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Ing. Raffaele Carli (email: [email protected])
Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 09 dicembre 2013
Lezione 7:Esempi di analisi dei sistemi non lineari
Pag. 2 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempi di linearizzazione di sistemi non lineari: Sistema I ordine tempo-continuo
Sistema idraulico ad un serbatoio
Sistema II ordine tempo-continuo Pendolo Sistema massa – smorzatore - molla NL (oscillatore di Van der Pol)
Sommario
Pag. 3 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio
Sistema idraulico ad un serbatoio Richiami teorici
Equazione di stato ( dove x(t) : livello liquido nel serbatoio)
Punti di equilibrio
)()()(
tubtxadt
tdx
2
2
2
e
e
ua
bx
uu
𝐽 (𝑥𝑒 )=− 𝑎2∙√𝑥𝑒
Pag. 4 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Sistema idraulico ad un serbatoio Movimento con Simulink
Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio
Pag. 5 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1
x0 = 2
Esempio 1 – Risultati
punto di equilibrio xe = 1
Pag. 6 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Sistema idraulico ad un serbatoio
Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio xe = 1
Esempio 1 – Linearizzazione
Pag. 7 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1
x0 = 2
Esempio 3 – Risultati linearizzazione
Pag. 8 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato
Esempio 1 – Confronti
Pag. 9 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1
x0 = 2
Pag. 10 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 2 a = 1 , b = 1 , ue = 1
x0 = 5
Pag. 11 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 3 a = 1 , b = 1 , ue = 1
x0 = 10
Pag. 12 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Richiami teorici
Equazioni di stato
Punti di equilibrio xe
Esempio 2 – Pendolo
{𝑥𝑒1=𝑘𝜋𝑥𝑒2=0
𝐽 (𝑥𝑒 )=[ 0 1
−𝑔𝐿∙cos (𝑥𝑒1) −
𝐵𝑚 ∙𝐿 ]
Pag. 13 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Traiettoria con pplane
Esempio 2 – Risoluzione I
Pag. 14 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Traiettorie con pplane
Esempio 2 – Risultati
Pag. 15 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Movimento con pplane
g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=0.2 , x02=0
Esempio 2 – Risultati
Pag. 16 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink
Esempio 2 – Risoluzione II
Pag. 17 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink
Esempio 2 – Risoluzione II
Pag. 18 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=0.2 , x02=0
Esempio 2 – Risultati
Pag. 19 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Pendolo Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio [0; 0]
Esempio 2 – Linearizzazione
Pag. 20 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=0.2 , x02=0
xe1=0 , xe2=0
Esempio 2 – Risultati linearizzazione
Pag. 21 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso 2 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01 = 0.2 , x02 = 0
xe1 = π , xe2 = 0
Esempio 2 – Risultati
Pag. 22 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato
Esempio 2 – Confronti
Pag. 23 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=0.2 , x02=0
Pag. 24 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 2 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=0.5 , x02=0
Pag. 25 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 3 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30
x01=1.5 , x02=0
Pag. 26 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Oscillatore di Van del Pol Richiami teorici
Equazioni di stato
Punti di equilibrio xe
Esempio 3 – Oscillatore di Van del Pol
{𝑥𝑒1=0𝑥𝑒2=0
Pag. 27 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Oscillatore di Van del Pol Traiettoria con pplane
Esempio 32 – Risoluzione I
Pag. 28 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Oscillatore di Van del Pol Traiettorie con pplane
Esempio 2 – Risultati
Pag. 29 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Continua…
Pag. 30 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Grazie per l’attenzione!
Laboratorio di Analisi dei sistemi
Ing. Raffaele CarliDipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione
email: [email protected]
