GUÍAS DE TRABAJO Matemáticas - ww2.educarchile.clww2.educarchile.cl/UserFiles/P0032/File/pdf_esencial/7moBasico/...¿Existen pares de números naturales que cumplan con esta condición?

Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD4

GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

Unidad 4Matemáticas

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

Guía de Trabajo N°1(TRABAJO GRUPAL)

EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR CANTIDADES

1

4

3

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2

La expresión que muestra el recuadro 1 representa una propiedad de la adición.

a. Expresa esta propiedad en palabras.

b. Menciona 2 ejemplos numéricos de esta propiedad.

c. ¿Es válida esta propiedad si el número a es una fracción? ¿Y si es un número decimal?

a + 0 = a1

Si a · b = centonces c : b = ay c : a = b

2

p + q = 03

La expresión que muestra el recuadro 2 representa la relación que existe entre la multiplicación y la división

a. Expresa esta propiedad en palabras.

b. Menciona 2 ejemplos numéricos de esta propiedad.

a. Menciona un par de números enteros que cumplan con la condición indicada en el recuadro 3.

b. ¿Existen pares de números naturales que cumplan con esta condición?

El recuadro 4 muestra una fórmula para calcular el área S de un triángulo en que a es la longitud de un lado y h la longitud de la altura correspondiente a ese lado.

a. Expresa esta fórmula en palabras.

b. ¿Es válida esta fórmula para el área de un triángulo rectángulo? Explica tu respuesta.

a · h2

S =4

5 El recuadro 5 muestra la relación que existe entre dos cantidades m y n.

¿Cuánto debe valer m si n = 8? ¿Y si n = 20?

m = 3 · (n + 2) 5

30 + x = 6566 ¿Qué número x cumple con la condición indicada en el

recuadro 6?

EMPLEO DE ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA IGUALDADResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 a. Observa las relaciones que muestra el recuadro 1. ¿Es posible deducir de allí qué relación debe existir entre a y b? Refuerza tu respuesta asignando valores a x e y.

b. ¿La respuesta a la pregunta anterior depende del valor que se asigne a los números representados por x y por y?

a = x + y

x + y = b

1

2 Observa la igualdad que muestra el recuadro 2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas de acuerdo con esa igualdad?

(I) x = 12 (II) x = 15 (III) x = 9

2 12 = x + 3

Simón ha escrito en su cuaderno dos números que llamaremos p y q. Él informa además que p = q + 25.

De acuerdo con esta información, ¿es posible saber cuál de los dos números es mayor? Explica tu respuesta.

3

4 ¿Qué valor habría que asignar a las letras a, b, c y d en cada una de las siguientes expresiones para que se cumplan las igualdades?

18 + 4 = a + 3 3 · 5 = b + 10 4 · 6 = c + 1 = d

a. ¿Qué valor hay que asignar a las letras x, y, z en la siguiente expresión?

2 · (5 + 3) = 2 · 5 + x · 3 = 10 + y = z

b. ¿Se podría afirmar en este caso que z = 2 · (5 + 3)? Explica tu respuesta.

5

6 Observa el recuadro 3. A continuación se muestran dosformas de anotar el procedimiento seguido para resolverlo.

(I) 18 – 6 = 12 + 4 = 16 (II) 18 – 6 = 12 12 + 4 = 16

¿Son correctas ambas formas de presentar el procedimiento seguido? Si consideras que hay errores, indica en qué consisten dichos errores.

A 18 restarle 6 y luego sumar 4 al resultado.

3


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Cuando se emplean letras para representar cantidades se puede abreviar la escritura de una multiplicación. El recuadro 1 muestra dos formas de escribir la multiplicación de 5 por x. Ambas formas tienen el mismo significado.

Si uno de los factores es un número y el otro es una letra como en el recuadro 1, se prefiere colocar primero el factor numérico y a su derecha el factor literal.

Por su parte, el recuadro 2 muestra dos formas de escribir la multiplicación de a por b. También en este caso, ambas formas tienen el mismo significado.

a. ¿Se podría eliminar el punto de multiplicación al escribir la multiplicación entre dos números, por ejemplo, escribir 23 para indicar el producto 2 · 3? Explica tu respuesta.

b. Si p = 4 y q = 6, ¿cuánto vale pq? ¿Y cuánto vale 10 pq?



Guía de Trabajo N°3(TRABAJO INDIVIDUAL)

CONVENCIONES EN EL LENGUAJE ALGEBRAICOResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 1 5 · x

5x

2 a · b

ab

2 En el recuadro 3 se muestra una expresión que combina unasuma y una multiplicación.

a. ¿Cómo debemos efectuar los cálculos en este caso? ¿Debemos sumar 4 + 5 y luego multiplicar el resultado por 3? ¿O debemos multiplicar primero 5 · 3 y luego sumar 4 al resultado?

b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones tomando en cuenta las convenciones relativas a la prioridad de las operaciones.

36 + 4 · 5 (36 + 4) · 5 6 + 2 · 5 - 3 (6 + 2) · 5 - 3

6 + 2 · (5 – 3) 6 + (2 · 5 – 3) (6 + 2) · (5 – 3) (6 + 2 · 5) - 3

3 4 + 5 · 3

3 Cuando tenemos una sucesión de sumas, como en el recuadro 4, es posible alterar el orden sin que ello modifique el resultado. Pero si la expresión contiene sumas y restas como en el recuadro 5, lo más seguro es proceder de izquierda a derecha sin alterar el orden y respetando los paréntesis cuando los haya.

Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.

10 + 6 + 4 10 + 6 - 4 10 - 6 + 4 10 - 6 - 4

10 + (6 + 4) (10 + 6) - 4 10 – (6 + 4) 10 – (6 – 4)

5

4 7 + 4 + 2 + 9

7 – 4 + 2 - 9


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REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONESResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

En un experimento de ciencias, Marta vierte agua en un vaso. La masa del vaso vacío es de 80 gramos y la masa del agua vertida en el vaso es de 220 gramos, de modo que la masa total del vaso con agua es de 300 gramos.

Marta representa esta situación en la forma que muestra el recuadro 1.

a. ¿Qué representa el 80 en esta igualdad? ¿Y el 220? ¿Y el 300?

b. ¿Estás de acuerdo con lo que escribió Marta? Explica tu respuesta.

c. Marta saca 50 gramos del vaso con agua. Ahora ella representa esta nueva situación mediante la igualdad que muestra el recuadro 2. ¿Cómo interpretarías esta igualdad?

d. Ahora Marta sacó toda el agua del vaso y escribió la igualdad que muestra el recuadro 3. ¿Cómo interpretarías esta igualdad?

1

1

2

3

80 + 220 = 300

300 – 50 = 250

250 – 80 = 170

En el curso de Nicolás hay 32 estudiantes. De ellos, 18 son niñas.

Si representamos por x el número de niños, ¿cuáles de las ecuaciones que muestra el recuadro 4 representan adecuadamente esta situación? Explica tu respuesta.

2 18 + x = 3218 – x = 3232 – x = 1832 = x + 18x + 32 = 18x = 32 - 18

4

3 La señora Margarita compró 5 kilos de papas. Pagó con un billete de $5.000 y recibió $1.600 de vuelto.

El hijo de la señora Margarita escribe la ecuación del recuadro 5 para indicar que el vuelto corresponde a los $5.000 menos lo que costaron las papas. En esa ecuación, la letra x representa el valor del kilo de papas.

Explica qué significa cada número, cada letra y cada operación en la ecuación que escribió el hijo de la señora Margarita.

1.600 = 5.000 + 5x5


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Guillermo le cuenta a su amigo Pablo que ha ahorrado monedas de $100 y de $500. Tiene 32 monedas que suman $6.400 en total.

a. Pablo decide escribir una ecuación que represente los ahorros de Guillermo. Afirma que si llamamos x al número de monedas de $500, entonces el número de monedas de $100 será 32 – x. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

b. Además, Pablo propone el siguiente diagrama. ¿Te parece correcto este diagrama?

+ =

c. Basándose en el diagrama, Pablo escribe la ecuación que muestra el recuadro 6.

d. ¿Qué representa el producto 500x en esta ecuación? Toma como referencia el diagrama de Pablo.

e. ¿Qué representa el producto 100 · (32 – x)?

f. ¿Por qué Pablo escribió que 500x + 100 · (32 – x) es igual a 6.400?

g. Mediante tanteo, encuentra qué valor de x satisface la igualdad en la ecuación del recuadro 6.

h. ¿Podrías decir ahora cuántas monedas de $500 y cuántas monedas de $100 había ahorrado Guillermo?

4

5

cantidad de dinero en monedas de $500

cantidad de dinero en monedas de $100

cantidad total de dinero ahorrado

500x + 100 · (32 – x) = 6.4006

Elba compró una caja de bolsitas de té. Según la etiqueta, la caja contiene 20 bolsitas con un total de 50 gramos de té. Ella quiso saber cuánto té tenía cada bolsita. Para ello, escribió la ecuación que muestra el recuadro 7, en que x representa la cantidad de té que tiene cada bolsita.

a. ¿Qué representa el 20 en esta ecuación? ¿Y el 50?

b. ¿En qué unidades está expresado x?

c. ¿Estás de acuerdo en que el producto de 20 por x debe ser igual a 50?

d. Elba piensa que para que se cumple la igualdad en esta ecuación, x debería valer 2,5. ¿Tiene razón Elba? Explica tu respuesta.

e. De acuerdo con esto, ¿cuánto té tiene cada bolsita?

20x = 507


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Guía de Trabajo N°5(TRABAJO INDIVIDUAL)

�LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓNResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1

2

Nota. En este nivel solo se trabaja con ecuaciones en las que la incógnita no está elevada a potencia. O dicho de otra manera, el exponente de la incógnita es 1. Este tipo de ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones de primer grado.

a. Observa la ecuación del recuadro 1. ¿Se cumpliría la igualdad si se reemplaza la x por un 1? ¿Y si se reemplaza por un 2? ¿Y si se reemplaza por un 3? ¿Y si se reemplaza por un 4?

b. Diremos que x = 4 es la solución de la ecuación porque al reemplazar x por 4 la igualdad se cumple. ¿Cuál crees que es la solución de la ecuación del recuadro 2?

c. Rodrigo dice que la solución de la ecuación del recuadro 3 es x = 6. ¿Tiene razón?

d. ¿Es x = 1 la solución de la ecuación 60x + 70 = 130x?

e. Federico afirma que la solución de la ecuación 2x + 8 = 8 es x = 0. ¿Tiene razón?

5x – 8 = 12

16 – x = 4

28 - x = 2x + 10

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3

La mayoría de las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen solo 1 solución. Pero hay dos excepciones.

a. ¿Cuántas soluciones puedes encontrar para la ecuación del recuadro 4?

b. ¿Y para la ecuación del recuadro 5?

Hay ecuaciones que se satisfacen con cualquier valor de la incógnita. En cierto modo, en estas ecuaciones los dos lados de la ecuación están diciendo lo mismo aunque de distinta forma. En tales casos diremos que la ecuación es una identidad.

Otras ecuaciones no tienen ninguna solución. Esto sucede cuando lo que dice uno de los lados de la ecuación es contradictorio con lo que dice el otro lado.

c. ¿La ecuación del recuadro 4 corresponde a alguna de estas dos excepciones?

d. ¿Y la ecuación del recuadro 5?

e. ¿Y las ecuaciones de los recuadros 1, 2 y 3 de la actividad anterior?

4x = 7x - 3x

4x = 7x + 3x5

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Guía de Trabajo N°6PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (I)

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 Resolver una ecuación es encontrar su solución.

Para resolver una ecuación la vamos transformando hasta que queda en claro cuál es el valor de la incógnita que la satisface.

Al efectuar estas transformaciones debemos cuidar de preservar la igualdad.

a. Considera la ecuación del recuadro 1. Dado que la adición es la operación inversa de la sustracción, debe cumplirse también la igualdad del recuadro 2.

Hemos transformado la ecuación del recuadro 1 sin que se destruya la igualdad.

De acuerdo con esto, ¿cuál es la solución de la ecuación del recuadro 1?

b. Considera la ecuación del recuadro 3. Transforma esta ecuación aplicando el hecho que la multiplicación es la operación inversa de la división.

c. De acuerdo con esto, ¿cuál es la solución de la ecuación del recuadro 3?

x - 3 = 8

8 + 3 = x

10 = x : 5

1

2

3

2 A continuación veremos algunos procedimientos generales de resolución de ecuaciones que permiten encontrar la solución a una amplia gama de ecuaciones.

Para ello debemos analizar algunas propiedades de la relación de igualdad.

a. ¿Es correcta la igualdad del recuadro 4?

b. ¿Se mantiene la igualdad si sumamos 5 a los dos lados de la igualdad? ¿Y si restamos 7?

c. ¿Estás de acuerdo con la afirmación del recuadro 5? Refuerza tu respuesta con ejemplos.

d. ¿Estás de acuerdo con la afirmación del recuadro 6? Refuerza tu respuesta con ejemplos.

e. Supongamos que una balanza está en equilibrio. ¿Se mantiene el equilibrio de la balanza si agregamos la misma cantidad en ambos platillos?

f. ¿Y si quitamos la misma cantidad en ambos platillos?

4 + 7 = 16 - 5

Si en una igualdad sumamos la misma cantidad a ambos lados, la igualdad se mantiene.

Si en una igualdad restamos la misma cantidad a ambos lados, la igualdad se mantiene.

5

4

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3

4

Usaremos la propiedad de la igualdad mencionada en la actividad anterior para resolver algunas ecuaciones.

a. Escribe la ecuación que resulta si sumas 12 a cada lado de la ecuación que muestra el recuadro 7.

b. Observa que al sumar 12 a ambos lados de la ecuación quedó aislada la incógnita. ¿Cuál es la solución de esta nueva ecuación? ¿Y cuál es la solución de la ecuación del recuadro 7?

c. ¿Cómo puedes confirmar que esa es efectivamente la solución de la ecuación del recuadro 7?

d. Un amigo de Rafael dice que en la ecuación del recuadro 7 para aislar la incógnita no necesitamos sumar 12 a los dos lados de la ecuación, sino que bastaría sumar 12 en el lado derecho. ¿Qué opinas tú?

24 = x - 127

a. En la ecuación del recuadro 8, resta 42 a cada lado de la ecuación. ¿Quedó aislada la incógnita?

b. ¿Cuál es la solución de la nueva ecuación del recuadro 8? ¿Y cuál es la solución de la ecuación del recuadro 8

42 + x = 88

Hay que tener cuidado cuando la incógnita aparece restando como en el recuadro 9. En estos casos, para evitar dificultades conviene sumar x a ambos lados.

a. Suma x a ambos lados de la ecuación. ¿Qué ventajas tiene hacer esto?

b. ¿Qué podemos hacer ahora para aislar la incógnita?

c. ¿Cuál es la solución de la ecuación que encontraste? ¿Y cuál es la solución de la ecuación del recuadro 9?

56 - x = 34

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando procedimientos similares a los que acabamos de ver.

35 + x = 12 56 = x – 44 5 + 45 = x – 25

64 – x = 20 36 – x = 28 – 8 22 + x – 10 = 15

75 + x = 75 x – 12 + 20 = 16 + 8

8

5

6

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PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (II)Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1

2

3

Antes de proseguir conviene recordar algunos conocimientos relativos a la multiplicación y a la división.

a. ¿Cómo se multiplica una fracción por un número natural?

b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. Simplifica cuando sea posible.

· 3 5 · · 6 · 8 · 2

c. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. Simplifica cuando sea posible.

25

34

23

310

12

3 · 410

2 · 54

1 · 36

2 x2

8 xx

En el recuadro 1 se quiere multiplicar una fracción por un número que es igual al denominador de la fracción.

a. Efectúa la multiplicación del recuadro y simplifica el resultado tanto como sea posible. ¿Qué resultado obtienes?

b. ¿Te parece razonable que en el caso del recuadro 1 el resultado sea igual al numerador de la fracción? ¿Podrías formular una regla general para los casos en que una fracción se multiplica por un número que es igual a su denominador?

c. Escribe directamente el resultado de las siguientes operaciones.

· 5 7 · · 3 · a · b

d. En general, ¿por cuánto hay que multiplicar una fracción para que el resultado sea igual a su numerador?

35

47

x3

12a

ab

34

· 4 1

Volvamos ahora a las propiedades de la igualdad y a los correspondientes procedimientos de resolución de ecuaciones.

a. ¿Es correcta la igualdad del recuadro 2?

b. ¿Se mantiene esta igualdad si multiplicamos por 3 ambos lados de la igualdad como se ha hecho en el recuadro 2?

c. ¿Y si se dividen por 3 ambos lados de la ecuación como se ha hecho en el recuadro 4?

14 - 8 = 6

(14 – 8) · 3 = 6 · 3

(14 – 8) : 3 = 6 : 3

2

3

4


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Hay que tener cuidado cuando la incógnita aparece en el denominador como en el recuadro 9. En tales casos, para evitar dificultades conviene multiplicar por x ambos lados de la ecuación.

a. Multiplica por x ambos lados de la ecuación. ¿Qué ventajas tiene hacer esto?

b. ¿Qué podemos hacer ahora para aislar la incógnita?

c. ¿Cuál es la solución de la ecuación del recuadro 9?

72x

= 249



4a. ¿Estás de acuerdo con la afirmación del recuadro 5? Refuerza tu respuesta con ejemplos.

b. ¿Estás de acuerdo con la afirmación del recuadro 6? Refuerza tu respuesta con ejemplos.

Si en una igualdad multiplicamos ambos lados por una misma cantidad, la igualdad se mantiene.

Si en una igualdad dividimos ambos lados por una misma cantidad distinta de 0, la igualdad se mantiene.

5

6

5 Usaremos esta nueva propiedad de la igualdad de la igualdad para resolver ecuaciones.

a. En la ecuación del recuadro 7, escribe la ecuación que resulta si divides por 8 ambos lados de la ecuación.

b. Observa que al dividir por 8 ambos lados de la ecuación quedó aislada la incógnita. ¿Cuál es la solución de esta nueva ecuación? ¿Y cuál es la solución de la ecuación inicial? ¿Cómo puedes confirmar que esa es efectivamente la solución de la ecuación del recuadro 7?

C. El amigo de Rafael dice que en la ecuación 7 para aislar la incógnita bastaría dividir por 8 el lado izquierdo. ¿Qué opinas tú?

8x = 727

6 a. ¿Qué se podría hacer en la ecuación del recuadro 8 para aislar la incógnita?

b. Hazlo y encuentra el valor de x que satisface la ecuación.

c. ¿Cómo puedes confirmar que el valor encontrado es efectivamente la solución de la ecuación del recuadro 8?

Utiliza procedimientos similares a los que hemos visto para resolver las siguientes ecuaciones.

5x = 400 0,1 x = 1 75x = 1.500

900 = x · 5 = 12 90 =

= 1 0,05 = = 4

240 = 6x8

7

8

18x

x3

50x

x0,5

1x


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�RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONESResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

Considera el siguiente problema.

Un año tiene 365 días. De acuerdo con esto, ¿cuántas semanas hay en un año?

a. Designa por la letra x el número de semanas que hay en un año y escribe una ecuación que indique que el producto del número de semanas en un año por el número de días en una semana es igual al número de días en un año.

b. ¿Qué representa la incógnita y cada uno de los números que aparecen en esta ecuación?

c. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuación.

d. ¿Puedes ahora saber cuántas semanas hay en un año? ¿Hay un número exacto de semanas en un año?

e. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.


A las 9 de la mañana don Federico sale desde Antofagasta en su camioneta en dirección a La Serena. Él sabe que La Serena se encuentra a una distancia de 890 kilómetros de Antofagasta. En promedio, el vehículo avanza a razón de 90 km/h. Don Federico decide que hará una pausa para almorzar cuando se encuentre a 530 kilómetros de su meta. ¿Después de cuánto tiempo de viaje hará su pausa de almuerzo?

a. ¿Qué información entrega el enunciado del problema acerca del viaje de don Federico? ¿Qué información se desea obtener?

b. ¿A qué distancia de su objetivo se encontraba don Federico al iniciar su viaje? ¿Esta distancia aumenta o disminuye a medida que va viajando?

c. Representa mediante una letra x la cantidad que se desea conocer y escribe una ecuación que establezca que la distancia a La Serena debe ser igual a la distancia inicial menos la distancia recorrida.

c. ¿Qué representa la incógnita y cada uno de los números que aparecen en esta ecuación?

d. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuación.

e. ¿Puedes ahora saber a qué hora almorzará don Federico?

f. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

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Elena tiene que dibujar un rectángulo en que uno de los lados mida 12 centímetros y su perímetro sea 60 centímetros. ¿Cuánto deberá medir el otro lado del rectángulo?

a. El recuadro muestra una fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo. En esta fórmula, a y b son las longitudes de los lados y p es el perímetro del rectángulo. ¿Es correcta esta fórmula?

b. ¿Qué cantidades se conocen y cuáles se desconocen de acuerdo con el enunciado del problema?

c. Designa por x la cantidad desconocida y sobre la base de la fórmula escribe una ecuación que permita resolver el problema.


e. ¿Puedes ahora saber cuánto miden los dos lados del rectángulo que tiene que dibujar Elena?

f. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

p = 2 · (a + b)


En la hora de Educación Física, la profesora pide que se formen 2 grupos de modo que uno tenga 3 estudiantes más que el otro. El curso está compuesto en total por 35 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes debe tener cada grupo?

a. ¿Qué se sabe y qué se desconoce en este problema?

b. Llamemos x al número de estudiantes que tendrá el grupo más pequeño. De acuerdo con esto, escribe una expresión que represente el número de estudiantes del otro grupo sabiendo que un grupo debe tener 4 estudiantes más que el otro.

c. Ahora escribe una ecuación que establezca que la suma de ambos grupos debe ser igual al curso completo.


e. ¿Puedes saber ahora cuántos estudiantes tendrá cada grupo?

f. ¿Cómo podrías verificar que tu respuesta es correcta?

g. ¿Se podría haber resuelto este problema suponiendo que la incógnita no es el número de estudiantes del grupo más pequeño sino el número de estudiantes del grupo más grande? Explica tu respuesta.

h. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.


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