapiana
individuatanelpuntoprecedente,sianelpuntoP (alcentro
dellantennaricevente)sianelpuntoQdicoordinate [ ]( , , ) (5, 0,
0.1) m xyz =(allestremit dellantenna ricevente). Esercizio 2
Ladensitdicorrenteelettricachescorresuunantennametallicalinearesottiledi
lunghezza2/ concentronelloriginedellecoordinate,parallelaallassez e
alimentata nel suo punto di mezzo, pu essere rappresentata in modo
approssimato comeunacorrenteimpressaparallelaallassez
,concentratasullostessoassee avente il seguente andamento (perz /
): ( )( ) [ ]( )0sinsink zI z Ik-@// Si calcoli il campo lontano
irradiato da tale corrente impressa. 34 Esercizio 3
Undipoloelettricoelementare(dipolocorto)postonelloriginedellecoordinate
lungolassez eirradianelvuotoallafrequenza10 GHz f = generandouna
potenzarealeparia1 mW
.Calcolareilmodulodelcampoelettricoprodottodal dipolo nel puntoPdi
coordinate( , , ) (2, 2,1) m xyz = . Esercizio 4
Undipoloelettricoelementarepostonellorigine delle coordinate lungo
lasseze irradianelvuotoallafrequenza2 GHz f =
conmomentodidipoloelettrico 16e10 Cm p- = .VerificarecheilpuntoP
dicoordinate ( , , ) (3 / 2, 3 / 2, 4) m xyz =
sitrovanellaregionedicampolontanodeldipoloe
scriverelespressionedellondapianauniformecheapprossimanellintornodel
puntoPil campo prodotto dal dipolo. Esercizio 5 Nel rettangolo del
pianoxycon centro nellorigine e lati di lunghezzaL e W esiste
unacorrenteimpressasuperficiale ( )iS, xy J direttalungolassex
conilseguente andamento: ( )iS 0 0, cosxxy JLp @ J x ( , x Ly W )
Si calcoli il campo lontano irradiato da tale sorgente. 35
Soluzioni Esercizio 1 1.
Leespressioniincoordinatesferichedellecomponentidelcampoelettricoprodotto
dal dipolo elementare sono (cfr. libro di testo, Eqq.
IX.10.27-IX.10.29): 2 22 22 2cos41 1sin 140jkrrjkreE jk Ir jkr kreE
jk Ir jkr krEqjz qpz qp-- = - = + - =//
LecoordinatesferichedelpuntoP sono( )[ ][ ] [ ] , , (5 m , /2 rad ,
0 rad ) rq j p = .Poich nel punto Prisultacos 0 q = , il campo
elettrico ivi diretto lungoq(ovvero lungo z ,poich 0 0= -z q per/2
q p = ).Nelmezzoconsiderato,ilvuoto,lecostanti secondariesono[ ]
120 z p @ W e ( ) [ ]6 8/ 2 50010/ 310 10 /3 rad/m k c w p p = @
=pertanto[ ] 50 /3 52.36 rad kr p @ @
.Sostituendoivalorinumericinellespressionedi Eq sopra riportata
abbiamo: ( )( )( )( ) [ ]50 /3524 /6410 1 1120 10 13 20 50 /350 /32
10 0.999635 0.0190995.37941 3.24437 10 V/mjjeE P jje jjpqpppp
ppp--- -- = + - @ -@ - 2. Lapprossimazione di campo lontano
consiste, per il caso considerato, nel trascurare il secondo e
terzo addendo in parentesi nellespressione diEq. Nel puntoPrisulta
allora: ( )( ) [ ]50 /3ff 54 /6 410120 103 202 10 5.44140 3.14159
10 V/mjjeE P je jpqppppp--- - - @ @ -
(dove lapice ff sta per far field, campo lontano). Poich nel
puntoPsi ha 0 0= r xe 0 0= -z q , londa piana che approssima il
campo prodotto dal dipolo nellintorno di Psar unonda piana uniforme
che si propaga lungo lassexcon il campo elettrico polarizzato
linearmente lungo lassez . La sua espressione analitica quindi 36
PW 0 0jkxE e-= E z (dove il pedice PW sta per Plane Wave, onda
piana). Valutando questa espressione nelpuntoP abbiamo( ) ( ) [ ]50
/3 ff 405.44140 3.14159 10 V/mjE e E P jpq- -= - =- + da cui si pu
ricavare( ) [ ]4 50 /3 405.44140 3.14159 10 6.2831910 V/mjE j e jp
- -@- + @ - , pertanto [ ]4 10 /3PW 06.2831910 V/mj xj ep - -= - E
z 3. Abbiamo visto che il campo elettrico inPha solo la
componenteqnon nulla, di cui abbiamo gi calcolato il valore esatto
( ( ) ( ) [ ]45.37941 3.24437 10 V/m E P jq-@ - ) e il
valoreapprossimatoallaFraunhofer( ( ) ( ) [ ]ff 45.44140 3.14159 10
V/m E P jq-- ); possiamo quindi calcolare lerrore relativo sul
modulo diEinP : ( ) ( )( )( ) ( )( )ff ffr4 444 444( ) ( )(
)5.44140 3.14159 10 5.37941 3.24437 105.37941 3.24437 106.2831910
6.2820410210 0.02%6.2820410P P E P E PP E Pj jjq qqe- --- ---- -=
=- - - @ =- - = @ =E EE IlpuntoQhacoordinatesferiche [ ]2 25 0.1
5.0009999 m r= + = , ( ) [ ]1/2 tan 0.1/5 1.550799 rad 88.854 q p-=
- @ ,0 j = . Sostituendo questi valori nelle espressioni esatte
delle componenti del campo prodotto dal dipolo troviamo: ( ) ( ) [
]( ) ( ) [ ]475.34302 3.29918 10 V/m2.52077 4.08246 10 V/mrE Q jE Q
jq--@ - @- - dacuiotteniamo( ) [ ]46.2795310 V/m Q-@ E
.Adottandolapprossimazione PW@ E E
sihainvece(intuttiipuntidellospazio) ( ) [ ]ff 4PW 06.2831910 V/m E
E Pq-= = @ E ,pertantolerrorerelativosulmodulo diEin Q risulta: 4
44r46.2831910 6.2795310610 0.06%6.2795310e- --- - = @ = 37
Esercizio 2
Consideriamolespressionegeneraledelcampoelettricolontanoirradiatodauna
distribuzione di correnti impresse iJ : ( )( )0ff0 i 0d4jkrjkejk
ertzp- = - r rE r r J r r r
Nelproblemainesamelecorrentiimpressesonoconcentratesulsegmento ( )
{ } 0, 0, , x y z G = = = - + / / dellassez esonodirettelungoz
;analiticamente quindi possono essere espresse mediante la funzione
Delta di Dirac lineare ( )dGr : ( ) ( ) ( )iI z dG= J r r
Sostituendo questa nellespressione del campo elettrico lontano
abbiamo ( )( )( )0 0ff0 0 0cos0dssin djk zjk zjk I z ejk I z e zqzz
q G+-= - = =r zE r r z r//q (dove si fatto uso delle( )0 0 0 0 0 0
0 = - r z r z z r re 0 0 0sin cos q q = - + z r q , da cui siricava
0 0 0 0 0 0 0sin cos cos sin q q q q = - + - = - r z r r r q q
).Aquestopuntoil problema si riduce al calcolo dellintegrale inz,
che per la distribuzione di corrente assegnata diventa ( )( )( )(
)( ) ( )cos cos 00cos cos 00d sin dsinsin d sin dsinjk z jk zjk z
jk zII z e z k z e zkIk z e z k z e zkq qq q+ + - -+ - = - = = + +
- / // ////// //
Rappresentandolafunzionesenonellintegrandomediantelefunzioniesponenziali
secondolanotarelazione ( )sin /2j je ea aa-= -
ilcalcolodegliintegrali 38 immediato; posto per brevitcoszk k q =si
ha: ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )0 001sin d d21d21 1
1212z zz zz zz zjk z jk zjk z jk zj k kz j k kz jk jkj k k j k kjk
jkz zjk jk jk jkz zk z e z e e e zje e e e zje ee ej j k k j k kk k
e e k k e e + - + - - + - --- + - --- - - + = - = = - - - = - = + -
- - - + -= / // // /// // // / / //( ) ( )( )( )2 22 22 sin 2
cos2zzjkzzk kjk k ke kk k-=-+ -=-// / ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )(
)( )( )( )( )0 002 21sin d d21d21 1 1212z zz zz zz zjk z jk zjk z
jk zj k kz j k kz jk jkj k k j k kjk jkz zjk jk jk jkz zzk z e z e
e e zje e e e zje ee ej j k k j k kk k e e k k e ek k - - - - + --
+-- - = - = = - - - = - = - + + - - - -= =- / // /// // // // / /
//( ) ( )( )( )2 22 sin 2 cos2zjkzzjk k ke kk k- + -=-// / dunque (
)( )( )( ) ( )( ) ( )2 22 222cossin d 22cos cos2cos cos cos2sinz
zzjk jkjk zzzze e kk z e z kk kk kkk kk kkqq-+ - - = = --= =--= //
///// // / e infine ( )( )( ) ( )ff 00cos cos cos 24 sin sinjkrk k
e Ijkr k kqzp q--= E r/ //q 39 Esercizio 3 La potenza totale
irradiata da un dipolo corto (cfr. libro di testo, Eq. IX.10.41):
22tot3P Ipzl = / Conidatidelproblema( 10 GHz f = , 3tot1 mW 10 W P-
= = )possiamoquindi calcolare il prodottoI / : 83 4tot tot93 3 310
3 310 10 Am120 21010cI P Pflpz pz p p p- - = = @ = /
Leespressionidellecomponentiincoordinatesferichedelcampoprodottodaun
dipolo corto posto nellorigine delle coordinate lungo lassezsono
(cfr. libro di testo, Eqq. IX.10.27-IX.10.29): 2 22 22 2cos41 1sin
140jkrrjkreE jk Ir jkr kreE jk Ir jkr krEqjz qpz qp-- = - = + - =//
NelpuntoP risulta 2 2 22 2 1 9 3 m r = + + = = ecos / 1 / 3 z r q =
= (dacui sin 2 2 / 3 q = ); non necessario calcolare la coordinataj
perch le espressioni del
camposoprariportatenondipendonodatalecoordinata.Essendopoi0 Ej= ,il
modulo del campo nel puntoPsar: 2 2rE Eq= + E Ora, per i moduli
delle componenti del campo elettrico abbiamo: 40 2 22 21 2 2cos41 1
1sin 14rE k Ir jkrkrE k Ir jkrkrqz qpz qp= -= + -// dove ai secondi
membri figurano tutte quantit note. Effettuando i calcoli si trova:
rEEq@@ e infine... @ E Esercizio 4 CalcoliamoinnanzituttolaquantitI
/ ,chelegataalmomentodidipoloelettrico ep dallarelazione eI j p w =
/ ,percui 9 16 72 210 10 410 Am I j j p p- - = = / .
DeterminiamopoilecoordinatesferichedelpuntoP : ( ) ( )2 223 / 2 3 /
2 4 9 16 5 m r = + + = + = ,cos / 4 / 5 z r q = = (dacui sin 3 / 5
q = ), ( )2 2cos / 3 / 2/ 9 / 2 9 / 2 1 / 2 x x y j = + = + =
(dacui sin 1 / 2 j = ).Risultainoltre ( )9 8/ 2 210/310 40 / 3
rad/m k c w p p = @ = e quindi R2 / 2 / 0.15[m] k k l p p = = = ;
constatiamo cher l , dunque il puntoPsi trova nella regione di
campo lontano del dipolo. A questo punto possiamo calcolare il
campo elettrico secondo le formule (cfr. libro di testo, Eqq.
IX.10.34-IX.10.36) 0sin40rjkrEeE jk IrEqjz qp-@@=/ Pertanto risulta
41 ( ) ( )0 04053730 0sin440 3120 410 1923 4 5 5jkrjjeP E P jk Irej
j eqppz qppp pp-- -@ @ == =E / q qq q Londa piana che approssima
nellintorno di un punto posto nella regione di campo
lontanoilcampoprodottodaqualunquesorgentesipropagaindirezioneradiale
allontanandosidallasorgente.In questo caso dunque si propaga nella
direzione del versore 0 0 0 0sin cos sin sin cos q f q f q = + + r
x y z , ovvero 0 0 0 03 3 455 2 5 2= + + r x y z Lespressione
dellonda piana richiesta dunque ( )040 3 3 43 5 PW 5 2 5 20 0j x y
zjke ep - + + - = =r rE r E E Uguagliando questa espressione al
valore del campo elettrico nel puntoPpossiamo infine determinare il
vettore 0E : ( )040 3 3 3 3 420043 55 2 2 5 2 23 30 0 0 020130
0192192Pjj jjkjP e e e eepp pp - + + - - = = = = =r rE E E EEqq
Esercizio 5
Ilcampolontanoprodottodallasorgenteassegnatasiscrive(cfr.libroditesto,Eq.
IX.5.28): ( )( )0/2 /2ff0 0 0 0/2 /2/2 /2sin cos sin sin00 0 0/2
/2cos d d4cos d d4L WjkrjkL WL Wjkrjkx yL We xjk J e x yr Le xjk J
e x yr Lq j q fpzppzp+ +- - -+ +- +- - = - = = - r rE r r x rr x r
42 avendoconsideratochenelrettangoloindicatorisulta 0 0x y = + r x
y echeinoltre 0 0 0 0sin cos sin sin cos q f q f q = + + r x y z
.Perquantoriguardalapartevettoriale, poich 0 0 0 0sin cos cos cos
sin q f q f = + - x r q jjsi ha ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0cos cos sin q f
= - = - r x r x r x r q jj
Perquantoriguardalintegrale,essendolintegrandofattorizzabileeildominiodi
integrazione rettangolare possiamo scrivere: ( )/2 /2sin cos sin
sin/2 /2/2 /2sin cos sin sin/2 /2/2 /2/2 /2cos d dcos d dcos d dy
xL Wjkx yL WL Wjkx jkyL WL Wjk y jkxL Wxe x yLxe x e yLxe x e yLq j
q fq j q fppp+ +- -+ - -+ - - = = = dovesipostoperbrevitsin cosxk k
q j = esin sinyk k q j = .Aquestopuntogli integrali sono elementari
e risulta /2 /2/2 /2/2/21cos d d21d ...2cos2 2x xx xL L x xj jjkx
jkxL LL LLj k x j k xL LLxxe x e e e xLe e xLkLLp pp pppp+ + + - -
- + + + - - - = + = + = = 22xk - /2/2/2/22d sin2yyWWjk yjk yyy yWWe
We y kjk k+-- = = 43 Il campo lontano irradiato dalla sorgente
assegnata quindi ( ) ( )( )ff0 0 022cos cos sin4cos sin cos2 2 2sin
sin sinsin sin 2sin cosjkrejk JrLkWkL kkLz q fpq jpq jq jpq j-= - -
- E r q jj 44 Esercizi sullincidenza normale di onde piane
Esercizio 1
Unondapianauniformeincidenormalmentesullasuperficiepianadiseparazione
fraduesemispazioccupatidamezzidiversi,entrambilineari,stazionari,isotropi,
omogeneienondispersivi.Londaprovienedalmezzo1con 1 0m m = , 1 0e e
= , 10 s =(vuoto) e incide sul mezzo 2 con 2 0m m = , 2 r 0e e e =
, 20 s =(dielettrico perfetto non magnetico).
Determinarelafrazionedelladensitdipotenzamediatrasportataindirezione
normaleallinterfacciadallondaincidentechevienetrasferitaallondatrasmessa.
Mostrarechetalerisultatonondipendedallostatodipolarizzazionedellonda
incidente. Calcolare numericamente detta frazione per r2, 5, 10 e =
. Esercizio 2 Unonda piana uniforme si propaga nel vuoto lungo
lassezpositivo alla frequenza 100MHz f =
conilcampoelettricopolarizzatolinearmentelungolassex eincide
sullasuperficiediinterfacciaconilsemispazio0 z >
occupatodarame(2 0m m @ , 2 0e e @ , 725.810S/m s @ ).
a)Scrivereleespressionideicampielettricoemagneticodelleondeincidente,
riflessaetrasmessa,ecalcolareaqualedistanzadallinterfaccialonda
trasmessa si attenuata del 50%;
b)Supponendochelondaincidentetrasportinelladirezionedipropagazione
unadensitdipotenzamedia i 21 mW/mz= P ,calcolarelapotenzamedia
dissipatadallondatrasmessapereffettoJouleperunitdisuperficie
ortogonale alla direzione di propagazione. 45 Soluzioni Esercizio 1
Siassumainizialmenteunondaincidentepolarizzatalinearmenteeunsistemadi
riferimento come in figura: Londa incidente cio: ( )( )11i i0 0ii
001jk zjk zE eEez--==E r xH r y dove 1 1 1k w m e = e 1 1 1/ z m e
= .Ladensitdipotenzamedia izP trasportatada questonda lungo lassez
data dalla componentezdella parte reale del vettore di Poynting
dellonda. Risulta: *1 1*ii i i i 00 0 011 12 2jk z jkzEE e ez- + =
= P E H x y Poich i mezzi sono privi di perdite, 1ze 1ksono numeri
reali, dunque 2ii i*0i 0 00 0 01 11 12 2EEEz z= = P x y z cio iP un
vettore reale diretto lungoz . Allora 2i0i112zEz= Pi0 0= e xi1 0k =
k zzx1 2 46 Londa trasmessa : ( )( )22t t0 0tt 002jk zjk zE
eEez--==E r xH r y dove 2 2 2k w m e = e 2 2 2/ z m e =
.Ladensitdipotenzamedia tzP trasportatada questonda lungo lassezsi
calcola come per londa incidente e risulta 2t0t212zEz= P
Tenendocontoche t i0 0 EE TE = ,dove ( )2 1 22 /ET z z z = +
ilcoefficientedi trasmissione per il campo elettrico, si ha 2 2 2i
i i2 2 20 0 0t 1 12 2 1 2 12i 121 1 12 2 2z E E EE zE E ET T TTz zz
z z z zzz= = = ==PP
Pertantolafrazionedelladensitdipotenzaincidentetrasferitaallondatrasmessa
risulta ( )2t21 2 1 1 22i2 1 2 21 22 4zEzTz z z z zhz z z zz z = =
= = + +PP Tenendo conto che 1 1 1 0 0 0/ / z m e m e z = =
=(impedenza caratteristica del vuoto) e che ( )2 2 2 0 r 0 0 r/ / /
z m e m e e z e = = = , si ha ( ) ( )0 0 r r2 20 0 r r4 / 4/ 1z z e
ehz z e e= =+ + 47 Sostituendo i valori numerici indicati nel testo
abbiamo infine ( ) ( ) ( )r r r2 0.97; 5 0.85; 10 0.73 h e h e h e
= @ = @ = @ Il risultato trovato non dipende dallo stato di
polarizzazione dellonda incidente. Per dimostrarlo, consideriamo la
pi generale onda piana uniforme che si propaga lungo lassez : ( )(
)11i i0i i0jk zjk zee--==E r EH r H avente il campo elettrico
polarizzato in generale ellitticamente nel pianoxy : ( )i i i0 0 0
0 x yE E = + E r x y e inoltre ( )( )i i i i0 0 0 0 0 01 11 1x yE
Ez z= = - H r z E y x Questonda si pu decomporre nella somma di due
onde piane uniformi polarizzate linearmente: ( ) ( ) ( )( ) ( ) (
)i1 2i1 2= += +E r E r E rH r H r H r dove ( )( )( )( )1 11 1i i2 0
0 1 0 0i i0 01 0 2 01 1jk z jk zy xjk z jk z y xE e E eE Ee ez z-
-- - = = = = - E r y E r xH r y H r x Per ciascuna delle due onde {
}1 1, E He { }2 2, E Hvale il risultato trovato prima perh .
Essendo poi 48 *1 1i i i* i i*0 0 0 02i i* i0 0 0 0 0*112t t0 021
12 21 1 12 212jk z jkze ezzz- += = = = = =P E H E HE z E E zP E z e
inoltre 2 2 2i i i0 0 02 2 2 2 2t t t t t0 0 0 0 02 22i i0 0x yx y
E x E yE x yE EE E TE TET E E= += + = + = = + EE
(dovesifattousoperciascunadelledueondepolarizzatelinearmentedel
coefficiente di trasmissione ET ), risulta 2tt 022 1i
2i2011212zEzTz zhzz= = =EEPP come gi trovato nel caso di onda
incidente polarizzata linearmente. Esercizio 2 Londa incidente
mostrata in figura: Le onde incidenti, riflessa e trasmessa sono:
i0 0= e xi1 0k = k zzx1 21 01 010m me es===2 02 0725.810 S/mm me
es@@ @ 49 ( )( )( )( )( )( )1 1 21 1 2i i r r t t0 0 0 0 0 0i r ti
r t 0 0 00 0 01 1 2jk z jk z jk zjk z jk z jk zE e E e E eE E Ee e
ez z z- + -- + -= = == = - =E r x E r x E r xH r y H r y H r y dove
1 1 1k w m e = , 1 1 1/ z m e = , 2 2 c2k w m e =e 2 2 c2/ z m e =
. Il mezzo 2 un buon conduttore, infatti ( )8 92 0 22 10 10 /36 1 /
180 we we p p s-= @ = , dunque: ( )( )2 2 22 2 c2 0 00 2 0 20 2 2R
2J2 2 02c2 c2 2 00 0 02R 2J2 2 212 212 2k jj j k kj jj jjjswm e wm
ewwm s wm swm sm wm wmze we s wewm wm wmz zs s s = = - @ - = - @ @=
= =+@ = + @ @
Ilcampodellondatrasmessasiattenuainmodulosecondolesponenziale (
)2Jexp k z -
,dunquepercalcolareladistanzadallinterfacciaallaqualeilcamposi
attenuato del 50%, cio il suo modulo si ridotto del fattore0.5 ,
porremo: 2J0.5k ze-= da cui 62J 2J 0 21 ln2 2ln0.5 ln2 4.510 m zk k
wm s- = - = = @
Perrisponderealsecondoquesitocalcoliamoladensitdipotenzaperunitdi
volume dissipata (in media in un periodo) per effetto Joule nel
mezzo 2: ( )2J2 22 t td2 2 2 01 12 2k zP E e s s-= = E r
Ladensitdipotenzamediadissipatanellostessomezzoperunitdisuperficie
ortogonale allassezsi calcola integrando d2Prispetto azda zero
allinfinito: 50 2J2J 2J22 2 22 2 t t td2 2 0 2 0 2 02J0 002t2 02J1
1 1d d2 2 2 21 12 2k zk z k zeP E e z E e z EkEks s ss++ +-- - = =
= - =
Ladensitdipotenzamediatrasportatadallondaincidenteperunitdisuperficie
ortogonale allassez invece: 2i i0012zP Ez= Dunque la frazione
richiesta 2t22t 2 02d2 2J 2 0 0 2 0 2 0 2i i 2i2J 2J 2J 0 200022222
0 0 2 0 2 222J 2 2J 0 0 2J01 12 2 21 2 2 222222 21EzEP k ETk k kP
EEk k kss z s z s z zz zzzs z z s z z szz z zz= = = =+= @ =+
dovesiintrodottalespressionedelcoefficienteditrasmissione ET
perilcampo
elettricoperincidenzanormaleenellultimaapprossimazionesitenutocontodel
fattoche,essendoilmezzo2unbuonconduttore,risulta 2 1/ 1 z z
.Svolgendo ulteriormente i calcoli si ha infine: 22d2 2 2 0 2 02i20
2J 2 20 0 20 2005 0722 2 2221 / 1802 2 2 2 2.7105.810zP jkPs s wm s
wmzz s sm wm swmseewes-= = = == @ @ 51 Esercizi sullincidenza
obliqua di onde piane Esercizio 1
Unondapianauniformesipropaganelvuotoeincidesullasuperficiepianadi
separazionefrailvuotoeunmezzolineare,stazionario,isotropo,omogeneo,non
dispersivoenondissipativoconparametri 2 0m m = , 2 03 e e = , 20 s
= .Langolodi incidenza pari a/ 3 p . Calcolare il campo elettrico e
magnetico delle onde riflessa e trasmessa quando il vettore di
ampiezza del campo elettrico incidente pari a a) i0 0 0 01 322 2 =
- + + E x y zb) i0 0 0 01 322 2j = - + + E x y z e indicare lo
stato di polarizzazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa.
Esercizio 2
Unondapianauniformepolarizzatacircolarmentedestraincideconangolodi
incidenza i/ 4 q q = sulsemispazio0 z >
,occupatodaunconduttoreelettrico
perfetto,provenendodalvuoto.Ilsuocampoelettriconelloriginedellecoordinate
allistante0 t = ( )i0, 0 5 = 0 y E elafrequenzadioscillazione10 MHz
f = .
Scrivereleespressionineldominiodeifasoridelleondeincidenteeriflessa,
determinarelostatodipolarizzazionediquestultimaecalcolareladensitdi
corrente elettrica superficiale che si stabilisce sulla superficie
di interfaccia0 z=tra il vuoto e il conduttore. 52 Soluzioni
Esercizio 1
Perprimacosascriviamolespressionedelcampoelettromagneticodellonda
incidente.Ilvettoredipropagazione i i1 0k = k b dove 1 0 0 0k k w m
e = = e ( )( )i i i0 0 0 0 0sin cos 3 / 2 1 / 2 q q = + = + x z x z
b .Ilvettorediampiezzadelcampo magnetico , per londa a): i i i0 0 0
0 0 0 0 01 10 0 011 1 3 1 1 322 2 2 22 1 32 2z zz = = + - + + = = -
- + H E x z x y zx y zb e per londa b): i0 0 0 0 0 010 0 011 3 1 1
322 2 2 22 1 32 2jj jzz = + - + + = = - - + H x z x y zx y z
Nelcasoa)ilvettore i0E reale,comepurelo i0H
;pertantoicampielettricoe
magneticosonopolarizzatilinearmente.Nelcasob) i i i0 0R 0Jj = + E E
E con i0R 0 01 322 2 = - + E x z e i0J 02 = E y ;essendo i0R2 = E ,
i0J2 = E e i i0R 0J0 = E E il campo elettrico polarizzato
circolarmente. In modo analogo si constata che anche il campo
magnetico nel caso b) polarizzato circolarmente.
Ilvettoredipropagazionedellondariflessa r r1 0k = k b con ( )( )r i
i0 0 0 0 0sin cos 3 / 2 1 / 2 q q = - = - x z x z b . Langolo di
trasmissione si calcola con la legge di Snell: 53 t i 11 0 02 2 0
01 3 1sin sin sin3 3 2 23m e m epq qm e m e= = = = dacuiricaviamo (
)t 1sin 1 / 2 / 6 q p-= = .Osserviamopoiche i 1 12 1/ 3 tan / tan 3
q p e e- -= = = ,dunque i iBq q = (angolodiBrewster).Risulta
infatti i t/ 2 q q p + = . Per determinarelecaratteristichedi
polarizzazione delle onde riflessa e trasmessa
necessariocalcolareivettoridiampiezza r0E , r0H e t0E , t0H
.Aquestoscopo,
decomponiamolondaincidentenellasommadidueondepolarizzate
orizzontalmente e verticalmente: i i i i i i0 0h 0v 0h 0 0v 0vi i i
i i i0 0h 0v 0h 0h 0v 0E EH H= + = += + = +E E E y eH H H h y
Essendo (cfr. figura) i i i0v 0 0 0 0i i i0h 0 0 0 01 3cos sin2 21
3cos sin2 2q qq q= - = -= - + = - +e x z x zh x z x z
Nelcasoa)risulta i i0 0 0 0 0 0v1 32 2 2 22 2 = - - = - E y x z y e
pertanto i0h2 V/m E = e i0v2 V/m E = - .Siavrpoi i i0h 0h 1 1/ 2 /
H E z z = = e i i0v 0v 1 1/ 2 / H E z z = = - .Nel xzrqiqtqi0hhi0h
0= e y r0h 0= e yr0hht0h 0= e yt0hhxzrqiqtqi0v 0= h y r0ver0v 0= -
h yt0vet0v 0= h yi0ve 54 casob)invece i i0 0 0 0 0 0v1 32 2 2 22 2j
j = - - = - E y x z y e pertanto i0h2 V/m E j = e i0v2 V/m E = - ,
i0h 12 / H j z = , i0v 12 / H z = - . Calcoliamo ora i coefficienti
di riflessione h ESe v ES : i t t i2 21 1h vi t t i2 21 1cos cos
cos coscos cos cos cosE ES Sz zq q q qz zz zq q q qz z- -= =+ +
Siha 1 0 0 0/ z m e z = = , ( )2 0 0 0/3 / 3 z m e z = = , ( )icos
cos / 3 1 / 2 q p = = , ( )tcos cos / 6 3 / 2 q p = = , quindi hv1
1 32 2 1 3 131 3 21 1 32 231 3 12 2301 3 12 23EESS--= = = -++-= =+
(ilfattocheilcoefficientediriflessioneperlapolarizzazioneverticalesianullo
poteva essere previsto avendo constatato che i iBq q = , cio londa
incide allangolo di
Brewster).Londariflessainpolarizzazioneverticalepertantonulla.Quindiper
londa riflessa totale si ha r r r r r0 0h 0h 0h 0h 0r r r r r0 0h
0h 0h 0h 0 0E E1 3H H2 2= = = = = = + E E e yH H h x z (essendo (
)( )r i i0h 0 0 0 0cos sin 1 / 2 3 / 2 q q = + = + h x z x z
).Nelcasoa), h1 / 2ES = , 55 i0h2V/m E = e risulta r i0h h 0h1V/mEE
S E = = - ; dunque, poich r r0h 0h 1/ H E z = : r0 0r0 0 011 1 32 2
z= - = - + E yH x z Nel caso b) si ha i0h2 V/m E j = dunque r0 0r0
0 011 1 32 2jjz= - = - + E yH x z In entrambi i casi a) e b) londa
riflessa polarizzata linearmente (e orizzontalmente). Per londa
trasmessa in polarizzazione orizzontale si ha: t t i0h 0h 0 h 0h
0tt t t 0h0h 0h 0h 0 023 12 2EE T EEHz= = = = - + E y yH h x z ((
)( )t t t0h 0 0 0 0cos sin 3 / 2 1 / 2 q q = - + = - + h x z x z
)dove h h1 1 / 2E ET S = + = .In polarizzazione verticale invece: t
t t i0v 2 0v 0v 2 v 0v 0 0t t i0v 0v 0 v 0v 03 12 2HHH T HH T Hz z
= = - = =E e x zH y y dove v v v1 1 1H H ET S S = - = - = . Dunque
nel caso a) risulta: t i0h h 0h 0 0 0t0h 0 021221 3 12 2ET Ez= = =
= - + E y y yH x z 56 t i 20v 2 v 0v 0 0 0 010 0 0 0t i0v v 0v 0
0123 1 3 12 2 2 22 3 1 12 23 32HHT HT Hzzzz = - = - - = - - = - + =
= -E x z x zx z x zH y y Pertanto t t t0 0h 0v 0 0 0 0 0 0t t t0 0h
0v 0 0 02 10 0 011 13 31 3 1 22 21 3 322 2z zz = + = +- + = - + + =
+ = - + +- = = - - + E E E y x z x y zH H H x z yx y z Essendo t0E
e t0H vettorirealianchelondatrasmessarisultaesserepolarizzata
linearmente; tuttavia essa non polarizzata n orizzontalmente n
verticalmente, ma una sovrapposizione di queste due polarizzazioni.
Nel caso b) invece, essendo i0h2 E j =e i0h 12 / H j z = , risulta
t0h 0t0h 0 023 12 2jjz= = - + E yH x z e t0v 0 0t0v 01132z= - += -E
x zH y Dunque 57 t t t0 0h 0v 0 0 0t t t0 0h 0v 0 0 01131 3 322 2jj
jz= + = - + + = + = - - + E E E x y zH H H x y z Inquestocasosiha t
t t0 0R 0J= + E E E con t t0R 0J0 = E E ma ( )t0R 0 01 / 3 4 / 3 =-
+ = E x z , tJ 01 j = = E y ,dunqueilcampoelettrico polarizzato
ellitticamente. Lo stesso si verifica per il campo magnetico t0H .
Esercizio 2 Espressioni generali delle onde incidente e riflessa:
i0 0 0 0i r0 0 0 0i i r r0 0i i i r r0 0 0 0 0 00 01 1rjk jkjk jk
re ee ez z- - - - = == = r rr rE E E EH E H Eb bb bb b dove ( )7
80/ 2 10/310 / 15rad/m k c w p p = @ = e inoltre (cfr. figura): i i
i0 0 0 0 0r i i0 0 0 0 02 2sin cos2 22 2sin cos2 2q qq q= + = += -
= -x z x zx z x zbb Londa incidente, essendo piana uniforme, TEMb,
dunque il suo campo elettrico polarizzato nel piano formato dai
vettori i0vee 0y : i0h 0= e yxzr iq q =iq r i i0v 0 0cos sin q q =
+ e x zi i i0v 0 0cos sin q q = - e x zr0h 0= e yPEC 58 i i i i0 0h
0 0v 0vE E = + E y e La condizione perch tale campo elettrico sia
polarizzato circolarmente i i0h 0vi i0h 0vi i0h 0varg arg2E EE jEE
Ep= = - = dunque possiamo scrivere ( )i i i0 0v 0 0vE j = + E y e .
I due segni alternativi distinguono
lapolarizzazionedestradallapolarizzazionesinistra.Passandoneldominiodel
tempo abbiamo: i i0 0v 0v 0cos sin j t t w w + y e e y ( cui
corrispondono ai versi indicati in figura (ricordiamo che la
polarizzazione destra
corrispondealversodirotazionediunavitecheavanzanelladirezionedi
propagazione dellonda, in questo caso la direzione di i0b ):
Polarizzazione sinistraPolarizzazione destra Risultapertanto ( )i i
i0 0v 0 0vE j = - + E y e .Ilvettoredipolarizzazionedelrelativo
campo magnetico allora ( ) ( )( )i i i i i i i i0 0 0 0v 0 0 0v 0v
0v 00 0 0ii 0v0 0v01 1 1E j E jEj jz z zz= = - + = -= - +H E y e e
yy eb b
anchessopolarizzatocircolarmentedestro.Indefinitivaabbiamo,perlonda
incidente: i0 0vj + y ei0 0vj - + y ei0ve0yi0bi0ve0yi0b59 ( )( )(
)( )i i i15 20 0v 0 0vii i 0v 15 20 0 0v0j x zj x zE j eEj j eppz-
+- += - += - +E y eH y e
Calcoliamooralondariflessa,tenendocontocheicoefficientidiriflessioneperil
campo elettrico in polarizzazione orizzontale e verticale sono
uguali e pari a1 - : ( ) ( )( )r r r r i i r0 0h 0 0v 0v h 0h 0 v
0v 0vi i r i r0h 0 0v 0v 0v 0 0vir r r r 0v0 0 0 0 0v0 01E EE E S E
S EE E E jEj jz z= + = + == - + = - - += = - +E y e y ey e y eH E y
e b In questo caso i campi sono polarizzati circolarmente sinistri:
r r0 0v 0v 0cos sin j t t w w - + + y e e y Possiamo infine
calcolare il campo magnetico totale sul piano di interfaccia0 z= :
( ) ( )( ) ( )i ii r i r 0v 0v 15 2 15 20 0v 0 0v0 0i ii r i 0v 0v
15 2 15 20 0v 0v 0 00 0i0v 15 20 002 2 cos222j x j xj x j xj xE Ej
j e j j eE Ej j e j j eEj j ep pp ppz zqz zz- -- --= + = - + + - +
== - + + = - + = = - + H H H y e y ey e e y xy x e da questo la
densit di corrente superficiale: i0v 15 2S 0 0 00222j xEj j epz- =
= + J z H y x (che risulta invece polarizzata ellitticamente). r0
0vj - + y er0ve0yr0b 60 Esercizi sulla riflessione totale Esercizio
1
Unondapianauniformepolarizzatacircolarmentedestrasipropagainunmezzo
semplice non magnetico e non dissipativo con 1 04 e e = ,
parallelamente al pianoxz . Essa incide sul piano0 z=di separazione
con il semispazio vuoto0 z > , con angolo diincidenza i/ 4 q p =
.Determinareleonderiflessaetrasmessaallafrequenza 6GHz f = e
discuterne le caratteristiche di polarizzazione. Esercizio 2
Unondapianauniformesipropagainunmezzosemplicenonmagneticoenon
dissipativocon r2 e = eincideconpolarizzazioneorizzontalesulpiano 0
z= di separazionefrailsemispazio0 z <
occupatodatalemezzoeilsemispazio0 z
>occupatodalvuoto.Sicalcoliilcampoelettromagneticoneiduesemispazi
assumendochelangolodiincidenzasia i/ 3 q p =
;sicalcoliinoltreilvettoredi Poynting dellonda trasmessa. 61
Soluzioni Esercizio 1 Scriviamo il vettore di polarizzazione
i0Edellonda incidente rappresentandolo nella base { }i i0h 0 0v, =
e y e (vedifigura)alloscopodiidentificarnelecomponentiin
polarizzazione orizzontale e verticale: i i i i0 0h 0 0v 0vE E = +
E y e Affinch i0E siapolarizzatocircolarmentedestrodeveessere i i0h
0vE E = e i i0h 0varg arg / 2 E E p - = , dunque possiamo scrivere
( )i i i0 0 0v 0E j = - E e y dove ( ) ( )i i i0v 0 0 0 0cos sin 2
/ 2 2 / 2 q q = - = - e x z x z .Risultaquindi i i0h 0E jE = - , i
i0v 0E E = . Il vettore di polarizzazione del relativo campo
magnetico i ii i i i i 0h 0v0 0h 0h 0v 0 0h 01 1E EH Hz z= + = + H
h y h y dove ( ) ( )i i i0h 0 0 0 0cos sin 2 / 2 2 / 2 q q = - + =
- + h x z x z . Ilvettoredipropagazionedellondaincidente i i1 0k =
k b con xzrqiqtqi0hhi0h 0= e y r0h 0= e yr0hht0h 0= e
yt0hhxzrqiqtqi0v 0= h y r0ver0v 0= - h yt0vet0v 0= h yi0ve 62 1 1 1
r / k c w m e w e = = e i i i0 0 0sin cos q q = + x z b
.Risultaquindi ( )9 812 610 4 /310 80 rad/m k p p @ = e ( ) ( )i0 0
02 / 2 2 / 2 = + x z b . Londariflessaancorapianauniforme,con r r1
0k = k b dove ( ) ( )r i i0 0 0 0 0sin cos 2 / 2 2 / 2 q q = - = -
x z x z b . Per determinare le caratteristiche di propagazione
dellonda trasmessa consideriamo la legge di Snell: t i 112 2sin
sinm eq qm e= Inquestocasorisulta ( )t irsin sin 4 sin / 4 2 q e q
p = = = .Essendo2 1 > , londa trasmessa sar piana non uniforme,
con angolo di trasmissione tqcomplesso: t tJ/ 2 j q p q = +
,ciosihalariflessionetotaledellondaincidente.Infattilangolo limite
( )i 1 1 1L 1 1 2 2 rsin / sin q m e m e e- - -= = , ovvero i 1Lsin
1 / 4 / 6 q p-= = ; risulta quindi i iLq q > .
Ilvettoredifasedellondatrasmessa t t0b = x b con ( )t i1 sin 80 sin
/ 4 40 2 rad/m k b q p p p = = = .Dallaparterealedellacondizionedi
separabilit per londa trasmessa (t2 t2 22 2b a wm e - = ) ricaviamo
ta : t t2 2 t2 2 2 2 i 22 2 0 0 1 0 02 2 i 2 2 i0 0 r 0 0 0 0 r292
ir8sinsin sin 12 610 2sin 1 4 1 40 Np/m2310kca b wm e b wm e q wm
ewm e e q wm e w m e e qw pe q p= - = - = - == - = - = = - @ - =
Ilvettorediattenuazionedellondatrasmessaortogonalealpiano0 z= : t
t0a = z a . Sipudunquescrivere t t t t t0 0j j b a = - = - k x z b
a ovvero,posto t t t0 0 x zk k = + k x z , si ha t txk b =e t tzk
ja = - . Dalle t t2 sinxk k q = , t t2 coszk k q =abbiamo allora 63
t t t t t2 J Jt t t t t2 J Jsin sin cosh2cos cos sinh2xxk k jc ck j
k j jc cw p wb q q qw p wa q q q = = = + = = - = = + = -
dacuiotteniamo tJcosh 2 q = , tJsinh 1 q =
,checiconsentirebberodicalcolare tJq . Risulta poi tsin 2 q = ,
tcos j q = - . Calcoliamo ora i coefficienti di riflessione h ESe v
ES : hvi t2i tr 1hi ti t2r1t i2t ir 1vt it i2r12cos cos2cos
cos22cos cos 2 2cos cos222cos cos2cos cos2 42cos cos 2 2 4cos
cos22jEjEjjS ejjjjS ejjffzq qe q q zze q qq qzzq qe q q zze q qq
qz- +-+= = = = =+ -+ --- --+= = = = =+ - ++- +
Poichsihariflessionetotalerisulta h v1E ES S = =
.Lefasideiduecoefficientidi riflessione sono invece diverse: 1h1v12
tan 70.53242 tan 38.942ff--= @ = @ - Per londa riflessa possiamo
scrivere: xziqr4 e =t t t0 J 0sinhcwa q = = z z avuotot t t0 J
0coshcwb q = = x x b 64 r r r r i i r0 0h 0 0v 0v h 0h 0 v 0v 0v E
EE E S E S E = + = + E y e y e dove ( ) ( )r i i0v 0 0 0 0cos sin 2
/ 2 2 / 2 q q = + = + e x z x z . Risulta: r i i i0h h 0h h 0h 0hr
i i i0v v 0v v 0v 0vE EE EE S E S E EE S E S E E= = == = = dunque r
r0h 0vE E = , poich i i0h 0vE E = . Inoltre { }{ }r i i0h h 0h h
0hr i i0v v 0v v 0varg arg arg argarg arg arg argE EE EE S E S EE S
E S E= = += = + dunque ( )( )r r i i0h 0v 0h 0v h varg arg arg arg
arg argE EE E E E S S - = - + - .Poich i i0h 0varg arg / 2 E E p -
=e h varg arg 0,E ES S p - risulta r r0h 0varg arg / 2 E E p - ,
quindi londa riflessa polarizzata ellitticamente. Per londa
trasmessa in polarizzazione orizzontale si ha: ( ) ( )( ) ( )t t
i0h 0h 0 h 0h 0t t t t t t0h 0h 0h 02 0t it t t t 0h 0h0 0 0 h 0 00
01 1EEE T Ej EE Ej T jwm wmb a b awm wm= == = - == - = +E y yH k E
yx z y z xb a e in polarizzazione verticale: ( ) ( )( ) ( )t t i0v
0v 0 v 0v 0t t t t t t0v 0v 0v 02 0t it t t t 0v 0v0 0 0 v 0 00 01
1HHH T HH jH Hj T jwe web a b awe we= == = - == - = - -H y yE H k
yy x z z xb a Quindi londa trasmessa : 65 ( )( )it t t i t t 0v0 0h
0v h 0h 0 v 0 00it t t t t i 0h0 0h 0v h 0 0 v 0v 00E HE HHT E T
jET j T Hb aweb awm= + = + - -= + = + +E E E y z xH H H z x y
Dalleespressionideicoefficientidiriflessione h ES e v ES
,tenendocontoche h h E HS S = , v v E HS S = , h h1E ET S = +e v
v1H HT S = - , risulta: hh hv v v1 1 1.33 0.941 1 0.22 0.63jE EH H
ET S e jT S S jf= + = + @ += - = - @ + Tenendo poi conto che i i0h
0E jE = - , i i0v 0 1/ H E z = , per il campo elettrico abbiamo: (
)it i t t 00 h 0 0 v 0 00E HEjT E T j b awe= - + - - E y z x ed
essendo 0 0 0/ k we z = , 1 0 r 0/ / 2 z z e z = =si ha 0 1 0 / 2 k
we z = , dunque t tt i0 0 h 0 v 0 00 02E HE jT T jk kb a = - + - -
E y z x Poich era t t0 J 0cosh 2 k k b q = =e t t0 J 0sin k k a q =
=si ha ( )( ) ( ) ( )t i0 0 h 0 v 0 0i0 0 0 02 21.26 0.44 0.94 1.33
0.94 1.33E HE jT T jE j j j = - + - - = @ - + - + - E y z xx y z
Poich il vettore in parentesi quadre ha parte reale e immaginaria
non parallele e di
modulodiversoessorisultapolarizzatoellitticamente.Conunanalisisimilesi
conclude che anche il campo magnetico polarizzato ellitticamente.
Esercizio 1
Londaincidenteprovienedalmezzopidenso,dunqueoccorreverificarese
langolo di incidenza iqsia minore o maggiore dellangolo limite iLq
. In questo caso 66 si ha: i 1 1 1 1 2 2 0 0L11 0 0 rr1 1sin sin
sin sin42m e m epqm e m e ee- - - -= = = = = dunque i iLq q >e
londa trasmessa sar piana non uniforme (riflessione totale).
Perlondaincidentesiha i i1 0k = k b con 1 0 rk k e = e i i i0 0
0sin cos q q = + x z b ,dacui ( )( )i0 0 03 / 2 1 / 2 = + x z b .
Essendo la polarizzazione orizzontale si ha poi i i0 0 0E = E ye
quindi ( )ii i i i 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 11 1 3 1 3 12 2 2 2EEz z z
= = + = - H E x z y z x b Perlondariflessasiha r r1 0k = k b con i
r i0 0 0sin cos q q = - x z b ,dacui ( )( )r0 0 03 / 2 1 / 2 = - x
z b .Percalcolareilvettoredipolarizzazionedellonda
riflessacioccorreilcoefficientediriflessione h ES
perlapolarizzazioneorizzontale; infatti si ha r r i0 0 0 h 0 0 EE S
E = = E y y dove i t21hi t21cos coscos cosESzq qzzq qz-=+ Essendo i
iLq q > , langolo tqrisulter complesso. Infatti dalla legge di
Snell abbiamo t i 112 23 3sin sin 2 12 2m eq qm e= = = > 67
dunque t 2 tcos 1 sin 1 3 / 2 1 / 2 / 2 j q q = - = - = - = -
.Essendoinoltre 1 1 1 0 0 r 0 r/ / / z m e m e e z e = = =e 2 0z z
=si ha 2 1 r/ 2 z z e = = . Dunque ( )2h1 1212 121 1 1 2222EjjjS
jjj+++= = = =-- e come prevedibile h1ES =(riflessione totale).
Abbiamo quindi r i i0 h 0 0 0 0ir r r i 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 11 1
3 1 3 12 2 2 2ES E jEEjE jz z z= = = = - = + E y yH E x z y z x b
Il campo elettrico totale nel mezzo 1 quindi ( ) ( ) ( )1 11 1 11
11i t13 1 3 12 2 2 2i i0 0 0 03 1 1i2 2 20 01 132 4 2 4 i2 40 0jk x
z jk x zjk x jk z jk zj k z j k zjk x jE e jE eE e e jeE e e e ep
pp - + - - - - + - + + + - = + == + = = + = = + E r E r E ry
yyy13i4 20 0 1onda progressivalungo onda stazionarialungo 12 cos2
4j jk xxzE e e k zpp-= = + y La dipendenza daz del tipo onda
stazionaria a causa della riflessione totale.
Londatrasmessapiananonuniformecon t t t t t0 0j j b a = - = - k x z
b a .Dalla i tx xk k =si ha t i i1 0 r 0 03 3sin sin 22 2k k k k b
q e q = = = = 68 dacuipossiamoricavare ta
permezzodellaparterealedellacondizionedi separabilit per londa
trasmessa (t2 t2 22 2b a wm e - = ): t t2 2 t2 2 t2 22 2 0 0 02 20
0 0 03 3 112 22kk k k ka b wm e b wm e b = - = - = - == - = - = Si
ha inoltre ( ) ( )( ) ( )( )( )t t i i i0 0h 0 h 0 0 h 0 0 0 0t t t
t t t0 0 0h 02 0t it t 0h 00 0 0 00 0 01 11 13 1122E EE T E S E j
Ej EE Ej j jkwm wmb az z= = = + = += = - = = + = + + E y y y yH k E
yz x z xb a Dunque ( ) ( )t t t tt ttt t t* t t*0 0i*2 t t* 2 i 00
0 0 0 0 0022 i0 0 001 12 21 1 3 11 12 2 221 1 3 122 22j x z j x zz
zze e e eEe e j E j je E jb a b aa aazz- - + -- --= = = = = + - - =
+ E H E HE H y z xx zP
OsserviamochelaparterealedelvettorediPoyntingdirettalungox ,cio
parallelamenteallinterfaccia.Dunquenonsihatrasportodipotenzamedia(attiva)
lungoz , a causa della riflessione totale sul piano0 z= . 69
Esercizi sulle linee di trasmissione Esercizio 1
Determinarelimpedenzadingresso inZ
eilrelativocoefficientediriflessionedella tensione in VSper i
seguenti circuiti: (a) (b) Esercizio 2
Unalineaditrasmissionedilunghezza37.5 m = /
haimpedenzacaratteristica 050 Z = W ecostantedipropagazione2
rad/mzk p = .Lalineaeccitatadaun
generatoreditensionediimpedenzainterna g50 Z = W
edchiusasuuncaricodi impedenza LZ
.Ivaloriditensioneecorrentemisuratiallingressodellalineasono ( )270
230 V V j = + e2 A I = . Si calcolino: 1) I valori dellimpedenza
inZe del coefficiente di riflessione della tensione in VSalla
sezione di ingresso della linea e la tensione fornita a vuoto dal
generatore. 2)Il rapporto donda stazionaria (ROS) della linea e
limpedenza LZdel carico. 3)Il valore della potenza attiva dissipata
sul carico. R0 zk Z 0 zk Zin in VZ S005050/ 8100RZZl = W = W = = W
/1L0 zk Z0 zk Zin in VZ S012500.01H20.1H21 GHz/ 4ZLLfmpmpl = W = =
= = /2L// 70 Soluzioni Esercizio 1 Caso (a) Limpedenza dingresso
richiesta risulta dalla connessione serie tra la resistenzaR e
limpedenza dingresso inZ del tratto di linea di lunghezza/chiuso in
corto circuito. Conviene dunque lavorare con le impedenze anzich
con le ammettenze. Calcoliamo allora inZ: Poich2 /zk p l =e/ 8 l=
/si ha ( )in 02tan 100 tan 100 tan 1004 4zZ jZ k j j jp l pl = = =
= W / In corrispondenza della sezionez= -/la corrente continua,
essendo la resistenza disposta in serie alla linea di trasmissione,
mentre la tensione discontinua: ( ) ( ) ( )V V RI- +- - - = - / / /
dunque anche limpedenza inz= -/ discontinua: ( ) ( )Z R Z- +- = + -
/ / cio in in50 100 Z R Z j = + = + W Nota inZpossiamo calcolare in
VS : 0 zk Z /inZ-/ 0z( ) ( )( ) ( )in 00 0 corto circuitotanzZZ Z
jZ k+= - = = / /71 ( )( )( )in 0inin 0450 100 50100100 100 50 100
5011 11 2 22VjjZ ZjSZ Z j jj jj jejp+ --= = = =+ + + --+= = = =+
Caso (b) Inquestocasolinduttanza 1L
postainparalleloallalinea,quindiconviene lavorare con le
ammettenze. Lammettenza dellinduttanza 2L: 29 62 21 1 10.01 S2 0.12
10 102LY jj L j f Ljw ppp- = = = = - Essendo/ 4 l = /(trasformatore
in quarto donda) risulta ( )202 LYYY+- = / dove 0 01 / 0.02 S Y Z =
= , quindi ( )( )24220.02410410 S0.01 10Y jj j-+ -- - = = = - -/
Osserviamocheiltrasformatoreinquartodondahacambiatolanatura
dellammettenzadainduttiva(sulcarico, ( )20LY Y =
)acapacitiva(allingresso, ( )Y+-/ ). Nel parallelo fra 1Le (
)Y+-/la tensione continua inz= -/mentre non lo la corrente: ( ) (
)( )1VI Ij L w- +-- - - =// / dunque anche lammettenza inz= -/
discontinua: 0 zk Z2L/( )Y+-/-/ 0 72 ( ) ( )1Y j L Y w- +- = + - /
/ Poich 9 61 11 1 10.1 S2 0.012 10 102jj L j f Ljw ppp- = = = - si
ha ( )2in410 0.1 0.06 S Y Y j j j- - = - = - = - / Pertanto inin1
116.670.06 0.06jZ jY j = = = @ W - e infine ( )( )in 0inin 010050
500.06 610050 500.06 63 33 8 6 4 33 10 10 5 5Vjj jZ ZSZ Z j jj jj
jj ejf- --= = = =++ +- -- -= = = - = - + =+ dove ( )1cos 4 / 5
2.498 rad 143.13 f- = - @ - @ .Osserviamocheinquestocasob)
limpedenza dingresso inZ puramente immaginaria e pertanto in1VS
=(riflessione totale), mentre nel caso a) la presenza di un
elemento dissipativo (la resistenza) fa s che in1VS < . 73
Esercizio 2 Lo schema del circuito il seguente: (a) Limpedenza
dingresso ( )inZ Z = -/si calcola semplicemente come il rapporto
fra la tensione e la corrente allingresso della linea, che sono
noti: ( )( )( )in270 230135 1152VjZ Z jI-+ = - = = = + W -/// Il
relativo coefficiente di riflessione ( )( )( )( )in 0inin 02 2135
115 5085 115185 115 135 115 5017 23 37 2317 23 1158 6400.61 0.24
0.65637 23 1898 37 23VjjZ ZjSZ Z j jj jj jj ejf+ --+= = = =+ + + ++
-+ += = = @ + @ + + dove0.378 rad 21.665 f @ @ . La tensione
gVfornita a vuoto dal generatore risulta, dal circuito: ( ) ( ) (
)g g270 230 502 370 230 V V ZI j j = - + - = + + = + W / / (b)
IlROSsicalcolaapartiredalmodulodelcoefficientediriflessione, VS
,che costante lungo la linea essendo questa priva di perdite: ( )(
)1 11 0.656ROS 4.821 0.656 1 1V VV VS SS S+ - ++= = = @- - - -// 0
zk Z/gZ-/ 0zgVLZ 74 Per calcolare limpedenza del carico calcoliamo
preliminarmente la quantit zk / : 752 37.5 75 752zzkkp lp p = = = =
/ /
Poichlimpedenzalungounalineaditrasmissioneunafunzioneperiodicadizcon
periodo/ 2 l , risulter ( ) ( )L0 135 115 Z Z Z j = = - = + W / (c)
Percalcolarelapotenzaattivadissipatasulcaricopotremmocalcolare ( )0
V e ( )0 I(tensione e corrente sul carico) e ottenere ( ) ( ) { } (
) ( ) ( ) ( ) ( )( ) { } ( )* *A21 10 Re 0 Re 0 0 Re 0 0 02 21Re 0
02P P V I Z I IZ I = = = = =
Alternativamente,osserviamochelalineaprivadiperdite,dunquelapotenza
attiva sul carico deve essere uguale alla potenza attiva
allingresso della linea, che si calcola subito con i dati del
problema: ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( )( ) { }*A A10 Re Re21Re 270 230 2
270 W2P P P V Ij = - = - = - - = = + = / / / / 75 Esercizi sugli
strati antiriflettenti Esercizio 1
Unondapianauniformeincidenormalmentesullasuperficiepianadiseparazione
fra il semispazio0 z , occupato da un mezzo semplice con r4 e = .
La frequenza dellonda incidente 01 GHz f = . Facendo uso del
formalismo delle linee di trasmissione:
1)Sidimensioniunostratoantiriflettenteinquartodonda,determinandonelo
spessore e la costante dielettrica relativa.
2)Sideterminilabandadifrequenzeintornoa 0f incuiilROSsullalineadi
trasmissione associata alle onde piane nel vuoto si mantiene
inferiore a 1.2. Esercizio 2
Unondapianauniformeincidenormalmentesullasuperficiepianadiseparazione
fra il semispazio0 z , occupato da un
metallobuonconduttore,allafrequenza10 GHz f =
.Sivuoleeliminarelonda riflessanelvuotoricoprendolasuperficie
metallica con una lamina costituita da un dielettrico semplice non
dissipativo avente r9 e =ricoperta da uno strato di vernice
dispessore30 m m = / chepuessereconsideratounmezzononmagneticobuon
conduttore. Si determinino lo spessore della lamina dielettrica e
la conducibilit della vernice. 76 Soluzioni Esercizio 1 1.
Ilmodelloalineeditrasmissionedellastrutturaconsiderata(compresolostratodi
adattamento) (cfr. libro di testo, Fig. VI.8):
Lalinea1associataalleondechesipropaganonelvuoto,pertantorisulta (
)9 81/ 2 10/310 20 / 3 rad/mzk c w p p = @ = e 01 0120 Z z p = @ W
.Lalinea3 associataalleondechesipropaganonelmezzocon r4 e =
,pertantorisulta 3 r / 2 / 40 / 3 rad/mzk c c w e w p = = = e 03 0
r 0/ / 2 60 Z z e z p = = @ W . Affinch la linea 1 sia adattata
mediante uno strato in quarto donda deve risultare 0 002 01 03 022Z
Z Zz zz = = = Essendo daltra parte 02 0 r2/ Z z e =si deduce che
r22 e = .
Lospessoredellostratodiadattamentopariaunquartodilunghezzadondanel
mezzo 2 alla frequenza di lavoro 0f : 8290 r1 1 310 0.30.053 m 5.3
cm4 4 4 10 2 4 2zcfle = = = = @ = / 2.
Calcoliamoinnanzituttoquantovaleilmodulodelcoefficientediriflessionesulla
linea 1 (che priva di perdite) quando il ROS vale 1.2: 2 02,zk Z-/
0z3 03,zk Z1 01,zk Z77 ROS 1 1.2 1 0.2 10.091ROS 1 1.2 1 2.2 11VS-
-= = = = @+ + Cerchiamoalloradideterminarelabandadifrequenze ( )1
2, f f incuisiha ( )0.091V VS S-= - < /
.Aquestoscopocalcoliamolimpedenzadingressodella linea 2: ( )( ) (
)( ) ( )03 2 02 20202 2 03 2cos sincos sinz zz zZ k jZ kZ ZZ k jZ
k+- =+/ /// / dove 2 r2 / 2 / 20 2 / 3 rad/mzk c c w e w p = = = .
Per brevit poniamo nel seguito ( )2coszC k = /e ( )2sinzS k = / .
Risulta: ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )03 0202 010102 0303
02 0102 0102 0302 03 02 01 02 0302 03 02 01 02 03202 03 01 02 01
03202 03 01 02 01 03VZC jZ SZ ZZ ZZC jZ SSZC jZ S Z ZZ ZZC jZ SZ ZC
jZ S Z ZC jZ SZ ZC jZ S Z ZC jZ SZ Z Z C j Z Z Z SZ Z Z C j Z Z Z
S-+-- -+- = = =+ - ++++ - += =+ + +- + -=+ + +///
Ilsecondoaddendoalnumeratorenulloperchlostratoinquartodondastato
dimensionato in modo che 202 01 03Z Z Z = , dunque ( )( )( ) ( )02
03 01202 03 01 02 01 03VZ Z Z CSZ Z Z C j Z Z Z S--- =+ + +/ Da
questa abbiamo ( )( )( ) ( )22 2202 03 012 22 2 2 202 03 01 02 01
03VZ Z Z CSZ Z Z C Z Z Z S--- =+ + +/ 78 Sostituendo 2 21 S C = -e
risolvendo rispetto a 2Csi trova ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2202 01
032222 2 2 2 4 2 202 03 01 02 01 03 02 01 03VVZ Z Z SCZ Z Z Z Z Z Z
Z Z S--+ -= - - + - + - // Sostituendo 01 0Z z = , 02 0 / 2 Z z =e
03 0 / 2 Z z = : ( )( )( )222 22 2 288cos11VVzVVSSC kSS---= = =--
-/// da cui 1222 2cos1VzVSkS- = - / Essendo poi 220 r22 r2/40
01/222zzzff f fkc f c fllep pe p = = = / / / si ha infine 11,2 022
22cos1VVSf fSp- = = - da cui, posto0.091VS = , si calcolano 10.843
GHz f @ e 21.166 GHz f @ . Si osservi
che,perlaparitdellafunzionearcocosenoedelsuoargomento,lefrequenze
1,2fsono simmetriche rispetto alla frequenza 0f(cfr. figura).
0f0.091fVS1f79 2f 80 Esercizio 2
Ilmodelloalineeditrasmissionedellastrutturaconsiderata(compresilalamina
dielettrica e lo strato di vernice) (cfr. libro di testo, Fig.
VI.9):
dovelecostantisecondariedellelineeditrasmissionesonougualiallecostanti
secondariedeimezzi: zi ik k = , 0i iZ z = ( 1...4 i =
).Essendoilmezzo4unbuon
conduttoreeilmezzo3undielettricoordinariorisulter IN4 04 04 03 03Z
Z Z z z = = = ,dunquepossiamoritenerechelalinea3siachiusasu
uncortocircuito.Diconseguenza ( )IN3 03 3tanzZ jZ k = /
.Alloscopodiavereun
circuitoapertoallingressodellalinea3,scegliamolospessore/ inmodoche
3 IN3/ 2zk Z p = = / : 33 3r r839( )2 2 42 42310 12.510 m 2.5
mm40041010 9zzck kf fclp p pp e e-= = = = = @ = = = / (si tratta
quindi di una lamina dielettrica in quarto donda).
Poichlalinea2risultaesserechiusasuuncircuitoaperto,lasuaimpedenza
dingresso data da ( )( )( )2IN2 02 2 022coscotsinzzzkZ jZ k jZk= -
= -// / Assumendo chelostratodivernice sia sottile, cio che 21zk/
(ipotesi che andr verificata a posteriori), possiamo approssimare
limpedenza mediante lo sviluppo di Taylor di grado 0 e 1 delle
funzioni coseno e seno, rispettivamente: 2 02,zk Z4 04,zk Z1 01,zk
Z3 03,zk Z-/ 0( )- + //2 02,zk Zz81 ( )02IN2 022 2 p2 2 2 c21 1 1
1z zZZ jZk jk Y j s s we@ - = = = @ +/ / / / /
(nellultimopassaggiosifattousodellipotesicheilmezzo2siaunbuon
conduttore). A questo punto per eliminare londa riflessa nel mezzo
1 dobbiamo far s che limpedenza dingresso della linea 2 sia pari
allimpedenza caratteristica della linea 1, cio che IN2 01 1Z Z z =
= : 1 2 62 1 01 1 1 188.42 S/m120 3010z ss z z p- = = = @ @ / / /
Aquestopuntopossiamoverificarelipotesichelostratodivernicesiasottile.
Facendo ancora uso dellipotesi che il mezzo 2 sia un buon
conduttore e che sia non magnetico (2 0m m @ 9 abbiamo: 2 2 0 2 0
29 7 62 1010 4 10 88.42 2642 26423010 0.08 1zk k jwm s wm sp p- - =
@ - = = = @ = @/ / / // / 82 Esercizi sulla guida donda
rettangolare Esercizio 1 Una guida donda metallica rettangolare ha
dimensioni1 cm a = ,4 mm b = ed riempita da un mezzo semplice non
dissipativo con r1 m = , r9 e = . 1)Si determini lintervallo di
frequenze in cui si ha propagazione unimodale.
2)Sideterminino,allafrequenza7 GHz f =
,levelocitdifaseedigruppodelmodo
fondamentaleeladistanzalungocuiilcampoelettromagneticodelprimomododi
ordine superiore si attenua del90%.
3)Supponendocheilmezzocheriempielaguidaconsentaalcampoelettricodiavere
massimomodulo 5max10 V/m = E ,sicalcolilamassimapotenzacheilmodo
fondamentale pu trasportare lungo lassezalla frequenza7 GHz f = .
Esercizio 2 Unaguidadondametallicarettangolarevuotahadimensioni2 cm
a = ,1 cm b = ed riempitaperuntrattodilunghezza1.125 mm = /
daunmezzosemplicenondissipativo con r1 m = , r2 e = . Su tale
tratto incide il modo fondamentale della guida vuota con campo
elettrico di modulo massimo pari a2 V/m e frequenza ( )50 /4 2 GHz
f = . 1)Scrivere lespressione del campo elettromagnetico dellonda
incidente. 2)Indicare quali sono i modi in propagazione alla
frequenza indicata, sia nella parte di guida vuota sia nella parte
di guida riempita di dielettrico.
3)Individuareilmodelloalineeditrasmissioneperlinterastruttura(N.B.:
allinterfaccia tra vuoto e dielettrico non vengono generati modi di
ordine superiore). 4)Calcolare il coefficiente di riflessione nel
vuoto allinterfaccia con il dielettrico.
5)Studiarelandamentodelmoduloditalecoefficientediriflessionealvariaredella
lunghezza/ edeterminareperqualivaloridi/ essoassumeivaloriminimoe
massimo. 83 Soluzioni Esercizio 1 1. Lintervallo di frequenze in
cui si ha propagazione unimodale ( )c1 c2, f fdove c1f la
frequenzaditagliodelmodofondamentalee c2f
lafrequenzaditagliodelprimo modo superiore. Inquestocaso,essendoa b
> ,ilmodofondamentaleil 10TE ,chehaautovalore trasverso t/ k a p
= , quindi 810 tc12r310 110 5 GHz22 2 210 9kcfa p me e- = = @ = =
Essendopoi2 a b > risulta t 2,0 t 0,1k k <
,pertantoilprimomodosuperioreil 20TE , per il quale t2 / k a p =e
quindi c2 c12 10 GHz f f = = . 2. Allafrequenza7 GHz f =
ilmodofondamentale 10TE sipropagamentreilprimo modosuperiore 20TE
attenuato.Ilfattoreadimensionale c / f f n = vale,peril modo 10TE :
c57ffn = = Pertanto la velocit di fase del modo 10TE: ( )8f2
2r71.4310 m/s3 24 19 1 5 / 7c cu ce n = = = @ -- mentre la velocit
di gruppo del modo 10TE: 84 ( )22 7gr241 1 5 / 7 710 m/s379c cu c
ne = - = - = @ Ilmodo 20TE attenuato,cio z zk ja = - ,con 2 2 2t
2,01zk k k a n = - = - ,doveil fattore adimensionalenvale, per il
modo 20TE c107ffn = =
Ilcampoelettromagneticodiquestomodosiattenualungoz
secondolafunzione esponenziale ( )expzz a -
.LadistanzaLlungocuiilcamposiattenuadel90%si trova imponendo che
tale esponenziale valga0.1: ( ) ( )1 10.1 ln 0.1 ln 10zzz ze Laa
a-= = - = Sostituendo ad zalespressione sopra determinata si ha ( )
( )( )( ) ( )2 22rr89 2ln 101 1ln 10 ln 101 2 11310ln 10 ln
100.00513 m 5.13 mm20 51 2 710 9 (10 / 7) 1cLk fcwn p e ne np p= =
= =- -- @ = @ = - 3. Consideriamoilcampoelettricodelmodo 10TE
chesipropagalungolassez nel verso positivo: t 0 0sinzjkzxE eap- = =
E E y dove 0E una costante complessa. Il modulo del campo elettrico
allora: 85 0sinxEap = E Esso assume il valore massimo per/ 2 x a
=(cio al centro della guida), dove risulta 0maxE = E Supponiamo che
sia 5maxmax10 V/m E = = E : ( )t max 0 0sin ,zjkzyxE e E xzap- = =
= E E y y Il relativo campo magnetico si pu ottenere dalla prima
equazione di Maxwell: ( )0 0 0 00 01 1,1yy yE xzj j x y zE Ej x zwm
wmwm = - = - + + = = - - H E x y z yz x da cui ( )t 0 max 01 1,
sinzjkz yx zExH xz jk E ej z j apwm wm- = = = - H x x La componente
longitudinale del vettore di Poynting allora * *0 t t 0*max 0 max 0
022max1 12 21sin sin21sin2z zzjkz jkzzzPkx xE e E ea akxEap pwmpwm-
-= = = = - = = E H z E H zy x z Postok wm z =e integrando sulla
sezione trasversa della guida: 86 22max max0 0 0 022max01d d sin d
d21sin d2a b a bzzazkxP P x y E x ya kkxE b xk apzpz = = = =
Lintegraleallultimomembrovale/ 2 a einoltre 21zk k n = - , 0 r/ z z
e =pertanto ( )2 32 22 5 2max max1 9 10 4101 10 1 (5 / 7) 557 W2 2
2120 2abP E nz p- - = - = - @ Esercizio 2 1. Il campo
elettromagnetico del modo fondamentale che si propaga nella guida
vuota e incide sullinterfaccia con il dielettrico : ( )0 0 00 0 0 0
00 0 0, sin1 1sin coszz zjkzyjkz jkz y yzxE xz E eaE Ekx xE e ej x
z a j a app p pwm wm wm-- - = = = - - = - - E y yH z x x z dove
0max2 V/m E = = E ;possiamopoisceglierepersemplicit { }0arg 0 E = ,
risultando cos 02 V/m E = . Essendo 9088c 1,0 22 2 5010 250rad/m4 2
310 3 23107.5 GHz2 2210fkccfap pp - = @ = = @ = si ha 87 ( )c
1,02207.5 30 2 32 150 550 /4 2250 3 250 7 50 71 1 2 rad/m5 25 3 23
2 3 2zffk knn p p p = = = = < = - = - = = 2. Essendo2 a b =i
modi 01TEe 20TEsono i primi modi di ordine superiore, entrambi con
frequenza di taglio doppia rispetto a quella del modo fondamentale.
Nella parte di guida vuota gi sappiamo che c 1,07.5 GHz f = ,
pertanto c 0,1 / 2,015 GHz f = . Nella parte di guida riempita di
dielettrica invece abbiamo c 1,0c 1,0r7.55.3 GHz2 2 2fcfa e = @ = @
pertanto c 0,1 / 2,010.6 GHz f @ .Siconcludechelafrequenzadilavoro
( )50 /4 2 8.8 GHz f = @
sitrovanellabandaunimodalesianellaguidavuotasia
nellaguidariempitadidielettrico,pertantolunicomodoinpropagazionein
entrambi i casi il modo fondamentale. 3. Il modello a linee di
trasmissione della struttura considerata : Lacostantedipropagazione
( )250 /3 2 rad/mzk p = dellalineaassociataalmodo fondamentale
della guida vuota gi stata calcolata. Limpedenza caratteristica
della stessa linea 0,zk Z -/ 0z0,zk Z0,zk Z 88 0 0 0 002120 6007 7
125z zkZk kwm z zp pn = @ = @ = W -
Consideriamooralalineaditrasmissioneassociataalmodofondamentaledella
guida riempita di dielettrico. Essendo c 1,0c 1,0r r7.5GHz2 2fcfa e
e = = = si ha ( )c 1,022 20 r0 0 0 002r7.5 / 2 15 3125 550 /4 2250
3 250 4 2001 1 2 1 rad/m5 3 5 33 2120 60044 2 125zz zffk k kkZk knn
e n p p pwm z zp pe n = = = = < = - = - = - = = = = = @ = W - 4.
Calcoliamolimpedenzaallingressodellalineaditrasmissioneassociataalmodo
fondamentaledellaguidariempita di dielettrico, il cui carico la
linea semi-infinita (quindi adattata) associata al modo
fondamentale della guida vuota in0 z > , che ha impedenza
caratteristica pari a 0Z : ( )( ) ( )( ) ( )0 000 0cos sincos sinz
zz zZ k jZ kZ ZZ k jZ k +- = +/ /// /
Percalcolarelargomentodellefunzionitrigonometricheconvieneesprimerela
lunghezza/ interminidellalunghezzadonda zldellalineaditrasmissione.
Essendo2 / 2 / (200 / 3) 3 cmz zk l p p p = = = si ha/ 1.125 / 3
0.375 3 / 8zl = = = /quindi ( ) ( )2 / 3 / 8 3 / 4z z zk p l l p =
= / dacui ( ) ( )sin cos 2 / 2z zk k = - = / / . Possiamo allora
scrivere: 89 ( )0 00 00 00 00 02 22 22 22 2Z j ZZ jZZ Z ZZ jZZ j Z-
+- + - = =- +- +/ A questo punto possiamo calcolare il coefficiente
di riflessione richiesto: ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )0 00 00 0 0
0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 00 00 022 200 02 2 20 0 0 0011VZ jZZ ZZ Z
Z Z jZ Z Z jZZ jZSZ jZ Z Z Z Z jZ Z Z jZZ ZZ jZZjZj Z Zj Z Z
ZZZjZ-- +- - - - + - - + - +- = = = = - + - + - + + - +-- + - - = =
+ - + ///0ZZ- Essendo 006007 74 2600 324 27ZZpp= = = si ha ( )7132
257 7 39 224132 32VjjSjj- - - - = = - + - / 5. Posto per brevit (
)coszC k= / , ( )sinzS k= /possiamo scrivere ( )0 000 0Z C jZ SZ ZZ
C jZ S+- =+/ 90 e quindi ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )0 00 00 0 0 0
0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 00 00 02 20 02 20 0 0 02VZ C jZ SZ ZZ Z Z Z
C jZ S Z Z C jZ SZ C jZ SSZ C jZ S Z Z Z Z C jZ S Z Z C jZ SZ ZZ C
jZ Sj Z Z SZZ C j Z Z S-+- - - + - + +- = = = = + - + + - +-+-= +
+/// Il modulo quadro del coefficiente di riflessione allora ( )(
)( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )2 22 2 2 2 2 220 0 0 02 22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 02 22 2 2 2 2 20 0 0 02 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 022 220 022 20 04 4 14 4 44VZ Z S Z Z SSZZ C Z
Z S ZZ S Z Z SZ Z S Z Z SZZ Z Z S ZZ Z Z ZZ SSZZSZ Z- - -- = = = +
+ - + + - -= = = + - + + - =+-/ Posto ( )2Vy S-= -/ , 2x S = , (
)22 2 2 20 0 0 04 / a ZZ Z Z = - sitrattaquindidistudiareil
massimoeilminimodellafunzione ( )/ y x a x = + per0, 1 x
.Sivedefacilmente
chetalefunzionenellintervalloindicatononnegativaemonotonacrescente,
pertantohaminimoper0 x= (cio ( )sin 0zS k= = / ,ovvero/ 2, 0, 1,
...zn n l= = / ) pariazero(lineaadattata)emassimoper1 x= (cio (
)sin 1zS k= = / ,ovvero ( )2 1 / 4, 0, 1, ...zn n l= + = / ) pari a
( )( )( )( )( )( )2202 22 2 2 2020 0 0 002 2 2 2 2max2 2 2 2 2 20 0
00 0 0 0 0 00 22 200 01441VZZZ Z Z ZZSZZ ZZZ Z Z Z ZZZZ Z-- - -- =
= = = + - ++ --/ (per0 n =si ha/ 4zl= / , dunque il caso del
trasformatore in quarto donda). 91 Esercizi sulla guida circolare e
il cavo coassiale Esercizio 1 Una guida donda metallica circolare
vuota ha raggio1 cm a= . 1)Si determini lintervallo di frequenze in
cui si ha propagazione unimodale. 2)Si calcoli il tempo che impiega
un segnale a banda stretta (pacchetto donda) confrequenzacentrale10
GHz f = apropagarsilungountrattodiguidadi lunghezza10 cm L = .
Esercizio 2 Allinterno di un cavo coassiale si propaga il modo TEM
nel verso positivo dellasse z .Lasezionedelcavoharaggi1 cm a = ,2
mm b = ;ilcavoriempitodaun
mezzosemplicenonmagneticoenondissipativocon r4 e = ,lacuirigidit
dielettrica 5max210 V/m E = . 1)Calcolare la massima potenza reale
trasportabile dal modo. 2)Il modo incide sulla sezione0 z=al di l
della quale il cavo coassiale vuoto. Si calcoli la potenza
trasmessa in0 z supponendo che la potenza incidente sia pari a
quella massima calcolata al punto precedente 92 Soluzioni Esercizio
1 1. Ilmodofondamentaledellaguidacircolareil 11TE ,conautovalore 11
t 1,1/ k a x = , dove 111.841 x@
ilprimozeropositivodelladerivataprimadellafunzionedi Bessel di
prima specie ( )1J x . Il modo con autovalore immediatamente
successivo il 01TM , con autovalore 01 t 0,1/ k a x = , dove
012.405 x @ il primo zero della funzione di Bessel ( )0J x . Dunque
8t 1,111c1 11 20 0t 0,101 01 01c2 01 11 c111 110 03101.841 8.79
GHz2 2 102 22 22 22.4058.79 11.48 GHz1.841kcfaakc cf fa aaxxp pp me
p m ex x xx xp x p xp me p m e - = = = @ @ = = = = = = @ @ La banda
unimodale quindi ( ) ( )c1 c2, 8.79,11.48 GHz f f @ . 2.
Iltempocheimpiegailpacchettodondaapropagarsilungoiltrattodiguidadi
lunghezzaL : gLut = dove gu lavelocitdigruppodelmodo 11TE
(sinotiche ( )0 c1 c2, f f f pertantola propagazione del pacchetto
affidata al solo modo fondamentale 11TE ). Essendo 2g1 u c n = - 93
dove c c08.790.879 110f ff fn = = @ = < risulta 2 8 2 8g1 310 1
0.879 1.0410 m/s u c n = - @ - @ dunque 198g100.9610 s 0.96
ns1.0410Lut-- = @ @ = Esercizio 2 1.
IlcampoelettromagneticodelmodoTEMchesipropaganelcavoriempitodi
dielettrico ha espressione: 0 00011zzjkzjkzE eEerz r--==EHrj dove 0
r zk k k w me e = = =e 0 r/ / z m e z e = = . Il relativo vettore
di Poynting 2*0 * 00 0 0 0 21 1 1 1 12 2 2z zjkz jkzEEE e er z r z
r- - = = = E H z P r j Pertanto la potenza trasportata dal modo 222
200 0 0 201 1 1d dd 2 d ln2 2b bS a aEaP S E Ebppr r j p rz z r z r
= = = z = P 94 Il massimo modulo del campo elettrico allinterno del
cavo si ha nei punti in cuir minima,poich1 / r E ,dunqueperb r = :
0max/ E b = E .Postoallora maxmaxE = Esi trova 0 maxE bE = , dunque
( )( )22 2max max max2 42 25 33ln ln10 3210210 210 ln ln5 4291.83 W
4.29 kW120 210120 / 4a aP bE E bb bp pz zpp---= = @ = @ @ = 2.
AssociandoallapropagazionedelmodoTEM una linea di trasmissione il
problema si schematizza con il seguente circuito: dove 1 0 r zk k e
= , 01 0 r/ Z z e = sonolecostantisecondariedellalineaassociataal
modoTEMchesipropaganeldielettricoe 2 0 zk k = , 02 0Z z =
sonolecostanti secondarie della linea associata al modo TEM che si
propaga nel vuoto. Il coefficiente di riflessione nel vuoto
allinterfaccia con il dielettrico ( )00r r 02 0102 01 0r0r14 1 1031
4 1VZ ZSZ Zzze ezeze--- --= = = = =++ ++ Posto allora t 01r= e r si
ha nel dielettrico 0z2 02,zk Z1 01,zk Z95 ( ) ( )1 1 1 10 t 0 t 0
t0 0z z z zjk z jk z jk z jk zV VE e S E e E e S e- + - + = + = + E
e e e e in particolare in0 z= : ( )0 t 1 0VE S = + E e Nel vuoto si
ha solo londa trasmessa, dunque: ( )20 t 1 0zjk zVE S e- = + E e a
cui associata la potenza (che si calcola come nel punto
precedente): ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2t 0 0 i0 0 01 0 ln 1 0 ln 1 0V V
Va aP E S S E S Pb bp z p zz z z z+ = + = + = dove i maxP P =
lapotenzatrasportatadalmodoincidentecalcolataalpunto precedente.
Dunque ( )22t max max max01 1 81 0 1 38.15 kW3 94VP S P P Pzz + = +
= @ =
