Computingwithsequentsanddiagramsinclassicallogic -calculi ... 6 The encoding of related calculi 79

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Text of Computingwithsequentsanddiagramsinclassicallogic -calculi ... 6 The encoding of related calculi 79

  • HAL Id: tel-00265549 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00265549

    Submitted on 19 Mar 2008

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    Computing with sequents and diagrams in classical logic - calculi *X, dX and ©X

    Dragisa Zunic

    To cite this version: Dragisa Zunic. Computing with sequents and diagrams in classical logic - calculi *X, dX and ©X. Computer Science [cs]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2007. English. �tel-00265549�

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00265549 https://hal.archives-ouvertes.fr

  • N◦ d’ordre: 447 N◦ attribue par la bibliothèque: 07ENSL0 447

    THÈSE

    en vue d’obtention le grade de

    Docteur de l’École Normale Supérieure de Lyon

    spécialité : Informatique

    Laboratoire de l’Informatique du Parallélisme École Doctorale de Mathématiques et Informatique Fondamentale

    présenté et soutenue publiquement le 21 decembre 2007 par monsieur

    Dragǐsa Žunić

    Computing with Sequents and Diagrams in

    Classical Logic - Calculi ∗X , dX and c©X

    Directeur de theèse : Monsieur Pierre Lescanne

    Après avis de : Monsieur Steffen van Bakel

    Monsieur Hugo Herbelin

    Devant la commission d’examen formèe de :

    Monsieur Steffen van Bakel Membre/Rapporteur

    Monsieur Hugo Herbelin Membre/Rapporteur

    Madam Delia Kesner Membre

    Monsieur Yves Lafont Membre

    Monsieur Pierre Lescanne Membre

    Monsieur Christian Urban Membre

  • ii

  • Contents

    Abstract vii

    Résumé ix

    Rezime xi

    Acknowledgements xiii

    1 Introduction 1

    1.1 Outline of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 The main contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    I Computing with Classical Sequents 7

    2 Introduction 9

    3 From sequents to terms 15

    3.1 Classical sequent calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.2 The variants of classical systems . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4 Related computational interpretations 23

    4.1 The X calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.1.1 The syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.1.2 The computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.1.3 The type system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.2 The λlxr-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.2.1 The syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.2.2 Congruence equations for λlxr-terms . . . . . . . . . . 30

    4.2.3 The reduction relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    iii

  • iv CONTENTS

    4.2.4 Typing rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4.3 The λ̄µµ̃-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    5 Erasure and duplication: the ∗X calculus 37 5.1 The syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.1.1 Free and bound names . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5.1.2 Definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    5.1.3 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    5.2 Reduction rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.2.1 Activation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5.2.2 Structural actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5.2.3 Deactivation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5.2.4 Logical actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5.2.5 Propagation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5.3 Operational properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    5.4 The type assignment system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    5.5 Examples of implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.5.1 Booleans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.5.2 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.6 Extension of the ∗X -calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    6 The encoding of related calculi 79

    6.1 Relation between X calculus and ∗X calculus . . . . . . . . . 80 6.1.1 From X to ∗X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.2 From ∗X to X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.2 Relation with the λ̄µµ̃-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6.3 Encoding the intuitionistic calculi . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.3.1 Encoding the λ-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.3.2 Encoding the λx-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    6.3.3 Encoding the λlxr-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    II Diagrammatic Classical Computing 97

    7 Introduction 99

    8 Diagrammatic calculus: dX 103 8.1 The syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    8.2 The reduction rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    8.2.1 Activation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

  • CONTENTS v

    8.2.2 Deactivation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2.3 Structural actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2.4 Logical actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    8.3 Generalization of activation and deactivation rules . . . . . . 113 8.4 Diagram simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.5 Operational properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.6 The typing rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.7 Implementing data types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    8.7.1 Booleans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.7.2 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    8.8 Extension of the dX calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    III Equivalent Terms in Classical Computation 131

    9 Introduction 133

    10 One-dimensional vs. two-dimensional computation 135

    11 Computing and equivalent terms: the c©X calculus 139 11.1 The syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.2 The congruence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.3 Restructuring terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.4 The reduction rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.5 Operational properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.6 The typed language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.7 Interpreting terms as diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.8 Simulating c©X -reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    Conclusion and future work 165

    Bibliography 166

  • vi CONTENTS

  • Abstract

    This Ph.D. thesis addresses the problem of giving computational interpreta- tion to proofs in classical logic. As such, it presents three calculi reflecting different approaches in the study of this area.

    The thesis consists of three parts.

    The first part introduces the ∗X calculus, whose terms represent proofs in the classical sequent calculus, and whose reduction rules capture most of the features of cut-elimination in sequent calculus. This calculus introduces terms which enable explicit implementation of erasure and duplication and to the best of our knowledge it is the first such calculus for classical logic.

    The second part studies the possibility to represent classical computation diagrammatically. We present the dX calculus, the diagrammatic calculus for classical logic, whose diagrams originate from ∗X -terms. The principal difference lies in the fact that dX has a higher level of abstraction, capturing the essence of sequent calculus proofs, as well as the essence of classical cut-elimination.

    The third part relates the first two. It presents the c©X calculus, a one- dimensional counterpart of the diagrammatic calculus. We start from ∗X , where we explicitly identify terms which should be considered the same. These are the terms that code sequent proofs which are equivalent up to permutations of independent inference rules. They also have the same dia- grammatic representation. Such identification induces the congruence rela- tion on terms. The reduction relation is defined modulo congruence rules, and reduction rules correspond to those of dX calculus.

    vii

  • viii Abstract

  • Résumé

    Cette thèse de doctorat étudie l’interprétation calculatoire des preuves de la logique classique. Elle présente trois calculs reflétant trois approches différentes de la question.

    Cette thèse est donc composée de trois parties.

    La première partie introduit le ∗X calcul, dont les termes représentent des preuves dans le calcul des séquents classique. Les règles de réduction du