Ing. Raffaele Carli (email: r.carli@poliba.it)

Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 28 ottobre 2013

Lezione 3:Esempi di sistemi LTI tempo-discreti

Pag. 2 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14

Sistemi LTI discreti: Esempi di sistemi del I ordine

Piano di ammortamento

Esempi di sistemi del II ordine Andamento del PIL Samuelson

Sommario

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Piano di ammortamento con rate costanti Richiami teorici

Al tempo k = 1 viene erogato un mutuo d’importo C la somma è restituita in rate di importo u(k), pagate a partire dal tempo k = 1 r è il tasso d’interesse costante con il quale viene calcolato l’interesse sul

debito residuo

Risoluzione analitica Bla bla bla

Esempio 1 – Sistema discreto I ordine

{𝑥 (𝑘+1 )= (1+𝑟 )𝑥 (𝑘)−𝑢 (𝑘)𝑦 (𝑘 )=𝑥 (𝑘)

Variabile di stato:x(k) : debito residuo prima del versamento kCondizione iniziale:x(1) = C

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Esempio 1 – Risoluzione I

Piano di ammortamento

Matlab CST

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Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 10

Esempio 1 – Risultati

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plitu

de

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Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 5

Esempio 1 – Risultati

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plitu

de

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Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 1.5 * k

Esempio 1 – Risultati

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-150

-100

-50

0

50

100

150

time

ampl

itude

simulation results

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Esempio 1 – Risoluzione II

Piano di ammortamento

Matlab – metodo ad iterazioni

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Piano di ammortamento

Blocco State-Space con Simulink

Esempio 1 – Risoluzione III

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Piano di ammortamento

Blocco State-Space con Simulink

Esempio 1 – Risoluzione III

Pag. 11 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14

Piano di ammortamento

Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

Esempio – Risoluzione IV

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Modello economico di Samuelson (modello moltiplicatore-acceleratore) Richiami teorici

y(k) = c(k) + i(k) + u(k) y : prodotto nazionale c : consumi delle famiglie; i : investimenti delle imprese; u : spesa pubblica

c(k) = y(k-1) : propensione al consumo (dove 0<<1); 1/(1- ) : moltiplicatore

i(k) = ( c(k)-c(k-1) )𝛽 𝛽: acceleratore

𝑦( )= ( +1)∙ ( −1)− ∙ ( )− ( )𝑘 𝛼 𝛽 𝑦 𝑘 𝛼𝛽 𝑥 𝑘 𝑢 𝑘

Risoluzione analitica Bla bla bla

Esempio 2 – Sistema discreto II ordine

{𝑥1 (𝑘 )=𝑦 (𝑘−1 )𝑥2 (𝑘 )=𝑦 (𝑘−2 ){ 𝑥1 (𝑘+1 )=𝑥2 (𝑘 )

𝑥2 (𝑘+1 )=−𝑏 ∙𝑥1 (𝑘 )+𝑎 ∙𝑥2 (𝑘 )+𝑢 (𝑘)𝑦 (𝑘 )=𝑥 (𝑘) {𝑎=𝛼 (𝛽+1 )

𝑏=𝛼𝛽

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Previsione Prodotto interno lordo Samuelson

Blocco State-Space con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione I

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Previsione Prodotto interno lordo Samuelson

Blocco State-Space con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione I

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Caso < 1/ (contrazione)𝛽 = 0.5 ; = 1.5 ; y0 = [20 90] 𝛽

Esempio 2 – Risultati

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Caso = 1/ (fluttuazioni)𝛽 = 0.5 ; = 2.0 ; y0 = [20 90] 𝛽

Esempio 2 – Risultati

Pag. 17 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14

Caso > 1/ (crescita)𝛽 = 0.5 ; = 2.5 ; y0 = [20 90] 𝛽

Esempio 2 – Risultati

Pag. 18 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14

Previsione Prodotto interno lordo Samuelson

Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione II

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Continua…

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Grazie per l’attenzione!

Laboratorio di Analisi dei sistemi

Ing. Raffaele CarliDipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione

email: r.carli@poliba.it