Embed Size (px)
Citation preview
I i II dvoqas veжbi — Vladimir Balti
1. Iskazni raqun (i osnovni pojmovi iz skupova)
Teorijski uvod
Definicija 1. Iskaz je bilo koja smislena kategoriqna reqenica za koju se moжe utvrditi da li je istinitaili neistinita. Iskazi se nazivaju i predikati (posebno u predikatskom raqunu kojim se bavimo kasnije).
Iskaze emo obeleжavati malim latiniqnim slovima p, q, r, s, . . . , a, b, c, d... Istinitosnu vrednost iskaza pemo oznaqavati sa v(p) i staviemo da je v(p) = 1 ako je iskaz p taqan, a v(p) = 0 ako je on netaqan (ponekadse koriste i oznake ⊤ i ⊥ (qitaju se ,,te“ i ,,ne–te“, odnosno taqno i netaqno) umesto 1 i 0, ali oznake 1 i 0su mnogo primerenije ,,raqunarcima“).
Primer 1. Utvrditi koje od sledeih reqenica su iskazi (i ako jesu iskazi Ƭihovu istinitosnu vrednost):
• ,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“
• ,,Kruxevac je najvei grad u Evropi.“
• ,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“
• ,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180.“
• ,,Ako su p i 11p− 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7 sloжen.“
• ,,Danas je lep dan.“
• ,,Koska pevajmo plavo nisam kako.“
• ,,Koliko je sati?“
• ,,Ova reqenica nije istinita.“
RexeƬe. Prvih 5 reqenica su iskazi. Od toga su prva, qetvrta i peta taqne (za prvu se moжete uveritiako malo proxetate do GorƬeg Kalemegdana nakon nastave, qetvrta je poznato tvreƬe iz geometrije1, a napetu emo se osvrnuti malo kasnije), dok druga i trea nisu (Kruxevac je maƬi od Beograda, te nije najveigrad u Srbiji, pa samim tim ni u Evropi; U Vojvodini postoje 2 planine od kojih je Fruxka gora druga povisini – najvixa je Vrxaqki breg).
Objasnimo zaxto ostale 4 reqenice nisu iskazi.
,,Danas je lep dan.“ Ne moжemo utvrditi istinitosnu vrednost ove reqenice, jer je to subjektivno oseaƬe (makoliko mnogo nas se sloжilo da je danas lep dan, moжda nekom nije jer mu ne odgovara povixeniji atmosferskipritisak, ili je legao u 6 i ustao u 8 pa mu nixta ne odgovara, ili ono xto je nama lep topao dan nije inekom iz Sibira kome je tad pretoplo...).
,,Kocka pevajmo plavo nisam kako.“ Ova reqenica uopxte nije smislena.
,,Koliko je sati?“ Ova reqenica je upitna, pa nije kategoriqna (tj. ne tvrdi nixta).
,,Ova reqenica nije istinita.“ Ako bi ova reqenica bila istinita onda bi to znaqilo i da ona nije istinita,ali nemogue je da je ona istovremeno i istinita i neistinita. Ako bi ova reqenica bila neistinita onda bito znaqilo da nije taqno da ona nije istinita, tj. ona bi bila istinita, ali nemogue je da je ona istovremenoi neistinita i istinita. Kako ova reqenica ne moжe biti ni istinita ni neistinita, ona nije iskaz.
Od jednostavnijih iskaza moжemo praviti sloжenije korixeƬem iskaznih operacija. Sada emo navestinajvaжnije od Ƭih i to prvo Ƭihovo ime, zatim oznaku i na kraju kako se moжe qitati tako dobijena reqenica.
• negacija q p ,,nije p“, ,,ne p“;
• konjunkcija p ∧ q ,,p i q“;
• disjunkcija p ∨ q ,,p ili q“;
• ekskluzivnadisjunkcija
p ∨ q ,,ili p ili q“;
• implikacija p ⇒ q ,,iz p sledi q“, ,,ako p onda q“, ,,p je dovoƩan uslov za q“,
,,q je potreban uslov za p“, ,,q je neophodan uslov za p“;
• ekvivalencija p ⇔ q ,,p je ekvivalentno sa q“, ,,ako i samo ako p onda q“,
,,p je i potreban i dovoƩan uslov za q“.
1Napomenimo da ovo tvreƬe je taqno samo u Euklidskoj geometriji (to je ona geometrija na koju smo navikli!), dok u nekimdrugim geometrijama poput Rimanove geometrije i geometrije Lobaqevskog ne vaжi!
1
Sada emo navesti tablice istinitosti za svaku od ovih operacija.
p q p0 11 0
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
p q p ⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1
p q p ⇔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1
Napomenimo da je negacija unarna operacija, dok su ostale binarne. Meu prethodno navedenim binarnimoperacijama, samo implikacija nije simetriqna operacija (tj. za Ƭu ne vaжi p ∗ q = q ∗ p).
Sada emo odrediti qemu su jednake osnovne binarne operacije kada je neki od operanada jednaki 0 ili1 (to e nam treba i prilikom popuƬavaƬa tablica u ovoj glavi, kao i kasnije kod predikatskog raquna).Za simetriqne operacije emo staviti simetriqne izraze u zagrade, dok emo za implikaciju navesti svesluqajevi (tu imamo 4 razliqita sluqaja).
• konjunkcija : 0 ∧ q = 0, 1 ∧ q = q, (p ∧ 0 = 0, p ∧ 1 = p).
• disjunkcija : 0 ∨ q = q, 1 ∨ q = 1, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = 1).
• ekskluzivnadisjunkcija
: 0 ∨ q = q, 1 ∨ q = q q, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = q p).
• implikacija : 0 ⇒ q = 1, 1 ⇒ q = q, p ⇒ 0 = q p, p ⇒ 1 = 1.
• ekvivalencija : 0 ⇔ q = q q, 1 ⇔ q = q, (p ⇔ 0 = q p, p ⇔ 1 = p).
KombinovaƬem konaqnog broja iskaznih slova (iskaznih promenƩivih), simbola 0 i 1, zagrada i iskaznihoperacija dobijamo iskaznu formulu. Iskazna formula koja je za sve vrednosti iskaznih promenƩivih taqnanaziva se tautologija (o Ƭima emo vixe kasnije), a ona koja je uvek netaqna naziva se kontradikcija.
Vratimo se sada na jedan iskaz iz prethodnog primera za koji nismo odreivali istinitosnu vrednost.
Primer 2. Odrediti istinitosnu vrednost iskaza ,,Ako su p i 11p− 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7 sloжen.“
RexeƬe. Ovaj iskaz je taqan.
Ova formula je oblika L ⇒ D. Leva strana L nikada nije taqna (ako je p = 2 onda je 11p − 7 = 15 = 3 · 5sloжen; a ako je prost broj p > 3 onda je p neparan, pa je 11p neparan, odnosno 11p− 7 je paran broj vei od 2,te je on sloжen), pa imamo formulu oblika 0 ⇒ D koja je uvek taqna.
IspitivaƬe da li je neka formula tautologija (kontradikcija) ili nije moжemo raditi nekim od sledeihnaqina:
• pomou tablice istinitosti;
• korixeƬem poznatih tautologija;
• suprotnom pretpostavkom (svoeƬem na apsurd);
• diskusijom po slovu.
Posvetimo malo prostora svakom od ovih metoda.
Pri popuƬavaƬu tablice istinitosti koristimo pravila koja smo naveli na prethodne 2 strane. Ukolikou posledƬoj koloni (tj. onoj koja odgovara datoj formuli) dobijemo sve 1 onda je data formula tautologija, aako dobijemo sve 0 onda je kontradikcija (u svim ostalim sluqajevima nije ni tautologija ni kontradikcija).Tablice istinitosti su pogodne, ne samo zato xto ih uqenici najboƩe koriste od svih metoda, nego zato xtose lako mogu iskoristiti i za dobijaƬe normalnih formi (videti posledƬe poglavƩe).
Pri korixeƬu poznatih tautologija moжemo iskoristiti neke od tautologija (koje su u fajlu DMS-03.pdf)i neko od iskaznih slova (p, q, r) zameniti sloжenijim iskaznim izrazima da bi dobili datu formulu. Timesmo pokazali da je i data formula tautologija. Za pokazivaƬe da je neka formula kontradikcija, moжemokoristiti opet isti spisak tautologija, jer je negacija svake tautologije jedna kontradikcija.
Metoda suprotnom pretpostavkom (svoeƬem na apsurd) se sastoji od toga da pretpostavimo da data for-mula nije uvek taqna. Ukoliko polazei od te pretpostavke dobijemo neku kontradikciju (tj. apsurd), ondapolazna pretpostavka da formula nije uvek taqna nije dobra, qime smo pokazali da je data formula tau-tologija. Ukoliko ne dobijemo kontradikciju, nego rasuivaƬem doemo do vrednosti osnovnih iskaznih
2
promenƩivih za koje data formula nije taqna, time smo pokazali da ona nije tautologija. Malom modi-fikacijom ove metode moжemo ispitati i da li je neka formula kontradikcija: samo emo pretpostaviti daformula neje uvek netaqna i ako dobijemo kontradikciju time smo pokazali da je ona kontradikcija, inaqeona nije kontradikcija.
Metoda diskusije po slovu se sastoji da redom idemo po sluqajevima kada je neka iskazna promenƩiva jed-naka 0, odnosno 1. Najqexe se prvo zameƬuju vrednosti promenƩive koja se najvixe puta javƩa u datojformuli. Kada zamenimo da je neka iskazna promenƩiva jednaka 0 (a posle i da je 1) dobijamo jednostavnijeformule u kojima se ta iskazna promenƩiva ne javƩa. Zatim za novodobijenu formulu moжemo ponovo pri-meniti metodu diskusije po slovu (ili neku drugu metodu) da bi ispitali da li je ona tautologija (ilikontradikcija) ili nije. Ukoliko smo u svim sluqajevima (sa odgovarajuim podsluqajevima) dobili da jeformula uvek taqna, onda je ona tautologija, a ukoliko postoji sluqaj u kome nije taqna, onda ona nije tau-tologija. Sliqno, ukoliko smo u svim sluqajevima (sa odgovarajuim podsluqajevima) dobili da je formulauvek netaqna, onda je ona kontradikcija, a ukoliko postoji sluqaj u kome je taqna, onda ona nije kontadikcija.
Primer 3. Opxtinsko za I razred B kategorije, 2014/15.
Ispitati da li je formula(
q r ⇒ p ∨ q)
⇔ (p ∨ q ∨ r) tautologija.
RexeƬe 1 (pomou tablice istinitosti).
L Dp q r q r p ∨ q q r ⇒ p ∨ q p ∨ q ∨ r L ⇔ D
0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 11 0 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1
Kako smo dobili sve 1 u posledƬoj koloni koja odgovara datoj iskaznoj formuli, pokazali smo da je onatautologija.
RexeƬe 2 (korixeƬem poznatih tautologija).
Ako primenimo zakon uklaƬaƬa implikacije, (a ⇒ b) ⇔ q(a ∨ b), pri qemu smo stavili da je a = q r ib = p ∨ q dobijamo da je
(q r ⇒ (p ∨ q)) ⇔ (q q r ∨ (p ∨ q)).
Na osnovu zakona dvojne negacije imamo q q r = r, xto daje (q r ⇒ (p∨q)) ⇔ (r∨(p∨q)). DaƩe na osnovu zakonakomutativnosti operacije ∨, tj. a∨b ⇔ b∨a ako stavimo a = r i b = (p∨q) dobijamo (q r ⇒ (p∨q)) ⇔ ((p∨q)∨r).
Sada zagrade oko p ∨ q moжemo da izostavimo na levoj strani ekvivalencije zbog prioriteta operacija( ⇒ ima maƬi prioritet od ∨), a na desnoj strani ekvivalencije zbog asocijativnosti operacije ∨, tj.(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r, te dobijamo datu formulu:
(
q r ⇒ p ∨ q)
⇔ (p ∨ q ∨ r).
Kako smo u gorƬim razmatraƬima krenuli od tautologije i koristili tautologije, dobijamo i da je dataformula tautologija.
RexeƬe 3 (suprotnom pretpostavkom, tj. svoeƬem na apsurd).
Pretpostavimo da data formula nije uvek taqna. To je mogue samo u jednom od dva sluqaja:1 v(L) = 1 i v(D) = 0; 2 v(L) = 0 i v(D) = 1 (L oznaqava levu stranu ekvivalencije, a D desnu).Razmotrimo svaki od ovih sluqajeva ponaosob.
1 v(L) = 1 i v(D) = 0. Ako je v(D) = 0, to znaqi da je v(p ∨ q ∨ r) = 0, xto je mogue samo kada je v(p) = 0,
v(q) = 0 i v(r) = 0. Ali tada je leva strana v(q 0 ⇒ 0∨ 0) = v(1 ⇒ 0) = 0, xto daje kontradikciju sa v(L) = 1.
2 v(L) = 0 i v(D) = 1. Ako je v(L) = 0, to znaqi da je v(q r ⇒ p ∨ q) = 0, xto je mogue samo kada je v(q r) = 1
i v(p∨ q) = 0, tj. kada je v(r) = 0 i v(p ∨ q) = 0. Ali tada je desna strana v(0∨ 0) == 0, xto daje kontradikcijusa v(D) = 1.
Kako smo u oba sluqaja doxli do apsurda, to je pogrexna pretpostavka da data formula nije uvek taqna.Time smo pokazali da je ona tautologija.
RexeƬe 4 (diskusijom po slovu).
Kako se sva 3 slova (p, q i r) javƩaju po 2 puta moжemo uzeti bilo koje. Malo pogodnije je r (jer je uimplikaciji na levoj strani ekvivalencije ono samo), tako da emo krenuti od Ƭega.
3
• v(r) = 1 formula postaje(
q 1 ⇒ p ∨ q)
⇔ (p ∨ q ∨ 1), tj.(
0 ⇒ p ∨ q)
⇔ 1, tj. 1 ⇔ 1, xto je uvek taqno,pa dobijamo da je u ovom slucjaju formula taqna.
• v(r) = 0 formula postaje(
q 0 ⇒ p ∨ q)
⇔ (p ∨ q ∨ 0), tj.(
1 ⇒ p ∨ q)
⇔ (p ∨ q), tj. (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q), xtoje uvek taqno, pa dobijamo da je i u ovom slucjaju formula taqna.
Kako je formula taqna u oba sluqaja, dobijamo da je ona tautologija.
RexeƬe 5 (zvaniqno rexeƬe na takmiqeƬu; ono je mala modifikacija diskusije po slovu).
Dokazaemo da obe strane posmatrane ekvivalencije imaju istu vrednost za ma kakve vrednosti iskaznihslova p, q i r. Ukoliko slovo r ima vrednost 1, desna strana ekvivalencije ima vrednost 1, a vrednost levestrane je vrednost implikacije oblika 0 ⇒ nexto, pa je i vrednost leve strane jednaka 1. DaƩe, ukolikoneko od slova p ili q ima vrednost 1, desna strana ekvivalencije ima vrednost 1, a vrednost leve straneje vrednost implikacije oblika nexto ⇒ 1, pa je i vrednost leve strane jednaka 1. Najzad, ukoliko svatri posmatrana slova imaju vrednost 0, tada desna strana ekvivalencije ima vrednost 0, a leva strana imavrednost q 0 ⇒ 0 ∨ 0, tj. 1 ⇒ 0, xto je 0. Ovim je dokaz da je data formula tautologija zavrxen.
Primena iskaznog raquna u prekidaqkim mreжama i logiqkim kolima
U logiqkim kolima sledei elementi (u Ƭima je upisano kojoj logiqkoj operaciji odgovaraju) predstavƩajunegaciju, konjunkciju i disjunkciju (q,∧,∨):
a aabcd
a b c d
abcd
a b c d
Rad sa Ƭima bie ilustrovan u zadacima 7 i 8.
Konjunkcija i disjunkcija preko prekidaqkih mreжa mogu biti predstavƩene na sledei naqin:
a b c d
a b c d
d
c
b
a
a b c d
4
Primena iskaznog raquna na skupovne formule
Prvo emo dati kratko obnavƩaƬe osnovnih pojmova Teorije skupova.
Skup i element skupa su osnovni matematiqki pojmovi i ne definixu se2. Stoga emo se zadrжati naintuitivnoj predstavi skupa, kao objediƬene koliqine elemenata. Pisaemo p ∈ A ako je p element skupa A.
Kod skupova nije bitan redosled elemenata, kao ni koliko se puta neki element javƩa u skupu – tako npr.imamo da vaжi a, b = b, a = a, a, b, a, b.
Skup koji nema nijedan element nazivamo prazan skup i oznaqavamo sa ∅. Ponekad se koristi i oznaka .
Definicija 2. Ako svaki element skupa A pripada i skupu B, tj. x ∈ A ⇒ x ∈ B, tada za skup A kaжemo daje podskup od B ili kaжemo da je skup A sadrжan u skupu B i to oznaqavamo sa A ⊆ B. U tom sluqaju kaжemoi da skup B kaжemo da je nadskup od A ili kaжemo da skup B sadrжi skup A i to oznaqavamo sa B ⊇ A. Zadva skupa kaжemo da su jednaka, A = B, ako i samo ako sadrжe iste elemente, tj. ako je istovremeno A ⊆ B iB ⊆ A. Ukoliko A nije podskup od B, to oznaqavamo sa A 6⊆ B. Za skup A kaжemo da je pravi podskup skupa B,ako je A podskup skupa B i A 6= B; i koristiemo oznaku A ⊂ B (i sliqno za pravi nadskup B ⊃ A).
Sada emo navesti osnovne operacije na skupovima.
Definicija 3. Ukoliko znamo xta je ,,univerzalni“ skup Ω, onda moжemo da uvedemo komplement skupa A,kao skup qiji su elementi svi elementi iz Ω koji nisu u skupu A. Komplement skupa A oznaqavamo sa A . Zadva data skupa A i B presek je skup qiji su elementi svi elementi koji su i u skupu A i u skupu B i oznaqavamoga sa A ∩ B. Za skupove A i B kaжemo da su disjunktni ako je A ∩ B = ∅. Unija je skup qiji su elementi svielementi koji su ili u A ili u B (tj. bar u jednom od skupova A i B) i oznaqavamo je sa A ∪ B. Razlikaskupova A i B je skup qiji su elementi svi elementi koji su u A, a nisu i u B (tj. oni koji su samo u A) ioznaqavamo je sa A \ B. Operaciju simetriqne razlike skupova A i B definixemo kao A B = (A\B)∪ (B \A),tj. to je skup qiji su elementi svi elementi koji su ili samo u A ili samo u B.
Ako uvedemo iskaze a =,, x ∈ A“ i b =,, x ∈ B“, onda svakoj od ovih operacija odgovara sledea iskaznaformula koja je predstavƩena zelenom bojom ispod slike na kojoj su Venovi dijagrami koji odgovaraju tojoperaciji.
komplement A presek A ∩ B unija A ∪ B razlika A \ Bsimetriqna
razlikaA B
Ω
q a a ∧ b a ∨ b a ∧ q b a ∨ b
U zadacima kada imamo podskup A ⊆ B Ƭemu odgovara a ⇒ b, jednakost A = B meƬamo sa a ⇔ b, a prazan skup∅ sa 0.
Primer 4. Neka je skup A dat nabrajaƬem svojih elemenata A = 1, 3, 5, 7, 9. Taj isti skup moжemo opisnozadati kao ,,skup neparnih jednocifrenih brojeva“ ili kao A = 2k − 1 | k ∈ N, k 6 5.Za skup M = 1, 5 vaжi M ⊂ A jer su svi elementi skupa M i elementi skupa A (i jox je M 6= A).
Neka je B = 1, 2, 3, 4.Tada je A ∩ B = 1, 3, A ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, A \ B = 5, 7, 9, a A B = 2, 4, 5, 7, 9.
Sada emo navesti jox neke skupovne pojmove koji e nam trebati kasnije, kod uvoeƬa pojma relacije.
Definicija 4. Partitivni skup skupa A, u oznaci P(A), je skup svih podskupova skupa A, tj. vaжi da jeP(A) = B | B ⊆ A.
Primer 5. Odrediti partitivni skup skupa A = a, b.
RexeƬe. Partititivni skup je P(A) =
∅, a, b, A
.
Napomena. Kada odreujemo B ⊆ A, za svaki element iz A imamo 2 mogunosti: ili da je u podskupu B ilida nije. Stoga je broj elemenata partitivnog skupa konaqnog skupa A, |A| = n, dat sa |P(A)| = 2n.
2Sliqno, ne definixu se i pojmovi broja, taqke, prave...
5
Definicija 5. Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci A × B, je skup koji sadrжi sve mogue paroveelemenata, kod kojih je prva koordinata iz skupa A a druga iz B, tj. vaжi da je A × B = (a, b) | a ∈ A, b ∈ B.Ako odreujemo Dekartov proizvod dva ista skupa, koristimo oznaku A2, tj. vaжi A2 = A × A. Ovi pojmovise mogu preneti i na Dekartov priozvod n skupova: A1 × A2 × . . . × An, odnosno kada imamo da su svih tih nskupova jednaki A, tj. A1 = A2 = . . . = An = A, imamo oznaku An.
Primer 6. Odrediti Dekartov proizvod skupova A = 1, 2 i B = crvena, plava,bela.
RexeƬe. Dekartov proizvod je A × B =
(1, crvena), (1, plava), (1,bela), (2, crvena), (2, plava), (2,bela)
.
Napomena. Neka su A i B konaqni skupovi takvi da je |A| = n i |B| = m. Kada odreujemo A × B, za prvukoordinatu biramo proizvoƩan element iz A, xto moжemo uqiniti na n naqina, a za drugu koordinatu biramoproizvoƩan element iz B, xto moжemo uqiniti na m naqina. Stoga je broj elemenata Ƭihovog Dekartovogproizvoda dat sa |A × B| = m · n.
Sada emo se osvrnuti na neka od svojstava osnovnih brojnih skupova (neke od tih osobina emo koristitikasnije kod predikatskog raquna, kao i kod relacija).
Sa N emo oznaqavati skup prirodnih brojeva, tj.
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . ..
U ovom skupu imamo da je proizvod dva prirodna broja takoe prirodan broj (neutralni element za operacijumnoжeƬa je 1 ∈ N); zbir dva prirodna broja takoe prirodan broj, ali nemamo neutralni element za operacijusabiraƬa - to je broj 0 6∈ N. Sada emo proxiriti skup prirodnih brojeva, na skup prirodnih brojeva sanulom: N0 = N ∪ 0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .. Ali ni u ovom skupu nemamo inverzan (suprotan) elementza operaciju sabiraƬa, ili drugaqije reqeno, ne moжemo da oduzmemo bilo koja dva prirodna broja i dadobijemo prirodan broj ili nulu (ovo svojstvo operacije, da i rezultat pripada polaznom skupu, naziva sezatvorenost). Stoga se javila potreba za uvoeƬem negativnih brojeva, tj. brojeva oblika −x, gde je x ∈ N.Na taj naqin smo doxli do skupa celih brojeva Z, koji moжemo zapisati kao
Z = . . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . ..
U skupu celih brojeva Z moжemo uvesti relaciju deƩivosti. To emo uqiniti sledeom definicijom.
Definicija 6. Ceo broj a je deƩiv celim brojem b 6= 0, ako postoji ceo broj k takav da je a = k · b.Ako broj b deli broj a, to se oznaqava sa b | a (Rusi koriste i oznaku a ... b za a je deƩiv brojem b). Tada
jox kaжemo da je b delilac broja a. Ako b ne deli a, to se pixe b ∤ a. Tako, na primer, vaжi da 3 | 15 i 6 ∤ 15.Ve na osnovu ove definicije moжemo da dokaжemo nekoliko osobina deƩivosti celih brojeva:
Teorema 1. Neka su n, m, a, b i d proizvoƩni celi brojevi, tada vaжi:
a) n | n. (osobina refleksivnovsti)b) d | n i n | m povlaqi d | m. (osobina tranzitivnosti)v) d | n i d | m povlaqi d | (an + bm). (osobina linearnosti)g) d | n povlaqi ad | an. (osobina multiplikativnosti)d) ad | an i a 6= 0 povlaqi d | n. (osobina skraivaƬa)) 1 | n. (1 deli svaki broj)e) n | 0. (svaki broj deli 0)ж) d | n povlaqi −d | n i d | −n.z) d | n i n 6= 0 povlaqi |d| 6 |n|.i) d | n i n | d povlaqi |d| = |n|, tj. d = n ili d = −n.
j) d | n povlaqin
d| n.
Primer 7. Sada emo dati neke od kriterijuma deƩivosti prirodnih brojeva sa nekim od brojeva.
• 2: Broj n je deƩiv sa 2 (ili drugaqije reqeno, broj n je paran) ⇔ se zavrxava parnom cifrom, odnosnonekom od cifara 0, 2, 4, 6 ili 8.
• 3: Broj n je deƩiv sa 3 ⇔ je zbir cifara broja n deƩiv sa 3.
• 4: Broj n je deƩiv sa 4 ⇔ se zavrxava dvocifrenim brojem koji je deƩiv sa 4.
• 5: Broj n je deƩiv sa 5 ⇔ se zavrxava nekom od cifara 0 ili 5.
• 6: Broj n je deƩiv sa 6 ⇔ je deƩiv i sa 2 i sa 3.
• 7: Broj n = akak−1 . . . a3a2a1 je deƩiv sa 7 ⇔ je i broj m = a3a2a1 − a6a5a4 + a9a8a7 − . . . deƩiv sa 7.
6
• 7: Broj n je deƩiv sa 7 ⇔ je i broj m, koji se dobija tako xto izbrixemo cifru jedinica broja n i odtog broja oduzmemo dvostruku cifru jedinica broja n, deƩiv sa 7.
• 8: Broj n je deƩiv sa 8 ⇔ se zavrxava trocifrenim brojem koji je deƩiv sa 8.
• 9: Broj n je deƩiv sa 9 ⇔ je zbir cifara broja n deƩiv sa 9.
• 10: Broj n je deƩiv sa 10 ⇔ se zavrxava cifrom 0.
• 11: Broj n = akak−1 . . . a3a2a1 je deƩiv sa 11 ⇔ je i broj m = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . deƩiv sa 7.
• 13: Broj n = akak−1 . . . a3a2a1 je deƩiv sa 13 ⇔ je i broj m = a3a2a1 − a6a5a4 + a9a8a7 − . . . deƩiv sa 13.
• 25: Broj n je deƩiv sa 25 ⇔ se zavrxava dvocifrenim brojem koji je deƩiv sa 25.
• 27: Broj n = akak−1 . . . a3a2a1 je deƩiv sa 27 ⇔ je i broj m = a3a2a1 + a6a5a4 + a9a8a7 + . . . deƩiv sa 27.
• 37: Broj n = akak−1 . . . a3a2a1 je deƩiv sa 37 ⇔ je i broj m = a3a2a1 + a6a5a4 + a9a8a7 + . . . deƩiv sa 37.
• 100: Broj n je deƩiv sa 100 ⇔ se zavrxava sa dve cifre 0 (tj. sa 00).
Definicija 7. Ceo broj d za koji vaжi d | a i d | b naziva se zajedniqki delilac brojeva a i b. Ceo broj s zakoji vaжi a | s i b | s naziva se zajedniqki sadrжalac brojeva a i b.
Kako delilac brojeva ne moжe biti vei od apsolutne vrednosti tog broja, vidimo da meu zajedniqkimdeliocima brojeva a i b postoji najvei. Sliqno meu sadrжaocima postoji najmaƬi.
Definicija 8. Najvei broj u skupu delilaca brojeva a i b se naziva najvei zajedniqki delilac ta dva brojai obeleжava se sa NZD(a, b) ili (a, b). NajmaƬi (pozitivan) broj u skupu sadrжalaca brojeva a i b se nazivanajmaƬi zajedniqki sadrжalac ta dva broja i obeleжava se sa NZS(a, b) ili [a, b].
Ako su dva broja uzajamno prosta, tj. ako nemaju zajedniqkih faktora, onda im je najvei zajedniqkidelilac 1, tj. (a, b) = 1. Zbog toga se qiƬenica da su a i b uzajamno prosti simboliqki pixe bax tako,(a, b) = 1.
Definicija 9. Prirodni brojevi p ∈ N koji imaju taqno dva delioca nazivaju se prosti brojevi. Prirodnibrojevi (6= 1) koji nisu prosti su sloжeni brojevi.
Naravno ta dva delioca su 1 i p. Napomenimo da broj 1 nije prost broj.Niz prostih brojeva poqiƬe ovako: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . Najlakxi naqin da se ovaj niz nastavi jeste
metod poznat kao Eratostenovo sito: ako жelimo da naemo sve proste brojeve maƬe od n, prvo treba daispixemo sve prirodne brojeve od 2 do n−1 i da redom iz spiska eliminixemo sve parne brojeve izuzev broja2, zatim sve deƩive sa 3, izuzev samog broja 3, zatim sliqno za 5, 7 itd. sve do posledƬeg prirodnog brojamaƬeg od
√n. Primetimo da posle eliminacije parnih brojeva nije vixe potrebno traжiti brojeve deƩive
sa 4, 6 itd. jer su ti svi brojevi parni, pa su ve izbaqeni. Sliqno, posle eliminacije brojeva deƩivihsa 3, vixe nije potrebno traжiti brojeve deƩive sa 6, 9 itd. Dakle, da bi odredili proste brojeve < n.koristimo proste brojeve maƬe od
√n.
Primer 8. Da bismo pomou Eratostenovog sita odredili sve proste brojeve < 100, treba redom da elimi-nixemo sve brojeve deƩive sa 2, 3, 5 i 7 (to su prosti brojevi maƬi od
√100 = 10). Na taj naqin dobijamo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Ukupno ima 25 prostih brojeva maƬih od 100.
Teorema 2. Svaki prirodan broj n > 1 je ili prost ili je proizvod prostih brojeva.
Skupovi N i Z su zatvoreni za operaciju mnoжeƬa, ali ne sadrжe inverzni element za mnoжeƬe, ilidrugaqije reqeno, nije uvek mogue da podelimo dva cela broja i da kao rezultat dobijemo ceo broj (pored0 koja pravi probleme, jer nije dozvoƩeno deƩeƬe sa 0 imamo i da npr. 3 : 7 6∈ Z). Tako smo doxli do skuparacionalnih brojeva Q, koji je zadat sa:
Q =m
n| m ∈ Z, n ∈ N
.
Moжe se pokazati da ovih brojeva ima prebrojivo mnogo (tj. isto koliko imaju i skupovi N i Z).
7
Sledei skup je skup iracionalih brojeva, I. Neki od iracionalnih brojeva koje ste ranije sretali su:√2 = 1, 4142135623730950488016887 . . .,
√3 = 1, 7320508075688772935274463 . . ., e = 2, 718281828459045235360287 . . .,
π = 3, 141592653589793238462643383279 . . . I neki racionalni brojevi imaju beskonaqne decimalne zapise, ali
su oni periodniqni(
npr.1
7= 0, 1428571428571428571428571428571 · · ·= 0, (142857) – period je 6 cifara: 142857
)
,
dok svi iracionalni brojevi imaju beskonaqne decimalne zapise koji nisu periodniqni. Skup realnih brojevaR je dat sa R = Q ∪ I i moжemo ga zamixƩati kao realnu pravu, gde svakom realnom broju odgovara jednataqka sa prave i obrnuto.
√
2√
5 e π x
y
0 1 2 3 4−1
1
2
U skupu realnih brojeva nema svaka jednaqina oblika P (x) = 0 rexeƬa, gde je P (x) neki polinom. Tako,npr. jednaqina
x2 = −1
nema rexeƬa jer je x2 > 0, a −1 < 0. Da bismo rexili ovaj problem, uveden je pojam imaginarne jedinice i,koja je data na sledei naqin: i2 = −1. Ona je kƩuqna za uvoeƬe skupa kompleksnih brojeva C:
C =
a + b · i | a, b ∈ R
.
Broj a se naziva realan deo kompleksnog broja z, a broj b je imaginaran deo (ne b · i !). Oznake su: Re z = ai Im z = b. Svakom kompleksnom broju z = a + bi (ovaj oblik se naziva i algebarski oblik kompleksnog broja)odgovara jedna taqka u kompleksnoj ravni sa koordinatama (a, b) i obratno (x–osa je realna osa, a y–osa jeimaginarna).
Za kompleksan broj z = a + bi, uvode se konjugovano kompleksan broj z = a − bi (u kompleksnoj ravni to jetaqka simetriqna u odnosu na realnu osu) i moduo (ili apsolutna vrednost) kompleksnog broja |z| =
√a2 + b2
(moduo predstavƩa udaƩenost od koordinatnog poqetka, tj. kompleksnog broja 0 = 0 + 0i).
Vaжna je i qiƬenica da je z = z ako i samo ako je z realan broj.
Ugao ϕ koji zaklapa prava Oz (prava koja spaja z sa koordinatnim poqetkom) sa realnom osom naziva seargument kompleksnog broja (svaki kompleksan broj, sem broja 0, ima argument!). Za argument vaжi da jeϕ ∈ (−π, π], mada se ponekad uzima i ϕ ∈ [0, 2π) (jedan od razloga zaxto uzimamo ovako je da je arg z = − arg z).
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Ponekad se skraeno zapisuje kaoz = ρ cis ϕ. Ojlerova formula za kompleksne brojeve glasi eiϕ = cosϕ + i sinϕ i pomou Ƭe dolazimo doeksponencijalnog oblika kompleksnog broja: z = ρ · eiϕ.
8
Zadaci1. 1. Probni I kolokvijum 2008. Da li je ispravno zakƩuqivaƬe:
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, onda nije grexio ili su bili laki zadaci i znao je sve formule.
• Milan je dobio dobru ocenu.
• Bilo je texkih zadataka.
• Na osnovu svega prethodnog sledi da Milan nije grexio.
RexeƬe 1. (Preko tablice istinitosti)
Oznaqimo iskaze: p = ,,Milan je dobio dobru ocenu“, q = ,,Milan je grexio“, r = ,,bili su laki zadaci“ is = ,,Milan je znao sve formule“.
Tada date reqenice moжemo zapisati kao:
• a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).
• b = p.
• c = q r.
• d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q, tj. d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q.
b a c L
p q r s q q r ∧ s q q ∨ (r ∧ s) p ⇒ q q ∨ (r ∧ s) q r a ∧ b ∧ c L ⇒ q q
0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 10 0 0 1 1 0 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 0 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 0 0 11 0 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1
Kako smo dobili sve 1 u posledƬoj koloni koja odgovara datom iskazu, to je on tautologija, pa dobijamo daje dato zakƩuqivaƬe taqno.
Napomena. Da smo dobili da nije tautologija dato zakƩuqivaƬe ne bi bilo ispravno i onda bi trebalonavesti i za koje vrednosti iskaznih promenƩivih p, q, r, s dobijamo vrednost 0.
RexeƬe 2. (SvoeƬem na apsurd)
Uvedimo iskaze isto kao i u prethodnom rexeƬu.Pretpostavimo suprotno da iskazna formula d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q nije taqna, tj. v(d) = 0. To je mogue samoukoliko je v(a ∧ b ∧ c) = 1 i v(q q) = 0, odakle dobijamo da je v(a) = 1, v(b) = 1, v(c) = 1 i v(q) = 1.
Kako je b = p i c = q r, dobijamo da je v(p) = 1 i v(r) = 0. Kada zamenimo v(p) = 1, v(r) = 0 i v(q) = 1u formulu a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s) dobijamo v(a) = 1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s) = 1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, xto nam dajekontradikciju sa qiƬenicom da je v(a) = 1. Time smo pokazali da ne moжe da vaжi polazna pretpostavkav(d) = 0, pa vaжi v(d) = 1, tj. formula d je tautologija, xto povlaqi da je dato zakƩuqivaƬe ispravno.
RexeƬe 3. (Diskusijom po slovu)
U formuli d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p∧ q r)
⇒ q q slova p, q i r se pojavƩuju po 2 puta, dok se s javƩa samo 1
put. Najqexe je najpovoƩnije diskusiju po slovu zapoqeti po slovu koje se javƩa najvixe puta. Krenimo odslova p.
1 ako je v(p) = 0 formula postaje 0 ⇒ q q (jer je nexto ∧ 0 ∧ q r = 0), xto je taqno;
9
2 ako je v(p) = 1 formula postaje(
(
q q ∨ (r ∧ s))
∧ q r)
⇒ q q (jer je 1 ∧ m = m i 1 ⇒ m = m). Sada
nastavƩamo diskusiju po sledeem slovu, npr. q:
2a) ako je v(q) = 0 formula postaje nexto ⇒ 1, xto je taqno;
2b) ako je v(q) = 1 formula postaje q(r ∧ s ∧ q r) (jer je 0 ∨ m = m i m ⇒ 0 = qm), a kako imamo da jer ∧ q r = 0 i 0 ∧ s = 0 dobijamo q 0 = 1, tj. i u ovom sluqaju formula je taqna.
Kako smo u svim sluqajevima dobili da je iskazna formula taqna, pokazali smo da je ona tautologija.
2. 1. Pismeni ispit, jun 2008. A grupa. Ana, Beba, Cica i Daca su drugarice koji qesto izlaze zajednou poslastiqarnicu. Poznato je da svaka od Ƭih jede uvek isti kolaq i to ili baklavu ili orasnicu (samojedno od toga). U vezi toga koja od Ƭih xta jede, poznati su sledei iskazi:
1 Ako Ana jede orasnice, onda Beba jede isti kolaq kao i Daca.
2 Ako Cica jede baklave, onda Ana i Beba jedu razliqite kolaqe.
3 Ako Cica i Daca jedu isti kolaq, onda Ana jede baklavu.
4 Beba i Cica jedu isti kolaq.
Da li su ove izjave neprotivreqne?
Za koje od Ƭih sa sigurnoxu moжete da tvrdite koji kolaq jedu?
RexeƬe. Oznaqimo sa a iskaz ,,Ana jede baklave“ (tada je q a iskaz ,,Ana jede orasnice“), sa b iskaz ,,Bebajede baklave“, sa c iskaz ,,Cica jede baklave“ i sa d iskaz ,,Daca jede baklave“.
Tada date reqenice (oznaqimo ih redom sa A, B, C, D) moжemo zapisati:
• q a ⇒ (b ⇔ d).
• c ⇒ (a ∨ b).
• (c ⇔ d) ⇒ a.
• b ⇔ c.
Izraz b ⇔ d je jednostavniji izraz od (q b ∧ q d) ∨ (b ∧ d).Stoga, b ⇔ d koristimo kada hoemo da iskazi b i d imaju istu istinitosnu vrednost.
Sliqno je i a ∨ b jednostavniji za (q a ∧ b) ∨ (a ∧ q b) i za q(a ⇔ b) i za q a ⇔ b.Stoga, a ∨ b koristimo kada hoemo da iskazi a i b imaju razliqite istinitosne vrednosti.
Ove 4 izjave su neprotivreqne, samo ukoliko iskazna formula
A ∧ B ∧ C ∧ D
ima valuaciju osnovnih iskaza (a, b, c, d) za koju postiжe vrednost 1(da smo dobili da je ova iskazna formulakontradikcija onda bi izjave bile protivreqne!).
Nastavak zadatka emo razmatrati preko tablice istinitosti:
A B C D
a b c d q a b ⇔ d a ⇒ (b ⇔ d) a ∨ b c ⇒ (a ∨ b) c ⇔ d (c ⇔ d) ⇒ a b ⇔ c A ∧ B ∧ C ∧ D
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 00 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 00 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 00 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 11 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 01 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 01 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 01 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 01 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Kako smo dobili bar jednu 1 u posledƬoj koloni to su date izjave neprotivreqne.
10
Vrednost 1 u posledƬoj koloni se postiжe samo kada je v(a) = 1, v(b) = 0, v(c) = 0, v(d) = 0 ili kada je v(a) = 1,v(b) = 0, v(c) = 0, v(d) = 1. Zajedniqko u oba ova sluqaja je v(a) = 1, v(b) = 0, v(c) = 0, pa moжemo zakƩuqiti da
Ana jede baklavu, a Beba i Cica orasnice (za Dacu ne moжemo odrediti xta jede!).
3. 1. I kolokvijum 2010. A grupa. U porodici Topalovi (iz filma ,,Maratonci trqe poqasni krug“) svakije otac imao taqno jednog sina. Poqev od nastarijeg oni su, redom: Pantelija, Maksimilijan, Aksentije,Milutin, Laki i Mirko. U jednoj sceni koja je izbaqena iz filma, naxli su se Aksentije, Milutin i Laki,i svako od Ƭih je dao po jednu izjavu vezanu za Ƭih trojicu (poznato je da svako od Ƭih ili uvek govoriistinu ili uvek laжe):
p: Oba oca ili uvek govore istinu ili oba oca uvek laжu.
q: Jedan sin uvek laжe, a drugi sin uvek govori istinu.
r: Izjave p i q nisu obe laжne.
a) Formirati iskaznu formulu F koja odgovara izjavi r i ispitati da li je ona tautologija.
b) Odrediti SKNF i jednu KNF za formulu F .
v) Za koga od Ƭih trojice sa sigurnoxu moжemo utvrditi da li govori istinu ili laжe?
g) Za koga od Ƭih trojice sa sigurnoxu moжemo utvrditi koju je izjavu (od p, q, r) rekao?
RexeƬe. a) Oznaqimo sa a iskaz ,,Aksentije uvek govori istinu“ (tada je q a iskaz ,,Aksentije uvek laжe“),sa m iskaz ,,Milutin uvek govori istinu“ (tada je q m iskaz ,,Milutin uvek laжe“), sa ℓ iskaz ,,Laki uvekgovori istinu“ (tada je q ℓ iskaz ,,Laki uvek laжe“).
Tada date reqenice moжemo zapisati kao:
• p = a ⇔ m (ili komplikovanije p = (a ∧ m) ∨ (q a ∧ qm) – onda imamo veu tablicu).
• q = m ∨ ℓ.
• r = p ∨ q.
Objasnimo kako smo dobili posledƬu reqenicu (sliqnu situaciju kao u prve 2 smo imali u prethodnomzadatku). Izjave p i q nisu obe laжne – to znaqi da je ova reqenica netaqna samo ako su obe (i p i q) netaqne,dok je taqna kad je bar jedna od p i q taqna, a ta situacija bax odgovara logiqkoj operaciji disjunkcije.
Time smo dobili da je formula F data sa
F = (a ⇔ m) ∨ (m ∨ ℓ).
Pomou tablice emo ispitati da li je ova formula tautologija.
p q ra m ℓ a ⇔ m m ∨ ℓ p ∨ q disjunkt0 0 0 1 0 10 0 1 1 1 10 1 0 0 1 10 1 1 0 0 0 a ∨ q m ∨ q ℓ1 0 0 0 0 0 q a ∨ m ∨ ℓ1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1
Kako smo dobili dve 0 u posledƬoj koloni (koja odgovara formuli F ), to formula F nije tautologija.
b) Kada odreujemo SKNF, traжimo gde su 0 u posledƬoj koloni i uzimamo samo qlanove koji odgovarajutim sluqajevima (za detaƩnije obraenu ovu temu pogledati sledeu lekciju!):
F = (a ∨ qm ∨ q ℓ) ∧ (q a ∨ m ∨ ℓ).
Kako se traжi i jedna KNF (a ne minimalna KNF), za Ƭu moжemo uzeti bax gorƬu SKNF.
v) Za ovaj (i naredni) deo zadatka kƩuqna je qiƬenica da su bax Aksentije, Milutin i Laki rekli izjave p,q i r, te stoga a, m i ℓ moraju imati istu isitinitosnu vrednost kao i p, q i r (ne mora istim redosledom,jer ne znamo ko je rekao koju izjavu). One se poklapaju samo u vrsti koja odgovara sluqaju v(a) = 1, v(m) = 0i v(ℓ) = 1, te dobijamo da Aksentije i Laki uvek govore istinu, a Milutin uvek laжe.
g) Kako je u sluqaju kada se poklapaju a, m i ℓ sa p, q i r samo v(m) = 0 i v(p) = 0, dobijamo da je Milutinrekao izjavu p (dok ne znamo ko je od Aksentija i Lakija rekao q, a ko r – to su sve 1).
11
4. 1. I kolokvijum 2013. A grupa. Date su sledee reqenice
I Ako Duxan dobije na kladionici, otii e na letovaƬe ili e kupiti automobil.
II Duxan e kupiti automobil ako dobije na kladionici ili ode na letovaƬe.
III Nije taqno: Duxan nee otii na letovaƬe ali e kupiti automobil ako ne dobije na kladionici.
IV Duxan e kupiti automobil ako dobije na kladionici i ne ode na letovaƬe.
Da li su ove reqenice neprotivreqne?
Za iskaznu formulu ϕ koja odgovara II reqenici odrediti jednu SKNF i jednu KNF.
Za iskaznu formulu F kojom ste ispitali (ne)protivreqnost odrediti jednu SDNF i jednu DNF.
Da li meu datim reqenicama ima logiqki ekvivalentnih reqenica?
RexeƬe. k = ,,Duxan e dobiti na kladionici.“ ℓ = ,,Duxan e otii na letovaƬe.“a = ,,Duxan e kupiti automobil.“
I = k ⇒ ℓ ∨ a, ϕ = II = k ∨ ℓ ⇒ a, III = q(q k ⇒ q ℓ ∧ a), IV = k ∧ q ℓ ⇒ a, F = I ∧ II ∧ III ∧ IV.ϕ p
disjunkt k ℓ a q k q ℓ q a ℓ ∧ a I k ∨ ℓ II q ℓ ∧ a q k ⇒ p III k ∧ q ℓ IV F konjunkt0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 q k ∧ q ℓ ∧ q a0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0
k ∨ q ℓ ∨ a 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 00 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 q k ∧ ℓ ∧ a
q k ∨ ℓ ∨ a 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
q k ∨ q ℓ ∨ a 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0
Izjave su neprotivreqne (ima bar jedna 1 u posledƬoj koloni, tj. ima dve 1 u F ).
SKNF: ϕ = (k ∨ q ℓ ∨ a) ∧ (q k ∨ ℓ ∨ a) ∧ (q k ∨ q ℓ ∨ a).
Za KNF moжemo uzeti gorƬu SKNF, ali i neki pojednostavƩeniji izraz poput: ϕ = (q ℓ ∨ a) ∧ (q k ∨ a).
SDNF: F = (q k ∧ q ℓ ∧ q a) ∨ (q k ∧ ℓ ∧ a)
Za DNF emo uzeti gorƬu SDNF.
Kako su kolone u tablici koje odgovaraju I i IV reqenici iste, to su I i IV reqenica logiqki ekvivalentne.
Napomena. Priznavano je i ko je uzeo III = q(q ℓ ∧ (q k ⇒ a)).
5. 1. I kolokvijum 2013. B grupa. Date su sledee reqenice
I Dragana e kupiti taxnu ako dobije povixicu i ne ode na skijaƬe.
II Dragana e kupiti taxnu ili nee dobiti povixicu niti e otii na skijaƬe.
III Ako Dragana dobije povixicu ili ode na skijaƬe, onda e kupiti taxnu.
IV Nije taqno: Dragana nee kupiti taxnu i nee otii na skijaƬe ako ne dobije povixicu.
Da li su ove reqenice neprotivreqne?
Da li je iskazna formula ϕ koja odgovara II reqenici jedna KNF? Ako nije odrediti KNF za ϕ.
Za iskaznu formulu F kojom ste ispitali (ne)protivreqnost odrediti jednu SDNF i jednu DNF.
Da li meu datim reqenicama ima logiqki ekvivalentnih reqenica?
RexeƬe. p = ,,Dragana e dobiti povixicu.“ s = ,,Dragana e otii na skijaƬe.“t = ,,Dragana e kupiti taxnu.“
I = p ∧ q s ⇒ t, ϕ = II = t ∨ (q p ∧ q s), III = p ∨ s ⇒ t, IV = q(q p ⇒ q t ∧ q s, F = I ∧ II ∧ III ∧ IV.
Izjave su neprotivreqne (ima bar jedna 1 u posledƬoj koloni, tj. ima dve 1 u F ).
Iskazna formula ϕ = t ∨ (q p ∧ q s) nije KNF, jer ona nije ni disjunkt (disjunkcija literala, jer q p ∧ q s nijeliteral) ni koƬunkcija disjunkata (izmeu qlanova je ∨ a ne ∧). Ona bi bila jedna DNF!
Kako nije KNF, odrediemo Ƭenu SKNF: ϕ = (p ∨ q s ∨ t) ∧ (q p ∨ s ∨ t) ∧ (q p ∨ q s ∨ t).
Za KNF moжemo uzeti gorƬu SKNF, ali i jednostavniji izraz: ϕ = (q s ∨ t) ∧ (q p ∨ t).
SDNF: F = (q p ∧ q s ∧ t) ∨ (q p ∧ s ∧ t)
Za DNF moжemo uzeti gorƬu SDNF, ali i jednostavniji izraz: F = q p ∧ t.
Kako su kolone koje odgovaraju II i III reqenici iste, to su II i III reqenica logiqki ekvivalentne.
12
6. 1. pismeni, oktobar 2009. Grupa studenata radi na projektu koji sadrжi pisaƬe programa za mer sort(eng. merge sort). Jovica i Marica su nezavisno jedan od drugog napisali algoritme za procedure koje uzimaju2 liste, List1 i List2 duжina p i q, i spajaju ih u treu listu List3. Deo Jovicinog algoritma je:
if
(
(i + j 6 p + q) && (i 6 p) &&(
(j > q) || (List1(i) 6 List2(j)))
)
List3(k) := List1(i)
i := i + 1
else
List3(k) := List2(j)
j := j + 1
end if
k := k + 1
Return List3
Odgovarajui deo Maricinog algoritma je:
if
(
(
(i + j 6 p + q) && (i 6 p) && (j > q))
||(
(i + j 6 p + q) && (i 6 p) && (List1(i) 6 List2(j)))
)
List3(k) := List1(i)
i := i + 1
else
List3(k) := List2(j)
j := j + 1
end if
k := k + 1
Return List3
Da li Jovicin i Maricin algoritam rade isto?
RexeƬe. Primetimo da Jovicin i Maricin algotitam rade sve isto, sem xto se razlikuju u if naredbi(qak xta-vixe oni koriste i ista imena za lokalne promenƩive). Jovicin algoritam ubacuje i-ti elementprve liste (List1) na k-tu poziciju u rezultujuoj listi (List3) ako je ispuƬen uslov
(
(i + j 6 p + q) i (i 6 p) i(
(j > q) ili (List1(i) 6 List2(j)))
)
(u suprotnom ubacuje j-ti element druge liste), dok Maricin algoritam ubacuje i-ti element prve liste(List1) na k-tu poziciju u rezultujuoj listi (List3) ako je ispuƬen uslov
(
(
(i + j 6 p + q) i (i 6 p) i(j > q))
ili(
(i + j 6 p + q) i (i 6 p) i (List1(i) 6 List2(j)))
)
(u suprotnom ubacuje j-ti element druge liste). Oznaqimo sledee iskaze
a = ”i + j 6 p + q” b = ”i 6 p” c = ”j > q” d = ”List1(i) 6 List2(j)”.
Tada se Jovicin i Maricin uslov u if naredbi mogu predstaviti kao:
J = a ∧ b ∧ (c ∨ d) i M = (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ d).
Da bi odgovorili na pitaƬe iz zadatka potrebno je da ispitamo da li je tautologija J ⇔ M , odnosno
a ∧ b ∧ (c ∨ d) ⇔ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ d).
Zadatak emo dovrxiti na 4 razliqita naqina.
I naqin (korixeƬem poznatih tautologija):
Ako bi stavili da je t = a ∧ b, gorƬa formula bi se svela na
t ∧ (c ∨ d) ⇔ (t ∧ c) ∨ (t ∧ d),
xto je poznata tautologija (leva distributivnost operacije ∧ u odnosu na ∨), pa i polazna formula vaжi.
13
II naqin (tablicom istinitosti):
J Ma b c d c ∨ d a ∧ b ∧ (c ∨ d) a ∧ b ∧ c a ∧ b ∧ d x ∨ y J ⇔ M
0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 1 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1 1 1 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 1 1 0 0 0 0 10 1 1 0 1 0 0 0 0 10 1 1 1 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 1 0 1 0 0 0 0 11 0 1 1 1 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 1 1 0 1 1 11 1 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Kako smo u posledƬoj koloni dobili sve 1 data formula je tautologija, pa Jovicin i Maricin algoritamrade isto.
III naqin (svoeƬem na apsurd):
Pretpostavimo suprotno da data formula nije tautologija. Tada za neke vrednosti iskaznih promenƩiviha, b, c i d vaжi 1 (v(J) = 0 i v(M) = 1) ili 2 (v(J) = 1 i v(M) = 0) (jer samo u ta dva sluqaja ekvivalencijanije taqna).
1 v(J) = 0 je mogue samo u nekom od sledea 3 sluqaja:
• v(a) = 0 (ali tada je i v(M) = (0 ∧ b ∧ c) ∨ (0 ∧ b ∧ d) = 0 ∨ 0 = 0);
• v(b) = 0 (ali tada je i v(M) = (a ∧ 0 ∧ c) ∨ (a ∧ 0 ∧ d) = 0 ∨ 0 = 0);
• v(c) = 0 i v(d) = 0 (ali tada je i v(M) = (a ∧ b ∧ 0) ∨ (a ∧ b ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0).
2 v(J) = 1 – da bi ovo vaжilo mora biti v(a) = 1 i v(b) = 1, a da bi bilo v(c ∨ d) = 1 mora biti neki odsledea 2 sluqaja:
• v(c) = 1 (ali tada je i v(M) = (1 ∧ 1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1 ∧ d) = 1 ∨ d = 1);
• v(d) = 1 (ali tada je i v(M) = (1 ∧ 1 ∧ c) ∨ (1 ∧ 1 ∧ 1) = c ∨ 1 = 1).
Kako smo u svim sluqajevima dobili kontradikciju, polazna pretpostavka da data formula nije tautologijanije taqna. Time smo pokazali da jeste tautologija, tj. da Jovicin i Maricin algoritam rade isto.
IV naqin (diskusijom po slovu):
Slova a i b se javƩaju po 3 puta, dok se c i d javƩaju 2 puta, pa emo krenuti od a.
• v(a) = 0. Tada je leva strana 0∧ b∧ (c ∨ d) = 0, a i desna je (0∧ b∧ c)∨ (0∧ b∧ d) = 0∨ 0 = 0, to dobijamo da jeu ovom sluqaju formula taqna.
• v(a) = 1. Kako je v(1 ∧ s) = v(s) formula se svodi na
b ∧ (c ∨ d) ⇔ (b ∧ c) ∨ (b ∧ d).
Sada nastavƩamo sa diskusijom po slovu b:
za v(b) = 0 opet imamo 0 ⇔ 0 ∨ 0, xto je uvek taqno;
za v(b) = 1 imamo (c ∨ d) ⇔ (c ∨ d), xto je takoe taqno.
Kako smo u svim sluqajevima dobili da je formula taqna, to je ona tautologija, pa Jovicin i Maricinalgoritam rade isto.
14
7. Odrediti iskaznu formulu F koja odgovara datom kolu.
p
q
r
F
Ispitati da li je F tautologija.Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF ili DNF?Predstaviti F u jednoj KNF i jednoj DNF.
RexeƬe. Ako na svakom logiqkom kolu pratimo xta mu je na ulazu, a xta na izlazu dobiemo:
p
q
r
F
p
qp q
p
rp r
(p r)
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)
SKNF i SDNF nije, jer bi svaki disjunkt/konjunkt trebalo da ima sve 3 promenƩive (i p i q i r).
KNF nije, jer su qlanovi spojeni sa ∨, a ne sa ∧.
DNF nije, jer q(p ∧ q r) nije konjunkt.
L a Dp q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D disjunkt konjunkt konjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 1 q p ∧ q q ∧ q r q p0 0 1 1 0 0 0 1 1 q p ∧ q q ∧ r q p r0 1 0 1 1 1 0 1 1 q p ∧ q ∧ q r q p0 1 1 1 1 0 0 1 1 q p ∧ q ∧ r q p r1 0 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r1 0 1 0 0 0 0 1 1 p ∧ q q ∧ r r1 1 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r1 1 1 0 0 0 0 1 1 p ∧ q ∧ r r
0 ⇒ nije tautologija!
SKNF (a to je i KNF): F = (q p ∨ q ∨ r) ∧ (q p ∨ q q ∨ r).
SDNF: F =(q p∧q q∧q r) ∨ (q p∧q q ∧ r) ∨ (q p∧q∧q r) ∨ (q p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r).
DNF (a to je i KNF): F = q p ∨ r.
15
8. Odrediti iskaznu formulu F koja odgovara datom kolu.
a
b
c
F
Ispitati da li je F tautologija.Predstaviti F u jednoj KNF i jednoj DNF.
RexeƬe. Ako na svakom logiqkom kolu pratimo xta mu je na ulazu, a xta na izlazu dobiemo:
a
b
c
F
a b c
b c
a b
F = (a ∧ b ∧ q c) ∨ (q b ∧ c) ∨ (q a ∧ b), ovo je i jedna DNF.
Ova formula nije tautologija, jer je za a = b = c = 0 i F = 0.
SKNF (i KNF): F = (a ∨ b ∨ c) ∧ (q a ∨ b ∨ c) ∧ (q a ∨ q b ∨ q c).
9. 10. Domai zadaci 2009. U zavisnosti od skupova A i B odrediti koje od sledeih skupovnih formulasu taqne:
a) A ∩ B = ∅ ⇒ A ∪ B = B;
b) A ∩ ∅ = ∅ ⇒ A = ∅;v) A ∩ B = B ⇔ A ⊆ B;
g) A ⊆ B ⇒ A \ B = ∅;d) A ∪ B = A ⇒ A ⊆ B.
RexeƬe. a) Formula A∪B = B je ekvivalentna sa A ⊆ B, pa dobijamo da je formula A∩B = ∅ ⇒ A∪B = Bekvivalentna sa A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊆ B. Ona je taqna ako skupovi A i B nisu disjunktni, tj. A ∩ B 6= ∅ (tadaje formula taqna jer je oblika 0 ⇒ q) ili ako je A ⊆ B (tada je p ⇒ 1), te je Ƭena istinitosna vrednostjednaka
v(F ) =
1, A ∩ B 6= ∅1, A ⊆ B
0, A ∩ B = ∅ ∧ A 6= ∅.Napomena. U sluqaju kada je formula netaqna, moglo je da stoji i A ∩B = ∅ ∧A 6⊆ B, ali to je ekvivalentnosa A ∩ B = ∅ ∧ A 6= ∅ (jer je A ∩ B = ∅ ∧ A ⊆ B samo u sluqaju kada je A = ∅).
b) Kako je A ∩ ∅ = ∅ taqno za svaki skup A i v(1 ⇒ q) = v(q), dobijamo da je istinitosna vrednost formuleA ∩ ∅ = ∅ ⇒ A = ∅ data sa
v(F ) =
1, A = ∅0, A 6= ∅.
16
v) Formula A ∩ B = B je ekvivalentna sa B ⊆ A, pa dobijamo da se polazna formula A ∩ B = B ⇔ A ⊆ Bsvodi na B ⊆ A ⇔ A ⊆ B. Ekvivalencija je taqna ako su obe strane taqne (to je mogue samo ako je A = B)ili ako su obe strane netaqne. Dakle imamo
v(F ) =
1, A = B
1, A 6⊆ B, B 6⊆ A
0, inaqe
=
1, A = B
1, A 6⊆ B, B 6⊆ A
0, A ⊂ B
0, B ⊂ A.
g) Formula A ⊆ B ⇒ A \ B = ∅ je uvek taqna (ako A 6⊆ B onda je 0 ⇒ 0, a ako je A ⊆ B onda su svi elementiiz A i u B, pa je A \ B = ∅, tj. imamo 1 ⇒ 1). Dakle imamo v(F ) = 1.
d) Sliqno kao u prethodnom formula A ∪ B = A ⇒ A ⊆ B se svodi na B ⊆ A ⇒ A ⊆ B. Kako je implikacijanetaqna samo kad imamo 1 ⇒ 0, to e ova formula biti netaqna kada je B ⊆ A i A 6⊆ B, tj. B ⊆ A i A 6= B,tj. B ⊂ A. Stoga imamo
v(F ) =
0, B ⊂ A
1, B 6⊂ A.
10. 1. I kolokvijum 2008. D grupa Data je skupovna formula
A ⊆ C ⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪ B).
a) Predstaviti A ⊆ C, (A ∪ B) ∩ C i (A ∪ C) ∩ (A ∪ B) preko Venovih dijagrama3.
b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.
v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polazna skupovna formula uvek taqna).
RexeƬe. a) Da je A ⊆ C moжemo predstaviti na sledea 2 naqina (u drugom smo stavili i skup B da binam pomoglo u daƩem rezonovaƬu, a sa ∅ smo oznaqili one delove ovih skupova u kojima nema elemenata!).
A
C
A B
C
∅ ∅
Za levu stranu jednakosti (ona je predstavƩena sivom bojom na posledƬoj slici u redu) imamo sledeapredstavƩaƬa Venovim dijagramima:
A ∪ B C (A ∪ B) ∩ C leva strana
Za desnu stranu jednakosti (ona je predstavƩena sivom bojom na posledƬoj slici) imamo sledea predstavl-jaƬa Venovim dijagramima:
A ∪ C A ∪ B (A ∪ C) ∩ (A ∪ B) desna strana
Napomena. Sa ovih slika vidimo da formula (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪ B) vaжi samo ako ne postoji deoskupa A koji se ne nalazi u C, tj. kad je A ⊆ C.
3Deo A ⊆ C se nije traжio na kolokvijumu, ali smo ga ubacili ovde jer je deo studenata kod neqeg sliqnog grexio nakolokvijumu 2009.
17
b) Oznaqimo sa a = x ∈ A, b = x ∈ B i c = x ∈ C (onda je q a = x 6∈ A, q b = x 6∈ B i q c = x 6∈ C). Tada skupovnaformula A ⊆ C ⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪ B) prelazi u iskaznu formulu
(a ⇒ c) ⇒(
(
(a ∨ b) ∧ c)
⇔(
(a ∨ c) ∧ (a ∨ b))
)
.
v) (Preko tablice istinitosti)
L p q Da b c a ⇒ c a ∨ b (a ∨ b) ∧ c a ∨ c (a ∨ c) ∧ (a ∨ b) p ⇔ q L ⇒ D
0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 1 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 1 0 11 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Kako smo dobili sve 1 u posledƬoj koloni koja odgovara datom iskazu, to je on tautologija, pa dobijamo dai polazna skupovna formula vaжi.
Napomena. Kako su kolone L i D iste dobijamo da vaжi stroжija iskazna (a na osnovu Ƭe i skupovna)formula
(a ⇒ c) ⇔(
(
(a ∨ b) ∧ c)
⇔(
(a ∨ c) ∧ (a ∨ b))
)
,
tj. A ⊆ C ⇔ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪ B).Kako je v(q) = 1 i v(p) = 0 samo za (a, b, c) = (1, 0, 0) i (a, b, c) = (1, 1, 0). ƫima odgovaraju skupovi AB C i
ABC . Znaqi, skupovi koje smo predstavƩali Venovim dijagramima su jednaki samo ukoliko ne moжe bitix ∈ AB C ∪ ABC , tj. ukoliko tih delova uopxte nema, xto je sluqaj ako i samo ako je A ⊆ C.
RexeƬe 2. v) (Diskusijom po slovu)
U iskaznoj formuli (a ⇒ c) ⇒(
(
(a ∨ b) ∧ c)
⇔(
(a ∨ c) ∧ (a ∨ b))
)
slovo a se javƩa najvixe puta (4, dok se b
javƩa 2 puta, a c 3 puta), pa emo u diskusiju krenuti od Ƭega.
1 ako je v(a) = 0 formula postaje (0 ⇒ c) ⇒(
(
(0 ∨ b) ∧ c)
⇔(
(0 ∨ c) ∧ (0 ∨ b))
)
, tj. 1 ⇒(
b ∧ c ⇔ c ∧ b)
,
xto je ekvivalentno sa b ∧ c ⇔ c ∧ b, koja je taqna (jer je ∧ simetriqna funkcija);
2 ako je v(a) = 1 formula postaje (1 ⇒ c) ⇒(
(
(1 ∨ b) ∧ c)
⇔(
(1 ∨ c) ∧ (1 ∨ b))
)
, koja se svodi na formulu
c ⇒(
(
(1∨ b)∧ c)
⇔(
(1∨ c)∧ (1∨ b))
)
, tj. c ⇒(
1∧ c ⇔ 1∧ 1)
, tj. c ⇒(
c ⇔ 1)
, xto je ekvivalentno sa
c ⇒ c, xto je taqno.
Kako smo u svim sluqajevima dobili da je iskazna formula taqna, pokazali smo da je ona tautologija, tj. dapolazna skupovna formula uvek vaжi.
18
11. 1. Pismeni ispit, januar 2009. Data je skupovna formula
(A ∪ B) \ (C ∩ D) ⊆ (A \ B) ∪ (B \ C) ∩ D.
a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.
b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.
v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polazna skupovna formula uvek taqna).
RexeƬe. a)
A ∪ B C ∩ D (A ∪ B) \ (C ∩ D) leva strana
A \ B B \ C (A\B) ∪ (B\C) −|| − ∩D desna strana
b) Oznaqimo sa a = x ∈ A (onda je q a = x 6∈ A), b = x ∈ B, c = x ∈ C i d = x ∈ D. Tada skupovna formula(A ∪ B) \ (C ∩ D) ⊆ (A \ B) ∪ (B \ C) ∩ D prelazi u iskaznu formulu
(
(a ∨ b) ∧ q(c ∧ d))
⇒(
(a ∧ q b) ∨ (b ∧ q c) ∧ d)
.
v) Oznaqimo sa L =(
(a ∨ b) ∧ q(c ∧ d))
i D =(
(a ∧ q b) ∨ (b ∧ q c) ∧ d)
. Tada imamo tablicu:
p qa b c d a ∨ b c ∧ d q(c ∧ d) L q b a ∧ q b q c b ∧ q c p ∨ q D L ⇒ D
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 10 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 10 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 00 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Kako nismo dobili sve 1 u posledƬoj koloni koja odgovara datom iskazu, taj iskaz nije tautologija, padobijamo da polazna skupovna formula ne vaжi.
RexeƬe 2. v) (Suprotnom pretpostavkom)
Pretpostavimo da iskazna formula L ⇒ D nije taqna. To je mogue samo ukoliko je v(L) = 1 i v(D) = 0.Iz v(L) = 1 imamo da mora da vaжi v(a ∨ b) = 1 i v
(
q(c ∧ d))
= 1. Za prvu od ove dve formule imamo 2mogunosti v(a) = 1 ili v(b) = 1. Za drugu iskoristimo De Morganove formule, pa imamo da je v(q c∨q d) = 1,xto opet ima 2 mogunosti v(c) = 0 ili v(d) = 0
(
ovo su faktiqki 4 sluqaja kada je desna strana taqna:
1 v(a) = 1, v(c) = 0; 2 v(a) = 1, v(d) = 0; 3 v(b) = 1, v(c) = 0; 4 v(b) = 1, v(d) = 0)
.Kako moжemo najlakxe da napravimo da desna strana bude neistinita? Pa tako xto emo staviti da je
v(d) = 0 (jer je nexto∧ 0 = 0).Time smo dobili da je, npr. za v(a) = 1 i v(d) = 0, uz proizvoƩne vrednosti za b i c data iskazna formula
netaqna pa samim tim ona nije tautologija, xto povlaqi da ni polazna skupovna formula nije taqna.
19
Napomena. Ovaj metod sa suprotnom pretpostavkom, kada je data formula tautologija je metod svoeƬa naapsurd! Tj. ako polazei od suprotne pretpostavke dobijemo nexto xto nije taqno (kontradikciju), ondata polazna suprotna pretpostavka nije dobra, tj. data formula je tautologija. Ako polazei od suprotnepretpostavke dobijemo neki sluqaj za koji vaжi v(F ) = 0, onda formula F nije tautologija.
Zadaci za veжbu
12. 1. Pismeni ispit, septembar 2011. Data je skupovna formula F :
A ∩ B ⊆ C ∧ A \ B ⊆ B ∩ D ⇔ A \ (B ∩ D) = ∅.
a) Predstaviti sva 3 dela formule F preko Venovih dijagrama.
b) Predstaviti F preko iskaznih formula.
v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je F uvek taqna).
g) Predstaviti iskaznu formulu u jednoj DNF i jednoj KNF.
RexeƬe. b) Oznaqimo sa a = x ∈ A (onda je q a = x 6∈ A), b = x ∈ B, c = x ∈ C i d = x ∈ D. Tada skupovnaformula A ∩ B ⊆ C ∧ A \ B ⊆ B ∩ D ⇔ A \ (B ∩ D) = ∅ prelazi u iskaznu formulu
(a ∧ b ⇒ c) ∧ (a ∧ q b ⇒ b ∧ d) ⇔(
a ∧ q(b ∧ d) ⇔ 0)
.
13. 1. Pismeni ispit, oktobar 2010. Neka su na partitivnom skupu P(S) skupa S date operacije simetriqnerazlike skupova (A B = (A/B) ∪ (B/A)) i preseka ∩. Moжe se pokazati (na ispitu iz Matematike 1) da jestruktura (P(S), ,∩) komutativan prsten sa jedinicom.
Od vas se oqekuje da pokaжete samo da je operacija ∩ distributivna u odnosu na operaciju , tj. da vaжejednakosti
A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) i (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C)
(predstavite Ƭihovu levu i desnu stranu preko Venovih dijagrama, napixete odgovarajue iskazne formulei pokaжete da su tautologije).
RexeƬe. a) Predstaviemo samo levu distributivnost operacije ∩ u odnosu na : i A ∩ (B C) i(A ∩ B) (A ∩ C) predstavƩaju isti skup – to je slika u sredini (slike levo i desno su pomone slike zadobijaƬe Venovog dijagrama skupa koji je potreban da bismo pokazali distributivnost operacije ∩ u odnosuna ):
A B
C
A B
C
A B
CA, B C A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) A ∩ B, A ∩ C
Formalan dokaz sledi nakon b) i v) – koje moжemo uraditi sliqno kao u prethodnim zadacima.
14. 2. I kolokvijum 2010. G grupa. Data je skupovna formula
A ⊆ C ∧ B * A ∪ D ⇒ A ∪ B \ C ⊆ C \ A.
a) Predstaviti levu i desnu stranu ove formule preko Venovih dijagrama.
b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.
v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polazna skupovna formula uvek taqna).
RexeƬe. b) Oznaqimo sa a = x ∈ A (onda je q a = x 6∈ A), b = x ∈ B, c = x ∈ C i d = x ∈ D. Tada skupovnaformula A ⊆ C ∧ B * A ∪ D ⇒ A ∪ B \ C ⊆ C \ A prelazi u iskaznu formulu
(a ⇒ c) ∧ q(b ⇒ a ∨ d) ⇒(
a ∨ b ∧ q c ⇒ c ∧ q a)
.
20
15. 4. Domai zadaci 2012. Data je skupovna formula
(A C) ∩ (B C) ⊆ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C).
a) Predstaviti levu i desnu stranu ove formule preko Venovih dijagrama.
b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.
v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polazna skupovna formula uvek taqna).
g) Predstaviti iskaznu formulu u jednoj DNF i jednoj KNF.
d) Predstaviti iskaznu formulu u jednoj SDNF i SKNF.
) Da li je data skupovna formula taqna ako imamo konkretnu interpretaciju:
A = x | x ∈ Z ∧ x26 9, B = x | x ∈ N ∧ x − 3 < 2, C = x | x ∈ N ∧ x | 12, D = x | x je prost broj ∧ x < 8?
16. 5. Domai zadaci 2012. Dati su skupovi P = A∪ (B \C), Q = (A∪B) \C, R = A∩ (B \C), S = (A∩B) \C.
a) Ispitati da li vaжi P ⊂ Q, P = Q, Q ⊂ P .
b) Ispitati da li vaжi R ⊂ S, R = S, S ⊂ R.
v) Za iskaznu formulu (po a, b, c, d) koja odgovara skupovnoj formuli P ⊆ Q ⇔ R ⊆ S odrediti jednu KNF ijednu DNF.
17. 1. Pismeni ispit, jun 2010. U porodici Istinolaжi Andrej je Bogdanu otac, a Bogdan je otac Cicku.Svako od Ƭih je dao po jednu izjavu vezanu za Ƭih trojicu (poznato je da svako od Ƭih ili uvek govori istinuili uvek laжe):
p: Oba sina uvek govore istinu.
q: Bar jedan od dede i unuka laжe.
r: Od izjava p i q taqno jedna je istinita.
a) Formirati iskaznu formulu F koja odgovara izjavi r i ispitati da li je ona tautologija.
b) Odrediti SDNF i SKNF za formulu F .
v) Za koga od Ƭih trojice sa sigurnoxu moжemo utvrditi da li govori istinu ili laжe?
g) Za koga od Ƭih trojice sa sigurnoxu moжemo utvrditi koju je izjavu (od p, q, r) rekao?
18. 3. Domai zadaci 2011. Na jednom ostrvu жive samo vile i vextice. Vile uvek govore istinu, a vexticeuvek laжu. Jedan brodolomnik koji je sve to znao, susreo se sa dve stanovnice ostrva, osobama A i B, ali niza jednu nije znao da li je vila ili vextica. Da bi saznao koga je susreo upitao je ostrvƩanku A: ,,Da liste obe vile?“.
a) Iz odgovora je mogao jednoznaqno utvrditi koja je xta. Kojoj vrsti pripada A, a kojoj ostrvƩanka B?
b) Iz odgovora nije mogao jednoznaqno utvrditi koja je xta. Posle ovoga je ponovo postavio pitaƬe osobiA: ,,Da li su vaxi odgovori jednaki po istinitosti?“. Nakon dobijenog odgovora je znao koja je ostrvƩankakoje vrste. Kojoj vrsti pripada A, a kojoj ostrvƩanka B?
19. 4. Domai zadaci 2008. Aca, Bane i Cepi pripadaju porodicama Laжetia i IstinoƩubia (svakopripada samo jednoj od te dve porodice). Kao xto im i prezimena govore svaki Laжeti uvek laжe, a svakiIstinoƩubi uvek govori istinu. Aca rekao sledee:
,,Ili ja ili Bane pripadamo razliqitoj porodici od ostale dvojice.“
Da li ovaj iskaz moжe da bude taqan? (Ako je odgovor potvrdan u kom je to sluqaju?)
Qije prezime sa sigurnoxu moжemo da utvrdimo?
20. 1. Pismeni ispit, oktobar II 2010. Neka je dat svetlei displej koji se sastoji od 7 dioda(D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7):
D1
D2
D3
D4 D5
D6 D7
Odrediti funkcije fi(p, q, r) koje odgovaraju diodama Di (i = 1, . . . , 7), pri qemu je vrednost funkcije fi jed-naka 1 samo ako dioda Di treba da svetli, a inaqe je 0, i pqr predstavƩa binarni zapis broja iz skupa0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 koji treba da svetli na displeju. Za svaku od tih funkcija nai jednu DNF i jednu KNF,kao i minimalnu logiqku formulu koja je predstavƩa.
21
