Integrali Curvilinei - Esercizi Svolti

ESERCIZI

Calcolare l’integrale doppio

xe d xd yA

y

dove A è un insieme così composto

A x y R x y x y , : , ,2 2 20 0 1

x d x e d y x e x d xyx

x

0

1

0

11

0

12

2

( )

Applico la sostituzione

1 2 2 x t

t e dt tdt e tdtt

e t e dt e et t t t( )

1

2

1

21

1

20

1 2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1


22 2

a rc s iny

x yd xd y

T

Dove T è un insieme così definito

T x y R x y x y x y , : , , ,2 2 2 2 20 1 4

Passaggio a coordinate polari

y s inx c o s

2 a rc s in s in d dD

( )

Dove D è un insieme così definito

D , : ,0 2 1 2

2 22 2 4

21

2

3

8

2

0

2 2

1

2 2 2

1

2

0

2

d d

Calcolare l’integrale doppio:

ydxdy

a

x y R x a y ax x

S

dove S è il semicerchio di diametro e con il centro nel punto C

S =

a

20

0 02 2

, .

, : ,

Passaggio alle coordinate polari:

x

y adxdy d d

d d

R a

d d d

d

U

aa

) dove U è:

U = ,

=

a Pongo: cos =

3

cos

sen cos

(sen

: cos ,

sensen

cos sen

coscos

02

0

0 02

3

3

2

2

2

00

23

00

2

3

0

2

t, - sen d = dt , d = -dt

sen .

t = -a

t =a

12 3

1

0 34

0

13

a dt3

3 12sen

sen

Calcolare l’integrale doppio:dxdy

a xS 2 dove S è il cerchio di raggio a tangente agli assi delle coordinate

e situato nel primo quadrante.

S = x y R x a a ax x y a ax x

dxdy

a x

dx

a xdy

a ax x a ax x

a xdx

ax x

a xdx

x a x

a xdx x x

a ax x

a ax xa a

a ax x

a ax x

a a

aa

, : ,

2 2 2

2

2

0

2

0

2

2

2

2 2

0

2 2

0

2

0

2

0

2

0 2 2 2

2 2

2 2

22

2

2

22

2

4

3

8

3

2

2

2

2

a a2 .


dxdy

xT x y x x y x

T 10 1 2

con , : ,

1

1 1

12 1

1

1 4 2

1

20

1 2

0

1

2 2

xdx dy

x x

xdx x

ttdt t

t

tdt

x

x

Pongo t , 2tdt = dx.

t - t= 2 - t = -2

t+ 2

t+ 2 t +

- log t - 2 arctg t = -1

2+ 1+ 2 - log 2 -

2=

5 -

2- log 2

2

4

0

13

0

1 4

0

1 2

0

1

0

1

2

0

1

0

1


x y dxdy T x y R x y yT

con , : ,2 2 21 4 0

Sciolgo il modulo:

Dove: T

T

Passaggio alle coordinate polari:

x = cos

y = sendxdy = d d

sen - cos d d cos - sen d d

Dove: D ,

T

1

2

1

1

y x dxdy x y dxdy

x y x y y y x

x y x y y x y

T

D D

2

11 2

1 4 0

1 4 0

1 24

2 2

2 2

, : , ,

, : , ,

: ,

D , 2,0 4

sen - cos + - sen =

+ cos

2

2 2

1

2

3

:

cos

cos sen sen

1

3 3

7

3

2 2 2

2

7

3

2 2 2

1

2

40

4

1

2

4 4

3

1

2

04

d d d d

2

14

32

.


1

11 2 2 2

yx dxdy T x y x x x y x

T

dove , : ,

dxy

x dy y xy dx

x x x x x x dx

x xx

xdx

xx x x

x x

x xdx

x x

x x

x

x x

x

1

2

22

1

2

2 2 2 3

1

2

1

2

1

2 3

1

2

2

1

2

21

2 3

1

2 4

1

2

1

11

1 2 1 2

11 3

2 12 2

2 12

3 4

2

2

ln

ln ln

ln ln

2 3 27

32 2

7

3

15

41 2

2 2

1 2 1 2

2 317

121 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 35

122 1 2

2 1

21 2

2 1

21

1

2

1

2

1

2

1

2

ln ln ln ln

ln ln ln ln ln

ln ln ln ln .

x x xx

x xdx

x x

=


dxdy

xT x y R x x x y x x

T 1

0 3 4 2 2 22 2 2 con , : ,

dx

xdy

x x

xdx

xxdx

x x x

x x

x x

1

2 6

1

8 28

1

8 8 1 15 8 4

0

3

4 2

2 2 2

0

3

0

3

2

0

3

2

2

dopo la divisione : =

ln ln .


x x dxdy yx

x yT

42

2 22 dove T è il dominio individuato dall' iperbole e dalle rette e

=

Pongo: t = 4 - x dt = -2xdx

x = 0 t = 4, x = 1 t = 3; I

Pongo: x = 2sent;

T

2

1

1

x x dxdy x x dxdy I I

I dx x x dy x x dx

x tdt

xtdt

t t

I dx x x dy x dx

T

x

4 4

4 2 4

22

2

3

16

32 3

4 2 4

2 21 2

10

12

0

22

0

1

4

3

3

4

3

4

21

22

0

2

2

1

2

2

;

.

dx = 2cost dt

x = 1 t = 6 x = 2 t = 2 I2

, ; sen cos

cos cos sen

.

4 4 4

8 4 1 2 41

22

4

33

4

3

16

33 3

2

6

2

2

6

2

6

2

6

2

1 2

t tdt

tdt t dt t t

I I I


1 0 1 x y dxdy T x y y y x yT

con , : ,

dy x y dx xx

xy dy

y y y yydy

y y y y y y

y

y

y

y

0

1 2

0

1

2

0

1

2 2 3

0

1

12

3

2 2

2

3

3

4

2

5

1

6

119

60.

Calcolare l’integrale doppio:xdxdy

yT 2 dove T è il dominio in figura

I = I1

I

Ixdxdy

yxdx

dy

y

x y dx x x dx

xx x dx

xx

x

xdx

x

T

x

x

2

11

0

1

1

1

1

1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

1

0 2

1

0

2 2

2 1 3

32

1

1

23

21

2 1

1

23

1

22

1

2

1

2

1

2 1

1

ln ln ln

ln ln

ln ln

ln ln

xdx

Ixdxdy

yxdx

dy

y

x y dx x x dx

xx

x

xdx

xdx

T x

x

1

0

20

1

1

1

1

1

0

1

0

1

2

0

1 2

0

1

0

1

1

23

1

22

1

2

1

4

1

22

1

23

1

4

2 2

2 3

23

2 3

1

22

1

2

3

2

9

6 2

2

ln ln ln ln .

ln ln

ln ln

1

22

4

3

2

9

26 2

7

44 2

9

23

43

2

3

2

2

0

1

1 2

ln ln ln ln .

ln .

xx x

I I I

Calcolare l’integrale4 2 2x y dxdy

T T: x y R

o x y x

, /

;

2

1 0

dx x y dyx

4 2 2

00

1

operando la sostituzione:y t dy x t 2 2sen cos

l’integrale diventa:

dx x t dt

t se y e t se y x

x dx t dt x t t t

4

0 01

2 6

44

3

1

2

1

3 3

3

2

2 2

0

6

0

1

2 2

0

6

0

13

0

1

0

6

cos

, arcsen . .

cos sen cos

essendo:


Iy

x ydxdy

T

1 2 2 Dove T è il semicerchio di raggio 1 e centro in (1,0) situato nel

semipiano positivo delle y.

Effettuo il passaggio a coordinate polari:

x

y sin

dxdy d d

cos

Isin

d dU

1 dove U , : , cos 0 2 0 2

Riduco rispetto all’asse

I sin d d sin d d

sin d d

d d d

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

0

22

0

2

2

0

2

0

1 1

11

1

1

21

2

02 2 1 2

2 21

21 2 1

cos cos

logcos

cos cos log cos sen

cos cos cos cos log cos cos

2

0

2

3 22

3

1

21 2 2 1 1

2

01

2

2

31

3

23

3

2

3

23

4

3

cos cos cos log cos log log .


ye

x ydxdy

x y

T

2 2

2 2

dove T è il quadrante di corona circolare definito da

T x y R x y r x y r , : ,2 2 2220 0 , 1

2

Passaggio alle coordinate polarix

y sin

dxdy d d

cos

sin e

d dU

2 dove U r r , : , 0 2 1 2

sin d e d er

re e

r

r

r r

cos/

.2

02

10

2

1

2

2 1


I x y e dxdy dove T x y x y x yy x

T

2 4 2 2 1 2 , : ,

Cambiamento di coordinatex y u

x y v

f x y f x u v y u vy y v u y u v y

u v

x y v xu v

vu

v

D u v u v

dxdy j u v dudv dudv J u v

Iu v

: ;

, , , , ;

, : ,

, ; det ,

2

2 33 3

3 3

2

3

4 2 1 2

1

3

1

3

1

32

3

1

3

1

3

2

3

2 2

3

1

3

1

3

1

3

1

3 2

2

4

2

11

36

2

3

2

3

1

2

4

22

2

2

u ve dudv u e dudv

udu e dvu

e e e

e e

D

u v u v

D

v

v v*

.

Calcolare l’integralexydxdydzt

T

x y z R y

x y

z y x:

, , / ,

,

3

2

0 2

0

01

2

Integrazione per spilli:

ydy xdx dz

ydy x y x dx

y xy

y

0

12

00

2

0

22

0

2

1

2

essendo y x t 2 2 e xdx tdt con t x y t y 0 e e se x 0L’integrale diventa così:

1

2

1

6

1

6

2

7

8 2

21

20

0

25

2

0

27

2

0

2

ydy t dt y dy yy

Calcolare l’integralee dxdydzx y z

t

T: z y x R x y z

x y z x y

, , , / , ,

,

3 0 0 0

1

Integrazione per spilli:

e dx e dy e dz

e dx e e dy

e dx e e dy

e ye e dx

x y z

x y

o

x

x y x yx

x x yx

x x x y x

0

1

0

1

1

00

1

1

00

1

1

0 00

1

1

e xe e dx xe e e dxx x x x x1

0

12

0

1

11

23

1

22

e e

Calcolare l’integrale triplo

I z y dxdydzT

1 2 con T x y z R x y z , , : ,2 2 2 1 0 1

T è un dominio normale rispetto al piano xy. Le funzioni (x,y) e (x,y) sono due funzioni costanti.Risolvendo l’integrale triplo mediante il metodo delle spighe (riducendo rispetto al piano xy) otteniamo

I dxdy z y dzD

1 2

0

1

dove D è un dominio base

I yz

dxdy y dxdyD D

1

2

1

212

2

0

1

2

Riducendo rispetto all’asse delle y si ottiene

I y dxdyD

1 2 con D x y R x y y , : ,2 20 1 1 1

I dy y dx y dy x y dy yyy

y

1 1 1

31

1

31

1

3

4

32 2

01

1

1

0

1

1

12

1

1 3

1

12

2

Calcolare l’integrale triplo:

xy

zdxdydz z x y z

dz

zxydxdy

dz

zxdx ydy

dz

zxz x

dxdz

z

z x x

z

zdz

z

zdz

dz

z

z

T

D

z x

20 1

2 2

2 2 2 4 8

4

1

8

1

2

1

4 2

1

8 2

1

4

2 2 2

0

1

0

1

0

1

0

0

1 2 2

0

1 2 2 4

0

1

0

1

2

0

1 2

0

1

0

1

2 2

dove T = x, y, z : ,

24

2

1

82

1

4 22 4 2

1

8

3

2

1

4

1

22 4

3

2

1

8

3

2

3

8

7

8

3

2

0

1

0

12

0

1

zdz z

zz zln ln ln

ln ln ln .


y

xdxdydz x y x y z

y

xdxdy dz

y

xx y dxdy

dx

xy x y dy

y x y y

xdx

x x x x

xdx

T

D x y D

x

x

20 0 3

2 23

23

3

2 2 4

2

9 3

2

3

2

3

42

1

4

2 2

32 2

0

32 2

0

3

2 2 2 4

0

3

0

3

2 2 4 2 2

0

3

2 2

2

2

dove T = x, y, z : , ,

3 6 2 3

2

1

4

3

2

1

4

6 9

2

1

42 2 4

1

2

1

4 42

34 2

1

4

9

42 3 3 4 3 3 2 2

9

16

3

2

3

4

2 2 2

0

3

2 2

0

3 4 2

0

33 2

0

3

4 32

0

3

x x x

xdx

x

xdx

x x

xdx x x x

xdx

x xx x xln ln ln

31

4

2 3

2

3

16

3

2

1

4

2 3

2ln ln .

Idxdydz

x y zT x y z R x y z x y z

T

2 20 0 0 1 42 2 2

3 2 2 2 , , : , , ,

Passaggio a coordinate sferiche:x sin

y sin

z

cos

cos

cos

dxdydz sin d d d 2

Isin d d d

sin

sin

sind

U U

2

2 2 2 2 1

d d U R , , : , ,3 1 2 0 2 0 2

Isin

d dsin

dU

2 22 20

2

0

2

cos cos d =

2

per sostituzione t dt sin d cos ;

2 2 2

1

0 dt

t per sostituzione z

tdt dt

2

1

2;

2

2

2 1 2 2 1 2 20 9792

1 2

0

21 2

0

1 2

0dx

z

dz

zarc ztanh .

I xydxdydzT

T x y z R x y z x y z , , : , , ,2 0 0 0 1

sx y z y x z y x, : , 0 1 0 1

I dx xydxdz xdx ydy dz xdx ydy y x

dxxy x y xy x x x x x x x

dx

x x x x x x x x x x

sx

x y x x

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

3 2 2 2 3 2 2 2

0

1

0

1

3 2 2 2 2

1

3 2 2

1

01

3

1

2

1

2

1 3 3

3

1 2

2

1 2

2

3 3

3

2 1

2

1

62 2 6 6 3 3 3 3 6 6

1

63 3

1

6 5 2

3

4

1

01

120

0

1

4 2 3 2 2

0

1

4 2 3 4 3 2 3 2

0

1

2 4 3 35 2 4

dx

x x x x x x x xdx

x x x x x x x x x x dx

x x x x dx xx x x


I x dxdydz dove T x y zx

y zT

22

2 2

41, , :

Poiché sia T che l’integrando sono simmetrici rispetto al piano yz, si può scrivere:

I I con I x dxdydz TT

2 1 12

1

1

dove è la parte di T contenuta nel semispazio delle x positive.

Riducendo rispetto al piano yz con il metodo di integrazione per spighe:

I dydz x dx con D y z y zD

y z

2 12

0

2 1

2 2

2 2

, :

Ix

dydz y z y z dydzy z

D D

23

28

31 1

3

0

2 1

2 2 2 2

2 2

Passo a coordinate polari:

y

zdydz d d U

I d d d d dU

cos

sen, : ,

.

0 1 0 2

16

31

16

31

32

61 1

32

151

32

15

23

2

0

22

32

0

12

32 2

0

1

25

2

0

1

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