Esercizi Svolti Equazioni Differenziali

Equazioni differenziali

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Prima edizione: settembre 2005Pt8 - Equazioni differenzialiISBN 88-513-0298-7

Ristampe8 7 6 5 4 3 2 1 2005 2006 2007 2008

Questo volume è stato stampato presso:Officina Grafica IrideVia Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)

Della stessa collana:Pt1 Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile realePt2 Studio di funzioniPt3 Integrali di funzioni di una variabile realePt4 Serie numerichePt5 Successioni e serie di funzioniPt6 Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di più variabili realiPt7 Integrali di funzioni di due o più variabili reali

I capitoli 1, 3, 5, 8 sono di Adolfo RussoI capitoli 2, 4, 6, 7 sono di Vito Trimarco

Coordinamento redazionale: Carla Iodice, Stefano Minieri

Impaginazione: Grafica 3

Per conoscere le nostre novità editoriali consulta il sito internet:www.sistemieditoriali.it/puntoexe

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Prefazione

La risoluzione di un’equazione differenziale rappresenta uno dei metodi fondamentali per la trat-tazione di gran parte dei problemi scientifici, dalla fisica alla biologia, dalla statistica all’ingegne-ria. Per questo motivo nei corsi di base delle facoltà scientifiche viene sempre dedicato notevolespazio all’approfondimento di tale argomento, talvolta senza però fare cenno alle possibili appli-cazioni.Il testo si compone di otto capitoli nei quali si affrontano le questioni relative alla risoluzione disvariati tipi di equazioni differenziali, e la possibilità di risolverle al calcolatore. In particolare, ilsettimo capitolo riporta listati implementati in ambiente Matlab®; inoltre, nell’ottavo capitolo,non meno importante, vengono presentate alcune applicazioni delle equazioni differenziali aproblemi di fisica e ad altri ambiti (utili, in particolare, agli studenti di Ingegneria).Questo libro di esercizi è nato da una collaborazione non sempre facile, in quanto entrambi ave-vamo a cuore la realizzazione di un riferimento che fosse al tempo stesso chiaro nella parte teo-rica ed efficace nella parte esercitativa, e che potesse dare spunto per ulteriori approfondimen-ti e fornire un’idea dei metodi numerici di risoluzione che sempre più sono venuti alla ribalta ne-gli ultimi anni con lo sviluppo delle tecnologie. In molti casi le discussioni sono sfociate in ani-mosi litigi (fortunatamente nessuno si è fatto male!), tuttavia hanno contribuito in maniera deci-siva alla buona riuscita del lavoro che, con un pizzico di presunzione, forse giustificata, ritenia-mo valido per la preparazione di una prova d’esame.Ringraziamo la redazione (le cui persone si sono dimostrate sempre gentili, professionali e so-prattutto amiche), il nostro amico Giovanni Ciotola per la stima dimostrata nei nostri riguardi e ilprof. Luigi Avellino per gli utili consigli che ci ha fornito. Infine, ci auguriamo che i nostri sforzi (...afronte del vostro impegno!) vi permettano di superare in maniera brillante la prova scritta d’esa-me che vi accingete ad affrontare.

ADOLFO RUSSO, VITO TRIMARCO

3

Pre

fazi

on

e

Indice dei simboli

> maggiore

< minore

≥ maggiore o uguale

≤ minore o uguale

≠ diverso da

± più o meno

∞ infinito

→ tende a

∀ per ogni

∈ appartiene

∉ non appartiene

∪ unione tra insiemi

∩ intersezione tra insiemi

⊂ sottoinsieme proprio

⊆ sottoinsieme

⊄ non è sottoinsieme

⇒ implicazione

⇔ doppia implicazione

N insieme dei numeri naturali

R insieme dei numeri reali

log( ) logaritmo neperiano

e numero di Nepero

lim limite

∫ integrale

∑ sommatoria

′ ( )( )

′

f x

f xx

y

derivata∂

∂

� 1 Equazioni differenziali del primo ordine

1.1 Introduzione alle equazioni differenziali

Sia y una funzione incognita della variabile x, siano y ′, y″,..., y (n) le sue prime n derivate; si diceequazione differenziale ordinaria di ordine n una relazione del tipo:

F (x, y, y ′, y″,..., y (n)) = 0 (1.1.1)

Ogni funzione y = f (x) che soddisfa l’equazione differenziale (1.1.1), cioè per la quale:

F (x, f (x), f ′(x), f ″(x),..., f (n)(x)) = 0 (1.1.2)

si dice soluzione o integrale dell’equazione stessa.

Si parla di equazione differenziale ordinaria per distinguerla da un’equazione differenzialealle derivate parziali, quale può essere l’equazione di Laplace (l’operatore differenziale ∇2

prende il nome di laplaciano):

nella quale compaiono derivate parziali della funzione incognita.

Mentre un’equazione algebrica o trascendente ha soluzioni interpretabili da un punto di vistageometrico come punti, un’equazione differenziale ha per soluzione una funzione il cui dia-gramma si dice curva integrale.

La risoluzione di un’equazione differenziale comporta la determinazione di tutte le sue soluzio-ni, che sono infinite. Tali soluzioni dipendono da un numero di costanti arbitrarie dipendenti dal-l’ordine dell’equazione differenziale, e sono rappresentate da un’equazione del tipo:

y = f (x, c1, c2, ..., cn) (1.1.3)

dove c1, c2, ..., cn sono costanti arbitrarie.

Faremo nel seguito riferimento ai più importanti tipi di equazioni differenziali, ai relativi metodi disoluzione, e alla loro utilizzazione nella soluzione di semplici problemi di fisica.

Un’equazione differenziale si dice in forma normale se è risolta rispetto alla derivata di ordinemassimo, ovvero se è della forma:

y (n) = f (x, y, y ′,..., y (n−1)) (1.1.4)

D’ora in poi considereremo equazioni in forma normale. La possibilità di porre un’equazione dif-ferenziale ordinaria generale in forma normale è un problema ben diverso da quello della riso-luzione dell’equazione, e rientra nell’ambito della teoria delle funzioni implicite.

5

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

∇ = ==

∑22

21

0uu

x ii

n ∂∂

1.2 Equazioni differenziali del primo ordine

La più semplice equazione differenziale in forma normale è l’equazione differenziale del pri-mo ordine del tipo:

y ′ = f (x) (1.2.1)

Il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura l’esistenza della soluzione:

y = F (x) + c (1.2.2)

dove F è una primitiva di f, ovvero:

(1.2.3)

essendo f (x) una funzione continua nell’intervallo di definizione.

ESEMPIO

Esaminiamo le più semplici equazioni del primo ordine.

1.3 Equazioni a variabili separabili

Si dicono equazioni a variabili separabili quelle riconducibili alla forma:

(1.3.1)

da cui:

(1.3.2)

6

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

F x f x dx( ) = ( )∫

′ =

= = +∫y x

y x dxx

c

2

23

3

′ = ( ) ⋅ ( ) ( ) ≠ ∀y f x g y g y y 0

dy

dxf x g y= ( ) ⋅ ( )

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

c=3

y

x-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

e separando le variabili:

(1.3.3)

Integrando la (1.3.3) si ha:

(1.3.4)

e quindi:

G (y ) = F (x) + c (1.3.5)

Trovata, in tal modo, la soluzione generale si deve esaminare se non si sono tacitamente esclu-si degli integrali particolari nelle operazioni che portano alla separazione delle variabili.

ESEMPIO

Risolvere l’equazione:

y ′(x − 1) − y + 2 = 0

Si ha:

integrando:

quindi:

�

7

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

dy

g yf x dx

( )= ( )

essendo e primitive rispettivamente di1

eG y F xg y

f x( ) ( ) ( ) ( ).

dy

g yf x dx c

( )= ( ) +∫ ∫

dy

dxx y

dy

y

dx

x−( ) − −( ) =

−=

−1 2 0

2 1 da cui

dy

y

dx

xc y x c

−=

−+ ⇒ −( ) = −( ) +∫ ∫2 1

2 1log log

log log logy

xe k y k xc−

−

= = ⇒ = −( ) +2

11 2

y

x

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

1.4 Equazioni omogenee

Si dice omogenea un’equazione differenziale esprimibile nella forma:

(1.4.1)

Per risolvere questo tipo di equazione si pone derivando quest’ulti-ma espressione rispetto a x si ha:

y ′ = z ′ x + z (1.4.2)

che sostituita nella (1.4.1) fornisce:

z ′ x + z = f (z ) (1.4.3)

e quindi che è ancora un’equazione a variabili separabili; perciò la soluzione è:

(1.4.4)

avendo posto k = e−c, dove c è una costante arbitraria.

1.5 Equazioni del primo ordine lineari

Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando è di primo grado rispetto al-la funzione incognita y e alla sua derivata prima y ′. Essa potrà scriversi nella forma:

y ′+ f (x) y = g (x) (1.5.1)

La soluzione di quest’equazione è data dalla formula:

(1.5.2)

ed è ricavabile col metodo della variazione delle costanti di Lagrange. Il fattore e−∫f (x)dx è detto fat-tore integrante.

METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI

y ′+ f (x) y = g (x) (1.5.3)

Cominciamo col supporre g (x) = 0. In tal caso si ha y ′+ f (x) y = 0 che è un’equazione a va-riabili separabili con soluzione:

y = ce−∫f (x)dx (1.5.4)

Per trovare una soluzione dell’equazione (1.5.3) applichiamo il metodo detto della variazione

delle costanti, supponiamo cioè che nella (1.5.4) c sia variabile in funzione di x e sostituiamo

8

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ =( ) −

zf z z

x

x kedz

f z z= ( )−∫

y z x e e g x e dx cf x dx f x dx f x dx= ( ) = ( ) +

− ∫ ( ) − ∫ ( ) − ∫ ( )∫

zy

xy z x= = ⋅e quindi ;

′ =

y fy

x

nella (1.5.3) la (1.5.4) e la sua derivata prima, per vedere se è possibile determinare c in mo-

do che la (1.5.3) sia soddisfatta. Essendo per la (1.5.3) y ′ = [c′(x) − f (x)c (x)]e−∫f (x)dx si ha, ef-

fettuando la sostituzione, c′−c ⋅ f = −c ⋅ f + g ⋅e −∫f (x)dx e quindi separando le variabili c e x e in-

tegrando: c = ∫ g (x)e −∫f (x)dx dx da cui segue la (1.5.2).

ESEMPIO

Risolvere la seguente equazione:

y ′ + 2xy = x

Poiché è f (x) = 2x e g (x) = x, applicando la (1.5.2) si ottiene:

�

1.6 Equazione di Bernoulli

Un’equazione del tipo:

y ′ = A (x) y + B (x) y n (1.6.1)

è detta equazione di Bernoulli, ed è riconducibile ad un’equazione lineare. Dividendo la (1.6.1)per y n, ed effettuando il cambio di variabile:

si ottiene:

(1.6.2)

che è un’equazione lineare.

9

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

y e e xdx k y e e xdx k y e e k y kexdx xdx x x x x x= ∫ +[ ]⇒ = ∫ +[ ]⇒ = +

⇒ = +− ∫ ∫ − − −2 2 2 2 2 2 21

2

1

2

1

1

1yu

n

ydy du

n

n

−=

− =

1

1−= ( ) + ( )

n

du

dxA x u B x

y

x

4

2

-2

-4

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ESEMPIO


xy ′ = −y 2 logx − 2y

dividendo per x si ottiene:

Dalla (1.6.2) si ha che:

A (x) è definita in R –{0}, e continua in ]–∞,0 [∪]0,+∞[; B (x) è definita in [0,+∞[ e continuanell’intervallo. Quindi, le soluzioni vanno cercate in ]0,+∞[. Escludendo la soluzione identi-camente nulla si ottiene:

posto l’equazione diventa:

Esprimiamo la soluzione come somma della soluzione dell’omogenea associata e di una so-luzione particolare dell’equazione. Pertanto consideriamo l’equazione omogenea associata:

Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili, per cui integrando ambo i mem-bri si ottiene:

(Integrale generale dell’omogenea associata)

Passiamo ora alla determinazione di una soluzione particolare dell’equazione completa.Supponiamo di voler trovare una soluzione particolare del tipo:

u (x) = γ (x) x 2

Sostituendo nell’equazione si ottiene:

per cui:

10

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ = − −yy

xy

x

x2 2 log

′ = − −y

y x y

x

x2

2 1 log

zy

zy

y= ⇒ ′ = − ′1 12

,

′ = +zx

zx

x

2 log

′ =zx

z2

′ ( )( )

= ⇒ ( ) = + ⇒ ( ) =∫ ∫z x

z xdx

xdx z x x c z x cx2

12 2log log

′ + = + ⇒ ′ = ⇒ ( ) = − −γ γ γ γ γx xx

xx

x

x

xx

x

x x2 2

3 2 22

2

2

1

4

log log log

u x xx

x x( ) = − −

2

2 22

1

4

log

n A xx

B xx

x= ( ) = ( ) =2

1, ,

log

L’integrale generale della completa è:

(1.6.3)

Dalla relazione precedente si ricava: Ora dobbiamo determina-

re c in modo che y (x) risulti definita in ]0,+∞[ ossia osservando la (1.6.3), z (x) > 0. Condi-zione necessaria affinché ciò accada è che sia c > 0. Per determinare la condizione suffi-ciente studiamo la funzione (1.6.3) nel caso c > 0:

L’unico punto di minimo accettabile è nel quale deve essere Quindi:

Quindi, la soluzione è:

�

1.7 Equazione di Clairaut

y = xy ′ + g (y ′) (1.7.1)

Si tratta di un’equazione non in forma normale, citata per completezza, di cui si riporta un esempio.

11

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

z x cxx( ) = − −2

2

1

4

log

y x cxx( ) = − −

−2

1

2

1

4

log.

′ ( ) = − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =z x cxx

cx

xcx x

c2

1

20

4 1

20 4 1

1

4

22 2

xc

0

1

2=

z x 0 0( ) > .

z xc

c c c0

2

20 2 0 2 1

1

4( ) =

( )⇒ ( ) ⇒ ⇒

loglog> > > >

y x cx

xc x( ) = − −

∀ ∀ ∈ +∞] [−

2

1

2

1

4

1

40

log e ,>

y

x

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ESEMPIO


(1.7.2)

Poniamo la (1.7.2) nella forma Derivando rispetto a x:

Imponiamo che la y (x) sia soluzione della (1.7.2)

quindi la soluzione è:

�

Questo è l’integrale generale, tuttavia ci sono degli integrali particolari che si ricavano im-ponendo x = t 2 dove t = y ′.

�

1.8 Esercizi proposti

1.8.1 Equazioni a variabili separabili

Esercizio n. 1.8.1.1

y ′ = t (1+ y 2)

Dividendo per 1+ y 2 si ha:

da cui integrando:

�


y ′ = t ⋅y

�

12

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

y xy y= ′ − ′( )1

3

3

F x y y y y x y, , .′( ) = − ′ + ′( ) =1

30

3

′ = ′ + ′′ − ′( ) ′′ ⇒ ′′ − ′( )[ ] = ⇒′′ =− ′( ) =

′′ ( ) = ⇒ ′ ( ) = ⇒ ( ) = +

y y xy y y y x yy

x y

y x y x c y x cx c

2 22

1

00

0

0

cx c xc c c c+ = − ⇒ = −13

131

3

1

3

y x cx c( ) = − 1

33

x t

y xt t t

== − =

2

3 31

3

2

3

′+

=y

yt

1 2

tc y y t

tc

2 2

2 2+ = ⇒ ( ) = +

arctan tan

′ = ⇒ = + ⇒ =y

yt y

tc y ce

t

log2

2

2

2


Dividendo per si ha:

�

Nella separazione delle variabili si è escluso l’integrale singolare y = 1.


�


�


� Risolviamo l’integrale al secondo membro con la decomposizione in fratti semplici:

�

13

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

′ = −y y 1

y − 1

dy

dx y

dy

ydx

dy

ydx y x c

1

11

1 12 1

−= ⇒

−= ⇒

−= ⇒ − = +∫ ∫

′ =y y ttan

′ = ⇒ = − + = − +

⇒ =

y

yt y t k t c

yc

t

tan cos cos

cos

log log log log

′ = − +−

yx x

y

3 2 1

2 1

2

2 1 3 2 1 2 1 3 2 12 2

2 3 2

y dy x x dx y dy x x dx

y y x x x c

−( ) = − +( ) ⇒ −( ) = − +( ) ⇒

⇒ − = − + +∫ ∫

x y y y y2 ′ + = ′ +

⇒−( ) =

++

−

⇒

⇒ −( ) = −+( )

+−( )

⇒

⇒ −( ) = − +( ) + −( ) + ⇒

⇒ −( ) = −+

+

∫ ∫

∫ ∫

2

2 1 1 1

2 11

2 1

1

2 1

2 11

21

1

21

11

1

21

2

y ydy

A

x

B

xdx

yx

dxx

dx

y x x k

yx

xk

log

log log log

log log 11

2

2

1

2

1

4

1

4

2

11

1

11

11

1

1

⇒ −( ) = −+

⇒ −( ) = −+

⇒ = + −+

y kx

x

y cx

xy c

x

x

′ −( ) = − ⇒−

=−

⇒−( ) =

−( ) +( )∫ ∫ ∫ ∫y x y ydy

y y

dx

x

dy

y y

dx

x x2

21

1 1 1 1


�


�


�


� Risolvendo per parti l’integrale al secondo membro si ottiene:

�


Separando le variabili si ottiene:

e integrando:

�

14

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ = −y te y

′ = ⇒ ′ = ⇒ = + ⇒ = +

−

y

tet y e t e

tc y

tc

y

y y2 2

2 2log

′ = −( )y y t2

′−

= ⇒ − − = + ⇒ − =

⇒ = −

− +

− +

y

yt y

tk y e

y e

tk

tk

22

22

2

22

2

2

2

log

dy

ye dxx

cos2=

tan y e c y e cx x= + ⇒ = +( )arctan

xy x′ = log

dyx

xdx

x

xdx= ⇒∫log log

y cx= 1

22log

tan y e c y e cx x= + ⇒ = +( )arctan

′ =y e yx cos2

dy

ye dxx

cos2=


�


Consideriamo le due rette di equazioni x – 3 = 0 e y – x + 2 = 0; esse si intersecano nel puntodi coordinate (3,1).Poniamo quindi ξ = x − 3 e η = y − 1 e l’equazione di partenza diventa:

Eseguiamo la sostituzione dall’equazione precedente si ricava:

Risolviamo l’integrale al primo membro dell’equazione:

Quindi si ottiene:

15

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

′ = −− +

yx

y x

3

2

′ =−

=

−

η ξη ξ η

ξ

2 2

1

z z= ( ) =ξ ηξ

;

ξξ

ξξ

ξ′ = − − −−

⇒ −− + +

= ⇒ −− + +

=∫ ∫zz z

z

z

z zdz d

z

z zdz d

2

2 2

2

1

1

2

1 1

2

1

1

2

2 2

2

1

2

2 1 1

2

1

2

2 1

2

1

2

1

22

1 2

1

22

2 2 2 2

2

2

z

z zdz

z

z zdz

z

z zdz

z zdz

z zA

z

B

zdz

z z

−− + +

= − −− + +

= −− + +

+− −

=

= − − + +( ) ++

+−

=

= − − + +

∫ ∫ ∫∫∫log

log(( ) ++( )

−−( )

=

= − − + +( ) + +( ) − −( )

=

= +−

− + +

∫∫ 1

3 1

1

3 2

1

22

1

31

1

32

1

2

1

2

1

2

2

1

3

2

zdz

zdz

z z z z

z

z z z

log log log

log

′ =−

yy

x x1 2 arcsen

dy

dx

y

x x

dy

y

dx

x x

y x c y k x

=−

⇒ =−

⇒

⇒ = + ⇒ =1 12 2arcsen arcsen

arcsen arcsenlog log

log log logz

z z zk k

z zc

+−

− + +

= + = ⇒

⇒ − +( ) −( ) =

1

2

1

2

1 2

1

3

2

1

2

1

2

3

ξ ξ

ξ

Ricordando che si ottiene l’integrale generale dell’equazionedi partenza:

�

1.8.2 Equazioni omogenee


Questa è un’equazione riconducibile ad un’equazione omogenea; dividendo ambo i membri perxy si ha:

posto quindi e quindi y = zx ⇒ y ′ = z′x + z si ottiene:

tenuto conto della posizione fatta si ha infine:

�


L’equazione può anche scriversi nella forma:

posto e quindi y ′ = t + t ′x si ha:

da cui:

(1.8.1)

Scomponiamo in fratti semplici:

da cui:

16

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

z x y= = − = −ηξ

ξ η , ,e che 3 1

− + −( ) − +( ) =y x y x c4 2 52

xyy x y′ = +2 2

′ = +yx

y

y

x

zy

x=

′ + = + ⇒ ′ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = +

∫∫z x zz

z z xz

zdzx

dx zdzx

dx

zx c

1 1 1 1

2

2

log

y

xx c y x x c

2

2

2 2

22= + ⇒ = +( )log log

y y xy x y2 22′ + = ′

′ =−

yxy

x y

22 2

ty

x=

t t xtx

x t x

t

t+ ′ =

−=

−2 2

1

2

2 2 2 2

dt

dxx

t

tt

t t

t

dx

x

t

t tdt=

−− = +

−⇒ = −

+∫ ∫2

1 1

12

3

2

2

3

1

1 1

2

2 2

−+( ) = +

+( )t

t t

A

t

B

t

1 12 2− = +( ) +t A t Bt

per t = 0, si ha 1 = A, che sostituito nella precedente espressione fornisce:

la (1.8.1) diventa quindi:

ossia:

�

che è l’integrale generale dell’equazione di partenza e rappresenta una famiglia di circonferenze.


Riconduciamo l’equazione ad un’equazione a variabili separabili:

Ponendo ek = c si ottiene:

�

1.8.3 Equazioni lineari del primo ordine


Calcoliamo il fattore integrante:

Per la (1.5.2) si ha quindi:

(1.8.2)

e derivando si ha:

Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:

17

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

1 1 22 2− = + + ⇒ = −t t Bt B t

dx

x tdt

t

tdt x t t c x

ct

t

cxy

x y∫ ∫ ∫= −+

⇒ = − +( ) + ⇒ =+

=+

1 2

11

12

2

2 2 2log log log log

x y cy2 2 0+ − =

′ + =y x ytan tan 0

dy

dx y x

dy

y

dx

x

dy

y

dx

x

y x k y x ek

1 1

tan tan tan tan tan tan

sen sen sen sen

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − + ⇒ ⋅ =

∫ ∫log log

sen seny x c⋅ =

′ − =yx

y x x1

sen

e e xxdx

x− −∫ = =

1log

y z x x= ( ) ⋅

′ = ′ +y z x z

′ + − =z x zx

y x x1

sen

da cui per la (1.8.2) si ha:


�




(1.8.3)

che derivata fornisce:



che, sostituita nella (1.8.3), fornisce:

�




(1.8.4)



18

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ = ⇒ ′ = ⇒ ( ) = − +z x x x z x z x x csen sen cos

y x c x= −( )cos

′ −+

+ −( ) =yx

y x1

12 1 02

e e xxdx

x− −

+ +∫ = = +1

1 1 1log

y z x x= ( ) +( )1

′ = ′ +( ) +y z x z1

′ +( ) + −+

= −( )z x zx

y x11

12 1 2

′ = −( )⇒ ( ) = − +z x z x x x c2 1 2 2

y x x x c= +( ) − +( )1 2 2

′ = −y xy x2 2 3

e exdx

x− −∫ =

2 2

y z x e x= ( ) 2

′ = ′ + ⋅ ⋅y z e z x ex x2 2

2

′ + − = −z e xze xy xx x2 2

2 2 2 3


Risolvendo l’integrale per parti si verifica facilmente che:


�


Dividiamo l’equazione per x e calcoliamo il fattore integrante:


(1.8.5)





�


Dividiamo l’equazione per x e calcoliamo il fattore integrante:


(1.8.6)


19

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

′ = − ⇒ ′ = − ⇒ ( ) = −− −∫z e x z x e z x x e dxx x x2 2 2

2 2 23 3 3

z x e x cx( ) = +( ) +− 2

1 2

y ce xx= + +2 2 1

xy y x x′ − − =2 0cos

e e xxdx

x− −∫ = =

1log

y z x x= ( ) ⋅

′ = ′ +y z x z

′ + − − =z x zy

xx x2 0cos

′ = ⇒ ( ) = = +∫z x z x xdx x ccos cos sen

y x x cx= +sen

xy y x′ − − − =2 1 0

e e xxdx

x− −∫ = =

1log

y z x x= ( ) ⋅

′ = ′ +y z x z




�


Risolvere la seguente equazione differenziale:

Dividiamo l’equazione per senx ottenendo:

Notiamo che y = sen x per x = kπ non è un integrale singolare dell’equazione. Per risolvere l’e-quazione calcoliamo il fattore integrante:


(1.8.7)





�

20

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ + − − − =z x zy

xx

x

10

′ = + ⇒ ( ) = − +zx

z x xx

c11 1

2

y x cx= + −2 1

sen cosx y x y e x( ) ′ + ( ) =

′ + =yx

xy

e

x

xcos

sen sen

e ex

x

xdx

x−

−∫ = =cos

sensin logsin 1

y z xx

= ( ) ⋅ 1

sen

′ = ′ −y zx

zx

x

12sen

cos

sen

′ − + =zx

zx

x

x

xy

e

x

x12sen

cos

sen

cos

sen sen

′ − + = ⇒ ′ = ⇒ ′ = ⇒ ( ) = +zx

zx

x

x

xz

e

xz

x

e

xz e z x e c

x xx x1 1

2sen

cos

sen

cos

sen sen sen sen

ye c

x

x

= +sen


Risolvere la seguente equazione differenziale:

Risolviamo per prima cosa l’equazione omogenea associata:


e integrando:

� Esprimiamo il prodotto sen x cos x in funzione della tangente, ottenendo:

L’integrale quindi diventa:

essendo 1+ tan2 x la derivata di tan x. La soluzione dell’omogenea quindi è:

Determiniamo una soluzione particolare mediante il metodo della variazione delle costanti di La-grange; assumiamo quindi una soluzione particolare del tipo:

(1.8.8)

la cui derivata è:

(1.8.9)

Sostituendo le (1.8.8) e (1.8.9) nell’equazione di partenza otteniamo:

Quindi la soluzione particolare è:

e l’integrale generale dell’equazione completa sarà:

�

21

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

′ − = −yy

x x

x

xsen cos

sen

cos

2

′ − =yy

x xsen cos0

dy

dx

y

x x

dy

y

dx

x x− = ⇒ =

sen cos sen cos0

dy

y

dx

x x= ∫∫ sen cos

sen costan

tanx x

x

x=

+1 2

log logyx

xdx x c= + = +∫ 1 2tan

tantan

y x k x( ) = tan

y c x xp = ( ) tan

′ = ′ ( ) + ( )y c x x c xx

tancos

12

′ ( ) + ( ) −( ) = − ⇒

⇒ ′ ( ) = − ⇒ ′ ( ) = − ⇒

⇒ ( ) =

c x x c xx

c x x

x x

x

xc x x x x c x x

c x x

tancos

tan

sen cos

sen

costan sen tan sen

cos

12

2

y x x xp = =cos tan sen

y x k x x( ) = +tan sen



Risolviamo prima l’equazione omogenea associata:


Troviamo ora una soluzione particolare con il metodo della variazione delle costanti di Lagrange:

(1.8.10)

la cui derivata prima è:

(1.8.11)

Sostituendo le (1.8.10) e (1.8.11) nell’equazione di partenza otteniamo:

da cui:

Quindi:

e in conclusione l’integrale generale dell’equazione completa è:

�

1.8.4 Equazioni di Bernoulli


Risolvere la seguente equazione di Bernoulli:

Si tratta di un’equazione con esponente n = 3; notiamo che la funzione y = 0 è una soluzione. Sey ≠ 0, dividendo per y 3 otteniamo:

22

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ = −+

+ −yy

xe xx

1 2

arctan 2log

′ ++

=yy

x10

2

dy

y

dx

xy x c y e y kex c x= −

+⇒ = − + ⇒ = ⇒ =− + −

1 2log arctan arctan arctan

y x c x epx( ) = ( ) −arctan

′ ( ) = ′ ( ) − ( )+

− −y x c x e c x ex

px xarctan arctan 1

1 2

′ ( ) − ( )+

= − ( )+

+− − − −c x e c x ex

c x ex

e xx x x xarctan arctan arctan arctan 2log1

1

1

12 2

′ ( ) = ⇒ ′ ( ) = ⇒ ( ) = − −( )− −c x e e x c x x c x x x x xx xarctan arctan 2 2 2log log log log2 1

y x x x x x x epx( ) = − +( ) −log log2 arctan2 2

y x ke x x x x x ex x( ) = + − +( )− −arctan 2 arctanlog log2 2

′ = −( )y x y y 3

′ = −−y

yxy x

3

2

Ponendo z = y −2 ⇒ z ′ = −2y −3 y ′, otteniamo un’equazione lineare nell’incognita z:

(1.8.12)


Per la (1.5.2) si ha:

(1.8.13)

e derivando si ha:

Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione (1.8.12) si ha ancora:


Dalla (1.8.13) si ottiene quindi che:

Infine, la soluzione dell’equazione di partenza è data da:

� (1.8.14)

Tutte le soluzioni espresse dalla (1.8.14) sono di segno costante, cioè positive o negative perogni x. La soluzione y = 0, trovata all’inizio, non si ottiene dalla (1.8.14) per alcun valore di c, percui essa è un integrale singolare.


Integrare l’equazione:

(1.8.15)

L’equazione è del tipo:

E quindi è un’equazione di Bernoulli che si può riscrivere dividendo entrambi i membri per y 2,nella forma:

(1.8.16)

23

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

′ + − =z xz x2 2 0

e exdx

x−

−∫ =2 2

z u x e x= ( ) − 2

′ = ′ −− −z u e xe ux x2 2

2

′ − + =− −u e xe u xz xx x2 2

2 2 2

′ − + = ⇒ ′ =

⇒ = ⇒ = +

− − −

∫u e xe u xue x u xe

u xe dx u e c

x x x x

x x

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

z x ce x( ) = + −12

y x ce x( ) = ± +( )−−

12 1 2/

′ − =y xy x y3 2

′ + ( ) = ( )y a x y f x y1α

′ − =y

yx

yx

2

31

Si noti che questa equazione non è equivalente alla (1.8.15) in quanto non ammette l’integralenullo. Per integrarla poniamo:

Poiché y (x) soddisfa la (1.8.16), la funzione z (x) soddisfa l’equazione che da essa si ottieneesprimendo il primo membro in funzione di z (x). Osserviamo che si ha:

ossia.

Pertanto, poiché risulta:

risulta anche −z ′ (x) −xz (x) = x 3. Quindi z (x) soddisfa l’equazione −z ′ (x) −xz (x) = x 3 ossia l’e-quazione:

(1.8.17)

che è un’equazione lineare completa del 1° ordine. L’equazione omogenea associata è:

che è un’equazione a variabili separabili riscrivibile nella forma:

(1.8.18)

Per integrare quest’ultima, detto z un generico integrale di essa, osserviamo che si ha:

e quindi:

con k opportuna costante reale. Pertanto, si ha:

ossia:

Posto pertanto la funzione:

Fornisce l’integrale generale della (1.8.18).

24

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

1

yz=

′ ( ) =− ′ ( )

( )z x

y x

y x2

′ ( )( )

= − ′ ( )y x

y xz x

2

′ ( )( )

−( )

=y x

y xx

y xx

2

31

′ + = −z xz x 3

′ + =z xz 0

dz

zxdx= −

log zx

k= − +2

2

dz

zxdx∫ ∫= −

z e ekx

=−

2

2

z e ez x x

z x xk

x

= ±+ ( ) ∀ ∈− ( ) ∀ ∈

−2

20

0

se risulta

se risulta

>

< R

c e z cekx

= ± =−

si ha2

2 ,

z ce cx

= ∈−

2

2 con ℜ − { }0R

R

Cerchiamo ora un integrale particolare della (1.8.17) col metodo di Lagrange, ovvero un inte-grale particolare del tipo:

Con γ (x) funzione derivabile incognita da determinare. Per determinare γ (x) imponiamo cheu (x) sia un integrale della (1.8.17). Ciò facendo si ha:

Quindi si ha:

Pertanto, si ha Quindi la funzione:

fornisce l’integrale generale della (1.8.17). Ponendo in essa si ottiene l’equazione (dipen-dente dal parametro c):

La quale è un integrale generale in forma implicita della (1.8.15). L’integrale generale in formaesplicita sarà dato da:

�

25

1.E

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i del

pri

mo

ord

ine

u x x ex

( ) = ( )−

γ2

2

′ ( ) + ( ) −( ) + ( ) = − ⇔ ′( ) = −− − −

γ γ γ γx e x e x x x e x x x ex x x x2 2 2 2

2 2 2 3 3 2

γ x x e dx x d e x e e xdx

x e d e x e e c e x c

x x x x

x x x x x

( ) = − = −

= − + =

= − +

= − + + = −( ) +

∫ ∫ ∫

∫

3 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

u x x e xx

( ) = ( ) = −( )−γ

2

2 22 .

z ce x cx

= + −( ) ∈2

2 22 con R

zy

= 1

12

2

2 2

yce x

x

= + −( )

y

ce xx

=+ −( )

1

22

2 2

� 8 Applicazioni delle equazioni differenziali

Problema n. 8.1

In figura è mostrato un circuito R-L serie con una tensione applicata E (t) = 240 (1 − e–t/3). Rica-vare:

1. l’espressione della corrente in funzione del tempo;

2. la soluzione del problema di Cauchy associato con condizione iniziale i (0) = 0.

1. � Applicando la legge di Kirchhoff si ottiene:

E (t) = VR + VL

avendo indicato con VR e VL le cadute di tensione rispettivamente sul resistore e sull’indut-tore; ricordiamo dall’elettrotecnica che le cadute si possono esprimere come:

Quindi, possiamo riscrivere la legge di Kirchhoff come:

Sostituendo i valori in figura si ottiene l’equazione differenziale lineare del primo ordine da ri-solvere:



(8.1)

e derivando si ha:


117

8.A

pp

licaz

ion

i del

le e

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i

V R IR = ⋅

V LdI

dtL =

E t RI LdI

dt( ) = +

dI

dtI e t+ ⋅ = ⋅ −( )−6 10 48 10 15 3 3/

e edt

t− ⋅

− ⋅∫ =6 10

6 105

5

I z t e t= ( ) ⋅ − ⋅6 105

′ − ⋅ + ⋅ = ⋅ −( )− ⋅ − ⋅ −z e ze I et t t6 10 5 6 10 5 3 35 5

6 10 6 10 48 10 1 /

′ = ′ − ⋅− ⋅ − ⋅I z e zet t6 10 5 6 105 5

6 10

R=3kohm

E(t)L=5mH

e quindi:

che sostituita nella (8.1) fornisce:

�

2. Imponendo la condizione iniziale si ricava:

�

Problema n. 8.2

Un corpo di massa m si muove sotto l’azione di una forza elastica F = − kx (k è la costante ela-stica ed x è lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio). Determinare la legge orariadel moto x = x (t), sapendo che per t = 0 è x = R e v = 0 (velocità).

� Ricordando che F = ma e che a (accelerazione) è la derivata seconda di x rispetto al tempo,possiamo scrivere:

mx″ = − kx

Si tratta di un’equazione lineare omogenea del secondo ordine che possiamo porre nella formausuale:

L’equazione caratteristica associata è:

che ha radici reali complesse immaginarie pure

Dalla tabella 2.1, essendo nel caso si ha che la soluzione dell’equazione è:

Da questa equazione possiamo giungere all’espressione della velocità v in funzione del tempo(v = x ′):

118

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

′ = ⋅ −( ) ⇒

⇒ ( ) = ⋅ −( ) ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ −+

− ⋅ −

− ⋅ − ⋅⋅ −

∫

z e e

z t e e dt e e c

t t

t t tt

6 10 3 3

3 3 6 10 2 6 103

5

6 101

3

5

5 55

48 10 1

48 10 1 8 1048 10

6 101

3

/

/

I e cet

t= ⋅ − ⋅

⋅ −+−

−− ⋅8 10

48 10

6 101

3

23

5

1

3 6 105

c = ⋅

⋅ −− ⋅ −48 10

6 101

3

8 103

5

2

′′ + =xk

mx 0

α 2 0+ =k

m

±ik

m.

∆4

0 0< , a =

x t Ak

mt B

k

mt( ) =

+

cos sen

v Ak

m

k

mt B

k

m

k

mt= −

+

sen cos

e imporre alle due leggi x = x (t) e v = v (t) di soddisfare alle condizioni iniziali x (0) = R e v (0)

= 0 ottenendo Dunque, l’equazione del moto risulta:

�

Problema n. 8.3

Consideriamo un barile di acqua che può essere svuotato mediante un rubinetto; all’istante t = 0 ilrubinetto viene aperto. Il livello dell’acqua nel barile è indicato con h [m]; all’istante t = 0 il livello h èpari a 6. La variazione del livello in funzione del tempo è descritta dalla seguente relazione:

Trovare la legge che esprime il livello h in funzione del tempo.

Si tratta, semplicemente, di risolvere il seguente problema di Cauchy, avendo individuato in h (0)= 6 la condizione iniziale.

L’equazione differenziale è un’equazione a variabili separabili facilmente integrabile:

Imponendo la condizione iniziale si ottiene:

Quindi la soluzione del problema è:

�

Problema n. 8.4

Consideriamo un circuito elettrico costituito da una resistenza R, un’induttanza L e un conden-satore C in serie, a cui sia applicata una tensione variabile V (t).Determinare l’espressione della carica immagazzinata nel condensatore al variare del tempo.

119

8.A

pp

licaz

ion

i del

le e

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i

R A Bk

m= =, .0

x t Rk

mt( ) =

cos

dh

dth= − ⋅ −3 5 10 3.

dh

dth

h

= − ⋅

( ) =

−3 5 10

0 6

3.

dh

hdt

dh

hdt h

t c= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ =

⋅ +( )− −−

∫ ∫3 5 10 3 5 103 5 10

43 3

3 2

. ..

hc

c04

63

2

2

( ) = = ⇒ =

h

t

=− ⋅

−3

23 5 10

4

3

2

.

V(t)

R C

L

� Dall’elettrotecnica sappiamo che, per la prima legge di Kirchhoff, la somma delle cadute ditensione in una maglia deve essere nulla, ossia:

VR + VC + VL = V (t) (8.2)

Inoltre, sappiamo che le cadute sui tre componenti passivi si possono esprimere come:

avendo indicato con Q (t) la carica immagazzinata nel condensatore. Quindi sostituendo le treprecedenti espressioni nella (8.2) si ottiene:

che è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti; cercando unasoluzione del tipo:

Q (t) = Aeiωt

per l’equazione omogenea associata, troviamo l’equazione caratteristica:

LSe ∆ = R 2 −4 –– > 0 si trova la soluzione decrescente:C

�

LSe ∆ = R 2 −4 –– < 0 si ha la soluzione oscillante:C

�

In particolare, per R = 0 si ha:

dove A è l’ampiezza e ϕ la fase.

LSe R 2 −4 –– = 0 si trova la soluzione:C

�

120

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

V R I RdQ t

dtR = ⋅ =

( )

VQ t

CC =

( )

V LdI

dtL

d Q t

dtL = =

( )2

2

Ld Q t

dtR

dQ t

dt

Q t

CV t

2

2

( ) +( ) +

( ) = ( )

L RC

ω ω2 10+ + =

Q t e c e c eR

Lt

t

L

t

L( ) = +

− −2

12

22

∆ ∆

Q t Aet

L

R

Lt( ) = −

+

−2

2cos

∆ ϕ

Q t At

L( ) = −

+

cos∆

2ϕ

Q t e c c tR

Lt( ) = +[ ]−2

1 2

Problema n. 8.5

In un serbatoio cilindrico, di base 3dm 2 e altezza 1 metro, viene immessa acqua con portata co-stante di 3 litri al minuto. L’acqua viene poi assorbita dal fondo con velocità proporzionale al vo-lume di acqua presente secondo la costante di proporzionalità 1/10 (esprimendo il volume in li-tri e la velocità di uscita in litri al minuto). All’istante t = 0 il serbatoio è vuoto. Determinare il tem-po necessario perchè il livello dell’acqua raggiunga 5dm e dire, giustificando la risposta, se il re-cipiente si riempie.

Indicando con y (t) il volume dell’acqua contenuta nel serbatoio all’istante t, la variazione di y

nell’intervallo [t, t + ∆t ] può essere espressa da Dividendo per

∆t e facendo tendere questa quantità a zero, otteniamo l’equazione differenziale del primo ordine

La soluzione generale di questa equazione si ottiene come segue:

Dalla condizione iniziale y (0) = 0 otteniamo c = − 30 e quindi il volume dell’acqua presente nelserbatoio all’istante t è dato da

Il livello dell’acqua è di 5dm quando il volume dell’acqua è 15 litri. Posto quindiotteniamo t = 10 log 2. Sono quindi necessari 10 log 2 minuti affinché il livello dell’acqua rag-giunga i 5dm.

� Il serbatoio non si riempie. Infatti, da otteniamo che non ha solu-zioni finite.

Problema n. 8.6

Un corpo è esposto ad una temperatura costante di 280K. Dopo 1 minuto la temperatura del cor-po è 350K e dopo 5 minuti è 310K. Trovare un’espressione per la temperatura θ in funzione deltempo t. Rappresentare l’andamento della temperatura θ in funzione del tempo t.

� Ricordando la legge di Newton che afferma che la velocità con la quale un corpo si raffred-da è proporzionale alla differenza tra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente circo-stante secondo una costante di proporzionalità detta k, possiamo scrivere:


121

8.A

pp

licaz

ion

i del

le e

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i

y t t y t t y t t+( ) − ( ) ≈ − ( )∆ ∆ ∆31

10.

′ = −y y31

10

′ + = ⇒ ′ + = ⇒

= ⇒ = +

⇒ ( ) = +−

y y e y e y e td

dte y e e y e c

y t ce

t t t t t t

t

1

103

1

103

1

103 30

30

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

y t et

( ) = −−

30 301

10

15 30 301

10= −−

et

30 30 301

10= −−

et

et−=

1

10 0

d

dtk

θ θ= −( )280

dkdt

θθ −

=280

e integrando:

Siccome t è espresso in secondi abbiamo che:

log(350−280) = k ⋅ 60 + ce

log(310−280) = k ⋅ 300 + c

Risolvendo le due precedenti equazioni con k = − 3.53 ⋅ 10–3 si ottiene c = 4.46. Pertanto, sosti-tuendo questo valore nell’espressione precedente e passando agli esponenziali si ottiene:

� θ = 280 + e4.46–(3.53⋅10–3)t

Problema n. 8.7

Il sistema in figura è costituito da una massa attacca-ta ad una molla di costante elastica k e soggetta aduna forza pari a F sen (2t ) lungo x.Ricavare l’equazione del moto.

� Ricordando la legge di Hooke per un sistema sot-toposto ad una forza esterna si ottiene:

ovvero:

Si tratta di un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti che può essererisolta con i metodi illustrati in precedenza. In particolare l’integrale dell’equazione omogeneaassociata risulta del tipo:

x = A cos (ωt ) + B sen (ωt )

dove .

122

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

dkdt kt c

θθ

θ−

= ⇒ −( ) = +∫ ∫280280log

md x

dtkx F t

2

22= − + ( )sen

d x

dt

k

mx

F

mt

2

22+ = ( )sen

ω = k

m

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750

350

300

250

200

150

100

50

-50

temperaturay

280

tempo

x

k

x

n

F sen2t

Determiniamo, ora, una soluzione particolare, del tipo:

xp (t) = C sen (2t ) + D cos (2t )

Con semplice derivazione della funzione precedente si ricava:

Affinché xp sia soluzione dell’equazione di partenza occorre che:

In definitiva, la soluzione generale dell’equazione completa è:

�

Problema n. 8.8

La popolazione di una città ha un tasso di crescita, risultante dalle nascite e dalle morti edespresso in individui per anno, proporzionale al numero di abitanti e con coefficiente di propor-zionalità 0.1. Ogni anno inoltre 10.000 individui emigrano verso altre città.

1. Supponendo che all’istante iniziale il numero di abitanti sia 200.000, determinare la fun-zione N = N (t) che dà il numero di abitanti all’istante t (in anni).

2. Supponendo che all’istante iniziale il numero di abitanti sia N0 > 0, dire per quali valori diN0 la popolazione si estingue.

La variazione di N (t ) nell’intervallo [t, t + ∆t ] può essere espressa da:

Dividendo a destra e sinistra per ∆t e facendo tendere a zero, otteniamo l’equazione differen-ziale:

La cui soluzione generale è:

1. Posto N (0) = 200.000 otteniamo c = 100.000 e quindi il numero di abitanti in funzione deltempo diventa:

�

2. Posto N (0) = N0, otteniamo c = N0 − 100.000 e quindi il numero di abitanti in funzione del

tempo diventa La popolazione si estingue se esistono

123

8.A

pp

licaz

ion

i del

le e

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i

′′ + = − ( ) − ( ) + ( ) + ( )( )

= −

( ) + −

( ) = ( )

xk

mx C t D t

k

mC t D t

k

mC t

k

mD t

F

mt

p p 4 2 4 2 2 2

4 2 4 2 2

sen cos sen cos

sen cos sen

Dk

mC

F

mC

F

k m= −

= ⇒ =−

0 44

e

x A t B tF

k mt= ( ) + ( ) +

−( )cos sen senω ω

42

N t t N t N t t t+( ) − ( ) ≈ ( ) −∆ ∆ ∆1

1010 000.

′ ( ) − ( ) = −N t N t1

1010 000.

N t cet

( ) = +100 0001

10.

N t et

( ) = +100 000 100 000 10. .

N t N et

( ) = + −( )100 000 100 0000

1

10. . .

valori di t > 0 tali che N (t ) = 0, cioè se l’equazione ha so-luzioni positive. Questa equazione equivale a:

L’equazione ha una soluzione reale per tale soluzione è, inoltre, positiva

per cioè per:

� N0 <100.000

Problema n. 8.9

Un veicolo deve essere arrestato usando una

parete elastica. La massa del veicolo è 3⋅103 kg,

la costante elastica è la for-

za con cui il veicolo è spinto verso la parete è

6⋅103N. Determinare l’espressione della com-

pressione x in funzione di t, assumendo come

condizioni iniziali x (0) = 0, x ′ (0) = 0.

� Applicando la seconda legge di Newton otteniamo l’equazione differenziale da risolvere perottenere l’espressione di x:

3⋅103 x″ + 27⋅103 x + 6⋅103 = 0

Dividendo tutto per 3⋅103 si ottiene:

x″ + 9x + 2 = 0

che è un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti; l’integrale generaledell’equazione omogenea associata è:

x (t) = A cos (3t ) + B sen (3t )

Un integrale particolare si può determinare invece imponendo una soluzione costante, e quindiannullando la derivata seconda:

Quindi, l’integrale generale dell’equazione completa sarà:

Applicando le condizioni iniziali otteniamo:

124

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

100 000 100 000 00

1

10. .+ −( ) =N et

eN

tN

t1

10

0 0

100 000

100 00010

100 000

100 000= −

−⇒ = −

−

.

.

.

.log

−−100 000

100 0000

0

.

.;

N>

−−100 000

100 0001

0

.

.

N>

kN

m= 27 103⋅ ,

9 2 02

9x x+ = ⇒ = −

x t A t B t( ) = ( ) + ( ) −cos sen3 32

9

A B= =2

90,

x 0

e, quindi, l’espressione di x è data da:

�

Problema n. 8.10

Un contenitore cubico di lato 3m è pieno di acqua fino ad una altezza pari ad h. Il contenitoreviene svuotato mediante un foro circolare di diametro 0.1m.

1. Ricavare l’equazione differenziale che lega l’al-tezza dell’acqua al tempo t ;

2. risolvere quest’equazione differenziale per unacondizione iniziale h (0) = 2;

3. quanto tempo (in minuti) impiega il contenitore asvuotarsi se h è pari a 2?

4. rappresentare graficamente l’andamento di h infunzione del tempo.

1. Il volume di acqua che esce dal foro per unità di tempo è:

� dove ricordiamo che g è l’accelerazione di gravità e rappresenta la legge diTorricelli. Il volume di acqua che esce dal contenitore nel tempo ∆t è:

quindi la variazione di volume ∆V di acqua nel contenitore nel tempo ∆t è:

dove il segno negativo è dovuto al fatto che il volume diminuisce. Dalla espressione prece-dente si ricava che:

Passando al limite si ottiene:

Il volume di acqua nel contenitore può essere espresso come A ⋅h dove A è la sezione tra-sversa del serbatoio. Sostituendo questa espressione nella precedente si ottiene:

(8.3)

L’area del foro A0 è pari a:

Siccome il contenitore è cubico e presenta un lato di 3m la sua sezione trasversa sarà paria 9m 2. La (8.3) diventa allora:

�

125

8.A

pp

licaz

ion

i del

le e

qu

azio

ni d

iffe

ren

zial

i

x t t( ) = −2

93

2

9cos

A gh0 2

v gh= 2

A gh t0 2 ⋅ ∆

∆ ∆V A gh t= −( )0 2

∆∆V

tA gh= − 0 2

dV

dtA gh= − 0 2

dh

dt

A gh

A= − 0 2

π π π⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ −dm

22 3 2

40 05 2 5 10. .

dh

dt

ghh= −

⋅ ⋅ ⋅= − ⋅

−−2 5 10 2

93 87 10

33.

.π

h

l

A0

2. Dobbiamo risolvere il problema di Cauchy:

L’equazione di partenza può essere risolta semplicemente separando le variabili:

Sostituendo la condizione iniziale si ottiene Quindi la soluzione del problema è:

�

3. Sostituendo nella soluzione trovata h = 0 si ottiene t = 731s che sono pari a:

� 12.18 minuti

4.

�

Problema n. 8.11

Un serbatoio ha una capacità totale di 14 m3 ed inizialmente contiene 7m3 d’acqua. Nel serba-toio viene versata dell’acqua con velocità costante di 1/3m3/h, mentre da un foro posto sul fon-do esce dell’acqua con velocità, espressa in m3/h, proporzionale alla quantità d’acqua contenu-ta e con coefficiente di proporzionalità 0.05.

1. Esprimere la quantità d’acqua contenuta nel serbatoio in funzione del tempo;

2. dire se il serbatoio si svuota, oppure si riempie, oppure non si svuota né si riempie.

1. Indicata con y (t ) la quantità d’acqua presente all’istante t, si ricava:

�

2. L’equazione y (t ) = 0 non ha soluzioni e l’equazione y (t ) = 14 ha soluzione negativa:

t = − 20 log 22

� e quindi, per t > 0 il serbatoio non si svuota né si riempie.

126

Eq

uaz

ion

i dif

fere

nzi

ali

dh

dth

h

= − ⋅

( ) =

−3 87 10

0 2

3.

h dh dt h t c− − −∫ ∫= − ⋅ ⇒ = − ⋅( ) +1 2 3 1 2 33 87 10 2 3 87 10/ /. .

h t1 2 31 935 10 2/ .= − ⋅( ) +−

y t et

( ) = +

−1

320 20

0 100 200 300 400 500 600 700

2

1.5

1

0.5

h

t

c = 2 2.

� Indice generale

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 3

� 1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 5

1.1 Introduzione alle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 51.2 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 61.3 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 61.4 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 81.5 Equazioni del primo ordine lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 81.6 Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 91.7 Equazione di Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 111.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 12

1.8.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 12

1.8.2 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 16

1.8.3 Equazioni lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 17

1.8.4 Equazioni di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 22

� 2 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 27

2.1 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.2 Integrale generale dell’equazione lineare omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.3 Integrale generale dell’equazione lineare completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.4 Equazioni lineari a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 282.5 Equazione lineare completa a coefficienti costanti (non fondamentale) . . . . . » 292.6 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 292.7 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . » 302.8 Metodo della variazione delle costanti di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 312.9 Alcune notevoli equazioni lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 322.10 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 332.11 Esercizi su equazioni non omogenee con termine noto funzione di x . . . . . . » 37

� 3 Problemi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 49

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 493.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 52

� 4 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 75

4.1 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.2 Forma normale di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 77

127

Ind

ice

� 5 Problema di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 81

5.1 Problema di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 815.2 Ortogonalità delle autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 82

5.3 Esistenza di autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 82

� 6 Cenni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali . . . . . . . . . » 85

6.1 Equazioni differenziali alle derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 856.2 Unicità della soluzione di problemi al contorno per le equazioni di Laplace e

Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 866.3 Problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace in coordinate polari . . . . . . . » 876.4 Problema di Neumann per l’equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 906.5 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 916.6 Equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 926.7 Equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 94

� 7 Risoluzione numerica di equazioni differenziali (Con listati Matlab) . » 97

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 977.2 Metodi alle differenze finite per problemi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 987.3 Metodi numerici per problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 1037.4 Un esempio: un modello di linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 106

� 8 Applicazioni delle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 117

128

Ind

ice

Documents

Esercizi Svolti Equazioni Differenziali