GIẢI TÍCH I - moon.vn½ thuyết - Chương 1...Nếu với mỗi tập Xx ... xm thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chặn trên(dưới) có thể không bị chặn

Giáo trình GIẢI TÍCH – Toán B GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Khóa TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 1

CHƯƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ

§1: SỐ THỰC

1) Sự cần thiết mở rộng tập hợp số hữu tỉ : Trong thực tế và nghiên cứu số hữu tỷ không đáp ứng

được,nên nhất thiết phải mở rộng tập hợp số

Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phương số đó được kết quả bằng 2

2) Định nghĩa:

1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được xem là biểu diễn một số vô tỷ

2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số thực

được xác định bởi I .

Nếu với mỗi tập X x có một số M sao cho x M thì nói tập X bị chặn trên bởi số

M.Trái lại nếu có số m để x m thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chặn trên(dưới) có thể không

bị chặn dưới(trên).Số M hay m được gọi là cận trên hay dưới của tập X.

Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dưới) có vô số cận trên(dưới).

3. Định nghĩa

Số bé nhất trong các cận trên được gọi là cận trên đúng và được gọi là

x X

M = SupX

.

Số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng được gọi là x X

m = inf X

.

3) Định lý

Số M được gọi là cận trên đúng của tập X o ox X sao cho x M .

Số m được gọi là cận dưới đúng của tập X o ox X sao cho x m .



§2: SỐ PHỨC

1.Dạng đại số của số phức.

-Định nghĩa số i: Số i được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 2i 1.

-Định nghĩa số phức: Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z a bi được gọi

là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z. Phần

thực của số phức z a bi được kí hiệu là Re(z). Phần ảo của số phức z a bi được kí hiệu là

Im(z).

-Khi cộng (trừ) hai số phức ta cộng (trừ) phần thực và phần ảo tương ứng.

-Khi nhân hai số phức ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý 2i 1.

-Muốn chia hai số phức ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

-Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi.

*Tính chất của số phức liên hợp:

Cho z và w là hai số phức, z và w là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó:

(i) z z là một số thực.

(ii) z.z là một số thực.

(iii) z z khi và chỉ khi z là một số thực.

(iv) z w z w

(v) z.w z.w

(vi) z z

(vii) n

nz z với mọi n .

2.Dạng lượng giác của số phức.



Modun của số phức z a bi là một số thực dương được định nghĩa như sau

2 2mod(z) z a b

Nếu coi số phức z a bi là một điểm có tọa độ a,b thì

2 22 2z a b a 0 b 0 là khoảng cách từ điểm a,b đến gốc tọa độ.

Góc được gọi là argument của số phức z và được kí hiệu là arg(z) .

Tìm argument số phức

2 2

2 2

a acos

r a b

b bsin

r a b

hoặc b

tana

với 0 2

Dạng lượng giác của số phức z a bi là z r cos isin

Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: modun nhân với nhau và argument cộng lại.

Chia hai số phức ở dạng lượng giác: modun chia cho nhau và argument trự ra.

3.Dạng mũ của số phức.

Định lý Euler: ie cos isin .



4.Nâng số phức lên lũy thừa.

Lũy thừa bậc n của i: Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n ri i với r là phần dư của n chia cho 4.

Ví dụ: Tính 1987z i

31987 4.496 3 z i i

Công thức De-Moivre: Cho r 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó

n nr cos isin r cosn isin n

Khai căn bậc n của số phức n nnk

2k 2kz r cos isin z r cos isin

n n

5.Định lý cơ bản của đại số.

Đa thức P z bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.

Ví dụ: Giải phương trình sau trong 9: z i 0

9 9 9z i z i z cos isin2 2

k

k2 k22 2z cos isin , k 0,1,...,8

9 9

§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Số a được gọi là giới hạn của dãy biến nx nếu bắt đầu từ một chỗ nào đó tức là đối với mọi

số thứ tự n khá lớn biến nx sai khác a nhỏ bao nhiêu cũng được.

Hoặc: số a được gọi là giới hạn của dãy nx nếu 0, N( ) N 0 sao cho

n N đều thỏa mãn nx a nnlim x a

. Khi đó ta có thể viết nx a hoặc

nlim x = a .



Khi đó ta nói dãy nx hội tụ đến a.Đặc biệt khi nx = a với mọi n thì lim nx = a.

Từ (1) có n nx a a x a và khoảng mở (a ,a ) được gọi là

lân cận của điểm a.Như vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các giá trị của nx bắt đầu từ

một giá trị nào đấy của n cần phải rơi vào lân cận đó.

Ví dụ

a. Chứng minh rằng 2n

n 1lim 0

n 2

Chứng minh: để 2 2

n 1 n 10

n 2 n 2

hay

2

1 1

n n hay

2 2n

n

Chọn 2

N 1

vậy với n N ta có

2

n 10

n 2

tức là

2n

n 1lim 0

n 2

b. Chứng minh rằng

2

2n

n 1 1lim

33n 2

Để

22

2 2

n 1 1 1 1 1 23n 2 n

3 3 33n 2 3n 2

Chọn 1 2

N 13 3

thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh.

1. Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): biến nx được gọi là đại lượng

vô cùng bé nếu lim nx = 0.

Ví dụ:

n 1

n n n

1 1 ( 1)x ;x ;x

n n n

đó là các vô cùng bé

2. Đại lương vô cùng lớn (VCL): Dãy nx được gọi là VCL nếu với các giá trị n



khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0 lớn tùy ý cho trước.

Hay nnlim x

với A 0 đủ lớn 0 0 nN 0 sao cho n N x A

Ví dụ: n

nx q khi q 1 là một VCL

Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng như 2310 cũng không phải là VCL

+ Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB)

2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY

1. Định lý: n 0 0 n nnlim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N : x p(x q)

Chứng minh: chọn a p a p thì n nnlim x a a x a

0 nkhi n N x p tương tự cho trường hợp a < q

2. Định lý 2: nnlim x a

thì a là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử nnlim x a

và a a r : a r a

Do nnlim x a

nên có 1 1 nN 0 ; n N x r

và nnlim x a

nên có 2 2 nN 0 ; n N x r

Chọn N = max 1 2 n nN , N n N x r ;x r .Điều này vô lý , nên a= a .

3. Định lý 3 :Nếu nx có giới hạn thì nx giới nội

Chứng minh: n nnlim x a a 1 x a 1

Chọn 1 2 NM max a 1,x ,x ,....x thì nx M n



4. Định lý 4:

Cho n n nx y z và n n nn n nlim x lim z a lim y a

( nguyên lý bị kẹp giữa)

Chứng minh: n 1 1 nnlim x a 0, N n N a x a

n 2 2 nnlim z a 0, N n N a z a

1 2Khi N max N , N

n n n n nn

a x y z a a y a lim y a

5. Định nghĩa: Dãy 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Được gọi là dãy tăng nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Được gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ,..

Được gọi là dãy giảm nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Được gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ..

6. Định Lý n nCho x a;y b thì ta có các kết quả sau

xlim f (x)

n nx y a b khi , cosnt

n nx y ab

n

n

x akhi b 0

y b

n nx y a b

7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu nx đơn điệu tăng(giảm) và

bị chặn trên(dưới) thì hội tụ,



8. Dãy con: Cho dãy nx và một dãy k

nx được trích ra từ dãy nx ở đây dãy kn

là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy k

nx gọi là dãy con của dãy nx .

Lưu ý:

1. 0x:0 x x

2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó

9. Định nghĩa:

Dãy n n 1

trong đó n n na ,b ; được gọi là dãy đoạn thắt nếu

n 1 n n 1,2,......

n nnlim (b a ) 0

10. Bổ đề: Nếu n n 1

là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất

thuộc mọi đoạn của dãy.

Chứng minh: Do n 1 n n 1,2,...... nên 1 2 n na a ..... a .... b nên na là dãy đơn

điệu tăng và bị chặn trên,nên

n n nnlim a a b n

. Giả sử có cũng thuộc mọi đoạn n ,

thế thì n n0 b a nhưng n nnlim (b a ) 0

. Nên .

11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra được một dãy con

hội tụ.

Chứng minh :Giả sử nx có na x b n .Chia a,b thành hai phần bằng nhau ,khi đó ít nhất

có một đoạn chứa vô số các phần tử của nx gọi đoạn đó là 1 .lại chia 1 thành hai hai phần

bằng nhau và lại có một phần chứa vô số các phần tử của nx gọi là 2 .Cứ tiếp tục như vậy ta



thu được dãy đoạn thắt n n 1

trong đó n n n

b ab a 0 khi n

2

.Nên có số thuộc

mọi đoạn n .Trong mỗi đoạn

n rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là k k

n nx và k

n n na x b nhưng

n nn nlim a lim b

k

nnlim x

12. Định lý (Côsi):

Điều kiện cần và đủ để dãy nx hội tụ là n m0, N sao cho n,m N : a a

Chứng minh : n n mn

( )Do lim x a 0 N : x a n N; m N: x a2 2

n m n m n mx x x a x a x x

( ) Từ n mx x cố định một m thì hiển nhiên nx bị chặn nên tồn tại dãy

con k

nx Thỏa mãn k

nnlim x

và do k kn n n n n

nx x x x lim x

13. SỐ e:Cho dãy số

n

n

1x 1

n

tìm giới hạn của dãy số đó.

Chứng minh : Ta có

n

n 2 n

1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)..(n n 1) 1x 1 1 n. . ... .

n n 1.2 1.2.3..nn n

1 1 1 1 2 1 1 2 n 11 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 3! n n n! n n n

mặt khác



n 1

1 1 1 1 2 nx 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1

Hiển nhiên n n 1x x và n 2 n

1 1 1 1x 2 ... .. 2 3

12 2 2 12

Tức là dãy nx đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó nnlim x

và người ta chứng minh được giới

hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ.

§4: BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ

Bài 1: Tính giới hạn dãy số với n :

a)

2

2

4 1lim

3 2

n n

n

b)

2

2

3 2 5lim

7 8

n n

n n

c)

3 2

5

2 3 1lim

1 4

n n

n

d)

3

3

3 2 5lim

1 2

n n

n

Giải

a)

2

2 2

22

2

1 14

4 1lim lim 2

33 22

nn n n n

nn

n



b)

2

22 2

22

22

3 2 5 2 53

3 2 5 3lim lim lim

1 87 87 8 77

n nn n n n n

n nn n

n nn

c)

3 2

53 2

55

5

2 13 1

2 3 1 27lim lim

21 4 44

nn n n n

nn

n

d)

3

3 2 3 2 3

33

33

2 5 2 53 33 2 5 3

lim lim lim111 2 2

22

nn n n n n n

nn

nn


a)

2

2

3 1lim

1 2

n n

n

b)

2

2

4 1lim

1 2

n n

n

c)

29 1lim

4 2

n n

n

Giải

a)

2

2

2 2

2

1 1 11 333 1

lim lim lim 011 2 1 2

2

nn n n n nn n n

n n

n



b)

2 2 2

2 2

1 14 4 1

4 1 1lim lim lim

11 2 1 2 22

n nn n n n

n n

n

c)

2 2 2

1 1 1 19 lim 9

9 1 3lim lim

2 24 2 44 lim 4

n n n n n n

n

n n


nn

n

2 3lim

4

Giải

n n nn

n

2 3 2 3lim lim 0

4 4


a)

n n

n 1 n 1

5.2 3lim

2 3

b) 3 5.4

lim4 2

n n

n n

Giải

a)

n

n

n n n n

n 1 n 1 n n n

n

23 5 1

35.2 3 5.2 3 1lim lim lim

2 3 2.2 3.3 323 2 3

3



b)

33 lim 5543 5.4 54

lim lim 54 2 11 1

1 lim 12 2

nn

n n

nn n n


a) 2

ncosnlim 3

n

b)

2

3

n cos5nlim 5

n

Giải

a) 2

ncosn cosnlim 3 lim 3 3

n n

vì cosncosn 1

n n n mà

1 cosnlim 0 lim 0

n n

b)

2

3

n cos5n cos5nlim 5 lim 5 5

n n

vì cos5ncos5n 1

n n n mà

1 cos5nlim 0 lim 0

n n


a) 2 2lim n n n 1

b) 2 2lim n n 1 n 2

c) 3 3lim n 2 n

Giải



a) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n n 1 n n n 1lim n n n 1 lim

n n n 1

2 2

2

1n 1

n 1 1nlim lim

21 1n n n 1n 1 1

n n

b) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n 1 n 2 n 1 n 2lim n n 1 n 2 lim

n 1 n 2

2 2

2 2 2 2

2 2

n n 1 n 2 3n 3n 3lim lim lim

21 2n 1 n 2 n 1 n 2n 1 1

n n

c)

2 3 23 3 3 33

3 3

2 3 23 33

3 33 3

2 3 23 33

2 3 23 33

2 3 23 33

n 2 n n 2 n 2 n n

lim n 2 n limn 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

2lim 0

n 2 n 2 n n

Bài 7: Chứng minh các giới hạn tiến đến 0:



a) nu n 1 n

b)

n

n n 1 n 1

1 1u

2 3

Giải

a) n 1 n n 1 n n 1 n

n 1 nn 1 n n 1 n

1

21 1 1 1

2 nn n 2 n

mà

1

21lim 0 lim n 1 n 0.

n

b)

n

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2

mà

nn

n 1 n 1

11 1lim 0 lim 0.

2 2 3


a) 3lim 2n 3n 1 .

b) 2lim n n 1

Giải

a) 3 3

2 3

3 1lim 2n 3n 1 lim n 2

n n

b) 2 2

2

1 1lim n n 1 limn 1

n n

Bài 9: Tìm giới hạn của các dãy số với n :

a) 3 2lim n 2n n 1



2b) lim n 5n 2

2c) lim n n n

2d) lim n n n

Bài giải

3 2 3

2 3

2 1 1a) lim n 2n n 1 lim n . 1

n n n

Vì 3

2 3

2 1 1limn , lim 1 1 0

n n n

2 2

2

5 2b) lim n 5n 2 lim n . 1

n n

Vì 2

2

5 2lim( n ) , lim 1 1 0

n n

2 2 1c) lim n n n lim n 1 n

n

1 1lim n. 1 n lim n. 1 1 0

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 0n

2 2 1d) lim n n n lim n 1 n

n



1 1lim n. 1 n lim n. 1 1

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 2 0n

Documents

GIẢI TÍCH I - moon.vn½ thuyết - Chương 1...Nếu với mỗi tập Xx ... xm thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chặn trên(dưới) có thể không bị chặn