-
Dalam probabilitas bersyarat:
Atau secara umum:
Hukum Probabilitas Total dan Teorema Bayes
Hukum Probabilitas Total
4-*
-
Kejadian U: pendapatan perusahaan akan meningkat tahun depan
Kejadian W: penjualan akan meningkat tahun depan
Contoh
4-*
-
Teorema Bayes
4-*
Jika diketahui P(B | A), maka P(A | B) dapat ditentukan dengan
menggunakan Teorema Bayes
P(B|A) P(A|B)
-
Contoh
4-*
C = kejadian bahwa suatu produk cacatCc = kejadian bahwa suatu
produk tidak cacat + = kejadian bahwa hasil uji QC menunjukkan
produk cacat - = kejadian bahwa hasil uji QC menunjukkan produk
tidak cacatBagian produksi mengestimasi bahwa 10% produknya ada
kemungkinan cacatDari beberapa uji QC sebelumnya, diperoleh
pengalaman sbb:- Uji dilakukan pada produk cacat, 95% hasil uji QC
menunjukkan produk cacat- Uji dilakukan pada produk yang tidak
cacat, 8% hasil uji QC menunjukkan produk cacatJika bagian QC
melakukan uji dan ditemukan hasilnya cacat, berapakah kemungkinan
bahwa produk tersebut memang cacat?
-
4-*
Diketahui
P(+|C) = .95 P(+|Cc ) = .08 P(C) = .10
Ditanyakan: P(C|+)
Jawab:
-
6.*
Kondisi Produk Sebenarnya
Hasil
Uji
CCc+-
- Dengan terjadinya kejadian terpisah B1,B2 ,...,Bn:
Perluasan Teorema Bayes
4-*
- Pengelola penjualan suatu perusahaan percaya bahwa jika
pertumbuhan ekonomi sedang tinggi, maka penjualannya akan meningkat
dengan probabilitas 0,70. Jika pertumbuhan ekonomi sedang moderat,
maka penjualan meningkat dengan probabilitas 0,40. Jika pertumbuhan
ekonomi rendah, maka penjualan meningkat hanya dengan probabilitas
0,20.Berdasarkan pengalman, probabilitas bahwa pertumbuhan ekonomi
tinggai adalah 0,30, probabilitas bahwa pertumbuhan ekonomi sedang
(moderat) adalah 0,50, dan probabilitas bahwa pertumbuhan ekonomi
rendah adalah 0,20. Jika penjualan meningkat pada saat ini,
berapakah probabilitas bahwa pertumbuhan ekonomi tinggi?
Contoh
4-*
-
Jawab:
4-*
-
6.*
Terminologi Bayesian
Probabilitas P(A) and P(AC) disebut prior probability karena
diketahui / ditentukan sebelum diberikan perlakuan pada suatu
kejadianProbabilitas bersyarat P(A | B) disebut posterior
probability, karena prior probability berubah setelah diberikan
perlakuan pada suatu kejadian (mempertimbangkan kejadian lain)
-
6.*
Pohon Probabilitas [Pohon Keputusan]
Pohon probabilitas imerupakan metode sederhana dan efektif dalam
penerapan aturan probabilitas dengan menyajikan kejadian dalam
sebuah eksperimen dengan menggunakan garis hasilnya mirip pohon
First selection
Second selection
P(J) = 3/10
P( M) = 7/10
P(J|M) = 3/9
P(J|J) = 2/9
P( M|M) = 6/9
P( M|J) = 7/9
-
6.*
Pada akhir cabang, dihitung joint probabilities (probabilitas
gabungan) sebaga hasil perkalian dari probabilitas cabang
sebelumnyaSample Space:[J1*J2, J1*M2, M1*J2, M1*M2]
First selection
Second selection
P(J) = 3/10
P( M) = 7/10
P(J|M) = 3/9
P(J|J) = 2/9
P( M|M) = 6/9
P( M|J) = 7/9
P(JJ)=(3/10)(2/9)
P(JM)=(3/10)(7/9)
P(MJ)=(7/10)(3/9)
P(MM)=(7/10)(6/9)
Joint probabilities
-
6.*
-
6.*
Contoh
Sebuah produk harus melalui uji QC sebelum didistribusikan kepada
konsumen. Produk yang tidak lolos pada uji I akan diperiksa lagi
pada uji II. Hari ini diproduksi 10000 produk. Kemungkinan suatu
produk untuk lolos pada uji I adalah 72%, sedangkan kemungkinan
produk yang gagal pada uji I kemudian lolos pada uji II adalah 88%.
Berapa total produk yang lolos uji QC?
Uji I
P(Pass) = .72
P( Fail) = .28
Uji II
P(Pass|Fail) = .88
P( Fail|Fail) = .12
P(Pass) = .72
P(Fail and Pass)=
(.28)(.88)=.2464
P(Fail and Fail) =
(.28)(.12) = .0336
-
Prior
Probabilities
Probabilitas Bersyarat
Joint
Probabilities
Contoh
4-*
-
Secara umum, jika terdapat n kejadian dan kejadian i dapat
terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka banyaknya cara bahwa
urutan dari n kejadian yang mungkin terjadi adalah N1N2...Nn
Contoh:
Mengambil 5 kartu dari satu set kartu yang berjumlah 52- dengan
pengembalian
52*52*52*52*52=525 = 380.204.032 hasil yang mungkin
Mengambil 5 kartu dari satu set kartu yang berjumlah 52- tanpa
pengembalian
52*51*50*49*48 = 311.875.200 hasil yang mungkin
Konsep Kombinatorial
4-*
-
.
.
.
.
.
Urutan huruf A, B, dan C
A
B
C
B
C
A
B
A
C
A
C
B
C
B
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Contoh konsep kombinatorial dalam bentuk diagram pohon
4-*
-
Untuk seluruh bilangan positif integer n, n faktorial
didefinisikan sebagai: n(n-1)(n-2)...(1) cara penulisan: n!.
n! merupakan banyaknya cara bahwa n objek dapat diurutkan.
1! = 1 and 0! = 1.
Contoh:
Dengan berapa cara 3 huruf A, B, dan C dapat diurutkan?
Faktorial
4-*
-
Contoh:
Dengan berapa cara 3 huruf dapat diambil dari 6 huruf A, B, C,
D, E, dan F?
Permutasi (urutan harus diperhatikan)
4-*
Permutasi merupakan pilihan urutan yang mungkin dari r objek
yang terdapat pada seluruh n objek.
Banyaknya permutasi r objek pada n objek dituliskan sebagai:
-
Contoh:
Berapa kombinasi yang dapat dibuat dari 3 huruf yang diambil
dari huruf A, B, C, D, E, dan F
Kombinasi (Urutan tidak diperhatikan)
4-*
Kombinasi merupakan pilihan dari r objek yang mungkin dari n
objek
tanpa memperhatikan urutan pilihan.
Banyaknya kombinasi r dari n objek adalah:
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
A
P
A
P
+
=
P
A
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
B
P
A
B
P
B
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
=
+
P
A
P
A
B
i
P
A
B
i
P
B
i
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
66
.
06
.
60
.
)
20
)(.
30
(.
)
80
)(.
75
(.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
.
8
.
1
)
(
80
.
)
(
30
)
(
75
.
)
(
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
-
=
=
=
=
W
P
W
U
P
W
P
W
U
P
W
U
P
W
U
P
U
P
W
P
W
P
W
U
P
W
U
P
P
B
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
B
P
A
B
P
B
P
A
B
P
B
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
+
=
+
I
I
I
I
P
B
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
B
P
A
B
P
B
i
i
i
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
=
=
=
P
H
A
P
H
A
P
A
P
H
A
P
H
A
P
M
A
P
L
A
P
A
H
P
H
P
A
H
P
H
P
A
M
P
M
P
A
L
P
L
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
)(
.
)
(
.
)(
.
)
(
.
)(
.
)
(
.
)(
.
)
.
.
.
.
.
.
.
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
I
I
I
I
I
0
70
0
30
0
70
0
30
0
40
0
50
0
20
0
20
0
21
0
21
0
20
0
04
0
21
0
45
0
467
P
H
(
)
.
=
0
30
P
M
(
)
.
=
0
50
P
L
(
)
.
=
0
20
P
A
H
(
)
.
=
0
70
P
A
H
(
)
.
=
0
30
P
A
M
(
)
.
=
0
40
P
A
M
(
)
.
=
0
60
P
A
L
(
)
.
=
0
20
P
A
L
(
)
.
=
0
80
P
A
H
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
30
0
70
0
21
P
A
H
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
30
0
30
0
09
P
A
M
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
50
0
40
0
20
P
A
M
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
50
0
60
0
30
P
A
L
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
20
0
20
0
04
P
A
L
(
)
(
.
)(
.
)
.
I
=
=
0
20
0
80
0
16
)!
(
!
r
n
n
r
P
n
-
=
120
4
*
5
*
6
1
*
2
*
3
1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
!
3
!
6
)!
3
6
(
!
6
3
6
=
=
=
=
-
=
P
r)!
(n
r!
n!
C
r
n
r
n
-
=
=
20
6
120
1
*
2
*
3
4
*
5
*
6
1)
*
2
*
1)(3
*
2
*
(3
1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
!
3
!
3
!
6
)!
3
6
(
!
3
!
6
3
6
=
=
=
=
=
-
=
=
C
r
n
