Upload
phungque
View
343
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
lts 1
III Sistem LTI Waktu Diskrit
Sistem LTI
Operasi Konvolusi
Watak sistem LTI
Stabilitas sistem LTI
Kausalitas sistem LTI
lts 2
Sistem LTI
Linear Time Invariant
Linear Tak-ubah-Waktu
Linear Shift Invariant ( LS I )
III.1 Sistem LTI
Sistem LTI adalah sistem yang memiliki sifat super-
posisi (sifat linear) dan sifat ketak-ubahan waktu.
Secara matematis sistem LTI mudah dianalisis dan
dimanipulasi , sehingga memungkinkan
pengembangan berbagai algoritma pengolahan
isyarat digital berbasiskan sistem LTI .
lts 3
Sistem LTI dicirikan oleh respons impuls-nya :
Sistem
LTI
h[n]
d[n] h[n]
-2 -1 0 1 2 3 4 n n
Respons Impuls h[n] adalah runtun output yang dihasilkan oleh
sebuah sistem LTI ketika pada inputnya diberikan
runtun unit impuls d[n].
-2 -1 0 1 2 3 4
lts 4
Sifat ketak-ubahan-waktu :
Sistem
LTI
h[n]
d[n]h[n]
-2 -1 0 1 2 3 4 n n
-2 -1 0 1 2 3 4
Sistem
LTI
h[n]
d[n-k] h[n-k]
-2 -1 0 1 2 3 4 n n
-2 -1 0 1 2 3 4
k k
Pergeseran runtun impuls sebesar k cuplikan akan mengakibatkan
pergeseran runtun respons-impuls sebesar k cuplikan.
lts 5
Sifat superposisi (linear) :
Sifat superposisi sistem LTI dapat dimanfaatkan untuk menyeder-
hanakan perhitungan output sistem ketika runtun input sembarang
diberikan.
Langkah langkah perhitungan output sistem LTI :
1. Dekomposisikan runtun input sembarang x[n] menjadi runtun-
runtun impuls tergeser k dan terskala x[k] d[n-k] .
k adalah integer didalam range - sampai dengan +
2. Dengan satu runtun impuls tergeser k dan terskala sebagai input,
hitung runtun output y[n]k = x[k] h[n – k].
Kerjakan langkah 2 sampai seluruh runtun impuls tergeser dan
terskala diberikan
3. Jumlahkan seluruh hasil perhitungan output pada langkah 2
8 8
lts 6
x[n]
n-2 -1 0 1 2 3 4
n
n
n
n
Runtun x[n] sembarang :
x[n] =
x[n]k = ...
x[-1]
x[0]
x[1]x[2]
k = -1
k = 0
k = 1
k = 2
1. Dekomposisi runtun x[n]
=
+
+
+
x[n]kSk = - 8
8
x[n] -1
x[n]0
x[n]1
x[n]2
x[n]0 +
x[n]-1 +
x[n]1 +
x[n]2 + ...
lts 7
2. Perhitungan output
h[n]x[k] d[n – k] x[k] h[n – k]
k input x[n]k output y[n]k
: : :
- 2 x[-2] d[n + 2] x[-2] h[n + 2]
- 1 x[-1] d[n + 1] x[-1] h[n + 1]
0 x[0] d[n] x[0] h[n]
1 x[1] d[n - 1] x[1] h[n - 1]
2 x[2] d[n - 2] x[2] h[n - 2]
: : :
x[n] y[n]+ +
Sk = - 8
8
y[n] = x[k] h[n-k]
konstante
sifat tak-ubah waktu
Sifat linear (superposisi)
Untuk input
x[n] = x[k] d[n-k] ,Sk = - 8
8
maka output
lts 8
-1 0 1 2 3
h[n]
-1 0 1 2 3
d[n]
n n
h[n]
x[n]
-1 0 1 2 3n
h[n]
y[n]
-1 0 1 2 3n
?
1
0,75
0,50
0,25
Diketahui : Runtun tanggapan impuls h[n] sebuah sistem
Pertanyaan : Bagaimana runtun output sistem tsb bila diberikan
runtun input x[n] sbb
lts 9
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3n n
-1 0 1 2 3n
-1 0 1 2 3n
k = 0 x[0] d[0]
x[1] d[n – 1]
-1 0 1 2 3n
-1 0 1 2 3n
x[2] d[n – 2]
k = 1
k = 2
x[0] h[n- 0]
x[1] h[n–1]
x[2] h[n–2]
Dekomposisi x[n]k = x[n] d[n – k] y[n]k = x[n] h[n-k]
1
x[1]x[1]
x[2] x[2]
1
lts 10
-1 0 1 2 3n
-1 0 1 2 3 4 5 6n
-1 0 1 2 3n
y[n]
-1 0 1 2 3 4 5 6n
k = 3 x[3] d[n – 3]
x[n]
x[3] h[n–3]
+ +
Sk = - 8
8
= x[k] h[n-k]y[n]
x[3] x[3]
lts 11
III.2 Operasi Konvolusi
Operasi perhitungan output sistem LTI dengan cara diatas
disebut operasi konvolusi jumlah.
Sk = - 8
8
= x[k] h[n-k]y[n]
Sk = - 8
8
= x[k] h[n-k]
y[n] = x[k] * h[n]
simbol operasi konvolusi
lts 12
h[n]x[n] y[n]
x[n]h[n] y[n]
Sifat sifat Konvolusi
Komutatif .
Urutan runtun dalam konvolusi tidak berpengaruh
[ ] [ ] [ ] [ ]knhnxnhnxk
-=*
-=
[ ] [ ] [ ] [ ]nxnhknxnhk
*=-=
-=
lts 13
h1[n]
x[n] y[n]
h2[n]
+
h1[n]+ h2[n]x[n] y[n]
Distributif
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnhnxnhnhnx 2121 *+*=+*
struktur paralel
lts 14
h2[n]x[n] h1[n] y[n] =
h1[n]*h2[n]x[n] y[n]
x[n] * h2[n]
x[n] * h2[n] * h1[n]
struktur cascade
h1[n]x[n] h2[n] y[n] =x[n] * h1[n]
x[n] * h1[n] * h2[n]
h1[n]*h2[n]Bila = d[n] , maka h1[n] adalah inverse dari h2[n]
lts 15
h1[n]x[n] h2[n] x[n]
x[n]terdistorsi
kanal
h1[n] * h2[n] = d[n]
Pemulihan isyarat terdistorsi pada output kanal
transmisi
sistem inverse
h2[n] = d[n] – d[n-1] buktikan !
lts 16
h1[n] = d[n] + 0,5 d[n-1]
h2[n] = 0,5 d[n] - 0,25 d[n-1]
h3[n] = 2 d[n]
h4[n] = - 2 (0,5)n U[n]
h1[n]
h3[n]
h4[n]
h1[n]
+
+x[n]y[n]
h[n]
?x[n] y[n]
lts 17
Contoh :
1. Konvolusi dua runtun yang sama, {x[n]} , dengan durasi N = 6
x [n-k]
n = 0
n = -1
n = - 2
k
k
k
k
0
0
0
0
y[n] = x[n] * x[n]
= x[k] x[n - k]Sk = - 8
8
x[k]
x[-k]
x[ -1 - k]
x[ -2 -k]
lts 18
n = - 7 y[7] = 0
n = - 1 y[-1] = 0
n = 0 y[0] = 1
n = 1 y[1] = 2
n = 5 y[5] = 6
n = 10 y[10] = 1
n = 11 y[11] = 0
n > 11 y[n] = 0
k
k
k
k
k
k
k
k
x[k]x[n-k]
lts 19
y[n]
y[n] = x[n] * h[n]
lts 20
Contoh 2 : Konvolusi dua runtun { x[n] } = { . . . , 0, 1, 2, 3, 0, . . . }
dan { h[n] } = { . . . , 0, 2, 1, 0, 5, 0, . . . }
x[n-k]
n = 0
n = -2
n = 2
lts 21
lts 22
x[n] h[n]
y[n] ?
lts 23
III.3 Kriteria Stabilitas sistem LTI
Sistem LTI disebut stabil jika dan hanya jika
Bukti :
Bila x[n] bounded , dimana | x[n]| < Lx untuk < n < ,
maka
| y[n] | = | S h[k] x[n – k] | < S | h[k] | | x[n-k] | < Lx S | h[k] | k= k= k=
y[n] adalah runtun bounded , | y[n] | < , jika dan hanya jika
Untuk sistem LTI yang runtun tanggapan impulsnya memenuhi
syarat diatas, bila pada inputnya diberikan runtun { x[n]} yang
bounded maka pada outputnya akan dihasilkan runtun { y[n]} yang
bounded8
8-
88-
88-
8
8- 8
lts 24
III.4 Kriteria Kausalitas Sistem LTI
Sistem kausal adalah sistem yang outputnya saat ini ( y[n] ),
tergantung pada harga input saat ini ( x[n] ) dan harga harga
input sebelumnya ( x[n-1], x[n-2], . . . )
Sistem LTI disebut kausal jika dan hanya jika runtun tanggapan
impulsnya,
Bukti : Untuk sistem kausal,
Dengan demikian
(terbukti)
h[n] = 0 untuk n < 0
Sk = -
8
8
y[n] = h[k] x[n-k] = Sk = 0
8h[k] x[n-k]
syarat kausalitas sistem adalah
y[n] = fungsi x[n-k] untuk k positif
Sk = -
8
8h[k] x[n-k] = 0,
h[n] = 0 untuk n < 0atau
lts 25
Soal latihan : Bagaimana kausalitas dan stabilitas sistem LTI
yang runtun tanggapan unit impulsnya sbb
Syarat Kausalitas : h[n] = 0 untuk n < 0 (?)
Syarat Stabilitas :
S | h[k] | < (?)
k=- 8
8
8
an , n > 0
h[n] = an u[n] =
0 , n < 0
lts 26
h[n] = 0 untuk n < 0 , jadi sistem tsb kausal
, bila | a | < 1
S | h[k] | = S | a |k=
k=- k=0 , bila | a | > 1
8 8
8
8
1
1 - |a|
1
1 - |a| S | a |k
=
k=0
8
untuk | a | < 1 ,
Dari deret geometris,
maka sistem akan stabil bila |a | < 1
an , n > 0
h[n] = an u[n] =
0 , n < 0
lts 27
III.4 Persamaan difference linear dengan koefisien tetap
salah satu sub-kelompok sistem LTI adalah sistem sistem yang
input x[n] dan output y[n] nya memenuhi persamaan difference
linear derajat N dengan koefisien konstan,
N M
S ak y[n-k] = S bk x[n-k]k=0 k=0
ak dan bk : koefisien koefisien konstan
lts 28
Z-1
Z-1
Z-1
b0
b1
b2
bM
+
Z-1
Z-1
Z-1
-a1
-a2
-aN
+x[n] y[n]
Bagian Non-rekursifBagian Rekursif
lts 29
Contoh : Akumulator
Akumulator memenuhi persama-
an difference linier dengan koe-
fisien konstan sistem LTI !
+
z-1
x[n] y[n]
y[n-1]
y[n] = x[k]Sk = -
n
8
y[n] - y[n-1] = x[k] - x[k]Sk = -
n
8 Sk = -
n-1
8
x[k] - x[k]Sk = -
n-1
8
Sk = -
n-18
= x[n] +
y[n] - y[n-1] = x[n]
y[n] = x[n] + y[n-1]
lts 30
1. Nyatakan respons impuls h[n] untuk sistem dengan persamaan
difference
y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] + b3 x[n-3]
2. Hitung output sistem, bila diketahui
1 untuk n > -3 (1/3)n untuk n > 3
h[n] = x[n] =
3n untuk n < -3 3n untuk n < 3
lts 31
3. Gambarkan runtun output sistem bila runtun tanggapan
impuls sistem dan runtun input yang diberikan adalah sbb.
3
1
-2
-1
0
21
3
4n
x[n]
0 1
2
3
1
2
-1
n
h[n]