INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO - … fileIniciación al Sistema Diédrico Autor: Gerardo Martín Lorenzo Profesor Asociado de la Escuela Universitaria de Las Palmas de Gran Canaria

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

ÁREA DE EXPRESIÓN GRÁFICA EN LA INGENIERÍA

OO

Autor: Gerardo Martín Lorenzo

INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICINICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICOINICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICINICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO

Iniciación al Sistema Diédrico


Profesor Asociado de la Escuela Universitaria de Las Palmas de Gran Canaria

1

PRÓLOGO

El problema de la representación de objetos tridimensionales en el plano es tanto

más sencillo cuanto mejor percepción visual tenga el alumno, no en vano para realizar

este ejercicio se requiere de un adiestramiento de percepción así como de una alta dosis

de imaginación.

La presente obra persigue este objetivo de adiestramiento a través de una

explicación espacial del sistema así como de una colección de problemas típicos

resueltos tanto espacialmente como en el plano.

Podría haberse profundizado más en el estudio del propio sistema pero eso

habría ido en contra de la filosofía con la que el autor ha concebido este libro, que no es

otra que la de iniciación en el Sistema Diédrico, puesto que en el mercado existen ya

numerosas publicaciones de prestigiosos autores las cuales cumplen ya con el objetivo

anteriormente mencionado.

La forma de avanzar en la lectura del libro es progresiva y se sugiere especial

atención a la resolución de los problemas planteados así como a las notas de aclaración.

Una vez superada la primera parte de teoría se propone la resolución de una

colección de ejercicios referidos a esta primera parte de la publicación, de forma que si

el alumno tuviera alguna dificultad de comprensión de las soluciones se recomienda

encarecidamente volver a mirar los temas anteriores y no proseguir hasta que se tengan

asumidos los conceptos.

Una vez superada esta primera parte se presenta la segunda en la que aparecen

las operaciones del sistema y el tema de ángulos. Cabe resaltar que un mismo problema

se puede resolver utilizando cualquiera de las operaciones sugeridas por lo que ninguna

es imprescindible, aunque es conveniente conocer las tres porque hay problemas que se

resuelven de forma más fácil a través de una operación que de otra.

Tras esta segunda parte aparece nuevamente una colección de problemas en la

que intervienen todos los conceptos desarrollados hasta el momento, así como el

tratamiento de volúmenes, que aunque no han sido incluidos en esta publicación,




2

seguramente el alumno no tendrá ningún problema en acceder a información acerca de

estos.

Por último aparece como tema final de la publicación una introducción a la

intersección de volúmenes planteada desde una perspectiva lo mas sencilla posible y que

servirá como introducción para aquellos que se vean en la necesidad de desarrollar más

este tema.




3

INTRODUCCIÓN

La Geometría Descriptiva es la ciencia que tiene por objeto la representación de

figuras y objetos tridimensionales en el plano (espacio bidimensional).

El elemento mínimo de representación en cualquier sistema es el punto y para

poder proyectarlo se traza una recta ( rayo proyectante) por él, cumpliendo una serie de

condiciones, y se calcula la intersección de este rayo con el plano sobre el cual se desea

proyectar. s puede establecer un paralelismo, para mejor comprensión, con el acto de

iluminar un objeto con una linterna, en este caso la sombra del objeto proyectada sobre

la pared guarda una cierta similitud con la proyección de un objeto sobre un plano de

proyección.

Así pues podemos decir que los elementos indispensables para definir un sistema

de proyección dado son:

• El objeto a proyectar.

• El plano o los planos sobre los que se proyectará.

• El conjunto de rayos proyectantes.

Según sea el tipo de rayo proyectante que utilicemos tenemos una primera

clasificación de los sistemas :

- OBLICUAS

-

CILÍNDRICAS

PROYECCIONES - ORTOGONALES

- CÓNICAS

Las proyecciones cilíndricas son aquellas en las que los rayos proyectantes son

paralelos entre sí tal como ocurre con las generatrices de un cilindro, de ahí su nombre,

mientras que las proyecciones cónicas son aquellas en las que los rayos proyectantes

parten todos de un mismo punto (p.e. una linterna).




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En función del tipo de rayo utilizado para proyectar y del número de planos de

proyección tenemos los siguientes sistemas de representación como los mas utilizados :

Sistema de Planos Acotados

- Utiliza un solo plano de proyección

- Proyección Cilíndrica Ortogonal.

Sistema Diédrico

- Utiliza dos planos de proyección.

- Proyecciones Cilíndrica Ortogonal.

Sistema Axonométrico

- Tres planos de proyección.

- Proyección Cilíndrica Ortogonal.

Sistema Cónico

- Un plano de proyección.

- Proyección Cónica.

SISTEMA DIÉDRICO O DE MONGE

En este sistema se utilizan dos planos de proyección perpendiculares entre si que

reciben el nombre de Plano Vertical de Proyección ( P.V. ) y Plano Horizontal de

Proyección (P.H. ). La intersección de estos dos planos es una recta que recibe el

nombre de Línea de Tierra ( L.T. ).

Estos dos planos dividen el espacio en cuatro regiones denominadas Cuadrantes

o Diedros los cuales se enumeran tal y como se aprecia en la figura 1, es decir, el primer

cuadrante es el superior derecho y el resto se enumeran en sentido contrario a las agujas

del reloj.




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fig. 1

En esta figura se pueden observar varios detalles, uno de ellos son las líneas que

aparecen en discontinuo lo cual quiere indicar que los planos de proyección son opacos

y que lo que se encuentra detrás de ellos no se ve, aunque por criterios de representación

y dado que normalmente se trabajará de forma que el observador se encuentra en el

primer cuadrante, todo lo que se encuentre en los restantes cuadrantes se representará en

discontinua. Otro detalle es que se ha realizado una segunda clasificación en los planos

de proyección de forma que, para mejor entendimiento, podemos suponer que existen

dos zonas diferenciadas en el Plano Vertical de Proyección, el superior (P.V.S.) y el

inferior (P.V.I.), esto mismo ocurre con el Plano Horizontal de Proyección en el que

tendríamos el anterior (P.H.A.) y el posterior (P.H.P.).

Dado que se trata de un sistema de proyecciones ortogonales, se puede suponer

que el observador se sitúa en el infinito (de esta forma los rayos son paralelos) para

P.H.P.

P.H.A.

1er Cuadrante2º Cuadrante

3er Cuadrante 4º Cuadrante




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proyectar los objetos ortogonalmente sobre los planos de proyección. Primero sobre un

plano y luego sobre el otro. Este proceso se muestra simuladamente en la figura 2.

fig. 2

Para poder representar este sistema en el plano (nuestra lámina de trabajo)

debemos realizar un giro de 90º de uno de los planos de proyección utilizando como eje

de giro la Línea de Tierra. Este proceso se muestra en la siguiente figura.

fig. 3

Este giro, que se realiza una vez se han obtenido las proyecciones

correspondientes, nos permite reflejar en un plano ( lámina de trabajo) dos zonas

separadas por la Línea de Tierra, la zona superior en la que se encuentran las

P.H.A.

P.V.S.

P.H.A.

P.H.P.

P.V.I.

LAMINA




7

proyecciones efectuadas sobre el Plano Vertical Superior y sobre el Plano horizontal

Posterior y la zona inferior en la que se encuentran las proyecciones de los objetos

proyectadas sobre el Plano Horizontal Anterior y Plano Vertical inferior




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TEMA 1 : EL PUNTO

1.1 PUNTO GENÉRICO

La representación diédrica del punto se efectúa a través de proyecciones

ortogonales a los planos de proyección. En la fig. 1.1 tenemos el punto A situado en el

primer cuadrante y sus proyecciones respectivas serían A" (proyección sobre el plano

vertical de proyección) y A' (proyección sobre el plano horizontal de proyección).

fig. 1.1

Sobre esta misma figura podemos señalar la distancia existente entre el punto A

y el Plano Vertical de proyección ( en lo sucesivo P.V.), que recibe el nombre de

alejamiento (a), la distancia entre A y el Plano Horizontal de proyección (en lo

sucesivo P.H.) que se denomina cota (c) del punto y la distancia, medida sobre la Línea

de Tierra ( de aquí en adelante L.T.), desde la línea de referencia de A hasta el origen

(0), distancia que en la figura 1.1 se representa por (ab) y que se denomina Abcisa del

punto A. Estos tres conceptos se representan en el diedro según la figura 1.2.A

P.V.

P.H.A

A"

A'

(0)

ab




9

A

A'

A"

P.V.

P.H.

A"

A'

0

1er Cuadrante2º Cuadrante

3er Cuadrante 4º Cuadrante

abC

A

A B

fig. 1.2

Así un punto puede designarse por un vector de tres coordenadas (a,b,c) donde

"a" representa la abcisa del punto que según sea positiva o negativa significará un

desplazamiento hacia la derecha o izquierda respectivamente, "b" representa el valor de

la cota del punto la cual puede ser también, positiva o negativa; si fuera positiva

significa que el punto se encuentra en la zona del espacio por arriba del P.H. (1er ó 2º

Cuadrante), mientras que si es negativa se encontrará por debajo del P.H. (3er ó 4º

Cuadrante). Por último el valor de "c" nos cuenta acerca del alejamiento del punto, de

tal forma que si es negativo implica que el punto se encuentra detrás del P.V. - a la

izquierda del P.V., según la figura1.2.B -(2º ó 3er Cuadrante) y si es positivo el punto

está a la derecha del P.V.

Un resumen de lo expuesto es el siguiente cuadro :

Cuadro 1.1

En esta misma línea podemos definir un cuadro que nos oriente en cuanto a la

posición espacial del punto en función de los valores de cota y alejamiento

respectivamente:

DEFINICIÓN LETRA + -

Abcisa a derecha izquierda

Cota b P.V. superior P.V. inferior

Alejamiento c P.H. anterior P.H. posterior




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Cuadro 1.2

En la figura 1.2.B vemos como será la representación del punto A en tercera

proyección y como a partir de esta se obtienen las proyecciones diédricas. Obsérvese las

indicaciones de las flechas que hacen alusión al abatimiento del P.H., que sólo afecta a

la proyección horizontal del punto.

1.2 PUNTO EN LOS DISTINTOS CUADRANTES

Algunos ejemplos de representación de puntos son :

A B

2º Cuadrante 3 er Cuadrante

fig. 1.3

Cuadrante Cota Alejam.

1er + +

2º + -

3er - -

4º - +

BB"

B'

B"

B'

C

C'

C"

3ª Proyección3ª Proyecció

C"

C'




11

1.3. PUNTO CONTENIDO EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN

Los puntos contenidos en los planos de proyección son denominados en

ocasiones, puntos Trácicos y son los representados en la figura 1.4 y 1.5:

A B

A"

A'

A = A"

A'

3ª Proyección

Punto contenido en P.V. superior

B"

B' B = B"

B'

Punto contenido en P.V. inferior

3ª Proyección

fig. 1.4

C =C'

Punto contenido en P.H.ant.

D"

D'

D"

Punto contenido en P.H. post.

C"C"

C'

D = D'

fig. 1.5

1.4. PUNTOS CONTENIDOS EN LA L.T.

Son puntos que pertenecen a los cuatro cuadrantes y su característica principal es

que tienen cota y alejamiento cero, por lo tanto sus proyecciones se encuentran en L.T..




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1.5. PUNTOS CONTENIDOS EN LOS PLANOS BISECTORES

Por estar en esta posición tienen como característica principal que su cota es

igual a su alejamiento, cumpliendo a su vez las condiciones generales de los puntos en

los distintos cuadrantes. Evidentemente, el caso anterior (punto contenido en la L.T.) es

un caso particular de este tipo de puntos pues su cota y alejamiento son iguales fig. 1.7.

fig. 1.7

A"

A' B' = B"

A

B




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EJERCICIOS

1.1 Representar un punto "C" del P.V. superior, uno "B" del P.H. anterior y un

punto "A" del primer cuadrante.

AA"

A'

B'B"

C'

C"

1.2 Representar tres puntos del primer cuadrante con igual cota que alejamiento.

¿ A qué plano pertenecen dichos puntos?. Representarlos también en el plano de tercera

proyección.

A

B

C

C'''

B'''

A'''

C'

C"

B"

B'

A"

A'

A"

A'

B"

B'

C"

C'




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Nota : El hecho de que los puntos tengan igual cota que alejamiento nos indica

que pertenece a alguno de los dos bisectores, en este caso en concreto, al primer

bisector.

1.3 Obtener las proyecciones de un punto "A" perteneciente al semiplano vertical

inferior, otro "B" que pertenece al semiplano horizontal anterior y otro "C" del cuarto

cuadrante.

C

C'

C"

B=B'B"

A=A"

A'

1.4 Obtener un punto del primer cuadrante y su simétrico respecto del plano

vertical de proyección.

A

B

A'

B'

A"=B"




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1.5 Dibuja tres puntos: uno del P.V. otro del P.H. y uno de la L.T. únelos entre si

y observa lo que obtienes.

A"

A' B'

B"

C"=C'

Nota : La unión de tres puntos no alineados en el espacio define un plano.




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TEMA 2 : LA RECTA

2.1 PROYECCIONES DE UNA RECTA.

Segmento de una recta . Verdadera magnitud de un segmento. Tipos de

rectas.

La unión de dos o mas puntos alineados define una recta, así pues las

proyecciones de la recta serán las de los puntos que la configuran.

fig. 2.1

El resultado de proyectar una recta cualquiera es el que se muestra en la figura

2.1, en la que se puede observar como en proyecciones se verifica el hecho de que las

proyecciones respectivas de los puntos están sobre las proyecciones homónimas de la

recta y también que la recta es infinita.

Dos de los puntos característicos de una recta son los puntos de intersección de

esta con los planos de proyección, llamadas 'Trazas de la recta' y que nombraremos Hr

y Vr , siendo Hr la intersección de la recta con el P.H. y Vr con el P.V.

r

r"

r'

r"A

B

B"

A"

A'

B'r'

A"

A'

B"

B'




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fig. 2.2

Vemos que V' está determinado por el punto de corte de r' con L.T. por lo que V"

estará en la proyección ortogonal sobre r". Así mismo donde r" corta con la L.T.

obtenemos H", y H' estará sobre r'. Las líneas de referencia que pasan por V y H en el

diedro (X,Y fig. 2.2) divide el diedro en tres partes. Vemos que para la zona

comprendida entre X e Y la proyección vertical (r") se encuentra por encima de L.T. y la

proyección horizontal (r') está por debajo, por lo tanto podemos asegurar que esta zona

se encuentra en el primer cuadrante. Siguiendo esta misma lógica de análisis podremos

observar que la zona a la izquierda de X estará en el segundo cuadrante y la de la

derecha de Y estaremos situados en el cuarto cuadrante.

Para diferenciar el paso por el primer cuadrante sólo de dibujará con trazo

continuo la zona perteneciente a este, permaneciendo el resto en discontinua, tal como

se muestra en 2.2.

Atendiendo a una clasificación estricta podemos encontrarnos con los siguientes

tipos de rectas :

• Horizontal.

• Frontal.

• Vertical.

• De Punta.

• Paralela a L.T.

• Oblicuas o Genéricas.

V"

V'

H"

H'

r

r"

r'

V"

H"

V'

H'

r"

r'

X

Y




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• Contenida en los bisectores.

• Paralela a los bisectores.

• De Perfil

A continuación se analizará alguna de estas rectas por entender qe son las mas

complicadas de comprender, el resto serán utilizadas indistintamente a lo largo de este

libro.

2.2 RECTA DE PERFIL.

Proyecciones. 3ª Proyección. Verdadera magnitud. Puntos pertenecientes a

una recta de perfil. Distintos cuadrantes.

fig. 2.3

La condición característica de una recta de perfil se encuentra en que todos sus

puntos tienen igual abcisa esto hace que sus proyecciones (r" , r') coincidan en el

diedro (fig. 2.4.A).

A B

r" = r' r" = r's" = s'

fig. 2.4

r

s




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Otra particularidad es que dos rectas de perfil diferentes r y s, con igual abcisa,

tienen idénticas proyecciones en el diedro (fig. 2.4.B). Esto nos obliga a indicar algún

elemento que nos permita diferenciarlas. Si representamos en tercera proyección ambas

rectas podríamos apreciar que estas rectas son ciertamente distintas (fig. 2.5). Los

puntos Vr , Hr y Vs , Hs designan las trazas de las rectas r y s respectivamente, que

como puntos que son , en tercera proyección (ver tema del punto) pueden ser llevados al

diedro de tal forma que tendremos representados dos puntos característicos de sendas

rectas.

También podemos definir como particularidad de estas rectas el hecho de que al

ser paralelas al plano de tercera proyección al efectuar su proyección sobre dicho plano

(tercera proyección), esta proyección si que estará en verdadera magnitud, así como

los ángulos que forma la recta con los planos de proyección.

En resumidas cuentas se hace imprescindible el trabajar en tercera proyección

con este tipo de rectas para poder definirlas con exactitud.

V"s

V"r

H's

H'r

s

r

3ª P.

s" = r"

s' = r'

fig. 2.5

2.3 RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN

La recta perpendicular al P.H. se llama " recta vertical " y la perpendicular al

P.V. " recta de punta". En este apartado nos referiremos exclusivamente a la recta

vertical y se podrán trasladar todas las consideraciones a la recta de punta por similitud.

Las proyecciones diédricas así como la tercera proyección son las representadas

en la figura 2.6.




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fig. 2.6

Una característica singular es que las proyecciones horizontales de los infinitos

puntos contenidos en la recta coinciden, por lo que r' se representará como un punto en

proyección horizontal. Así mismo dado que la recta es paralela al P.V., su traza vertical

estará en el infinito. Una singularidad mas de estas rectas es que su proyección vertical

así como en tercera proyección estará en verdadera magnitud (V.M.), por lo que se

podrá medir directamente la distancia entre dos puntos pertenecientes a la recta, en

proyección vertical (proyección horizontal para la recta de punta ).

2.4 RECTAS PARALELAS A L.T.

fig. 2.7

r"

r'

rs

s'

s"

3ª P.

r"

r'

r"'

s"'

s'

s"

r"

r'

r

A

BB"

B'

A"

A'

3ª P.

r"

r'

A"

A'

r''' = A'''

h




21

Como su nombre indica, son rectas paralelas a L.T. . Sus proyecciones serán

paralelas a la L.T. y por ello su tercera proyección también será paralela a L.T. Las

proyecciones de la recta estarán en V.M.

Por ser paralela a L.T., la distancia "h" en tercera proyección, indica la verdadera

distancia entre esta recta y la L.T. Las proyecciones de esta recta en los distintos

cuadrantes será la indicada en la figura 2.8.

s"s'

s"'3ª P.

t'

t"

3ª P.

t"'

fig. 2.8




22

EJERCICIOS

2.1 Representar V(10,30,0) , H(60,0,50) así como la recta que ellos definen y sus

proyecciones.

V"

V'

H"

H'

r

r"

r'

2.2 Representar el punto P(_, 30, -40) y sus proyecciones.

Representar un punto que unido al anterior de como resultado una recta

horizontal y representar las proyecciones de dicha recta.

P

P'

P"

A'

A"Ar

r"

r'

2º C.

2.3 Proyecciones del punto A(_, -10, -50) y de otro punto del segundo cuadrante

que unido con el A nos de como resultado una recta de perfil.




23

A

A'

A"

B"

B'

B

r r"

r'

2.4 Dibujar, en el 1er cuadrante una recta Horizontal "r" contenida en el P.H. y

cuya traza vertical se encuentra en abcisa 50. Trazar también una recta frontal "s"

contenida en el P.V. cuya traza horizontal se encuentra en abcisa 50.

- ¿Qué ángulo forma la recta horizontal con el plano horizontal?.

- ¿A que te recuerdan estas dos rectas?.

r=r"

s'

r' = s"

* El ángulo se mide directamente entre la proyección vertical de la recta y la

línea de tierra.




24

TEMA 3 : EL PLANO

3.1 PLANO GENÉRICO

Como indica la figura 3.1 los planos genéricos pasan por los cuatro cuadrantes.

Teóricamente un plano se puede obtener de cualquiera de las siguientes formas : tres

puntos no alineados, una recta y un punto no perteneciente a la misma, dos rectas

paralelas ó dos rectas que se cortan.

fig. 3.1

Dada la peculiar forma de un plano esta impide que se pueda proyectar al mismo

directamente sobre los planos de proyección por lo que lo que se hace es proyectar los

elementos que este contiene ( puntos y rectas ), de tal forma que al proyectar estos

elementos estaremos definiendo el plano en si mismo. De todos los elementos que

componen un plano determinado existen dos elementos (en algunos planos un solo

aa2

a1




25

elemento) que son característicos de cada plano estos son las dos rectas de intersección

de los planos con los planos de proyección , a estas dos rectas es a lo que se denomina "

trazas del plano " y que aquí nombraremos siguiendo la siguiente nomenclatura �1

(Traza horizontal del plano) �2 (traza vertical del plano),tal como se muestra en la

figura 3.2.

fig. 3.2

Dado que generalmente, en este sistema de representación, trabajaremos en el

primer cuadrante, sólo trazamos la parte continua de las trazas aunque no hemos de

perder de vista que como rectas que son se prolongarán através de los otros cuadrantes.

Dos observaciones importantes, la primera las rectas aaaa2 y aaaa1 se cortarán

siempre en un punto de L.T. (llamado punto de corte de las trazas). Segundo, al ser

rectas contenidas en los planos de proyección, a2' y a1" coincidirán siempre en L.T.

por lo que por norma prescindiremos de estas dos proyecciones y simplemente

representaremos a2 " y a1' como a2 y a1.

3.2 CRITERIOS DE PERTENENCIA

Veamos la figura 3.3, en ella tenemos representados la porción del primer

cuadrante de un plano a y una recta contenida en dicho plano. Se ve claramente que

para que r pertenezca a � las trazas de la recta r deben estar sobre las trazas del plano �

, o dicho de otra forma, los puntos de intersección de la recta r con los planos de

proyección deben pertenecer a las rectas intersección de �

proyección.

a2 = a1

a2

a

a2

a1




26

fig. 3.3

Así en el diedro quedará representado según la figura 3.4 (A), mientras que en la

fig. 3.4 (B) se observa que la recta no pertenece al plano.

A B

fig. 3.4

rr"

r'

V"

H'

a1

a2

r"

r'

H'

V"

a2

a1

r"

r'

H'

V" a2

a1




27

3.3 RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO

Recta Horizontal del plano

Evidentemente esta será una recta horizontal, que como ya sabemos tiene

solamente una traza, la vertical, por lo que para que esta recta esté contenida en el plano

deberá cumplir que su traza vertical esté sobre la traza vertical del plano y su proyección

horizontal debe ser paralela a la traza horizontal de a para que de esta forma se cumpla

que la traza horizontal de la recta esté sobre la traza horizontal del plano (en el infinito),

"r" en fig. 3.5.

fig. 3.5

Recta Frontal del plano

Se justifica de igual forma que la anterior. fig. 3.6.

fig. 3.6

r"

r'

a2

a1

V"

r"

r'

a2

a1

V"




28

Recta de Perfil

Debe cumplir las condiciones generales de pertenencia de recta a plano y las

características particulares de una recta de perfil. fig. 3.7.

fig. 3.7

Recta de Máxima Pendiente (R.M.P.)

Es aquella recta que perteneciendo a �

P.H. Atendiendo a la definición de que " el ángulo que forma una recta con un plano es

el que forma la recta con su proyección sobre dicho plano", veamos la figura 3.8

fig. 3.8

Según se ve en la figura, la recta r cumple las siguientes condiciones:

a1

a2r"

r'

V"

H'

V' = H"

90º90º

r'r

r"

a1

a2




29

• " r " es perpendicular a a1 en el espacio.

• " r' " es perpendicular a a1 en proyecciones.

• Esta es la recta, que estando contenida en Alfa, forma el mayor ángulo

posible con el P.H.

Con todo esto la proyección de la recta de máxima pendiente de un plano

genérico será la mostrada en la figura 3.9 .

fig. 3.9

Recta de Máxima Inclinación (R.M.I.)

Esta recta se define como la recta que perteneciendo al plano forma el mayor

ángulo posible con el P.V.

Esta recta debe cumplir :

- " r " es perpendicular a a2 en el espacio.

- " r" " es perpendicular a a2 en proyecciones.

- Esta es la recta que, estando contenida en Alfa, forma el mayor

ángulo posible con el P.V.

Su representación en proyecciones será:

a2

r"

r'

90ºa1




30

fig. 3.10

3.4 PUNTO PERTENECIENTE A UN PLANO

La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en un plano

es que este esté contenido en una recta que a su vez debe estar contenida en el plano.

Veamos los siguientes ejemplos:

A"

A' A'

A"

A'

A"

1 2 3

A"

A' A" = A'

4 5

fig. 3.11

1.- P pertenece a a.

2.- P no pertenece a a, porque no pertenece a " r " y " r " si pertenece

a a.

a2r"

r'

90º

a1




31

3.- P no pertenece a a, porque " r " no pertenece a a.

4.- P pertenece a a porque pertenece a una recta de a , a este tipo de

punto que está contenido en alguna de las trazas del plano le

denominaremos punto trácico.

5.- P pertenece a a , porque pertenece a sus trazas.

3.5 TIPOS DE PLANOS Y SUS CARACTERÍSTICAS

A continuación se describen las características generales de cada tipo de plano y

se ofrece una representación gráfica de cada uno de ellos conteniendo una recta y un

punto.

Planos Oblicuos.

Son los vistos hasta ahora y no cumplen ninguna condición particular,

simplemente las normas generales de los planos.

Planos Proyectantes

Plano Horizontal -

• Paralelo al plano horizontal de proyección (P.H.). Dos posiciones

posibles, por arriba o por abajo del P.H.

• Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen la misma cota.

• Todas las rectas que contienen son rectas horizontales.

• Sólo se representa su traza vertical puesto que la horizontal se encuentra

en el infinito.

• Todo lo que contienen lo proyectan verticalmente sobre su traza.

A"

A'

V" r" =

r'

a2

fig. 3.12




32

Plano Vertical o Frontal -

• Paralelo al P.V.

• Dos posiciones posibles, delante o detrás del P.V.

• Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen el mismo

alejamiento.

• Todas las rectas que contienen son rectas frontales.

• Sólo se representa su traza horizontal ya que la vertical se encuentra

en el infinito.

• Todo lo que contienen lo proyectan horizontalmente sobre su traza.

fig. 3.13

Plano Proyectante Vertical o De Canto -

• Plano perpendicular al P.V.

• El ángulo que forma la traza horizontal del plano con la L.T. es, en

verdadera magnitud, el que forma el plano con el P.H.

• Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza vertical.

• No puede contener rectas horizontales salvo la recta de punta.

A"

A'H' r' =

r"

a1




33

fig. 3.14

Plano Proyectante Horizontal -

• Plano perpendicular al P.H.

• El ángulo que forma la traza horizontal con la L.T. es, en verdadera

magnitud, el que forma el plano con el P.V.

• Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza horizontal.

• No puede contener rectas frontales salvo la recta vertical.

fig. 3.15

a2

a2

a1a1

r" =

r'

V"

H'

a2

a1

a1

a2

r' =

r"

H'

V"




34

Planos Paralelos a la L.T.

• Preferiblemente se analizarán en tercera proyección.

• Tiene ocho posiciones posibles, de las cuales cuatro son paralelas a

los bisectores.

• Sus trazas son paralelas a la L.T. y si la cota de la traza vertical es

igual al alejamiento de la traza horizontal estaremos hablando de un

paralelo a un bisector.

• El ángulo que forma con los planos de proyección se puede obtener

directamente en tercera proyección.

fig. 3.16

Planos que pasan por la L.T.

• Sus trazas se confunden con la L.T.

• Necesitan que se declare un punto que esté contenido en dicho plano

para poder definirlo fig. 3.17.

• Se deben analizar en tercera proyección.

• Cuatro posiciones posibles de las cuales dos son los bisectores.

• Todas las rectas que contienen, salvo la paralela a L.T., son rectas

que pasan por L.T.

a2

a1

a3

3ª Proyección

r"

r'

= r'''

V"

H'




35

fig. 3.17

Planos Perpendiculares a los Bisectores

• Dos posiciones posibles (perpendicular al primer o segundo

bisector).

• Sus trazas forman el mismo ángulo con la L.T.

fig. 3.18

Nota : La recta " r " es perpendicular al Primer Bisector por lo que cualquier

plano que la contenga también será perpendicular al Bisector, en este caso el plano �

cumplirá esta premisa y dado que " r " es una recta de perfil cuyas trazas tienen igualdad

3ª Proyección

P'''

P'

P"

a2 = a1

a3

r

1 er B.

a2

a1ss




36

de cota y alejamiento, las trazas de a formarán los mismos ángulos con los planos de

proyección.

fig. 3.19

Planos de Perfil

• Perpendicular a los planos de proyección, por lo tanto paralelos al

plano de tercera proyección.

• Sus trazas son perpendiculares a la L.T. y se confunden en

proyección.

• Se deben analizar generalmente en tercera proyección puesto que

todo lo que contengan se verá ahí en verdadera magnitud.

• No contienen rectas horizontales o frontales salvo la de punta y la

vertical.

fig. 3.20

a2

a1

a2

a1

=

=

Perp. al Primer Bisector Perp. al Segundo Bisector

V"

H'

r"

r'

V"=H'

r"=r'

3ª P.

A"

B"

A'

B'

A'''

B'''

a2 =r''

a1 = r'

r"'




37

EJERCICIOS

3.1 Representar un plano "a " genérico y un punto de dicho plano.

PP"

P' r'

rr"

3.2 Representar un plano "a " genérico, cuyas trazas se abren hacia la derecha.

Localizar las proyecciones de un punto de la traza vertical de dicho plano.

¿ Que característica tienen los puntos trácicos de un plano?.

¿ Que tipo de recta es la traza horizontal de un plano?.

Dibujar una recta genérica del plano.

Nota : Los puntos trácicos de un plano presentan la característica de que o bien

no tienen alejamiento o bien no tienen cota.

La traza horizontal de un plano es una recta horizontal contenida en el plano

horizontal de proyección.

P=P"

P'

V"

H'

r

r'

r"

a1

a2




38

3.3 Obtener las proyecciones de una recta contenida en un plano proyectante

horizontal.

3.4 Sean las trazas de la recta "r", V( 10, 40, 0) y H( 50, 0, 30). Pasar por un

punto de cota 20 de dicha recta otra recta "s", de perfil, cuya traza horizontal es Hs (_, 0,

40). Obtener el plano "a " definido por ambas rectas.

3.5 Trazar un plano perpendicular al segundo bisector y paralelo a L.T.

Representar las proyecciones de la intersección de dicho plano con el 2º Bisector.

r

r"

r'

a2

a1

V" V"

H'

H'

sr

a2




39

a2

a1

r"

r'

r

3.6 Dibuja un plano "a " genérico y una recta de máxima inclinación de dicho

plano.

a2

a1

r

r'r"

Nota : Téngase en cuenta que tanto la proyección vertical (r") como la propia

recta son perpendiculares a la traza vertical del plano, por lo que el ángulo que forma

la recta de máxima inclinación con el plano vertical es el mismo que el que forma el

plano que la contiene con dicho P.V.




40

TEMA 4 : INTERSECCIÓN

4.1. INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS.

La intersección entre dos rectas viene dada por un punto. Dos rectas pueden no

intersectase, sino cruzarse, no existiendo en este caso punto intersección. En el diedro,

verificaremos que dos rectas se cortan cuando el punto intersección de las proyecciones

verticales de ambas rectas coincide en abcisa con el punto intersección de las

proyecciones horizontales. La fig. 4.1 muestra un caso de intersección entre rectas

(4.1.A) y cruce de rectas(4.1.B).

A B

Interseccion de rectas Cruce de rectas

r"s"

r'

s'

r" s"

r'

s'

fig. 4.1

4.2. INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS.

La intersección entre dos planos es una recta la cual debe cumplir que sus

trazas coincidan con las trazas respectivas de los planos.




41

A B

fig. 4.2

Así podemos resumir que la traza vertical de la recta intersección entre los

planos ß y a estará donde se intersecta ß2 y a2 ; y de forma análoga, la traza

horizontal de la recta estará en el punto de corte de ß1 y a1 . La traducción de esta

conclusión en el diedro se puede resumir según el cuadro siguiente.

Cuadro 4.1

H” y V’ en el diedro estarán en la L.T. pues H y V son puntos contenidos en los

planos de proyección.

4.3. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.

La intersección entre recta y plano es un punto que, como muestra la fig. 4.3.A

se obtiene como intersección entre “r” y otra recta “s”, que es la intersección de a y b

,siendo b un plano auxiliar que contiene a “r” . Este plano auxiliar puede ser uno

cualquiera, pero se simplifica bastante el problema si tomamos un plano proyectante. El

H’→ ß1 y a1

V”→ ß2 y a2

a2

a1

b2

b1

r

a2

a1

b1

b2

i'

i"




42

mismo procedimiento se muestra en la fig. 4.3.B. El cuadro 4.2 resume el

procedimiento.

A B

fig. 4.3

Cuadro 4.2

DATOS : r, ß

1) b(r)

2) "s" int. "a" y "b"

3) "I" int "r" y "s"

a2

a1

b1

b2

a1b1

r

s

I

I"

I'

s'i'

s"=i" b2 a2




43

EJERCICIOS

4.1 Dados un plano a, Proyectante Vertical, que abre sus trazas hacia la

derecha y otro b igual que el anterior, que abre sus trazas en sentido contrario, calcular

la intersección de ambos.

a2

a1

b1

b2

i

i'

i"

4.2 Dados dos planos genéricos que abren sus trazas en sentido contrario,

obtener la recta intersección de ambos.

a2

a1

b1

b2

i




44

4.3 Dado un plano genérico cuyas trazas se abren hacia la derecha obtener la

recta intersección de dicho plano con el Primer Bisector usando una recta horizontal de

dicho plano.

r'

r"r

si

a1

a2

Nota : Hay que buscar una recta horizontal contenida en el primer bisector de

igual cota que "r" y localizar el punto de intersección de ambas rectas. Otro punto de la

recta intersección será aquel donde se corten las trazas del plano con n la L.T. Uniendo

estos dos puntos obtenemos la recta "i".

4.4 Representar la intersección de un plano de perfil con una recta horizontal

,contenida en el Primer Bisector.

a2

a1

r"

r'

r




45

4.5 Calcular la intersección de una recta genérica con un plano genérico

haciendo uso de un plano proyectante.

r

V"r

H'r

i

I

a2

a1b1

b2

4.6 Intersección de una recta vertical con un plano genérico.

r"

ri

a1

a2

b1

b2I

Nota : Se ha resuelto utilizando el método general de intersección de recta y

plano, pero se podía haber obtenido la misma solución con una recta horizontal de a,

cuya proyección horizontal contuviese a la proyección horizontal de r (r’).




46

TEMA 5 : PARALELISMO

5.1. RECTAS PARALELAS

Se puede asegurar que dos rectas son paralelas cuando lo son sus

proyecciones homónimas .Así la figura 5.1 muestra un ejemplo en el diedro de rectas

paralelas:

r" s"

s'r'

fig. 5.1

5.2. PLANOS PARALELOS

Dos planos son paralelos cuando sus trazas homónimas lo son tal y como

se puede apreciar en la figura 5.2 entre los planos Alfa y Beta.

fig. 5.2

a2

a1

b2

b1




47

El procedimiento es algo mas laborioso cuando imponemos la condición de que

el plano paralelo contenga a un punto determinado.

fig. 5.3

Para obtener este plano Beta que contiene a "P" y sea paralelo a Alfa nos

apoyaremos en una recta auxiliar "r" que contenga al punto " P ", que sea horizontal

(paralela a una recta horizontal de Alfa) y luego contenemos a "r" en un plano Beta,

paralelo al Alfa, de tal forma que la traza vertical ß2 pase por la traza vertical de la

recta V" paralelamente a la traza vertical del plano Alfa y ß1 se cortará con ß2 en L.T. y

será paralela a r'.

DATOS : P,a

- r (P) horizontal, r' || a 1

- ß(r) || a

a2

a1

b2

b1

P"

P'




48

TEMA 6 : PERPENDICULARIDAD

6.0 CONCEPTOS GENERALES

• Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es , por lo menos, a dos rectas

de dicho plano que pasen por su pie ( Intersección recta - plano).

• Una recta es perpendicular a un plano si por ella pasan dos planos

perpendiculares al primero.

• Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que contengan a

dicha recta serán perpendiculares a dicho plano.

• Todos los planos perpendiculares a una recta son paralelos entre si.

• Si dos planos son paralelos, la intersección que les produce otro plano

perpendicular a uno de ellos, serán dos rectas perpendiculares entre si.

6.1. PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Una recta "r" y un plano ß son perpendiculares cuando en proyección diédrica,

las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano.(fig.

6.1)

fig. 6.1

r"

r'

a2

a1




49

Los casos mas generales de este procedimiento son los siguientes:

a) Recta "r" que contiene a un punto P y es perpendicular a �

Deben cumplirse las condiciones de perpendicularidad anteriormente expuestas

y, además, "r" debe contener al punto "P". Así en el diedro veremos:

fig. 6.2

b) Plano aaaa que contiene a un punto "P" y es perpendicular a "r".

En este caso debemos valernos de un recta auxiliar "s" ,que contiene a "P" y que

podría ser una horizontal o una frontal, que posteriormente estará contenida en el plano ;

en el supuesto de que se elija una recta horizontal, s' debe ser perpendicular a r' (porque

la traza horizontal del plano será perpendicular a r’). Por otro lado a debe contener a

"s" de esta forma contendrá a "P". Para que a sea perpendicular a "r", a2 debe ser

perpendicular a r" y contener a la traza vertical de "s" y por último, al ser a1 paralela a s'

será perpendicular a r'. Este procedimiento se ilustra en la siguiente figura.

a2

a1

r"

r'

P"

P'




50

fig. 6.3

6.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS

Dada una recta "r", diremos que otra recta "s" es perpendicular a la anterior si

está contenida en un plano a perpendicular a "r".

En el ejemplo ilustrado las dos rectas son perpendiculares aunque no se cortan.

r"

r'

P"

P'

a2

a1

s"

s'

r"

r's'

s"

a2

a1




51

6.3 PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS

Para obtener un plano b, perpendicular a otro a , tendremos que obtener una

recta ( r) que sea perpendicular a a , y que a su vez esté contenida en b.

a2

a1

b1

b2

r'

r"

r

V"H'




52

EJERCICIOS

6.1 Dibujar una recta que pasa por L.T. y un plano perpendicular a ella. Obtener

las proyecciones del punto intersección.

I

r

r'

r"a2

a1

6.2 Dada una recta frontal "r" trazar un plano perpendicular a ella.

I

rr"

r'

a2

a1




53

6.3 Dada una recta horizontal "r" Trazar otra recta que sea perpendicular a ella.

a2

a1

r"

r'

r

II"

I'90

s

Nota: Cualquier recta contenida en el plano perpendicular a "r" , será

perpendicular a "r".

6.4 Dado un plano genérico "a", obtener las proyecciones de otro perpendicular

al mismo.

r" - perpendi.

r' - Perpendi.

a2

a1

b2b1

b2

b1

r"

r'




54

TEMA 7: DISTANCIA

7.0 CONCEPTOS

Si un segmento AB se proyecta sobre un plano a, la imagen resultante

A'B', tendrá una longitud menor que la de AB, en el caso general en que el plano y el

segmento sean oblicuos entre si y en el mejor de los casos, es decir que el plano y el

segmento sean paralelos, el valor de AB será igual al de A'B'.

Teniendo en cuenta el funcionamiento del sistema diédrico hemos de ser

conscientes de que por lo general tendremos dos proyecciones cuyas longitudes serán

diferentes, una sobre el P.V. y otra sobre el P.H., y estas proyecciones a su vez serán

diferentes al valor original del segmento, salvo excepciones.

7.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Aplicaremos, para el cálculo de la distancia real existente entre dos puntos, los

procedimientos de diferencia de cotas y diferencia de alejamientos. Aunque, como

veremos mas adelante, también se podría calcular la V.M. de la distancia aplicando las

operaciones que nos proporciona este sistema, tales como abatimientos, cambios de

plano o giros.

fig. 7.1.A fig. 7.1.B

BB"

B'

AA"

A'

r'

dr"r"d

B

B"

A'

A"

B'

dif. alej.




55

La fig. 7.1.A muestra como la distancia "d" la podemos obtener en el P.V.

mediante el desarrollo del triángulo rectángulo A"B"B, que es semejante al ABB"

siendo el cateto B"B la diferencia de alejamientos de A y B. La hipotenusa "d" nos

proporciona la distancia entre A y B. El procedimiento llevado a proyecciones se

muestra en la fig. 7.1.B. Este procedimiento es el de diferencia de alejamiento y de

forma similar se desarrolla el de diferencia de cotas, tal como se muestra en la fig. 7.2.

B"

A'

B'

A"

dif. de cotas

d

dif. cotas

fig. 7.2

7.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y PLANO

El procedimiento es el que se ilustra en la figura 7.3 de forma que los

datos de partida son el punto P y el plano. Para solucionar este ejercicio se traza una

recta perpendicular al plano que contenga a P, se calcula la intersección de la recta con

el plano (Y) y por último se determina la distancia entre P e I.




56

fig. 7.3

7.3 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA

Siempre que se habla de distancia estaremos hablando en realidad de mínima

distancia. Aplicando una metodología similar a las fig. 7.3, la distancia entre el punto

"P" y la recta "r" vendrá expresada según la fig. 7.4, donde se busca un plano �

contenga al punto "P" y sea perpendicular a "r", luego se determina la intersección de "r"

con el plano obteniéndose así el punto "I" y por último se determina la distancia entre

los puntos "P" e "Y".

rP

a

I




57

fig. 7.4

Todo este procedimiento puede resumirse en el cuadro adjunto.

Cuadro 7.2

Igualmente el proceso queda ilustrado en la fig. 7.5

fig. 7.5

DATOS : P y R

1) a (P) Perpendicular a "r"

2) "I" int. De "r" y a

3) Dist. "I", "P"

PI

r

r"

r'

P"

P'

I"

I'

a2

a1b1D




58

7.4 DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

Dadas las rectas "r" y "s" paralelas como se muestra en la fig. 7.6 la distancia

entre estas rectas se obtiene con la ayuda de un plano a perpendicular a ambas rectas

por cualquier punto de ellas. La distancia entre "r" y "s" vendrá dada por la distancia

entre los dos puntos de intersección de las rectas con el plano. Un ejemplo de la

resolución se muestra en la fig. 7.7.

fig. 7.6

El cuadro 7.3 resume el procedimiento y la figura 7.7 lo ilustra.

Cuadro 7.3

DATOS : r y s

1) a perpendicular a "r" y "s"

2) "I" int. De "r" y a

3) "J" int. De "s" y a

4) dist. "I", "J"

r s

I J




59

fig. 7.7

7.5 SOBRE UNA RECTA "r" SITUAR UN PUNTO "Q" SEPARADO

UNA DISTANCIA "d" DEL PUNTO P

Estamos ante un caso donde "P" que pertenece a "r" está separado una cierta

distancia de "Q" a la que llamaremos "d".

Para resolver este ejercicio nos apoyaremos en un punto cualquiera "T" de la

recta "r" y hallaremos la distancia de "P" a "T", a la que llamaremos d'. Sobre la

prolongación de "d' " podemos situar la distancia "d" tomando como referencia el punto

"P" ya que en esta prolongación tendremos la recta "r" en verdadera magnitud. A la

distancia "d" situaremos el punto "Q" y en orden inverso a como se obtuvo "T",

obtendremos "Q" " y "Q' ". Ver fig. 7.8.

r"

s"

r'

s'

I'

J'

I"J"d"

d'

a2

a1




60

P"

P'

T"

T'

d

Q

Q"

Q'

fig. 7.8




61

PROBLEMAS PARTE 1




62

1.1.- El punto A tiene igual cota que alejamiento y pertenece a los cuatro

cuadrantes, siendo su abcisa 20. De "B" sabemos que encontrándose en abcisa 50, el

valor de su cota es 20 mm mayor que su alejamiento pero de signo negativo y su

proyección horizontal dista 50 de "A'" por debajo de L.T.

Nota: En este caso las distancia entre A' y B' es 50 pero hay que resaltar que esta

no es la distancia real entre los puntos A y B.

1.2.- V(20,30,0) es la traza vertical de una recta horizontal a la cual también

pertenece el punto A(50,_,35). Determinar en dicha recta un punto "C" que también

pertenece al Primer Bisector y otro punto "D" del Segundo Bisector.

0

B'

B"

A'=A"

50




63

Nota1: C es un

punto que pertenece a r

y tiene igual cota que

alejamiento. Geométrica

mente se obtendrá

representando el

simétrico de cualquiera

de las dos proyecciones,

en este caso el simétrico

de r".

Nota2: D es mas sencillo de buscar geométricamente puesto que es el punto de

corte de las dos proyecciones.

1.3.- La recta r pasa por los cuadrantes 1º,2º y 3º, en este orden. Sabiendo que

contiene al punto A(10,40,10), que se corta con el Segundo Bisector en un punto de

abcisa 30 y que contiene al punto B(50,-10,_). Obtener sus proyecciones.

Nota: r" está

perfectamente definida con los

datos pero para representar r'

hay que tener en cuenta que en

el punto de abcisa 30 deben

cortarse ambas proyecciones,

tal y como se vio en el

ejercicio anterior.

V"

V'

C"

C'

A"

A'

D"=D'

A"

A'

B'

B"V'

V"

r"

r'




64

1.4.- "r" es un recta que sólo pasa por el primer cuadrante y uno de sus puntos

tiene alejamiento 20. "S" es una recta de perfil que pasa por L.T. en un punto de abcisa

30 y por el punto B(30,40,30). Obtener las proyecciones de las rectas y las del plano

definido por ambas.

Comentario : Las únicas rectas que pasan por un solo cuadrante son las

paralelas a L.T. y por otro lado para que dos rectas formen un plano, estas deben

cortarse en un punto. Dado que s es una recta de perfil, la mejor forma de saber si s corta

a r es en tercera proyección.

1.5.- sea "r" una recta en la que todos sus puntos tienen abcisa 40 y alejamiento

0. De todos los planos que puedan contener a esta recta, obtener las proyecciones de

aquel que todo lo que contenga se proyecte de igual forma sobre el P.V. que sobre el

plano de 3ª Proyección.

b"'

r"'=P"'

3ª P.r"

r'

s"

s'

P"

P'

a1 a2

a3




65

Comentario: Para que los elementos contenidos en un plano se proyecten igual

sobre el P.V. que sobre el de 3ª Proyección, debe ocurrir que la posición relativa de este

plano respecto de los dos anteriores sea la misma. Este es el caso de los dos planos

solución ya que en ambos casos forman 45º tanto con el P.V. como con el de 3ª

Proyección.

1.6.- Siendo la recta "r" de Máxima Pendiente del plano a y dadas las trazas de

r{ H(30,0,20), V(70,40,0) }, localizar un punto del plano a A(40,30,_) y pasar por él

una recta "s" perpendicular a a sabiendo que el plano abre sus trazas hacia la

derecha.

a2=b2

b1 a1

r"

r'

45º45º




66

Comentario: Tal y como se puede comprobar en el tema de perpendicularidad,

hay que trazar a1 per pendicular a r' pasando por H' y a2 debe contener a V" e intersectar

con a1 en L.T.

1.7.- M(50,20,40) es un punto de una recta "r" Horizontal del plano a obtener las

trazas de dicho plano sabiendo que estas se cortan en un punto de abcisa 10 y que el

punto A(30,0,40) pertenece a dicho plano.

t"

t'H'

V"

r'

r"

A'

A"

s"

s'

a2

a1

M"

M'A'

A"

r"

r'

a2

a1




67

Comentario : Al ser A un punto de las trazas del plano ( lo sabemos porque su

cota es cero), por él debe pasar la traza horizontal, esto nos dará la inclinación de la

proyección horizontal de la recta .

1.8.- La recta vertical r que contiene al punto P(40,30,40), forma el mismo

ángulo con el P.H. que el plano que la contiene; sabiendo que las trazas de dicho plano

se cortan en abcisa 70, obtener sus proyecciones. Obtener igualmente las proyecciones

de una recta horizontal "s" y una frontal "t" de dicho plano.

1.9.- sabiendo que "r" es una recta contenida en el Primer Bisector. Localizar un

plano a que la contenga y sea Perpendicular al segundo Bisector.

P"

P'

s"

s'=

t"

t'

a2

a1

r"




68

Comentario : Dado que el plano que buscamos es perpendi cular al segundo

bisec tor y el primer bisector también lo es, la recta intersección de ambos también será

perpendi cular al segundo bisec tor. Por otra parte necesitamos otra recta (s) que se corte

con r y que pertenezca al plano buscado. Sabemos que s se corta con r porque pasa por

un punto de esta.

1.10.- Dada la recta "r" cuyas proyecciones se cortan en abcisa 20 y contiene al

punto A(40,20,20) obtener un plano a que la contenga.

a2

a1

A"

A'

P'

P"

r"

r'

s"

s'

3ª P.

r"'

r"

r'

s"

s'

a1

a2




69

Comentario : Existen infini tos planos que contengan a una recta r de todos

ellos escogemos uno cualquiera que también contiene a una recta s, que corta a r en P.

Pasamos las trazas del plano por las trazas de las rectas y lo obtenmemos.

1.11.- El plano a queda definido por los puntos O(40,0,0), A (80,40,0) y

B(40,0,30). Localizar en dicho plano una recta de perfil "r" cuya traza vertical tiene cota

30. La recta "s" contiene un punto de "r" que también pertenece al Primer Bisector, y al

punto P(30,0,0). Determinar el plano b formado por " r y s".

r'

r"

s'

s"=

A"

A'O"=O'

b1

b2

a1

a2

Comentario : El único plano que completamente definido con estos dos puntos

es un proyectante vertical. Es interesante resaltar también el hecho de que r es la recta

resultante de la intersección de los dos planos proyectantes.




70

1.12.- sea a (50,-20,30,20). Localizar un punto de abcisa 60 de dicho plano, cuya

distancia a la L.T. sea 30.

r"'

r"

r'

V"r

H'r

P" P"'

25

P'

a2

a1

Comentario : Al cono cer la abcisa del punto y saber que pertenece al plano

podemos deducir que estará en una recta del plano en la que todos sus puntos tienen la

misma abcisa, esto es una recta de perfil, una vez tenemos la recta simplemente

solucionamos el proble ma en tercera proyec ción.




71

1.13.- Todos los puntos del plano a tienen alejamiento 40. El punto A de abcisa

20 pertenece también al 2º Bisector. De todos los puntos del P.V. de cota 40, seleccionar

aquel que diste 50 de A a su derecha.

A'=A"

P'

P" a1

Comentario : El hecho de que A pertenezca al segun do bisector significa que

su cota y alejamiento son iguales y que puede pertenecer al 2º ó 4º cuadrante. Como

también debe pertenecer a un plano frontal del primer y cuarto cuadrante, el punto A

estará en el 4º cuadrante.

Dado que P tiene la misma cota que A al medir la distancia entre los dos

lo podemos hacer en verdadera magnitud, en proyección horizontal, porque pertenecen a

un mismo plano horizontal.




72

TEMA 8: ABATIMIENTOS

8.0 CONCEPTOS

El abatimiento de un plano consiste en girarlo en el espacio hasta superponerlo a

otro plano, utilizando como eje de giro la recta intersección de ambos planos, este

fenómeno se puede comparar al abatimiento de una puerta, siendo el eje de giro la

bisagra de la misma.

En la figura 7.1 se puede apreciar el abatimiento del plano a sobre el plano b,

utilizando para ello la recta y como eje de giro (también llamada charnela).

Evidentemente este abatimiento se puede hacer en cualquiera de los dos sentidos

posibles.

fig. 8.1

Por lo general los abatimientos se realizan sobre los planos de proyección

(vertical u horizontal) por lo que la charnela será la traza del plano (vertical u

horizontal, según sea el caso), de esta forma conseguimos que todos los elementos

contenidos en el plano abatido queden representados en verdadera magnitud (por

aparecer contenidos en un plano de proyección), esto hace que esta sea una de las

operaciones mas utilizadas en el sistema diédrico.

i P1

P

a

b




73

8.1 ABATIMIENTO DE UN PUNTO

Observemos la figura 8.2 en la que aparece representado un punto A contenido

en un plano a y como se produciría el abatimiento de este punto sobre el P.H.

espacialmente...

fig. 8.2

En esta misma figura se aprecia el mismo abatimiento del punto, pero esta vez

realizado sobre el P.H. (rojo), tal y como se realizará en proyecciones, teniendo en

cuenta las siguientes reglas:

1) El Punto abatido A0 se encuentra en la perpendicular a la charnela que

pasa por la proyección del punto.

2) La intersección de esta perpendicular con la charnela proporciona el

punto C centro del giro.

a

a1

P.H. A

A'

cota de AR

CA0




74

3) Por la proyección del punto se pasa una paralela a la charnela donde se

colocará la cota (o alejamiento, según sobre que plano de proyección sea

el abatimiento) del punto.

4) Se realiza el abatimiento centrando en C.

En la figura anterior podemos apreciar que los puntos pertenecientes a la

charnela pertenecen a los dos planos por lo que estos puntos ya están abatidos, en caso

de necesitarlos.

A continuación se resuelve el problema en proyecciones:

fig. 8.3

De esta forma se pueden ir abatiendo todos los puntos del plano que nos

interesen uno a uno.Sin embargo, y aunque se verá mejor en el siguiente apartado, este

arduo proceso se puede simplificar si abatimos previamente una de las trazas del plano,

lo que significa abatir una recta del plano pero esta recta tiene una condición particular y

es que uno de sus puntos, el punto de corte con la L.T., pertenece al plano sobre el que

se abate por lo que no hay que abatirlo. A continuación se presenta este procedimiento

realizado de dos formas diferentes de las cuales se recomienda la solución en rojo por

ser más rápida.

A0

A"

A'

cota de ACR

a2

a1

a2

a1

A'

A"

A0

Calejam. de A

Abatimiento sobre P.H. Abatimiento sobre P.V.




75

fig. 8.4

8.2 ABATIMIENTO DE RECTAS

Para abatir una recta bastará con abatir dos de los puntos de la misma. Este

proceso es mas rápido si los puntos utilizados son las trazas de la recta a abatir.

A continuación se presentan algunos abatimientos de rectas singulares del plano:

. rectas frontal y horizontal de plano.

fig. 8.5

A"

A'

C

A0

a2

a1a0

b2

b1

b0

a2

a1(a2)0

r"

r'

r0

s"

s'

s0

V"

V"

H'




76

Nota : Dado que la recta horizontal es paralela al P.H., en el abatimiento esta

recta será paralela a la traza horizontal del plano (no en vano esta recta también es

horizontal), por lo que simplemente abatiendo uno de sus puntos (preferentemente su

traza) podremos montar la recta abatida por paralelismo. Algo similar ocurre con la

recta frontal.

. rectas de máxima pendiente y máxima inclinación.

r"

r'

r0

s0

s'

s"

a2

a1(a2)0

Nota : Obsérvese como las rectas siguen conservando su característica de

perpendicularidad a las trazas correspondientes.




77

. recta genérica y de perfil.

a2

a1

(a1)0

r0

r"

r'

s0

s"

s'

.abatimiento de figura plana.

Nota : En este ejercicio inicialmente se ha trazado el plano en el cual está

contenido el pentágono y se ha abatido. En el abatimiento del plano se ha dibujado el

A0

B0

C0 D0

E0

A"B"

C"D"

E"

E'

A'

B'

C'D'

a2

(a2)0

a1




78

pentágono tal y como es en realidad y posteriormente se ha desabatido para obtener sus

proyecciones diédricas.

. abatimiento de una circunferencia.

Nota : El abatimiento de una circunferencia siempre se puede realizar abatiendo

un número indeterminado de puntos (nunca menos de ocho), de forma que la unión de

estos puntos nos den la elipse resultante. Sin embargo se puede optar por la solución

expuesta en la que los puntos elegidos son aquellos que nos suministrarán los ejes

principales de la elipse, para que de esta forma la construcción de la misma sea mas

exacta, en proyecciones.

Para obtener los ejes principales habrá que utilizar dos rectas para la proyección

horizontal que son una de máxima pendiente y una horizontal, que pasan por el centro

de la circunferencia (en azul en el dibujo), y otras dos para la proyección vertical

(frontal y de máxima inclinación).

Cabe resaltar que no es necesario desabatir los cuatro puntos sino que con dos es

suficiente porque los otros dos se obtienen a partir de los anteriores puesto que en el

12

34 2'

1'

3'

4'

A

B

A"B"

a1(a2)0

a2




79

sistema diédrico las proporciones se mantienen, es decir, que el punto medio seguirá

siendo el punto medio en proyecciones y lo mismo ocurre para cualquier otra

proporción, un tercio, un cuarto, etc...

Así es como se ha resuelto en proyección vertical, en donde sólo se han

desabatido dos puntos y los otros dos están a la misma distancia (distancia en

proyección) del centro que los anteriores.

Para resolver la elipse se puede utilizar cualquier método de resolución dados los

ejes principales.




80

TEMA 9: GIROS

9.0 INTRODUCCIÓN

Los giros son procedimientos mediante los cuales desplazamos puntos, rectas o

planos hasta posiciones convenientes para su estudio, para de esta forma facilitar el

trabajo de análisis.

Para que se produzca un giro de un punto este debe realizarse de forma que el

punto se mueva siempre sobre un mismo plano y a una misma distancia de un punto

"O", de tal forma que todas las posibles posiciones que pudiera ocupar el punto "P" en

el plano describen una circunferencia de centro "O" (centro de giro) y radio "PO" (radio

de giro). Partiendo de la posición inicial de "P" y una vez determinada su posición final

denominamos como ángulo de Giro al ángulo recorrido por el punto.

9.1 GIRO DE UN PUNTO

La figura 8.1 muestra un ejemplo de giro de un punto en el sistema diédrico.

Para poder realizar el giro es necesario definir el eje de giro, que será una recta

alrededor de la cual girará el punto, como norma general el eje de giro debe ser

perpendicular al plano sobre el que se quiere que gire el punto, en este caso dicho eje es

una recta vertical porque lo que pretendemos es girar el punto sobre un plano

Horizontal.

e

e'

e"

AA"

A'1

A1A"1

BB"




81

fig. 9.1

Mientras A gira alrededor del eje, su proyección Horizontal "A' " también lo

hace en torno a "e' ", describiendo una circunferencia de centro "e' " y radio e'A'. Su

proyección vertical, en cambio, se desplaza paralela a la L.T., oscilando entre los puntos

de abcisa correspondientes a los puntos de la circunferencia de mayor y menor abcisa. El

movimiento de A se describe en la figura 8.2.

e"

e'

A"

A'

A"1

A'1

B"

B'

fig. 9.2

Es importante señalar el punto "B". Si nos fijamos este punto pertenece a la recta

que se ha elegido como eje de giro, por lo que aunque quisiéramos girarlo no podríamos

porque el radio de giro es cero, salvo que escogiésemos otro eje de giro.

Cabe destacar por último que en este ejemplo el giro se ha realizado sobre un

plano horizontal. Si por el contrario hubiéramos utilizado un eje de punta, el giro

debería realizarse sobre un plano Frontal.

9.2 GIRO DE UNA RECTA

Este es uno de los métodos mas utilizados para colocar las rectas de forma que

las veamos en proyecciones en verdadera magnitud, para lo cual debemos girar la recta

para transformarla en una recta Horizontal o en una Frontal, según nos interese.

El giro de una recta se hace tomando dos puntos de la misma y girándolos

teniendo en cuenta lo siguiente:

- Siempre se deben girar los dos puntos utilizando el mismo eje de giro.




82

- Los dos puntos deben girar en la misma dirección.

- Los dos puntos deben girar el mismo ángulo.

En cualquier caso, en la práctica lo que se hace para girar una recta es utilizar un

eje de giro que corte a dicha recta, porque tal y como vimos en el apartado anterior, los

puntos que pertenecen al eje permanecen en el mismo sitio después del giro, de esta

forma sólo tendremos que girar un punto de la recta y unirlo con la intersección de la

recta y el eje (ver fig. 9.3 - 9.4).

P"

T'

T"

P'

r"

r'

r'1

r"1

T"1

P"1

P'1

T'1

e"

e'

fig. 9.3

r"e"

e'

r'

r'1

r"1

A'1

A"1

A"

A'

fig. 9.4




83

EJERCICIOS

9.1 Tomar el punto P(-,30,30) y mediante un eje vertical, someterle un giro de

30º a su izquierda.

P"P"1

PP1

P'1

P'

e'

ee"

9.2 tomar la recta V(20,40,0) H(70,0,40) y girarla hasta transformarla en recta

horizontal del P.H.

V"

H'

r

e = e'

r1 = r'1

e"

NOTA : El eje que se ha utilizado es una recta de punta que pasa por el punto H.

Observar también que una vez transformada la recta, la tenemos como recta horizontal,




84

es decir, en verdadera magnitud y que el ángulo que forma esta recta con el P.V.

también está en V.M.

9.3 Dada la recta r { H(20,0,-20) V(40,15,0) } y un punto de ella de cota 20, girar

dicha recta y transformarla en frontal utilizando un eje que pasa por P.

re

r1

P

r"

r'

H'

V"




85

TEMA 10: CAMBIO DE PLANOS

10.0 INTRODUCCIÓN

El fundamento de obtención de proyecciones en el sistema diédrico se

basa en elegir un diedro recto sobre el que se proyectarán los elementos espaciales. La

elección de este diedro es, en principio, libre y según se elija uno u otro la imagen

(proyección) del objeto será diferente, suponiendo que tal objeto tiene una posición fija

en el espacio. En realidad un diedro puede ser útil para proyectar un determinado objeto

pero no tanto para otro puesto que las proyecciones obtenidas para este segundo objeto

son poco definitorias del mismo.

Teniendo en cuenta este hecho en este capítulo se proporcionará una herramienta

que nos permitirá, a partir de las proyecciones de u objeto sobre un diedro determinado,

obtener las proyecciones sobre otro diedro que nos facilite las operaciones, a esta

herramienta se le conoce con el nombre de "Cambio de plano".

10.1 CAMBIO DE PLANO DE UN PUNTO

la figura 10.1 muestra las proyecciones del punto P respecto del diedro elegido,

sobre los planos P.H. y P.V. .Si pudiéramos girar el P.V. sobre un eje vertical hasta la

posición deseada y luego proyectásemos sobre ese nuevo P.V.1 obtendríamos un nuevo

diedro o sistema de proyecciones que actúa de la misma forma que el anterior,

obteniéndose las proyecciones indicadas en la figura 9.1. En este caso lo que hemos

hecho es un cambio de plano vertical.




86

fig. 10.1

Observemos el mismo cambio de plano en la figura 10.2 (representación

diédrica) y veremos cuales son sus propiedades:

- La proyección horizontal permanece en el mismo sitio.

- la cota del punto es la misma.

- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.

- A la derecha de L.T. se colocan las siglas V1,H.

1.82

1.82

H

P"

P'

P"1

V1

fig. 10.2

Para efectuar un cambio de plano horizontal se realiza de igual forma pero en

este caso sus propiedades son:

- La proyección vertical permanece en la misma posición.

- El alejamiento del punto es el mismo.

PP"

P'

P"1




87

- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.

- A la derecha de L.T. se colocan las siglas H1,V.

1.87

1.87

P"

P'

P'1

H1

V

fig. 10.3

10.2 CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA

Para efectuar el cambio de plano de una recta bastará con cambiar de plano dos

puntos de dicha recta, según el método anteriormente explicado, y una vez hecho esto

unirlos entre si. Hay que resaltar que para analizar relaciones entre dos elementos de

un problema que hallan sufrido cambio de plano, han de haber sido sometidos los

dos elementos al mismo cambio de plano.

10.3 CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO

Al efectuar este cambio de plano debemos observar que una de las trazas del

plano, aquella cuyo nombre coincide con el del cambio de plano, permanecerá tal como

es, sin sufrir ninguna transformación mientras que la otra si se modificará.

Para modificar la otra traza del plano habrá que localizar un punto de dicha traza

y cambiarlo de plano. Para simplificar el método el punto elegido deberá ser aquel cuya

proyección se encuentre en el punto de corte de las dos L.T., tal como se ve en la figura

9.4. Una vez tenemos cambiado este punto lo uniremos con el punto de corte de la otra

traza del plano con la nueva L.T.




88

fig. 10.4

A"

A'1

a2

a1

(a1)1




89

TEMA 11: ÁNGULOS

INTRODUCCIÓN

El ángulo que forma una recta con un plano es el ángulo que forma dicha recta

con su proyección sobre dicho plano, es decir, que por ejemplo el ángulo que formará

una recta cualquiera con el P.V. es el que formará esa recta con su proyección vertical.

A pesar de que existen varios métodos para la determinación de estos ángulos en

este estudio nos basaremos en un método que por su precisión y sencillez parece el mas

apropiado para el objetivo que se persigue en la presente publicación.

Básicamente el método se fundamenta en la obtención de un cono de forma que

una de las generatrices del mismo es la recta que estamos buscando o una paralela a la

misma.

Por definición un cono se forma con una curva cualquiera (Directriz), plana o

alabeada, y un punto exterior a ella. Las infinitas rectas (Generatrices) que pasando por

el punto P se apoyan constantemente en la directriz, definen la superficie cónica (fig.

11.1).

fig. 11.1

Directriz

Generatriz

V




90

En base a esta explicación existen una cantidad infinita de conos aunque para el

fin que perseguimos en este capítulo sólo nos interesan aquellos conos que teniendo una

directriz circular de radio r y cuya altura es perpendicular al plano de la base por el

centro de la misma (Conos rectos) en la fig. 11.2 tenemos una representación espacial de

este tipo de conos.

V

h

d

fig. 11.2

En este tipo particular de conos siempre podremos asegurar que sus generatrices

miden lo mismo y que todas forman el mismo ángulo con el plano que contiene a la

base.

11.1 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON UNO DE LOS PLANOS

DE PROYECCIÓN

Genéricamente para obtener una recta que forme un ángulo determinado con uno

de los planos de proyección lo que tendremos que hacer es generar un cono de forma

que sus generatrices formen el mismo ángulo con el plano que la recta buscada. Dado

que se podrían formar infinitos conos de este tipo para particularizar vamos a suponer

que la recta ha de formar un ángulo Ah con el P.H. y que ha de contener al punto P

(dato).

La solución sería exactamente igual que para el caso genérico pero en este caso

haremos que el vértice del cono sea el punto P, para de esta forma obligar a todas las

generatrices a contenerlo, y la base del cono deberá estar en el P.H. puesto que es con

este plano con el que queremos calcular el ángulo (fig. 11.3).




91

fig. 11.3

La representación diédrica es la de la figura 11.4. Para obtener esta

representación partimos de una recta frontal (r) que contiene al punto P y forma un

ángulo "Ah" con el P.H. (ángulo en V.M., ver capítulo 2). Una vez obtenida esta recta

generamos el cono, que en proyección horizontal será una circunferencia de centro P' y

radio P'H' y en proyección vertical será un triángulo isósceles cuyo vértice es P". Sobre

esta circunferencia se encuentran las trazas horizontales de todas las posibles rectas que

formando un ángulo Ah (p.e. la recta t) con el P.H. pasan por el punto P. Así pues sólo

queda elegir la proyección que mas nos interese en función de las características del

problema a resolver.

P

Ah

P"

P'




92

P"

P'

r"

r'

Ah

H't

H"tV't

t"

t'

fig. 11.4

Si el problema no nos impone la condición de pasar por un punto P determinado

la construcción es algo mas genérica (fig. 11.5).

V"r

r"

r'

t"

t'

s"

s'

H'

fig. 11.5

Partiendo igualmente, de una recta frontal, tomaremos un punto de esta, que

posteriormente será la traza vertical de la recta buscada, y haremos que este punto sea el

vértice del cono y siguiendo los mismos pasos anteriores desarrollaremos este nuevo




93

cono que en esta ocasión tendrá la mitad en el segundo cuadrante. Como, por lo general

, los datos suelen ser referidos al primer cuadrante las posibles soluciones se encontrarán

en la semicircunferencia perteneciente al primer cuadrante (aunque no hay que olvidarse

que existen igual número de soluciones en el segundo cuadrante).

Por otra parte resaltar que, por paralelismo, cualquier recta paralela a una de

estas generatrices (s) formará el mismo ángulo que estas con los planos de proyección,

por lo que en ocasiones el cono se puede formar en uno de los extremos de la lámina y

por paralelismo trasladar la recta a la posición requerida.1

Hasta ahora lo que hemos hecho es obtener una recta que forma un ángulo Ah

con el P.H. pero si lo que queremos es medir el ángulo que una recta dada forma con el

P.H., deberemos girar la recta y transformarla en una recta frontal, midiendo el ángulo

directamente una vez transformada2 fig. 11.6.

t"

t'

Ah

V.M.

V"

H'

fig. 11.6

En esta pregunta lo hemos resuelto todo respecto del P.H. pero para el caso de

ángulos con el P.V. habría que seguir los mismos pasos y donde dice recta frontal

debería decir recta horizontal, generando el cono apoyado en el P.V.

1 Si lo que se pretende es un segmento de recta cuyo valor en el primer cuadrante es d

(distancia entre trazas), partiremos de una recta frontal cuya V.M. es d.2 Otra forma de conseguir estos es conteniendo a la recta en un plano Proyectante

Horizontal ( o proyectante vertical para el caso de ángulo con el P.V.), abatir dicho plano y medir

el ángulo que forma la recta abatida con la traza horizontal del proyectante α1 (α2 para el P.V.)




94

11.2 ÁNGULO QUE FORMA UN PLANO CON UNO DE LOS PLANOS

DE PROYECCIÓN

Para resolver este problema nos basaremos en que un plano que se encuentre

apoyado en un cono formará el mismo ángulo, con el plano que contiene la base del

cono, que las generatrices de este (fig. 11.7).

fig. 11.7

Dado que sabemos como obtener el cono lo que nos queda por ver son las

condiciones de tangencia.

Tal y como se muestra en la figura 11.7 se puede asegurar que un plano es

tangente a un cono, apoyado en el P.H.3, cuando el plano contiene a una de sus

generatrices y la traza horizontal del plano a1 es tangente a la directriz del cono ( por la

traza de dicha generatriz). Diédricamente se resuelve según la figura 11.8.

3 Si lo que se pretende es un plano que forme un ángulo determinado con otro (b

)que no sean los de proyección, habrá que realizar las mismas operaciones pero en este caso el

cono se construirá apoyado en dicho plano (b) y la recta intersección de ambos planos debe ser

tangente a la directriz del cono.

V"

H'

a2

a1




95

fig. 11.8

En este ejemplo se muestran dos de los infinitos planos que se podrían obtener

que formen el ángulo Ah con el P.H.; también cabe hacer hincapié en que la recta que

contiene el plano y que es a su vez generatriz del cono ( r), es una recta de máxima

pendiente del plano la cual, tal y como se mencionó en el capítulo 2, formará el mismo

ángulo con el P.H. que el propio plano.

El caso inverso consistirá en medir el ángulo que forma un plano con uno de los

de proyección para lo cual habrá que tener en cuenta lo siguiente:

De todas las rectas contenidas en un plano existen unas determinadas que forman

el mismo ángulo con el P.H. que dicho plano, estas son las rectas de máxima pendiente

(rectas de máxima inclinación para el caso de ángulo con el P.V.). Así pues para

determinar el ángulo que forma un plano con el P.H. lo que debemos hacer es tomar una

Ah

a2

a1

b2

b1

r"

r'

V"

H'




96

recta de máxima pendiente del plano y calcular el ángulo que forma esta con el P.H.(

recta de máxima inclinación para el ángulo con el P.V.) fig. 11.9.

fig. 11.9

11.3 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON LOS DOS PLANOS DE

PROYECCIÓN

Este problema lo solucionaremos nuevamente apoyándonos en el mismo

"método del cono" . En esta ocasión utilizaremos dos conos, uno de ellos (Cono 1)

generado a partir de un segmento de recta frontal que mide "d" unidades formando un

ángulo Ah con el P.H. y el otro (Cono 2) generado por un segmento de recta horizontal

que mide "d"4 unidades y forma un ángulo Av con el P.V. de proyección. Fig. 11.10

4Los dos segmentos deben medir lo mismo puesto que se trata de la misma recta girada

dos veces.

Ah

r"

r'

H'r

V"r

t"

t'Av

a2

a1




97

fig. 11.10

Según esta figura vemos que al trasladar H' paralelamente a L.T. nos proporciona

dos posibles posiciones para H' sobre la directriz del Cono 1 que son las dos posibles

soluciones de este problema en el primer cuadrante. Si construyéramos el Cono 2 de

forma que H' estuviera en el segundo cuadrante, obtendríamos las otras dos soluciones

del segundo cuadrante; así pues este problema siempre tendrá cuatro posibles soluciones

entre las que se deberá escoger la que nos interese.

Evidentemente, también se puede apreciar en la figura que es indiferente

trasladar H' ó V", las soluciones serán las mismas.

Diédricamente se aportan las cuatro soluciones en la figura 11.11.

d

d

AvAh

H'2H'1

1"

1'

2"

2'

Ah

V"

H'3 H'4

3'3"

4"

4'

Av

fig. 11.11

El problema inverso, es decir, determinar los ángulos que forma una recta con

los dos planos de proyección, ya lo hemos solucionado en los apartados anteriores, así

V"

H' H'H'

AhAv

Cono 1 Cono 2




98

pues habrá que determinar primeramente el ángulo que forma con uno de los planos de

proyección y luego con el otro.

11.4 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA QUE PASA POR L.T. CON

LOS PLANOS DE PROYECCIÓN

No deja de ser un caso particular del expuesto anteriormente pero dado que lo

vamos a necesitar para posteriores aplicaciones haremos hincapié en él.

Para determinar el ángulo que forma con el P.V. transformaremos la recta en una

horizontal, mientras que para calcular Ah, la transformaremos en una frontal. Estos

pasos se muestran en la siguiente figura, así como la solución completa.

r"

r'

V.M.

Ah

r"

r'

P"

P'

P"1

P'1 Av

P'

P"

P"1

P'1

V.M.

V.M.

V.M.

Ah

Av

r"

r'

fig. 11.12

Para solucionar el problema inverso (determinar una recta que forme unos

ángulos dados con los planos de proyección) realizaremos los pasos a la inversa, es




99

decir, partimos de la recta transformada en horizontal y en frontal (ver figura 11.13) y

realizaremos los giros a la inversa.

fig. 11.13

11.5 ÁNGULO QUE FORMA UN PLANO CON LOS DOS PLANOS DE

PROYECCIÓN

La forma de determinar estos dos ángulos , dado el plano, ya la hemos estudiado

anteriormente, así pues habría que calcular primero el ángulo que forma con uno de los

planos de proyección y luego con el otro, siguiendo la metodología propuesta en

apartados anteriores o cualquier otra.

Sin embargo, si lo que se pretende es obtener las trazas de un plano, conocidos

los ángulos que este forma con los dos planos de proyección, la solución a este

problema se alcanza por otros métodos no vistos hasta el momento, uno de los cuales se

expone a continuación.

Nos basaremos en una recta (r) que pasa por L.T. y es perpendicular al plano a

que queremos determinar. Por geometría sabemos que si el plano a forma un ángulo Av

con el P.V., el hecho de que r sea perpendicular a él implica que r formará un ángulo de

( 90 - Av) con el P.V., lo mismo ocurrirá en el plano horizontal donde a formará un

ángulo Ah ,dado , y r (90 - Ah) lo que se muestra en la figura 11.14.

Ah

Av

V.M.

V.M.

r"

r'

V.M.

V.M.




100

fig. 11.14 En la figura se

puede apreciar la recta m que

es una recta de máxima

inclinación del plano y por lo

tanto for mará el mismo ángulo con el P.V. que el propio plano. También se aprecia la

intersección de la recta m con la s en el punto I.

Sólo se muestra respecto del P.V. puesto que para el ángulo con el P.H. se hacen

las mismas consideraciones.

Así pues se tratará de buscar una recta que forme (90- Av) con el P.V. y (90 -

Ah) con el plano horizontal, conocidos Av y Ah, por el método descrito en el apartado

anterior. Una vez tengamos las proyecciones de esta recta, cualquier plano que se

perpendicular a la misma formará un ángulo Av con el P.V. y un ángulo Ah con el P.H.

Hay que destacar que la suma de los dos ángulos (Ángulo que forma con el P.V.

y con el P.H.) de los posibles planos debe estar comprendida entre 90<= x <= 180, de tal

forma que para el valor de 90 tendremos un plano horizontal o frotal y para 180 un

plano de perfil.

A continuación se presenta una resolución diédrica de este ejercicio:

m

m"

m'

Av

90-Av

90ºI

s

s'

=s"

a2

a1




101

fig. 11.15

Siendo el plano obtenido una de las posibles soluciones. Por supuesto cualquier

plano paralelo a este formará los mismos ángulos con los planos de proyección, por lo

que el ejercicio se puede montar a un lado de la lámina y trasladar el plano por

paralelismo a la posición que nos interese.

11.6 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON LA L.T.

Este ejercicio se resolverá por abatimientos, para lo cual es necesario tener un

plano que será el que vamos a abatir. Este plano será el formado por la recta que nos da

el problema y la L.T., evidentemente este será un plano que pasa por línea de tierra por

lo que preferiblemente lo abatiremos en tercera proyección. Una vez hayamos abatido la

recta tendremos el ángulo que esta forma con la L.T. en verdadera magnitud. A

continuación se muestra la resolución gráfica de este ejercicio en la figura 11.16.

r"

r'

a2

a1

90-Ah

90-Av




102

3ª P.

r"

r'

V.M.

P" P"'

P'

P1

fig. 11.16




103

EJERCICIOS

1.- Dado el plano Alfa que forma 45º con el P.H. y 60º con el P.V., cuyas trazas

se cortan en abcisa 20 abriéndose hacia la derecha. Obtener la recta "r" de dicho plano

que forma 30º con el P.H. y pasa por el punto P(50, 10, -) perteneciente al plano, de

forma que la traza horizontal de la recta esté a la derecha de la vertical.

Nota : Inicialmente se ha resuelto el plano a un lado de la lámina y se traslada

por paralelismo hasta el lugar que nos interesa. Se aplica el método del cono (azul) para

obtener la recta, haciendo que el vértice del mismo sea el punto P para de esta forma

forzar a que la recta solución pase por P. Una vez trazamos la base del cono vemos que

existen dos posibles soluciones, que serán aquellos puntos en que la base corta a la traza

horizontal del plano, porque la recta debe pertenecer al plano. Por último se elige la

solución que nos interese, en este caso la solución en rojo.

0

a2

a1

a2

a1

P"

P'

30º

r"

r'




104

2.- La recta r pasa por el punto P 40, 30, 10), forma 60º con el P.H. y 30º con

el P.V., estando en el primer cuadrante y su traza horizontal a la derecha de la vertical. r

es recta de máxima pendiente del plano Beta. Obtener las trazas de dicho plano.

Nota : A un extremo de la lámina se monta la recta según las descripciones del

problema y siguiendo el método ya conocido, puede verse claramente dos de las cuatro

soluciones para esta recta, tomándose la que nos conviene (azul). Una vez obtenida la

trasladamos por paralelismo al punto que nos interesa y cuando la tengamos situada

pasamos un plano de forma que esta recta se convierta en recta de máxima pendiente del

plano (rojo).

3.- El plano Alfa contiene al punto P, forma 45º con el P.V. y sus trazas se

abren hacia la izquierda cortándose en el punto de abcisa 70. P (30, 20, 25).

6015

d

d

r"

r'P'

P"

b2

0

b1




105

Nota : Se desarrolla el cono de forma que el vértice del mismo sea el punto P

(azul), cuando lo tengamos pasamos una recta tangente a la base que corte a la L.T. en el

punto de abcisa 70, seguidamente obtenemos la recta que conteniendo al punto P

pertenece al plano (verde) esta recta será de máxima inclinación del plano, y por último

pasamos la traza horizontal del plano de forma que contenga a la recta r.

4.- El punto T dista 90 del origen de abcisas y está en el P.H. anterior, siendo

su alejamiento 40. Desde T se localiza el punto P que dista 20 de él y tiene su misma

abcisa y alejamiento, de forma que P se encuentra en el primer cuadrante. Por P pasa

una recta que "pasa por L.T." y forma 60º con esta. Obtener las proyecciones de la recta

sabiendo que sus puntos disminuyen de cota al aumentar su abcisa.

a2

a1

P"

P'

r"

r'

0




106

Nota : Hay que tener en cuenta que el primer dato se da como distancia entre

dos puntos, dado que el punto T pertenece al P.H. la recta " 0T" es una recta horizontal

por lo que podemos medir en ella los 90. A partir de T y aplicando distancia

nuevamente localizamos el punto P sobre una recta vertical que pasa por T. Con el

punto P nos vamos a tercera proyección y abatimos el punto y la recta r (azul). La recta

abatida debe formar 60º con L.T. (verde). Una vez conocemos el punto de corte de las

proyecciones de la recta con la L.T. sólo nos queda pasar las proyecciones de la recta

por el punto P (rojo).

5.- El plano Alfa viene definido por las rectas r {(30, 0 ,10) (60, 30, 0)} y s que

pasa por el punto (10, 0, 0) y corta a r en un punto de abcisa 40.

Determinar el ángulo que forma el plano con el P.H. y con la L.T.

P"

P1

T'=P'

r'

r"

r1

P"'

0

3ª P.

r"'

90

60




107

Nota : El ángulo que forma el plano con el P.H. se determina con una recta de

máxima pendiente y aplicando el método ya conocido (azul). Para el segundo apartado

tomamos una recta de perfil del plano (n) y la llevamos a tercera proyección en donde

trazamos una recta que pasa por L.T. y es perpendicular a la anterior, esta recta

pertenecerá al plano Alfa y el ángulo que forme esta recta con la L.T. será el mismo que

el que forme el plano con L.T. (verde - rojo).

r"

r'

s"

s'

u"

u'

Angn"

n'

n"'

t"'t"

3ª P.

a2

a1




108

PROBLEMAS PARTE 2




109

1.- P (20, 35,-) es un punto del 2º cuad., 2º bisector; M pertenece al 1er cuad. , 1er

bisector y tiene 15 de alejamiento distando 40 de P a la derecha. El plano Alfa es

perpendicular a la recta s ,definida por los dos puntos anteriores. M es el centro de la

circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero contenido en el plano Alfa de forma

que una altura de este triángulo es recta de máxima pendiente del plano, uno de los

vértices se encuentra en uno de los planos de proyección y todo el triángulo se encuentra

en el primer cuadrante. Este triángulo es la base de una pirámide recta de altura 50 mm

cuyo vértice se encuentra a la derecha de la base. Obtener las proyecciones de la

pirámide indicando partes vistas y ocultas.

Paso 1: Para localizar los puntos hemos aplicado el método de distancias por

diferencia de alejamientos. Como no conocemos previamente ninguna de las

proyecciones de M, construimos un triángulo semejante al que resultaría una vez

aplicado el método (azul), de esta forma obtenemos el valor que tendrá en proyecciones

la distancia P"M", este valor lo trasladamos con un arco centrado en P" hasta llegar al

valor de cota correspondiente (15). El cálculo del plano perpendicular se obtiene

apoyándose en una recta que sabemos estará contenida en dicho plano y contiene a M

(rojo).

M"

M'

s"

s'

P"=P'a2

a1




110

Paso 2 : Para poder construir el triángulo es necesario abatir el plano Alfa. Una

vez lo hemos abatido seguimos las restricciones que nos impone el problema, en este

caso uno de los vértices en un plano de proyección y todo el triángulo en el primer

cuadrante. Cuando se tiene el triángulo se desabate y se representa en proyecciones.

(Azul - rojo).

M"

M's'

P"=P'a2

a1 M1

A

B

C'=C

A'

B'

B"A"

C"

(a2)1




111

Paso 3: Por geometría sabemos que el vértice de una pirámide recta se encuentra

sobre una recta perpendicular a la base por el centro de esta. En nuestro caso esa recta es

la recta PM y el centro de la base M, dado que esta recta no se encuentra en verdadera

magnitud debemos girarla para poder medir los 50 mm a partir de M (azul), para este

menester se a utilizado el punto T. Una vez tenemos el vértice simplemente habrá que

unir los vértices de la base con V y tener en cuenta que parte de la pirámide será vista y

cual otra oculta, las partes ocultas se representarán en discontinua (rojo). Este ejercicio

es ante todo algo que se coge con la práctica puesto que a pesar de que existen métodos

para determinar las partes ocultas estos son mas complicados que la propia percepción

por parte del alumno.

M"

M's'

P"=P'

a2

a1

C'=C

A'

B'

B"A"

C"

(a2)1

V"V1

T'

T"




112

2.- r es una recta que pasa por L.T. por el punto de abcisa (20)y contiene al punto

T(65,35,25). Perpendicularmente a esta recta y por el punto P(90,20,15) pasa el plano

Alfa. Por la intersección de Alfa con r pasa una recta de punta (s) y en un punto de esta

de alejamiento cero, se encuentra centrada una circunferencia de radio (cota de s)

contenida en un plano perpendicular a s. Esta circunferencia es la base de un cono recto

contenido en el primer cuadrante de altura 60 mm. Obtener las proyecciones del cono.

intersección de la recta vertical m que pasa por el punto (50,0,20) con el cono.

Pasol 1 : Para la determinación de la intersección de los dos planos hemos

utilizado un plano frontal que al intersectar a los otros dos produce dos rectas frontales

las cuales se cortan en un punto. El otro punto se obtiene directamente por la

intersección de las trazas verticales de los planos Alfa y Beta, este procedimiento se

suele utilizar cuando las trazas se cortan fuera de la lámina de trabajo (azul). El plano

perpendicular a s por un punto de alejamiento cero será el P.V. por lo que la

circunferencia la veremos en verdadera magnitud en proyección vertical (rojo).

T"

T'

P"

P'

r"

r'

a2

a1

b1

b2

g1

i'

i"

I'

I"

s'

2"

2'

1"

1'




113

Paso 2: Para el cálculo de la altura es necesario una recta perpendicular a la base

por el centro de esta ( porque es un cono recto), que en este caso es la propia recta s.

Dado que esta recta está en verdadera magnitud en proyección horizontal, podremos

medir en ella directamente el valor de la altura (50 mm) y una vez tengamos este punto

lo unimos a los puntos del contorno aparente de la base y tendremos las proyecciones

del cono (rojo).

T"

T'

P"

P'

r"

r'

a2

a1

b1

b2

g1

i'

i"

I'

I"

s'

2"

2'

1"

1'

V'




114

Paso 3: Para calcular la intersección de una recta con un cono hay que localizar

un plano que contenga a la recta y al vértice del cono ( en este caso un plano proyectante

horizontal), si este plano corta a la base del cono (en este caso si la corta) de los puntos

de corte partirán dos generatrices del cono, donde esas dos generatrices corten a la recta

(puntos 1 y 2) ahí se encontrarán los puntos intersección (solución en rojo). En el caso

en que el plano no corte a la base,evidentemente , no existirá intersección de la recta con

el cono.

Hay que resaltar también que el tramo comprendido entre los dos puntos

intersección debe ir en trazos discontinuos puesto que es una zona oculta.

T"

T'

P"

P'

r" a2

a1

b1

b2

g1

i'

i"

I'

I"

s'

2'

1"

1'

V'

m"t2

t1

1"

2"

1'2'm'




115

3.- r es una recta de perfil paralela al segundo bisector por el punto (60,50,10), s

es perpendicular a r por su punto medio y todos sus puntos pertenecen al primer

cuadrante. Las trazas de r son dos de los vértices de un cuadrado (ABCD), estando los

otros dos sobre s. Estos vértices los nombraremos en sentido antihorario siendo el A el

de menor cota. Localizar el punto T que estando en el mismo plano que el cuadrado

equidista 15 mm de B Y C teniendo la mayor cota posible. Calcular el ángulo que forma

la recta DA con los planos de proyección.

r"'

P"'

s"'s"

s'

r"

r'

B"

C"

D"

A'

B'

A"=C'

D'

Paso 1: La recta s debe ser, por las características dadas una recta paralela a L.T.

por lo que podremos medir en ella en verdadera magnitud en proyecciones, lo mismo

ocurre con la recta de perfil en tercera proyección. Así pues tomamos la medida en

tercera proyección y la situamos sobre s en proyecciones. Observar que la figura está

contenida en un plano paralelo a L.T. y al 2º bisector y como las proyecciones resultan

iguales.




116

r"'

P"'

s"'s"

s'

r"

r'

B"

C"

D"

A'

B'

A"=C'

D'

D B

A

T

T"'T"

T'

Paso 2 : Para poder localizar el punto T es necesario realizar un abatimiento del

plano que en este caso se hace sobre el P.V. en tercera proyección , procedimiento este

que se muestra en azul, una vez lo hemos hecho se localizará al punto T que debe estar

sobre la mediatriz del segmento BC y luego procedemos a su desabatimiento (rojo).

r"'

P"'

s"'s"

s'

r"

r'

B"

C"

D"

A'

B'D'

D B

A

T

T"'T"

T'A"

Paso 3: Este paso se soluciona por el método ya conocido. Para el cálculo del

ángulo que forma con el P.H. se puede apreciar el procedimiento en azul, y en rojo para

el P.V.




117

4.- El punto A pertenece al primer bisector, primer cuadrante, tiene cota 40 y

abcisa 50 mm. Este punto es el centro de una circunferencia de radio 30 que se ve en

verdadera magnitud en proyección horizontal. La recta r es paralela al primer bisector y

contiene a los puntos P(100,10,20) y T(70,-,30).La circunferencia es la base de un cono

recto cuyo vértice se encuentra en el P.H. calcular la intersección de la recta con el cono.

Paso 1: En principio no presenta ninguna dificultad salvo la obtención de la

recta que como sabemos las dos proyecciones presentan el mismo ángulo con la L.T.

A"

P"

T"r"

r'

T'

P'




118

Paso 2: Para poder determinar la intersección de la recta con el cono

seccionamos el cono con un plano que contiene a la recta (plano proyectante vertical), la

sección que le produce este plano al cono será una elipse que se determina con el

método que se muestra. Por el punto medio de la proyección vertical de la sección

(segmento rojo) se pasa un plano horizontal que también secciona al cono produciendo

una circunferencia, se desabate la mitad de esta circunferencia en proyección vertical y

se localiza el segmento m tal y como se muestra en el dibujo. Este segmento será el

valor del semieje menor en proyección horizontal y el eje mayor de la elipse se trae

directamente desde la proyección vertical. Una vez se tienen los dos ejes se construye la

elipse y donde esta elipse corte a la recta (puntos 1 y 2 en verde), estos serán los puntos

de corte de la recta con el cono. Este método es válido para cualquier intersección de

plano con cono recto sólo que si el plano no es un proyectante hay que transformarlo en

uno aplicando cambio de planos.

A"

P"

T"r"

r'

m

T'

P'm a1

a2

2"

1'

2'

1"




119

5.- El plano Alfa viene definido por las rectas r y s. r es una frontal que forma

30º con el P.H. y contiene al punto (30,25,0) de forma que sus puntos aumentan de cota

hacia la izquierda. s es horizontal, forma 45º con el P.V., sus puntos aumentan de

alejamiento hacia la izquierda y se corta con r en L.T. . Paralelamente a Alfa 40 mm a su

derecha se encuentra el plano Beta.En Alfa se encuentra un triángulo equilátero inscrito

en una circunferencia de radio 25 mm tangente a los dos planos de proyección, de forma

que uno de los lados de este triángulo, el de mayor abcisa, es una recta de máxima

inclinación. Este triángulo es la base inferior de un prisma recto cuya base superior se

encuentra en el plano Beta. Obtener las proyecciones del prisma indicando partes vistas

y ocultas.

Paso 1: Para la determinación de un plano paralelo a otro es necesario disponer

de una recta que sea perpendicular al segundo sobre la cual deberemos medir la

distancia entre ambos planos. Como esta recta (azul) no está en verdadera magnitud

hemos de girarla, medir la distancia y deshacer el giro. Una vez tengamos el punto que

dista 40 mm del plano hacemos pasar por este punto el plano paralelo.

r"

s'

40 mm

P'

P"

b2

b1

a2

a1




120

Paso 2: En esta parte del problema se ha de construir en el abatimiento la

circunferencia tangente a las dos trazas del plano y orientar el triángulo inscrito según

nos pide el problema (azul) . Una vez lo tenemos procedemos a su desabatimiento

(rojo).

P'

P"

b2

b1

a2

a1




121

Pasol 3: el hecho de que el prisma sea recto implica que sus aristas serán

perpendiculares a los dos planos. Utilizando una de estas aristas calculamos la

intersección de esta con el plano Beta (proceso en azul). Por este punto intersección

pasaremos rectas paralelas a la base inferior puesto que al ser los planos paralelos y al

pasar estas rectas por un punto del plano Beta (Y), podemos asegurar que las rectas

paralelas pertenecerán al plano Beta, de esta forma nos ahorramos el tener que abatir

Beta para construir nuevamente la base.

P '

P "

b2

b1a1

I"

I'

a2




122

6. -Dos de las caras de un cubo de arista 45 mm, están contenidas en planos

proyectantes horizontales que forman 60º con el P.V., abriendo sus trazas hacia la

derecha. El vértice A de la base cuya abcisa es 100 mm, tiene cota 0 y es el de menor

alejamiento, siendo este 30. Obtener las proyecciones del cubo. Obtener igualmente la

sección y Verdadera Magnitud que le produce un plano p definido por M(140,0,0),

N(100,40,0) y S(100,0,90). Desarrollar la superficie del cubo incluyendo la

transformada de la sección.

Paso 1: Las aristas que no estén contenidas en los planos, deben ser

perpendiculares al plano que contiene las caras y dado que A es el vértice con menor

alejamiento esto obliga a una construcción en la que una de las caras está apoyada en el

P.H. por lo que todas las aristas de esa cara estarán en V.M.. Por otro lado las aristas

perpendiculares a la base estarán en V.M. en proyección vertical por ser rectas

verticales.

A'

A"

B'=F'

D'=H'

C'=G'

B" C" D"

E"F" G" H"




123

Paso 2: La determinación del plano es inmediata. En primer lugar hay que

observar que tanto la traza horizontal del plano como la base del cubo pertenecen al

plano horizontal por lo que si existe alguna intersección entre estos se debe apreciar

directamente en proyección horizontal tal y como se puede ver en el dibujo. Dado que el

plano entra por la base es una buena suposición el pensar que saldrá por la base superior

y para comprobar esto utilizamos una recta horizontal que pertenece tanto al plano de la

base superior del cubo como al plano seccionante (en rojo). De esta forma apreciamos

que corta a esta base en dos puntos. Por otro lado las únicas aristas que hay entre la

entrada y la salida del plano son las que parten de A y C, así pues estas son las únicas

que hay que analizar, para lo que utilizamos rectas frontales que pertenecen tanto a un

hipotético plano frontal que contiene a estas aristas como al plano seccionante (azul).

Esto se podía haber resuelto de múltiples formas.

A'

A"

B'=F'

D'=H'

C'=G'

B" C" D"

E"F" G" H"

p1

p2




124

Paso 3: Este último paso simplemente implica un abatimiento de la sección para

así tenerla en V.M. En la resolución se han aprovechado las propias rectas horizontales

y frontales que se utilizaron para la determinación de la sección.

A'

A"

B'=F'

D'=H'

C'=G'

B" C" D"

E"F" G" H"

p1

p2




125

Paso 4 : La construcción del desarrollo del cubo se hace partiendo del valor de

una de sus aristas en V.M. y uniendo las caras de forma consecutiva. Una vez lo

tenemos hemos de localizar los puntos de la sección sobre las aristas correspondientes y

unirlos entre si para obtener la transformada de la sección.

7. - Dado el punto A(50,30,0) se localiza a partir de él el punto P que pertenece

al P.H. y dista 50 mm de A, siendo su alejamiento 35 mm, de forma que quede lo más a

la izquierda posible. Este punto P es el de menor cota de una circunferencia de radio 20

mm contenida en el plano Alfa ( su traza vertical pasa por A y se corta con L.T. en

abcisa 100). Sabiendo que la circunferencia es la base de un cono recto de altura 90 mm

que se encuentra en el primer cuadrante, obtener sus proyecciones y las del plano

tangente al mismo por un punto de su superficie de cota 15 y abcisa 0.

EH

G F

GFE

D C

ADCBA




126

Paso 1: Dado que el punto P pertenece al Plano Horizontal de Proyección

podremos partir de una recta que pasa por A y mide 50 en V.M., esta recta la giraremos

hasta llegar a un punto de abcisa 35. Este será el punto P.

A"

A'

P'

P"

a2

a1

A"

A'

P'

P"

a2

a1




127

Paso 2: Este segundo paso consiste en realizar un abatimiento del plano para

localizar la circunferencia base de forma que esta sea tangente a la traza horizontal del

plano por el punto P. Una vez la conseguimos procedemos a su desabatimiento para lo

que se han utilizado cuatro rectas, dos de las cuales (azul) nos proporcionan los ejes

principales en proyección horizontal y las otras dos (rojo) nos darán los ejes principales

en proyección vertical.

Paso 3: Este tercer paso consiste en localizar el vértice del cono para lo cual se

traza una recta perpendicular al plano de la base por el centro de esta. En esta recta y a

90 de la base se encuentra el vértice y para obtenerlo se ha realizado un giro del eje del

cono.

A"

A'

P'

P"

a2

a1




128

Paso 4: Para obtener un plano tangente al cono hemos de definirlo con dos rectas

una de las cuales debe ser una generatriz del cono, que contenga al punto al cual debe

ser tangente el plano, y la otra debe ser tangente a la base del cono, pertenecer al plano

de la base y cortarse con la anterior. Estas dos rectas aparecen representadas en la figura

anterior como r y s en rojo y el plano en azul.

8 .- Una esfera de radio (25 mm)se encuentra apoyada en los dos planos de

proyección, estando su centro en un punto de abcisa (10). Esta esfera se ve seccionada

por un plano perpendicular a los dos de proyección de forma que la circunferencia

sección tiene de radio (15 mm).

En esta circunferencia se encuentra inscrita la base hexagonal de un

prisma recto de altura (70) de forma que la base superior se encuentra a la derecha de la

anterior. Dos de las rectas de la base anterior (A-B , D-E) son rectas verticales, de forma

que la (A-B) es la más próxima al P.V. y el vértice A es el de mayor cota de este

segmento.

P

P'

P"

r"

r'

s"

s'

H"

H'

V'

V"

b2

b1




129

Se pide obtener las proyecciones del conjunto así como el ángulo que

forma la cara (C-D , I-J ) con los planos de proyección.

Paso 1: La tangencia

a los planos de proyección se

resuelve perfectamente en

tercera proyección y luego se

traslada al punto de abcisa

correspondiente. Para obtener

el plano seccionante se puede

resolver directamente en

proyecciones o aplicando el

método general que se

muestra en la figura que acompaña.

3 ª

O"

O'

O"'

C

OP

Rr d

C O

P

Rr

d




130

Este método se fundamenta en la relación que existe entre el radio de la

esfera, el de la circunferencia sección y la distancia entre ambos centros (d).

Mediante la construcción de un triángulo rectángulo, tal y como se muestra, se

puede obtener uno de los datos conociendo el otro. En este caso los datos

conocidos son el radio de la circunferencia sección y el de la esfera.

3 ª

O"

O'

O"'

A"'

B"'

C"'

D"'

E"'

Paso 2: Una vez se tiene la circunferencia sección se dibuja directamente en 3ª

Proyección, porque estará en verdadera magnitud, el hexágono inscrito cumpliendo con

las condiciones de las rectas y luego se pasa a proyecciones.




131

Paso 3 : El cálculo de los

ángulos, en este caso, dado que es un

plano paralelo a L.T. se realiza

directamente en 3ª Proyección tal y

como se indica en la figura

9.- La recta r{V(70,50,0),H(70,0,60)}, pertenece a los dos planos �

forma que la traza vertical de Alfa y b1 forman respectivamente (45º) y (-120º) con la

L.T. Estos dos planos junto con los de proyección definen el volumen de una pirámide.

Obtener el desarrollo total de la pirámide sabiendo que la misma se ve

seccionada por el plano p que forma ángulos de 45º con el P.H., 60 con el P.V., sus

trazas se abren hacia la izquierda y se cortan en un punto de abcisa 120.

3 ª

O"'

A"'

B"'

C"'

D"'

E"'

F"'




132

Paso 1: Dado que la recta pertenece a los dos planos, debe ser la recta

intersección de ambos por lo que pasamos las trazas dato por los puntos

correspondientes a fin de contener a la recta en los mismos, cumpliendo con los datos

del problema. Cabe resaltar que el ángulo que forman las trazas con la L.T. se monta

directamente porque las trazas están contenidas en los planos de proyección, es decir ,

son rectas frontales u horizontales.

a2b2

a1b1

A"=A'

B'

C"=C'B"=D'

D"




133

Paso 2: La determinación del plano se hace aplicando el método descrito en la

sección de ángulos. Para la obtención de la sección se podría hacer aplicando el método

general con planos proyectantes aunque en esta ocasión se deduce fácilmente porque las

aristas seccionadas pertenecen a los planos de proyección al igual que las trazas del

plano.

a2b2

a1b1

A"=A'

B'

C"=C'B"=D'

D"p2

p1




134

Paso 3: Para efectuar el desarrollo habrá que ir abriendo el volumen mediante

triangulaciones, tomando las distancias en verdadera magnitud entre los vértices. En

este caso en particular, todas las aristas, a excepción de la BD, están en V.M. por

pertenecer a los planos de proyección, por lo que se puede medir en ellas directamente.

Por último y aunque no se ha realizado en el ejercicio, faltaba incluir la sección en el

desarrollo.

D

A

C

A

B

B

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INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO - … fileIniciación al Sistema Diédrico Autor: Gerardo Martín Lorenzo Profesor Asociado de la Escuela Universitaria de Las Palmas de Gran Canaria