\^sM

SLOBODAN ORI

GEOSTATIKI PRORAUNITREE IZDANJE

BEOGRAD, 2008.

Prof. dr Slobodan Cori, dipl. gra. in.Univerzitet u Beogiadu - Rudarsko-geoloki fakultet

GEOSTATIK3 PRORAUNI(Tree izdanje)

Recenzenti:Prof. dr Duanka Boinovi

Dr Petar Mitrovi

Prihvaeno kao udbenik odlukom Nastavno-naunog vea

Rudarsko-geolokog fakulteta Univerziteta u Beogradu

Izdavai:Univerzitet u Beogradu - Rudarsko-geoloki fakultet

asopis ,,Izgradnja, Saveza graevinskih inenjera i tehniara Srbije i Saveza arhitekata Srbije

Za izdavae:Dekan prof. dr Boo Kolonja

V.d. glavnog i odgovomog urednika Branko Bojovi,dipl.in.arh.

Konsultant pri redakciji teksta:Ljubinka Milenkovi

Tehnika priprema:Ruarsko-geoloki fakultet, Beograd

Kvartet V, Beograd

Tira:300 primeraka

tampa:Hektor print Novi Beograd

CIP - KaTajionmmija y ny6jiHKau[HjH H apoRH a GnjiHOTeKa Cpnje, Beorpa^

624.131.5.042(075.8)

'fiOPH'R, CnooflaH Geostatiki prorauni / Slobodan ori.

3. izd. - Beograd: Rudarsko-geoloki fakultet Univerziteta: asopis Izgradnja, 2008 (Novi Beograd: Hektor print).

XV, 460 str.: graf. prikazi; 24 cm

Tira 300 -Bibliografija: str. 447-460.ISBN 978-86-82307-16-7

a) reocraTHica - IIpopaHyHM COBISS. SR - ID 150102796

Zabranjeno pretampavanj e-fotokopiranj e, sva prava zadrava izdava

PREDGOVOR III

PREDGOVOR PRVOM IZDANJU

Osnivanje Smera za geotehniku na Ruarsko-geolokom fakultetu Univerziteta u Beogradu 1971. goine zahtevalo je reviziju gotovo svih predmeta do tada jedinstvenog Geolokog odseka. Tom prilikom je odlueno da se Geostatiki prorauni izdvoje u poseban predmet. Na taj nain bi budui inenjeri geologije ovog smera na jednom mestu nali objedinjene i sistematizovane sve proraune koji se odnose na probleme naruavanja prirodnih napona u tlu tj. terenu, najire posmatrano. U okviru ovog predmeta, dakle, teorijski principi mehanike tla i mehanike vrstih stenskih masa nali bi primenu kroz reavanje brojnih praktinih problema.

Zbog toga je ovaj predmet, po svom sadraju, bio i ostao umnogome specifian. I zato italacne treba da se iznenadi ako pojedinapoglavlja ove knjige nae i u literaturi iz Mehanike tla, Mehanike stena, Zemljanih radova, Fundiranja, Nasutih brana ili Tunela. Sve su to delovi jedne relativno nove naune discipline - Geotehnike, koja se ve tri decenije razvija na odgovarajuem smeru na Rudarsko-geolokom fakultetu.

Knjiga Geostatiki prorauni sadri sledea poglavlja: Naponiutlu, Boni pritisci tla, Analiza stabilnosti padina i kosina, Plitki temelji, Duboki temelji - ipovi, Ubrzana konsolidacija, Ankeri, Tuneli, Polpomi zidovi, Dijafragme. Uz svako poglavlje detaljno su uraeni numeriki primeri, u cilju boljeg razumevanja gradiva i praktinog ovladavanja teorijskim postavkama iz pojedinih oblasti.

Tekst knjige je prilagoen nastavnom programu predmeta Geostatiki prorauni. Meutim, u knjigu je ukljuen i deo materije koja se slua u okviru

premeta Fiiniranje, l'o se, pre svega, odnosi na plitke i duboke tsinelje i dijafragme

Sva poglavlja u ovoj knjizi su meusobno povezana i, maa se predaju u okvim dva predmeta, smatram da mogu da se nau u jednoj knjizi Naime, tako objedinjena pomoi e korisniku da analizira i definie geotehnike uslove izgradnje objekata, odnosno da izvri izbor optimalnog reenja za probleme koji se javljaju u svakodnevnoj praksi. U svakom sluaju, istakao bih da je ovako koncipiranih knjiga malo. Na naem jeziku do sada ih nije ni bilo. Stoga bi ova knjiga mogla da popuni prazninu koja se ve due vreme osea u ovoj oblasti geotehnikog inenjerstva.

italac treba da ima u vidu da ova knjiga sadri i vie od materije predviene programom osnovnih studija. Pri tome se, pre svega, misli na prikaz itavog niza metoda kojima se odreuje stabilnost padina i kosina, kao i granino optereenje plitkih i dubokih temelja. Brojne metode koje su u ovim poglavljima prikazane nisu imale za cilj da zbune itaoca. Naprotiv, eleo sam da kroz njihovo prikazivanje ukaem na ono to je njima zajedniko. Toga je, po pravilu, mnogo vie od onog po emu se razlikuju. Nadam se da e paljivi italac to uoiti i tako lake otkriti njihovu sutinu, odnosno principe na kojima one poivaju. A to je uvek najvanije pa tome, prilikom itanja, treba posvetiti punu panju. Ovo je utoliko potrebnije, budui da postoje brojni softveri koji koriste razliite metode prorauna. Njihova primena moe da dovede u nedoumicu, pa ak i u zabludu, nedovoljno teorijski obrazovanog korisnika, tako da se i pored dobrih softvera mogu dobiti pogreni rezultati.

U vezi sa napred iznetim, u toku pisanja knjige trudio sam se da ukaem na spone koje postoje izmeu pojedinih poglavlja. U svakoj prilici sam nastojao da naglasim opte principe koji se provlae kao zajedniki i na kojima poivaju Geostatiki prorauni. To je ono to je bitno, i to sam eleo da istaknem u ovoj knjizi. A koliko sam u tome uspeo, italac e sam da prosudi.

to se tie posebnih i specifinih detalja, svako moe da ih lako nae u literaturi koja je navedena na kraju knjige.

PREDGOVOR

Za uspeno korienje ove knjige smatra se da je itaiac savladao gradivo iz sledeih predmeta: Nauke o vrstoi, Principa inenjerske geologije, Mehanike tla i Mehanike vrstih stenskih masa. Ovo za studente ne bi trebalo da predstavlja problem, jer navedeni predmeti prethode kako Geostatikim proraunima tako i Fundiranju.

Ova knjiga je namenjena prvenstveno studentima Smera za geotehniku Rudarsko-geolokog fakulteta i nadam se da e im pomoi u lakem savlaivanju gradiva. Meutim, u isto vreme, ona e moi korisno da poslui i inenjerima u praksi koji oseaju potrebu da osvee, pa ak i dopune, svoje znanje iz ove oblasti geotehnikog inenjerstva.

Posebnu zahvalnost dugujem recenzentima knjige Prof. Jovanu utiu i Prof. dr Duanki Boinovi. Veliko razumevanje i svesrdna podrka koju su mi pruili, u toku pripreme knjige, mnogo su doprineli njenom objavljivanju.

Takoe zahvaljujem asistentima mr Gordani Hadi-Nikovi i mr Dragoslavu Rakiu na savesnoj obradi teksta. Meutim, njihov udeo je i vei od togajer smo zajedno razmatrali pristupanost, odnosno jasnou pojedinih delova teksta. Mr Gordana Hadi-Nikovi je posebno pomogla i u izmdi numerikih primera koji prate svako poglavlje knjige.

Knjiga Geostatiki prorauni ne bi mogla biti pripremljena bez razumevanja i podrke mojih najbliih - Jelice i Srana.

Ovo je, takoe, prilika da se zahvalim donatorima koji su svojim znaajnim prilozima omoguili da se knjiga tampa i objavi.

Na kraju elim da naglasim da u sa zahvalnou prihvatiti primedbe i sugestije italaca, posebno studenata, koje bi dovele do poboljanja teksta knjige.

Beograd, 2001. Slobodan ori

PREDGOVOR

PREDGOVOR DRUGOM BOPUNJENOM IZDANJU

Prvo izdanje knjige Geostatiki prorauni rasprodato je relativno brzo. Ova injenica, kao i interesovanje sa kojim je knjiga doekana u naoj strunoj javnosti, oveli su do tampanja drugog dopunjenog izdanja. U njemu su, pre svega, ispravljene greke koje su uoene u prvom izdanju, a u Aneksu su date i odreene dopune postojeeg teksta. Osim toga, tekst knjige je dopunjen i novim, jedanaestim poglavljem. U njemu su prikazani Geosintetici, koji se sve vie koriste u geotehnikom inenjerstvu u svetu, a odnedavno i kod nas.

Ovo je, u isto vreme, prilika da se zahvalim donatorima koji su svojim znaajnim prilozima omoguili da se knjiga tampa i objavi.

Beograd, 2006. Slobodan ori

PREDGOVOR TREEM IZDANJU

Drugo dopunjeno izdanje knjige Geostatiki prorauni rasprodato je za ve godine. To je dovelo do potrebe za tampanjem treeg izdanja.

Beograd, 2008. Slobodan ori

SADRAJ

S A D R A J

1 NAPONI U TLU .......................................................................................1

1.1 Princip efektivnih n ap o n a ............................................................... 11.2 Naponl od sopstvene teine tia .......... .................. ..... ................ 213 Naponi od dopunskog optereenja.......................... ............3

1.3.1 Uprooeni postupak---- . . . .................... ............... 31.3.2 Ptimena teorije elastinosti...................... .............. ........... . . . 5

1.3.2.1 Vertikalna koncentrisana sila.............. ......... ....... ..............61.3.2.2 Linijsko jednakopodeljeno optereenje . . . . . . . . . ___. . . . 8

1.3.2.3 Jednakopodeljeno trakasto optereenje .............................. .. 91.3.2.4 Jednakopodeljeno optereenje na krunoj povrini______11

1.3.2.5 Jednakopodeljeno optereenje na pravougaonoj povrini .. 121.32.5.1 Postupak Janbua, Bjeruma i anslija . . . . . . . . . 12

1.3.2 5.2 Postupak tajnbrenera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2.5 3 PostupakKanija . . . . . . . . . . . . . . . . _________ .16

1.3.2.6 Jednakopodeljeno optereenje na povriniproizvoljnogoblika . . . ....................................................18

1.3.2.7 Supeipozicija napona.................................. .....................201.3.2.8 Izobare .................... ............................... ............. ........... 211.3.2.9 Naponi u vieslojnoj sredini ............................................. 231.3.2.10 M orovkrug.......................................................................24

1.4 Kulon - Morov uslov lo m a .............................................................271.5 Zadaci .......... ......................................................... ................... . . 30

2 BONI PRITISCI TLA

2.1 prltlssk ii polubeskonaiiom tln 382.1.1 Pritisak tla u stanju mirovanja 382.1.2 Aktivni ipasivnipritisak tla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Boni pritisci tla na potporne riove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Pritisak tla u stanju mirovanja.............. 472.2.2 Aktivni ipasivnipritisak ila ............................................ . 48

2.2.2.1 Rankinova metoda ............................................................. 482.2.2.1.1 Aktivni pritisak nekoherentnog tla ....................... . 492.2.2.12 Aktivni pritisak koherentnog tla .............. .............. 512.2.2.1.3 Pasivni pritisak nekoherentnog t l a ..........................522.2.2.1.4 Pasivnipritisak koherentnog t la ............................. 54

2.2.2.1.5 Aktivni ipasivnipritisak nekoherentnog tla- kosa povrina terena............................................. 54

2.2.22 Kulonova metoda........................................... ............. . 572.2.2.2.1 Aktivnipritisak nekoherentnog tla .......... ............... 582.2.2.2 2 Aktivni pritisak koherentnog t l a .......... ........... ....... 612.2.2.2.3 Pasivni pritisak nekoherentnog tla . . . . . . . ---- 63

2.2.2.3 Reban - Ponseleova metoa.................... ...........................662.2.2.3.1 Aktivnipritisak nekoherentnog tla . . . . . . . . . . . . . . 662.2.2.3.2 Pasivni pritisak nekoherentnog t la __ . . . . . . . . . . . 68

2.2.2.4 Opravanost hipoteze o ravnoj kliznoj povrini______ __ 692.2.2.5 Primena teorije elastinosti kod odredjivanja

bonih pritisaka t la. . . . . . . . . . ---- -----------------------702.2.2.5.1 Linijsko optereenje . . . . . . ------- . . . . . . . . . . . . . . 70

2.22.5.2 Trakasto optereenje ........................ ................. . 712.2.2.6 Superpozicija bonih pritisaka tla ................ ................. .. 72

2.3 Boni pritisak tla na podgradu iskopa ............ . . . . . . . . . . . . . 722.4 Zadaci ........ ................................................................ ............ . . . 75

3 ANALIZA STABILNOSTI PADINAIKOSINA . . . . . ................. 84

3.1 Metode granine ravnotee...........................................................843.1.1 Osnovne pretpostavke............................................................ 84

SAPRAJ _____ _ IX

3,1/2 Faktor sigurnosti . .................................................. ............... 863.13 Analiza sa ukupnim i efektivnim naponima . . . . ......... 883.1.4 Rezukantne metode i metode lamela .............. .......... . 91

3.1.4.1 Rezultantne metoe ............................................................913.1.4.2 Metode lam ela..................................................................91

3.1.5 Mehanizam klizanja ............................... ...............................943.1.5.1 Ravna klizna povrina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.5.1.1 Beskonana kosina ...................................... .......... 943.1.5.1.2 Kulmanova metoda ........................................ .. 99

3.1.5.2 Kruna klizna povrina.................................................. 1023.1.5.2.1 vedska metoda..................................................... 1023.1.5.2.2 Biopova uproena m etoda..................................1063.1.5.2.3 Spenserova metoda................................................1143.1.5.2.4 Odredjivanje kritine klizne povrine ....................117

3.1.5.3 Sloena klizna povrina................................................ 1193.1.5.3.1 Metoda Loa i Kerefiata..........................................1193.1.5.3.2 Metodaklina . .......................... ...........................1213.15.3.3 Janbuova uproena metoda ................................. 1243.1.5.3.4 Janbuova opta metoda ..........................................1273.1.5.3.5 Metoda Morgenstem - Prajsa ................................ 130

3.1.6 Specifinosti analize stabilnosti u krutim ispucalimstenskim masama .......... .......................................... . 132

3.1.7 Komentar .............................. ................................... . 1353.1.7.1 Povratnaanaliza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1.7.2 Progresivni lom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ---- 1363.1.7.3 Seizmika analiza stabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ---- 1383.1.7.4 Trodimenzionalna analiza stabilnosti ...... .......................139

3.1.8 Ocena metoda granine ravnotee........ ...............................1403.2 Stabillzacione m ere ...... ..................... ...... ..............................142

3.2.1 Promena geometrije kosine .......... ........... ............................. 1433.2.2 Drenane m ere.......................................... ........................... 1453.23 Potpome konstrukcije................... .......................................1463.2.4 Armiranje tla ......... ................. ........................... .................1473.2.5 Zakljuak...............................................................................147

33 Zaaci ................................................... ......... ............................. 148

4.1 Granino optereenje pllfklSs temelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.1 Mehanizam iomm ........................................................... . 1654.1.2 Drenirani i neremimni mlovi optereenja . . . . . . . . . . . . . 1674.1.3 Statike metode . . ........................... ............................... .. 167

4.1.3.1 Metoda Tercagija ............... ....................................... ..1684.1.3.2 Metoda Brin-Hansena .......................... .....................1734.1.3.3 Metoda M ajerhofa....................................................... 1784.1.3.4 Metoda Skemptona ..................................................... 1814.1.3.5 Ekscentrino optereenje............................................. 1824.1.3.6 Vieslojno t lo ...............................................................1844.1.3.7 Dozvoljeno optereenje............................................... 185

4.1.3.8 Postupak iz Pravilnika o tehnikim normativimaza temeljenje gradjevinskih objekata............ ..............187

4.1.4 Metode statice i standardnepenetracije.......... . ........1894.1.5 Metodaprobneploe......................................... ............1914.1.6 StabUnost dna razuprtih iskopa .......... . . .......... .............192

4.1.7 Metode za odredjivanje graninog i dozvoljenog optereenja u vrstim stenskim masama . . . . . . . . . ___ 193

4.2 Sleganje plftkih temelja . . . . . . . ---- . . . . . . . . . . . . . . . 1954.2.1 Uvod ................................ ................. . 1954.2.2 Raspodela napona ispotemelja................ ....... . ... 1974.2.3 Sleganje temeljafundiranih n a g lin i............ ......... ....... .. 199

4.2.3.1 Inicijalno sleganje---- -. . . . ----- . . . . . . . . . . . . ----- 1994.2.3.1.1 Primena teorije elastinosti na homogeno tlo . . . 2004.2.3.1.2 Metoda Janbua, Bjeruma i anslija . . . . . . . . . . . 2024.2.3.1.3 Primena teorije elastinosti na vieslojno tlo . . . 204

4.2.3.2 Konsolidaciono sleganje-------------------- - 2054.2.3.2.1 Fenomen konsolidacije.................. ................... 2064.2.3.2.2 Konvencionalna metoda.................... .................2084.2.3.2.3 Metoda Skemptona i Bjeruma ........................... 2104.2.3.2.4 Uticaj krutosti temelja .............. .........................2114.2.3.2.5 Uticaj dubinefundiranja .............. .....................2124.2.3.2.6 Merodavna debljina stiljivog s lo ja .................. 2124.2.3.2.7 Brzina konsolidacionogsleganja....................... 213

PLITKITEMELJI 163

SADRAJ XI

4.2.33 Ukupno sleganje ......................................................... 2174.2.3,3.1 Superpozicija inicijalnog i konsolidacionog

sleganja ................................................ . . . . . . . 2 1 74.23.3.2 Primena teorije elastinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.2.33.3 Metoda putanje napona ........................ 218

4.2.4 Sleganje temelja fundiranih napesku ...................... . 2204.2.4.1 Primena teorije elastinosti ............................ ........... 221

4.2.4.2 Metoda mertmana ............................................... 2234.2.4.3 Metoda probne p loe..................................................226

4.2.5 Sekundarno sleganje........................................................... 2284.2.6 Sleganje vrstih stenskih m asa .................. .........................2294.2.7 Dozvoljena sleganja............................................................. 229

4.3 Zadaci ............................................................................................231

DUBOKITEMELJI - IPOVI................................................ 251

5.1 Uvod .............. ............................................................................ .2515.2 Opte o ipovima ................................... ................. ........ 2525.3 Gradjenje ipova......................... ....................................... .. 2535.4 Granino optereenje ipova .............. .................................. . 254

5.4.1 U vod ................ ............................... ...................................2545.4.2 Lebde ipovi .................................................................... 257

5.4.2.1 Statike m etode.................... ................................... 2575.4.2.11 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................2575.4.2.12 Metoda Brin-Hansena ..................................2595.4.2.1.3 Metoda Majerhofa . . . . ........ .............................2605.4.2.1.4 Metoda Vesia ............ ...................................... 2625.4.2.1.5 Negativno boho trenje ........ ............................2655.4.2.1.6 Vieslojno tlo .....................................................2665.4.2.1.7 Dozvoljeno optereenje ipova . ..........................267

5.4.2.1.8 Postupak iz Pravilnika o tehnikim normativimaza temeljenje gradjevinskih objekaia ..................268

5.4.2.1.9 Komentar........................................................... 2705.4.2.2 Dinamike metode................ .................................... 272

5.4.2.2.1 U vod ..................................................... ............. 272

5.4.2.2.2 Hoiandska formula . . . . . . . .5.4.2.2.3 Formula "Engineering News!>5.4.2.2.4 Formula Janbua .............. ............................... 27

5.4.2.3 Metode statike i standardne penetracije5.4.2.4 Metoda probnog optereenja ............................ .

5.4.3 Stoje ipovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.4 Dejstvo grupe ipova ............. .

5.5 Aksijaino zategnuti ipovi ....................................................5.6 Horizontalno optereeni Sipovi....................................... .5.7 Sleganje ipova.........................................................................

5.7.1 Lebde ipovi ................................................................5.7.2 Stoje ipovi . . ..............................................................5.7.3 Komentar.........................................................................

5.8 Z adaci......................................................................................

.................................. SADRAJ

UBRZANA KONSOLIDACIJA

6.1 Vertikalni peani drenovi .6.2 Prekompresija tla ...............6.3 Z aaci.................................

ANKERI .................................

7.1 Ankeri sa gredama........7.1.1 Plitke ankerne grede .7.1.2 Duboke ankemegrede

7.2 Prenapregnuti ankeri ..73 Zadaci ................................

TUNELI ............................................................

8.1 Sekundarno naponsko stanje oko krunog tunelskog otvora.........................................

ri ? r-i ry i y

8*2 Podzeirnal p r l t i s c l ........................................8,2,1 Meioda Protoakonova 8*2.2 Tercagijeva Masifikacija stenskih masa . . .

8 3 Slegaoje povrSine terens nsled graenja tunela 8,4 Zadacl .................................. .

XIII

339

356

9 POTPORNI ZIDOVI ................................................................... 365

9.1 Stabilnost zida u pogledu klizanja du osnove z id a ................. 3689.2 Stabilnost zida u pogledu preturanja oko noice z id a .......... 3699.3 Stabilnost zida u pogledu nosivosti tla ispod zida..................... 3719.4 Stabilnost zida u pogledu sleganja tla ispod z id a ..................... 3729.5 Stabilnost zida u pogledu klizanja itave mase tla

oko z id a ............... ............................... .......................................... 3739.6 Z adaci............... ............................... ............................................374

10 IJAFRAGME........ .......... ................... . . ........ . . . . . . . . 379

10.1 Analiza stabilnosti dijafragme . . . . . . . . . .............. .....38010.2 Konzolne dijafragm e................... 38110.3 Dijafragme sa ankerima ........................................ . . . . . . . . . 383

10.3.1 Slobodno oslonjene dijafragme---------- - --------- . 38310.3.2 Ukljetene dijafragme . . . . . . . . . . . . . . ---- ---. . . . . . . 385

10.4 Zadaci............................................................................. 388

11 GEOSINTETICI .............................. ......................... . . ........393

11.1 Uvod ............................................ ............................................. 39311.2 Stabilnost potpornih zidova ojaanih geosinteticima ............ 394

11.2.1 Spoljanja stabilnost................................ ........39511.2.1.1 Stabilnost zida u pogledu klizanja du osnove zida . 39611.2.1.2 Stabilnost zida u pogledu preturanj a oko noice zida 3 97

11,2,13 Stabilnost zia u pogledu nosivosti tla ispod zida . a 39711.2,2 Unutranja stabilnost .. . ................................... 399

11.2.2.1 Stabilnost u pogledu loma arraature zatezanjem . . . . 40111.2.2.2 Stabilnost u pogledu izvlaenja armature

iz stabilne mase t l a ................................................40311.3 Stabilnost koslna nasipa ojaanih geosinteticlma . . . . . . . . . . . 404

11.3.1 Kruna klizna povrina .............................. 40511.3.2 Klizanje osnove nasipa................................................ 409

11.4 Granino optereenje slabonosivih tlaoptereenih geosintetiki ojaanini nasipim a......................... 410

11.5 Zakljuak......................................... ......................................... 41611.6 Zadaci........................................... ............................................417

A N E K S ........................- .................................... ................................... 421

1 Analiza stabilnosti padina i kosina metodom FridlandaiKrena .......... .................................. ......................................421

H Teorija neutralne linije i njena primena kod stabilizacijeklizita___................... ................ ....................................425

m Granino i dozvoljeno optereenje plitkih temeljaprema EVROKODU 7 . . . . . . . .......... ...............................428

IIL l Drenirani uslovi ------------- -------------------- . . . . . . . . 429111.2 Nedrenirani uslovi........................ . . . -------. . . . . . . 432IIL3 Procena nosivosti stena ................................................435

IV Konsolidaciono sleganje plitkih temeljafundiranih na prekonsolidovanoj glini ..................................437

V Korekcija brzine sleganja plitkih temeljazbog postepenog nanoenja optereenja .............................. 439

VI Sleganje plitkih temelja fundiranih na pesku primenom modifikovane metode mertmana 442

SARAJ

VEE Rotacija plltkih temeljg

LITERATURA

1 NAPONI U TLU

Odreivanje napona u tlu predstavlja jedan od vanih zadataka u geostatikim proraunima. Pri tom se najee pretpostavlja a je tlo homogeno, izotropno i lineamo-elastino. Iako ove pretpostavke samo grubo odraavaju pravo stanje u terenu, ipak se vrednosti napona izraunate na ovaj nain dosta dobro poklapaju saeksperimentalno dobijenim vrednostimanapona. Stoga se one moguuspeno da koriste u geotehnikoj praksi.

Prilikom primene lineame teorije elastinosti zaodreivanje napona i deformacija u terenu moramo voditi rauna o tome da se ona moe uspeno koristiti samo pri malim deformacijama, odnosno pri optereenju koje ima visok faktor sigumosti (npr. 2.5-3.0) u odnosu na lom tla. Osim toga, elastine konstante tla treba dase odrede eksperimentalno i to u uslovima koji simuliraju opseg napona i tip deformacije koji se javlja u terenu.

Odreivanje napona u terenu je prostomi problem, ali se brojni praktini problemi mogu da sveduna sluaj ravne deformacije na primer: boni pritisci tla, stabilnost padina i kosina, podzemni pritisci i dr.

Kod odreivanja napona u terenu posebnu vanost imaju vertikalni normalni naponi, pa emo njima posvetiti posebnu panju.

1.1 Princip efektivnih napona

Tlo se karakterie dvofaznom, odnosno trofaznom strukturom. Zato je kod odreivanja normalnih napona potrebno koristiti princip efektivnih napona

2 GEOSTATIKI PRORAUNf

(Terzaghi, 1923) po kome su efektivni normalni napoiii u nekoj tacki, jenaki razlici ukupnih normalnih napona i poraih pritisaka tj.

CF,

Ukupninaponi

u

Pornipritisak

Efektivninaponi

Sl. 1.1 Naponi u terenu od sopstvene teine tla

Veliina koeficijenta K0 kreese kod nonnalno konsplidovanih tla od 0,4 - 0,7, a kod prekonsolidovanih tla ova vrednost moe da bude i vea od 1,0 i da ak iznosi 2,5 - 3,0.

13 Naponi od dopunskog optereenja

Naponi od dopunskog optereenja mogu da se odrede uproenim postupkom ili primenom teorije elastinosti.

1.3.1 Uproenipostupak

Ukoliko je potrebno da se od nekog spoljnog optereenja samo priblino odredi raspodela vertikalnih napona u terenu, onda moe da se primeni tzv. uproeni postupak. Po njemu se naponi kroz tlo rasprostiru pod konstantnim

uglom a (SL 1.2). Stoga o jednakopodeljenog vertikainog optereenja q koje deluje napravougaonoj povriniB x L vertikaini normaini naponi oz n a ubini zispod povrine terena imaju konstantnu vrednost

z {B + 2-z- tga}(L + 2 'Z- tga)

Naponi az deluju na povrini (B+ 2 z tga) (L + 2 z tga).

Vrlo esto se usvaja da je ugao pod kojim se rasprostire optereenje cc=27, pa je nagib linij a raspro stiranj a optereenj a ctga -2:1. Odatle i potie altemativni naziv ove metode - "metoda 2:1". U tom sluaju jednaina (1.7) dobija

Sl. 1.2 Uproenipostupak raspodele napona crz

sledei oblik*B-L

NAPONI U TLU

Uproeni postupak moe da se primeni i kada optereenje q deiiye na povrme oblika trake, kruga i dr.

Naveenim postupkom se3 na odredjenoj dubini zs u svim takama optereene povrine dobijaju iste vrednosti napona oz. Medjutim, eksperimenti pokazuju da to nije tano, ve raspodela napona oz ima krivolinijski oblik (Sl.1.3), Stoga, ako je potrebno da se tanije odredi raspodela vertikalnih napona u terenu, onda se umesto uproenog postupka koriste postupci koji se baziraju na teoriji eiastinosti.

B

TANO REENJE

, S - r T

\

UPROCENO REENJE

M - - 4 - i - n ' T ' l T ' l

B+zM-

Sl. 1.3 Uproena i tana raspodela napona cr2

1,3.2 Primena teorije elastinosti

Piteenom teorije elastinosti odrediemo napone u terenu kako od koticentrisane sile tako i od jednakopodeljenog optereenja koje deluje na pcvrSine razliitog oblika.

6 GEOSTATIKI PRORAUNI

13.2.! Vertikaina koncetrisana siia

Francuski naunik Bosinesk ( Boussinesq, 1885) odredioje napone od vertikalne koncentrisane sile Q koja deluje na homogen, iztropan, lineamo-eiastian poluprostor (Sl 1.4).

r\

\

Mo .

R = ^Jr2 + z2

SlL4Naponiodvertikalnekoncentrisanesile

Normalni cr i smiui t naponi u taki M imaju sledee vrednosti

a z -

ar =2nr

2;cRJ

3zr2 / - 2 v /?(/? + z)

r/.p;

gde je: v - Poasonov (Poisson) koeficijent.

U geotehnikoj praksi od posebnog interesa su vertikalni naponi az . Njihova promena u fimkciji r i z prikazana je ematski na 57.7.5.

SL 1.5 Promena vertikalnih napona at od vertikalne koncentrisane sile

Jednaina (1.9) esto se pie u ovom obliku

i j EO S i /\ i iCLiCi I''Rvir^A.L/ u -N i

&. /

s, -e j - v .

/z - uticajni faktor ije su vrednosti date grafiki na Sl. 1.6,

57. /. Uticajni faktor Iz za odreivanje napona az od vertikalnekoncentrisane sile

Na osnovu Busineskovog reenja, brojni istraivai su odredjivali napone u terenu od vertikalnog, jednakopodeljenog, linijskog i povrinskog optereeenja koje deluje napovrini terena. Ovo e biti prikazano u daljem tekstu.

13.2.2 Linijsko jednakopodeljeno optereenje

Kada tlfl ^ ujluuviuvuuuuiu p iuuvui uvjiujv u u ijo n u jv u u u a v j/u u v ijv u u u |/iv iv v v u jv \ s J(Sl. 1. 7), tada se normalni

M

Sl. 1 7 Naponi od linijskog optereenja

2

2Ql x 2 -z

* ( ^ + ^ ) j(1.15)

2Ql f z 1'X X

n (x2+z2)2(1.16)

1.3.2.3 Jednakopodeljeno trakasto optereenje

Kada jednakopodeljeno trakasto optereenje q deluje na irini B (Sl. 1.8), tada se naponi u proizvoljnoj taki M odredjuju iz sledeih jednaina

10 GEOSTATiKI PRORAUNI

erT - \a + s in a cos(a + 20)'

(1.17)

NAPONIU TLU II

13,2.4 Jednakopodeljeno optereenje na krunoj povrini

Kada jednakopodeljeno optereenje q deiuje na temelj krune osnove prenika 2R, tada se vertikalni naponi az na ubini 2 ispod sredita temelja (Sl 1.9) oredjuju iz sledee jednaine

=q\ 1 -1

2

1 +< z )

7 (1.22)

2R

4\T/

Sl.1.9 Napon a2 ispod centra krune povrine

Ova jednaina esto se pie u obliku

(1.23)

gdeje:Iz - uticajni faktor ije su vrednosti date grafiki (Sl. 1.10).

12 GEGSTAIIKIPRORAUNI

4

Sl.l. 10 Uticajni faktor lz za odreivanje napona crz ispod centrakrune povrine

1.3.2.5 Jenakopodeljeno optereenje napravougaonoj povrini

U geotehnikoj literaturi se srece vei broj postupaka kojima se odredjuju vertikalni naponi oz ispod pravougaone povrine optereene jednakopodeljenim Optereenjem q. U daljem tekstu prikazaemo nekoliko najee korienih postupaka.

1.3.2.5.1 Postupak Janbtia, Bjeruma i anslija

Janbu, Bjerum i ansli (Janbu, Bjerrum an Kjaemsli, 1956) odredjuju vertikalni napon oz na dubini z ispod sredine take pravougaone povrine dimenzijaB xL (Sl. 1.11) pomoujednaine

NAPONIUTLU 13

Bh------------------^

Sl. 1.11 Dijagram za odreivartje napona

14 GBOSTATIK.I PRORAUNI ..._.......

B - irina pravougsone povrine L - duina pravougaone povrine.

Vidimo da se ovim postupkom mogu da odrede i naponi ispod sredine take krunog temelja (S ll.ll) .

1.3.2.5.2 Postupak tajnbrenera

Kadajenakopoeljeno optereenje q deluje na pravougaonu povrinu dimenzija B xL , tada se vertikalni napon oz na dubini z ispod ugaone take (Sl 1.12) odredjuje iz jednaine (Steinbrenner, 1936)

z = q l z (1.25)

gdeje:Iz - uticajni faktor koji zavisi od odnosa L/B i z/B i koji se dobija iz

dijagrama (Sl.1.12)B - irinapravougaonepovrine L - duina pravougaone povrine.

Koristei princip supeipozicije, moe da se odredi vertikalni napon oz ispodbilo koje take unutar optereene povrine ili izvan nje. Pokazaemo to na dva primera:a) Za odredjivanje napona ispodtake A koja se nalazi unutar optereene povrine, potrebno je dase ova povrina podeli naetiri pravougaonika tako da je A ugaona taka svakom od njih (Sl. 1.13). Zatim se odrede naponi u taki A od svakog od ovih pravougaonika i izvri superpozicija dobijenih napona tj.

(1.26)

b) Za odredjivanje napona o^ ispod take B koja se nalazi izvan optereene povrine treba da se nacrta pravougaonik ije su strane paralelne sa stranama optereene povrine tako da je B ugaona taka tog pravougaonika (Sl.1.14).

NAPO NIUTLU

SL 1.12 tajnbrenerov dijagram za odredjivanje napona ozispod ugaone take

Pretpostavljajui da jednakopodeljeno optereenje q deluje na celoj povrini ovako formiranog pravougaonika, vertikalni napon o ^ dobiemo superponiranjem, tako to emo sabrati uticaje optereenih povrina I i IV i oduzeti uticaje povrina II i III tj.

16 GEOSTATIKI PRORAUNI

OPTEREENA POVRINA

r T ----- -------:\''1/ 1* j ,5C_

/ \ li......... i - ' .................. ...............................V

S1.1J3 Odredjivanje napona ispod takeA koja se nalazi unutar optereene povrine

OPTEREENA POVRINA. B B

SL 1.14 Odredjivanje napona ispod take B koja se nalazi izvan optereene povrine

1.3.2.5.3 PostupakKanija

U geotehnikoj praksi esto se, pri proraunu sleganja od jednakopodelj enog optereenja q, odreuju vertikalni naponi

NAPONIU TLU

PQPQ

mm::r<

o i

1/IV

K

\

K

0.13L 0.74L 0.13L

L

q

l ' i l i I I I 1 1

K K

1 K

;i K /f t

Sl. 1.15 Poloaj karakteristine take

Vertikalni napon az na dubini z ispod osnove temelja odreuje se izjednaine (Kany, 1959)

(1.28)

gdeje:4-uticajni faktor koji zavisi od odnosa L/B i z/B i koji se

dijagrama (Sl. 1.16)B - irina pravougaone povrine L - duina pravougaone povrine.

iz

18 GEOSTATIKI PRORAUNl

0 0.2 0A 0,6

Sl.1.16 Kanijev dijagram za odreivanje napona

NAPONIU TLU

linijapovuenih iz zajemke take* Nacrtanje u takvoj razmeri daje rasiojanje AB jednako dubini z na kojoj se trai napon (Sl 1.17),

Nomogram je konstruisan tako da svako uticajno polje, kojs je ogranieno sa dve susedne radijalne linije 1 dva susednakruga, kada je optereenojednakopodeljenim optereenjem q izaziva isti napon intenziteta

1 ....-H az=0.005NqA B

57.1. 17 Njumarkov nomogram za odredjivanje napona az od jednakopodeljenog optereenja koje deluje na povrini proizvoljnog oblika

1.3.2.7 Superpozicija napona

Kada je tlo izloeno dejstvu ne samo jednog ve vie optereenja (Sl. 1.18% tada se naponi u bilo kojoj taki mogu da odrede supeipozicijom napona od

NAPONI U TLU

pojeinanili uticaja. Tako da se za sluaj prikazan na Sl 1.18 obija da je

= a rz + crJ + o f

OT

i z

M

r'z

- i " i I ..

I " 2M

i CTz*M M

Sl.l. 18 Primenaprincipasuperpozicije kod odredjivanja vertikalnog napona u taki M

Primena principa superpozicije je neposredna posledica pretpostavke da se tlo ponaa kao lineamo-elastina sredina.

Superpozicija napona esto se primenjuje za odredjivanje napona ispod dvabliska temelja ili objekta.

1.3.2.8 Izobare

Linje jednakih napona u terenu nazivaju se izobare. One mogu da se odredei grafiki prikau za sve normalne i smiue napone, s tim to u geotehnikoj praksi najveu primenu imaju izobare vertikalnih normalnih napona (Sl. 1.19). One ukazuju na dubinu do koje optereenje q bitno utiena ponaanje tla. Ova dubina se za pojedinane temelje kree priblino od 2B za kvadratne temelje do 4B za trakaste temelje. Medjutim, treba voiti rauna o tome da ako postoji vie bliskih temelja, onda usled preklapanja uticaja ova dubina moe da bude i znatno vea (Sl. 1.20). O tome mora da se vodi rauna kod

F? ..H

B

B

(a)

optereenja: a) Icvadratni temelj; b) trakasti temelj

odreivanja dubine istranih radova.

f = ? F - }/ \ / \ / * \ \ 4V __'\ /

______

57. 1.20 Preklapanje izobara normalnih vertikalnih napona

1.3.2.9 Naponi u vieslojnoj sredmi

Svi sluajevi koji su u ovom poglavlju analizirani pretpostavljaju da je tlo polubeskonaan prostor sa konstantnim modulom elastinosti E. Medjutim, u terenu nije uvek takav sluaj ve se esto, u zoni utieaja optereenja, pojavijuje vie sredina koje imaju razliita deformaciona svojstva. Stoga emo na dva primera da pokaemo kakavje uticaj promene modula elastinosti tla (modula deformacije tla) na veliinu vertikalnih normalnih napona. U oba ova sluaja jednakopodeljeno optereenje deluje na krunoj osnovi.

a) Kada se konstrukcija terena moe da definie kao dvoslojna sredina sa razliitim modulima elastinosti (E E2), tada od odnosa veliine ovih modula zavisi i veliina vertikalnih napona u tlu (Sl. 1. 21).

h0

_____ NAPONIU TLU ___ 23

1

%

2

3

Sl.1.21 Uticajni faktorIzza odreivanje napona crz ispod centra krtine povrine u dvoslojnoj sredini (Burmister, 1958)

b) NaSl.1.22 prikazano je kako dubinanakojoj se nalazi krutapodloga (bedrok) utie na promenu vertikalnih napona.

24 GEOSTATIKIPRORAUNI

IZ

11.22 Uticajnifaktor lz za odreivanje napona

NAPONI U TLU 25

napona moe grafiki da se prikae kmgom napona - Morovim kragom (Mohr,1882).

(a)

Sl.1.23 Napotii u kosom preseku: a) elementama prizma;b) Morov krug

Nonnalni aa i smiui ra naponi u kosom preseku, koji sa ravniu kojoj eluje vei glavni naponzaklapa ugaoa,dobijaju se iz ravnotee elementame prizme ije su dve strane paralelne glavnim ravnima a trea je paralelna kosom preseku (Sl 1.23 a). Veliine ovih napona date su sledeim jednainama

26 GEOSTATIKI PRORAIJM

C Jj------

Sl.1 .24 Pol Morovog kruga

Iz teorije elastinosti poznato je da svaka taka na Morovom krugu definiestanje naponau jednoj od ravni koje prolaze kroz taku M. Sve ove ravni seku krug napona u istoj taki - polu P. Prema tome ako je poznat pravac ravni koji odgovaranekoj takina Morovom krugu (tj. paru o ,t napona), onda se pol dobija takoto se kroz tu taku postavlja prava paralelna sa tom ravni. Taka preseka ove linije sa Morovim krugom predstavlja pol.

Saglasno prethodno reenom, ako je poznat poloaj pola, tada napone u proizvoljnoj ravni dobijamo tako to kroz pol postavljamo pravu paralelnu sa ravni o kojoj je re. Koordinate take, u kojoj ova prava see Morov krug, predstavljaju nonnalne

1. 4 Kulon - Morov uslov

Naponi u terenu mogu da dostignu takve vrednosti da izazovu iom tia. Ovo se manifestuje smicanjem po odredjenim kliznim ravnima. Zato je, za reavanje brojnih probiema stabilnosti i nosivosti tla, od posebnog znaaja da se odredi smiua otpomost tla. Ona se najee definie Kulon-Morovim (Couiomb - Mohr) uslovom loma

Tf = c + &tg

GEOSTATIKIPRORAUM28

gdeje:c - kohezija za efektivne naponeq> - ugao mutranjeg trenja za efektivne napone

(ugao otporaosti na smicanje za efektivne napone).

Ako je zasieno tlo izioeno nedreniranim uslovima, koriste se parametri otpomosti na smicanje koji odgovaraju ukupnim naponima tj.

c - c .

NAPONI U TLU 29

U sledeim poglavljima izraavaemo vrstou tla najee u optem oblilai Pri tom e se, zavisno od prirode konkretnog problema, parametri otpomosti na smicanje deflnisati preko efektivnih ili ukupnih napona.

Jednaina smiue otpomosti tia u koordinatnom sistemu t-o predstavlja pravu liniju i naziva se Kulon - Morova anvelopa loma.

U sluaju loma Morov krug tangira Kulon - Morovu pravu* (Sl. L 25), a ravan klizanja zaklapa ugao (45 +

1, 5 Zaacl

1. S.l U preseku terena utvrenih karakteristika, ravnomemo optereenom, za taku A u kojoj je dolo do aktivnog loma tla, oreiti:

a) veliine i pravce glavnih naponab) poloaj kliznih ravni po kojima dolazi do loma; smiui napon tj- u

tim ravnima; rezultujui napon pj- na te ravni; i njegov nagib fi u odnosu na ravan klizanja.

30 GEOSTATIKI PRORAUNI ______ __ _____ _^__

q=30 kN/m11f

V.. : 'r ... V ..... v V.. . V. ...............V. .iL k .

3.2

LYj == 17 kN/m3

20 cS =15 kN/m2NPV

a HA' - J

Sa skice se dobija a je: pj= 70 kN/m2 xf 32 kN/m2 P~63

1*5,2 Teren horizontalne povrine, izgraen od peska, optereen je jednako podeljenim optereenjem oblika trake q - 300 kN/m2 nairini B 3.0 m. Nivo podzemne vode je na povrini terena. Zapreminska teinatlau zasienom stanju je yz - 22 kN/m3, a koeficijent bonog pritiska tla u stanju mirovanja K0-0.40. Odrediti vertikalne i horizontalne, ukupne i efektivne napone u taki A

a) pre nanoenja optereenjab) posle nanoenja optereenja.

B = 3.0 m 2 ---------------- Q = 300kN/m

F T H U I

v =22kN/ms Kc = 0.40 2.0m

a) Naponi pre nanoenja optereenja

o / = y ' - z = {rz - r ) z = (22 -10)-2 = 24 W / m 2

Naponi posle nanoenja opiereenja

rr ' ~ 2 4 4- 2 0 0 = 224 k N / m 2Z ' ....................

ctx = P. + 55 - 44.6 k N / m 2

Normalrd naponi ax i az od optereenja q odreuju se analitiki na sledei nain:

34 GEOSTATIKJ PRORAUNI

20 m

6.0m

B f| 4,.0m

30 mM- -w

5.0 25.0 m

)

20 m' f 15.0 m

lOm

w IV

30 m

5.0 m

Povrina L/B z/B hI 15/5=3 10/5=2 0.125

n 25/15=1.67 10/15=0.67 0.245r a 5/5=1 10/5=2 0.082

IV 25/5=5 10/5=2 0.14

;

NAPONI U TLU

/ , i i m o \ - a . -f cr_ + cr.ZA ZA z4 *A *AIV

Zj 7 + U 11 + /- m + /F I

36 GEOSTATIKIPRORAUN!

i # _ _ JV = crT. -crv_ i -or,_

II j III . r 1 _ T 1 .

u .

0,

a 7 =ZB

150(0.248-0.22-0.

150'0.013

+ 0.17) /

cr, = 1.95 kN / m

1.5.4 Zatemelj prikazan na slici odreiti vertikalni napon ispod take^ na dubini Zj = 2m i z2 - 7m, koristei Njumarkov nomogram za odreivanje vertikalnih napona.

qt=160 kN/m2 (^=90 kN/mJ

f f1.6 m

0.8 m

1.6 m

w~ 2.0 m >M 2.0 m M< 1.6 m

Odreivanje razmere:

Zj=2.0m

R = = - ^ - = 0.019, dakle Im = 1.9 cm Zl 200

z2=7.0mz 38R = = = 0.0054 dakle Im = 0.54 cm z2 700

NAPONIU TLU

a z = N 0.005 q

N = 38.5

N = 69

Vertikalni normalni napon u iaki A na dubini zf*2.0m jednakje

ff. = 69 0.005 160+ 38.5 0.005 90 *1-

38 GE-OSTATIKI FRORAUNI

2 BONI PRITISCI TLA

Boni pritisci nastaju kao posledica sopstvene teine tla i optereenja koje deluje na tlo. Odredjivanje veliine bonih pritisaka vano je, jer oni deluju kao optereenje na brojne gradjevinske konstrukeije: potpome zidove, dijafragme, ipove, tunele, podgrade iskopa, ankere itd.

Razlikujemo tri vrste bonih pritisaka:- pritisak tla u stanju mirovanja- aktivni pritisak tla i- pasivni pritisak tla.

Pritisak tla u stanju mirovanja definisan je zakonima teorije elastinosti, dok aktivni i pasivni pritisci tla predstavljaju stanja plastine ravnotee.

Bone pritiske obradiemo u polubeskonanom tlu, kao i kada deiuju na potpome zidove i na podgradu iskopa.

2.1 Boni pritisak u polubeskonanom tlu

2.1.1 Pritisak tla u stanju mirovanja

Prilikom razmatranja elastine ravnotee, tlo se definie kao homogen, izotropan, lineamo-elastian poluprostor sa horizontalnom povrinom. Vertikalni napon crY u taki M, koja se nalazi na dubini z (Sl. 2.1), jednak je

iBONI PRITISCI TLA 39

(J>y - - /

gdeje:y - zapreminska teiiia tla.

(2.1)

a H~^oa V

Sl.2.1 Pritisak tla u stanju mirovanja

Veliina horizontalnog napona

40 GEOSTATIKI PRORAUNI

Stanje napona u taki M m oe grafiki a. se prikae na Morovom kmgii (SL 2.* 2}

Sl.2.2 Morov krug - K0 stanje

U geotehnici se za granulama tla i normalno konsolidovane gline esto koristi empirijska zavisnost koju je predloio Jaki (Jaky, 1944)

gdeje:K0 = 1 sin

[| Horizontaini napon aH (Jed. 2.2) nazivamo boni pritisak. fla u stanju mirovanja.

i! Jednaina (2.2) odnosi se na efektivne napone. Stoga, kada u tlu postoji i

podzemna voda, pomi pritisci se razmatraju posebno tj.!i *

CJy = T y ' + Uf

a H ~ Ka av '+u = K0 a v + ( l - K 0)u

gdeje:I u - pomi pritisak.

!' 2.1.2 Aktiviti i pasivnipritisak tla

Plastinu ravnoteu tla prvi je razmatrao engleski naunik Rankin ( Rankine, 1857). Pri tom je uveo pretpostavke o tlu kao o homogenom, izotropnom, polubeskonanom prostoru koji ima horizontalnu povrSinu i zadovoljava Kulon- Morov uslov loma.

U razmatranju uslovakoji dovode tlo u stanje granine ravnotee polazi se od K0 stanja (Sl 2.3a). Akose zatim tlu omoguibono irenje,kaoposledicatoga doi e do smanjivanja horizontalnog napona, dok e vertikalni napon ostati nepromenjen. Na Sl. 2.3d ovo se manifestuje time Sto se taka B pribliava taki C. Ovaj proces se nastavlja sve dok horizontalni napon ne zadovoiji uslov plastine (granine) ravnotee, odnosno dok se taka B ne poklopi sa takom . Tada dolazi do lomatlakojise naziva aktivni lom tla. Formiraju se dve familije kliznih

| ravni koje u odnosu na horizontalu zaklapaju ugao (45+ (p/2), aizmedjusebe ugao (90 -

42 GEGSTATIKI PRORAUNI

CTv^aj^ Tz^OA yv^ ,fz=>A a va^^z^OA

4 - ---- ------< ! > %

W.."L" ___ " crHa 3 ^ ~ a H= a 3

^zdK**yz ...... > o K 3 8 - B C

Jk iV V V S

(a)

4 5 +cp/2

(b)

_OB+BD=OD

4S-dvV

(c)

SL 2.3' Elastina i plastina ravnotea u polubeskonanom tlu:a) K0- stanje; b) aktivni pritisak tla; c) pasivni pritisak tla; d) Morovi krugovi za stanje elastine i plastine ravnotee

BONI PRIHSCI TLA 43

a V ~~ CJH

sin m ~c COt

GEOSTATIKI PRORAUNI

/

Veliinu

&h =&v' tg \ 45 ~ ~j] = T Z'tg(B

! -i.r Z'K.I j

(2 0 )

= tg- 4 5 - 2J

(2.10)

nazivamo koeficijent aktivnog pritiska tla.

U sluaju da se vri bono sabijanje tla onda e, polazei od K0 stanja - pri nepromenjenom vertikalnom naponu - doi do postepenog poveanja horizontalnog napona. Na Sl. 2.3 d ovo se manifestuje time to se taka B pribliava taki A. Kada se sa njom poklopi, nastupa hidrostatiko stanje napona. Sa daljim poveanjem bonog napona taka B dostie taku D. Ova veliina horizontalnog napona zadovoljava uslov plastine ravnotee, pa dolazi do loma tla koji se naziva pasivni lom tla. Formiraju se dve familije kliznih ravni koje u odnosu na horizontalu zaklapaju ugao (45 - (p/2), a izmedju sebe ugao (90 +

BONI FRITISCI TLA 45

'Hsm

46 GEOSTATIKI PRORAUNI

i

Napominjemo a se koeficijenti bonog pritiska tia Ka i Kn onose na efektivne napone tako da se, ako u tlu postoji i pozemna voda, uticaj poraih pritisaka mora posebno analizirati,

Iz napred izloenog vidi se da je za dostizanje granine ravnotee potrebno a se odigra odgovarajua deformacijau tlu. Pri tomje za dostizanje pasivnog pritiska potrebna znatno vea deformacija nego za dostizanje aktivnog pritiska tla.

2.2 Boni pritisci tla na potporne ziove

Boni pritisci koje smo odredili u polubeskonanoj masi tla slue kao osnova za odredjivanje pritisaka tla na potpome zidove. Pri tom se polazi od toga da se deo mase tla uklanja i zamenjuje potpomim zidom (SL2.6). Pretpostavlja se da ovo ne izaziva promenu vertikalnih napona, a da zid prima odgovarajue bone pritiske (Sl.2.7). Sumiranjem ovihpritisakapo visini zidadobija se sila bonog pritiska tla. Ova sila deluje u teitu dijagrama pritisaka.

Sl.2.6 Elastina i plastina ravnotem tla iza potpomog zida

Prilikom analize bonih pritisaka na potpome zidove ili podgradu iskopa pretpostavlja se da se oni nalaze u ravnom stanju deformacije.

BONI PRJTISCI TLA

Sl. 2.7 Vertikalni naponi u polubeskonanom tlu i iza potpomog zia: a) horizontalna povriha terena; b) kosa povrsina terena

2,2.1 Pritisaktla u stanju mirovanja

Kada se deo polubeskonane mae levo od take M ukloni i zameni krutim, nepomerljivim, glatkim zidom (Sl. 2. 8% tada zid prima horizontalne bone pritiske

a H - Ko 'av (2.14)

48 EOSTATIKI PRORAUNI

r

cjhK^ crv

Sl. 2. 8 Pritisak tla u stanju mirovanja

Raspodela bonih pritisaka odgovara ekvivalentnom fluiu. Sila bonog pritiska tla jednakaje

Pritisak tla u stanju mirovanja javlja se kod masivnih potpomih zidova fundiranih na vrstoj podiozi tj. kada nema pomeranja zida.

2,2,2 Aktivni ipasivnipritisak tla

Za odrejivanje aktivnih i pasivnih pritisaka tla na polpome zidove koristiemo sledee metode: Rankinovu, Kulonovu i Reban - Ponseleovu.

2.2.2.1 Rankinova metoda

Ova metoda primenjuje se za sluaj vertikalnih i glatkih potpomih zidova kod kojih moe da se zanemari trenje izmedju zida i tla.

tt tt |Eo= f^H '

2.2. Z L I Aktivni pritisak nekoherentnog tla

Posmatraemo vertikalni, glatki zid koji podupire nekoherentni nasip iza zida. Povrina nasipaje horizontalna.

Ukoliko se usled deformacije zida (Sl. 2.9) iza njega formira stanje aktivnog

____ ........................... BONI PRITISCI TLA .......... 49

Sl. 2.9 RanJnova metoa - aktirnipritisak nekoherentnog tla

loma, horizontalni napon koji deluje na elemenat unutranje strane zidajednak je

e a -=av -K, = err - t g ^ 5 - ^ = .y - ' S - t f { i 5 - Q (2.16)

Sila aktivnog pritiska tla jednaka je

H H j

Ea = f a H' z - f K a - y ' z d z = - - 'K a ' y - H 2 (2.17)o o

Vidimo a raspodela pritisaka odgovara ekvivalentnom fluidu.

Ravni loma zaklapaju ugao (45 + (p/2) u odnosu na horizontalu.

U 'luajii ds na povrini terena eiuje jcdiiakopoeljeao opteresnje q ('l. 2.10}., velima aktivnog pntiska jednaka je

o u = ( r z + q ) K (2.18)

q

50 ..... _ _ ' - i i -

Sl. 2.10 Rankinova metoda - aktivni pritisak nekoherentnog tla u sluaju dejstva jednakopodeljenog opterecenja

Intenzitet sile pritiska je

Ea --^-K r II2 +q-H-Ka (2.19)

Ova sila eluje u teitu dijagrama bonih pritisaka.

Kada se iza zida nalazi podzemna voda, tada dijagram pritisaka ima oblik prikazanna Sl. 2.11. U ovom sluaju se pritisak tla iznad nivoavoderaunasa zapreminskom teinom tla u prirodnom stanju vlanosti y, a ispod nivoa vode sa zapreminskom teinom potopljenog tla y \ Pri tom, osim tla, na zi vri pritisak i voda tako da je ukupni pritisak jednak zbiru pritisaka tla i hidrostatikog pritiska. Intenzitet ukupne silepritiskaje

2.2.2.1.2 Aktivnipritisak koherentnog tla

Kada zid podupire tlo sa kohezijom, tada se aktivni pritisak tla koji deluje na unutranju stranu zida (SL 2.12) oredjuje iz jednaine

( 2 2 J )

I------ r----=

GEOSTATIKI PRORAUNI

r

X

H5-

BONI PRITTSCI TLA 53

E_H3

Sl. 2.13 Rankinova metoda - pasivni pritisak nekoherentnog tla

zida ima sleeu vrednost

aH =

54 GEOSTAHKI PRORAUNI

?. 2.2.1.4 Pasivni pritisak koherentnog tla

Kada glatki, verdkalni zi poupire tlo sa kohezijom, taa se pasivni pritisak tla koji deluje ns unutranju stranu sida (Sl 2.14) odredjuje izjednaine

(2.26)

HC

2c^K j KpYHh 'm

Sl. 2.14 Rankinova metoda - pasivni pritisak koherentnog tla

Sila pasivnogpritiska tla jednaka je

Ep = ~ K p r H 2+ 2 c - H j K }

Ova siia deluje u teitu dijagrama pritisaka.

(2.27)

2.2.2.1.5 Aktivni ipasivnipritisak nekoherentnog tla - kosapovrina terena

Rankinova teorija omoguuje odredjivanje aktivnog i pasivnog pritiska tla bez kohezije i u siuaju kose povrine terena (Sl 2.15). Pri tom je na dubini z, u ravni paralelnoj povrini terena, veliina vertikalnog normalnog napona jednaka

SL 2.15 Rankinova metoda - bonipritisak nekoherentnog tla- kosa povrina terena

U postupku prorauna pretpostavlja se daboni pritisci deluju paralelno povrini terena.

Moe se pokazati dajenormalni napon, koji deluje uvertikalnoj ravni iuslovljava aktivni lom tla, jednak

0f=K

gdeje:

56 GEOSTATIKI PRORAUNI

I 2 21 cos p 4- -y cos P ~ cos tpKPfi = = 7====t :..~= T =

afi COS ^ C O S f i COS' f

Integracijom napona ap, po visini zida, obijaju se odgovarajue sile aktivnog i pasivnog pritiska tla tj.

E = ~ K al!r H 2-cosP (2.33)

Ep = ~ K p f r - H2-cosfi (2.34)

Ove sile deluju na H/3 od osnove zida i paralelne su povrini terena.

Napominjemo da u sluajukadaje tlo koherentno, veliine napona op mogu da se odrede korienjem ve izvedenih jednaina i primenom teorije koprespondentnih stanja.

* *

elimo da naglasimo da je za formiranje stanja granine ravnotee u tlu iza zida potrebno da se izvre defdrmacije odgovarajue veliine. U vezi s tim, eksperimentalni rezultati pokazuju da je potrebna znatno vea deformacija za postizanje pasivnog nego aktivnog loma tla (Sl 2.16).

Treba zapaziti da pretpostavka o glatkom zidu, kojom se zanemaruje trenje izmedju tla i zida, dovodi do konzervativnih reenjau pogledu veliine sile pritiska. Naime, na ovaj nain se dobijaju vee sile aktivnog pritiska i manje sile pasivnog pritiska nego to su one u stvamosti. Veliina ove greke zavisi od veliine stvamog trenja koje postoji izmedju zidaitla.

Sl. 2.16 Zavisnost izmedju pomeranja potpornog zida i veline sile pritiska na zid (Schlossert1988)

Vrednosti zapreminskih teina pkoje se javljaju u jednainama za bone pritiske tla zavise od terenskih uslova, odnosno odtoga da lije tlo homogeno ili slojevito, sa podzemnom vodom ili bez nje i slino.

NaglaaVamo da parametri vrstoe smicanja koji se javljaju u Rankinovim jednainama mogu da budu izraeni ili preko efektivnih ili preko ukupnih napona. Ovo zavisi od uslova dreniranja koji postoje u tlu izapotpomog zida.

22.2.2 Kulonova metoda

Rankinova teorija je, zbog analitikog pristupa, pogodna za odredjivanje sila bonog pritiska tla. Medjutim, njen osnovni nedostatak je u tome to ne ukljuuje trenje izmedju zida i tla. Osim toga, ona se ne moe primeniti u sluaju nagnutogpotpomog zidaili izlomljene povrine terena. Stogase u navedenim

58 GEOSTATIKI PRORAUNI

Kulonova teorija prestavlja najstariju metou za odiedjivanje bonih pritisaka tia, Ona omoguuje odrejivanje sila aktivnog i pasivnog pritiska tla koje deluju na potpome zidove, a da se pri tom ne razmatra stanje napona u tlu iza zida. Umesto toga, posmatra se ravnotea kliznog tela - klina, koji se formira iza potpomog zida,

Kuionova teorija poiva na dvema pretpostavkama:- lom u tlu nastaje du ravne klizne povrine i- trenje koje deluje izmedju zida i tla je poznato, pa je poznat i pravac

sile pritiska na zid.

Ove dve hipoteze omoguuju da se srauna sila pritiska koja deluje na zid. Pri tom se posmatra statika ravnotea kliznog teia, uz uvaavanje principa njene ekstremne vrednosti.

Posmatramo zid koji podupire nasip od nekoherentnog tla (Sl. 2.17a). Pretpostavljamo ravnu povrinu loma AC kojasa horizontalom zaklapa ugao a. U svakoj njenoj taki deluje napon koji zaklapa ugao

BONI PRITISCI TLA 59

C

() (b)

Sl. 2.17 Kulonova metoda - nekoherentno tlo: a) klizno telo; b) poligon sila

W - teina klina ABCR - sila kojom podloga deluje na ravan loma Ea - sila kojom zid deluje na klin ABC.

Sila W poznata je po veliini, pravcu i smeru, doksu silama R i Ea poznati pravci delovanja. Stoga se njihove veliine mogu odrediti iz trougla sila 0 1 .2 1 7b). Kadase na ovaj nain odredi sila Ea, tada e - saglasno aksiomu o jednakosti akcije i reakcije - sila kojom tlo pritiska zid biti jednaka po veliini i pravcu sili Ea, ali e imati suprotan smer.

Na ovaj nain odredjena je sila Ea koja odgovara usvojenoj kliznoj povrini AC. Veliina ove sile funkcijaje ugla a izmedju ravni loma i horizontale.

Sila aktivnog pritiska tla odgovara maksimalnoj sili Ea = Ea(a), odnosno kritinoj kliznoj povrini. Ova sila odredjuje se tako to se povlai nekoliko proizvoljnih kliznih povrina AC },A C 2,A C 3,A C 4 ... i za svakuodnjihodredjuje se teina kliznog tela (Sl. 2.18).

60 GEOSTATTKI PRORAUNI

Le Eah &q2s Ea^Zatim. se za svaki klin nacrta ogovarajui poligon sila i odrede se;Ea4... Ove sile nanose se u pogodnoj razmeri na dijagram Ea sila i tangsnta na ovaj dijagram, paralelna sa horizontalom, daje najveu vrednost Ea max kojoj odgovara kritina klizna powina AC (57. 2.18).

Sl. 218 Kulonova metoda - odredjivanje aktivnog pritiskanekoherentnog tla

Silu aktivnog pritiska moemo da odredimo i analitiki postavljanjem uslova da je za kritinu kliznu povrinu

daa _

= 0

Na ovaj nain dobija se da je

Ea = j r - H 2-K, (2.36)

gdeje:

BONI PKITISCi TLA

K: -

lc ( A _ ffl XS tg 45 -1- |z/T v

(a) (b)Sl. 2.19 Kulonova metoda - koherentno tlo:

a) klizno telo; b) poligon sila

tla, u analizi statike ravnotee kliznog telapod uticajem sila koje na njega deluju.Tesilesu:

W- TeinaJdiznogtela^CC'l?R - Sila kojom podloga deluje na ravan loma a posleica je ugla

unutranjeg trenjaC^C'AC -Silakojompodlogadelujenaravaniomaaposledicajekohezije

Ea- Silakojomziddelujenakliznotelo.

Prilikom odreivanja siia koje deluju na ldizno telo zanemarili smo, kao to je to uobiajeno, silukojaje posledica adhezije izmeu zida I tla.

Sile W i C poznate su po veliini, pravcu i smeru, dok su silama R i Ea poznati pravci delovanja. Stoga se njihove veliine odredjuju iz poligonasila (Sl 2.19b).

Za odreivanje najvee sile bonog pritiska na zici treba da se nacrta nekoliko j proizvoljmh kliznih povrina AC}, AC2AC3t AC4 ... i za svaku oci njih treba da se

odredi teina kliznog tela (Sl. 2, 20), Crtanjem odgovarajuih poligona siia | obijaju se sile Eah Ea2, Ea3, Ea4. Ove sile jaaaose se u pogodnoj razmeri i tako se

dobija dijagram sila pritisaka iz koga ss odredjuje aktivni pritisak tla Ea max, koji odgovara kritinoj kliznoj povrini AC.

BONI PRITISCI TLA .. 63

Sl. 2. 20 Kulonova metoda - odredjivanje aktivnog pritiska koherentnog tla

Teorijski gledano naveeni postupak bi, pre svega, trebalo koristiti za sluaj horizontalne povrine terena i vertikalne povrine zida. Medjutim, u praksi se ovakav nain rada primenjuje i za nagnute povrine zida i terena.

2.2.2.23 Pasivnipritisak nekoherentnog tla

fCulon je prefpostavio da se klizanje du ravne povrine (Sl 2.21 a) deava i u sluaju pasivnog bonog pritiska. Klizno telo ABC, medjutim, pomera se u iuprotnom smeru nego u sluaju aktivnog loma. Na pasivni Min teine W eluju sila od potpomog zida Ep i od otpora pologe R. Pravci ovih sila

G'EOSTATIKI PRORAUNI

jzani su na 57. 2,21 b.

Sl. 2.21 Kulonova metoda - nekoherentno tlo: a) klizno telo; b) poligon sila

Odredjivanje sile pasivnog pritiska vri se na slian nain kao i kod aktivnog pritiska tla. Naime, posmatra se statika ravnotea Idiznog tela uz uvaavanje ekstremalnog principa. Medjutim, treba zapaziti da se ovde trai minimalna vrednost sile pasivnog pritiska (Sl. 2.22).

Napominjemo dabi se, na slian nain ovde izloenom, mogla da odredi i veliina sile pasivnog pritiska koherentnog tla.

Veliina sile pasivnog pritiska nekoherentnog tla moe se odrediti i analitiki, postavljanjem uslova daje za kritinu kliznu povrSinu zadovoljen uslov

fEpda

0 (2.38)

pa se dobija da je

E ~ ~ r H 2 Ki (2.39)

BONI PRIUSCI TLA 65

ei

sm 2{n -

sin n * sin f n + 1lsin(p +)sin(

...... .... ................ GEOSTATIKI PRORAUNl

2.2.23 Reban - Ponseieova metoda

U naoj geotehnikoj praksi veliku populamost stekia je Reban-Ponseleova metoda (Rebhann ~ Poncelet). Ona daje mogunost da se, u siuaju nekoherentnih tla> na vrlo jednostavan. nain odrede veiiine aktivnog ipasivnog pritiska tla.

2.2.2.3.1 Aktivni pritisak nekoherentnog tla

Potpomi zid (Sl. 2.23) podupire nekoherentni nasip. Da bi se odredio aktivni pritisak kojim nasip optereuje zid, potrebno je uraditi sledee:

Sl.2. 23 Reban-Ponseleova metoda - aktivni pritisak nekoherentnog tla

- Iz take A (noicazida) povlai selinija prirodnog nagiba tla (AN), pod uglom (pu odnosunahorizontalu, dopreseka sapovrinom terena

izna dui AN kao prenika opisuje se polukragiz take B (vrh zida) povlai se prava pod uglom (pisani postupak zasniva se na Rebanovoj teoremi i Ponseleovoj grafikoj feonstrukciji. Njima se dokazuje da je Ea sila aktivnog bonog pritiska tla, a da je AC pdgovarajua kritina klizna ravan.

BONI PRiTISCI TLA _................. 67

2.2,2.3,2 Pasivni pniisak nekoherentnog ila

Kada potpomi zi (Sl 2.2 4) podupire nekoherentai nasip, taa se veliina pasivnog pritiska odredjuje na siedei nain:

6 8 ... GEOSTATIKI PRORAUNl

Sl. 2.24 Reban-Ponseleova metoda -pasivnipritisak nekoherentnog tla

Iz take A povlai se linija prirodnog nagiba tla (AN), pod uglom -

BONI P R m s e i T L A __ 69

take C i K spajamo pravom linijom i tako dobijemo trougao CDK koji se zove trougao pritisaka tla; njegova osnova je e - CD DK. a visina (koja se dobija povlaenjem normale iz take C na du AN) je f= C F .

Sila pasivnog pritiska tla dobija se kao

EP = 'e ' f (2.42)

gdeje:y - zapreminska teina tla.

Spajanjem taaka A i C dobijaju se kritina klizna povrina i odgovarajui klizni klin ABC.

Sila Ep deluje na treini visine, mereno od osnove zida, i ima nagib (- 8) u odnosu na normalu na zid.

2.2.2.4 Opravanost hipoteze o ravnoj kiiznoj poviSini

Kulonova teorija pritisaka tla pretpostavlja ravne Idizne povrine. Medjutim, kao posledica trenja izmedju zida i tla, stvami oblik povrina lomaje zakrivljen (Sl 2. 25). U sluaju aktivnog lomakrivinajeneznatnai grekakojase javlja zbog toga toje pretpostavljena ravna povrina loma je neznatna. Ovo vai f za pasivni lom, ali za vrednosti ugla 6 koje su manje od

70 GEOSTATIK! PRORAUNI

/V v -x- x >. x X / / / _ .. .

(a) (b)

Sl. 2. 25 Uticaj trenja na oblik linija klizanja: a) aktivni lom tla; b) pasivni lom tla

22.2.5 Primena teorije eiastinosti kod odredjivanja bonih pritisaka tla

Veliina i raspored bonih pritisaka, od vertikalnog linijskog ili trakastog optereenja koje deluje iza potpomog zida, moe da se odredi primenom teorije elastinosti. U postupku prorauna pretpostavlja se da se tlo ponaa kao homogen, i2tropan, lineamo-elastian materijal.

2.2 2.5.1 Linijsko optereenje

Kada linijsko jednakopodeljeno optereenje QL deluje izapotpomog zida (Sl. 2.26), tada sehorizontalni naponi na zid odredjuju iz sledeihjednaina (Terzaglii, 1954)

ax - ---------------- (zam 0.4) (2.43)

1.28Ql m n' H L im, n2y (2A4>lm + |

PRITISCI TLA 71

Z = ll

H

i*. xra H

Sl. 2. 26 Boni pritisci od linijskog optereenja

2.2,2.5,2 Trakasto optereenje

U sluaju jednakopodeljenog trakastog optereenja intenziteta q koje eluje na irini B (Sl. 2.27), horizontalni naponi na zid odredjuju se iz jednaine (Terzaghi, 1943)

crx - -j^(p-sinp-cos2ci) (2.45)

Sl. 2.27 Bonipritisci od trakastog optereenja

2,2.2,6 Superpozicija bonih pritis&ka tla

Kada izapotpomog zia eluje vie razliitih optereenja, taa se boni pritisci nazi mogu a odree superpozicijom pojedininih uticaja (SL 2.28),

72 __ GEOSTATIKl PRORAiJNI

(

TAJLPlS

Sl. 2. 29 Podgrada iskopa

Ovakav nainizrade podgrade uslovljava i pomeranje okolnog tla. Nairae, ono je najmanje u blizini vrha iskopa, a najvee je na njegovom dnu. Ovo je polpuno suprotno pomeranju potpomog zida pod dejstvom aktivnog pritiska tla(Sl.2.30).

(a) (b)

Sl. 2.30 Pomeranjepotpomih konstrukcija:a) potpomi zid; b) podgrada iskopa

Poznato je, meutim, da boni pritisci tla za.vise i o naina defomiisaiiia - pomeraiija potpome konstrukcije. Stoga se Rankinova, a i ostaie prikazane metode ne mogu koristiti za odredjivanje bonih pritisaka na podgradu iskopa. Umesto toga, koriste se empirijske zavisnosti koje su dobijene na bazi brojnih eksperimentalnih podataka. Na osnovu njih, Pek i dr. (Peck et ai, 1974) su predloili sledec dijagrame pritisaka na podgradu iskopa (Sl. 2.31):

74 _______ ____________ GEOSTATIKI PRORAUNI ______________ ___

YH > 4 yH < 4

H

4 -

4-

0.{55Kyp

K = l - 4c K = 0.2-0.4

(a) (b)

Sl 2.31 Pritisak tla na podgradu iskopa:a) pesak;b) meka do polutvrda glina;c) vrsta, ispucala glina

(c)

Pritisak tla na podgradu iskopa koristimo prilikom dimenzionisanja pojedinih elemenata podgrade.

BONIPRITISCI TLA 752, 4 Zadaci

2,4,1 Zbog izgradnje prigradske eleznice neophodno je zasecanje terena na jednoni delu trase. Stabilnost bone strane zaseka obezbeuje se potpomom konstrukcijom sa vertikalnom zadnjom stranom. Odrediti intenzitet rezultantne siie aktivnog pritiska na potpomu konstrukciju u sluaju kada:a) horizontalna povrina tla iza zida nije optereenab) horizontalna povrina tla iza zidajeste optereena kontinuahiim optereenjem q = 95 kN/m2.

H = 4.5 m

Koeficijent aktivnog pritiska tla je

Ka = tg2( 4 5 - ^ j = - y ] = 0.656

JK~ = 0.810

a) Dubina ha kojoj se javljaju pukotine zatezanja je 2c 2 2 0z0 = = 2.67m

r - j K a 18.5-0.81

Sila aktivnog pritiska tla je

Ea = - r . { H - z 0)2 Ka = -18.5 (4.50-2.67)1 0.656 = 20.32kN/m'

b) Napovrini terena, tjza z = 0

76 GEOSTATIKI PRORAUNI

& H a ~ % * C ' i j K a- 95 0.656 - 2' 20' 0.81 = 62.32 - 32.4 = 2P.P2 kN / m2

Na dubini z - 4.5 moy = p+ r H = 95+ 18.5-4.5= 178.25 kN / m2

j Vertikalni naponi sa desne strane pograe .. z = 0 d v = 75 kN /| r o

' z = 5 m = 75 + M* 5 = 7 5 + P 0 - i o 5 ^ / m 2

z = 7m

z = Sm a Ha} 2 - a Vj - K aj - 2c2f^ K a3

a Haj 2 = 165 .039 - 2-12 - .9.55 /bV / m '2

z = 7m aHai = '.o3 - 2. c2. ^o-^ = 189 0.39 ~ 2-12 0.625 = 58.71 kN/m2 u ~ r w'hw = 10 2 = 20kN/ m2

Pasivni horizontalni pritisciz - lm a Hpj = a Vj Kpj = 75- 3.25 = 58.5 kN / m2

z = Im a Hpi 2 = ar, -Kp2 +2-c2

a H = 18-2.56+ 2-12-1.60 = 84.48 kN /m 2Pl-2

z = 3m CTP1 = a Vl'Kfl + 2c2'J k ^

a Hpi = 42-2.56+ 2 12 1.60= 145.92 kN/ m2 u - 7w 'hw ~ 10-2= 2 0 kN/ m2

av

78 GEOSTATIKI PRORAUNI

2.43 Temeljni iskop o peskovitora t!us dubine 7m, obezbeuje podgrada sa i razupiraima, prema slici. Zapreminska teina peska je y^20kN/m3, a ugao i unutranjeg trenja (p=35. Odrediti sile u razupiraima, ako je horizontalno J rastojanje izmeu razupiraa 5= J. Om (u planu, od osovine do osovine).

| ........... _.......... .. SONI PRITISCI TLA 79

Ka = tg2[45 - = tg2{45 - = 0271

(Tfa =0.65-Ka y-H -0.65 0.271-20 7 = 24.67kN /m 2

Rezultante normalnih napona po visini temeljnog iskopa 24.67 >3.5-175

Pr 2m 151.1 kNm

p = ILL - 75J5kN / m'2

^ Ea u = 24.67-S.S

7S.55 + P2 = 86.35

P3 = 86.35 - 75.55 = 10.8 m / n f

80___ ............ .... GEC)STA'nO

K C/jR, ~ 24.6? * - = 24.67 k.N / rn'&

2.0P4 = 24,c5/ - = 24.157 jfc/v /

P5 = 24.7 * = 15.5 / m'5 2

Sile u razupiraima su

Ft =Pr 3=- 75.55-3.0 = 226.65 kNFm = (p2 +P}Y3 =(10.80 +24.67) 3 = 106.41 kNFb = (P4 + P} )-3 = (24.67+18.S)-3 -129.51 kN

2.4.4 Obalu akumulacionog jezera na jednom delu osigurava potpoma konstrukcij a prikazana na skici. Odrediti veliinu i napadnu taku rezultante sila pritisakanazid.Bone zemljane pritiske odrediti grafikom Reban-Ponseleovom metodom.

Y=18kN/m3

.... y - H, 18*3,6 ,II , * _ _ _ _ = 43my r 2 4 -1 0

es 2.3m f s 2,2m

i . i y r f ,"-2

2E 2-45.54 jx, = JL-----= 253kN / m1 H, 3.6

umcijoi visme f l : tbog. postojanja pozemne voe

Eai = ~ y e r f s -- ] 8 - 2.3 2.2 = 45.54kN /m

e2 = 4.7m f 2 4.5m

Ea> = - r ' -e2 - f2 = 14-4.7-4.5 = 148.05 kN/ m2 2

2Ea, 2-148.05 2x, = ------- = = --------- = 35.98 kN/m 2------------H2 + H,' 3.6+4.63

x2:(H2 + H,') = Xj':H,'

x2 H,' = 35.98 + 4.61 = 2 0 2 4 m / 2 H2 + H,' 3.6+4.63

' x.2+Xjf rr 3598+20.24 9 , , . . . , '=_J L ff = _ 3.6 = 101.196 kN/ma2 ? 2 o

Pw ~ Tw 'H* ~ 10-3.6 = 3 6 kN/ m2

Ew = - y w- H j = L]0-3.62 =64.8 kN/m2 2

? fWN?t9'S9l -

,Vm960ZI =>gxPTx-;g + - - -=

3 ANALIZA STABBLNOSH PADINAI KOSINA

Analiza stabiinosti padina i kosina prestavlja zavrnn fazu u procesu prousvanja klizita. Brojni istraivai koji su se time bavili, uoili supotrebu zautvrdjivanjem jednog kvantitativnog parametra - faktora sigumosti kojim bi se definisala stabilnost kosina*. Kao rezultat njihovih napora nastao je itav niz metoda poznatih pod optim nazivom metode granine ravnotee. Ovim metodama moe se uspeno proceniti stabilnost kosina.

Fored metoda granine ravnotee, stabilnost kosina moe da se analizira i metodama teorije plastinosti kao i metodom konanih elemenata. Medjutim, one se u geotehnikoj praksi retko koriste, te ih stoga ovde neemo posebno obradjivati**.

3.1 Metode granine ravnotee

3.1.1 Osnovne pretpostavke

Polazei od utvrene stvame ili potencijalne klizne povrine, proraun stabilnosti vri se na osnovu sledeih pretpostavki:

* Iste metode prorauna koriste se kako za anaUzu stabilnosti prirodnih padina tako i vestakih kosina.

** Analiza stabilnosti padina i kosina metodom konanih elemenata nalazi se u programu predmeta GeostaUtd prorauni na poslediplomsldm studijama.

1. Definie se mehanizam loma u stvame ili potencijalne klizne povrine (SL 3.1).

ANALIZA STABILNOSTIPADINAI KOSINA 85

Sl. 3.1 Mehanizam loma

2. Definie se uslov loma u klizne povrine. Najee se koristi Kulon- Morov uslov, s tim to se izraava preko efektivnih ili ukupnih parametara otpomosti na smicanje.

3. Pretpostavlja se da je lom kruto-plastian (Sl. 3.2), tako da nema deformacija sve dok ne nastupi lom.

u klizne povrine

Sl. 3.2 Kruto - plastian lom

4. Postavljaju se uslovi statike ravnotee kliznog tela.

5. Definie se faktor sigumosti kosine.

Metode granine ravnotee, po pravilu, asializiraju stabilnost kosina ravanski tj. kao probiem ravne deformacije.

86 GBOSTATiKI PRORAUNI _ ..........

3.1.2 Faktor sigurnosti

Zadatak analize stabilnosti je da se odredi faktor sigumosti kosine. U vezi s tim treba naglasiti da postoji nekoliko definicija ovog faktora. Najstarija, aii jo uvek u upotrebi, jeste ona koju je predloio Kolen (Collin, 1846). Njome se faktor sigumosti definie kao

gdeje:

(3.1)

FsRD

faktor sigumosti kosinesile koje se odupiru kretanju kliznog telasile koje izazivaju kretanje kliznog tela.

Ujednaini (3.1) sile se posmatraju u generalisanom smislu, odnosno one mogu da predstavljaju i momente.

U geotehnikoj praksi najee se koriti sledea definicija faktora sigumosti Fs kojujepredloio Biop (Bishop, 1953)

F. = 'm

(3.2)

gdeje:Tf - vrstoa smicanja tlaTm - smiui napon potreban za odravanje ravnotee kliznog tela.

Ovu definiciju (Jed. 3.2) i mi emo da koristimo u daljem tekstu.

vrstoa smicaoja se definie Kulon - Morovim uslovom

ANALiZA STABBLNOST! PADINAIKOSNA 87

Tf ^ c + & -tg< p | (3.3)

Ujeduaini (3.3) neemo usvajati posebne oznake za uicupne i efektivne, ili vrne i rezidualne parametre otpomosti na smicanje, ali se podrazumeva da e se analize stabilnosti vriti sa odgovarajuim merodavnim vrednostima.

Iz jednaina (3. 2) i (3. 3) dobija se

c + &tgq>- ------------------

odnosno

c+&'tg

3,1.3 Amaiiza sa ukupnim i efektivnim rmp&nimm

Zavisno o toga kako se izraava vrstoa smicanja tla, analize stabilnosti kosina mogu da se vre sa ukupnim (tzv. q> = 0 metoda) i/ili sa efektivnim naponima (tzv. q>', c' metoda),

Kada u tlu vladaju nedrenirani uslovi optereenja, vri se analiza sa ukupnim naponima. vrstoa smicanja definie se ukupnim - nedreniranim parametrima (

ANALIZA STABILNOSTIPADINA IKOSINA 89

A

Brzo graenje Rasipanje pomih Ravnoteno stanjenasipa_____ pritisaka (konsolidacija) poniih pritisaka^

Sl. 3.3 Promena faktora sigumosti savremenom kod izgranje nasipa na mekoj, vodom zasienoj glini (Bishop and Bjerrum, 1960)

90 GEOSTATIKI PRORAUNI

__Poetna povriina ___ terena

Poetn pornl gritisak

Konani porni pritisak B

Ekvipotencijalna^ linija

Konani NPV'Potencijalna klizna

povrina Pomi pritisak na kraju iskopa, A~IPomi pritisak na kraju iskopa, A=0

Brzi iskop useka -M-Rasipanje pomih pritisaka (konsolidacija)

Ravnoteno stanje .wgQMhi>ritisa^ a

Sl. 3.4 Promena faktora sigurnosti sa vremenom kod izgradnje ttseka u mekoj, vodom zasienoj glini (Bishop and Bjerrum, 1960)

JNa siian nainje na SI. 3.4 prikazano kako iskop useka u mekoj, vodom zasienoj glini utie na analizu stabilnosti.!j

3^.1.4 Rezuhantne metode i metode lameia

Metoe granine ravnotee mogu se, zavisno od toga da li se u postupku analize stabilnosti klizno telo posmatra kao jedna celina ili se deli na lamele, podeliti na:

- rezultantne metode i- metode lamela.

i ANALtZA STABILNOSTIFAPINA IKOSINA 91

3.1.4.1 Rezultantne metode

Metode kojeu postupku anaiize stabilnosti posmatraju klizno telo kao jednu celinu nazivamo rezultantne metode. One se uglavnom koriste u homogenim terenskim uslovima i stoga je podruje njihove primene dosta ogranieno.

metodu za analizu beskonane kosine i Kulmanovu metodu.

3.1.4.2 Metode lamela

Prilikom reavanja brojnih praktinih problema vezanih za stabilnost terena sreemo se sa sluajevima kada:

- klizna povrina ima sloen oblik i- parainetri otporaosti na smicanje i/ili pomi pritisci se menjaju du

klizne povrine.

Za reavanje takvih problema pogono je da se klizno telo podeli na vei broj vertikalnih lameia. Pri tom treba voditi raima da:

- osnova svake lameie prolazi samo krozjednu vrstu tla i lamele budu dovoljno uske a se delovi kiizne povrine, u osnovi

svake lamele, mogu dovoljno tano da aproksimiraju pravom linijom.

U praktinim sluajevima klizno telo najee se deli na 10 - 40 lamela.

Sile koje deluju na tipinu lamelu i prikazane su na Sl 3.5.

92 GBOSTATiKI PRORAUM

$!. 3.5 Sile koje deluju na Upinu lamelu i Idiznogtela

U postupku analize stabilnosti ispituju se uslovi statike ravnotee svake iamele pojedinano, a i kliznog tela kao ceiine.

Ukoliko se klizno telo sastoji od n lamela (Sl 3.5% tada je broj nqx>znatih veliina (6n -2 )itosu.

Neooznate veliine Broi

- normalne sile u osnovi svake lamele, Pt- smiue sile u osnovi svake lamele, St- poloaji sila P{ tj. xt

nnn

| Za reavanje problema stoje na raspolsgaiijii-, u svakoj lameli, po tri uslova ravnotee ka i zavisnost izmedju sila St i P.; tj.

1 Poznate iednaine

- jednaine horizontalne ravnotee sila, 0- jednaine vertikaine ravnotee sila, = 0

r - jednaine ravnotee momenata, = 0- jednaine veza izmedju sila S{ i Pt tj. SL = S( (P)

Ukupno jednaina 4ni.

j _

Znai problem je (6n - 2) -(4n) = (2n - 2) puta statiki neodredjen, jer je za toliko

U metodama granine ravnotee problem statike neodrejenosti prevaziiazi se na I taj nain to se uvode odredjene pretpostavke o veliini i poloaju nepoznatih sila.! U zavisnosti od toga koje su pretpostavke uvedene, kao i koje Su jenaine j ravnotee kliznog teia zadovoljene, razlikuju se medjusobno metode granine i ravnotee.

U ovom tekstu obradiemo Sledee metode granine ravnotee: vedsku metodu, Biopovu uproenu metodu, Spenserovu metodu, metodu Loa i Kerefiata, metodu klina, Janbuovu metodu - uproenu i optu, metodu Morgenstem - Prajsa i u Aneksu metodu Fridlanda i Krena.

Broj

nnnn

I, L 5 Mehanimm Mizmma

Metode gramdne ravnotee anaiiziraceiiio prema menanizinu ioma, omomo zavisno od toga da II do klizanja doiazi transiacijom po ravnoj povrinij KJtacijom po krnnoj ili pomeranjem po sloenoj Miznoj povrini.

3.1.5.1 Ravna klizna povrina

3.1.5.1.1 Beskonana kosina

U mnogim sluajevima, npr. u terenima sa razvijenom zonom raspadanja, klizna povrfina je na velikoj duini paralelna povrini terena (Sl. 3.6). Gdgovarajua klizna tela mogu se u anaiizi stabilnosti posmatrati kao beskonane kosine. Pri tom su, ako se zanemari uticaj krajeva, naponsko-deformacijski uslovi du itave klizne povrine isti. Zato se moe da izdvoji jedna lamela pa e ono,to se deava u njoj, vaiti za itavo klizno telo.

:H......... ............... ......... i ^ i

Sl. 3. 6 Kosina sa Miznom povrsinom koja je paralelna povrini terena

ANALIZA STABILNOSTi PA.DIHA I KOSIf 95

; ^ f ra ovo iBmshi prikazane su aa SL .* 7..

b

Sl. 3.7 Sile koje deluju na lamelu beskonane kosine

Pri tom je teina lamele W

gdeje:W - y z b-H

yz -zapreminska teina zasienog tla.

Sila pomog pritiska U jednakajeU = u-l

gdeje:u ~ pomi pritisak.

(3.9)

Napominjemo da smo kod odreivanja teine lamele zanemarili razliku zapreminskih teina tla ispod i iznad nivoa podzemne vode. Naime, usvojili smo da je i iznad nivoa podzemne vode zapreminska teina tla vodom zasiena. Ova pretpostavka, koja se uvodi zbog jednostavnosti prorauna, uobiajena je u analizama stabilnosti kosina.

S;Ue i, , ? - :.;v \ac: Uai,, igiii'Hi?

;v - "vU::. " :;iW ?:;.. :;\r$r^ AS\:K- rsliim a suyiytaug.

iz asloa rEVii i^.v'.t5; ila u ^;,ui.isi.::ism Kiizcaj pijvrwu

t f */Mr sm a - l (3J0)

Znamo da jeP'

Tf ^ C + Ff4gtp ~ C'-J~tgq> 111)

Izjednaina (3.10) i (3.11) dobija sa daje

F =yz -H-sincc'cosa

(3.12)

Iz uslova ravnotee sila u pravcu upraynom na kliznu povrinu dobija se

odnosnoP = P+U = W cosa

P' = {fz Hc o s 2a - ^ l (3.14)

Izjednaina (3.12) i (3.14) dobija se da je

c + (yz H Cos2 a - u)tg

ANALIZA STABILNOSTIPADINAIKOSINA

Ukoiiko ii t!u vladaju drenirani uslovi, onda se iz jednaine (3.15) dobija daje

lrF =* s

c'+[yz H cos2 a - ujtgg)'Y H sin o, c q s (x Z

(3.16)

Jednainom (3.16) odreen je faktor siguraosti beskonane kosine u kojoj je vrstoa tla izraena preko efektivnih parametara otpomosti na smicanje.

Specijalni sluajevi jednaine (3.16) su

c'= 0 => Fs = 1 - uyz H' cos a

tg (3.18)

Kadaje c' = 0, a strujanjeje paralelno povrini terena sa nivoom podzemne vode ija je vertikalna visina mH iznad klizne povrine (Sl 3.8), tada je pomi pritisak

u ~ y w 'mH*cos2 agdeje:

yw - zapreminska teina vode.

Tako da je faktor sigumosti jednak

f3V r z )tg

0 < m < 1

Sl. 3.8 Beskonana kosina sa strujanjem koje je paralelno povrini terena

Iz jenaine (3.21) za uslov F = 1,0 dobija se

tga = tg

ANALiZA STABILNOSTIPADINA I KOSINA 99

3,1.5,1.2 Kulmanova metoda

U Kuhnanovoj metoi* (Culmann, 1866) se pretpostavlja a lom nastaje du ravne klizne povrine koja prolazi kroz noicu kosine i zaklapa ugao cc sa horizontalom (Sl 3.9). Osim toga, pretpostavija se da su parametri otpomosti na smicanje du klizne povrine jednoliki, odnosno za proraun se uzimaju njihove prosene vrednosti.

Sl. 3.9 Kulmanova metoda - klizno telo i sile koje deluju na njega

Ovako formulisana metoda spada u

Teina kiiznog tela jednaka je

w = p ,**ABC 2sin(fi- a)

sinfi (3.24)

gdeje:PAabc - povrina trougla ABC

* Ovo je najstarija metoda analize stabilnosti padina i kosina.

100 GEOSTATIKIPRORAUNI

y- zapreminska teina tla H - visina kosine L - duina klizne povrine a - nagib klizne povTine /?- nagib kosine.

U kliznoj ravni eluju normalna P i tangencijalna S otpoma sila.

Iz uslova ravnotee sila u pravcu paralelnom kliznoj povrini dobija se

W 'sina = S = (3.25)

gdeje:Tf - vrstoa smicanja du klizne povrine.

Takodajec-L + P t g p

W 'sina

Iz uslova ravnotee sila u pravcu upravnom na kliznu povrinu dobija se

P = W 'cosa

Iz jednaina (3.26) i (3.27) dobija se daje

F __ C'L+WCosa-tg

ANALIZA STABILNOSTIPAINA I KOSINA 101

a cr {P+

102 GEOSTATIKIPRORAUNI

15

0 0.0675 0.047\5 0.01825 0.0020 0.0335 0.01515 0.004

Kuimanova metoda se primenjuje kod analize stabilnosti strmih homogenih kosina iji je ugao nagiba p * 75. Kod homogenih kosina blaih nagiba ova metoda ne daje pouzdane rezultate, jer tada kritina klizna povrina znatiio odstupa od ravne povrine. Osim toga, ova metoda esto se primenjuje kod kosina proizvoljnog nagiba, ali sa predisponiranom ravnom kliznom povrinom.

Ukoliko na kosinu, osim sopstvene teine, deluju i druge spoljne sile, treba i njih ukljuiti u uslove ravnotee kliznog tela (Jed. 3.25 i 3.27) i na osnovu toga odrediti Fr Tako, na primer, ako du klizne povrine deluje sila pomog pritiska {/, tada se faktor sigumosti odredjuje iz jednaine

C'L+(W'cosa -lf)tg(p s W 'Sina

3.1.5.2 Kruna klizna povrina

3.1.5.2.1 vedska metoda

Ovo je najstarija metoda lamela i njen autor je veanin Felenius (Fellenius, 1927).* Primenjuje se kod krunih kliznih povrina i pretpostavlja da do loma kliznog tela olazi rotacijom oko take O (Sl. 3.10).

i(3.31) 1

* Ova metoda se u literaturi naziva jo "prava metode lamela i konvencionalna metoda".

Sl. 3.10 vedska metoda - klizno telo i sile koje deluju na tipinu lamelu

Mobilisana vrstoa smicanja u osnovi lamele i jednakaje

r < ( 3 3 2 > S ' &

Takodaje

Si = = (3-33)

U postupku analize stabilnosti prelpostavlja se da su medjulamelame sile koje deluju na lamelu i (Z^, Z) paralelne osnovi te lamele (Sl. 3.10)*

Iz uslova ravnotee sila u pravcu koji je upravan na osnovu lamele i dobija se

Pt ^Wr coaat (3.34)

* Optiji pristup podrazumeva daje samo rezultanta svih medjulamelamih sila, koje deluju na neku lamelu, paralelna osnovi te tamele.

Postavljamo uslov ravnotee momenata kliznog tela u odnosu na centar rotacije O

ZWt -R-sinai = Z S r R (3.35)i1 i=l

tj.

iW j sin a t = i ^ f i h + (Pi - lt)*gl ]

nZ Wt'sinai i=i

Jednadina(3.37) moe lako da se reava i bez pomoi elektronskih raunara. Ona, medjutim, zaovoljava samo jedan uslov ravnotee tj. globalnu ravnoteu momenata oko centra rotacije.

Usled pogrene pretpostavke o pravcu medjulamelamih sila* javlja se greka u veliini faktora sigumosti. Njena veliina najee iznosi do 10 %, ali u sluajevima dubokih kliznih povrina i visokog pomog pritiska moe da ide i do 50 %. Ovako dobijene vrednosti Fs su konzervativne, odnosno nalaze se na strani sigumosti.

Slino kao i u Kulmanovoj metodi tako se i ovde, ali za krune Jdizne povrine, moe definisati koeficijent stabilnosti Ns kao

I W{ sin a {

* Usvojenom pretpostavkom o pravcu medjulamelamih sila ruje zadovoljen aksiom o jednakosti akcije i reakcije na spoju izmedju lamela.

ANALIZA STABILNOSTI PAINA IKOSINA 105

cN = -----------5 F rr -H

Koeficijent Ns koristi se za odreivanje minimalnog faktora sigumosti kod homogenih kosina.

Vrednosti Ns date su tabelamo za razne uglove nagiba kosine j8 i unutranjeg trenja

106 GEOSTATiKl PRORAUNl

3.1,5.2,2 Biopova upraeena meioda

Biopovom uproenom metodom (Bishop, 1954) analizira se stabilnost kosina za sluaj krunih kliznih povrina. U postupku prorauna pretpostavlja se da su medjulamelame sile horizontalne*, odnosno zanemaraje se uticaj smiuih mejuiamelamih sila (Sl. 3.11).

Sl. 3.11 Biopova uproena metoda - klizno telo i stte koje deluju na tipinu lamelu

* Biop je analizirao stabilnost kosina, koje imaju krune klizne povrine, metodom u kojoj sejavljajui normalne i smiue medjulamelame sile. Medjutim, ovdeprikazujemo samo uproenu verziju te metode u kojoj se usvaja da susnuuoe medjulamelame sile jednakenuli.

ANALIZA STABILNOSTIPADINA1KOSINA 10'i

Zavisnost izmeju sila Sf i Pf definisanaje Kuion - Morovim uslovom i moe se prikazati u sledeem obliku

s ,. - - A c i !; + (z^ . - U; l ) t g ( p ^ (333)

Jz uslova vertikalne ravnotee siia koje deluju na lameiu i dobija se

odnosno

Ps =

Pt cos di + St sin a { = Wt

wi ~ 4 r{c i h * sin

108 GEOSTATIKIPRORAUNI

Biopova uproena metoda zadovoijava samo n jednaina ravnotee vertikainih sila ijednu globainu jednaiou ravnotee momenata. Medjutim, uprkos tome, ona daje vrednosti faktora sigumosti koje se za samo nekoiiko procenata raziikuju od tanih rezultata*. Zato se ona u geotehnikoj praksi vrio mnogo koristi za analizu stabiinosti krunih kiiznih povrina.

Napominjemo da je Biop u svojoj originalnoj formulaciji eliminisao silu Pit pa jednaina (3.43) dobija sledei oblik

F, = ---- ------- ? |c , b, + (w, - u, (3.44)X W, sina,i=!

U literaturi se u jednaini (3.44) pomi pritisak esto izraava preko koeficijenta pomog pritiska ru. Pri tom se ru definie kao odnos pomog pritiska i ukupnog pritiska i trai se za take na kliznoj povrini (Sl. 3.12), tj.

(3.45)

Veliina ru najee se kree izmeu 0 i 0.5.

U ovom sluaju je

p, = 1 sW.->sina* *Z Wi'Sinai

i-l

gdeje:

(3.47)

Ukoliko se analiza stabilnosti reava bez pomoi elektronskog raunara, ona se najee obavlja tabelamo. S obzirom da se u naoj geotehnikoj praksi

* Pod "tanim " smatra se onaj rezultat koji je dobijen metodom koja zadovoljava sve uslove ravnotee kliznogtela.

ANALIZA STABILNOSTIPADINAIKOSINA 109

Sl. 3. 12 Koeficijent pomog pritiska ru

uglavnom koristi jednaina (3.44), to emo i prikazati odgovarajuu tabelu (Tabela 3.3).

Tabela 3.3. Biopova uproena metoda

PODACILAMELA

1 n I

1 irualamelebj

2 Visinalamelehi

3 Tetna lamele Wj

4 Nagib lamele a j

5 Wj8inaj 5

6 c b i

7 CWj-Ujbj) tgq>j

8 c jbj + (Wj- ujbj) tgpj

=cosai (l+(tg aj tg

U postapku proraima usvaja se iaidjahia vrenost Fs = Fal i sv:kmswmm sproksimacijama trai se reenje jednaine (3,44) tj. vrenost faktora sigiimosti, U Tabeli 3.3 prikazane su dve aproksimacije. Medjutim, njifeov broj u svakom konkretnom sluaju treba da bude toliki da omoguava da se sa eljenom tanou odredi Fs. Ovo praktino znai da razlika izmedju dve uzastopne vrednosti faktora sigumosti treba a bude manja od neke imapred zadate vrednosti (npr. 1 %). U vezi s tim treba znati da je konvergencija vrlo brza i da su najee dovoljne 2 -3 aproksimacije.

Biop i Morgenstem (Bishop and Morgenstem, 1960) su primenili Biopovu uproenu metodu za odreivanje dijagrama stabilnosti koji vae za homogene kosine sa homogenom rasp