Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu dan Rekonstruksi...5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.2 Pengolahan Sinyal Dijital 5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter) 5.2.1.1 Anti

Edisi Semester 2 17/18 EYH 1

Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu

dan Rekonstruksi5


5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

5.1.1 Sampling

5.1.1.1 Sampling Priodik

5.1.1.2 Representasi domain frekuensi proses sampling

5.1.1.3 Frequency Ambiguity

5.1.2 Rekonstruksi

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

5.2 Pengolahan Sinyal Dijital

5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter)

5.2.1.1 Anti aliasing Filter

5.2.1.2 Rangkaian Sampling and Hold (S/H)

5.2.1.3 Kuantisasi dan Coding

5.2.2 Konversi Digital ke Analog (D/A Converter)

5.2.2.1 Interpolasi Zero-order-hold (ZOH)

5.2.2.2 Interpolasi First-order-hold (FOH)

5.2.2.3 Interpolasi Cubic Spline


5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit(Discrete Time Signal Processing)

Discrete time

system

h(n)x(n) y(n)

x(n)

n12 3 4 5 6 7 8

y(n)

n12 3 4 5 6 7 8


Contoh : Pemfilteran

Filter LTI

h(n)x(n) y(n)

x(n)

n12 3 4 5 6 7 8

y(n)

n12 3 4 5 6 7 8

Filter LTI

H(ej)

X(ej) X(ej)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

DTFT j

DTFT j

DTFT j

x n X e

h n H e

y n Y e

Filter design


Deretan sinyal diperoleh dari pencuplikan secara periodik sinyal kontinyu ( ).

( ) -

dimana adalah perioda sampling dan 1/ adalah frekue

c

c

s

x n x t

x n x nT n

T f T

s

nsi sampling (sampel per detik).

Frekuensi sampling dapat juga dinyatakan dengan 2 / (radians per detik).

Sistem yang merepresentasikan persamaan ( ) disebut

ideal continuous-to-discrete-time

c

T

x n x nT

(C/D) converter diilustrasikan pada gambar berikut

C/Dxc(t)

T

x(n)=xc(nT)

Dalam prakteknya operasi sampling diimplementasikan dengan A/D converter yang dapat

dianggap sebagai aproksimasi ideal C/D konverter.

5.1.1 Sampling5.1.1.1 Sampling Periodik


Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit)

T

Konversi impulse

train ke deretanxc(t)xs(t)

s(t)

x(n)=xc(nT)

xc(t) xs(t) x(n)

t t n

s(t)

t

T12 3 4 5 6 7 8

T = Perioda pencuplikan

fs= 1/T = frekuensi pencuplikan



( ) -

( ) ( ). ( )

= ( ). -

= ( ).

n

s c

c

n

c

s t t nT

x t x t s t

x t t nT

x nT t

s

-

Transformasi Fourier dari ( )

2 ( ) -

2 / (radians per detik).


1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) -

2 2

n

s

k

s

s c c s c

k

nT

s t

S j kT

T

x t

X j X j S j X j k X jT T

-


Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( ) ( )

Karena

s

k

s

j Tn

s c

n

k

x t

X j x nT e

( )

dan ( ) = ( )

maka ( ) ( ) ( )

1 1 2 ( ) - ( )

c

j j n

n

j j T

s T

j T

c s c

k k

x n x nT

X e x n e

X j X e X e

kX e X j k X j

T T T T





( ) -

( ) ( ). ( )

= ( ). -

= ( ).

n

s c

c

n

c

s t t nT

x t x t s t

x t t nT

x nT t

s

-


2 ( ) -

2 / (radians per detik).


1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) -

2 2

n

s

k

s

s c c s c

k

nT

s t

S j kT

T

x t

X j X j S j X j k X jT T

-


Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( ) ( )

Karena

s

k

s

j Tn

s c

n

k

x t

X j x nT e

( )

dan ( ) = ( )

maka ( ) ( ) ( )

1 1 2 ( ) - ( )

c

j j n

n

j j T

s T

j T

c s c

k k

x n x nT

X e x n e

X j X e X e

kX e X j k X j

T T T T




T

Xc(j)

Konversi deretan

impuls ke deretan

waktu diskritxc(t)

xs(t)

s(t)Xs(j)

X(ej)

x[n]=xc(nT)

xc(t) xs(t) x(n)

t t n

s(t)

t

T12 3 4 5 6 7 8

( ) ( )

( ) ( )

2 ( ) - -

( ) ( )

( ) ( ). ( )

1 ( ) ( ) (

2

c c

s

n k

s s

s c

s c

x t X j

s t S j

s t t nT kT

x t X j

x t x t s t

X j X j S

1 2 1 ) ( ) - -

2

( ) ( )

1 1 2 ( ) ( ) ( ) - ( )

c s c s

k k

j

j j T

s c s cTk k

j X j k X j kjT T

x n X e

kX j X e X e X j k X j

T T T T


fs= 1/T = frekuensi pencuplikan


0 10 20 30 40 500 10 20 30 40 50

xc(t) = cos t x[n] = cos n

xc(t) = cos 2F t x[n] = cos 2f n

xc(t) = cos 2.1000 t x[n] = xc(nTs) = cos 2000(n.1/6000)

= cos 2000t x[n] = cos 2000/6000n = cos 1/3 n

Xc(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

Fs=6000 Hz

t

xc(t)

x[n]

n

F=1kHz

- 4000 -2000 0 2000 4000 12000 (rad/s)

Xc(j)

-1/3 1/3 5 / 3 2 7 /3 (rad)

X(ej)

)T

k2

T(jX

T

1)e(X

ssk

cs

j

Ts=1/6000 s


Xc(j)

Konversi deretan

impuls ke deretan

waktu diskritxc(t)

xs(t)

s(t)Xs(j)

X(ej)

X[n]=xc(nT)

Sinyal xc(t)=cos (2000t) dicuplik dengan

(a) sampling rate 2500 Hz s=5000 rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=xc(nT) = cos (2000nT)

= cos( 2000/2500 n)

=cos[0.8 n]

(b) sampling rate 1500 Hz, s=3000 rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=xc(nT) = cos (2000nT)

= cos( 2000/1500 n)

= cos[ (4/3n) ]

= cos[ (2 - 2/3) n] aliasing

=cos[2/3n]


5.1.1.3 Frequency ambiguity

1 kHz

7 kHz

0 10 20 30 40 50


- 4000 -2000 0 2000 4000 (rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000 (rad/s)

Xc(j)

S(j)

-5000 -3 000 -2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000 (rad/s)

2/TT=1/2500 s

Xs(j)

/T

- 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8 (rad)

X(ej)

xc(t)=cos (2000t)

x [n]=cos(0.8 n)

sampling rate 2500 Hz s=5000 rad/s ,

k-T

2

k

s

Xc(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

( ) 2000 - 2000 -s s s

k

X j k kT

( ) 0.8 - 2 0.8 - 2j

k

X e k k


- 3000 0 3000 6000 9000 (rad/s)

S(j)

Xs(j)

X(ej)

-3 000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 9000 12000 (rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.66 1.33 2 2.66 3.33 4 6 8 (rad/s)

2/T

- 4000 -2000 0 2000 4000 (rad/s)

Xc(j)

/T

T=1/1500 s

xc(t)=cos (2000t)


aliasing

k-T

2

k

s

( ) 2000 - 2000 -s s s

k

X j k kT

Xc(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

4 43 3

( ) - 2 - 2j

k

X e k k


5.1.2 Rekonstruksi

Konversi sinyal

waktu diskrit ke

impulse train

x(n) xs(t)

T

xr(t)

xs(t) xr(t)

tt

x(n)

n12 3 4 5 6 7 8

Filter

Rekonstruksi

Ideal hr(t)

Secara matematis proses rekonstruksi ideal ((konverter diskrit ke kontinyu ideal).

direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

2.Pemfilteran dengan filter rekonstruksi ideal berupa filter lowpass


Secara matematis proses rekonstruksi direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

( ) -

2.Pemfilteran dengan filter rekonstruksi ideal

s

n

x t x n t nT

berupa filter lowpass

Filter rekonstruksi adalah filter lowpass ideal :

, ( )

0 ,

2

Respon

c

r

c

sc

TH j

T

sin /impuls filter lowpass ideal : ( )

/

( ) ( ) ( ) ( ) - -

sin / ( )

/

r

r r s r r

n n

r

n

t Th t

t T

x t h t x t h t x n t nT x n h t nT

t nT Tx t x n

t nT T



X(ej)

Konversi sinyal

waktu diskrit ke

impulse train

x(n) xs(t)

TXs(j)

Xr(j)

xr(t)

xs(t) xr(t)

tt

x(n)

n12 3 4 5 6 7 8


Filter

Rekonstruksi

Ideal hr(t)

hr(t)Hr(j)

T

r

Filter Rekonstruksi adalah filter lowpass ideal :

,( )

0 ,

2

sin /Respon impuls filter lowpass ideal : h (t)

/

c

r

c

sc

TH j

T

t T

t T

T

Hr(j)

T

hr(t)


Teorema Pencuplikan Nyquist

Bila xc(t) adalah sinyal dengan lebar bidang frekuensi terbatas : Xc(j)=0, > N

Maka xc(t) secara unik dinyatakan oleh cuplikannya x[n]=xc(nT), bila

S=2/T>2 N,dimana N adalah frekuensi Nyquist, dan 2N adalah rate Nyquist.


- 4000 -2000 0 2000 4000 (rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000 (rad/s)

Xc(j)

S(j)

-5000 -3 000 -2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000 (rad/s)

2/TT=1/2500 s

Xs(j)

/T

- 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8 (rad)

X(ej)

xc(t)=cos (2000t)

x [n]=cos(0.8 n)


k-T

2

k

s

Xc(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

( ) 2000 - 2000 -s s s

k

X j k kT

( ) 0.8 - 2 0.8 - 2j

k

X e k k


- 5000 -3000 -2000 0 2000 3000 5000 10000 (rad/s)

-5000 -2500 0 2500 5000 10000 (rad/s)

Xs(j)

X(ej)

- - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2.4 3.2 4 4.8 (rad)

Hr(j)

- 4000 -2000 0 2000 4000 (rad/s)

Xr(j)

,


- 3000 0 3000 6000 9000 (rad/s)

S(j)

Xs(j)

X(ej)

-3 000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 9000 12000 (rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.66 1.33 2 2.66 3.33 4 6 8 (rad/s)

2/T

- 4000 -2000 0 2000 4000 (rad/s)

Xc(j)

/T

T=1/1500 s

x[n] = cos [2/3n]

xc(t)=cos (2000t)


aliasing

k-T

2

k

s

( ) 2000 - 2000 -s s s

k

X j k kT

Xc(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

4 43 3

( ) - 2 - 2j

k

X e k k


-3 000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 9000 12000 (rad/s)

- -1.33 -0.66 0 0.66 1.33 2 1.33 1.66 4 6 8 (rad/s)

X(ej)

Xs(j)Hr(j)

-3000 -1000 0 1000 3000 (rad/s)

Xr(j)

Hr(j)

-3 000 -1500 0 1500 3 000 6000 9000 12000 (rad/s)



Konversi

deretan

impuls ke

diskrit

Sistem

diskrit

H(ej)

Konversi

diskrit ke

deretan

impuls

Filter

Rekonstruksi

Ideal

Hr(j)

xc(t) xs(t) x[n]

X(ej)

y[n]

Y(ej)

ys(t)

Ys(j)

yr(t)

Yr(j)

T



1 2Sinyal masukan sistem waktu diskrit [ ] ( ) ( ) ( )

Sinyal keluaran sistem waktu diskrit [ ]

sin /Setelah rekonstruksi: ( ) [ ]

/

Spektr

j

c c

k

r

n

kx n x nT X e X j

T T T

y n x n

t nT Ty t y n

t nT T

.

um sinyal ( ) ( ) ( ).

0

Bila sistem waktu diskrit adalah sistem linier dan tidak berubah terhadap

j T

j T

r r r

T Y eT

y t Y j H j Y e

T

waktu, maka

( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 ( ) ( ) ( ) ( )

Bila ( ) mempunyai spektral t

j j j j T j T

r r

j T

r r c

k

c

Y e H e X e Y j H j H e X e

kY j H j H e X j

T T T

x t

erbatas maka (j ) 0, dan

( ) adalah filter low pass ideal, maka

( ).

( )

0

c

r

j T

c

r

XT

H j

H e X jT

Y j

T


aliasing terjadi tidak agar tinggi cukup npencuplika frekuensi •

terbatas yafrekuensin pita lebar masukan sinyal •

waktu. terhadap berubah tidak dan linier diskritwaktu sistem •

: bilawaktu terhadap berubah tidak dan linier adalah dijital secara sinyal pengolahan Sistem : Catatan

T )e(H) (jH:anadim

T jX). (jH) (jY maka rate, Nyquist npencuplika frekuensi Bila

Tjeff

ceffr


A/D Converter

5.2 Pengolahan Sinyal Digital (Digital Signal Processing)

Digital

Processorx(n) y(n)

D/A

Coverter

Prefilter A/D

Coverter

Postfilter

x(t) y(t)

Sampling &

Hold

Quantizer Encoder


5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter)5.2.1 .1 Anti aliasing filter5.2.1.2 Sample and Hold Circuit

Courtesy from Discrete time signal processing , Alan V.Oppenheim

Xs(t)

s(t)Xa(t)

Zero order

Hold

ha(t)


Courtesy from Digital Signal Processing, John G.Proakis and Dimitris G Manolakis


5.2.1.3 Quantization and Coding

Quantization : proses nonlinear dan non invertible yang memetakan amplituda

x(n)=x(nT) pada waktu t=nT ke amplituda yang diambil dari satu set nilai yang

berhingga,

kx

kx




Analisis Error kuantisasi

• Signal to quantization noise (power) ratio (SQNR), dalam

skala dB :


dB 76.102.6

: signal modulating sinusoidal scale full PCM sistemuntuk Misal

input sinyal variansi

converter A/D dari rangeR

kuantisasibit jumlah

log2081.1602.6

bSQNR

b

RbSQNR

x

x


5.2.2 Konversi Digital to Analog



Practical D/A Converter

5.2.2.1. Zero order hold interpolation

Zero order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

ss T1T , nnnnxtxa

lainnya ,0

T0 ,1 s

t

th

5.2.2.2. First order hold interpolation

First order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

5.2.2.3 Cubic spline interpolation

Cubic spline interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter dengan fungsi

cubic spline sebagai berikut;


lainnya 0,

2 ,1

0 ,1

ss

s

s

s

TtTT

t

TtT

t

th

sss

ssa

TnnnTnTtn

nTtnnTtnntx

1 , 3

3

2

210

Documents

Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu dan Rekonstruksi...5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.2 Pengolahan Sinyal Dijital 5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter) 5.2.1.1 Anti