Geometrias Mais geometrias - Autenticação · Análise de redes: algoritmos de Prim e ... Hui, “Encyclopedia of GIS”, ... análise espacial exemplo • Interpolação em áreas

Modelo vetorial1. Geometrias e armazenamento2. Modelos de dados não topológicos

(spaghetti)3. Modelos de dados topológicos4. Topologia5. Operadores de análise espacial6. Generalização7. Análise de redes: algoritmos de Prim e

Dijkstra

Sistemas de Informação Geográfica

Geometrias

• Pontos:Estações de monitorização, descargas, captações

• Linhas:Troços de rios, canais de rega, eixos médios, margens de planos de água

• Polígonos:Planos de água, albufeiras, rios.

Geometrias

• O elemento básico da representação vetorial é o ponto, definido pelas suas coordenadas cartesianas.

• As linhas existem como linhas poligonais geradas a partir de um conjunto ordenado de pontos

• Sendo po,…,pn pontos de R2 (n> 0), designa-se por linha poligonal o subconjunto:

L< po,…,pn > ∪ i: 0< i <n-1 [pi,pi+1]

• Uma linha poligonal é simples se∀i: 0< i <n-1, L< po,…,pi > ∩ [pi,pi+1] = ∅

• Uma linha poligonal é um ciclo se:L<po,…,pn-1> é uma linha poligonal simplesL<po,…,pn-1> ∩ [pn-1,pn] = ∅

po=pn

Mais geometrias

Região de polígonos encaixados

Arcos são entidades compostas por segmentos

Arcos podem ser simplemente conexos, disjuntos, com circuitos ou com interseções

Região = entidade composta por polígonos

polígonos disjuntos

polígonos adjacentes

Linhas e polígonos

• Vértice: parte de uma linha poligonal

• Segmento: linha que conecta dois vértices

• Arco: série (1 ou mais...) de segmentos

• Nó: vértice especial no início ou fim de cada arco

• Polígono: série de um ou mais arcos formando um circuito

• Ponto de label ou de âncora: no interior do polígono

Armazenar a geometria

• Por pares de coordenadas:– Ponto: (x,y)– Linha: {(x1,y1),…, (xn,yn)}– Polígono: {(x1,y1),…, (xn,yn), [(x1,y1)]}

x1,y1

x2,y2 x3,y3

x4,y4

x5,y5x6,y6

B

APolígono Coordenadas

A x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4

B x1,y1,x4,y4,x5,y5,x6,y6

entidade-a-entidade


p1

p2 p3

p4

p5p6

B

A

Polígono Pontos

A p1,p2,p3,p4

B p1,p4,p5,p6

Ponto Coordenadas

p1 x1,y1

p2 x2,y2

... ...

dicionário de pontos


cadeias

p1

p2 p3

p4

p5p6

B

A

Cadeia Pontos

a p1,p2,p3,p4

b p1,p4

c p1,p6,p5,p4

Ponto Coordenadas

p1 x1,y1

p2 x2,y2

... ...

a

b

c

Polígono Cadeia

A a,b

B b,c

Modelos não topológicos

• As formas de codificação anteriores armazenam a geometria dos objetos.

• As relações espaciais entre os objetos têm de ser determinadas analiticamente.

• São modelos ditos “não-topológicos/ spaghetti”

– Se duas linhas se cruzam, existe uma relação topológica.

– Não é forçoso existir um vértice na interseção.– O ponto de interseção pode ser determinado

analiticamente (eg: pesquisando interseções entre os segmentos das linhas poligonais).

Modelos não topológicos• Estrutura simples de polígonos

P1 P2

0 10 20 30 40 50

010

2030

4050

Polígono Nome

1 Villarriba

2 Villabajo

• Polígonos com lista de coordenadas

1,4

10,15

5,25

13,37

22,25

2,4

40,10

33,15

28,35

40,40

1 10 15

2 5 25

3 13 37

4 22 25

5 40 10

6 33 15

7 28 35

8 40 40

Polígono Nome Pontos

1 Villarriba 1,2,3,4

2 Villabajo 5,6,7,8

Modelos topológicos

• Um modelo vetorial diz-se “topológico” se as relações espaciais entre objetos forem armazenadas explicitamente.

• Objetivos– menor redundância geométrica (cada

“localização” só é guardada uma vez)– maior integridade– maior rapidez nas análises espaciais

• Exemplos: polygon-arc, arc-node, left-right

Topologia: Polygon-arc

A

D

EB

C

7

10

43

9

8

2

61

5

universo

universo

Polígono Arco

A 1,6,10,5

B 10,7,4

C 5,4,3,9

D 7,6,2,3,0,8

E 8

Topologia: Arc-node

n1

v1 v2

n2

v3v4

B

A

Arco Fnode Tnode Vértices

a n1 n2 v1,v2

b n1 n2

c n1 n2 v4,v3

a

b

c

polígonos, arcos orientados e nós

Topologia: Left-right

A

D

EB

C

7

10

43

9

8

2

61

5

universo

universo

Arco LPoly RPoly

1 U A

2 U D

3 C D

4 B C

5 A C

6 D A

7 D B

8 D E

9 U C

10 A B

Relações topológicas

• Conetividade• Adjacência

As relações topológicas são invariantes quando as

entidades são sujeitas a transformações topológicas,

isto é, quando sofrem translações, rotações ou

variações de escala.

Relações topológicasConetividade

Adjacência

Topologia

• Informação espacial: a topologia fornece o comprimento, distância, perímetro, área.

• Relação espacial: a topologia cria conexões, que funcionalmente ligam entidades que são adjacentes.

• Múltiplas ligações: Cada entidade é ligada a outras entidades, fornecendo múltiplas conexões (ligações).

• Análise de rede: As conexões funcionais, distância, e outras relações espaciais, combinadas com uma BD relacional, são o ideal para interpretar entidades de rede.

A topologia é aplicada (“construída”) habitualmente após a digitalização da

informação

Relações espaciais

O Dimensionally Extended Nine-Intersection Model, ou matriz de Clementini, indica as possívels relações entre geometrias

equals geometries are topologically equal

disjoint geometries have no point in common

intersects geometries have at least one common point

touches geometries have at least one boundary point in common, but no interior points

crosses geometries share some but not all interior points, and the dimension of the intersection is less than that of at least one of the geometries

within geometry “a” lies in the interior of geometry “b”

contains geometry “b” lies in the interior of geometry “a”

overlaps geometries share some but not all interior points, and the intersection has the same dimension as the geometries themselfves

Relações espaciais

• Porquê uma matriz 3x3?

WITHIN - linha A e polígono B

CONTAINS - multipontos A e B

• Apicações em BD espaciais, como PostGIS, Oracle Spatial, ArcSDE, Spatial Support for DB2, bibliotecas SIG

Exa

mp

los

de

Xio

ng

, Hu

i, “E

ncy

clo

ped

ia o

f G

IS”,

Sp

rin

ger

-V

erla

g

Operações de análise espacialOperações que recorrem à componente espacial da informação para a produção de resultados, espaciais ou alfanuméricos.

Conjunto de Dados Geográficos

Operação Espacial

Operação SQL

Sequência de Processo

Indicação de Prioridade no Processo

anál

ise

esp

acia

l

União

Tema A Tema B

Tema C

União (Union)

anál

ise

esp

acia

l

A operação de UNIÃO é a operação fundamental. As restantes operações de sobreposição topológica podem ser vistas como operações sobre subconjuntos de objetos resultantes de operações de união.

União

anál

ise

esp

acia

l

•A operação de União pode só estar definida entre coberturas de polígonos•Entre coberturas de pontos, bastará juntar os dois conjuntos de pontos (append,merge...)?•Entre coberturas de linhas, bastará juntar os dois conjuntos de linhas (append,merge...) e quebrar as interseções?•Há que resolver o problema da sobreposição, o que pode ser feito com o operador de interseção

Int

Tema A Tema B

Tema C

Interseção (Intersect)

anál

ise

esp

acia

l

Um dos temas A ou B tem de ser de polígonos

Interseção

ID

Tema A Tema B

Tema C ( )

Identidade (Identity)

anál

ise

esp

acia

l

Corte

Tema A Tema B

Tema C

anál

ise

esp

acia

l

Corte (Cut, Clip)

Fusão<atributo>

Tema A

Tema C

A1C1 C2

A3 B3

B2

1

3

2

A B

C

Fusão (Dissolve)

anál

ise

esp

acia

l

Eliminação<condição>

Tema A

Tema C

A B

C

A B

C

Eliminação (Eliminate)

anál

ise

esp

acia

l

Atualização

Tema A Tema B

Tema C

Atualização

anál

ise

esp

acia

l

Ext

Tema A

Tema C

<Expressão>

AA

A

A

Extração

anál

ise

esp

acia

l

Tema E

Part

Tema A Tema B

Tema DTemas

Partição

anál

ise

esp

acia

l

Voronoi

Tema A

Tema B

Diagrama de Voronoi

anál

ise

esp

acia

l

O resultado é sempre um tema de polígonos

Buffer< dist >

Tema A

Tema B

Buffer (envolvente)

anál

ise

esp

acia

l

Acesso< valor >

Tema A

Tema B

Acesso

anál

ise

esp

acia

l

acesso ��

Tema linhas Resultado: linhas que distam cumulativamente até

certo valor do tema A

Resultado: polígonos

Próximo

Tema A

Tema Aid_próximo,dist

Tema B id=27

dist=580m

Próximo (Nearest)

anál

ise

esp

acia

l

Que operações?

Que operação?

E se o input for o tema amarelo?

Exemplo de diagrama de análise espacialExemplo de diagrama de análise espacial

Int

Tema A Tema B

Tema D

Buffer30m

Tema C

Tema E

Corte

Tema F

anál

ise

esp

acia

l

IDIDIDID ValorValorValorValorID_PoliID_PoliID_PoliID_Poli SomaSomaSomaSoma

101101101101

102102102102

103103103103

104104104104

105105105105

11111111

10101010

15151515

27272727

33333333

1111

2222

3333

4444

5555

????

????

????

????

????

Int

Tema A Tema B

Tema C

IDIDIDID ValorValorValorValor

101101101101

102102102102

103103103103

104104104104

105105105105

11111111

10101010

15151515

27272727

33333333

ID_PoliID_PoliID_PoliID_Poli

1111

1111

3333

2222

3333

anál

ise

esp

acia

l

ID Valor

101102103104105

1110152733

ID_Poli

11323

S_Valor

212748

ID_Poli

123SELECT ID_Poli , SUM(Valor)

FROM Tema CGROUP BY ID_Poli

ID_Poli Soma

12345

?????

S_Valor

212748

ID_Poli

123

ID_Poli Soma

12345

21274800

análise

espacial

A100C100 C200

A300 B300

B200

100

300

200

A B

C

Int

Habitantes Zonas

Hab_Zon

anál

ise

esp

acia

l

exemplo

• Interpolação em áreas– Implica o cálculo da proporção de cada área num tema que

interseta os polígonos de um outro diferente

Secções estatísticas

Valores populacionais atribuídos proporcionalmente

Fonte: de Smith, Goodchild, Longley: “Geospatial Analysis - a comprehensive guide”, 2nd ed.

A60

C40C150

A100 B200

B50

10.2

11.5

12.3

A160B250

C190

Int

Habitantes Zonas

Hab_Zon

Habitantes

D=N_Hab/área

N_Hab = D*áreaSELECT SUM N_Hab GROUP BY Zona

Tab_HabxZon

Solução simplificada usando a densidade populacional

Solução simplificada usando a densidade populacional

análise espacial

anál

ise

esp

acia

l

Cartas d

e U

sos d

o S

olo

Info

rmação o

btida a

partir d

o P

DM

Ajuste manual dos limites para concelhos adjacentes

Plataforma harmonizada de

trabalho (USOS DO SOLO)

anál

ise

esp

acia

l

Rede viária (PRN2000):

IP, IC, AE e Estradas Regionais

Rede de estradas municipais (AML)

Rede viária

Calibração da rede:

• TMD;• Velocidade mínima;• Perfil da via;• Nº de pistas;• Penalizações

Determinação das isócronas

anál

ise

esp

acia

l

Isófonas

Conversão Analógico-digital

Contabilização das populações abrangidas

Usos urbano e urbanizável

anál

ise

esp

acia

l Informação resultanteInformação resultante

Carta de acessibilidade em transporte individual aos principais aeroportos

Carta de Acessibilidade Regional (em condições desfavoráveis de circulação)

Quantitativo populacional de 1991 e cenários para 2008

Estrutura etária da população

Carta de condicionantes e espaços ecologicamente sensiveis

anál

ise

esp

acia

l

Carta de usos do solo afetados pelo ruído do aeroporto

Carta de usos do solo Carta de fatores de impacte no ordenamento do território

Carta de transformação direta do uso do solo

anál

ise

esp

acia

l

Exercício: LOCALIZAR UM PARQUE DE PIQUENIQUES

OBJETIVO Encontrar os locais com potencial para a construção de um parque de piqueniques.

CONDIÇÕES A zona deverá situar-se:C1 - a menos de 400m e a mais de 100m de estradas;C2 - a menos 300m de uma linha de água;C3 - não ser eucaliptal;C4 - não conter escarpas ou outros obstáculos naturais suscetíveis de produzirem acidentes;C5 - ter área superior a 1 ha.

DADOS - Todos os que identifique como necessários

anál

ise

esp

acia

l

Generalização“A generalização é, antes de mais, uma questão derestrição e seleção da informação de base. Para issoprocede-se à simplificação das entidades na carta e àomissão de entidades pequenas ou poucointeressantes.”

A. Hettner (1910) - Die Eigenschaften und Methoden der

kartographischen Darstellung

“...capturar as características essenciais de uma classe de objetos...”W.R.Tobler (1964) - An experiment in the computer generalization of maps

“Uma generalização adequada depende de informação ecompreensão.”“Uma vez realizada uma generalização, somente pode ser descritacomo boa ou má, não como certa ou errada, uma vez que as alteraçõesintroduzidas na informação têm muitas alternativas possíveis, nãohavendo forma de definir uma solução absoluta.

J.S.Keates (1973) - Cartographic Design and Production

Generalização (cartográfica)

• Em geral designa-se por generalização o processamento de seleção e representação da informação num mapa

• A informação deve adaptar-se à escala a que o mapa será observado/analisado

• Pode considerar-se que a generalização se inicia no processo de aquisição de informação.

• É específica do contexto de utilização• Em mapas em papel, relaciona-se sobretudo com

reduções de escala

Efeitos da redução de escala

• CONGESTIONAMENTO Quando um elevado número de entidades surge num reduzido

espaço.• COALESCÊNCIAQuando diferentes entidades se tocam, tanto devido à resolução do

periférico de output como devido ao simbolismo utilizado.• CONFLITO Quando a representação de uma entidade entra em conflito com as

entidades subjacentes.• IMPERCEPTIBILIDADEQuando uma entidade fica abaixo da dimensão mínima de

representação.

Indicadores de necessidade de generalização

• DENSIDADE Número de pontos, linhas ou áreas por unidade de área, localização

de aglomerados de entidades.• SINUOSIDADE Variação angular por unidade de comprimento, direcionalidade,

energia.• FORMAVariâncias das coordenadas, relações perímetro-área-amplitude.• DISTÂNCIADistâncias entre pontos, linhas e áreas, entidades abrangidas por

“buffers” em torno de entidades• “GESTALT”Características percetuais (continuidade, similaridade).• MEDIDAS ABSTRACTAS Avaliações conceptuais da distribuição espacial (homogeneidade,

simetria, repetição e complexidade).

Operadores de generalização

• SIMPLIFICAÇÃOredução do número

de vértices.

• SUAVIZAÇÃOdeslocamento de

vértices obtendo uma diminuição de sinuosidade.


• AGREGAÇÃOagrupamento de diversas

entidades numa outra entidade hierarqui-camente superior.

• AMALGAMAÇÃOpreservação das

características gerais de uma área por dissolução detalhes contidos.


• FUSÃOcombinação de

entidades lineares que não podem ser representados separadamente.

• COLAPSOmudança de classe

topológica (área-linha,área-ponto).


• REFINAMENTOseleção de um

subconjunto de entidades representativo e manutenção do padrão de distribuição.

• EXAGEROexagero na dimensão e

forma de objetos para evidenciar as suas características.


• REALCEalteração de forma,

dimensão e principalmente de tipo de símbolo por forma a evidenciar a entidade.

• DESLOCAÇÃOdeslocação das

entidades relativamente à sua posição original para permitir legibilidade e utilização de simbologia.


• OMISSÃOnão representar

determinadas entidades.

• CLASSIFICAÇÃOagrupamento de

atributos segundo proximidade numérica.

Efeitos da generalização na estrutura SIG

• Diminuição de comprimento de linhas

• Alteração de áreas

• Alteração de posições relativas dos objetos

• Mudança de classe topológica

• Diminuição do número de entidades

nó / vértice

arco / aresta

Um grafo representa uma rede por um conjunto de arcos e de nós.

Uma entidade linear que liga nós é um arco ou aresta.

Os nós ou vértices representam interseções entre os arcos ou as extremidades destes.

Redes em SIG

•coordenadas xx, yy•nome ou código da via •direção•classificação: EM, EN, AE, IP, IC, via urbana•limite de velocidade •volume de tráfego•comprimento•valor cénico•impedância

Atributos dos arcos e dos nós

• G = (V, A), A⊆V2

Exemplo: V = {1,2,3,4}

A = {(1,2),(2,3),(1,4),(2,4)}

Grafo simples � não há mais que uma aresta a ligar um par de nós

1 2

4 3

Grafos simples

1 2

4 3

grafo simplesgrafo não simples

Impedância ou custo de um arco: custo do seu atravessamento

Impedâncias

Impedância de mudança de arco: tempo ou pena-lização de efetuar uma mudança

Análise de caminhos mais curtoscaminhos � algoritmo de Dijkstra (fig. esq.)circuitos � problema do caixeiro-viajante (fig. dir.)

Árvore de dispersão mínima� algoritmo de Prim

Algoritmos de análise de redes

Algoritmo de Prim

2 3

6 5

1 4

24

24

18

13 11

5

12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimoT = {u,v}enquanto T e V forem diferentes

acrescentar em T o nó v*:(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T

fim ciclo;

2 3

6 5

1 4

24

24

18

13 11

5

12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimoT = {u,v}enquanto T e V forem diferentes

acrescentar em T o nó v*:(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T

fim ciclo;

T = {3,5}, custo total = 5

T = {3,5,4}, custo total = 10

T = {3,5,4,2}, custo total = 23

T = {3,5,4,2,6}, custo total = 35

T = {3,5,4,2,6,1}, custo total = 59

2 3

6 5

1 4

24 13

5

12 5

Algoritmo de Prim

Encontrar o caminho mais curto (de menor custo) de modo a ligar dois locais na rede.Exemplo: de 1 para 4

2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Construir duas listas indexadas pelos nós:distpredecessor

e uma lista de nós que falta visitar

Algoritmo de Dijkstra

2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

para todos os v ∈ V,dist(v) = ∞;

fim ciclo;dist(início) = 0; lista = V;predecessor(início) = *indefinido*;enquanto lista ≠ ∅

escolher v ∈ lista: dist é aí mínimo;lista = lista \ {v};para todos os u ∈ lista: (v, u) ∈ A

se dist(u) > dist(v) + custo(v,u)então dist(u) = dist(v) + custo(v,u);

predecessor(u)=v;fim ciclo;

fim ciclo;


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5






fim ciclo;

vért. dist pred

1 ∞∞∞∞

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞






fim ciclo;lista = {1,2,3,4,5,6}


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞






fim ciclo;lista = {2,3,4,5,6}

v = 1


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 24 1






fim ciclo;lista = {2,3,4,5,6}

v = 1


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 ∞∞∞∞

5 42 6

6 24 1






fim ciclo;lista = {2,3,4,5}

v = 1,6


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 47 5

5 42 6

6 24 1






fim ciclo;


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Sequênciavez=0

lista = {1}pred(1) = *indefinido*custo(1) = 0

vez=1cand: (1,2)�0+30; (1,6)�0+24lista = {1,6}pred(6) = 1; custo(6) = 24

vez=2cand: (1,2)�0+30; (6,2)�24+12; (6,3)�24+17; (6,5)�24+18lista = {1,2,6}pred(2) = 1; custo(2) = 30

vez=3cand: (2,3)�30+13;(6,3)�24+17; (6,5)�24+18lista = {1,2,3,6}pred(3) = 6; custo(3) = 41


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Sequência (cont.)vez=4

cand: (3,4)�41+11;(3,5)�41+5;(6,5)�24+18lista = {1,2,3,5,6}pred(5) = 6; custo(5) = 42

vez=5cand: (3,4)�41+11;(5,4)�42+5

lista = {1,2,3,4,5,6}pred(4) = 5; custo(4) = 47

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 47 5

5 42 6

6 24 1


Indicadores topológicosIndicadores topológicos baseados na rede (conetividade)

Medida Domínio Expressão Avaliação

Número deciclos

rede número de ciclos no grafo

Índice α rede número de ciclos em relação ao número máximo possível

de ciclos

Índice β rede número de arestas (troços) em relação ao número de vértices

Índice γ(entre 0 e 1)

rede número de arestas em relação ao máximo possível

SVA +−

52 −

+−

V

SVA

V

A

63 −V

A

A = #arestas V = #vértices S = #subgrafos conexos

calcular p/ estas redes��

Indicadores topológicosIndicadores métricos baseados em distâncias (acessibilidade)

Medida Domínio Expressão Avaliação

Número de König

nó centralidade de um nó (número de arestas necessárias para o ligar com o nó que seja mais

distante)

Diâmetro rede distância (custo) entre os dois nós mais afastados

Índice de conetividade

nó grau de conetividade de um nó

Índice de dispersão ou de Shimbel

rede soma dos graus de conetividade de todos os nós

ijj

i dK max=

ijji

d,

max

∑=

=V

jiji dA

1

∑∑= =

=V

i

V

jiji dA

1 1

calcular p/ as redes do slide anterior

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