Hidraulički udar pri naglom Hidraulički udar pri naglom zatvaranju ventilazatvaranju ventila

ap

H

0v

L

Slika 4.

D

spremnikproširena cijev ventil

v v = 0

L

Prirast tlaka ∆p Brzina zvuka c

Statički tlak p0 t < L/c

spremnikproširenacijev

ventil

v = 0

L

p0 + ∆p

t = L/c

spremnikproširena cijev ventil

v v = 0

L

Prirast tlaka ∆p Brzina zvuka c

Statički tlak p0 L/c < t < 2L/c

spremnikcijev ventil

v

L

p0 t =2L/c

spremniksužena cijev ventil

v v = 0

L

p0 - ∆p

Brzina zvuka c

Statički tlak p0 2L/c < t < 3L/c

spremniksužena cijev ventil

v = 0

L

p0 - ∆p t =3L/c

spremniksužena cijev ventil

v v = 0

L

p0 - ∆p

Brzina zvuka c

Statički tlak p0 3L/c < t < 4L/c

spremnikcijev ventil

v

L

p0 t =4L/c

Izvod brzine zvukaIzvod brzine zvukaJednadžba kontinuiteta

Bernoullijeva jednadžba

Bernulijeva jednadžba za idealni fluid

Brzina širenja slabog tlačnog poremečaja c

( )ρρ= −

dtd vD

ds

ρ ρ θ τ∂⋅ = − − ⋅ −

∂4cos

dt wDv p g

s D

ρ ∂⋅ = −

∂dtDv p

s

= ⋅ds c dt

Izvod brzine zvukaIzvod brzine zvuka( ) ( )ρ ρρ

= − = −⋅dt

d v d vDds c dt

ρ ρ⋅ = − = − ⋅ = −⋅dt

Dv dp dp dpdvds c dt c

( )ρ ρ ρρ += − = −

d v dv vddc c

ρ ρ ρ ρ= − − = −dpcd dv vd vdc

ρ+ =2(1 )vc d dpc ρ

=dpcd

AllieviAllievi –– evev izrazizraz

ρ ρ⋅ = − = − ⋅ = −⋅dt

Dv dp dp dpdvds c dt c

ρ ρ⋅ = − = − ⋅ ⋅dpdv dp c dvc

Brzina zvukaBrzina zvuka

c

KDEs

=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

ρ

Zaštita od Zaštita od hidraulčikoghidraulčikog udaraudara

Kompenzacione posudeRasteretna komoraSigurnosni ventilDozračni ventil

Hidraulički tučak Hidraulički tučak -- HydraulicHydraulic ramram

Model jModel jednodimenzijskoednodimenzijskog,g,izotermiizotermiččkokog,g, nestacionarnonestacionarnog,g,

strujanjstrujanjee fluidafluida

Jednadžba kontinuiteta

Jednadžba količine gibanja

Brzina zvuka

vhx

ht

cg

vx

vzx

∂∂

∂∂

∂∂

+ + − =2

0dd

∂∂

∂∂

∂∂

hx

vg

vx g

vt

v vgD

+ + + =1

20

λ

c

KDEs

=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

ρ

Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi

Klasifikacija diferencijalnih jednadžbi prema Garabedianu

eliptičke parabolične hiperbolične

eliptičke D < 0parabolične D = 0hiperbolične D > 0

2 2 2

2 2 0u u u u uA B C D E Fu Gx x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 4 0B AC− <2 4 0B AC− =

2 4 0B AC− >11 11 12 12 1

21 21 22 22 2

u u v vA B A B Ex y x yu u v vA B A B Ex y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )( )211 22 21 12 22 11 12 21 11 22 21 12 11 22 21 124D A B A B A B A B A A A A B B B B= − + − − − −

Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi

2 0p p vv cx t x

ρ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

12v vp v v dzv g

g x x t D dxλ∂ ∂ ∂

+ + = − −∂ ∂ ∂

A11 = v ; B11 = 1 ; A12 = c2ρ ; B12 = 0 ; E1 = 0A12 = 1/ ρ ; B21 = 0 ; A22 = v ; B22 = 1 ; E2 =

D = (v – 0 + v – 0)2 – 4(v2 – c2)(1 – 0) = 4c2

Hiperbolični sustav jednadžbi

2v v dzgD dx

λ− −

Metoda karakteristikaMetoda karakteristikaHiperbolični sustav jednadžbi može se zapisati u obliku

Za model sustav jednadžbi glasi

Traženi karakteristični smjerovi izvode se iz jednadžbe

U UA Bt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

2 0

1/2

p pv cv v dzv vt xv gD dx

ρρ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠

0A Iλ− =2

01/

v cv

λ ρρ λ

− +=

− +

Pozitivna karakteristika ima nagib

i uzduž nje vrijedi izraz:

Negativna karakteristika ima nagib

i uzduž nje vrijedi izraz:

( )1=d d 1t x v cλ = +

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ+ + + =

( )2 =d d 1t x v cλ = −

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

KarakteristikeKarakteristike

DiskretizacijaDiskretizacija vremensko vremensko prostornog kontinuumaprostornog kontinuuma

( )

( )v v v

v v vR M O1

S N O2

= + −

= + −

α α

β β

1

1

( )( )

R M O

S N O

1

1

h h h

h h h

α α

β β

= + −

= + −

InterpolacijaInterpolacija

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P1 R P1 R RR

P2 S P2 S SS

sign 0

-sign 0

gi h h v v Fcgj h h v v Fc

− + − + =

− + − + =

( )

( )

F F v v Fv v t

D

F F v v Fv v t

D

R R P1 R RO R

S S P2 S SO S

= + =+

= + =+

,

,

λ

λ

∆

∆

8

8

d d 0d d 2

v vg h vc t t D

λ+ + + =

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

PrimjerPrimjerDuljina cijevi................................L=91,44 mPromjer cijevi...............................D=10,97 mmDebljina stjenke...........................s=0,81 mmRazina vode u spremniku.............H=0.1275 mGustoća vode................................ρ=992,8 kg/m3

Kinematička viskoznost................ν=0,6414×10-6 m2/sVol. modul elastičnosti vode........K=2,2774×109 PaModul elastičnosti cijevi..............E=1,1003×1011 PaDubina fluida u rezervoaru……….h = 7.2 m

D, L

H

ρ,ν

h

Model strujanjaModel strujanja( )1=d d 1t x v cλ = +

d d 0d d 2

v vg h vc t t D

λ+ + + =

( )2 =d d 1t x v cλ = −

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

Pozitivna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:

Negativna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:

Pretpostavke:•v mnogo manji od c pa ga zanemarujemo u nagibu karakteristike•koeficijent trenja zavisi samo od relativne hrapavosti λ = const.•Lewi Courantov broj CFL = 1

DiskretizacijaDiskretizacija prostor prostor --vrijemevrijeme

1 11 1( ) ( ) 0n n n n

i i i ig h h v vc

+ ++ +− − + − =

1 11 1( ) ( ) 0n n n n

i i i ig h h v vc

+ +− −+ − + − =

11 1 1 1

1 ( ) ( )2 2

n n n n ni i i i i

ch h h v vg

+− + − += + + −

11 1 1 1

1( ) ( )2 2

n n n n ni i i i i

gv h h v vc

+− + − += − + +

Rubni uvjetiRubni uvjetiRubni uvjeti:Za visinu tlaka slijedi izraz iz pozitivne karakteristike koja vrijedi

na kraju cijevi:

Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz spremnika:

1 11 1( )n n n n

i i i ich h v vg

+ +− −= − −

1 11 1( )n n n n

i i i igv v h hc

+ ++ += + −

Početni uvjetiPočetni uvjeti

Bernoullijeva jednadžba od površine lijevog do površine desnog spremnika uz zanemarenje trenja glasi

a odatle izraz za brzinu strujanja u cijevi u stacionarnom režimu strujanja

v = 0.05 m/s

2

2Pa Pa vHg g gρ ρ+ = +

2v gH=

ProračunProračun

RezultatiRezultati

12

34

56

78

910

11

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

RezultatiRezultati1 5 9

13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

101

105

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

RezultatiRezultati1 5 9

13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

101

105

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00