Holzerova metoda

Tanja Ilijaš

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO

HOLZEROVA METODA

Zagreb, 2009.

GRAĐEVINSKI FAKULTET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

1

1. UVOD

Svako opterećenje, osim vlastite težine i stalnog tereta, možemo smatrati dinamičkim jer od svakog opterećenja nastaju deformacije tijela, a time i pomaci koji se mijenjaju u vremenu i izazivaju ubrzanja.

Međutim, u proračunima ne smatramo sva djelovanja osim vlastite težine i stalnog tereta dinamičkim djelovanjima. Neka djelovanja aproksimiramo statičkim, a neka zanemarujemo, ovisno o silama inercije koje nastaju za vrijeme gibanja. Pri sporim gibanjima sile inercije su zanemarive (npr. skupljanja betona), pa vršimo aproksimaciju kvazistatičkim djelovanjem, a dinamičke utjecaje osiguravamo dinamičkim faktorom. Pri silama inercije zamjetnog intenziteta, opterećenje nazivamo dinamičkim. Uzroci dinamičkih opterećenja u praksi su djelovanja strojeva, potresa, vjetra, i dr.

Pri konstrukcijama opterećenim dinamičkim opterećenjem proračunavamo periode vibriranja, vlastite frekvencije titranja konstrukcija, te vlastite oblike konstrukcija pri djelovanju tih frekvencija.

Postoje razne metode za određivanje perioda vibriranja i vlastitih oblika, od ručno‐ analitičkih do metoda koje se svode na primjenu računala. Postoje i približne metode s većim ili manjim odstupanjima: Holzerova metoda, Stodola postupak, metoda redukcije masa i dr.

Pri izboru načina proračuna za određivanje oblika i perioda osciliranja okvirnih konstrukcija bitno je voditi računa o odnosu krutosti stupova i greda. Krutost greda može biti znatno veća, nešto veća, približno ista ili manja od krutosti stupova.

Ako je krutost greda znatno veća, pogodno je upotrijebiti teorijska rješenja ili neke od približnih postupaka povećane točnosti. U praksi su često grede kruće od stupova pa ti približni postupci imaju svoju svrhu.

Pretpostavka velike, odnosno beskonačne krutosti stropa u odnosu na stupove okvirnih konstrukcija opravdana je kod većine građevina s armiranobetonskim pločama ili montažnim stropovima. Ako je odnos momenta inercije stropa i stupova veći od 3.6, očekuju se male rotacije čvorova u odnosu na relativne pomake stropne konstrukcije. Međutim, ako se radi o okvirnoj konstrukciji s gredama i stupovima kod koje deformacija stropa utječe na pomake sustava, pogodno je koristiti računalo pri proračunu te približne metode više ne vrijede.

Holzerova metoda


2

2. OSNOVNO O HOLZEROVOJ METODI

Holzerova metoda jest približna metoda određivanja perioda svojstvenih vibracija i svojstvenih oblika vibriranja određenih konstrukcija na način da se za pretpostavljenu kružnu frekvenciju postupno pronalazi odgovarajući oblik osciliranja.

Bitna prednost Holzerove metode je ta što se vlastite frekvencije vibriranja mogu odrediti neovisno jedne od drugih.

Holzerova metoda jest metoda pogodna za određivanje perioda i oblika svojstvenih vibracija konstrukcije konzola. Pogodna je i za određivanje perioda svojstvenih vibracija okvira i oblika vibriranja okvira s krutim ili beskonačno krutim gredama. Grede su često puno kruće od stupova pa ova metoda ima svoju svrhu, kao što je navedeno u uvodnom razmatranju. Također, pogodna je za određivanje perioda vlastitih oscilacija tzv. „ulančanih konstrukcija“. Kod složenijih proračuna zahtjevnijih konstrukcija, postupak je pogodan za kontrolu rješenja dobivenih primjenom računala.

Metoda se svrstava među metode visoke točnosti.

Holzerova metoda


3

3. POSTUPAK RJEŠAVANJA PROBLEMA PRIMJENOM HOLZEROVE METODE

Broj koordinata pomoću kojih je opisano gibanja odabrane grupe krutih čestica naziva se brojem dinamičkih stupnjeva slobade. U realnim slučajevima, konstrukcije imaju distribuirane mase, a time i beskonačno dinamičkih stupnjeva slobode. Prema tome bi bilo potrebno beskonačno mnogo koordinata da se opiše gibanje realne konstrukcije, što u praktičnoj primjeni nema smisla. Pravilnom raspodjelom masa, aproksimacija s koncentriranim masama jest prihvatljiva u proračunima.

Proučavamo sustav s reduciranim koncentriranim masama. Okvirne konstrukcije s krutim gredama katova imaju po jedan dinamički stupanj slobode pomaka po masi. Normiramo amplitudu pomaka na vrhu objekta na , . Prema toj normiranoj amplitudi, određujemo amplitude pomaka sljedeće mase (kata) za odabranu kružnu frekvenciju vibriranja. Proučavamo dobivene rezultate za pomak na mjestu temelja objekta: ako je

, odnosno ako postoji pomak na mjestu temelja objekta, postupak je potrebno ponoviti s novom pretpostavljenom frekvencijom. Postupak ponavljamo do . Frekvencija koja odgovara takvom obliku vibriranja jest odgovarajuća frekvencija te prema n đujemo period vibriranja proučavane konstrukcije, joj odre

. (3.1)

Postupak određivanja amplituda (pomaka) masa prema izabranim kružnim frekvencijama prikazan je na slici 1.

Slika 1. Oblici vibriranja koji odgovaraju izabranim kružnim frekvencijama; Holzerova metoda

Holzerova metoda


4

Prema slici 1, vidljivo je da postoji više frekvencija koje zadovoljavaju rubne uvjete. Koliko imamo koncentriranih masa, toliko imamo i stupnjeva slobode, a time i vlastitih frekvencija titranja. Međutim, određivanje jedne frekvencije titranja je neovisno o drugoj, svaka se dobiva prema opisanom postupku.

Ako je za odabranu frekvenciju amplituda pomaka mase , tada je najveće ubrzanje pri v vibracijama: lastitim

. (3.2)

Sil koja dje

. (3.3)

a luje na tu masu jest:

Uvrštavaju i

. (3.4)

ć izraz (3.2) u izraz (3.3) dobivamo:

S tim silama određuje se pomak konstrukcije za usvojenu frekvenciju. Analitički određujemo dodatke pomaka katova od vrha prema dnu prema slici 2. Ako je pomak temelja blizu nule, izabranoj frekvenciji odgovara oblik vibriranja, a ako su odstupanja amplitude temelja eća postupak se ponavlja drugom frekvencijom prema izrazima i slici: v ,

∆∆ ∆

∆;

∆ ,

(3.5)

pri čemu vrijedi:

∆∆

, ∆∆

.

Holzerova metoda


5

Frekvencije , su dvije prethodno pretpostavljene frekvencije, a frekvencija je frekvencija se dobiva ovim izrazom. koja

∆ je razlika kvadrata dviju pretpostavljenih frekvencija, a ∆ razlika pomaka temelja istih frekvencija, pri čemu je 0, jer pomak temelja mora biti jednak nuli.

Prema izrazu (3.5) vrši se ektrapolacija u svrhu određivanja tražene frekvencije. Na taj način određujemo linearnu vezu između dviju prethodno pretpostavljenih vrijednosti frekvencija ( , ) i tražene vrijednosti frekvencije ( ). Što je razlika između pretpostavljenih vrijednosti ( , ) manja, to je vrijednost dobivena ekstrapolacijom ( ) bliže traženom rješenju. Međutim, zbog linearne pretpostavke, ovim se izrazom ne dobiva sasvim točno rješenje.

Slika 2. Određivanje pomaka kata prema Holzerovom postupku

Slika 2 detaljnije prikazuje postupak određivanja pomaka katova od vrha prema dnu, kao što to opisuje Holzerova metoda. Za pretpostavljenu frekvenciju ω, te pomak na vrhu 1, određuje se sila inercije prema izrazu (3.4), koja djeluje na masu , pri čemu je 'n' broj

n o katova konstrukcije. Dobivamo: masa, od osn

.

Iz statičkih uvjeta ravnoteže sila određuje se unutarnja poprečna sila , kao reakcija na dobivenu silu inercije.

Slika 3. Veza sile inercije i poprečne sile na vrhu konstrukcije

. (3.6)

0,

Holzerova metoda


6

Nakon određivanja poprečne sile, određuje se deformacija najvišeg kata konstrukcije, prema izrazu:

∆ , (3.7)

gdje je krutost, a fleksibilnost najvišeg kata konstrukcije.

Dobivamo omak

∆ . (3.8)

p (n‐1). kata:

Za određ emo

.

tim uj silu inercije tog kata prema izrazu (3.4):

Sada je potrebno odrediti poprečnu silu ispod tog kata. I sada koristimo statički uvjet ravnoteže sila, prema slici 4.

Slika 4. Određivanje poprečne sile iz statičkog uvjeta ravnoteže sila

Dobivamo:

0,

. (3.9)

Pre izr

∆

ma azu (3.7) određujemo deformaciju (n‐1). kata:

.

Nakon možemo odrediti pomak (n‐2). kata, prema izrazu (3.8): toga

∆ .

Holzerova metoda


7

Postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do dna konstrukcije. Ukoliko je pomak temelja različit od nule, cijeli postupak se ponavlja novom frekvencijom. Ako i ta frekvencija nije zadovoljavajuća, koristi se izraz (3.5).

Navedene jednadžbe možemo izraziti u općenitom obliku, što odgovara slici 2. :

,

= ∑ ,

∆ ,

,

∆ ,

gdje je n broj katova, a i kat za koji proračunavamo navedene vrijednosti.

Slika 5. Holzerova metoda primjenjena na okvirnoj konstrukciji

Ako rješavamo problem konzole, mase su reducirane u određenim točkama, a pri okvirnim konstrukcijama imamo mase distribuirane duž greda (slika 5).

Holzerova metoda


8

4. UVODNO O PROŠIRENOJ HOLZEROVOJ METODI

Myklestad je predložio postupak za analizu vlastitih oscilacija greda čije mase mijenjaju položaje i okreću se. Taj postupak naziva se Proširena Holzerova metoda ili Holzer‐Myklestadova metoda.

Osnovna razlika Holzerove i Proširene Holzerove metode jest ta što Holzerova metoda pretpostavlja apsolutno krute grede bez mogućnosti zaokreta, a pri Proširenoj Holzerovoj metodi to nije slučaj.

I ovdje pretpostavljamo koncentrarane mase, ali svaka masa ima dva stupnja slobode gibanja: pomak i okretanje za kut , koje treba uzeti u obzir pri određivanju amplituda pomaka grede.

U ovom slučaju normiramo zaokret na 1 te tražimo frekvenciju koja zadovoljava rubne uvjete.

Kod Holzer‐Myklestadove metode također je bitna prednost naspram drugih metoda određivanje vlastitih frekvencija sustava neovisno o drugim vlastitim frekvencijama. Koristi se kod istih sustava kao i Holzerova metoda (konzole, okviri, lančaste konstrukcije).

Po tom postupku, za manji broj masa rješenje se dobiva analitički kalkulatorom, a za veći broj masa preporuča se uporaba računala (ili programibilnog kalkulatora).

Holzerova metoda


9

5. PRORAČUN PREMA PROŠIRENOJ HOLZEROVOJ METODI

5.1. Greda

Slika 3 prikazuje deformaciju grede pri vibracijama, pri kojoj postoje i pomaci i zaokreti grede, odnosno greda nije apsolutno kruta.

Slika 6. Pomaci i zaokreti grede koja nije apsolutno kruta

Prema teoriji greda poznati su osnovni izrazi za pomake i statičke utjecaje krajeva grede, sukladno oznakama na slici 6.

Promatramo dio grede prikazan na slici 6. Iz statičkog uvjeta ravnoteže sila u vertikalnom smjeru dobivamo:

∑ 0 . (5.1)

Iz me mo enat

. (5.2)

su m a na točku i slijedi:

Da bismo izrazili deformacije sustava, potrebna nam je matrica fleksibilnosti sustava, ili njoj inverzna matrica krutosti sustava. Koristit ćemo matricu fleksibilnosti sustava.

Izdvojen dio grede proučavamo kao obostrano upetu gredu. Problem rješavamo metodom sila. Obostrano upeta greda je tri puta statički neodređena pa pri pretvaranju sustava u statički određen imamo tri sile, , , gdje je oslobođena uzdužna sila, poprečna sila, a oslobođeni moment, prema slici 7.

Holzerova metoda


10

Slika 7. Metoda sila

Prema slici 7. možemo odrediti relativne elemente matrice fleksibilnosti sustava. Iz komplemenatrne deformacijske energije konstrukcije slijedi općenit izraz za članove matrice

z ne iv n prinosa poprečnih sila: fleksibilnosti, uz a mar a je do

∑ . .3) (5

Izraz (5.3) predstavlja pomak na mjestu, na pravcu i u smjeru sile izazvan silom 1.

P jerim nimo li izraz (5.3) na rješavanje obostrano upete grede prema slici 7., dobivamo:

,

,

0,

0,

Holzerova metoda

GRAĐEVINSK FA UI K LTET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

Holzerova metoda 11

1 ,

.

Prema tom fleksibilnosti iznosi: e, matrica

0 0

0

0

. (5.4)

Ukupni pomak na mjestu, na pravcu i u smjeru sile u prekobrojnoj vezi (i) od sila u aprekobrojnim vez ma iznosi:

∆ ∑ , 1,2, … . . . (5.5)

Iz toga deformacije dijela grede sa slike 7.: proizlazi izraz za

=

0 0

0

0

. (5.6)

Ako primjenimo izraze (5.3)‐(5.6) na sliku 6., dobivamo izraze za deformacije dijela grede sa slike 6.:

=

0 0

0

0

, (5.7)

pri čemu , predstavljaju deformacije u relativnom koordinatnom sustavu. U apsolutnom koordinatnom sustavu tim deformacijama pribrajamo i deformacije drugog kraja s . di: su tava Slije

, (5.8)

.

(5.9)


12

Izrazi (5 ženi matrično: .1), (5.2), (5.8) i (5.9) izra

=

1 0 0 01 0 0

1 03

31

(5.10)

N v u ričnu formulaciju možemo skraćeno zapisati: a eden mat

η · η . (5.11)

Pogleda o su slici 4. Uvjeti dinamičke ravnoteže sila i pomaka te mase su: jm ma prema

1) , (5.12)

gdje č sila inercije prema izrazu (3.4). je lan

2) (5.13) . 3) . (5.14) 4) . (5.15)

Dobili smo:

1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(5.16)

S st 16) žemo skraćeno zapisati: u av (5. mo

η , · η . (5.17)

U rštav jem (

η · , · η . (5.18)

v an sustava 5.17) u sustav (5.11) slijedi:

Možemo iz voj

· , , (5.19)

d iti dio izraza (5.18):

iz čega, množeći matrice i , , dobivamo:

Holzerova metoda


13

1 0 0 01 0 0

1 03

31

1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 01 0

13

31

.

(5.20)

Iz zraza

η · η . (5.21)

i (5.18)‐(5.20) proizlazi:

Ukoliko želimo pomake jednog kraja sustava izraziti pomoću pomaka drugog kraja sustava, . prema izrazu (5.21) i slici 6 dobivamo:

η · η · · η · · · η . (5.22)

Ako e uved mo izraz:

· · (5.23)

u raz (5.22)

η · η . (5.24)

iz , proizlazi:

Članovi atri u: m ce s

. (5.25)

Pomoću sustava jednadžbi (5.24) mogu se odrediti iznosi sila i pomaci na lijevom osloncu, prema slic 6: i

. (5.26)

Rubni uvjeti prema slici 6 su: moment savijanja i pomaci grede na lijevom osloncu su jednaki nuli, 0, a a desnom osloncu je 0. Prema tome vrijedi: n

dnosno: , o

0, (5.27)

Holzerova metoda


14

0. (5.28)

Pretpostavljamo da je na desnom osloncu jedinična rotacija: 1. Iz izraza (5.27) dobivamo:

· 1 0 . (5.29)

Iz raza 5. ) dobivamo:

· 1 0 . )

iz ( 28

(5.30

Odgovarajuća je frekvencija ona kod koje je pomak na lijevom osloncu jednak nuli, 0, a navedeni koeficijenti prema (5.29,5.30) su funkcije samo jedne veličine , pa prema tome jednostavno dolazimo do rješenja. Pretpostavljamo frekvenciju, te za odgovarajuću frekvenciju dobivamo 0 i odgovarajuće vlastite vektore .

Frekvencije se mogu odrediti i pomoću uvjeta da je determinanta sustava jednaka nuli.

Holzerova metoda


15

5.2. Konzola

Postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom sličan je postupku rješavanja grede koji je opisan u točki 5.1. Međutim, za razliku od metode rješavanja grede, pri rješavanju konzole potrebno je osim normiranja rotacije jednog kraja konzole (slobodnog) normirati i amplitudu pomaka vrha konzole, što proizlazi iz različitih rubnih uvjeta konzole i grede. Prema tome dobivamo: 1.

Slijedi analogan postupak: pretpostavljamo frekvenciju te uvažavamo onu koja zadovoljava rubne uvjete temelja konzole, pomak i rotacija moraju biti jednaki nuli ako je konzola uklještena u temelju. Prema tome, za pretpostavljanu frekvenciju treba odrediti kut okretanja na mjestu mase na vrhu konzole za koji će okretanje i pomak na mjestu temelja biti 0 te izabrana odgovarajuća frekvencija odgovara jednom od oblika vibriranja konzole.

Primjetimo da je postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom sličan rješavanju konzole „običnom“ Holzerovom metodom, uz razliku što se pri proširenoj Holzerovoj metodi ne zanemaruje zaokret vrha konzole. Prema tome, postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom predstavlja spoj postupka rješavanja konzole Holzerovom metodom opisanog u točki 3., te postupka rješavanja grede proširenom Holzerovom metodom opisanog u točki 5.1.

Slika 8. Proširena Holzerova metoda pri rješavanju problema konzole

Prema slici 8.

∆ . (5.31)

vrijedi:

Izborom kuta okretanja mase na vrhu konzole, prema izrazu (5.31), osiguran je uvjet da je okretanje na mjestu uklještenja jednako nuli, ali pomak najčešće nije jednak nuli,

Holzerova metoda


16

prema slici 8. Da bi bio zadovljen i uvjet =0, potrebno je odabrati odgovarajuću frekvenciju koja tada predstavlja aženu frekvenciju. tr

Amplitude pomaka i okretaja na mjestu mase određuju se prema izrazima deformacija grede duljine između dvije mase prema slici 9.

Slika 9. Određivanje pomaka i zaokreta krajeva konzole pri proširenoj Holzerovoj metodi

Nakon što pretpostavimo neku frekvenciju , amplitude pomaka i okretanja masa konzole računamo prema slici 9, od mase do temelja. Prema izrazima (5.8) i (5.9) sljedi:

Kao i u običnoj Holzerovoj metodi (3.5), i ovdje je moguć iterativni način određivanja kružne frekvencije. Kada za dvije uzastopne vrijednosti kvadrata kružnih frekvencija pomak temelja mijenja predznak, ako je prirast ∆ dodatka kvadrata kružne frekvencije mali, tada se i

tražene vrijednosti kružnih frekvencija . dobivaju s malim odstupanjima:

(5.32)

(5.25)

(5.33)

Holzerova metoda


17

6. PRIMJER 6.1. Proračun okvirne konstrukcije Holzerovom metodom

Zadana je okvirna konstrukcija prema dimenzijama prikazanim na slici 9.

Slika 10. Okvirna konstrukcija

Zadano:

80 000 kN

100 000 kN

90 000 kN

∞

0.8

1.2

1

Holzerova metoda


18

Krutosti pojedinih stupova svodimo na krutosti katova. Pošto se radi o okviru obostrano a u, krutost pojedinog kata iznosi: upetom na svakom k t

∑ ,

pri čemu su 'j' stupovi određenog kata 'i',a 'n' broj tih stupova.

D bivam

∑

o o:

3 45000 ,

∑ 3 56250 ,

∑ 3 50625 .

Započinjemo prvim korakom Holzero e etode: frekvenciju. v m pretpostavljamo

Prva pretpostavka prve frekvencije: 30rad/s 900 .

Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na 1,0.

Prema izrazu .4) dobivamo silu i ercije pri

0.8 900 1 720 .

(3 n tom pomaku:

Slika 11. Veza poprečne sile i sile inercije

Prema slici 11. dob

720 .

ivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata:

Prema slike 2.,

∆

izrazima sa deformacija prvog kata iznosi:

0.016 .

Holzerova metoda


19

Dobivamo pomak drugog

∆ 0.984.

kata:

Prema tome, la drugog kata iznosi:

1.2 900 0.984 1062,72.

si inercije

Prema slici 12. dobivamo poprečnu silu ispod drugog kata:

Slik

1782,72 .

a 12. Poprečna sila ispod drugog kata

Pro laiz zi:

∆ , 0.032 ,

0.952,

856.8 ,

∆

1 900 0.952

,52, 2639

∆ , 0,05

∆ 0.9 0.

2,

Vidljivo je da pomak temelja s pretpostavljenom frekvencijom ne zadovoljava rubni uvjet 0, te da je frekvencija premala (dobili smo pozitivan pomak temelja), pa ćemo postupak

ponoviti s većom frekvencijom.

Holzerova metoda


20

Dr ga tavka p e frekvenc :u pretpos rv ije

100rad/s 10000 .


Prema izraz .4) dobivamo s lu inercije pri to

0.8 10000 1 8000 .

u (3 i m pomaku:

Prema slici 11. dobiv

8000 .

amo poprečnu silu na vrhu prvog kata:

Prema izrazima sa slike 2.,

∆

deformacija prvog kata iznosi:

0.18 .

Dobivamo pomak drugo

∆ 0.82.

g kata:

Prema tome, la drugog kata znosi:

1.2 10000 0.82 9840.

si inercije i

Prema slici 11 dobivamo po

17840 .

. prečnu silu ispod drugog kata:

Pro laiz zi:

∆ 0.32 ,

0.500,

10000 0.500 5000 ,

∆

1

40, 228

∆ 0,451,

∆ 0.049 0.

Vidljivo je da smo drugom pretpostavljenom frekvencijom bliže rješenju. Do treće pretpostavljene frekvencije doći ćemo pomoću izraza (3.5). Dobivamo:

Holzerova metoda


21

10000 900 ∆0.049 0.851

∆ = 523.97,

pr m eća pretpostavka prve frekvencijee a tome je tr :

102.6 rad/s 10523.972 .


Prema izraz .4) dobivamo silu inercije pri tom poma

0.8 10523.972 1 8419,18 .

u (3 ku:

Prema slici 11. dobivam

8419,18 .

o poprečnu silu na vrhu prvog kata:

Prema izrazima sa slike 2., d

∆

eformacija prvog kata iznosi:

, 0.187.


∆ 0.813.

kata:


1.2 10523.972 0.813 10267,19.

si inercije

Pr izlazi

6 6 .

o :

18 8 .37

∆ . 0.332 ,

0.481,

10523.97 0.481 5062.03 ,

∆

1

.40, 23748

∆ . 0 ,

∆ 0.012 0.

,469

Holzerova metoda


22

Dobili smo prihvatljivo rješenje za prvi oblik vibriranja konstrukcije. Dobiveno rješenje nije u svaku decimalu točno, zato što izraz (3.5) pretpostavlja linearan odnos, što ovdje nije slučaj.

Probajmo pronaći još točnije rješenje:

Če rt tavka ve frekvencije:tv a pretpos pr

103 rad/s 10609 .


Prema izraz .4) dobivamo s lu inercije pri tom

0.8 10609 1 8487,2 .

u (3 i pomaku:


8487,2 .


Prema slike 2., d

∆

izrazima sa eformacija prvog kata iznosi:

, 0.189.


∆ 0.811.

kata:


1.2 10609 0.811 10324,68.

si inercije

Pr izlazi

8 1 .

o :

18 1 ,88

∆ , 0.334 ,

0.477,

5060,493 ,

∆

1 10609 0.477

373, 23872,

∆ , 0,475,

∆ 0.002 0.

Holzerova metoda


23

Prva frek en

103 rad/s

v cija titranja:

Prvi vlastiti vektor iznosi: ..

.

Povećavamo frekvenciju te tražimo drugi svojstveni oblik vibriranja konstrukcije.

Izrazit ćemo više frekvencija radi točnijeg prikaza grafa frekvencija.

Prva vka druge frekvencpretposta ije:

200 rad/s 40000 .


Prema izrazu .4) dobivamo s lu inercije pri tom

0.8 40000 1 32000 .

(3 i pomaku:

Prema slici 11. dobivamo

32000 .

poprečnu silu na vrhu prvog kata:

Prema slike 10.

∆

izrazima sa , deformacija prvog kata iznosi:

0.711.


∆ 0.289.

kata:


1.2 40000 0.289 13872.

si inercije

Pr izlazi

.

o :

45872

∆ 0.816 ,

‐0.527,

1 40000 0.527 21080 ,

∆

24792,

Holzerova metoda


Holzerova metoda 24

∆ 0,490

∆ 1,017

,

Prema slici 2., vidljivo je da će druga frekvencija biti veća od prve pretpostavljene, jer smo dobili negativan pomak temelja.

Dr ga avka d ge frekven :u pretpost ru cije

260 rad/s 67600 .



0.8 67600 1 54080 .

(3 i pomaku:


54080 .


Prema slike 2.,

∆


1,202.

Dobivamo pomak drugog k

∆ 0,202.

ata:


1.2 67600 0.202 16386,24

si inercije

Pr izlazi

6 3 .

o :

37 9 ,76

∆ , 0.670,

‐0.872,

1 67600 0.872 58947,2 ,

∆

4, 21253,4

∆ , ,42

∆ 0,452 0.

0 0,


25

Prema slici 2., vidljivo je da će druga frekvencija biti veća i od druge pretpostavljene frekvencije.

3. drug re vencije: pretpostavka e f k

280 rad/s 78400 .



0.8 78400 1 62720 .

u (3 i pomaku:


62720 .



∆


1,394.


∆ 0,394.

ata:


1.2 78400 0.394 37067,52.

si inercije

Pr izlazi

6 2 .

o :

25 5 ,48

∆ , 0.456,

‐0.850,

1 78400 0.850 66640 ,

∆

2, 40987,5

∆ , 0 8

∆ 0,04 0.

, 10,

Da bismo dobili još točnije rješenje, provodimo još jednu pretpostavku.

Holzerova metoda


26

4. a drug rekvencije pretpostavk e f :

282 rad/s 79524 .


Prema izrazu .4) dobivamo s lu inercije pri tom pomaku:

0.8 79524 1 63619,2 .

(3 i


63619,2 .


Prema like 2., d

∆

izrazima sa s eformacija prvog kata iznosi:

, 1,414.


∆ 0,414.

ata:


1.2 79524 0.414 39507,52.

si inercije

Pr izlazi

1 1 .

o :

24 1 ,68

∆ , 0.429,

‐0.843,

1 79524 0.843 67038,73 ,

∆

5, 42927,0

∆ , 0,84

∆ 0,005 0.

8,

Prema tome

282 rad/s

, druga vlastita frekvencija jest:

Drugi vlastiti vektor iznosi: ,,

Holzerova metoda


27

Pošto sustav ima tri mase, ima i tri oblika vibriranja. Na analogan način, određuje se i treći oblik vibriranja.

1. treće ekvencije: pretpostavka fr

400 rad/s 160000 .


Prema izraz .4) dobivamo silu pri tom p

0.8 160000 1 128000 .

u (3 inercije omaku:


128000 .


Prema izrazima sa 2., d

∆

slike eformacija prvog kata iznosi:

2,844.


∆ 1,844.

ata:


1.2 160000 1,844 354048.

si inercije

Pr izlazi

.

o :

226048

∆ 4,019,

2,175,

160000 2,175 348000 ,

∆

1

52, 1219

∆ 2,409,

∆ 0,234 0.

Pretpostavljena frekvencija blizu je traženoj frekvenciji. Prema slici 2, vidljivo je da će treća frekvencija biti malo manja od prve pretpostavljene frekvencije, jer je dobiven negativan pomak temelja.

Holzerova metoda


28

2. treće ekvencije: pretpostavka fr

395 rad/s 156025 .


Prema izraz .4) dobivamo silu pri tom p

0.8 156025 1 124820 .

u (3 inercije omaku:


124820 .


Prema izrazima sa 2., d

∆

slike eformacija prvog kata iznosi:

2,744.


∆ 1,744.

ata:


1.2 156025 1,744 332104.

si inercije

Pr izlazi

.

o :

207284

∆ 3,685,

1,911,

156025 1,911 298207 ,

∆

1

2.8, 9092

∆ . 1,796,

∆ 0,115 0.

Pošto smo dobili pozitivno rješenje, očito je traženo rješenje između prve i druge pretpostavke treće frekvencije.

Holzerova metoda


29

3. reće frekvencije: pretpostavka t

396.8 rad/s 157450,24 .


Prema izrazu .4) dobivamo silu inercije pri tom pom

0.8 157450,24 1 125960 .

(3 aku:


125960 .


Prema 2., deformacija

∆

izrazima sa slike prvog kata iznosi:

2,80.


∆ 1,80.

kata:


1.2 157450,24 1,80 339925.

si inercije

Pr izlazi

.

o :

213965

∆ 3,804,

2,005,

157450,24 2,005 315642 ,

∆

1

77, 1016

∆ 2,009,

∆ 0,004 0.

Prema tome,

396.8 rad/s

treća vlastita frekvencija jest:

Treći vlastiti vektor iznosi: ..

.

Holzerova metoda


30

Radi boljeg grafičkog prikaza, izračunate su još neke vrijednosti pomaka temelja pri pretpostavljenim frekvencijama.

1)

220 rad/s 48400

.



0.8 48400 1 38720 .

u (3 i pomaku:


38720 .



∆


0,86.


∆ 0,14.

g kata:

Prema tome, sila inercij r ize d ugog kata nosi:

1.2 48400 0.14 8131,2

Pr izlazi

5 .

o :

468 1,2

∆ , 0.833,

‐0.693,

1 48400 0.693 33541,2 ,

∆

,35, 13314

∆ , 0,2 3,

∆ 0,956 0.

6

Holzerova metoda


31

2)

120 rad/s 14400

.



0.8 14400 1 11520 .

(3 i pomaku:


11520 .


Prema slike 2., d

∆


0.256.


∆ 0.744.

kata:


1.2 14400 0.744 12856.32.

si inercije

Pr izlazi

3 6 .

o :

24 7 ,32

∆ , 0.433,

0.311,

14400 0.311 4478,4 ,

∆

1

,02, 28855

∆ , 0,570,

∆ 0.259 0.

3)

130 rad/s 16900

.


Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:

Holzerova metoda


Holzerova metoda 32

0.8 16900 1 13520 .


13520 .


Prema slike 2., d

∆


0.300.


∆ 0.700.

kata:


1.2 16900 0.700 14196.

si inercije

Pr izlazi

.

o :

27716

∆ 0.493,

0.207,

16900 0.207 3498.3 ,

∆

1

4.3, 3121

∆ . 0,617,

∆ 0.41 0.

4)

140 rad/s 19600

.



0.8 19600 1 15680 .

u (3 i pomaku:


15680 .


Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi:


Holzerova metoda 33

∆ 0.348.


∆ 0.652.

kata:


1.2 19600 0.652 15335,04.

si inercije

Pr izlazi

0 5 .

o :

31 1 ,04

∆ , 0.551,

0.101,

19600 0.101 1979,6 ,

∆

1

,64, 32994

∆ , 0,652,

∆ 0,551 0.

5)

150 rad/s 22500

.



0.8 22500 1 18000 .

u (3 i pomaku:


18000 .



∆


0.40.


∆ 0.60.

g kata:

Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:


Holzerova metoda 34

1.2 22500 0.6 16200.

Pr izlazi

.

o :

34200

∆ 0.608,

‐0.008,

1 22500 0.008 180 ,

∆

20, 340

∆ 0,672,

∆ 0.68 0.

6)

160 rad/s 25600

.



0.8 25600 1 20480 .

u (3 i pomaku:


20480 .



∆


0.455.


∆ 0.545.

kata:


1.2 25600 0.545 16742.4.

si inercije

Pr izlazi

2 .

o :

372 2.4

∆ . 0.662,

GRAĐ VE INSKI FAKULTET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

Holzerova metoda 35

‐0.117,

1 25600 0.117 2995,2 ,

∆

7,2, 3422

∆ , 0,676,

∆ 0.793 0.

7)

170 rad/s 28900 .



0.8 28900 1 23120 .

u (3 i pomaku:


23120 .



∆


0.514.


∆ 0.486.

kata:


1.2 28900 0.486 16854.48.

si inercije

Pr izlazi

9 4 .

o :

39 7 .48

∆ . 0.711,

‐0.225,

1 28900 0.225 6502,5 ,

∆

.98, 33471

∆ . 0,662,

GRAĐEVINSKI FAKU TL ET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

Holzerova metoda 36

∆ 0.887 0.

8)

180 rad/s 32400 .



0.8 32400 1 25920 .

u (3 i pomaku:


25920 .


Prema slike 2.,

∆


0.576.


∆ 0.424.

kata:


1.2 32400 0.424 16485,12.

si inercije

Pr izlazi

4 5 .

o :

42 0 ,12

∆ , 0.754,

‐0.330,

1 32400 0.330 10692 ,

∆

,12, 31713

∆ , 0,6 6,

∆ 0.956 0.

2

9)

300 rad/s 90000

.



37


0.8 90000 1 72000 .

u (3 i pomaku:


72000 .


Prema izrazima sa slike 2

∆

., deformacija prvog kata iznosi:

1,6.


∆ 0,6.

g kata:


1.2 90000 0.6 64800.

si inercije

Pr izlazi

7

o :

200 .

∆ 0.128,

‐0.728,

1 90000 0.728 65520 ,

∆

0, 5832

∆ 1.152

∆ 0.424 0.

,

Holzerova metoda


38

U programu Mathematica dobivene su još neke vrijednosti.

Početni podaci su:

In[1]:= m1 = 0.8

Out[1]= 0.8

In[2]:= m2 = 1.2

Out[2]= 1.2

In[3]:= m3 = 1.0

Out[3]= 1.

In[4]:= k1 = 45000

Out[4]= 45000

In[5]:= k2 = 56250

Out[5]= 56250

In[6]:= k3 = 50625

Out[6]= 50625

In[7]:= u1 = 1

Out[7]= 1

Frekvencija / :

In[8]:= om = 350

Out[8]= 350

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 122500

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 98000.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 98000.

Holzerova metoda


39

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 2.17778

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= ‐1.17778

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= ‐173133.

In[15]:= T2 = H1 + H2

Out[15]= ‐75133.3

In[16]:= du2 = T2/k2

Out[16]= ‐1.3357

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= 0.157926

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Out[18]= 19345.9

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= ‐55787.4

In[20]:= du3 = T3/k3

Out[20]= ‐1.10197

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 1.2599

Dobiveno je: 1.2599.

Frekvencija / :

In[8]:= om = 315

Out[8]= 315

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 99225

Holzerova metoda


40

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 79380.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 79380.

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 1.764

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= ‐0.764

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= ‐90969.5

In[15]:= T2 = H1 + H2

Out[15]= ‐11589.5

In[16]:= du2 = T2/k2

Out[16]= ‐0.206035

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= ‐0.557965

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Out[18]= ‐55364.1

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= ‐66953.5

In[20]:= du3 = T3/k3

Out[20]= ‐1.32254

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 0.764574

Dobiveno je: 0.765.

Holzerova metoda

GRA EVINSKI FAKUĐ LTET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

Holzerova metoda 41

Frekvencija / :

In[8]:= om = 335

Out[8]= 335

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 112225

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 89780.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 89780.

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 1.99511

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= ‐0.995111

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= ‐134012.

In[15]:= T2 = H1 + H2

Out[15]= ‐44231.6

In[16]:= du2 = T2/k2

Out[16]= ‐0.78634

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= ‐0.208771

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Out[18]= ‐23429.4

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= ‐67661.

In[20]:= du3 = T3/k3


42

Out[20]= ‐1.33651

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 1.12 77 4

Dobiveno je: 1.128.

Frekvencija / :

In[8]:= om = 370

Out[8]= 370

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 136900

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 109520.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 109520.

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 2.43378

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= ‐1.43378

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= ‐235541.

In[15]:= T2 = H1 + H2

Out[15]= ‐126021.

In[16]:= du2 = T2/k2

Out[16]= ‐2.24037

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= 0.806596

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Holzerova metoda


43

Out[18]= 110423.

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= ‐15598.

In[20]:= du3 = T3/k3

Out[20]= ‐0.30811

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 1.11 74 1

Dobiveno je: 1.115.

Frekvencija / :

In[8]:= om = 380

Out[8]= 380

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 144400

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 115520.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 115520.

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 2.56711

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= ‐1.56711

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= ‐271549.

In[15]:= T2 = H1 + H2

Out[15]= ‐156029.

In[16]:= du2 = T2/k2

Holzerova metoda


44

Out[16]= ‐2.77385

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= 1.20674

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Out[18]= 174253.

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= 18224.

In[20]:= du3 = T3/k3

Out[20]= 0.359979

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 0.846759

Dobiveno je: 0.847.

Frekvencija / :

In[9]:= l = om^2

Out[9]= 4225

In[10]:= H1 = m1*l*u1

Out[10]= 3380.

In[11]:= T1 = H1

Out[11]= 3380.

In[12]:= du1 = T1/k1

Out[12]= 0.0751111

In[13]:= u2 = u1 ‐ du1

Out[13]= 0.924889

In[14]:= H2 = m2*l*u2

Out[14]= 4689.19

In[15]:= T2 = H1 + H2

Holzerova metoda


45

Out[15]= 8069.19

In[16]:= du2 = T2/k2

Out[16]= 0.143452

In[17]:= u3 = u2 ‐ du2

Out[17]= 0.781437

In[18]:= H3 = m3*l*u3

Out[18]= 3301.57

In[19]:= T3 = T2 + H3

Out[19]= 11370.8

In[20]:= du3 = T3/k3

Out[20]= 0.224608

In[21]:= ut = u3 ‐ du3

Out[21]= 0.556829

Dobiveno je: 0.557.

Holzerova metoda


46

Slika 13. prikazuje iznose pomaka temelja zadanog sustava pri pretpostavljenim frekvencijama. Rješenja sustava su one frekvencije pri kojima je pomak temelja jednak nuli. Najmanja od tih frekvencija predstavlja prvi dinamički stupanj slobode konstrukcije, srednja drugi, a najveća treći.

‐1,5

‐1

‐0,5

0

0,5

1

1,5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

ω

Slika 13. Prikaz dobivenih rezultata

Na apcisi su prikazane frekvencije, a na ordinati pomaci temelja pri tim frekvencijama.

Vidljivo je da dobiveni graf odgovara općenitom, prikazanom na slici 2.

Holzerova metoda


47

6.2. Proračun konzole proširenom Holzerovom metodom

Potrebno je odrediti frekvencije titranja konzole prema slici:

Slika 14. Konzola s mogućim pomakom i zaokretom mase

Sustav ima jednu koncentriranu masu, a time i jednu vlastitu frekvenciju titranja. Prema proširenoj Holzerovoj metodi, masa se može pomicati i zaokretati, odnosno postoje i .

Ulazni podaci:

‐m=0, 5t,

‐h=9 m,

‐EI=100 000 .

Pretpostavljamo , 1. : 1

Trebamo dobiti: 0.

Prva pretpostavka frekvencije: 49 .

Prema izrazu .4) dobivamo inercije

0 49 1 24.5 .

(3 silu pri pomaku 1:

Holzerova metoda

.5

∑ 0 .


48

Iz me momenata na točku slijedi:

9 24.5 220.5.

su T

P m re a (5.8):

=0.9900775

Pošto trebamo dobiti =0, u daljnji proračun ulazimo s 0.0099225.

( 9)5. :

=0.940465 0.

Pošto nismo dobili zadovoljavajući pomak temelja, ponavljamo postupak s novom frekvencijom. Pretpostavljamo v u fre venciju mo d b itiv o rješenje. eć k jer s o ili poz n

Druga pretpostavka frekvencije: 2410 .

Prema izrazu .4) dobivamo silu inercije pr

0 1024 1 512 .

(3 i pomaku 1:

.5

∑ 0 .

Iz me momenata na točku T slijedi:

9 512 4608.

su

P m re a (5.8):

=0.79264


( 9)5. :

=‐0.24416 0.

Treću pretpostavku

1024 494625

dobivamo pomoću izraza (3.5):

∆0.24416 1.18

∆ = ‐200.9547

Proizlazi: 1024 ∆ 823.0453

Holzerova metoda


49

Treća pretpostavka frekvencije: . 823.047

Prema izrazu .4) dobivamo silu inerc je pri pomak

0 823.047 1 411.524 .

(3 i u 1:

.5

∑ 0 .

Iz me momenata na točku T slijedi:

9 512 3703.71.

su

P m re a (5.8):

=0.833333.


( 9)5. :

=0.

Treća pretpostavka prve frekvencije predstavlja frekvenciju sustava jer zadovoljava rubne 0. Prema tome: uvjete

.,

. .

Holzerova metoda


50

Pomoću programa Mathematica dobiveni su još neki rezultati, zbog točnijeg grafičkog prikaza:

Ulazni podaci:

In[1]:= m = 0.5

Out[1]= 0.5

In[2]:= EI = 100000

Out[2]= 100000

In[3]:= u1 = 1

Out[3]= 1

In[4]:= l = 9

Out[4]= 9

In[5]:= fi1 = 1

Out[5]= 1

. :

In[12]:= om = 200

Out[12]= 200

In[13]:= H = m*om*u1

Out[13]= 100.

In[14]:= M = l*H

Out[14]= 900.

In[15]:= fit = l^2*H/(2 EI) ‐ l*M/(EI) + fi1

Out[15]= 0.9595

In[16]:= fi2 = fi1 ‐ fit

Out[16]= 0.0405

In[17]:= u2 = ‐l^3*H/(3 EI) + l^2*M/(2 EI) ‐ l*fi2 + u1

Out[17]= 0.757

Holzerova metoda

GRA EVINSKI FĐ AKULTET Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo

Holzerova metoda 51

Dobivamo: . .

Anal g im postupkom d

24 576

o n obiveni su sljedeći rezultati:

2

0.30016

50 2500 2

-2.0375

75 5625 2

‐5,8344

100 10000 2

‐11.15

125 15625 2

‐17.9844

300 90000 2

‐108,35

Slika 15. Prikaz dobivenih rezultata: odnos pretpostavljenih frekvencija i pomaka temelja

‐120

‐100

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

0 50 100 150 200 250 300 350

ωut


Holzerova metoda 52

LITERATURA

[1] Clough, R.W.; Penzien, J., (1975.), Dynamics of structures, McGraw‐Hill Book Company, New York, Toronto

[2] Maglajlić, Z., (2008.), Približni postupak određivanja dinamičkih karakteristika konzole, Tehnički vjesnik, br. 15

[3] Maglajlić, Z.; Simonović, G., (2007.), Periodi osciliranja okvira, časopis Građevinar, br.59

[4] Raduka, V., (2009.), predavanja iz predmeta Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo, www.grad.hr/tmk, Građevinski fakultet sveučilišta u Zagrebu

[5] Anđelić, M., (2005.), Građevna statika II, Građevinski fakultet sveučilišta u Zagrebu

http://www.grad.hr/tmk

Documents

Holzerova metoda