5.Instabilità S.L.U

8/16/2019 5.Instabilità S.L.U.

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P*ffmi

per

la

rapida

verifica

di

elementi

snelli

di

c.a.

presso:

rnrlessr

Prof.

Ing.

Pier

Paolo

Diotallevi

(o),

Dott.

Ing.

Lorenzo

Ricci

(o.*)

1.

Preméssa

..

La vérifica

di

elementi

snelÌi

di c:a.,

per

i

quali

non

sia

leciio

tra_

sóurare gli

effetti

del

secondo

ordine

(òome'si

verifica

"d

.r.-pio

aiiche per

struttúre

in

zona

sismica

in

conseguenza

di

.ileuanti

sio-

stamenti

-oiizzòntali),

può

essere

condotta

coi

metodi semplifi

cativi,

fra

i

quali

il

metodo

delÌa

ocolonna

modelloo

[],

l3],

controllando

l.'equilibrio

Blcibale

con

I'analisi

dello

stato

di

solllcitazlone

soltanto

in.àlcune.sezioni

critiche.

euesto

ed

altri

metodi

più

laboriosi

[d

richiedono

genèralmente

h

"onor."rr."

,"i d;;;;r--a

momento_

curvatura per

la sezione

critica,

considerando la

f."..nzu

dello sfor-

zo

normale.

Numerosi

sono

i riferimenti

per

la

costruzione

di

tali

.liagrammi

[4,5,

8,9,

11,

14,

ló]

e rr,r-".à..

sono anche

le

tabelle

ed

i

grafici.già

disponibili

che

forniscono

le

curve

di

interazione

M_

I.Yq

O"r

la.ùerifica

suddetta

e

per

poter

operare

in

maniera

più

iapida.si

è

pensaio

di

integrare

rrà

toro

dette

eraborazioni

costr.uen-

do

curve.di

intèrazione

M-N

all,interno

clelle

quali

,ono

,lpo.tnt"

curve

a.curvatura

costante per

l,elemento

strutturàle:

con

tali

dia-

grammi

è

possibile

dedurre

rapidamente,

e

con

ottima

precisione,

il

diagramma

M-1

della

sezione

per

qualunque

valore

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N

con

una

semplice

costruzioné

grafica.

La

potenzialìta

dei

diagram_l

e

p"ì

fîTT

"1,"

amplifi

cata

dalla

formulazione

adim

ensio.,àt..

N"t

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_

tosi

fa-rà

comlleto

riferimentb

àil'Eurocodice

2

che

ortre a

richiJde-

''

re

verifiche

del

tipo

sopracitato

è

stato assunto

come

riferinrenr.o

per

la

quantificazióne

delle

caratteristiche

dei

materiari

e

dei

coefficienri

òhe

ne'fissano

il

comportamento.

?.

RichiaqÍ

iui rnetodir

della

colonna

modello

..'

Pèr

la

geneiica

asta

iloldta.riportata

nello

schema

di

figura

1

I

esp5edsio.ne

del inomenro

fl ettente,,.r."ao-"Ài.

^àegti

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ordine,può'esserèpostanellafdamà:

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MI(1 Mr(x)=Ifx+Pe1+Py(x)

ot

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1t4tl(1)=Py(x)

esprime

appunto gli

effetti

del

II

ordine.

poiché

le

due

componenti

del

momento

(Mr

ed

Àr1rr)

raggiungono

il

valore

massimo

entrambe

contemporàneamente

nella

a"rló.r"

ii

irr"uat.o,

per

essa

si

.verifica

la

condizioni

di

resistenza

che

assicura

anche

iequilibrio

dell'elemento.

Ma mentre

MI

è

immediat"-"r,r"

l.i.oi.bile,

per

ottene-

re

Mrr'occòrre

definire

l'eccentricita

der

II

ordine

"r=u

che

resta

indivi-

dgata

quando

si

conosca

Ia

deformata

d"ll;

.;;;;;.

rporizzando

Lìna

deformata

sinusoidale del

tipo.y(x)

= v.sen

rDíll,

lon

t

àt,"rro

effetiva

delia

colonna,

l=2h

luce

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à-i

ìnflessi";"

";:yl;t;posramenro

delta

sommiià

della

colonna,

la variabile

v

risulta

"ri"É

iini"o parametro

geometrico

necessario

per

definire

la

deformata

flessionale

dll

pilastro.

La.curvatura

della

generica

sezione

di

ascissa

x vale

dunque:

ì

y(x)

t

--

X(h)=X"=vnz/12,

(t)

vaìore

dipendente

iinearmenle

da

v.

La

condizione

di equilibrio

alll

base fra

nlomento

flettente

este:ro

ed.

azion"

inter,r"

jdunque:

(,6)=Mr+pv=(Hh+pe1

)+pv

che,

mccliante

la

(l)

può

essere

posto

nella

lbrma:

M(1o)=Mlo+14rro=Hh+per+

Sn

rf.

(2)

Nel.djagramma

M-1

il

nomento

del

II

ordine

è

rappresenrarc

quindi

da

una

retta

che

parte

dall,origine.a

i"

.o"ff-i"i"nte

angolare

4

-

h2P

(fig.

2).

Noto

per

ìa

sezione

critjca

il diagmmma

M_I

e rnacciata

la

retta,

pas.

sante per

lbrigine,

che

rappresenrà

$i

effetti

à.i

Ii-o.ai".,

ra

massima

1(x)

=

-y"(x)

=

r412l12

sselrx/1

e

aila

base

(x=h)

si

ha,

nelÌa

sezione

critica

d'incastro:

_:-__--:-

_

(l)

Professore

associato

di

progetti

di

strutture,

Istitu[o

di

Tecnica

delle

costru-

zÍoiri,

Univeisita

di Bologna.

("*)

Irigelnere.

660

Lindustria

iraliar:a del

Cemenro

l0llgg4


15/21


16/21

e-

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syr

(

0

t.lt,(ero


17/21

SDIESI

DELLE

FAI

I5EGUITE

NEt

DT'E

PRSMMXI

CJlnATîERlZZr.}ro

LA

sEzlONE

(s

P^RAMETRI

rN

lNcRrsso

)

PER

@NI

NSSATO

VALORE

E.

DI

AL VAhRE

DELLA

er

SI CALCOII,NO

LE

gLLEcraTrÒNr

RACCOLTA

DU

VAIORI

CJ,î

tN MATRJCT

R(N.ll

tcox

x

vammrri

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MATRJCE

A

l,{,ATilcE}

TANTE

euA}rî

soNo

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vrrorr

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ITI.SIJLTATI

SONO

MEMORJZZATI

fN

I'N ELE

DI USCIIA

IN

Ctn PER

@NI

VALORE

DI

è

E

SCRjTIA

UNA

MATRICÉ

R(NJ),

tN

CUII

.NELI.I,

PRIIIA

COLONNA

St

RAqEOLC,ONO

LE

CURVATURE

C

.NELLA

SECONDA

COLONNA

$ NACC€LCONO

CU

SFORZT

NORMALI

V

.NELLA

TERZA

C15LONXA

SI

RACCìoL@NO

t

MOMENTI

T

rNrzrALMErrrEALLocATr

m búi-u,rtiùb

nv-nx

3-T.1c.À

E

MEMoRlzzAzoÀT

DELLE

copprE;iEòil-E;-:;;;

ffXp-^,-:I"nz_9

-_..ì{oRMALE

.

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rN

'M^:rRlÈi',

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iúi

|l:?..1-Fs{N2r)--.,Rsrqxro:Éi

rcrnixiro

^iio*Hî.Èi^*

Ì/

,:pr,o_ r0

CURVE

MoMElrîGcrJRvÀruM pEn

nsiini-sÈnià

ORMI.L

V

rucE-RCA

E Mr.l'{OÌ.rzzrzloNE

DELLE

COPHE

Dr VALOR

(V.I)

o$;

IAVq

NORMALE

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FLETIENTE

D{

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'il;frCi

Rr(Nlr),È(N2JI---,R2t(NxJ),pn

UX

xuMERo

-M^Éì"o

-òi'-i

I$Jlj_c1..:..9ygpr

^r

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A

cuRv^rui;'dós;/sr;

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yALoRl

FrNArt

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riAiÉcE

Rr

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Ìi:i$ffis.tif#iila;fm;îff

"?

t,ytgîLo:M._ lnlsormrlutrLizzAreprnitmÉiij.ó^rr"iiì

nT

p .uscrre

nrxne

qu*n

uir'i;ioìi#;;Èfrffif,d#$ii

DAL

SECONDO

PROGRAMMA

(MATUT)

descritta

in

prccedenza,

il

secondo

programma,

di libreria

corrente,

ha

permesso,

con

opportune

lntegriziÀi

*ess"

o

prr.,to

per

lo

sco-

po,

il

tracciamento

dei

diagramÀi

conclusivi.

N"fL

fig;"

f2

"

ù

sono

riportati

gli

schemi

dj

elaborazionè

per

ottenere

i

aì"g.._*l;

,ì

ricorda che

gli

integrali,

riportati

nelle equazionì

ài

equilibrio,

sono

stati

calcolati

con

subroutine

che

sfrutia

l,algorìtmà

t

è;;;;;

composito.

5.

Illustràzioni

di

alcuni

diagrammi

-

a/

Nelle

hgure

74-24

sono

riportati,

a

titolo

esemplificativo,

alcuni

diagrammi

ottenuti

con

il

proiedimento

illustrato.-èiur"un

diagram_

ma

viene

costruito

facendo

riferimento

a

cinque

parametri:

tipo

di

acciaio,.

classe

di

resistenza

del

calcestruzzo,

p"a"Jrrtrr^t"

.meccanica

d'armatura

,V,,rapporto

fra

armatura

compressa

","*

U;i;;;

rnrcnsrone

dcr

coprifel'ro

D

(espressa

anch'essa

in

forma

adimensio_

nale).

Nei

primi

esempi

riportàti (fig"re

r+_iejsifa

riferimento

a

sezioni

rettangolari

con

armatura

doppia

e

simmetrica,

mentre

negli

altri

(figure

20-21)

si è assunto

U variabile,

In

tutti

i

di"g.u_rnì

p?i

il

dominio

della pressoflessione

è

limitato

"o"""*io"uf.rrente

da

una

retta

verticale tratteggiata

per

tenere conto, nei casi

di

sezione

inte_

ramente

compressa,

della

maggiorazione

del

coefficiente

di

sicurez_

za-parziale

7"

(adottata

pari.al

2So/o).

Nei

diagraÀmi,

il

semipiano

N">0

rappresenta.il

carnp_o

della

pressofle"slo"n"

_.r,tre

quello

con

N*


18/21

o-7

o.6

o.5

o.5

o.2

o.t

sFOAzo

soRu^LE

^ft

xax)aZa-s.r"at

14.

*

4

6

d

16..

I

'È

sÈonzo

NoRvA E

N'(x.-x,a/e.e-r"a)

F.B

J&. Fct-25.

O-52.

u-O.

wEo

7

F.6

&. ÉctÈ25.

OESZ.

UEO.5I

w-O.7

o.4

o

o.6

.

sFoRzoNOR ̂ LENr(N N.d/6_H.Fcd)

Lindustriaitaliamdel.Cemento

1o/19g4

$oRZo

rcRv^LE

i

(N'-x'.


19/21

attinge al massimo

delle

deformazioni

per

i

due materiali

(rottura

bilanciata).

Questo

punto

è

immediatamente

individuabile

nei dia-

grammi

dal

simbolo

*.

p"r

iutte le altre

curve aventi

c=cost

i

pun-

ti estremi

nei

diagrammi

sono

individuati

dai simboli

(o'

e

(+D

oltre

al valore

della corrisponaente

curvatura

adimensionalizzata.

A completamento

dei

grafici,

è

stata

riportata

anche

la curva

iinrite

elastica,

permettendo

così

di

poter

inilividuare

all'interno

del

dominio

elastoplastico

il

più

ristretto

dominio elastico.

Grazie

a

questa

curva,

i

diagrammi possono

fornire

quindi

anche

informa,

zioni

sulla

duttilità

della sezione,

non

evidenziabili tramite

il

solo

dominio

elastoplastico.

Sono

disponibiìi quindi

tutti

gli

elementi

necessari per

Ia

costruzione dei diagrammi momento-curvatura per

asségnato

N*

che

permettono

la verifica

di

resistenza

ailo

stato

iimite

ultimo per

instabilita

condotta

ad esempio,

come

già

detto,

con il

metodo della

colonna

modello.

Il

programma

di caìcolo

permette.di

costruire

direttamente

i

dia-

grammi

a

curvatura

positiva

costante

e

questo

significa

anche

con-

siderare

il

semipiano ad

M*>0, nel

caso

di armatura simmetrica.

Nei diagrammi

relativi a

sezioni

con

aimatura

doppia

e simmetrica

Ia curva a curvatura

c=cost=0

coincide con

un tratto

dell'asse

delle

ascisse

(N*)

come

risulta

evidente

dal fatto

che in

tali ipotesi

,il

momento

flettente risulta

nullo

e

lo sforzo normale centrato.

Volendo

completare.i diagrammi anche

con la

parte

a curvatura

costante negativa,

si

può

sempre

sfruttare

lo

stesso

procedimento

variando

opportuna.mente

due

parametri

di ingresso,

U e

W.

Nel

caso

di

armatura

simmetrica è immediato dedurre che

i

dia-

grammi

con curvatura negativa sono

ottenibili

nrovesciando"

o

capo-

volgendo

il

diagramma delle curvature positive;

il

diagramma comples-

sivo,

che

presenta

curve

a

clO e

cA,

segue

il

procedimento

descri tto;

-

Ìa

seconda

si

effettua

applicando

lo

stesso procedimento

alla

sezione

capovolta

owero

quella che

si ottiene sostituendo A,

con A"

e

viceversa;

si intende

che per

essa

devono

essere

modificati

i

para-

metri in

ingresso e

si

dovrà

porre

U"=1/U'

e

W"=W'/U"iW'U'.

Sovrapponendo i due diagrammi,.di

cui

il

secondo

sarà

capovolto,

si ottiene

la

curva

completa M*-Nt.sia

con linee aventi

c>0

che col

linee

aventi

c


20/21

ansn

f(s)

=

-

s-0

FlB

JOl. Fcrr25,

O-5r.

Urt. w-O,7

conviene

esprimere

f(s)

come

rapporto

di

due

polinomi

nella

forma:

arsn

pn

f(s)

=-=ao(sn-lapsn.21B2sn-3+.........+Fn-t+

).

s-p

s,f

Le

rispettive

funzioni.primitive, per

i

vaÌori

di

n=1,

2,

3 che

ricorrono

sono:

fb

ars

n=1,

I

ar=arls+Flnls-bl]b

'"

s-F

a

lb

"2"2

f

s2

lb

n=2,

j-

-dr-"rl-+ps+B2lnls-BlI

'u

s-F

Lz

Ju

fb.r.3 fs3

s2

lb

n

=

3,

|

-

ds

=

arl

-

+p+

-

+pz

s+p3

lnls_0|

|

ra.sìp

L: 2

J^

È allora possibile

calcolare

in

modo

esatto

i

valori

delle

(6).

Detto

criterio

è

stato

impiegato per

controllare

(manualmente,

i

risultati

del

programma

di calcolo

nel

quale,

come detto,

le integrazio-

ni

sono

state

eseguite

con íl

metodo

di

Simpson

composito:

gÌi

icosta_

menti

percentuali

sono

risultati

del

tutto

trascuràbili.

Dunqug

anche

i

valori

di M"

ed

Nt

sono

calcolabfi con

tali relazioni,

sostituendole

nelle

equazioni

dél

tipo

esemplificato

in

(5).

Ad esempio,

per

il

diagramma

di

figura

14,

fissiamo M*=cost=O.2

e

la

curvatura

adimensionale

c=l*10-3:

risultano

aìlora individuate

le

seguenti.coppie.di

sollecitazione

adimensionale:

M*=0.2,

N*=0.1;

M*=0.2,

N*=1.5.

il caicoio

manuale

degli,integrali,

ad

esempio

per

la

verifica

del

pri-

mo stato

di

sollecitazione

fornisce

X1=0.129

ed

y;=0.041

mentre

il

pro-

gramma

di

calcolo

ricava.X't=0.129

ed

Yr=0.0+2.

per

quanto

riguàrda

-

irvece gli

stati

di

sollecitazióne

si

ottiene

in

via

analitica:

M*=0.211,

N*=0.108;

M*=0.21i,

N*=1.471

-

Si

trovano

quindi

manualmente

gli

stessi

valori

ottenuti

con

l,elj-

boratoie,

e sostanzialrnente

coincidenti

con

quelli

dedotti

graflca-

mente.

7.Util;-.u^oro.e

diagrammi

ed

alcuni

esempi

di costmzioúe

di

cur-

ve

M*-c

(N*=Cost)

a)

La'principaie

utilizzazione

dei

diagrammi

illustrati

è

relativa

alla

costruzione

grafica

dei

diagrammi

M-1

(ad

N=cost).

..

Si considera

il

diagramma

d'interazione

M*_c

(per

tipo

di

acciaio,

tipo

di

calcestruzzo,

copriferro

D,

rapporto

U

tra

le

Lee

ài

".-utl,*

"o*-

ressa

e tesa,

percentuale

meccanica

d,armatu_r.a

W),

si :accia

in

esso là

retta

verticale

ad

N* fissato

e,

in coirispondenza

dei

punti

di

intersezione

di

questa

retta

con

le varie

curve

a

curvatura

costante

"h"

"i^;;-r-ii;;;;_ecano,

si leggono

sia

il

valore

della

curvatura, sia

iI

momento flettente

relativo al punto

di

intersezione.

per

quel

ffssato

N*

si

vengono

così

a

ricavare

un

certo

numero

di

coppie

Mi-c

che,

riportate

in

a-iagramma,

consentono

il Eacciamento

delle

curve

momento_curvatura.

A.d

esempio;

irella

figura

25

è

riportato

un

diagramma

M*{

ottenuto

grafieamente

con tale.costruzionè

sula

base

dej

diagramma

di

figura

.

14

e

per

N*=

;

Ie coppie

M*-c

sono

individuate

dal

siíbolo

+.

Si

ri'íeva

che

è possibile

definire

anche

le

coppie

M*_c

al

limite

elastico

ed

al

limite

ultimo:

dal

diagramma

di

ffgura

ZS

si ha:

l/v:t=O.0024,

Mct=0.50,

Iu=0.0041,

M,=0.565

espressi,

si intende,

in

forma

adimensionale

e ottenuti

per

interpolazio_

ne

liireare

dei

valori

riportati

sui grafici

stessi.

666

Lindustria

italiana

del

Cemento

1}ll9g4

cuÀvaruR^

c

(c-r-H)

Per

saggiare

ì'affidabilità

e

la

precisione

ottenibile

con

quesro

pro

dimento

è

stato

preparato

anche

un programma

di

calcoÍà

che,

sfr

tando

le stesie

equazioni

citate al puiug.àfo

4b,

permette

la costruz

ne

diretta

del

diagramma

M*-c

ad

N*=cost.

--

Per

confrontó,

il diagrarnma

completo

M*-c

è

riportato

nella

ster

figura

corr

line-a

continua, poiché

il

passo

di calcoloìele

coppie

M**

stato

molto

raffittito.

Si

può

osservare

la perfetta

coincidenza

con

i

pu

ottenuti

rnediante

il

procedimento

grafico

ed

inoltre

come

sia bene

co

la situazjone

al

limite

elastico

e queila

al limite

ultimo

evidenziando

generale

come sia

lecito

interpolare

lineamente fra

i

punti

individui

ottimi

dati

sono

quindi

deducibili

anche

in

ordine aÌra

duttilita

de

sezione.

Nella

figura 26

è riportato

un

ulteribre

esempio,

costruito

c

gli

stessi

criteri,

ottenuto dal

dlagramma

di figura

14

per

N.*=0.3.

&)

Esempio

di verifica

col metodo

delìa

coùrLna

-àd.llo.

Si consi<

ri

un

pilastro

in

c.a. incastrato

alla

base

e

libero

in

sommità

con

seguenti

caratteristiche

indicate

in

figura

27.

lo

x

I

Le azioni

agenti

in

sommità

sono:

Nd=1011

KN,

Vd=52.4

KN,

Md_l50

K.Nlm

Le

sollecitazioni (del

I

ordine)

nella

sezione

critica di

base

valgono:

Nd=1130

KN,

Vd=52.4

KN,

Md=ó21

KlIm

S

vuole

eseguire

la verifica

uilo

,tuto

limite

ultimo per

instabilit

nel

piano

contenente

l'asse

y

impiegpndo

it

-"toJo

della

colonn

modello

e

nel

rispetto

deile prescrizióni

forrritei.,

merito

dall,Eurc

codice

2.

Ueccentricità

del

I

ordine

.,elte

seriJ

Ji

sommità

e

d

base

sono:

eor=Ma/Na=0.13

m

(in

sommità);

eo2=M4/\u=e.54

m

(alla

base).

I

...

La snellezza

critica

vaìe:

i.r=25(2-eo1/eo2)=44;

Ia

snellezza

effettiva

è

X-u*=140,

\=b,14=96.

I

I

F.E

$k.

Fck-25.

O-sX.

U-t. w-o-7


21/21

I

{

1

Si calcola ora

l'eccentricita

equivalente

del

I

ordine:."

[0.0

eo2+0.+ eor

=

0.375

m

eeq

=

max

I

da

cui

e"o

=

0.375

m.

L0.4eo2=0.215

m

Sono

quindi

soddisfatte le due

condizioni:

1

) lcró21

KNm=Ma.

.

.

I

RIFERIMENTI

BIBLIOGRAFICI

tl]

EuRocoDrcE

2,

Documents

5.Instabilità S.L.U