Instabilità termoacustiche in un condotto

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA

FACOLTA DI INGEGNERIA

Tesi di Laurea in

INGEGNERIA MECCANICA

Instabilita termoacustiche inun condotto

Relatore CandidatoChiar.mo Prof. Alessandro Bottaro Matteo Bargiacchi

CorrelatoreDott. Ezio Cosatto

Anno Accademico 2007/2008

Indice

Introduzione 4

1 L’Humming 51.1 Il criterio di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Recenti sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I Fiamma concentrata e sezione costante 14

2 Calcolo 152.1 Caso stazionario in assenza di rilascio termico . . . . . . . . . 152.2 Presenza di moto base in assenza di rilascio termico . . . . . 182.3 Presenza di moto base e di rilascio termico . . . . . . . . . . 182.4 L’effetto dell’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Risultati 243.1 Fiamma concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Portata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.4 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.5 Velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.6 Densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.7 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Fiamma concentrata e sezione variabile 63

4 Calcolo 64

2

4.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Risoluzione del moto base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Risultati 725.1 Sezione variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.1 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2 Portata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

III Cenni sulla fiamma distribuita e conclusioni 90

6 Fiamma distribuita 916.1 Calcolo del moto base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7 Conclusioni e sviluppi futuri 95

A Onde stazionarie 97

B Turbogas 101

C Equazioni a disposizione 106

D Codice 107D.1 Fiamma concentrata e sezione costante . . . . . . . . . . . . . 107D.2 Fiamma concentrata e sezione variabile . . . . . . . . . . . . 112

Bibliografia 117

3

Introduzione

Le instabilita termoacustiche sono diventate uno dei maggiori argomentidi studio nella progettazione di turbine a gas. I nuovi regolamenti sulle emis-sioni di ossidi di azoto hanno portato allo sviluppo di nuovi metodi di com-bustione come i sistemi Low-NOX Lean Premix che sono andati a sostituirele tradizionali fiamme a diffusione. Purtroppo i sistemi LPP (Lean PremixPrevaporized) tendono maggiormente a generare situazioni di instabilita conforti vibrazioni che possono sia danneggiare l’impianto che limitarne le con-dizioni operative. In questo tipo di impianti, aria e gas vengono miscelatiprima dell’ingresso in camera di combustione dove la miscela cosı ottenutaviene innescata mediante una fiamma pilota. La premiscelazione permettedi operare la combustione a temperature inferiori a quelle che consentono laformazione di NOX termici. Se la relazione tra le fasi delle perturbazionigenerate, sia acustiche che di rilascio termico, soddisfa determinati crite-ri, le oscillazioni possono auto-eccitarsi crescendo in ampiezza e causandoinstabilita.

Svariate sono le grandezze in gioco che possono influenzare in manierapiu o meno determinante il fenomeno: geometria, processo di combustione,parametri termochimici del combustibile, velocita del flusso nel combustore.

La tesi si propone nel Capitolo 2 di analizzare numericamente l’influenzadi questi parametri sull’instaurarsi di instabilita termoacustiche prestandoparticolare attenzione alle velocita e alle temperature in gioco. Questa ana-lisi verra in primo luogo effettuata su un modello semplificato sia dal puntodi vista della geometria che del rilascio termico per il quale saranno discus-si due particolari modelli di combustione mettendo in evidenza quanto essipossano essere determinanti nello studio di tale fenomeno. Discussi questirisultati si passera nel capitolo successivo ad un’affinazione dello studio con-siderando una geometria piu complicata e un modello di fiamma piu vicinoalla realta.

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Capitolo 1

L’Humming

L’Humming e un’instabilita termoacustica. E un fenomeno caratterizzatoda un’oscillazione di fiamma che provoca un’onda di pressione. Tale ondasi riflette sulle pareti della camera di combustione, chiamata per l’occasionerisonatore, e torna ad influenzare la fiamma in un processo di retroazio-ne. Questo fenomeno avviene in primo luogo a causa del modificarsi delrapporto stechiometrico delle portate dei reagenti. Tale disturbo provocaun’immissione irregolare del calore formando cosı un ciclo chiuso.

Figura 1.1: Processo di feedback dell’humming

A seconda di molti parametri, fra i quali quelli caratteristici del fluidoma anche altri come la posizione della fiamma e la geometria del risonatore,queste perturbazioni possono crescere instabilmente oppure essere stabili e

5

attenuarsi spontaneamente. Le piu pericolose sono ovviamente quelle insta-bili che presentano il tasso di crescita piu elevato. Esse possono avere dueevoluzioni: la prima, la piu comune, e quella di essere limitate e poi arre-state nella loro crescita da fenomeni di dissipazione non lineari che portanoil disturbo ad un ciclo limite; la seconda, quella piu catastrofica, e il caso incui nessun fenomeno e abbastanza dissipativo da smorzare sufficientementela crescita senza la rottura di un qualche componente.

Se quest ultimo fenomeno e per sua natura chiaramente da evitare, i pri-mi non sono comunque da sottovalutare. Il persistere piu o meno stabile diqueste onde acustiche stazionarie a basse frequenze, ma dotate di ampiezzenon trascurabili, provoca l’instaurarsi di vibrazioni che a lungo andare pos-sono danneggiare irrimediabilmente qualche componente, sia esso la stessacamera di combustione oppure un qualsiasi altro elemento ad essa connessofino anche agli strumenti di misura e controllo irrimediabilmente influenzatida questi disturbi. Si puo osservare in figura (1.2) un danno provocato dafenomeni di instabilita termoacustica.

Figura 1.2: Danno ad una tubazione

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Le condizioni che rendono suscettibile l’instaurarsi di instabilita sonoquindi:

• grandi oscillazioni di rilascio termico causate da piccole oscillazioni delrapporto stechiometrico dei reagenti

• elevata velocita nel condotto, prevista in genere per evitare fenomenidi ritorno di fiamma nel premiscelatore

• elevata densita di rilascio termico

• ridotto smorzamento acustico delle pareti della camera di combustione

Le conseguenze risultano invece:

• sovrasollecitazioni della struttura e ulteriore sollecitazione a fatica nonprevista in fase di progettazione che riduce sensibilmente la vita mediadei componenti

• propagazione di vibrazioni anche sugli strumenti di controllo con lapossibilita quindi di innescare un ulteriore ciclo di retroazione

• innesco di fenomeni di ritorno di fiamma a causa di picchi di pressionielevate in corrispondenza dell’ingresso in camera di combustione

• aumento degli NOX a causa di picchi di temperatura indesiderati

• obbligo ad operare a regimi piu bassi di quelli previsti con conseguen-te riduzione sia del rendimento globale che della potenza massimagenerabile

7

1.1 Il criterio di Rayleigh

Le instabilita termoacustiche sono state osservate per la prima volta daHiggins, che nel 1777 si accorse che una fiamma intubata cantava. Rijkestudio il fenomeno nel 1850, in un oscillatore acustico autoeccitato, costituitoda un tubo cilindrico (aperto da entrambi i lati), e una sorgente di energiatermica.

Quando la sorgente e posizionata nella meta inferiore del tubo, insor-ge un’oscillazione acustica auto eccitata, mentre, spostandola nella metasuperiore il fenomeno si attenua.

Figura 1.3: Tubo di Rijke

La prima spiegazione del fenomeno fu fornita da Rijke stesso, il qualesuggerı che la sorgente calda trasferisse calore al volume d’aria contenutonel tubo e nei pressi della fiamma, il quale quindi, diventando meno denso,cominciasse a risalire il tubo stesso. In realta il suono prodotto dal tuboe il risultato di un’onda di pressione (acustica) stazionaria che si instauraall’interno. Il fluido in ogni punto del tubo subisce alternativamente unacompressione e un’espansione (contrariamente a quanto detto da Rijke, se-condo il quale la parte di fluido in basso subisce sempre un’espansione, equella in alto una compressione) e tutto il fluido nel tubo oscilla in fase.Quindi, il ruolo della fonte di energia in un tubo di Rijke non e soltantoquello di eccitare le onde acustiche nel tubo, ma anche di sostenere le ondegia eccitate, che altrimenti si smorzerebbero per l’attrito con le pareti.

8

Rayleigh nel 1878 fu il primo a definire un criterio per la spiegazione delleinstabilita:

”Se il calore viene periodicamente fornito e tolto da una massa d’aria ri-suonante, in un cilindro, l’effetto prodotto dipendera dalla fase dell’oscilla-zione a cui avviene il trasferimento di calore. Se il calore viene dato all’arianel momento di maggiore condesazione o preso nel momento di maggiorerarefazione, la vibrazione e incoraggiata.”

Si divide quindi formalmente ogni grandezza generica G in una partecostante G e una parte oscillante nel tempo e nello spazio G′. Secondo ilcriterio di Rayleigh, quindi, si hanno instabilita se la seguente diseguaglianzae verificata: ∫

V

∫ T

0p′(x, t)q′(x, t)dtdV >

∫V

∫ T

0Φ(x, t)dtdV

dove p′ e q′ sono le oscillazioni di pressione e di rilascio termico, T e ilperiodo di oscillazione, V il volume del combustore e Φ e la dissipazione dienergia.

Il lato sinistro e destro della diseguaglianza descrivono, rispettivamente,l’energia meccanica totale aggiunta alle oscillazioni dall’apporto termico el’energia totale dissipata nel periodo dalle oscillazioni, il tutto nell’arco di unperiodo di oscillazione. In prima approssimazione la dissipazione acustica neicombustori puo essere assunta molto piccola; quindi il criterio di Rayleighcomunemente riportato risulta:∫

V

∫ T

0p′(x, t)q′(x, t)dtdV > 0

Per soddisfare il criterio di Rayleigh deve quindi esistere una specificarelazione tra p′ e q′. Definito l’Indice di Rayleigh R come

R =1T

∫ T

0p′q′dt

sia θpq l’angolo fra l’oscillazione di pressione e quella di rilascio termico; siha che:

• se 0 < θpq < 90 allora R < 0 e l’oscillazione viene attenuata (e comese il calore aggiunto aumentasse lo smorzamento al sistema)

9

• se 90 < θpq < 180 allora R > 0 e l’oscillazione viene amplificata.Se in questa semplificazione lo smorzamento del sistema non e troppoelevato si puo avere instabilita.

Figura 1.4: Angolo di sfasamento fra le perturbazioni di pressione e rilasciotermico

Quindi, se la fiamma presente in un combustore e collocata in un pun-to dove le onde acustiche si combinano dando luogo ad un valore positivodi R, sara possibile avere un’instabilita termoacustica in caso contrario l’o-scillazione che si puo instaurare e per forza di cose destinata ad attenuarsispontaneamente senza che sia necessaria la presenza di termini diffusivi.

In particolare e interessante valutare dove il prodotto q′p′ nell’integrale diRayleigh sia massimo.

Il valor medio del rilascio termico puo essere considerato come responsabileper il flusso convettivo medio verso l’alto con velocita media nel tubo postoin verticale, mentre q′ guida l’onda acustica con velocita v′.

10

Figura 1.5: Prima armonica delle perturbazioni di pressione e velocita nelcondotto di lunghezza L = π

Analizzando la pressione e la velocita nel tubo, per tutte le armoniche inodi dell’onda di pressione si trovano all’inizio e alla fine del condotto mentreil massimo si trova al centro (coseno fra 0 e π). Considerando l’equazionedi Eulero monodimensionale1 si giunge a scrivere

ρ∂v

∂t= ρiωv − ∂p

∂x

che integrando su t risulta

v =i

ρω

∂p

∂x

una volta che si sia assunto il disturbo nella forma eiωt, con ω pulsazionedell’onda; da questa relazione si puo desumere come velocita e pressionesiano sfasate di 90 e quindi dove la pressione ha dei nodi ivi la velocita hala massima perturbazione (seno fra 0 e π).

Quindi dalle deduzioni precedenti il prodotto fra seno e coseno e massimoin π/4 ovvero nella scala proposta dove L = π proprio in x = L/4, cioe alcentro della prima meta del tubo come notato sperimentalmente da Rijke.

1.1.1 Recenti sviluppi

Il termine sorgente p′q′ e pero soltanto uno dei termini che compaiononell’espressione dell’energia acustica. Ricavando quindi l’equazione dellaquantita di moto comprensiva di termini viscosi

1Si veda l’appendice C

11

ρD~u

Dt= −∇P +∇ · ~τ

dove si e indicato con ~τ il tensore degli sforzi viscosi e inserendo l’equazione dicontinuita, dei gas perfetti, la definizione di velocita del suono e l’equazionedell’energia sensibile

ρDesDt

= −P∇ · ~u+ q +∇ · (λ∇T ) + ~τ · ~∇~u

si giunge a scrivere l’espressione esatta e non lineare riportata in [7]

ρD~u2/2Dt

+1ρc2

DP 2/2Dt

+∇ · (P~u) =

γ − 1γ

(q +∇ · (λ∇T ) + ~τ · ~∇~u+ ~u · (∇ · ~τ)) (1.1)

Linearizzando, trascurando i termini viscosi e definendo l’energia acusti-ca come

e′ =ρ~u′

2

2+

p′2

2ρc2

si scrive

∂e′

∂t+∇ · (p′~u′) =

γ − 1P γ

p′q′

che integrata nel volume di controllo e avendo posto la condizione di insta-bilita ∂e′

∂t > 0 porta ad un’estensione del criterio di Rayleigh∫ ∫ ∫Ω

γ − 1P γ

p′q′dΩ >

∫ ∫Σp′~u′ · ~ndΣ

nella quale compare il termine sorgente proposto da Rayleigh ma e anchepresente un termine assimilabile ad un flusso acustico perso attraverso lasuperficie Σ del volume di controllo Ω.

12

Il criterio e tutt’ora in via di sviluppo dal momento che la definizionedi energia acustica utilizzata puo risultare inconsistente. Infatti trattandoalcuni casi semplici intuitivi il criterio deve essere rispettato senza particolaricondizioni. Si consideri quindi un caso con moto base e rilascio termico nullo;se e evidente come le perturbazioni debbano per forza di cose decrescere neltempo si puo dimostrare come il criterio non porti alla stabilita per ognisituazione, il che non e chiaramente accettabile [7]. Quindi si e introdottauna definizione di energia che tenga conto anche delle fluttuazioni entropiche[8].

e′tot =ρ~u′

2

2+

p′2

2ρc2+P s′2

2Rcp

Linearizzando nuovamente la (1.1) si scrive∫ ∫ ∫Ω

(T ′q′

T− P

Rcps′~u′ · ∇s)dΩ >

∫ ∫Σp′~u′ · ~ndΣ

nella quale non e piu presente il termine sorgente di Rayleigh p′q′ ma unnuovo termine T ′q′ a cui si sottrae un’altro termine entropico s′~u′. E impor-tante notare come il termine entropico per il suo ordine di grandezza possagiocare un ruolo importante e quindi non sembra possibile trascurarlo.

Le ultime evoluzioni si sono quindi spinte verso un’ analisi per mezzo diprincipi variazionali [10] che forniscono criteri basati sul secondo principiodella termodinamica.

Per esempio se il ciclo limite si verifica in un sistema isolato dove sial’energia che il volume sono costanti allora il ciclo limite deve coincidere conl’equilibrio termodinamico che massimizza l’entropia presente nel sistema.Al contrario se l’ambiente esterno mantiene sia il volume che il flusso termicocostante, con l’ausilio di determinate condizioni al contorno allora il ciclolimite corrisponde sia al minimo di entropia prodotto dal trasferimento dicalore che al massimo di entropia scambiato per mezzo della convezione.

13

Parte I

Fiamma concentrata esezione costante

14

Capitolo 2

Calcolo

Il propagarsi delle perturbazioni e in tutto e per tutto equivalente a quellodi un’onda acustica descrivibile, nel caso statico privo di immissione di ca-lore, dall’equazione fondamentale dell’acustica di D’Alambert. Nel caso piuvicino alla realta si deve tener conto invece della presenza di una fiamma, equindi di un rilascio termico, e dei termini convettivi dovuti al moto base.Inoltre molti sistemi di immissione del calore delle odierne turbine provoca-no una significativa perdita di carico dovuta all’attrito che certi componentiesercitano sul fluido. Infine di particolare interesse e la modellazione delrilascio termico che sara trattata piu ampiamente nel successivo capitolo.

Ipotesi: Si suppone che ogni grandezza sia composta da una parte costantee da una parte variabile di ordine di grandezza inferiore, cioe ogni grandezzagenerica G si puo scrivere come G+G′ dove G e la parte costante che descrivele caratteristiche del flusso base non perturbato eG′ la parte variabile, ovverola perturbazione.Si ipotizza che si possano trascurare, nell’equazione di conservazione dellaquantita di moto, i termini di volume ρ~g e si possano considerare nulli tuttii termini diffusivi1.

2.1 Caso stazionario in assenza di rilascio termico

Nel caso in cui non esista rilascio termico e moto base del fluido ricerca-re un’equazione che descriva il propagarsi del disturbo si riduce a ricavare

1Si veda l’appendice C per le equazioni complete.

15

l’equazione fondamentale dell’acustica di D’Alambert 2. Nell’ipotesi quindiche v sia nulla riscriviamo le equazioni a nostra disposizione. Ricordandoche la derivata di una costante e nulla e trascurando infinitesimi di ordi-ne superiore a quello del disturbo si perviene alle tre equazioni dove perchiarezza si e sottinteso il segno di vettore per le velocita:

Continuita

∂(ρ+ ρ′)∂t

+ ~∇ · ((ρ+ ρ′)v′) = 0

∂ρ′

∂t+ ~∇ · (ρv′) + ~∇ · (ρ′v′) = 0

∂ρ′

∂t+ ρ(~∇ · v′) = 0 (2.1)

Quantita di moto

(ρ+ ρ′)(∂v′

∂t+ v′~∇ · v′

)= −~∇(p+ p′)

ρ∂v′

∂t= −~∇p′ (2.2)

Energia

(T + T ′)(∂

∂t(s+ s′) + v′ · ~∇(s+ s′)

)= 0

∂s′

∂t= 0 (2.3)

La variabile termodinamica ρ essendo funzione di pressione ed entropiarisulta

dρ =(∂ρ

∂p

)s

dp+(∂ρ

∂s

)pds

Ricordando la definizione di velocita del suono e notando che dall’equazionedell’ energia ∂s′/∂t e nullo si ottiene

ρ′ = c−2s p′

2Si veda l’Appendice A per maggiori approfondimenti sulla propagazione delle ondeacustiche.

16

Derivando rispetto al tempo e inserendo l’equazione di continuita

c−2s

ρ

∂p′

∂t+ ~∇ · v′ = 0 (2.4)

Premoltiplicando l’equazione di quantita di moto per ~∇·

ρ∂

∂t~∇ · v′ = −∇2p′

Sostituendo nella (2.4) si giunge infine a scrivere

∂2p′

∂t2= c2

s∇2p′

che e appunto l’equazione fondamentale dell’acustica di D’Alambert.

Questa e un’equazione iperbolica secondo cui le perturbazioni si propaga-no solo su linee caratteristiche. Supponiamo quindi per semplicita il feno-meno monodimensionale sulla coordinata x ipotizzando quindi che le per-turbazioni, cosı come il moto base, abbiano componenti non nulle solo sullex, ovvero ~v = (u, 0, 0), scrivendo cosı

∂2p′

∂t2= c2

s

∂2p′

∂x2(2.5)

La soluzione generale sara del tipo p′(x, t) = f(x− cst)+g(x+ cst) = f(ξ)+g(η) dove le funzioni f e g dipendono dalle condizioni iniziali e rappresentanorispettivamente le perturbazioni che si propagano verso x positive e verso xnegative.

∂2p′

∂t2=

∂

∂t

(∂p′

∂t

)=∂2p′

∂ξ2

(∂ξ

∂t

)2

+∂2p′

∂η2

(∂η

∂t

)2

= f ′′(∂ξ

∂t

)2

+ g′′(∂η

∂t

)2

=

= c2s(f′′ + g′′) = c2

s

∂2p′

∂x2

Nel caso semplice di onde monocromatiche la soluzione dell’equazione e

p′ = Aei(kx−ωt) +Bei(kx+ωt)

dove k = 2π/λ detto numero d’onda determina nella relazione ω = ±kcs ilfatto che l’onda sia non dispersiva, ovvero che nel propagarsi mantenga lasua forma. E chiaro come una forma d’onda arbitraria possa essere generatadalla sovrapposizione di onde monocromatiche. In quest’ultima relazione ke il numero d’onda e ω e la frequenza.

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2.2 Presenza di moto base in assenza di rilasciotermico

Inserendo ora un moto medio verso le x positive (u 6= 0) si deve tenerconto dei termini convettivi presenti nelle equazioni di Eulero e in quelladell’energia che risultano quindi essere

Dρ′

Dt+ ρ~∇ · v′ = 0

ρDv′

Dt= −~∇p′

Ds′

Dt= 0 dove

D

Dt=

∂

∂t+ v

∂

∂x

Calcolando la derivata parziale di ρ′ su pressione ed entropia e attraversoalcuni passaggi si giunge a scrivere l’equazione che descrive il propagarsi deldisturbo:

D2p′

Dt2= c2

s∇2p′

Si puo notare l’analogia con quella trovata precedentemente in assenzadi moto base: l’equazione e sostanzialmente equivalente a meno dei terminiconvettivi contenuti nella derivata materiale che si annullano nel caso in cuiu = 0, risultando quindi coerente con il precedente caso semplificato.

2.3 Presenza di moto base e di rilascio termico

Si analizza ora un caso, ancora semplificato, ma tuttavia vicino alla realtadove sono presenti sia un moto base non nullo sia un rilascio termico. Simodella la fiamma come una discontinuita localizzata in una singola sezionex = b del condotto attraverso la quale la temperatura varia bruscamente dauna temperatura T1 a monte della fiamma ad una temperatura T2 a valle.

La fluttuazione di rilascio termico si scrive come:

q′(x, t) = Q′(t)δ(x− b)

dove δ indica la funzione di Dirac e Q′ la perturbazione temporale rappre-sentabile nel caso di disturbo monofrequenziale con Q′ = Qeiωt.

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Esistono diversi modi per accoppiare il rilascio termico con il moto ba-se. La fiamma sara inevitabilmente influenzata dall’oscillare della portatamassica nella sezione considerata. Si deve ora capire quanto sia influentetale perturbazione. Si possono considerare due casi limite. Il primo e quelloper cui si ritiene il rilascio termico indipendente dal variare nel tempo dellaportata massica, qualsiasi portata attraversi la sezione la fiamma rilasciasempre lo stesso quantitativo di calore. In termini matematici si consideraquindi un tempo di risposta infinito del sistema portata massica-fiamma. Ilsecondo caso limite e invece quello per cui si ritiene tale tempo di rispo-sta nullo, ovvero un sistema infinitamente pronto dove si considera quindila perturbazione del rilascio termico direttamente proporzionale al variaredella portata massica.

Si ricavano nuovamente le equazioni di Eulero e dell’energia notando chele prime non vengono influenzate dalla presenza del rilascio termico mentrel’ultima risulta essere

Ds′

Dt=q′

T

Attraverso semplici passaggi si giunge a scrivere l’equazione che accoppiail propagarsi del disturbo con l’instabilita di rilascio termico

D2p′

Dt2− c2

s∇2p′ = ρ(γ − 1)Dq′

Dt

Si denotano d’ora in poi con pedice 1 i valori relativi a x compresi fral’ingresso e la fiamma, ovvero per 0 < x < b, e i termini con pedice 2 i valoriper b < x < L dove L e la lunghezza del condotto in considerazione(2.1. Sipuo quindi risolvere il sistema di equazioni ricavato ottenendo espressioniper i valori di pressione, velocita, densita e temperatura, a monte e a valledella fiamma.

Figura 2.1: Modello del condotto

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Per 0 < x < b

p′1(x, t) = eiωt(Ae−iωx/c1(1+M1) +Be−iωx/c1(1−M1)) (2.6)u′1(x, t) = eiωt(Ae−iωx/c1(1+M1) −Be−iωx/c1(1−M1))/ρ1c1 (2.7)

ρ′1(x, t) = p′1(x, t)/c21 (2.8)

cpT′1(x, t) = p′1(x, t)/ρ1 (2.9)

Per b < x < L

p′2(x, t) = eiωt(Ce−iωx/c2(1+M2) +De−iωx/c2(1−M2)) (2.10)u′2(x, t) = eiωt(Ce−iωx/c2(1+M2) −De−iωx/c2(1−M2))/ρ2c2 (2.11)

ρ′2(x, t) =p′2(x, t)c2

2

− Sρ2

cpeiω(t−x/u2) (2.12)

cpT′2(x, t) =

p′2(x, t)ρ2

+Sc2

2

(γ − 1)cpeiω(t−x/u2) (2.13)

dove si e indicato con M il numero di Mach, rapporto fra u e c valori medirispettivamente a monte o a valle della velocita del fluido e della celerita nelmezzo.

Le costanti di integrazioneA, B, C e D hanno le dimensioni di una pres-sione [Pa] e infatti rappresentano l’ampiezza delle onde acustiche, invece Sha le dimensioni di un’entropia per unita di massa [J/kg·k], e rappresental’ampiezza delle onde di entropia, comunemente dette Hot Spots.

Condizioni al contorno e all’interfaccia: Le costanti di integrazioneA, B, C, D ed S sono ricavabili dalle condizioni al contorno in x = 0 ex = L e da quelle all’interfaccia in x = b. Si puo supporre che all’ingressoil condotto sia bloccato ovvero che la portata massica sia costante in x = 0(choked inlet). Da questo si ricava la prima equazione

ρ′1ρ1

+u′1u1

= 0 in x = 0 (2.14)

Visto che si considera il condotto concludersi in un plenum la condizione alcontorno in x = L puo essere specificata come

p′2 = 0 in x = L (2.15)

20

anche se, in presenza di un moto base non nullo, tale condizione non e effet-tivamente verificata in x = L ma in un’ascissa sempre piu a valle all’aumen-tare del numero di Mach. Ciononostante e da ritenersi un’approssimazionecomunque accettabile. Le condizioni all’interfaccia sono tutte basate suprincipi di conservazione, quindi sia la portata che la quantita di moto chel’energia si conservano nell’attraversamento della discontinuita. Si dovrannoquindi impostare tre equazioni valide in x = b:

Portata ρ1u1 = ρ2u2

Quantita di moto p1 + m1u1 = p2 + m1u2

Energia ρ1cpT1u1 +12ρ1u

31 +Q′ = ρ2cpT2u2 +

12ρ2u

32

Dalle quali si ricavano

ρ1u′1 + ρ′1u1 = ρ2u

′2 + ρ′2u2 (2.16)

p′1 + ρ′1u21 + 2ρ1u1u

′1 = p′2 + ρ′2u

22 + 2ρ2u2u

′2 (2.17)

cpT01(ρ1u′1 + ρ′1u1) + ρ1u1(cpT ′1 + u1u

′1) +Q′

= cpT02(ρ2u′2 + ρ′2u2) + ρ2u2(cpT ′2 + u2u

′2) (2.18)

tutte valide in x = b e dove T0 = T + u2/2cp e la temperatura totale otemperatura al ristagno.

Per chiudere il problema e ora necessario scrivere un modello per lafiamma che accoppi il rilascio termico con il moto base in modo da trovareanche i valori di Q. Come si e visto due sono i casi limite possibili.Nel primo caso il tempo di risposta e infinito e il rilascio termico indipendentedalla portata massica. Si puo quindi scrivere

Q′(t) = 0 Caso I (2.19)

21

Nel secondo caso invece il tempo di risposta e nullo e il rilascio termicodirettamente proporzionale alla portata. L’equazione di chiusura quindirisulta

Q′(t) = cp(T02 − T01)(ρ1u′1 + ρ′1u1) Caso II (2.20)

Sostituendo quindi le equazioni dalla (2.6) alla (2.13) nelle condizionial contorno (2.14), (2.15), in quelle all’interfaccia (2.16), (2.17), (2.18) ealternativamente nella (2.19) o nella (2.20) si giunge a scrivere un sistemaomogeneo di sei equazioni nelle sei incognite A, B, C, D, S e Q che attraversoalcuni passaggi puo essere scritto nella forma

X

ABCD

S(ρ2c22/cp)e

−iωb/u2

Q/c1

= 0 (2.21)

dove X e una matrice 6× 6 che nel caso Q = 0 risulta

X =

1 +M1 −(1−M1) 0 0 0 0

(1 +M1)e1 −(1−M1)e2 −(1 +M2)e3c1/c2 (1−M2)e4c1/c2 M2c1/c2 0(1 +M1)2e1 (1−M1)2e2 −(1 +M2)2e3 −(1−M2)2e4 M2

2 0(1 +M1)a1e1 −(1−M1)a2e2 −(1 +M2)a3e3c1/c2 (1−M2)a4e4c1/c2

12M3

2 c1/c2 10 0 e5 e6 0 00 0 0 0 0 1

dove

e1 = e−iωb/c1(1+M1) e2 = eiωb/c1(1−M1) e3 = e−iωb/c2(1+M2)

e4 = eiωb/c2(1−M2) e5 = e−iωL/c2(1+M2) e6 = eiωL/c2(1−M2)

a1 = M1 +1

2M2

1 +1

γ − 1a2 = M1 −

1

2M2

1 −1

γ − 1

a3 = M2 +1

2M2

2 +1

γ − 1a4 = M2 −

1

2M2

2 −1

γ − 1

Nel caso invece in cui l’instabilita di rilascio termico sia proporzionale allaportata massica l’ultima riga sara da sostituire con

−cp(T02 − T01)(1 +M1)e1/c21 cp(T02 − T01)(1−M1)e2/c

21 0 0 0 1

L’equazione (2.21) ha un’unica soluzione banale A = B = C = D = S =Q = 0 a meno che il determinante di X sia nullo. Questo significa che

22

solo le perturbazioni con determinati valori della parte reale di ω (Re(ω))sono fisicamente accettabili, ovvero, solo disturbi con particolari frequenzedi oscillazione possono dare origine a onde che possono amplificarsi soltantose Im(ω) < 0.

2.4 L’effetto dell’attrito

Si modellizza l’effetto dell’attrito mediante il rapporto di bloccaggio rvariabile fra 0 e 0.5. L’equazione della quantita di moto diventa

p′1 + ρ′1u21 + 2ρ1u1u

′1 = p′2 + ρ′2u

22 + 2ρ2u2u

′2 +

12CDρ

′1u1

2 + CDρ1u1u′1

dove CD = (1− (1− r)−1)2.

La terza riga di X diventa quindi

(1+2M1s+M21 s)e1 (1−2M1s+M

21 s)e2 −(1+M2)2e3 (1−M2)2e4 M2

2 0

dove s = 1− 12CD.

23

Capitolo 3

Risultati

3.1 Fiamma concentrata

Per generalizzare il problema si rendono adimensionali alcune grandezzedi interesse in gioco:

• x→ xa = xL

• ω → ωa = ωLc1π

Si ricava poi un’espressione di M2 in funzione di M1 avvalendosi delle equa-zioni di conservazione della quantita di moto e della portata, della definizionedi numero del Mach e del rapporto fra le temperature totali prima e dopola fiamma che sara un parametro dei risultati. Si ottiene infine:

T02

T01=

(1 + γM2

1

1 + γM22

)2 (M2

M1

)2(

1 + γ−12 M2

2

1 + γ−12 M2

1

)

dalla quale si puo ricavare direttamente M2 = f(M1).

Supponendo infine la fiamma posta a meta del condotto in xa = 1/2 siva a risolvere l’equazione detX = 0 con un metodo di Newton-Raphson im-plementato con MatLab. I valori di ω che soddisfano tale equazioni sarannoinfiniti per la presenza di esponenziali complessi come si puo osservare sullefigure (3.1) e (3.3).

Da questi risultati si puo notare come tutti i modi trovati siano stabili ecome il tasso di crescita abbia un trend che tende verso l’instabilita all’au-mentare della frequenza. Questo non deve pero preoccupare oltremodo visto

24

che le frequenze di oscillazione tipiche dell’humming realmente in gioco nonsuperano i 500Hz che nell’adimensionalizzazione proposta, considerando ilcondotto di lunghezza pari a 1m, corrispondono a valori di ωa inferiori al-l’unita. Si possono quindi trascurare le alte frequenze andando ad indagaresolo quelle interessanti ed in particolar modo la piu bassa e quella avente, abasse frequenze, il tasso di crescita piu instabile. Dalle figure (3.5) e (3.7)si puo notare come il tasso di crescita per bassi valori di Mach sia sostan-zialmente uguale per ogni modo; cio non avviene quando Mach e diverso dazero, situazione in cui sussistono tassi di crescita ben distinguibili.

Vengono qui mostrati diversi risultati per diversi valori di Mach, rapportidi temperature e modelli di fiamma. Si puo gia osservare quanto sianodifferenti i primi risultati a pagina 30 per due modelli diversi di fiammacalcolati nel caso di moto base nullo. Nel prossimo capitolo si andra adindagare piu a fondo questo problema.

Per convalida, i risultati ottenuti vengono confrontati con quelli pubblicatida Dowling [1]. Nel caso stazionario, ovvero per M1 = 0, si puo apprezzare laloro piena concordanza in figura (3.9) e (3.10). Non ci si deve far ingannaredalle differenti denominazioni degli assi sia delle ordinate che delle ascisse:Dowling intende sempre e comunque il modo della perturbazione, cioe lasua parte reale che nel grafico riprodotto e stata esplicitata per chiarezza;inoltre le ascisse hanno in realta gli stessi valori in quanto si sta trattandoil caso di flusso base assente dove quindi T = T0.

Si osservi ora l’importanza del moto base nelle figure (3.11) e (3.12) :se la tentazione di trascurarlo e forte, dal momento che i numeri di Machin gioco sono relativamente bassi, dell’ordine di un decimo, questi risultatidovrebbero convincere del contrario. Gia per numeri di Mach a monte dellafiamma di 0.15 si nota una diminuzione da circa 0.85 a 0.6 di ωa.

25

Figura 3.1: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 → 0 eT02/T01 = 6 per il caso I

Figura 3.2: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 → 0 eT02/T01 = 6 per il caso II

26

Figura 3.3: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 = 0.15 eT02/T01 = 6 per il caso I

Figura 3.4: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 = 0.15 eT02/T01 = 6 per il caso II

27

Figura 3.5: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 → 0 eT02/T01 = 6 per il caso I a basse frequenze

Figura 3.6: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 → 0 eT02/T01 = 6 per il caso II a basse frequenze

28

Figura 3.7: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 = 0.15 eT02/T01 = 6 per il caso I a basse frequenze

Figura 3.8: Tasso di crescita in funzione della frequenza per M1 = 0.15 eT02/T01 = 6 per il caso II a basse frequenze

29

Figura 3.9: Minima frequenza di oscillazione per M1 → 0. Linea continua:caso I. Linea tratteggiata: caso II. Dowling [1]

Figura 3.10: Minima frequenza di oscillazione per M1 → 0. Blu: caso I.Rosso: caso II.

30

Figura 3.11: Minima frequenza di oscillazione per T02/T01 = 6. Dowling [1]

Figura 3.12: Minima frequenza di oscillazione per T02/T01 = 6. Blu:caso I.Rosso: caso II. Cerchio: r=0. Croce: r=0.5.

31

La dipendenza del tasso di crescita dai termini diffusivi e rappresentatain figura (3.13) per i modi a basse frequenze e si puo notare come il tasso dicrescita sia attenuato dalla presenza di attrito, come si puo intuitivamentesupporre.

Figura 3.13: Tasso di crescita a basse frequenze per T02/T01 = 6. Blu:casoI. Rosso: caso II. Cerchio: r=0. Croce: r=0.5.

La dipendenza dal numero di Mach e rilevante solo per le piu basse fre-quenze di oscillazione riscontrabili; quando infatti si va ad analizzare taledipendenza per il modo avente tasso di crescita piu instabile si nota comeessa sia molto piu contenuta soprattutto per il modello di fiamma del CasoII (figura (3.14)).

Figura 3.14: Modi piu instabili a basse frequenze per T02/T01 = 6. Blu:casoI. Rosso: caso II.

32

3.2 Autofunzioni

Noti quindi i valori di ωa che soddisfano detX = 0 si puo risolvere ilsistema (2.21). Essendo il determinante di X nullo esistono quindi infinitesoluzioni per ogni valore di ω. E necessario quindi fissare una delle incogniteper trovare una soluzione numerica attraverso una scomposizione LU dellamatrice ed una sostituzione all’indietro [5]. Fissato quindi arbitrariamenteQ = 1 si trovano i valori di A, B, C, D, ed S. Note allora le costantidi integrazione e possibile disegnare la perturbazione di tutte le grandezzecoinvolte nel fenomeno: portata, quantita di moto, energia, pressione, ve-locita, densita e temperatura per diversi valori di Mach, diversi rapporti ditemperatura e modelli di fiamma. Ogni grafico e stato calcolato sia per leω con i modi a frequenza piu bassa che per quelle aventi, a basse frequenze,tasso di crescita piu alto.

Si confrontano quindi pagina per pagina i risultati ottenuti per i duecasi limite di modellazione del rilascio termico, proponendo in ogni figuranumeri di Mach a monte della fiamma variabili fra 0.001 e 0.15. Si mostranoinoltre risultati per rapporti fra le temperature totali (T02/T01 = 2) e piuelevati (T02/T01 = 6). Infine vengono mostrati i risultati derivanti dal calcolonon per la piu bassa frequenza di oscillazione (fondamentale) ma per quellaavente, a basse frequenze (inferiori ai 500Hz), il tasso di crescita piu elevato.

Se i risultati per portata, quantita di moto ed energia sono continui nell’at-traversamento della fiamma in quanto era stata imposta questa condizioneper trovare i valori delle costanti di integrazioni, lo stesso non si puo direper i valori di pressione, velocita, densita e temperatura che quindi nume-ricamente potranno avere un salto in x = b. Unico caso in cui invece talediscontinuita non deve sussistere e per il disturbo di pressione nel caso diassenza di moto base, ovvero per M1 = 0, come si puo facilmente dedur-re dalla condizione di conservazione della quantita di moto attraverso lafiamma. Inoltre ulteriore verifica sara la necessaria convergenza a zero deldisturbo di pressione in x = L.

Per facilitare la lettura i risultati ottenuti per valori di Mach prossimi allozero sono stati indicati nelle figure con una linea sempre nera mentre peraltri valori di Mach le perturbazioni sono disegnate con tratto colorato.

33

3.2.1 Portata

Figura 3.15: Perturbazione della portata per il caso I, T02/T01 = 6, minimafrequenza

Figura 3.16: Perturbazione della portata per il caso II, T02/T01 = 6, minimafrequenza

34

Figura 3.17: Perturbazione della portata per il caso I, T02/T01 = 2, minimafrequenza

Figura 3.18: Perturbazione della portata per il caso II, T02/T01 = 2, minimafrequenza

35

Figura 3.19: Perturbazione della portata per il caso I, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.20: Perturbazione della portata per il caso II, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

36

Figura 3.21: Perturbazione della portata per il caso I, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.22: Perturbazione della portata per il caso II, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

37

3.2.2 Quantita di moto

Figura 3.23: Perturbazione della quantita di moto per il caso I, T02/T01 = 6,minima frequenza

Figura 3.24: Perturbazione della quantita di moto per il caso II, T02/T01 = 6,minima frequenza

38

Figura 3.25: Perturbazione della quantita di moto per il caso I, T02/T01 = 2,minima frequenza

Figura 3.26: Perturbazione della quantita di moto per il caso II, T02/T01 = 2,minima frequenza

39

Figura 3.27: Perturbazione della quantita di moto per il caso I, T02/T01 = 6,modo meno stabile a basse frequenze

Figura 3.28: Perturbazione della quantita di moto per il caso II, T02/T01 = 6,modo meno stabile a basse frequenze

40

Figura 3.29: Perturbazione della quantita di moto per il caso I, T02/T01 = 2,modo meno stabile a basse frequenze

Figura 3.30: Perturbazione della quantita di moto per il caso II, T02/T01 = 2,modo meno stabile a basse frequenze

41

3.2.3 Energia

Figura 3.31: Perturbazione dell’energia per il caso I, T02/T01 = 6, minimafrequenza

Figura 3.32: Perturbazione dell’energia per il caso II, T02/T01 = 6, minimafrequenza

42

Figura 3.33: Perturbazione dell’energia per il caso I, T02/T01 = 2, minimafrequenza

Figura 3.34: Perturbazione dell’energia per il caso II, T02/T01 = 2, minimafrequenza

43

Figura 3.35: Perturbazione dell’energia per il caso I, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.36: Perturbazione dell’energia per il caso II, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

44

Figura 3.37: Perturbazione dell’energia per il caso I, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.38: Perturbazione dell’energia per il caso II, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

45

3.2.4 Pressione

Figura 3.39: Perturbazione della pressione per il caso I, T02/T01 = 6, minimafrequenza

Figura 3.40: Perturbazione della pressione per il caso II, T02/T01 = 6,minima frequenza

46

Figura 3.41: Perturbazione della pressione per il caso I, T02/T01 = 2, minimafrequenza

Figura 3.42: Perturbazione della pressione per il caso II, T02/T01 = 2,minima frequenza

47

Figura 3.43: Perturbazione della pressione per il caso I, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.44: Perturbazione della pressione per il caso II, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

48

Figura 3.45: Perturbazione della pressione per il caso I, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.46: Perturbazione della pressione per il caso II, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

49

3.2.5 Velocita

Figura 3.47: Perturbazione della velocita per il caso I, T02/T01 = 6, minimafrequenza

Figura 3.48: Perturbazione della velocita per il caso II, T02/T01 = 6, minimafrequenza

50

Figura 3.49: Perturbazione della velocita per il caso I, T02/T01 = 2, minimafrequenza

Figura 3.50: Perturbazione della velocita per il caso II, T02/T01 = 2, minimafrequenza

51

Figura 3.51: Perturbazione della velocita per il caso I, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.52: Perturbazione della velocita per il caso II, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

52

Figura 3.53: Perturbazione della velocita per il caso I, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.54: Perturbazione della velocita per il caso II, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

53

3.2.6 Densita

Figura 3.55: Perturbazione della densita per il caso I, T02/T01 = 6, minimafrequenza

Figura 3.56: Perturbazione della densita per il caso II, T02/T01 = 6, minimafrequenza

54

Figura 3.57: Perturbazione della densita per il caso I, T02/T01 = 2, minimafrequenza

Figura 3.58: Perturbazione della densita per il caso II, T02/T01 = 2, minimafrequenza

55

Figura 3.59: Perturbazione della densita per il caso I, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.60: Perturbazione della densita per il caso II, T02/T01 = 6, modomeno stabile a basse frequenze

56

Figura 3.61: Perturbazione della densita per il caso I, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

Figura 3.62: Perturbazione della densita per il caso II, T02/T01 = 2, modomeno stabile a basse frequenze

57

3.2.7 Temperatura

Figura 3.63: Perturbazione della temperatura per il caso I, T02/T01 = 6,minima frequenza

Figura 3.64: Perturbazione della temperatura per il caso II, T02/T01 = 6,minima frequenza

58

Figura 3.65: Perturbazione della temperatura per il caso I, T02/T01 = 2,minima frequenza

Figura 3.66: Perturbazione della temperatura per il caso II, T02/T01 = 2,minima frequenza

59

Figura 3.67: Perturbazione della temperatura per il caso I, T02/T01 = 6,modo meno stabile a basse frequenze

Figura 3.68: Perturbazione della temperatura per il caso II, T02/T01 = 6,modo meno stabile a basse frequenze

60

Figura 3.69: Perturbazione della temperatura per il caso I, T02/T01 = 2,modo meno stabile a basse frequenze

Figura 3.70: Perturbazione della temperatura per il caso II, T02/T01 = 2,modo meno stabile a basse frequenze

61

Confrontando pagina per pagina i risultati ottenuti si nota subito quantosia influente la scelta del modello di rilascio termico. Per esempio drasticae la differenza nei grafici delle portate (3.15) e (3.16) a pagina 34 dove perQ nullo si nota un’apprezzabile dipendenza da Mach mentre per Q propor-zionale a m si osserva che inevitabilmente questa dipendenza viene menoin particolar modo in prossimita della fiamma. Infatti il modello con Qnullo esalta la dipendenza dalle velocita medie del flusso; al contrario lamodellazione che pone Q proporzionale alla portata massica provoca unaminor dipendenza delle grandezze in gioco dalla velocita media del motobase schiacciando cosı i grafici l’uno sull’altro.

Situazioni analoghe si ripetono inevitabilmente in tutti i risultati ottenuti:si vedano per i casi piu estremi per esempio le figure (3.25) e (3.26) per laquantita di moto oppure le (3.31) e (3.32) per l’energia.

Si deve notare inoltre come per diversi modelli di fiamma alle volte ilcomportamento in dipendenza da Mach sia totalmente antitetico come siosserva per esempio nelle figure (3.19) e (3.20) e (3.27) e (3.28).

Infine se ci si poteva aspettare discontinuita di alcune grandezze in gio-co in corrispondenza della fiamma queste non sono ovviamente rispondentialla realta delle cose ne tantomeno fisicamente accettabili. Nasce quindi l’e-vidente necessita, per un’analisi piu attenta del fenomeno, di generare unmodello di rilascio termico piu elaborato e vicino alla realta.

62

Parte II

Fiamma concentrata esezione variabile

63

Capitolo 4

Calcolo

Figura 4.1: Camera di combustione

Si esamina ora un caso piu realistico dove la sezione del condotto e va-riabile in funzione della coordinata x. Si tratta ancora di un caso monodi-mensionale anche se si puo dimostrare che tale semplificazione puo caderein difetto nel caso in cui la misura piu lunga del condotto non sia quella lon-gitudinale ma quella circonferenziale. Infatti se cosı accadesse la piu bassafrequenza di risonanza sarebbe quella associata ai modi che si propagano indirezione azimutale e non longitudinale. Questo avviene in particolar modonei combustori anulari per i quali e quindi indispensabile una trattazione che

64

comprenda anche onde convettive di vorticita e dove si deve tenere contodella variazione azimutale delle perturbazioni (il disturbo di pressione risul-tera ad esempio p′ = Aeiωt+inϑ+iωx). Se lo spessore radiale del condottoanulare non e trascurabile sara infine necessario trattare il problema permezzo di funzioni di Bessel per rappresentare adeguatamente la variazioneradiale delle componenti del disturbo.

4.1 Il modello

I combustori delle attuali turbine a gas presentano geometrie molto com-plicate, come quella in figura (4.1), semplificata in figura (4.2): il flusso adalta velocita uscente dal compressore viene rallentato in un diffusore (ple-num) per renderlo piu uniforme in previsione dell’iniezione di carburante edella combustione. Alla fine del plenum il flusso viene riaccelerato attraver-so un condotto di premiscelazione (premixer) dove si inietta il combustibile.Infine la miscela cosı generata attraversa un allargamento di sezione perentrare nella camera di combustione.

Figura 4.2: Tipica geometria di un turbogas

65

Se la sezione del premixer e piccola abbastanza per consentire la propa-gazione delle sole onde longitudinali cio non e accettabile nel plenum e nelcombustore generalmente anulari o cilindrici. Si esamina comunque il casomonodimensionale che considera solo la propagazione di onde longitudinali(figura (4.3)).

Figura 4.3: Semplice combustore quasi unidimensionale

66

4.2 Risoluzione del moto base

Si schematizza la figura (4.3) considerando brusche le variazioni di sezionecome in figura (4.4).

Figura 4.4: Modello plenum-premixer-combustore

Condizioni alle interfacce: Nota quindi la geometria del risonatore, laportata massica e le caratteristiche termofisiche del fluido si puo iniziaread impostare le equazioni di conservazione della portata, della quantita dimoto e dell’energia alle interfacce 1-2 e 2-3 considerate in corrispondenzarispettivamente dell’allargamento e del restringimento di sezione. Se la con-servazione della portata e dell’energia devono essere sempre e comunqueverificate, particolare attenzione merita la conservazione della quantita dimoto. Infatti le variazioni di sezione impediscono di impostare canonica-mente le equazioni. Nel caso del restringimento si dovra ricorrere quindi adun approssimazione: si puo considerare infatti che la trasformazione che ilfluido subisce nel passaggio dal plenum al premixer sia isoentropica. Nelcaso dell’allargamento si deve invece tenere conto della forza di pressioneassiale che il fluido esercita sulle pareti perpendicolari all’asse delle ascissein x = L2 (approssimazione di Borda). Si giunge quindi a scrivere:

Per x = L1

Portata A1ρ1u1 = A2ρ2u2 (4.1)

Energia cpT1 +u2

1

2= cpT2 +

u22

2(4.2)

Isoentropicap1

ργ1=p2

ργ2(4.3)

67

Per x = L2

Portata A2ρ2u2 = A3ρ3u3 (4.4)

Energia cpT2 +u2

2

2+Q = cpT3 +

u23

2(4.5)

Coanda A3(p3 − p2) +A3ρ3u23 = A2ρ2u

22 (4.6)

Nota la geometria del condotto si puo banalmente calcolare il tempo divolo, ovvero il tempo che una perturbazione sull’iniezione di combustibilein x = L1 impiega a raggiungere la fiamma in x = L2. Si vedra in seguitoquanto questo parametro abbia un’importanza cruciale nella risoluzione delproblema.

τ =L2 − L1

U2(4.7)

Note quindi le temperature all’ingresso e all’uscita (T1 e T3) e la pres-sione all’uscita (P3) per chiudere il problema e necessario conoscere la por-tata massica che attraversa il condotto, costante qualunque sia la sezione(m = Aiρiui) e impostare l’equazione dei gas perfetti per il plenum, il pre-mixer e il combustore (Pi = ρiRTi). Si ha un sistema non lineare risolvibilerapidamente con metodi numerici. Calcolate quindi le temperature in ognicondotto anche le velocita del suono ci sono determinate. In tabella (4.1) simostrano i valori calcolati secondo i dati di partenza proposti da Dowling eStow [3].

1 2 3P 10210 Pa 10160 Pa 10100 PaU 3.269 m · s−1 29.809 m · s−1 73.8177 m · s−1

ρ 1.186 kg ·m−3 1.181 kg ·m−3 0.1759 kg ·m−3

T 300 K 299.563 K 2000 Kc 347.213 m · s−1 346.96 m · s−1 896.5 m · s−1

A 0.0129 m2 0.00142 m2 0.00385 m2

L 1.7 m 1.7345 m 2.7345 m

Tabella 4.1: Dati

68

Equazioni del disturbo: Inserendo il disturbo, sviluppando i calcoli elinearizzando si ottengono le equazioni:

Per x = L1

A1(ρ1u′1 + ρ′1u1) = A2(ρ2u

′2 + ρ′2u2) (4.8)

cpT′1 + u1u

′1 = cpT

′2 + u2u

′2 (4.9)

γρ′1ρ1− p′1p1

= γρ′2ρ2− p′2p2

(4.10)

Per x = L2

A1(ρ1u′1 + ρ′1u1) = A2(ρ2u

′2 + ρ′2u2) (4.11)

A3(p′3 − p′2 + ρ′3u23 + 2ρ3u3u

′3) = A2(ρ′2u

22 + 2ρ2u2u

′2) (4.12)

cpT03(ρ3u′3 + ρ′3u3) + ρ3u3(cpT ′3 + u3u

′3) =

cpT02(ρ2u′2 + ρ′2u2) + ρ2u2(cpT ′2 + u2u

′2) +Q′ (4.13)

Si devono inoltre impostare tre equazioni al contorno. Si puo supporreche all’inizio del plenum la perturbazione della portata massica sia nulla cosıcome le onde di entropia, e che il combustore sia aperto in x = L3, ovveroche ivi la perturbazione di pressione sia nulla:

ρ′1ρ1

+u′1u1

= 0 in x = 0 (4.14)

p′1p1

+ (γ − 1)Ma1u′1u1

= 0 in x = 0 (4.15)

p′3 = 0 in x = L3 (4.16)

E infine necessario definire un modello di rilascio termico (transfer func-tion), ed e usuale utilizzare la seguente espressione:

Q′a = −kQam′2m2

e−iωτ (4.17)

dove k rappresenta la ’prontezza’ del sistema, τ il tempo di volo e Qa e Q′asono flussi termici [W · m−2]. In pratica k e un paramentro che permettedi variare con continuita il modello di fiamma da un sistema dove il rilascio

69

termico e indipendente dalla variazione di portata massica (in particolarmodo nullo) e un modello dove esso vi dipende in maniera direttamenteproporzionale. Il disturbo della portata massica viene valutato dove si iniettail combustibile, ovvero all’inizio del premixer. Si vedra in seguito comequesta equazione rivesta un ruolo cruciale nella risoluzione del problema.

Le perturbazioni si esprimono come segue:

p′i(x, t) = eiωt(ψie−iωx/ci(1+Mi) + ζie−iωx/ci(1−Mi)) (4.18)

u′i(x, t) = eiωt(ψie−iωx/ci(1+Mi) − ζie−iωx/ci(1−Mi))/ρici (4.19)

ρ′i(x, t) =p′i(x, t)c2i

− σiρicp

eiω(t−x/ui) (4.20)

cpT′i (x, t) =

p′i(x, t)ρi

+σic

2i

(γ − 1)cpeiω(t−x/ui) (4.21)

dove si e indicato con ψ, ζ e σ rispettivamente l’ampiezza dei disturbi dipressione che si propagano in verso concorde e contrario al moto base e l’am-piezza delle onde di entropia. Sostituendo quindi nelle equazioni dalla (4.9)alla (4.17) i valori delle perturbazioni si giunge a scrivere un sistema omo-geneo di 10 equazioni lineari in 10 incognite. Come discusso in precedenzail sistema ha soluzioni non banali solo se il determinante della matrice deicoefficienti e nullo, ovvero solo per determinati valori di ω. Essendo quindi

M+i = (Mi + 1) M−i = (Mi − 1)

a+i = (Mi +M2

i /2 + (γ − 1))

a−i = (Mi −M2i /2− (γ − 1))

eid = e−(iωLi)/(ci(1+Mi));

eiu = e(iωLi)/(ci(1−Mi));

eis = e−(iωLi)/Ui ;

et = e−iωτ

χ = kQaA3

70

Si puo infine scrivere la matrice dei coefficienti X che risultera quindi didimensioni 10× 10.

A1M+1

c1e1d

A1M−1

c1e1u −A1U1ρ1

cpe1s

−A2M+2

c2e2d −A2M

−2

c2e2u

A2U2ρ2cp

e2s

0 0 0 0

0 0 0A2M

+2

c2e3d

A2M−2

c2e3u −A2U2ρ2

cpe3s

−A3M+3

c3e4d −A3M

−3

c3e4u

A3U3ρ3cp

e4s 0

A1M+1 a

+1 e1dc1 A1M

−1 a−1 e1uc1

A1ρ1U31

2cpe1s

−A2M+2 a

+2 e2dc2 −A2M

−2 a−2 e2uc2 −A2ρ2U

32

2cpe2s

0 0 0 A2

( γ

ρ1c21− 1P1

)e1d ( γ

ρ1c21− 1P1

)e1u − γcpe1s

(γ/(ρ2c22)− 1/P2)e2d (γ/(ρ2c22)− 1/P2)e2u − γcpe2s

0 0 0 0

0 0 0

(−A3 −A2(M22 + 2M2))e3d (−A3 −A2(M2

2 − 2M2))e3uA2ρ2U

22

cpe3s

−A3M+3 a

+3 e4dc3 A3M

−2 a−3 e4uc3 −A3ρ3U

33

2cpe4s 0

0 0 0

A2M+2 a

+2 e3dc2 A2M

−2 a−2 e3uc2

A2ρ2U32

2cpe3s

−A3M+3 a

+3 e4dc3 A3M

−3 a−3 e4uc3 −A3ρ3U

33

2cpe4s A3

M+1 M−1 − ρ1M1

cp

0 0 00 0 0 0

1P1

+ γ−2

ρ1c21

1P1− γ

ρ1c21

1cp

0 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0e5d e5u 0 0

0 0 0

χM+2 ete2d χM−2 ete2u

−χU2ρ2c2ete2scp

0 0 0 ρ2U2c2

71

Capitolo 5

Risultati

5.1 Sezione variabile

La risoluzione dell’equazione detX = 0 non e piu eseguibile con il metododi Newton-Raphson usato in precedenza a causa di un pessimo condiziona-mento della matrice. Per questo motivo si e scelto di sostituire all’appros-simazione di trasformazione isoentropica (ottava riga) una condizione piusemplice, ovvero considerare nulle le onde di entropia nel plenum. Questasi traduce in termini matematici in σ1 = 0. Cosı facendo l’ottava riga ebanalmente rimpiazzata da

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Si e scelto di risolvere il sistema mediante una risoluzione grafica chedisegni in funzione di ωr e ωi le linee per cui la parte reale e immaginaria deldeterminante sono nulle. Cosı facendo si vanno a visualizzare le soluzioninei punti ove tali linee si intersecano. Se questo sistema risulta piu affidabilee meno dispendioso in quanto non e necessaria una continua ricalibrazionedei parametri del codice numerico per l’analisi di differenti casi e altresıvero che i risultati ottenuti hanno un’approssimazione maggiore. Infatti irisultati possono essere letti solo graficamente e necessitano quindi di unoperatore se devono essere utilizzati per altri calcoli come per esempio larappresentazione dei mode shape.

Si confrontano i risultati ottenuti con quelli proposti da Dowling e Stow[3] in figura (5.1). Le linee rappresentano la variazione dei modi che provo-cano risonanza al variare del parametro di fiamma k da zero all’unita. Si

72

puo osservare come per k = 0 tre modi sono particolarmente stabili (noncompaiono in figura) e come all’aumentare di k questi subiscano un forteaumento del loro tasso di crescita mentre la frequenza rimane pressoche in-variata. Altri modi invece, come quelli a circa 100, 200, 400, 500 Hz, sonosostanzialmente indipendenti dal variare del modello di fiamma. Si puo no-tare, nonostante le difficolta di risoluzione numerica, la buona concordanzadei risultati ottenuti.

Figura 5.1: Modi di risonanza. ×: modi per k = 1; : modi per k = 0.

73

Figura 5.2: Modi di risonanza, metodo grafico per k → 0

Figura 5.3: Modi di risonanza, metodo grafico per k = 1

74

Per rendere i grafici piu leggibili si rappresentano in un unico grafico irisultati calcolati al variare del parametro k da zero a quattro, sovrappostia quelli proposti da Dowling e Stow. Si nota una buona concordanza deicomportamenti dei modi, malgrado l’approssimazione diversa nei due casidella geometria del sistema.

Figura 5.4: × rosso: modi per k = 1, Dowling e Stow. blu: modi perk = 0, Dowling e Stow. + azzurro: modi per k = 1, metodo grafico. verde: modi perk = 0, metodo grafico. tendenza all’instabilita per kcrescente

Nei calcoli non e stato utilizzato il tempo di volo τ calcolato, pari a circa0.0012, ma quello proposto in [3] pari a 0.006. Questa scelta ha un’influen-za determinante nei risultati. Infatti si puo notare come i tre modi a 164,340 e 500 Hz sono fortemente influenzati dal variare di questo parametrocaratteristico della geometria del premixer. Si veda in figura (5.5) il calcoloeseguito solo per queste tre frequenze al variare di τ . Un’attenta analisirivela che tali frequenze sono approssimativamente pari a 1/τ , 2/τ e 3/τ .Nell’approssimazione fatta la fiamma e concentrata in x = L2 e quindi iltempo di volo e presto calcolato in maniera esatta come mostrato in pre-cedenza. Ma questa e, appunto, un approssimazione: infatti la fiamma eeffettivamente distribuita longitudinalmente e quindi τ non puo essere valu-tato in corrispondenza del solo inizio della fiamma ma deve essere valutatoper tutta la sua estensione. Oltretutto la fiamma potra oscillare nel tempo

75

quindi anche i valori di τ diversificati per ogni x dovranno dipendere daltempo secondo la generica forma τ(x, t) = τ(x)eiωt. Si intravede subito daqueste figure quanto sia determinante il valore di τ che praticamente coman-da i tre modi relativi alla fiamma. Si osserva inoltre in figura (5.6) come aldiminuire del tempo di volo le frequenze tendono verso l’instabilita. Vistoche τ compare solo insieme a k, se quest ultimo fosse nullo sarebbe inin-fluente sui risultati. Nonostante tutto si deve notare che Qa assume valorimolto grandi dell’ordine di 107 e quindi anche piccoli valori di k (10−2) ri-sultano essere determinanti per quanto riguarda l’influenza di τ sui modi difiamma. E quindi ovvio quanto il modello di fiamma, e in particolar modoi suoi parametri k e τ siano critici nella risoluzione del problema.

Figura 5.5: Frequenza in funzione del tempo di volo τ delle tre frequenze difiamma (cerchi verdi, rossi e blu) sovrapposte a quelle teoriche (1/τ , 2/τ ,3/τ)

76

Figura 5.6: Variazione del modo a piu bassa frequenza relativo alla fiammaal variare di τ per k piccolo (0.03)

Nonostante tutto, le variazioni di τ non influenzano criticamente i valoridegli altri modi che non siano quelli appena descritti. Infatti si puo di-mostrare che e possibile calcolare le frequenze caratteristiche del plenum inmaniera analitica secondo la formula

f = ncsL1

con n =12, 1,

32, ...

In tabella si puo apprezzare la concordanza fra tali frequenze calcolate ana-liticamente e numericamente per k → 0. Queste sono un buon banco diprova per la validita del codice e il fatto che il modello di fiamma scelto nonle influenzi significativamente e un’ulteriore punto a favore.

Soluzione analitica Soluzione numerica102.12 112.70204.24 206.35306.36 323.75408.48 419.97510.61 517.38

Tabella 5.1: Frequenze naturali del plenum [Hz]

77

Nonostante tutto i limiti del codice scritto sono evidenti per diverseragioni:

• Il modello di fiamma e determinante e non si ha uno strumento anali-tico efficace per valutarne i parametri k e τ che, come si e visto, sonocritici; si deve quindi ricorrere in ogni caso a dati sperimentali o asimulazioni di larga scala (Large Eddy Simulations).

• Il determinante della matrice dei coefficienti e per qualsiasi valore di ωmolto piccolo (dell’ordine di 10−20) quindi il rischio di trovare soluzionispurie e molto elevato.

• Confrontando i risultati con codici piu raffinati, nonostante le frequen-ze siano in buona concordanza, i tassi di crescita non sono caratteriz-zati dalla stessa precisione. Il motivo puo essere ricercato nel fatto chele isolinee del determinante sono nel grafico frequenza-tasso di crescitapressoche verticali e quindi il tasso di crescita puo essere facilmenteaffetto da errori.

78

5.2 Autofunzioni

Si mostrano ora alcuni grafici di mode shape calcolati per k = 1 per i10 modi di risonanza trovati. Vengono confrontati con i risultati ottenutida Dowling e Stow [3] mostrati in figura (5.7). L’accordo e accettabilesoprattutto viste le differenze geometriche tra le due configurazioni.

Figura 5.7: Mode shape della pressione per k = 1. a) 30-Hz. b) 104-Hz. c)168-Hz. d) 203-Hz. e) 300-Hz. f) 312-Hz. g) 396-Hz. h) 415-Hz. i) 495-Hz.j) 514-Hz.

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5.2.1 Pressione

Figura 5.8: Autofunzione della pressione per il modo a frequenza 62-Hz.


80



81



82



83



84

5.2.2 Portata

Figura 5.18: Autofunzione della portata per il modo a frequenza 62-Hz.


85



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88



89

Parte III

Cenni sulla fiammadistribuita e conclusioni

90

Capitolo 6

Fiamma distribuita

Figura 6.1: Forma lobata di una fiamma

Il trasferimento di calore e stato fin’ora considerato concentrato in unasingola sezione del combustore. E evidente come questo non sia generalmen-te vero, soprattutto, in via del tutto intuitiva, all’aumentare della velocitadel moto base che attraversa la fiamma. E quindi evidente come un’ana-lisi piu attenta debba tener conto di un rilascio termico distribuito su unalunghezza significativa del bruciatore. Per esempio nell’ultimo caso tratta-to, banalmente, la miscela inizia a bruciare in corrispondenza dell’inizio delcombustore dove e posizionata la fiamma pilota e continua a bruciare a val-le. Si puo affermare che, in particolare in assenza di moto base, un rilasciotermico che si estende assialmente per una lunghezza d puo essere trattatocome concentrato se tale estensione e piccola in confronto alla lunghezzad’onda acustica (piu precisamente d << 2πc/ω). Nonostante tutto, questae un’approssimazione troppo grossolana se il fluido attraversa la fiamma an-che con velocita non troppo elevate. Inoltre e presente un’onda di entropia

91

che, propagandosi per convezione a valle, ha una lunghezza d’onda di qual-che ordine di grandezza piu piccola (equazione (4.21) per esempio) di ordine2πu/ω.

Esistono metodi teorici e sperimentali che riescono a misurare o a predirela forma della fiamma. Questi metodi portano alla conclusione che questaha in sostanza una forma lobata come in figura (6.1). La distribuzionedella fiamma all’interno del condotto puo essere in prima approssimazioneassunta uniforme, ovvero un rilascio termico per unita di volume costantefra due sezioni di inizio e fine combustione. In realta il modello di fiammapotrebbe essere affinato considerando una geometria dove il rilascio termicoha una distribuzione triangolare, ovvero dove la maggior parte delle reazioniavvengono nel centro della fiamma. Ciononostante e da valutare quantoqueste approssimazioni monodimensionali siano accettabili quando invece lafiamma ha forme tridimensionali molto complesse.

I metodi sperimentali si basano sul fatto che nella combustione in realtaavvengono molte reazioni in contemporanea e fra queste alcune che produ-cono ioni ossidrile OH− si concentrano sul bordo della fiamma. Andandoquindi a valutare solo lo spettro di questi ultimi si puo ottenere una stimadel volume entro cui avviene la combustione come si osserva in figura (6.2).Questo non e per ragioni di forza maggiore un metodo sul quale si puo fa-re affidamento per sviluppare codici in funzione di un’ottimizzazione dellaprogettazione ma e un ottimo banco di prova per validare i calcoli eseguitinumericamente con tecniche CFD.

Figura 6.2: Immagini dei radicali nell’arco di un periodo di oscillazione dellafiamma [2]

92

6.1 Calcolo del moto base

Figura 6.3: Modello del bruciatore [2]

Definito il tempo di volo τ come il tempo che impiega una perturbazionesulla portata massica in un punto di riferimento (spesso il punto di iniezionedel combustibile) a raggiungere la fiamma. Assumendo quindi la forma dellafiamma distribuita secondo una forma triangolare come in figura (6.4) si puoprocedere ad una stima di τ sia in funzione delle coordinate spaziali che deltempo, in modo da tener conto anche dell’oscillare della fiamma. Inoltre saradeterminata anche q(x), funzione che descrive come la fiamma e distribuitanel condotto.

Figura 6.4: Modello della distribuzione spaziale del rilascio termico [2]

93

Si mostra di seguito un semplice esempio di risoluzione del moto base perla semplice geometria considerata nella figura (6.3) eseguita con integrazionediretta nel condotto. Nota la portata massica, le condizioni all’ingresso ela pressione all’uscita e la sezione in funzione delle ascisse A(x) si possonointegrare le equazioni dalla sezione di ingresso ad una coordinata generica x

d

dx(ρuA) = 0

d

dx

[(p+ ρu2)A

]

d

dx

[ρuA(cpT +

u2

2)

]= q(x)

ottenendo espressioni analitiche per pressione p(x), velocita u(x), densitaρ(x) e temperatura T (x) medi dove Q(x) =

∫ xx q(x)dx. Si trova quindi:

u(x) =

√(A0(p0+ρ0u2

0)mA(x)

)2− 4

(12 −

γγ−1

) (cpT0 + u2

02 + Q(x)

m

)−(A0(p0+ρ0u2

0)mA(x)

)2(

12 −

γγ−1

)

ρ(x) =m

A(x)u(x)

p(x) =(p0 + ρ1u

21)A1

A(x)− ρ(x)u2(x)

T (x) =p(x)Rρ(x)

La risoluzione del moto perturbato non e invece eseguibile analiticamentema deve avvalersi di una discretizzazione delle equazioni nel condotto vistal’inomogeneita longitudinale del moto base. Per valori generici di ω le con-dizioni all’uscita non saranno soddisfatte e cosı nel codice si dovra prevedereun’iterazione su ω che ricalcoli il moto nel condotto fino alla convergenza.

94

Capitolo 7

Conclusioni e sviluppi futuri

I risultati ottenuti nella parte I hanno avuto in primo luogo il fine di esplo-rare l’influenza delle velocita in gioco nell’instaurarsi di fenomeni di insta-bilita termoacustica. Nel verificare tale influenza si era gia notato quanto irisultati ottenuti per i due modelli di fiamma proposti fossero dissimili. Sonostate osservate discrepanze significative sia nella frequenza che nella stabilitadei modi e soprattutto nelle autofunzioni ricavate, sempre inevitabilmenteaffette dalla scelta della transfer function della fiamma.

E stata valutata infine, nella Parte I, l’influenza che hanno molti metodidi introdurre calore nel flusso (griglie) i quali comportano una perdita dicarico che stabilizza i modi di risonanza e ne attenua la frequenza.

Avendo confrontato quindi modelli di rilascio termico diversi, si e deciso dianalizzarne uno piu complesso e vicino alla realta che variasse con continuitala prontezza k del sistema iniettore-fiamma e che tenesse conto del suo tempodi ritardo τ . Questa analisi piu attenta e stata la riprova che i timori dellaprima parte non erano infondati. La transfer function risulta ricoprire unruolo critico nella risoluzione del problema, anzi, per molti modi lo guidain maniera inaccettabile. Infatti si e notato che i modi di fiamma possonoessere stabili o meno a seconda del valore della prontezza k che viene sceltoe la frequenza di questi ultimi e palesemente guidata dal tempo di ritardo τimpostato. Il problema fondamentale e che non si hanno spesso strumentiadeguati per valutare a priori questi due parametri conducendo quindi ilcodice a trovare soluzioni poco significative.

95

Avendo quindi notato come una trattazione piu realistica non possa pre-scindere dal considerare la fiamma distribuita su una lunghezza significativadel condotto, gli immediati sviluppi futuri potranno essere sicuramente l’a-nalisi di una transfer function piu complessa. E indubbiamente questa lastrada da intraprendere dal momento che le altre condizioni e approssimazio-ni che si sono imposte non sembrano essere cosı rilevanti come quest’ultima.Cosı si potra analizzare un sistema che consideri un tempo τ variabile neltempo e nello spazio tridimensionale τ(~x, t), cosı come elaborare un modelloche possa valutare il valore di k mediante il calcolo del disturbo sul rapportodi equivalenza (equivalence ratio) definito come φ = mf/ma

mf/ma.

Altri sviluppi futuri potranno analizzare l’influenza di questi parametrideterminati su geometrie effettivamente esistenti, tenendo conto quindi dellapresenza di piu bruciatori in parallelo, di modi azimutali ed eventualmenteradiali e delle non linearita che comportano uno scambio di energia fra ivari modi e possono quindi portare alla formazione di cicli limite oppureall’accentuarsi di modi gia instabili.

Nell’analizzare questi casi potra essere infine utile implementare un codicedi ricerca degli autovalori e delle autofunzioni piu agile ed affidabile che possalavorare in automatico senza la necessita di leggere ogni dato da un graficoo di tarare spesso alcuni dei parametri di calcolo.

96

Appendice A

Onde stazionarie

Le perturbazioni che si vengono a creare si propagano come onde. Questesono confinate all’interno delle pareti della camera di combustione. E quindiinteressante analizzare cosa accade ad un’onda che viene limitata entro uncerto spazio.

Riflessione e sovrapposizione Prima di tutto le onde che si propaganoa monte e a valle della fiamma sono, appena generate, semplici onde che han-no un’intrinseca direzione caratteristica di propagazione (travelling waves).Queste, raggiunte le pareti del risonatore, saranno riflesse nel verso oppostoal moto precedente andando a sovrapporsi a quelle in arrivo. In figura (A.1)e mostrata la sequenza di immagini di una riflessione di un singolo fronted’onda.

Figura A.1: Riflessione di una singola onda

Essendo le perturbazioni in questione formate da piu fronti d’onda, di fon-damentale importanza sara la distanza della sorgente acustica dalla parete e

97

la frequenza della perturbazione per determinare come le onde ancora non ri-flesse si sovrapporranno a quelle gia riflesse. Se le onde che si sovrappongonohanno la stessa forma e ampiezza si possono formare delle onde staziona-rie (standing waves). Si considerino ad esempio due onde momocromaticheviaggianti in verso opposto e di uguale ampiezza a:

A = a sin(ωt− kx) ; B = a sin(ωt+ kx)

Sommando le due onde e sviluppando i seni con le formule di duplicazionesi perviene alla forma:

A+B = 2a sin(ωt) cos(kx).

Si nota come l’onda risultante sia formata da una parte fissa nel tempodipendente da x e da una parte tempovariante. Infatti le onde stazionariesono un particolare tipo di onda in cui non vi e trasporto netto di energia:esse ’rimangono sul posto’, ovvero hanno dei nodi fissi nello spazio e neltempo in kx = π/2 + nπ (si veda l’esempio in figura (A.2)).

Figura A.2: Esempi di onde stazionarie

E quindi evidente come solo determinate perturbazioni aventi le giuste fre-quenze possano instaurarsi come onde stazionarie all’interno di un condottodi una data geometria. Si spiega quindi, anche dal punto di vista fisico, ilperche nel calcolo delle oscillazioni termoacustiche si sia posto detX = 0. Ineffetti tutti i valori di ω possono soddisfare il sistema di equazioni omogeneo

98

ricavato, ma solo alcuni non richiedono che le costanti di integrazione sianotutte nulle. Cio significa che perturbazioni con frequenze diverse da quelletrovate possono effettivamente crearsi ma non possono formare nel condottoonde stazionarie che sono alla base del fenomeno dell’humming.

Assorbimento Analizziamo ora il fenomeno dissipativo che limita l’incre-mento delle perturbazioni instabili: l’assorbimento. Si e assunto sin ora chel’energia contenuta in un’onda non venga dissipata e quindi che l’onda stessapermanga indefinitamente nel tempo e nello spazio. In realta il propagar-si delle onde non e totalmente isoentropico e privo di dissipazione. Esistecomunque un mezzo attraverso il quale l’onda si propaga il quale vibrandodissipa calore ed energia sottraendola all’onda stessa che quindi si attenua coltempo. Questo fenomeno e appunto denominato assorbimento. L’onda subi-sce quindi una diminuzione della sua ampiezza all’aumentare della distanzapercorsa di natura esponenziale. Questa affermazione e verificabile con ilprincipio di sovrapposizione: si ipotizza che un’onda di ampiezza unitaria,attraversando un determinato mezzo per una lunghezza L, vede dimezzarsila sua ampiezza. Allora supponendo l’onda formata dalla sovrapposizionedi due onde di ampiezza 1/2 questo principio deve valere anche per questedue onde che quindi nella stessa distanza L si ridurranno entrambe ad 1/4 .Se questo deve valere anche per la successiva distanza L che l’onda percorresi puo subito intuire che l’unica funzione che soddisfa questi prerequisiti eproprio l’esponenziale negativa dove f(a) · f(b) = f(a+ b).

Figura A.3: Decremento esponenziale dell’ampiezza d’onda dovuta alfenomeno dell’assorbimento

Ovviamente altri parametri d’onda come velocita e frequenza rimangonoinvariati. In molti casi, questo effetto e molto debole. Infatti le onde sonore

99

che si propagano in aria possono viaggiare per chilometri prima che l’am-piezza diminuisca fino a rendere l’onda impercettibile all’orecchio umano.Questo fenomeno insieme ad importanti fenomeni dissipativi che avvengo-no nella riflessione, consente la limitazione della crescita delle perturbazioni.Queste dissipazioni contribuiscono con le non linearita, che provocano scam-bi di energia fra i modi a diversa frequenza, alla formazione di un ciclo limiteavente tasso di crescita nullo.

100

Appendice B

Turbogas

Figura B.1: Esempio di turbogas

I turbogas sono impianti a combustibile fossile per la produzione di ener-gia molto piu leggeri e meno ingombranti degli impianti a vapore. Essi per illoro buon rapporto peso-potenza si prestano bene anche per la propulsioneaeronautica. Come per qualunque macchina termica, un’alta temperaturadi combustione produce un’alta efficienza, come dimostrato dal ciclo ideale

101

di Carnot. Il fattore limitante e la capacita dei materiali che costituisco-no la macchina (acciaio, super leghe a base di nichel o cobalto e materialiceramici) a resistere a temperature elevate sotto sforzo. Le palette delleturbine sono infatti uno degli esempi piu lampanti del fenomeno dello scor-rimento a caldo (creep). La ricerca si e percio concentrata verso le tecnicherivolte al raffreddamento dei componenti e verso nuovi materiali che consen-tono alle palette piu sollecitate di resistere continuativamente, a temperaturesuperiori a 1500C, alle sollecitazioni richieste.

Figura B.2: Fabbisogno energetico italiano in funzione delle ore del giorno(giornata lavorativa estiva). Verde: preventivo. Rosso: consuntivo.

Come visto in precedenza il problema della resistenza dei materiali non eil solo che si presenta per forti sollecitazioni termiche: ad alte temperature eanche favorito il formarsi di molecole di NOX fortemente inquinanti. E per-cio necessario contenere per vari motivi le temperature in gioco, diminuendoin maniera sensibile il rendimento dell’impianto. Infatti gli impianti a gashanno forti cadute di rendimento se non vengono fatti operare al massimodella potenza; e anche al massimo il loro rendimento globale non superaquello dei piu ingombranti impianti a vapore. Infatti se un impianto a va-pore puo avere un rendimento globale indicativamente di poco superiore al40% quello di un turbogas non supera il 35%. Questi motivi, unitamenteal fatto che il loro avviamento e molto piu rapido dei sistemi di generazio-ne a vapore, sono alla base delle loro modalita di utilizzo: essi infatti sonoimpiegati prevalentemente come impianti di punta, ovvero vengono accesisolo nelle ore del giorno in cui il fabbisogno energetico e massimo. Come sivede in figura (B.2) le ore in cui devono essere avviati gli impianti di puntasi trovano in mattinata e nel tardo pomeriggio mentre nelle restanti ore delgiorno il fabbisogno energetico e garantito dagli impianti di base come quellia vapore, di miglior rendimento ma con un avviamento piu difficile.

102

Visto il rendimento inferiore del ciclo Joule a causa soprattutto di tempe-rature di scarico molto elevate dell’ordine di 600C in molte applicazioni sicerca anche di recuperare questo calore allo scarico, altrimenti dissipato. Irigeneratori sono scambiatori di calore che trasferiscono il calore dei gas discarico all’aria compressa, prima della combustione nella caldaia a vapore.Questi sono detti impianti combinati. Nella configurazione del ciclo combi-nato, la caldaia a recupero trasferisce il calore ad un sistema che alimentauna turbina a vapore che opera generalmente in un ciclo Rankine, cioe senzasurriscaldamento del vapore. L’obbiettivo e quello di ottenere combinando idue cicli un ciclo complessivo il piu vicino a quello ideale di Carnot. Si sfrut-tano le alte temperature allo scarico del ciclo Joule del turbogas (ToppingCycle) che, scambiando calore con il ciclo sottoposto a vapore (BottomingCycle), opera un recupero di energia che altrimenti andrebbe perduta. Iltrasferimento di calore dal Topping al Bottoming avviene nella caldaia arecupero. Se si considera idealmente che non vi sia calore non utilizzato,ovvero calore che non si riesce a trasferire al ciclo sottoposto, allora si puodimostrare come il rendimento del ciclo combinato sia:

ηc = ηt + ηb − ηtηb

Presi valori di ηt = 0.3 e ηb = 0.4, non particolarmente elevati, si nota comeil rendimento del ciclo combinato sia nel complesso molto alto e pari a 0.58.Quindi per tenere il rendimento totale il piu elevato possibile si dovra farein modo di minimizzare la dispersione di calore allo scarico del turbogasrendendo il piu piccola possibile il ∆T di Pinch Point dato dalla differenzafra le temperature lato fumi e lato vapore all’inizio della vaporizzazione del-l’acqua. In figura (B.3) si vede come, a causa dell’andamento obbligato dellatemperatura nel lato dell’impianto a vapore, sia effettivamente impossibileannullare tale calore non utilizzato.

103

Figura B.3: Andamento delle temperature in funzione della potenza termica

In figura (B.4) vi e invece una rappresentazione qualitativa della sovrappo-sizione di un ciclo Joule per il gas e di un ciclo Hirn per il vapore. Si osservacome il ciclo Topping ceda il calore da 4 a 1 non all’ambiente esterno ma alciclo Bottoming da A a C.

Figura B.4: Diagramma T-s

104

Infine in figura (B.5) si nota come il calore dei fumi esausti scaricati dalturbogas raggiunga mediante una grande tubazione la caldaia dell’impiantoa vapore sulla destra.

Figura B.5: Impianto a ciclo combinato

Un’ulteriore modalita di recupero del calore rilasciato allo scarico di unaturbina a gas e la cogenerazione. In questo caso il calore recuperato serveproprio come calore e non per essere trasformato in un’altro tipo di energia,per esempio per la produzione di acqua calda.

Figura B.6: Schema di un processo cogenerativo

105

Appendice C

Equazioni a disposizione

Continuita∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~v) = 0

Quantita di moto In assenza di fenomeni dissipativi

ρ

(D~v

Dt

)= −~∇p+ ρ~g

Energia

ρTDs

Dt= q

Definizione di velocita del suono

c2s =

(∂p

∂ρ

)s

=γp

ρ= γRT

Gas perfettip = ρRT

γ =cpcv

R = cp − cv

GibbsTds = cpdT −

dp

ρse gas perfetto

106

Appendice D

Codice

D.1 Fiamma concentrata e sezione costante

detA.m: definisce la matrice dei coefficienti di Xf unc t i on det A=det (oma ,M1,T)

format longk=1.4; R=287;cp=1004; r=0; s=1/2+1/(1− r )−(1/(2∗(1− r ) ˆ 2 ) ) ; %r= blockage r a t i o =[0 0 .25 0 . 5 ]T01=288; T02=T∗T01 ; p2=101325; % T=[1 :10 ]

H=M1.ˆ2∗(1+(k−1).∗M1ˆ2/2)/(1+k .∗M1ˆ2)ˆ2 ;M2=sqr t (((1−2∗k∗T∗H)−sq r t ((1−2∗k∗T∗H)ˆ2−4∗T∗H∗(T∗H∗kˆ2−(k−1)/2)))/(2∗T∗H∗kˆ2−k+1)) ;

T1=T01/(1+(k−1)∗M1ˆ2/2) ; T2=T02/(1+(k−1)∗M2ˆ2/2) ;c1=sq r t (k∗R∗T1 ) ; c2=sq r t (k∗R∗T2 ) ;

e1=exp(− i ∗oma∗pi /(2∗(1+M1) ) ) ;e2=exp ( i ∗oma∗pi /(2∗(1−M1) ) ) ;e3=exp(− i ∗oma∗pi ∗c1 /(2∗ c2∗(1+M2) ) ) ;e4=exp ( i ∗oma∗pi ∗c1 /(2∗ c2∗(1−M2) ) ) ;e5=exp(− i ∗oma∗pi ∗c1 /( c2∗(1+M2) ) ) ;e6=exp ( i ∗oma∗pi ∗c1 /( c2∗(1−M2) ) ) ;

a1=M1+M1ˆ2/2+(k−1)ˆ(−1);a2=M1−M1ˆ2/2−(k−1)ˆ(−1);a3=M2+M2ˆ2/2+(k−1)ˆ(−1);a4=M2−M2ˆ2/2−(k−1)ˆ(−1);

X=[ (1+M1) −(1−M1) 0 0 0 0 ;(1+M1)∗ e1 −(1−M1)∗ e2 −(1+M2)∗ ( c1/c2 )∗ e3 . . .(1−M2)∗ ( c1/c2 )∗ e4 M2∗c1/c2 0 ;(1+2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e1 (1−2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e2 . . .−(1+M2)ˆ2∗ e3 −(1−M2)ˆ2∗ e4 M2ˆ2 0 ;(1+M1)∗ a1∗e1 (1−M1)∗ a2∗e2 −(1+M2)∗ a3∗e3∗c2/c1 . . .−(1−M2)∗ a4∗e4∗c2/c1 M2ˆ3∗ c2 /(2∗ c1 ) 1 ;0 0 e5 e6 0 0 ;−cp ∗(T02−T01)∗(1+M1)∗ e1 /( c1 ˆ 2 ) . . .cp ∗(T02−T01)∗(1−M1)∗ e2 /( c1 ˆ2) 0 0 0 1 ] ;

det A= det (X) ;

% Q ind ipendet to mass f low ra t e l a s t row%% 0 0 0 0 0 1 ] ;%

107

% Q propor t i ona l to mass f low ra t e l a s t row%% −cp ∗(T02−T01)∗(1+M1)∗ e1 /( c1 ˆ2) cp ∗(T02−T01)∗(1−M1)∗ e2 /( c1 ˆ2) 0 0 0 1 ] ;%% no drag f o r c e th i rd row%% (1+M1)ˆ2∗ e1 (1−M1)ˆ2∗ e2 −(1+M2)ˆ2∗ e3 −(1−M2)ˆ2∗ e4 M2ˆ2 0 ;%% drag f o r c e th i rd row%% (1+2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e1 (1−2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e2 −(1+M2)ˆ2∗ e3 −(1−M2)ˆ2∗ e4 M2ˆ2 0 ;%%%

dispersion.m: calcola gli autovalori di X

% This program so l v e s the problem :% F(X) = 0 ; with X complex ,% us ing a Newton−Raphson method .

M1= . . . ; T= . . . ;%=============================================================================% i n i t i a l i s a t i o n%=============================================================================t i c ,format longlambda = . 9 ; %r e l a xa t i on parameterminRe = . . . ; maxRe = . . . ; Nr = . . . ;minIm = . . . ; maxIm = . . . ; Ni = . . . ;[RE, IM]=meshgrid ( l i n s pa c e (minRe ,maxRe , Nr ) , l i n s pa c e (minIm ,maxIm , Ni ) ) ;RE=RE. ’ ; IM=IM . ’ ; omega = RE + i ∗IM ;X= [ ] ;

%=============================================================================% main loop%=============================================================================fo r n=1:Nr , f o r m=1:Ni ,

Fp(n ,m) = detA (omega (n ,m) ,M1,T) ;

X1 = omega (n ,m) ;X2 = X1+1e−1∗( ( rand−.5)+ i ∗( rand−.5) ) ; % i n i t i a l guessF1 = detA (X1 ,M1,T) ;F2 = detA (X2 ,M1,T) ;

e r r =1; whi le e r r >= 1e−10, %main loopdF = (F2 − F1 )/(X2 − X1 ) ;Xn = X2 − lambda∗F2/dF ;X1=X2 ; F1=F2 ;X2=Xn; F2=detA (Xn,M1,T) ;e r r = max( abs ( r e a l (F2 ) ) , abs ( imag (F2 ) ) ) ;end

%disp ( [ ’ e r r = ’ , num2str ( e r r ) , ’ X= ’ , num2str (Xn ) ] ) ;XX(n ,m) = X2 ;X = [X; Xn ] ;end , end ,cpu time=toc ;

d i sp ( [ ’ The cputime i s : ’ , num2str ( cpu time ) ] ) ,

%=============================================================================% POST PROCESS%=============================================================================om=0; f o r n=1: l ength (X) ,i f abs (om−X(n)∗ ones ( s i z e (om) ) ) > 1e−2, om=[om;X(n ) ] ; endend , om=om(2 : end ) ;[ eimag , i s ]= so r t ( imag (om) ) ;om = om( i s ) %SOLUZIONI ! !

108

contour f (RE, IM, log10 ( abs ( f l i p ud (Fp ) ) ) ) , co lorbar , hold onp lo t ( r e a l (om) , imag (om) , ’wo ’ , ’ markers ize ’ , 8 , ’ l inewidth ’ , 2 )s e t ( gca , ’ f o n t s i z e ’ , 1 8 , ’ l inewidth ’ , 1 )x l ab e l ( ’ Real \omega L/( c 1 \pi ) ’ ) , y l ab e l ( ’ Imag \omega L/( c 1 \pi ) ’ )

over all.m: script atto alla scelta dei parametri M1 e T per la rappresen-tazione delle autofunzioni. Nel codice sotto per esempio si rappresentano leautofunzioni al variare di M1 per T = 6.

% T=[3 : 6 ]T=6; n=1;

f o r M1= [ 0 . 0 1 : 0 . 0 1 : 0 . 1 5 ]%M1=0.01;

n=n+1;hold onom=f ind lowest omega (M1,T)vect oma (1 , n)=om;p lo t condot to (om,M1,T) ;

end

find lowest omega.m: rielaborazione come funzione del file ’disper-sion’ per ottenere in output il valore di ω a piu bassa frequenza

f unc t i on om = f ind lowest omega (M1,T)%=============================================================================% i n i t i a l i s a t i o n%=============================================================================t i c ,format longlambda = . 9 ; %r e l a xa t i on parameterminRe = . . . ; maxRe = . . . ; Nr = . . . ;minIm = . . . ; maxIm = . . . ; Ni = . . . ;[RE, IM]=meshgrid ( l i n s pa c e (minRe ,maxRe , Nr ) , l i n s pa c e (minIm ,maxIm , Ni ) ) ;RE=RE. ’ ; IM=IM . ’ ; omega = RE + i ∗IM ;X= [ ] ;

%=============================================================================% main loop%=============================================================================fo r n=1:Nr , f o r m=1:Ni ,

Fp(n ,m) = detA (omega (n ,m) ,M1,T) ;

X1 = omega (n ,m) ;X2 = X1+1e−1∗( ( rand−.5)+ i ∗( rand−.5) ) ; % i n i t i a l guessF1 = detA (X1 ,M1,T) ;F2 = detA (X2 ,M1,T) ;

e r r =1; whi le e r r >= 1e−10, %main loopdF = (F2 − F1 )/(X2 − X1 ) ;Xn = X2 − lambda∗F2/dF ;X1=X2 ; F1=F2 ;X2=Xn; F2=detA (Xn,M1,T) ;e r r = max( abs ( r e a l (F2 ) ) , abs ( imag (F2 ) ) ) ;end

%disp ( [ ’ e r r = ’ , num2str ( e r r ) , ’ X= ’ , num2str (Xn ) ] ) ;XX(n ,m) = X2 ;X = [X; Xn ] ;end , end ,cpu time=toc ;

%disp ( [ ’ The cputime i s : ’ , num2str ( cpu time ) ] ) ,

109

%=============================================================================% POST PROCESS%=============================================================================om=0; f o r n=1: l ength (X) ,i f abs (om−X(n)∗ ones ( s i z e (om) ) ) > 1e−2, om=[om;X(n ) ] ; endend , om=om(2 : end ) ;[ eimag , i s ]= so r t ( imag (om) ) ;om = om( i s ) ;

plot condotto.m: rielaborazione come funzione del file ’detA’ per rap-presentare alternativamente tutte le autofunzioni

f unc t i on Coef f=p lo t condot to (oma ,M1,T) ;format longk=1.4; R=287; cp=1004; r=0; %r= blockage r a t i o =[0 0 .25 0 . 5 ]s=1/2+1/(1− r )−(1/(2∗(1− r ) ˆ 2 ) ) ;T01=288; T02=T∗T01 ;H=M1ˆ2∗(1+(k−1)∗M1ˆ2/2)/(1+k∗M1ˆ2)ˆ2 ;M2=sqr t (((1−2∗k∗T∗H)−sq r t ((1−2∗k∗T∗H)ˆ2−4∗T∗H∗(T∗H∗kˆ2−(k−1)/2)))/(2∗T∗H∗kˆ2−k+1)) ;

PR2=101325; PR1=PR2∗(1+k∗M2ˆ2)/(1+k∗M1ˆ2 ) ;TM1=T01/(1+(k−1)∗M1ˆ2/2) ; TM2=T02/(1+(k−1)∗M2ˆ2/2) ;RHO1=PR1/(R∗TM1) ; RHO2=PR2/(R∗TM2) ;c1=sq r t (k∗R∗TM1) ; c2=sq r t (k∗R∗TM2) ;

e1=exp(− i ∗oma∗pi /(2∗(1+M1) ) ) ;e2=exp ( i ∗oma∗pi /(2∗(1−M1) ) ) ;e3=exp(− i ∗oma∗pi ∗c1 /(2∗ c2∗(1+M2) ) ) ;e4=exp ( i ∗oma∗pi ∗c1 /(2∗ c2∗(1−M2) ) ) ;e5=exp(− i ∗oma∗pi ∗c1 /( c2∗(1+M2) ) ) ;e6=exp ( i ∗oma∗pi ∗c1 /( c2∗(1−M2) ) ) ;

a1=M1+M1ˆ2/2+(k−1)ˆ(−1);a2=M1−M1ˆ2/2−(k−1)ˆ(−1);a3=M2+M2ˆ2/2+(k−1)ˆ(−1);a4=M2−M2ˆ2/2−(k−1)ˆ(−1);

X=[ (1+M1) −(1−M1) 0 0 0 0 ;(1+M1)∗ e1 −(1−M1)∗ e2 −(1+M2)∗ ( c1/c2 )∗ e3 (1−M2)∗ ( c1/c2 )∗ e4 M2∗c1/c2 0 ;(1+2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e1 (1−2∗M1∗ s+M1ˆ2∗ s )∗ e2 −(1+M2)ˆ2∗ e3 −(1−M2)ˆ2∗ e4 M2ˆ2 0 ;(1+M1)∗ a1∗e1 (1−M1)∗ a2∗e2 −(1+M2)∗ a3∗e3∗c2/c1 . . .−(1−M2)∗ a4∗e4∗c2/c1 M2ˆ3∗ c2 /(2∗ c1 ) 1 ;0 0 e5 e6 0 0 ;−cp ∗(T02−T01)∗(1+M1)∗ e1 /( c1 ˆ2) cp ∗(T02−T01)∗(1−M1)∗ e2 /( c1 ˆ2) 0 0 0 1 ] ;

% Q independent to mass f low ra t e l a s t row%% 0 0 0 0 0 1 ] ;%% Q propo r t i ona l to mass f low ra t e l a s t row%% −cp ∗(T02−T01)∗(1+M1)∗ e1 /( c1 ˆ2) cp ∗(T02−T01)∗(1−M1)∗ e2 /( c1 ˆ2) 0 0 0 1 ] ;

[ L ,U]= lu (X) ;U nul lo=U(6 ,6 )Condizionamento=cond (U)

c f=so lve U (U) ;

A=c f ( 1 , 1 ) ;B=c f ( 2 , 1 ) ;C=c f ( 3 , 1 ) ;D=c f ( 4 , 1 ) ;S=c f ( 5 , 1 )/ (RHO2∗c2 ˆ2∗ exp(− i ∗oma∗pi ∗c1 /(2∗M2∗c2 ) )/ cp ) ;Q=c f (6 ,1 )∗ c1 ;

S o l u z i on e nu l l a=X∗ c f

110

x = [ 0 : 0 . 0 1 : 0 . 5 ] ;

p1=A∗exp(− i ∗oma∗x .∗ pi /(1+M1))+B∗exp ( i ∗oma∗x .∗ pi /(1−M1) ) ;u1=(A∗exp(− i ∗oma∗x .∗ pi /(1+M1))−B∗exp ( i ∗oma∗x .∗ pi /(1−M1) ) ) / (RHO1∗c1 ) ;rh1=p1/( c1 ˆ2 ) ;t1=p1/(RHO1∗cp ) ;

portata1=RHO1.∗ u1+rh1 .∗M1∗c1 ;qm1=p1+rh1 .∗ (M1∗c1 )ˆ2+2∗RHO1∗M1∗c1 .∗ u1 ;en1=cp∗T01∗(RHO1.∗ u1+rh1 .∗ c1∗M1)+RHO1∗c1∗M1∗( cp .∗ t1+M1∗c1∗u1)+Q;hold on

p lo t (x , abs ( portata1 ) , ’ y ’ ) ;%p lo t (x , abs (qm1) , ’ r ’ ) ;%p lo t (x , abs ( en1 ) , ’ g ’ ) ;

%p lo t (x , abs ( p1 ) , ’ b ’ ) ;%p lo t (x , abs ( u1 ) , ’ r ’ ) ;%p lo t (x , abs ( rh1 ) , ’ k ’ ) ;%p lo t (x , abs ( t1 ) , ’m’ ) ;

x = [ 0 . 5 : 0 . 0 1 : 1 ] ;

p2=C∗exp(− i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /( c2∗(1+M2)))+D∗exp ( i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /( c2∗(1−M2) ) ) ;u2=(C∗exp(− i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /( c2∗(1+M2 ) ) ) . . .−D∗exp ( i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /( c2∗(1−M2) ) ) ) / (RHO2∗c2 ) ;rh2=p2/( c2ˆ2)−(S∗RHO2∗exp(− i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /(M2∗c2 ) ) ) / cp ;t2=p2/(RHO2∗cp)+(S∗c2 ˆ2∗ exp(− i ∗oma∗x .∗ pi ∗c1 /(M2∗c2 ) ) ) / ( ( k−1)∗cp ˆ2 ) ;

portata2=RHO2.∗ u2+rh2 .∗M2∗c2 ;qm2=p2+rh2 .∗ (M2∗c2 )ˆ2+2∗RHO2∗M2∗c2 .∗ u2 ;en2=cp∗T02∗(RHO2.∗ u2+rh2 .∗ c2∗M2)+RHO2∗c2∗M2∗( cp .∗ t2+M2∗c2∗u2 ) ;

p l o t (x , abs ( portata2 ) , ’ y ’ )%p lo t (x , abs (qm2) , ’ r ’ ) ;%p lo t (x , abs ( en2 ) , ’ g ’ ) ;

%p lo t (x , abs ( p2 ) , ’ b ’ ) ;%p lo t (x , abs ( u2 ) , ’ r ’ ) ;%p lo t (x , abs ( rh2 ) , ’ k ’ ) ;%p lo t (x , abs ( t2 ) , ’m’ ) ;

solve U.m: risolve con una decomposizione LU e una sostituzione al-l’indietro il sistema X · Cf = 0

f unc t i on c f = so lve U (X)

%The program so l v e s a l i n e a r s i s tem X∗ c f=0 where X i s a s i n gu l a r upper t r i a n gu l a r%matrix found with lu decomposit ion%The l a s t value o f the s o l u t i on i s a r b i t r a r i l y chosen to be unity

d=s i z e (X) ;r=d ( 1 , 2 ) ;c f ( r ,1 )=1;

f o r n=[( r−1):−1:1]s=0;

f o r k=[n+1: r ]s=s+X(n , k )∗ c f (k , 1 ) ;

end

c f (n,1)=(− s )/ (X(n , n ) ) ;

end

111

D.2 Fiamma concentrata e sezione variabile

Base.m: Risoluzione del moto base.

% Make a s t a r t i n g guess at the s o l u t i onx0 = [ 10ˆ5 ; 10ˆ5 ; 3 ; 3 ; 3 ; 1 ; 1 ; 1 ; 300 ; 2∗10ˆ7 ] ;

% Option to d i sp l ay outputopt ions=optimset ( ’ Display ’ , ’ i t e r ’ ) ;

% Cal l opt imize r[ x , f v a l ] = f s o l v e (@myfun , x0 , opt ions ) ;

m=0.05;T1=300;A1=0.0129;L1=1.7;A2=0.00142;L2=1.7345;A3=0.00385;L3=2.7345;

tau =0.006;

T3=2000;P3=101000;

R=287;cp=1004;g=1.4;

P1=x (1)P2=x (2)P3U1=x (3)U2=x (4)U3=x (5)Rh1=x (6)Rh2=x (7)Rh3=x (8)T1T2=x (9)T3Qa=(A3∗Rh3∗U3∗( cp∗T3+U3ˆ2/2)−A2∗Rh2∗U2∗( cp∗T2+U2ˆ2/2))/A3

c1=sq r t ( g∗R∗T1)c2=sq r t ( g∗R∗T2)c3=sq r t ( g∗R∗T3)

myfun.m: Definizione della matrice del moto base.

f unc t i on F = myfun (x )

m=0.05;T1=300;A1=0.0129;L1=1.7;A2=0.00142;L2=1.7345;A3=0.00385;L3=2.7345;

tau =0.006;

T3=2000;P3=101000;

R=287;cp=1004;g=1.4;

112

F = [ x (6)∗x (3)∗A1 − x (7)∗x (4)∗A2 ; %mass 1−2x (7)∗x (4)∗A2 − x (8)∗x (5)∗A3 ; %mass 2−3m − A3∗x (8)∗x ( 5 ) ; %portata in 3x (1) − x (6)∗R∗T1 ; %PGE1x (2) − x (7)∗R∗x ( 9 ) ; %PGE2P3 − x (8)∗R∗T3 ; %PGE3cp∗T1−cp∗x(9)+(x(3))ˆ2/2−(x ( 4 ) ) ˆ2/2 ; %energy 1−2x(10)−m∗( cp∗T3−cp∗x(9)+(x(5))ˆ2/2−(x (4 ) )ˆ2/2)/A3 ; %energy 2−3x (2 )∗ ( x (6 ) )ˆ g−x (1 )∗ ( x (7 ) )ˆ g ; %i s o en t r op i c aA3∗(P3−x(2))+A3∗x (8 )∗ ( x(5))ˆ2−A2∗x (7 )∗ ( x ( 4 ) ) ˆ 2 ] ; %coanda

plot detVc.m risoluzione grafica del problema detX = 0

Nr = . . . ; %at l e a s t 200Ni = . . . ; %at l e a s t 200[ x1 , x2 ] = meshgrid ( l i n s pa c e (0∗ pi ,1200∗ pi , Nr) , l i n s pa c e (−1200 ,1200 ,Ni ) ) ;wait=waitbar (0 , ’ Ca l cu la t ing . . . . . . ’ ) ;f o r i r e =1: s i z e ( x1 ) , waitbar ( i r e /Nr ) , f o r i im=1: s i z e ( x2 )

om=x1 ( i r e , i im)+ i ∗x2 ( i r e , i im ) ;

m=0.05;A1=0.0129;L1=1.7;A2=0.00142;L2=1.7345;A3=0.00385;L3=2.7345;R=287.04; cp =1004.64; g=1.4;

k = . . . . ; %

P1 =1.0209 e+005;P2 =1.0157 e+005;P3 =101000;U1 =3.2689;U2 =29.8044;U3 =73.8074;Rh1 =1.1857;Rh2 =1.1814;Rh3 =0.1760;T1 =300;T2 =299.5629;T3 =2000;Qa =2.2202 e+007;c1 =347.1887; c2 =346.9357; c3 =896.4374;M1=U1/c1 ; M2=U2/c2 ; M3=U3/c3 ;tau =0.006; %may assume d i f f e r e n t va lues

% x=L 1e1d=exp(−( i ∗om∗L1 )/( c1∗(1+M1) ) ) ;e1u=exp ( ( i ∗om∗L1 )/( c1∗(1−M1) ) ) ;e1s=exp(−( i ∗om∗L1)/U1 ) ;

e2d=exp(−( i ∗om∗L1 )/( c2∗(1+M2) ) ) ;e2u=exp ( ( i ∗om∗L1 )/( c2∗(1−M2) ) ) ;e2s=exp(−( i ∗om∗L1)/U2 ) ;

%x=L 2



%x=L 3


%d e l a y

et=exp(− i ∗om∗ tau ) ;

X=[ %mass f low ra te 1−2A1∗(1+M1)∗ e1d/c1 A1∗(M1−1)∗e1u/c1 −A1∗U1∗Rh1∗ e1s /cp−A2∗(1+M2)∗ e2d/c2 −A2∗(M2−1)∗e2u/c2 A2∗U2∗Rh2∗ e2s /cp0 0 0 0 ;%mass f low ra t e 2−30 0 0A2∗(1+M2)∗ e3d/c2 A2∗(M2−1)∗e3u/c2 −A2∗U2∗Rh2∗ e3s /cp−A3∗(1+M3)∗ e4d/c3 −A3∗(M3−1)∗e4u/c3 A3∗U3∗Rh3∗ e4s /cp 0 ;%energy 1−2

113

A1∗(1+M1)∗ (M1+M1ˆ2/2+(g−1))∗ e1d∗c1 A1∗(1−M1)∗ (M1−M1ˆ2/2−(g−1))∗ e1u∗c1A1∗Rh1∗U1ˆ3∗ e1s /(2∗ cp ) −A2∗(1+M2)∗ (M2+M2ˆ2/2+(g−1))∗ e2d∗c2−A2∗(1−M2)∗ (M2−M2ˆ2/2−(g−1))∗ e2u∗c2 −A2∗Rh2∗U2ˆ3∗ e2s /(2∗ cp )0 0 0 A2 ;%i s o e n t r 1−2( g /(Rh1∗c1ˆ2)−1/P1)∗ e1d ( g /(Rh1∗c1ˆ2)−1/P1)∗ e1u −g∗ e1s /cp( g /(Rh2∗c2ˆ2)−1/P2)∗ e2d ( g /(Rh2∗c2ˆ2)−1/P2)∗ e2u −g∗ e2s /cp0 0 0 0 ;%coanda 2−30 0 0(−A3−A2∗(M2ˆ2+2∗M2))∗ e3d (−A3−A2∗(M2ˆ2−2∗M2))∗ e3u A2∗Rh2∗U2ˆ2∗ e3s /cpA3∗(1+M3)ˆ2∗ e4d A3∗(1−M3)ˆ2∗ e4u −A3∗Rh3∗U3ˆ2∗ e4s /cp 0 ;%energy 2−30 0 0A2∗(1+M2)∗ (M2+M2ˆ2/2+(g−1))∗ e3d∗c2 A2∗(1−M2)∗ (M2−M2ˆ2/2−(g−1))∗ e3u∗c2A2∗Rh2∗U2ˆ3∗ e3s /(2∗ cp ) −A3∗(1+M3)∗ (M3+M3ˆ2/2+(g−1))∗ e4d∗c3−A3∗(1−M3)∗ (M3−M3ˆ2/2−(g−1))∗ e4u∗c3 −A3∗Rh3∗U3ˆ3∗ e4s /(2∗ cp ) A3 ;%choked i n l e t1+M1 −(1−M1) −(Rh1∗M1)/ cp 0 0 0 0 0 0 0 ;%no energy perturb%1/P1+(g−2)/(Rh1∗c1 ˆ2) 1/P1−g /(Rh1∗c1 ˆ2) 1/cp 0 0 0 0 0 0 0 ;0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ;%no pre s su r e pert0 0 0 0 0 0 e5d e5u 0 0 ;%heat r e l e a s e0 0 0 k∗Qa∗A3∗(M2+1)∗ et ∗e2dk∗Qa∗A3∗(M2−1)∗ et ∗e2u −k∗Qa∗A3∗U2∗Rh2∗c2∗ et ∗ e2s /cp0 0 0 Rh2∗U2∗c2 ] ;DET( i r e , i im)=det (X) ;end

endc l o s e ( wait )

p r ea l e=r e a l (DET) ; pimag=imag (DET) ;x1Hz=x1/2/ pi ; x2rev=−x2 ;

f i g u r e ( 1 00 ) ; c l f[ Con , h ] =contour (x1Hz , x2rev , prea le , [ 0 , 0 ] , ’ Color ’ , ’ r ’ ) ; colormap coo l ; hold on[ Con1 , h1 ] =contour (x1Hz , x2rev , pimag , [ 0 , 0 ] , ’ Color ’ , ’ b ’ ) ; hold on

%Dowling e Stow%K=1om r=[30.5988642230253 101.6747547754259 164.259163655137201.739803820341 301.791430046464 308.915849251420 396.422302529685420.893133711926 496.473928755808 514 .130098089830 ] ;om i =[21.2734157034675 −10.3886010362694 113.294141092069−4.31446791550421 71.3969709047429 60.7313670785173 −136.893184535672−41.2809884416102 −61.1817457154245 35 .3826225587884 ] ;p l o t ( om r , om i , ’ k+ ’)%K=0om r=[23.6655644780350 106.282475200756 170.335380255078201.741615493623 293.136513934813 340.609352857818 359.801606046292420.424185167690 526.249409541804 512 .778932451582 ] ;om i =[−102.144120320635 −19.6881249483514 −600.435418560450−12.1353607139906 −51.0739608296835 −121.630113213784 −520.359804974795−28.3155111147839 −491.169820675977 −11.2094868192711] ;p l o t ( om r , om i , ’ ko ’ )

confronto.m: Confronta i risultati con [3].

om r =[22.71 112 .7 181.91 206.35 294.96 323.75 354.86 419.97 517.38 529 . 49 ;55 .83 112.27 188.386 206.27 278.55 312.08 378.31 420.75 517.25 537 . 66 ;61 .31 110.52 192.29 206.07 270.27 311.72 382 .4 420.84 516.45 541 . 3 ;62 .85 110.17 195.29 205.44 267.64 311.04 384.77 420.63 514.55 544 . 38 ;66 .66 108.12 201.56 204.14 261.92 309.98 389.98 417.64 511 .7 550 . 16 ;70 .52 105.59 209.48 201.95 256 .1 308 .8 401.03 408.12 510.43 5 5 4 . 4 5 ] ;

om i=[−218.9 −51.5 −662.45 −33.97 −132.5 −201 −538.5 −43.15 −26.7 −695.8;−115.2 −33.5 −364.3 −35 −142.4 −95.3 −177.7 −29.45 −34.2 −324.4;−35.45 −22.4 −268.7 −36 −91.9 −62.81 −81.3 −7.8 −42.8 −184.4;6 .38 −9.44 −230.27 −30.66 −58.04 −43.78 −42.61 12 .97 −39.49 −117.31;80 .57 3 .28 −174 −33.5 5 .63 −25.65 −21.65 −42.17 −32.6 −17.07;168 .3 7 .77 −145.55 −25.1 88 .45 −13.7 114 .6 45 .23 −20.99 7 9 . 1 5 ] ;

114

f o r c = [1 : 10 ]p l o t ( om r ( : , c ) , om i ( : , c ) , ’ k : ’ )hold onp lo t ( om r (1 , c ) , om i (1 , c ) , ’ go ’ )p l o t ( om r (4 , c ) , om i (4 , c ) , ’ c+ ’)end

om r=[23.6655644780350 106.282475200756 170.335380255078201.741615493623 293.136513934813 340.609352857818 359.801606046292420.424185167690 526.249409541804 512.778932451582 ;

30.5988642230253 101.6747547754259 164.259163655137201.739803820341 301.791430046464 308.915849251420 396.422302529685420.893133711926 496.473928755808 514 .130098089830 ] ;

om i =[−102.144120320635 −19.6881249483514 −600.435418560450−12.1353607139906 −51.0739608296835 −121.630113213784 −520.359804974795−28.3155111147839 −491.169820675977 −11.2094868192711;

21.2734157034675 −10.3886010362694 113.294141092069−4.31446791550421 71.3969709047429 60.7313670785173 −136.893184535672−41.2809884416102 −61.1817457154245 35 .3826225587884 ] ;

f o r c = [1 : 10 ]p l o t ( om r ( : , c ) , om i ( : , c ) , ’ k .− ’)

p l o t ( om r (1 , c ) , om i (1 , c ) , ’ o ’ )p l o t ( om r (2 , c ) , om i (2 , c ) , ’ rx ’ )end

x l abe l ( ’ Frequency , Re(\omega/2\ pi ) [ Hz ] ’ )y l ab e l ( ’ Growth Rate , −Im(\omega ) [ s ˆ−1 ] ’)

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Documents

Instabilità termoacustiche in un condotto