Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

Oleh: Tri Budi Santoso

Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS

Materi:

Tujuan: • Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar

transformasi Fourier Waktu Diskrit• Siswa mampu membawa persoalan dari konsep

sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.

Representasi matematik pada sinyal waktu diskrit, domain waktu dan frekuensi pada suatu sinyal waktudiskrit, transformasi pada sinyal waktu diskrit

Sub Bab:5.1. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)5.4. Komputasi DFT5.5. Komputasi Inverse DFT5.6. Interpretasi Hasil DFT5.7. Hubungan DFT- Transformasi Fourier

5.1. Continues Time Fourier Transform

• Sinyal periodik waktu kontinyu f(t) dengan periode T dinyatakan sebagaibentuk weighted sum pada complex exponential:

dimana:Fk = koefisien-koefisien ekspansi

Ω0 = frekuensi fundamental Ω0 =π/T

teFtfk

jkk∑

∞

−∞=

Ω= 0)( untuk semua nilai t (1)

∫ Ω−=T

jkk tdtetf

TF

0

0)(1

Lanjutan….• Persamaan (1) dikenal sebagai deret Fourier eksponensial komplek• Dalam terminologi deret geometri seringkali dinyatakan sebagai

( )∑∞

=

Ω+Ω+=1

000 sincos)(k

kk tkbtkaatf

∫ ==T

FdttfT

a0

00 )(1

(2)

(3)

∫ −+=Ω=T

kkk FFdtktfT

a0

0cos)(2

( )∫ −=Ω= −

T

kkk jFFdtktfT

b0

0sin)(2

(4)

(5)

5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT)• Untuk sinyal periodik waktu diskrit x(n) dengan periode N.

Kita kenal frekuensi digital 0 ~ 2π. Ekspansinya dinyatakandalam:

∑−

=

=1

0

0)(1)(N

k

njkekXN

nx ω(6)

(7)∑−

=

−=1

0

0)()(N

k

njkenxkX ω

Persamaan (6) dan (7) dikenal sebagai pasangan Discrete Fourier Series (DFS)

Dalam hal iniω0 = frekuensi fundamental

= 2π/sampling rate= 2π/N

Lanjutan….

• Untuk N genap:

• Untuk N ganjil:

nNA

nN

kkBnN

kkAAnxN

k

N

k

π

ππ

cos2

2sin)(2cos)()0()(1)2/(

1

1)2/(

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∑∑

−

=

−

=

∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2/)1(

1

2/)1(

1

2sin)(2cos)()0()(N

k

N

kn

NkkBn

NkkAAnx ππ

……….(8a)

……….(8b)

Lanjutan

Untuk N Genap:

∑−

=

=1

0)(1)0(

N

nnx

NA

( )∑−

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

012/,...,2,12cos)(2)(

N

nNkuntukn

Nknx

NkA π

( )∑−

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

012/,...,2,12sin)(2)(

N

nNkuntukn

Nknx

NkB π

( )∑−

=

−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

012/,...,2,1cos)(1

2

N

nNkuntuknnx

NNA π

(9)

5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT)• Bisa digunakan untuk sinyal periodik dan non periodik

• Dimana ω0=2π/N• Bentuk Inversnya:

• Dalam terminologi (WN=e-j2π/N) dinyatakan:

10)()(1

0

0 −≤≤=∑−

=

− NkenxkXN

n

njkω (10)

10)(1)(1

0

0 −≤≤= ∑−

=

NnekXN

nxN

n

njkω (11)

10)()(1

0−≤≤=∑

−

=

NkWnxkXN

n

knN

10)(1)(1

0−≤≤= ∑

−

=

− NnWkXN

nxN

n

knN

Sifat-Sifat DFT• Secara umum sama dengan sifat Transformasi Fourier waktu

kontinyu.

• Tetapi durasi untuk n dibatasi 0 s/d N-1. Maka setelah n = N-1, akan berputar kembali pada nilai n = 0.

• Dari beberapa sifat tsb, kita bahas 4 saja, yaitu:- Sifat Linearitas- Sifat Circular Translation- Sifat Perkalian dengan Eksponensial- Sifat Circular Convolution

a. Sifat Linearitas

DFT[a1x1(n)] = a1X1(k) , DFT[a2x2(n)] = a2X2(k)

Maka:DFT[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1DFT[x1(n)] + a2DFT[x2(n)]

= a1X1(k) + a2X2(k) ……..(12)

b. Sifat Circular Translation• Pada kasus translasi linear x(n-n0) merupakan

bentuk pergeseran ke kanan.• Tetapi pada kasus sinyal non-periodik (n = 0 s/d N-1),

maka pergeseran terbatas sampai dengan N-1. Setelah itu kembali ke n=0 Modulo N, makabentuknya menjadi

N=8

0 1

2

34

5

6

7

x(n) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]x((n-1)mod N) = [x(N-1), x(0),……, x(N-3), x(N-2)]……x((n-n0)mod N) = [x(N-n0), x(N-n0+1),……., x(N- n0 -1)]……x((n-N)mod N) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]

DFT[(n-N)mod N]=WNkmX(k) ………(13)

c. Sifat Perkalian dengan Eksponensial

Jika DFT[x(n)] = X(k)

Maka DFT[WN-lnx(n)] =X((k-l) mod N)

………..(14)

d. Sifat Circular Convolution

• Konvolusi Linear:

• Konvolusi Circular:

)()()()()()( 212121 knxkxataukxknxnxnxkk

−−=∗ ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] )()()()(

)()(

211

21

2121

nxFnxFFnxnx

eXeXnxnxF jj

⋅=∗

=∗−

ωω

( )

( )∑

∑−

=

−

=

−=

−∆⊗

1

021

1

02121

mod)()(

)(mod)()()(

N

k

N

k

Nknxkx

kxNknxnxnx

Dimana x1(n-k)mod N) merupakan versi ter-refleksi danter-translasi (geser) pada x1(n)

……….(15)

Contoh 1:• Sebuah operasi konvolusi circular dibentuk dari

dua komponen x1(n)=(1,2,2,0) dan x2(n)=(0,1,2,3). Dapatkan hasil konvolusi

)()()( 21 nxnxnx ⊗=

x1(n) x2(n)

Gambar 5.1. Contoh kasus konvolusi circular

Penyelesaian:Step 2: x1(k) = (1, 2, 2, 0)

x2((1-k)mod 4)= (1, 0, 3, 2)------------- +

y(0) = 1 0 6 0= 7

Step 1: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1)

------------- +y(0) = 0 6 4 0

= 10

Step 3: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((2-k)mod 4)= (2, 1, 0, 3)

------------- +y(0) = 1 2 0 0

= 4

Step 4: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((3-k)mod 4)= (3, 2, 1, 0)

------------- +y(0) = 3 4 2 0

= 9

Step 5: x1(k) = (1, 2, 2, 0)x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1)

------------- +y(5) = 0 6 4 0

= 10

Terjadi perulangan hasil.

Hasilnya:

)9,4,7,10()()()( 241 =⊗= nxnxny

n

y(n)

[ ] [ ] )()()()( 2121 nxDFTnxDFTIDFTnxnx NNNN ⋅=⊗

……….(16)

Gambar 5.2. Hasil konvolusi circular

5.4. Computation of DFT

( )

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

++=

−==

∑∑

∑∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

ReImImRe

ImImReRe

ImReImRe

1,.....,1,0;)(

N

n

knN

N

n

knN

N

n

knN

N

n

knN

N

n

knN

knN

N

n

knN

WnxWnxj

WnxWnx

WjWnxjnx

NkWnxkX

perkalianjumlahan

……(17)

5.5. Computation of Inverse DFT

( )∑−

=

− −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

0

1,....,1,0;1)(N

k

knN NnWkX

Nnx

……….(18)

5.6. Interpretation of DFT Result

x(n) versi diskrit (tersampel) pad asinyal analog xa(t)

Frekuensi indek(tanpa satuan)

k

Frekuensi digital(radiant)

ωk = k2π/N

Frekuensi indek(tanpa satuan)

Ωk= k2π/NT

……..(19)

Contoh 2• Dapatkan transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang

memiliki periode eksak di dalam window yang terdapat padasampel. Tetapkan x(n) seperti pada Gambar dibawah yang direpresentasikan sebagai x(t) = 3cos(2πt), pada t=nT. Untuksuatu n = 0~ 99, dan T=0,01.

t

x(t)

Gambar 5.3. Contoh sinyal sinus waktu kontinyu

Penyelesaian• Didapatkan sekuen diskrit sebagai

x(n) = 3cos(2πnT) = 3cos(0.02πn) untukn =0,1,….,199. Perlu dicatat bahwa x(n) merupakan sinyal cosinussepanjang dua periode.

n

x(n)

Gambar 5.4. Contoh sinyal sinus waktu diskrit

• Bagian real XR(k) dan imajiner XI(k) dapatdihitung dari persamaan (11).

10)()(1

0

0 −≤≤=∑−

=

− NkenxkXN

n

njkω

( )( ) ( ) ( )( )∑−

=

−=1

000 sincos02,0cos3)(

N

nnkjnknkX ωωπ

Hasilnya seperti pada gambar berikut…

Bagian RealXR(k)

2

0,02π

2π

Freq Analog(rad/det)

Freq Digital(rad)

Indek Freq Digital(rad/det)

k

ωk

Ωk

m

2πm/200

mπ

100

π

100π Gambar 5.5. Bagian real hasil transformasi sinyal sinus

Bagian Imaginer

Semua bernilai 0, atau mendekati 0

Gambar 5.6. Bagian imajiner hasil transformasi sinyal sinus

Perhatikan pada bagian Real, ada dua nilai munculyaitu pada indek frekuensi (2) dan (N-2 =198).Masing-masing dengan nilai 300. Inimerepresentasikan (AN/2), dimana:- A=3 amplitudo- N = 300 jumlah sampel yang digunakan

Karena struktur sampling, frekuensi indek 2 berkaitansecara tepat dengan penuh pada gelombang cosinus.

Keterangan

Contoh 3• Gambarkan magnitudo pada DFT 64 titik pada x(n) = (1/32) sin (0,2πn).

Dengan nilai n=0,1,…,63

Gambar 5.7. Sinyal sinus diskrit pada contoh 3

Penyelesaian

X(k) = XR(k) + XI(k)Magnitudonya:

( ) ( ) ( ) ( )kXkXkXkXkX IIRR +=)(Seperti terlihat pada gambar sebelumnya, dengan persamaantersebut terjadi 6,4 gelombang sinus.Jika gelombang sinus tepat pada 1 periode penuh, |X(k)| akanmemiliki nilai (AN/2), sehingga:

12

64321

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

AN

Tetapi ternyata hasilnya sedikit berbeda, yaitu nilai maksimum terjadipada n=6, dan bernilai < 1.

k=6

Gambar 5.7. Hasil transformasi fourier sinyal sinus diskrit contoh 3

5.7. Hubungan DFT-Fourier Transform

• Transformasi Fourier

• Discrete Fourier Transform

( ) ( ) ( )∑∑−

=

−∞

−∞=

− ==1

0

N

n

nj

n

njj enxenxeX ωωω

( ) ( ) ( ) 1,...,1,01

0

/2 −==∑−

=

− NkenxkXN

n

Nkj π

Sinyal Tersampel dan Transformasi Fouriernya

Gambar 5.8. Sinyal persegi tersampel (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)

Zero Padding|8 titik DFT| dengan tambahan 4 zero pada x(n)

Hasil DFT

Gambar 5.9. Sinyal persegi dengan 4 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)

|16 titik DFT| dengan tambahan 12 zero pada x(n)

Hasil DFT


|64 titik DFT| dengan tambahan 60 zero pada x(n)

Hasil DFT


Contoh Lain DFT pada Sinyal Sinusx(n) = (1/64)*(sin(2*pi*n/64) + (1/3)*sin(2*pi*15*n/64))

Gambar 5.12. Sinyal sinus beragam frekuensi (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)

Soal Latihan

[ ]⎩⎨⎧

==

=9,......,2,1;0

0;1)

nn

nxa

[ ] 9,......,2,1,0;) 52 == nenxd nj π

[ ]⎩⎨⎧

==

=9,......2,1;0

0;1)

kk

kXa a

1. Dapatkan bentuk transformasi Fourier (DFT)10-point untuk sinyal waktu diskrit berikut ini:

2. Dapatkan bentuk invers Transformasi Fourier (IDFT) 10-point untuk sinyal berikut ini:

[ ] 9,......,2,1,0;1) == kkXb b

[ ] 9,......,2,1;1) == nnxb

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=4;04;1

)nn

nxc

[ ]⎩⎨⎧

==

=9,8,6,5,4,2,1,0;0

7,3;1)

kk

kXc c

[ ] ( ) 9,......,2,1,0;5/2cos) == kkkXd d π

3. Sebuah sinyal waktu diskrit dinyatakan dalam bentuk komplek berikut ini

[ ] ( ) 1,.....2,1,0;/21 −== Nnenx nNkj π

Dapatkan bentuk transformasi Fourier waktu diskrit (DFT) dari x[n] sebanyakN-titik

4. Sebuah sinyal waktu diskrit tersusun dari fungsi sinusioda:

x2[n]=cos(2πkn/N)

Dapatkan bentuknya dalam domain frekuensi N-titik

5. Buatlah sebuah program visualisasi dengan Matlab untuk domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal berikut ini:

a) x[n] = 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0b) x[n] = 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0

6. Buat visualisasi sinyal domain waktu & frekuensi sinyal ini:

a). 1,1,1,1,0,0,0,……0,0 b). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0

c). 1,1,1,1,0,0,0,………………0,0 d). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0

16 titik 32 titik

64 titik 128 titik

7. Buat visualisasi domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal:

a) x[n] = sinc(2πn/10) ; n = -30,-29,…..-1,0,1,……..,29,30

b)⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−−−−==

30,29.....,,.........2,1;00;1

1,2,....,29,30;0][

nnn

nx

Documents

Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit