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Instabilità torsionale e flesso-torsionale (svergolamento)

(aggiornamento 07-01-2010)

Instabilità torsionale (Ballio §9.2.4)

Nelle sezioni doppiamente simmetriche (centro di taglio coincidente col baricentro) l’avvitamento è

una possibile modalità di collasso. Per queste sezioni esso è disaccoppiato dall’instabilità

flessionale e si ha:

0

Tcr I

IG=σ (a)

In particolare questa forma di instabilità va controllata per le

sezioni a croce, per le quali la (a) diviene:

2

2

cr btG

=σ

essendo t lo spessore. Si ha infatti:

330

3

T

bt34)b2(t

1212I

3tb4I

==

=

2

Svergolamento (Ballio §9.3)

Il fenomeno viene anche chiamato:

- Stabilità della flessione piana

- Stabilità laterale

- Stabilità flesso-torsionale

Lo svergolamento è dovuto alla forza di compressione che agisce su una parte della sezione e che

può provocare sbandamento laterale e torsione, senza che il profilo riesca a manifestare le sue

risorse flessionali.

Dipende da:

- rigidezza flesionale intorno all’asse debole

- rigidezza torsionale (IT, Iω)

- lunghezza libera (distanza tra sezioni impedite di traslare orizzontalmente e quindi di

ruotare)

- vincoli esterni

- quota del punto di applicazione del carico

3

Nella figura le travi secondarie impediscono lo sbandamento dell’ala superiore della trave

principale.

Nel caso di trave soggetta a momento costante, con vincoli di appoggio torsionale, il momento

critico elastico è dato dalla relazione:

T

2

2

Tzcr GILEI1GIEI

LM ωπ

+π

= (1)

teorico (forcella)appoggio torsionale

M M

praticoappoggio torsionale

Nel caso di momento variabile lungo l’asta, il valore del momento massimo che determina

l’instabilità è maggiore.

Il punto di applicazione del carico influenza il valore del momento critico: un carico applicato

all’estradosso è più instabilizzante.

Normativa italiana CNR 10011 La CNR 10011/85 indica due metodi approssimati che permettono di evitare il calcolo del

momento critico e considerano critica una distribuzione di momento flettente definita da un

momento equivalente Meq

Meq = 1.3 Mm con la limitazione 0.75 Mmax < Meq < Mmax per travi appoggiate o continue

Meq = Mm con la limitazione 0. 5 Mmax < Meq < Mmax per travi a mensola

essendo Mm il momento medio lungo la trave:

LMdx

Mm∫=

Se il carico è applicato all’estradosso, si deve applicare un ulteriore coefficiente di sicurezza

pari a 1,4.

4

Metodo ω1

admeq1

WM

σ≤ω

=σ

Il coefficiente ω1 è funzione del rapporto fbt

hL

f

y1 bt

hLE585.0

f=ω

Il metodo è applicabile per travi a doppio T laminate o saldate (con rapporti dimensionali definiti) e

deriva dalle considerazioni che seguono.

Se nella (1) si trascura la rigidezza torsionale secondaria EIω/L2 rispetto alla primaria GIT, la

tensione critica si scrive:

WII

EGL

GIEILW

1 TzTzD,cr

π=

π=σ

Per le travi a doppio T del sagomario si ha:

hbt3.0

WII fTz ≅

2fffD,cr mm/N

hLbt121000

hLbt3.080000206000

hLbt3.0EG =⋅π=π=σ

Nello spirito delle tensioni ammissibili si può scrivere:

f

y

f

y1

D,cr

y

D,cr

adm1

1

admD,cr

bthL

E585.0f

bthL

121000f

f

==ω

σ=

σνσ

=ω→ω

σ=

νσ

≤σ

Metodo dell’ala isolata

E’ un metodo a favore di stabilità, applicabile a qualsiasi trave, anche nel caso di corrente

compresso controventato con una trave orizzontale reticolare (ad esempio per le vie di corsa).

Se si trascura la rigidezza torsionale primaria GIT, la stabilità è affidata alla rigidezza flessionale,

intorno all’asse z-z, dell’ala compressa considerata isolata dall’anima (v. figura).

5

b

z

zeqN y

z

y

z

L

f

t f

Neq

Si verifica quindi l’ala a carico di punta soggetta alla forza assiale Neq:

dM

SI

MdAN eq

yy

eq

alaeq ≅=σ= ∫

Si verifica l’asta col metodo ω o χ, con la curva di stabilità c o d, usando come lunghezza di libera

inflessione la luce L e come momento d’inerzia quello dell’ala intorno all’asse z:

iL

12bi

12btI f

3ff

z1 =λ→=→=

Eurocodice 3 edizione 1992 §5.5.2 – Instabilità flesso-torsionale delle travi

Rd,cLTRd,b1Myy,plwLTRd,b MM/fWM χ=→γβχ=

Il coefficiente χLT di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale è uguale al coefficiente χ per carico

di punta e si ricava in funzione della snellezza adimensionale LTλ , analoga alla snellezza λ per

carico di punta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ=λ puntadicaricoper

NN

MM

cr

pl

cr

plLT

Mcr è il momento critico di svergolamento calcolato in campo elastico. Nell’appendice F sono

riportate le formule per vari casi di carico; per momento costante vale la (1). Altre formule sono

reperibili in letteratura. In casi particolarmente complessi si può ricorrere ad un’analisi di buckling

con un programma agli elementi finiti, discretizzando la trave con elementi plate.

Si devono adottare i valori di χ della curva a per sezioni laminate e della curva c per sezioni saldate.

Se 4.0LT <λ non è necessaria la verifica a svergolamento.

6

NTC – D.M. 14-1-2008 Le Norme Tecniche per le Costruzioni e l’EC3:2005 usano un approccio simile a quello

dell’EC3:1992, senza però fornire le formule per il calcolo del momento critico elastico.

7

Se si assume β= 1, la (4.2.51), a parte il fattore f di distribuzione del momento

flettente, coincide con l’espressione di χ per la verifica a carico di punta. Anche

l’espressione di LTΦ con 2,00,LT =λ coincide con l’espressione di Φ per la verifica

a carico di punta. A favore di sicurezza si possono quindi usare i valori di χ. Se

invece si usa β=0,75 e 4,00,LT =λ si ottengono valori maggiori di χLT.

8

ESEMPIO 1 Calcolare il carico massimo ammissibile (applicato all’estradosso) per la trave di figura

Wy,el = 836 cm3

h = 250 mm

bf = 260 mm

tf = 12.5 mm

σadm = 156 N/mm2

fyk = 235 N/mm2

CNR 10011 metodo ω1

.K.OMM7.10

qLM75.0

23.9qLM3.1M

12qLL

8qL

32

L1M

maxeq

2

max

2

meq

22

m

<<=

==→==

Poiché il carico è applicato all’estradosso, il coefficiente ω1 va moltiplicato per 1.4

m/kN73.510

1.6223.9qkNm1.625.14.1

4.130M

50.1769206000585.0

235769tb

hL

kNm4.130836156WM4.1

2admeq

1ff

admeq1

=⋅

=→=⋅

≤

=⋅

=ω→=

=⋅=σ≤ω

Se la trave fosse controventata il carico ammissibile sarebbe quasi doppio:

m/kN4.10100

8361568L

W8q 2adm

adm =⋅⋅

=σ

=

CNR 10011 metodo dell’ala isolata

kN1751089.2

)5.12260(156NAN

89.2)ccurva(13312/260

10000iLalasnellezza

3eqadm

f

eq

z

=⋅⋅

≤→σ≤ω

=ω→===λ

−

Fe 360 (S 235)

L=10 m

q

R R

Particolare appoggi HE 260 A

9

m/kN84.3100

6.4123,9q

kNm6.4110)5.12250(175dNM

adm

3eqeq

=⋅

=

=−⋅=≤ −

Il metodo dell’ala isolata dà risultati molto più cautelativi.

Eurocodice 3:1992

)baricentroalrispettoqdiordinata(mm125z459.0C132.1C1k1k:con

zC)zC(EI

GI)kL(II

kk

)kL(EICM

g21w

g22

g2z

2T

2

z

w

2

w2z

2

1cr

=====

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+π

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=

22

4T

6w

4z

N/mm07698G N/mm210000 Etorsionaleinerziamom.cm37.52I

toingobbamendicostanteosettorialeinerziamom.cm516400Iinerziamom.cm3668I

==

=

=

=

{ } kNm2.1831038.5732925563914095760236132.1M 6cr =−++⋅= −

2.216108.919235WfM 3plykpl =⋅⋅== − kN

605.0)acurva(086.12.1832.216

MM

cr

plLT =χ→===λ

m/kN64.65.1

qqm/kN97.9100

6.1248q

kNm6.12405.1

2.216605.0MM

EdadmEd

Rd,cLTRd,b

==→=⋅

=

=⋅=χ=

Il carico ammissibile è leggermente superiore a quello ottenuto col metodo ω1 (qadm=5.73

kN/m).

La verifica può essere eseguita immediatamente con il programma Profili.

10

Il coefficiente k determina la lunghezza di libera inflessione kL dell’ala compressa nel suo piano:

vista in pianta

k=0.5 k=0.7

Il coefficiente kw tiene conto del vincolo all’ingobbamento delle sezioni di estremità e anch’esso

assume i valori 0.5 (2 vincoli) 0.7 (1 vincolo). Realizzare un vincolo all’ingobbamento pienamente

efficiente è difficile e quindi si assume solitamente kw=1.

Ingobbamento parzialmente impedito

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NTC e Eurocodice 3:2005 Le NTC e l’EC3 prevedono per le travi laminate con sezione a doppio T l’uso della curva di

instabilità b, più gravosa rispetto alla curva a, ma il cui effetto è mitigato dalla possibilità di usare

per il calcolo di χLT i valori 0,LTλ =0,4 e β=0,75.

Secondo le NTC la snellezza LTλ va calcolata in base al valore del momento critico elastico Mcr

corrispondente alla distribuzione uniforme.

Mcr=200,7 kNm 038,1MM

cr

plLT ==λ

Usando la curva di instabilità b e calcolando χLT con 0,LTλ =0,4 e β=0,75 si ottiene:

( )[ ]=λβ+λ−λα+=Φ LT2

0,LTLTLTLT 15,0 1,0125

LT2

LT2

LT

LT1

λβ−Φ+Φ=χ =0,6764

Il coefficiente riduttivo χLT va amplificato col fattore f di distribuzione del momento flettente:

[ ] [ ]22LTc )8,0038,1(0,21)94,01(5,01)8,0(0,21)k1(5,01f −−−−=−λ−−−= =0,973

47,3f

1695,0973,0

6764,0f 2LT

mod,LTLT

=λ

<==χ

=χ

m/kN63,75,1

qqm/kN4,11100

1,1438q

kNm1,14305,1

2,216695,0MM

EdadmEd

Rd,cmod,LTRd,b

==→=⋅

=

=⋅=χ=

Il carico ammissibile è superiore a quello ottenuto al punto precedente (6,64 kN/m). Con questa

impostazione non si tiene però conto del fatto che il carico è applicato all’estradosso. Il confronto

va quindi eseguito nel caso di carico applicato al baricentro, per il quale si ha Mb,Rd=140,6.

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Circolare 2-2-2009

Questa formula è evidentemente applicabile solo al caso di diagramma del momento variabile

linearmente.

Ad esempio per MB=0 si ha ψ=1,75 e il momento critico diventa:

21144Tz Nmm10708,51037,5280769103668210000GJEJ ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

119,11037,5280769

1051640021000010000

1GJEJ

L1 4

62

T

2

cr

=⋅⋅

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+ ω

kNm3,35110/119,110708,510000

75,1M 611cr =⋅⋅

π⋅=

con:

13

22

4T

6w

4z

N/mm07698G N/mm210000 Etorsionaleinerziamom.cm37.52I

toingobbamendicostanteosettorialeinerziamom.cm516400Iinerziamom.cm3668I

==

=

=

=

Questo valore è in discreto accordo con quello più affidabile ricavabile con la formulazione

dell’EC3 edizione 1992, implementato nel programma profili, che fornisce Mcr=377 kNm.

14

CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO CON PROGRAMMA

AGLI ELEMENTI FINITI Le versioni più recenti di numerosi programmi commerciali agli elementi finiti contemplano,

nell’analisi di buckling, oltre all’instabilità flessionale (instabilità euleriana), anche l’instabilità

flesso-torsionale.

Se si schematizza la trave con elementi “beam”, che sono implementati secondo la teoria classica

delle travi e quindi trascurano la rigidezza bi-flessionale (non è presente il momento d’inerzia

settoriale Iw fra le caratteristiche meccaniche della sezione), si otterrà una stima generalmente a

favore di sicurezza del momento critico. Si tenga inoltre presente che normalmente, se si caricano i

dati delle sezioni dalle librerie dei profili contenute nei programmi, non vengono caricati i valori dei

momenti di inerzia torsionali IT, che vengono invece calcolati con la formula approssimata

∑= 3/btI 3T , senza tener conto del contributo dei raccordi che non è affatto trascurabile nel

calcolo di TI .

Nella mesh di figura la trave dell’esempio 1 è discretizzata con 10 elementi beam. I vincoli sono le

tre traslazioni e la rotazione torsionale agli estremi. Si applica all’asse baricentrico un carico

distribuito di 18,18 kN/m che determina un valore del momento massimo Mmax=227,2 kNm,

momento critico elastico nel caso di carico applicato al baricentro (non è possibile modellare

l’effetto del carico applicato all’estradosso). Questo valore del momento critico è fornito dal

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programma profili in base alla formula generale contenuta nell’edizione 1992 dell’EC3, e coincide

anche col valore dato dal programma LTBeam (vedi più avanti).

L’analisi di buckling agli elementi finiti fornisce il moltiplicatore critico mcr=0,739 (Mcr=167,9). Il

valore è notevolmente inferiore all’unità perché l’analisi con elementi beam trascura la rigidezza bi-

flessionale e inoltre il programma usa per il momento d’inerzia torsionale il valore IT=37,02 cm4

anziché 52,37. Se si trascura la rigidezza bi-flessionale EIw, la trave si comporta come se avesse una

sezione rettangolare di piccolo spessore, per la quale il Timoscenko, nel volume “Theory of elestic

stability” fornisce la formula (6.39) del carico critico:

kN8,1351010000

1002,37807691036682100003,28L

GJEJ3,28)qL( 3

2

44

2Tz

cr =⋅⋅⋅⋅⋅

== −

Il valore del momento critico è quindi Mcr=169,8 kNm, in buon accordo col risultato dell’analisi

agli elementi finiti.

Per poter tener conto della rigidezza bi-flessionale, è necessario modellare la trave con elementi

“plate”.

Con il carico distribuito di 18,18 kN/m applicato al baricentro, l’analisi di buckling fornisce il

moltiplicatore critico mcr=0,865 (Mcr=196,5 kNm). Questo valore del momento critico è inferiore al

valore di 227,2 kNm dato dal programma profili. Il motivo è legato al fatto che nel modello agli

elementi finiti non si possono inserire i raccordi fra anima ed ali che fanno aumentare notevolmente

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la rigidezza torsionale primaria legata al momento d’inerzia torsionale IT. Nel programma profili si

può però inserire un profilo definito dall’utente, nella tipologia “Saldati Simmetrici”, con i dati

dell’HE260A, ma senza raccordi.

In questo modo si ha IT=37,02 cm4 e per la verifica a svergolamento si ha Mcr=198,7 kNm, in buon

accordo col valore (Mcr=196,5) ricavato con l’analisi FEM.

Se nell’analisi FEM il carico viene applicato all’estradosso, si ottiene mcr=0,675 (Mcr=153,4), valore in buon accordo con quello (Mcr=155,5) fornito dal programma profili:

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CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO COL PROGRAMMA

LTBeam E’ disponibile gratuitamente in internet il programma LTBeam per il calcolo del momento critico

elastico di travi variamente vincolate e caricate. Il programma è stato sviluppato da CTICM (Centre

Technique Industriel de la Construction Métallique - France) nell’ambito di un programma europeo

di ricerca parzialmente finanziato dalla Comunità Europea per il Carbone e l’Acciaio (ECSC

Project N° 7210-PR183 : "Lateral torsional buckling of steel and composite beams" - 1999-2002).

Si presentano le schermate per il calcolo del momento critico dell’esempio 1 con carico distribuito

applicato all’estradosso.

18

Il valore del momento critico coincide praticamente con quello dato dal programma profili (Mcr=183,2).

19

ESEMPIO 2 Verificare a svergolamento secondo le NTC (D.M. 14-1-2008) la mensola di figura. Acciaio S275.

L=2 m

q 150

200

15

20 Poiché l’ala è tesa, non si può applicare il metodo dell’ala isolata.

Per il calcolo del momento critico elastico non si possono usare le formule dell’Eurocodice

(edizione 1992) che non valgono nel caso delle mensole.

Per il calcolo del momento critico si può ricorrere ad un programma agli elementi finiti. Con la

mesh di figura si ottiene Mcr=438 kNm.

Con il programma LTBeam si ottiene un valore leggermente maggiore (Mcr=496 kNm).

Poiché la sezione ha modulo di resistenza a flessione Wy=216000 mm3, il momento critico di 496

kNm determinerebbe una tensione σcr=2296 MPa >> fy. L’instabilità avviene quindi in campo

plastico.

Snellezza adimensionale (usiamo per semplicità il Wel):

20

926,0)ccurva(346,0496

4,59496

10275216000M

fWLT

6

cr

yyLT =χ=χ→==

⋅⋅==λ

−

L’instabilità riduce quindi la resistenza a flessione al 92%:

kNm4,5205,1

4,59926,0MM Rd,cLTRd,b =⋅=χ=

Allo stato limite ultimo la trave può portare il carico:

m/kN2,262/4,522LM2q 22Rd,bEd =⋅=⋅⋅=

Si noti che se si esegue l’analisi di buckling sulla mesh con elementi beam, si ottiene in questo caso

una stima a sfavore di sicurezza con Mcr=731 kNm.

21

Aste inflesse (Ballio §9.5.3.2) Spesso le condizioni reali di vincolo sono più favorevoli di quelle ideali.

Le travi secondarie costituiscono un vincolo elastico per quelle principali

I carichi possono avere un effetto stabilizzante anche se applicati all’estradosso

Le vie di corsa devono spesso essere controventate con tralicciatura