Contoh 5. Buktikan pernyataan Untuk membayar biaya pos sebesar n sen (n 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen benar.Penyelesaian:(i) Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar.

(ii) Langkah induksi. Andaikan p(n) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n (n 8) sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:(a) Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen.

. PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM ATM MULTI PECAHAN UANGa. Konsep ATM Secara Umum di IndonesiaATM, pada umumnya, hanya memiliki satu jenis nominal uang. Logikanya ialah sebuah ATM hanya memiliki satu cartridge uang, yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal (entah itu Rp 20.000,-, Rp 50.000,-, maupun Rp 100.000,-). Nah, pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak secara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik, tapi dikonversikan dahulu, pecahan uang yang tersedia pada cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan tercukupi4. Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Rp 200.000,-. Maka ada tiga kemungkinan :- Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 20.000,-, maka cartridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 10 lembar.- Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 50.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 4 lembar.- Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 100.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak 2 lembar.Terdapat beberapa kelemahan dalam ATM yang memiliki sistem seperti ini, antara lain : Pelanggan ingin menarik uang yang tidak genap (misal ingin menarik uang sebesar Rp 70.000,- ).Pada kenyataannya, masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan Mesin ini hanya mengeluarkan uang dalam pecahan kelipatan Rp 20.000,- (atau Rp 50.000,- atau Rp 100.000,-). Masyarakat juga telah memaklumi keadaan ini. Namun, apakah tidak jauh lebih mudah jika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu? Apa sebenarnya keistimewaan cara berpikir ATM Multi Pecahan Uang?b. Penerapan Induksi Matematika dalam ATM Multi NominalPenerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang Dirampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari cartrige penyimpanan uang.Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini. Ketentuan tersebut antara lain :- jumlah minimal penarikan- jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya- pecahan uang berapa yang ada di ATM tersebutJadi, bagaimana cara perhitungannya?Ambil sebuah contoh, dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000,-. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp 40.000,-?Penyelesaian :1. tunjukkan bahwa f(n0) benar (berlaku)Basis induksi : Untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp 20.000,-. f(n0) jelas benar (berlaku) !!2. Jika f(n) benar (berlaku) maka tunjukkan f(n+k) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n n0. (k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM)Langkah induksi : Jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000 dapat digunakan e lembar uang Rp 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp 20.000,- dan/atau Rp 50.000,-.

Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:a. Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp 50.000,- yang dikeluarkan, maka uang yang dikeluarkan senilai Rp n,- menggunakan pecahan Rp 20.000,- semuanya. Karena n Rp 40.000,-, setidaknya harus digunakan dua lembar pecahan Rp 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,- dengan selembar uang Rp 50.000, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-.b. Kemungkinan kedua, misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n,- dengan sedikitnya satu lembar pecahan Rp 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp 50.000,- dengan tiga lembar uang pecahan Rp 20.000,- akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-Dari penjelasan di atas,, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan minimal jumlah pengambilan sebesar Rp 40.000,-, ialah sebesar Rp 10.000,-.http://adrahma2.blogspot.com/2013/04/penerapan-induksi-matematik.html

. Induksi Matematika Contoh Penerapan materi induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari yaitu:1. Masalah: Mengambil nominal uang yang diinginkan melalui ATM.Solusi: Menentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang kita ambil melalui ATMDi mana: Di ATM/bankKapan: Hingga sekarang2. Masalah: Menyusun keping dominoSolusi: Menggunakan teori induksi matematika dalam menyusun dominoDi mana: Di rumahKapan: Saat bermain domino3. Masalah: Memasang ubin/keramik didalam ruanganSolusi: Menggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan pemasangan ubinDi mana: Di rumahKapan: Saat pemasangan keramik http://dianparlindungan.blogspot.com/2013/11/normal-0-false-false-false-en-gb-x-none.html

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N. Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?Bukti Andaikan S N. Maka himpunan N S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m 1 < m dan m adalah anggota terkecil dari N S, maka m 1 anggota S.Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m 1 merupakan anggota S, maka k + 1 = (m 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa m bukan anggota S. Sehingga N S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai berikut.Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:1. P(1) benar.2. Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.Hubungan Prinsip Induksi Matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N.Asumsi bahwa jika P(k) benar dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitas dari jika P(k), maka P(k + 1). Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): n = n + 5, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untuk mendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): 1 = 6 adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.Pada beberapa kasus, kadang P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan asli tertentu tetapi bernilai benar untuk n n0. Prinsip Induksi Matematika dapat dimodifikasi untuk mengatasi kasus seperti itu.Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n n0. Apabila:(1) Pernyataan P(n0) benar;(2) Untuk setiap k n0, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.Maka P(n) benar untuk semua n n0.Berikut ini adalah beberapa contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli.Contoh 1: Pengubinan dengan TrominoDiberikan suatu papan catur 2n 2n (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar)Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 21 21 yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2k + 1 2k + 1 yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2k 2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2k + 1 2k + 1 sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B T, C T, dan D T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2k + 1 2k + 1 tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

Contoh 2: Jumlah n Bilangan Asli PertamaBuktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota N sedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka 1 = 1/2 1 (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsi Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli. http://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/

Contoh

Untuk setiap n N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi matematika.1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n = Penyelesaian

Untuk n = 1 1 = , sehingga 1 S,

Andaikan untuk n = k diasumsikan bahwa k S, sehingga

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... k = Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + k + (k+1) =

, karena n = k+1, maka:

Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1 S. Jadi dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu dengan prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus tersebut adalah benar untuk semua n N.