Interpolação - Parte II - @professorenan

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Interpolação

Interpolação


• Interpolação Linear

• Interpolação Polinomial: Método de

Lagrange

• Interpolação Polinomial: Método de

Newton

Definição

Interpolação


Interpolação é o processo de estimar valores de uma

função para valores de diferentes de , para , sabendo‐se apenas

os valores denos pontos

Qual o valor de para

x

y ) ) ) )

Interpolação


Interpolar

• Consiste em determinar uma função que assume valores

conhecidos em certos pontos;

• Para cada pontos, pode-se obter uma função polinomial de

grau até ;

• Assim, para interpolar uma função de grau 1, precisamos de

dois pontos , de modo que o valor de para o qual o valor de

esteja no intervalo

Interpolação


Interpolar: exemplo

O polinômio de grau 3 interpola a função em quatro

pontos.

Interpolação


• Interpolação Linear

Interpolação Linear

Interpolação


Polinômio Interpolador

𝑷 𝟏 (𝒙 )=𝒚𝟎+𝒚𝟏− 𝒚𝟎

𝒙𝟏− 𝒙𝟎(𝒙−𝒙𝟎)

Vem da equação da reta!

Interpolação Linear: exemplo

Interpolação


1) O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é apresentado na tabela:

a) Calcule

Onde t é igual ao instante 30min.

número de horas (x) 0 1 2 3 4

número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

30𝑚𝑖𝑛=0 ,5𝑒𝑚 𝑥


Interpolação



a) Calcule , onde t é igual ao instante 30min.




Interpolação


a) Calcule , onde é igual ao instante 30min.



𝑃1 (𝑥 )=32+ 47−321−0

(0,5−0)

𝑃1 (𝑥 )=32+ 151

(0,5)

𝑃1 (𝑥 )=32+7,5𝑷 𝟏 (𝒙 )=𝟑𝟗 ,𝟓


Interpolação



b) Calcule

Onde t é igual ao instante 1h12min.



1h


Interpolação


b) Calcule P1(t) , onde t é igual ao instante 1h12min.



𝑃1 (𝑥 )=47+ 65−472−1

(1,2−1)

𝑃1 (𝑥 )=47+ 181

(0,2)

𝑃1 (𝑥 )=47+3,6𝑷 𝟏 (𝒙 )=𝟓𝟎 ,𝟔


Interpolação



c) Calcule




2h30𝑚𝑖𝑛=2,5𝑒𝑚𝑥


Interpolação


c) Calcule P1(t) , onde t é igual ao instante 2h30min.



𝑃1 (𝑥 )=65+ 92−653−2

(2,5−2)

𝑃1 (𝑥 )=65+ 271

(0,5)

𝑃1 (𝑥 )=65+13,5𝑷 𝟏 (𝒙 )=𝟕𝟖 ,𝟓


Interpolação



d) Calcule




3h 42𝑚𝑖𝑛=3,7𝑒𝑚𝑥


Interpolação



d) Onde t é igual ao instante 3h42min.



Interpolação


• Interpolação Polinomial

Método de Lagrange

Interpolação Polinomial: Método de Lagrange

Interpolação



𝑳𝒏 (𝒙 )=∑𝒊=𝟎

𝒏

𝒚 𝒊∏𝒋=𝟎𝒋≠ 𝒊

𝒏 𝒙 −𝒙 𝒋

𝒙 𝒊−𝒙 𝒋

Vem do Polinômio de diferença dividida de Newton!


Interpolação


Polinômio Interpolador: Exemplo de um de grau 2.

𝑳𝟐 (𝒙 )=𝒚𝟎

𝒙−𝒙𝟏

𝒙𝟎− 𝒙𝟏.𝒙− 𝒙𝟐

𝒙𝟎−𝒙𝟐+𝒚𝟏

𝒙−𝒙𝟎

𝒙𝟏− 𝒙𝟎.𝒙− 𝒙𝟐

𝒙𝟏−𝒙𝟐+𝒚𝟐

𝒙−𝒙𝟎

𝒙𝟐− 𝒙𝟎.𝒙− 𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏


Interpolação



a) Calcule , onde é igual ao instante 3h42min.




Interpolação







Interpolação






Interpolação





Interpolação


• Método de Lagrange: Vantagens.

• Quando é feita somente uma interpolação, este método é

tão eficiente quanto o de Newton (que veremos a seguir) e

mais prático por não ser necessário armazenar as tabelas

de diferença dividida.

Interpolação


• Método de Lagrange: Desvantagens.

• Quando é necessário fazer várias interpolações, este

método fica com uma quantidade de cálculos excessiva.

• Quando um novo termo é adicionado, é necessário

recalcular todos os valores de que é o termo:

∏𝒋=𝟎𝒋≠𝒊

𝒏 𝒙− 𝒙 𝒋

𝒙 𝒊− 𝒙 𝒋

Interpolação


• Interpolação Polinomial:

Método de Newton

Interpolação Polinomial: método de Newton

Interpolação



Exemplo de grau 2!


Interpolação


1) Exemplo: Seja da na forma:

a) Escolher as abscissas dos pontos para calcular usando um polinômio de grau 2.

b) Monte a tabela de diferenças dividas e obtenha usando um polinômio de grau 2 na forma de Newton.

x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32


Interpolação




x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32

Deve-se escolher 3 pontos de interpolação. Como 0,47 (0,4; 0,52), dois pontos deverão ser 0,4 e 0,52. O outro pode ser tanto 0,34 quanto 0,6 pois:


Interpolação




x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32

0 0,20 0,161 0,34 0,222 0,40 0,273 0,52 0,294 0,60 0,32


Interpolação


0 0,20 0,161 0,34 0,222 0,40 0,273 0,52 0,294 0,60 0,32


Interpolação


0 0,20 0,16 0,16 0,42861 0,34 0,22 0,22 0,83332 0,40 0,27 0,273 0,52 0,29 0,294 0,60 0,32 0,32


Interpolação


0 0,20 0,16 0,16 0,42861 0,34 0,22 0,22 0,83332 0,40 0,27 0,27 0,16673 0,52 0,29 0,29 0,37504 0,60 0,32 0,32


Interpolação


0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,02351 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,70332 0,40 0,27 0,27 0,16673 0,52 0,29 0,29 0,37504 0,60 0,32 0,32


Interpolação


0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,02351 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,70332 0,40 0,27 0,27 0,1667 1,04153 0,52 0,29 0,29 0,37504 0,60 0,32 0,32


Interpolação


Se forem escolhidos x0 = 0,34, x1 = 0,4, e x2 = 0,52 então:

0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,02351 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,70332 0,40 0,27 0,27 0,1667 1,04153 0,52 0,29 0,29 0,37504 0,60 0,32 0,32


Interpolação




Interpolação



Exercícios


Exercícios

Interpolação



a) Calcule pelo método de Interpolação Linear


0 1 2 3 4

32 47 65 92 132

Exercícios

Interpolação


2) Dada a tabela:

a) Calcule o valor aproximado de pelo método de Interpolação Linear.

0,1 0,2 0,3 0,4

0,0017 0,0035 0,0052 0,007


Interpolação



a) Calcule pelo método de Lagrange, onde é igual ao instante 3h15min.




Interpolação





x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32

Referências Bibliográficas


ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.

CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed.. Mc. Graw-Hill. 1990.

CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.

SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária da UFPE, 2006.

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