Ing. Raffaele Carli (email: [email protected]) Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 16

Ing. Raffaele Carli (email: [email protected])

Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 16 dicembre 2013

Lezione 8:Esempi di analisi dei sistemi non lineari

Pag. 2 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14

Esempi di linearizzazione di sistemi non lineari: Sistema I ordine tempo-discreto

Modello di Beverton-Holt

Sistema II ordine tempo-discreto Modello dei cicli di crescita di Goodwin

Sommario


Esempio 1 – Modello di Beverton-Holt

Modello di Beverton-Holt Richiami teorici

Equazione di stato

x : densità di individui p : sopravvivenza alla pesca

Punti di equilibrio

)(1

)()1(

kx

kxpkx

{ 𝑥𝑒1=0

𝑥𝑒2=λ−1𝛽


Modello di Beverton-Holt Movimento con Simulink

Esempio 1 – Risoluzione


Caso 1 – senza pesca p = 1 ; λ = 1.2 , β = 0.01

x0 = 15

Esempio 1 – Risultati

punto di equilibrio xe = 20


Modello di Beverton-Holt

Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio xe = 20

Esempio 1 – Linearizzazione



x0 = 15

Esempio 3 – Risultati linearizzazione


Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

Esempio 1 – Confronti


Esempio 1 – Confronto risultati


x0 = 15



Caso 2 – con pesca blanda p = 0.9 ; λ = 1.2 , β = 0.01

x0 = 15

punto di equilibrio xe = 8


Modello economico di Goodwin DISCRETO Teoria

Modello non-lineare dei cicli economici basato sulla lotta di classe: datori di lavoro-lavoratori

Mostra la relazione ciclica tra il lavoro e il salario in una economia chiusa basata sul lavoro

n(t+1) = (1+β) n(t) n : offerta di lavoro β : tasso di crescita dell’offerta di lavoro – costante ≥ 0

q(t+1)/l(t+1) = (1+α) q(t)/l(t) q: output l: lavoro impiegato α: tasso di produttività del lavoro - costante ≥ 0

k(t)/q(t) = σ k: capitale σ : rapporto capitale/output – costante

Esempio 2 – Sistema discreto II ordine

Hp: il lavoro non è il fattore limitante della produzione



u(t) = (w(t) l(t)) / q(t) u : quota di reddito dei lavoratori w : salario

Equilibrio del mercato:

k(t+1)-k(t) = (1-u(t)) q(t) 1-u : quota di reddito dei capitalisti

Tasso di occupazione dei lavoratori (l/n)

g = α +β+ α β tasso naturale di crescita

Tasso di crescita dei salari


𝑣 (𝑡+1)𝑣 (𝑡 )

=1+1+𝜎𝑔−𝑢(𝑡)𝜎 (1+𝑔)

Hp: I lavoratori spendono tutto il

loro salario in consumi I capitalisti investono tutti i

profitti realizzati

𝑤 (𝑡+1 )−𝑤(𝑡)𝑤(𝑡)

=−𝛾+𝜌 𝑣(𝑡)Hp: approssimazione lineare della curva di Phillips



Equazioni di stato

Punti di equilibrio


{𝑣 (𝑡+1 )= 𝜎+1𝜎 (1+𝑔 )

𝑣 (𝑡 )− 1𝜎 (1+𝑔 )

𝑣 (𝑡 )𝑢 (𝑡)

𝑢 (𝑡+1 )=1−𝛾1+𝛼

𝑢 (𝑡 )+ 𝜌1+𝛼

𝑣 (𝑡)𝑢(𝑡)

{𝑣 (𝑡+1 )=𝑎𝑣 (𝑡 )−𝑏𝑣 (𝑡 )𝑢(𝑡)𝑢 (𝑡+1 )=𝑐𝑢 (𝑡 )+𝑑𝑣 (𝑡)𝑢 (𝑡)

Equazioni tipo modello di Lotka-VolterraAlta occupazione genera inflazione nei salari che li può far aumentare; ciò, a sua volta, riduce i profitti dei capitalisti e così riduce gli investimenti futuri e la produzione.

Tale riduzione della produzione riduce a sua volta la domanda di lavoro e l’ inflazione dei salari. I salari dei lavoratori diminuiscono.

Ma non appena i salari diminuiscono i profitti aumenteranno e con essi gli investimenti. Ciò porterà all’aumento dell’occupazione e poi dei salari. Il ciclo quindi si ripeterà.

{𝑣𝑒1=0𝑢𝑒2=0 { 𝑣𝑒1=

𝛼+𝛾𝜌

𝑢𝑒2=1−𝜎𝑔


Modello economico di Goodwin DISCRETO Linearizzazione intorno al punto di equilibrio non nullo

Punto di equilibrio

Jacobiano


𝐽𝑒2=[ 𝜎+1𝜎 (1+𝑔)

−1

𝜎 (1+𝑔 )𝑢𝑒2 −

1𝜎 (1+𝑔 )

𝑣𝑒2

𝜌1+𝛼

𝑣𝑒21−𝛾1+𝛼

+𝜌1+𝛼

𝑣𝑒2]

{ 𝑣𝑒1=𝛼+𝛾𝜌

𝑢𝑒2=1−𝜎𝑔


Modello di Goodwin Movimento e traiettoria con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione I


Caso 1 a = 1.30 , b = 0.40 , c = 0.97 , d = 0.04 , ti = 0 , tf = 1550

v0=0.76 , u0=0,76


Valori tali che i parametri economici siano all’interno di un range di significatività


Modello di Goodwin Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio

Esempio 2 – Linearizzazione


Caso 1 a = 1.30 , b = 0.40 , c = 0.97 , d = 0.04 , ti = 0 , tf = 1550

v0=0.76 , u0=0.76

Esempio 2 – Risultati linearizzazione


Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

Esempio 2 – Confronti


Esempio 2 – Confronto risultati

Caso 1 a = 1.30 , b = 0.40 , c = 0.97 , d = 0.04 , ti = 0 , tf = 1550

v0=0.76 , u0=0.76


Continua…


Grazie per l’attenzione!

Laboratorio di Analisi dei sistemi

Ing. Raffaele CarliDipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione

email: [email protected]

Documents

Ing. Raffaele Carli (email: [email protected]) Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 16