GEOMETRIA 2DO OK.pdf

7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf

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I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra

Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria

1

Figuras geomtricas

Son las ideas obtenidas a partir de la forma de unobjeto.

Elementos geomtricos

Son las ideas geomtricas que no tienen medida.

A. El Punto

Es la idea geomtrica ms pequea. La marca

de un lpiz, un grano de azcar, un residuo de

tiza, etc., nos dan la idea de punto. Se nombra

con una letra mayscula.

B. La Recta

Los puntos sucesivos en una misma direccin

e ilimitadamente nos representa una recta. Se

nombra con una letra minscula.

C. El plano

Es la idea geomtrica obtenida a partir de la

mayora de superficies. Todo plano puede

obtener completamente figuras geomtricas. Se

le nombra con una letra mayscula.

Plano R

Rectngulo

Tringulo

Trapecio

Circunferencia

Cilindro

Prisma

A Punto A M Punto M

Recta l

l

GEOMETRA.

NOCIONES PRELIMINARES.


2/87



2

1. Cuntas rectas se pueden trazar que pasenpor A, B y C?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. Cuntas rectas se pueden trazar por A, B,C y D?

a) 3 b) 8 c) 4d) 5 e) 6

3. Cuntas rectas se pueden trazar por lospuntos: A, B, C, D y E?

a) 8 b) 5 c) 6d) 12 e) 10

4. Cuntos tringulos hay en el grfico?

5. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?






A

B

C

AB

CD

A

B C

D

E

PROBLEMAS PARA LA CLASE N 01


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3



3. En el grfico anterior, cuntos tringuloshay?


5. Graficar tres rectas que pasen por el puntoA.

A

6. Graficar las rectas que pasen por los puntosmostrados, y responde cuntas rectas hay.

B

CA

7. Graficar las rectas que pasen por los puntosP, Q, R y S, y responde cuntas rectas

hay.

S

P R

8. Graficar las rectas que pasen por los puntosmostrados y dar el nmero de rectas.

A F

B E

C D



11. Halle el nmero total de tringulos.

B

A

P

C

D

TAREA DOMICILIARIA N 01


4/87



4


2. Cuntas circunferencias hay en el grfico?


4. Graficar un punto E y trazar todas las rectasque pasen por E. Cuntas rectas puedes

contar?

a) 1 b) 2 c) 3d) 10 e) infinitas

5. Graficar a los puntos A y B. Cuntasrectas se pueden trazar de tal manera quepasen a la vez por A y B?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


B

A

P

C

D

TALLER DE APRENDIZAJE N 01


5/87



5

Rectas paralelas

Dos rectas paralelas son aquellas que no tienenpunto de corte.

Rectas secantes

Dos rectas son secantes si tienen un punto encomn.

Planos paralelos

Son aquellos que no tienen ni un punto encomn.

P y Q son planos paralelos (P // Q)

Planos secantes

Son aquellas que tienen una recta en comn.

R y Q son planos secantes

es la interseccin entre R y Q

Partes de una recta

a. Rayo.-Es la parte de una recta que tiene unpunto de origen y es ilimitado en un slosentido.

b. Segmento de recta.- Es la porcin de lnearecta que tiene por extremos a dos puntos. Sumedida se expresa en unidades de longitud.

AB = 24 cmSegmento AB:

MN = 36 cmSegmento MN:

a

b

a es paralela a b ( a // b)

m

n

P

P es el punto de interseccin

m y n son secantes

l

A B

24 cm

M

N

36 cm

MN

GEOMETRA.

IDENTIFICACIN DE LOS ELEMENTOS GEOMTRICOS


6/87



6

1. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes y una

circunferencia.a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 11

2. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y unacircunferencia.a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

3. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre ocho rectas paralelas y unacircunferencia.a) 12 b) 16 c) 18d) 20 e) 22

4. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre un tringulo y una circunferencia.a) 6 b) 4 c) 9d) 8 e) 10

5. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos rectas secantes y un tringulo.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

6. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y cuatro rectas

secantes.

7. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes.

8. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco circunferencias secantes.

9. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos tringulos y una circunferencia.

10. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre un tringulo, un cuadriltero y unacircunferencia.



7/87



7

1. Cuntos puntos de corte hay en elgrfico?

2. Cuntos puntos de corte hay?

3. Hallar el mximo nmero de puntos decorte de cuatro rectas secantes.

4. Hallar el mximo nmero de puntos decorte de tres rectas paralelas y dos rectassecantes.

5. Hallar el mximo nmero de puntos decorte entre cinco rectas paralelas y unacircunferencia.

6. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas paralelas y un tringulo.

7. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes y un tringulo.

8. Hallar el nmero mximo de puntos de corteentre un cuadriltero y una circunferencia.

9. Cuntos puntos de corte hay?

10. Cuntos puntos de corte hay entre eltringulo, la circunferencia y las dos rectasparalelas?

B

A C



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8

1. Hallar el nmero de puntos de corte al graficarcuatro rectas paralelas y una recta secante a

ellas.

2. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes entre s.

3. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y dos rectassecantes.

4. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cuatro rectas secantes.

5. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos rectas paralelas y unacircunferencia.

6.- Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes y dos paralelas.a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 27



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9

Puntos colineales

Son puntos que pertenecen a una lnea recta.

A, B y C son puntos colineales porquepertenecen a y se pueden contar tressegmentos de recta.

Segmentos consecutivos

Son segmentos que tienen un extremo comn y

son de 2 tipos:

Suma y resta entre longitudes de segmentos

consecutivos y colineales

Observacin:

I.

II. Punto medio de un segmento de recta.- Es

el punto que pertenece al segmento y lo divide

en medidas iguales.

A B C

L

L

A

B

C

A

BC

D

No colineales

A B C

DA B C

Colineales

E F H

EH = 8 + 14 = 22 cm

8 cm 14 cm

P Q R

PQ = 36 - 12 = 24 cm

12 cm

36 cm

AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm

A B C D14 cm10 cm6 cm

LE = 23 - (13 + 7)LE = 3 cm

23 cm

A L E J7 cm13 cm

MP = a + b

M N P

ba

AN = x - y

yA N Q

x

13 cm

A M B

26 cm

13 cm

M es punto medio de AB

aP Q R

Q es punto medio de PR

a

GEOMETRA.

SEGMENTOS DE RECTA


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10

1. De acuerdo a la figura, indicar si esverdadero (V) o falso (F) lo que acontinuacin se menciona.

a) AB BC = AC ( )

b) AB BC = AC ( )

c) AB BC = B ( )d) AB + BC = AC ( )

2. De acuerdo a la figura. Calcule BC. AD =10, AC = 8 y BD = 6

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

3. Hallar mBC . Si: AB = 10, BD = 24 y C es

punto medio de AD ?

a) 2b) 3c) 5d) 7

e) 8

4. Halle el valor de mBC . Si: AB = 14, BD =

18 y C es punto medio de AD .

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5. Relacione de manera adecuada lo que a

continuacin se menciona

El postulado de la reunin, indica queeles igual a la suma de las

Dos segmentosson.. si tienen lamisma longitud.

La mnima distanciaentre.......es la longitud delsegmento que los une.

6. Si: A, B, C y D son puntos colineales. Halleel valor de BC cuando AC = BD = 3 y AD =

5

a) 1 b) 2 c) 3d) 0,5 e) 1,5

7. Halle el valor de BC. Si AD = 12, AC = 10y BD = 9

a) 5b) 4c) 6d) 8e) 7

8. Halle el valor de x. Si : PR = 30

a) 8b) 20c) 10d) 15e) 6

9.Si : AB = 12

a) 2

b) 4c) 6d) 8e) 10

10. Halle el valor del menor segmentodeterminado, Si : AD = 21

a) 12b) 2c) 6d) 3e) 4

11. Del problema anterior, halle el valor de:CDBCa) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A.


A B C

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

P Q R

x x + 10

A M B

A B C D

x+3 x+4 x+5


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11

1. De acuerdo a la figura indicar. Si esverdadero (V) o falso (F) lo que a

continuacin se menciona.

PQ + QR = PR ( )PRQR = PQ ( )

PQ QR = PR ( )

PR PQ = PQ ( )

2. De la figura, indique el valor de BC

a) 3b) 5c) 7d) 9e) 4

3. De la figura, halle la longitud del menorsegmento. Si : AC = 10

a) 2b) 2,5

c) 3d) 3,5e) 4

4. Halle el valor de la longitud del menorsegmento. Si : AD = 27) 9b) 8c) 7d) 6e) 5

5. Calcule la mnima distancia entre los puntosA y D.

a) 5b) 10c) 7d) 8e) Imposible

6. De acuerdo a la figura. Halle el valor de : AB+ BD

a) 10b) 15c) 5d) 20e) 12

7. Del problema anterior, indique si esverdadero (V) o falso (F) lo que acontinuacin se menciona.

a) AB = BC ( )b) BCAB = 2 ( )

c) AD = 15 ( )d) AD BC = BC ( )8. Encuentre el valor de: ABBC

a) 0b) 5c) 7d) 2e) F.D.

9. De acuerdo a la figura relacionecorrectamente los datos de ambascolumnas.

a) x ( ) 12b) ABBM ( ) 5c) AB ( ) 2

d) BM MC ( ) BC

10. Calcular BC, si: AB = 10, BD = 16 y C espunto medio de AD.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

11. Halle el valor del mayor segmento,determinado por los puntos A, B y C.

a) 2b) 8c) 10d) 6e) imposible


P Q R

A B C D

12

10

15

A B C

x x + 3

A B C D

x - 1 x + 1x

3 + x 2 + x 52x

x + 3 x + 5 7 - 2x

A B C D

A B C D

x + 7 x

A B C

A B CM

x + 10 x + 5 9 - x

A B DC

A B C

x + 2 8 - x


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12

1. Calcular BC, Si : AD = 12, AC = 9 yBD = 10

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4

2. Halle el valor de ABBC.

a) 9b) 12c) 15d) 3e) 5

3. Halle el valor de BCa) 10b) 20c) 30

d) 40e) 50

4. Del problema anterior. Hallar mACmBC.

a) 10

b) 20c) 15d) 13e) 12

5. Relacione de manera adecuada los datos deambas columnas.

a) ( ) MBMA = 5

( ) AM = MB

( ) AM MB

6. De acuerdo a la figura. Halle el valor de:BCABa) 5b) 10c) x50

d) 0e) F.D.


A B C D

12 + x 3 +x

A B C

P2

A B C

2P2

30

A M B

A M B

a + 1 a

A M B

a a + 5

x50+ x50

C B A


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13

El ngulo est formado por dos rayos con el mismo origen donde dicho punto representa el vrtice delngulo.

- ngulo AOB: ; AOB

- es la medida del ngulo

Clases de ngulos

A. ngulo agudo

Es el ngulo cuya medida es menor de 90.

O

A

B

Lados

Vrtice

0

180

90

70

1

80

70

0

TRANSPORTADOR

0

90

110110 0

TRANSPORTADOR

O

A

B

40

m AOB = 40 m Q = 60

Q

R

P

60

N

E

M

80

m MNE = 80

GEOMETRA.

NGULOS.


14/87



14

B. ngulo recto

Es el ngulo cuya medida es 90.

C. ngulo obtuso

Es el ngulo mayor de 90 y menor de 180.

D. ngulo llano

Es el ngulo que mide 180 y se grafica como una recta.

Observacin:Las rectas secantes que forman 90 se llaman rectas perpendiculares.

y son perpendiculares

m AOC = 90

O C

A

m EMN = 90

M

NE

m D = 90

DE

H

m AOB = 100

O

100

A

B

m PQT = 120

Q

120

P

T

m B = 160

B

160

mBOC

=180

O

180B

C m P = 180

P

180

l1 l2l1

l2


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15

1. Graficar un ngulo de 138 y cmo seclasifica.

2. Graficar un ngulo de 64 y cmo se clasifica.


4. Medir los ngulos de vrtices A y B y cmose clasifica.

5. Medir los ngulos de vrtices P y R. Luegoclasificarlos.

6. Trazar dos rectas perpendiculares a la recta l.

7. Medir los ngulos de vrtices A, B y C,luego sumar los resultados.

8. Medir los ngulos de vrtices P, Q y R,luego sumar los resultados.

9. Medir los ngulos de vrtices A, B, C yD, luego sumar los resultados.

10. Calcular

A

B

C

P

Q

R

l

A

B

C

P

Q

R

A

B

C

D



16/87



16

Graficar los ngulos que se indican y decir su tipo.

1. 35

2. 65

3. 104

4. 170

5. 28

6. 126

7. 58

8. 46

9. 120

10. 10



17/87



17

1. En el grfico, mide los ngulos de vrtices Ay B.

mA = .................

mB = .................

2. En el grfico, mide los ngulos de vrtices By C.

mB = .................

mC = .................







A

B

C

A

B

C

D



18/87



18

ngulos opuestos por el vrtice

Son los ngulos que se forman al trazar dos rectassecantes.

ngulos consecutivos

Son dos; tres o ms ngulos que tienen el mismovrtice y un lado en comn respectivamente.

Suma y resta de ngulos consecutivos

Observacin

La bisectriz de un ngulo es el rayo que divide al nguloen dos nuevos ngulos de medidas iguales.

A

Vrtice

B

Vrtice

A

B

C

O

40 60

AOB y BOC son consecutivos

P

Q

R

S

50

7020

O

POQ; QOR y ROS son consecutivos

D

A

B

C

35

3025

O

AOB; BOC y COD son consecutivos

POQ; QOR y ROS son consecutivos

S

Q

R

3580

65

OP

Recta

A

B

y

O

C

y = +

A

B

x

O

C

x = -

OM es bisectriz del AOB

A B

O

M

OP es bisectriz del COD

C

D

O

P

GEOMETRA.

OPERACIONES CON NGULOS CONSECUTIVOS.


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19

1. Si: es bisectriz del AOB, hallar .

a) 48 b) 96 c) 12d) 36 e) 24

2. Hallar

a) 72 b) 74 c) 59d) 68 e) 78

3. Si: mAOB = 30 y mBOC = 80

Adems es bisectriz del , hallarmBOM.

a) 35 b) 25 c) 15d) 45 e) 40

4. Hallar , si: mAOD = 80.

a) 15 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

5. Hallar x

a) 16 b) 18 c) 20

d) 22 e) 25

6. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y

BOC de tal manera que el ngulo AOB mide

50. Calcular la medida del ngulo formadopor las bisectrices de los ngulos AOC y BOC.

7. Si: mBOC = 80; OM y ON son bisectrices de

los ngulos AOC y COD, calcular la mMON.

8. Calcular x, si: mAOC + mBOD = 130

9. Se tiene dos ngulos consecutivos POQ y

QOR. Se traza OM bisectriz del POQ.

Si: mPOR + mQOR =140, calcular la

mMOR

5

48A

MB

O

C

Recta

DOA

C

38 64

B

AOC

A

BM

O

C

3

D

A

B

O

C

Recta

DOA

C

x

4x

B

A

B

C

DO

N

M

x

B

C

DO

A



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20

1. Si: mAOB = 20 y m AOC = 100, hallar:

mBOC.

2. Si: m AOD = 120, m BOC = 70 y m AOB .

3. Hallar

4. Hallar x

5. Hallar x, si: m AOD = 110.

6. Hallar x

7. Si: m AOC = 120, m BOC = 20 y esbisectriz del ngulo AOB, hallar: m MOC.

8. Si: m es bisectriz del POR, hallar: m MOQ.

9. Si: es bisectriz del y es bisectriz

del , hallar: m MON, si adems: m BOC = 40.

10. Si: m AOB = 36, y son bisectricesde los ngulos AOB y COD, hallar: m MON.

A

BC

O

A

B

C D

O

32

x

4x

A

B C

D

x2x

50

O

x1203x

OM

A

M B

C

O

OM

P

M Q

R

O

OM AOC ON

BOC

A

M B NC

O

OM ON


A

M

B

C

N

DO


21/87



21

1. En el grfico, hallar .

2. Hallar x, si: mAOC = 158 y es

bisectriz del .

3. Hallar , si: mAOC = 80.

4. Hallar "x"

5. Hallar "x", si: mAOC = 84.

6. Si: m

AOB - m

BOC = 70; calcular lamMOB, si es bisectriz del AOC.

30

2

OM

BOC

C

O

Ax

64

B

M

4

C

O

A

B

COA

B

Recta3x

x

32 + x28

A

BC

O


M

B

C

OA


22/87



22

Los ngulos de referencia son los de 90 y 180de tal manera que al conocer un ngulo agudo uobtuso se pueden relacionar con dichos ngulos.

Complemento de un ngulo

Es el ngulo que le falta a un ngulo dado paraser igual a 90.

Complemento de 30 = 90 - 30Complemento de 30 = 60

Complemento de 50 = 90 - 50Complemento de 50 = 40

Complemento de 62 = 90 - 62Complemento de 62 = 28Suplemento de un ngulo

Es el ngulo que le falta a un ngulo dado paraser 180

Suplemento de 40 = 180 - 40Suplemento de 40 = 140




Observacin:

Dado un ngulo :- Complemento de = (90 - )

- Suplemento de = (180 - )

30

50

62

40

100

60

130

GEOMETRA.

SUPLEMENTO Y COMPLEMENTO DE UN NGULO


23/87



23

1. Calcular el complemento de 32.

2. Calcular el suplemento de 48.



5. Calcular el complemento de 28 ms el suplementode 108.

6. Calcular el suplemento de 46 menos elcomplemento de 72.

7. Calcular el complemento de 74 y luego del

resultado su suplemento.

8. Calcular el suplemento de 134 y luego elcomplemento del resultado.

9. Calcular el complemento de 56 y luego elcomplemento del resultado.

10. Calcular el suplemento de 108 y luego elsuplemento del resultado.

11. Calcular la medida de un ngulo cuyo suplemento ycomplemento suman 200.

12. Si el complemento de un ngulo es el doble de lamedida de dicho ngulo, calcular la medida de dichongulo.

13. Calcular el suplemento del complemento de 70.

14.Si el complemento del suplemento de 3 y elcomplemento de suman 80, calcular el

suplemento de .

15. Si el suplemento de un ngulo es el cudruple de sucomplemento, calcular la medida de dicho ngulo.



24/87



24








8. Calcular el suplemento de 100 ms el complemento de 50.

9. Calcular el suplemento de 80 menos el complemento de 60.

10. Calcular el complemento de 70 ms el suplemento de 130.

11.En el grfico, hallar x y tambin el complemento de x.

12. Hallar "" y tambin el suplemento de .

13. Si: m


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25

1. Hallar x

2. Hallar el complemento de .

3. Hallar el complemento de 16 ms elsuplemento de 128.

4. Hallar la suma del complemento de 44 y delcomplemento de 58.

5. En se ubica el punto B, tal que: AB - BC= 10. Calcular la distancia de B al puntomedio de .

6. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos G, O, K y U. Calcular

GU, si: GK = 20y GU + KU = 50.

x

3x2x

4x

A

B C

D

139

2 100

O

AC

AC



26/87



26

I. NGULOS ALTERNOS INTERNOS

Son los pares de ngulos que se encuentranentre dos rectas y en lados diferentes de larecta secante.

A.

es secante a las rectas y

no es paralela a

Entonces:

B.

es secante a las rectas paralelas y

( // ).

Entonces:

Si:

Entonces:

II. NGULOS CORRESPONDIENTES

Son los pares de ngulos que se encuentrana un mismo lado de la recta secante y a unmismo lado de cada recta.A.

Las rectas y no son paralelas.

Entonces:

B.

Si: //

Entonces:

m

L1

L2

m L1 L2

L1 L2

es diferente a

y son medidas de ngulos alternos internos

n

x

y

L1

L2

n L1

L2

L1 L2

x = y

x e y son medidas de ngulos alternos internos

L1

L2

L1

L2

=

y son medidas de ngulos alternos internos

a

b

L

a b

no es igual a

y son medidas de ngulos correspondientes

m

n

L

m n

=

y son medidas de ngulos correspondientes

GEOMETRA.NGULOS DETERMINADOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTE


27/87



27

1. Hallar , si: // .

2. Si: // , hallar x.

3. Si: // , hallar .

4. Hallar x, si: // .


6. Hallar , si: // .


8. Hallar x

9. Hallar x


a b

54

a

b

m n

115

x

m

n

L1 L2

L1

L2

48

2

a b

142

x + 30 a

b

m n

3 54

m n

m n

136

m

n

a b

x

44

a b

128

x

122

2x

L1 L2

L1

L2

148

4x



28/87



28

1. Hallar x, si: .

2. Hallar y, si: .


4. Hallar y, si:

5. Hallar x, si: .

6. Si: // , calcular x

7. Calcular x, si: //

8. Si: // // , calcular x



11.Hallar x, si:

m // n

148

m

nx

a // b

46a

b

y

L1 L2

138

2x

L1

L2

a // b

111

3y

a

b

a // b

1562x+4

a

b

a b

2xa

b58

m n

x

50 m

n

110

a b c

x50b

c

a70

m n

x116

n

m

122

L1 L2

x

110L1

40

L2

m // n

71

3x - 1m

n



29/87



29





5. Si: // // , hallar x.


a b

144

3x

a

b

m n

126

9x

m

n

m n

x + 40

34

m

n

a b

4

20

a

b

L1 L2 L3

134

x

52

L1

L2

L3

m n

m

n2

2

x



30/87



30

i) ngulos opuestos por el vrtice son de

medidas iguales

ii) ngulos consecutivos y suplementarios

iii) ngulos internos

iv) ngulos correspondientes

180 -

y

y

x x

GEOMETRA.

OPERACIONES CON NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS


31/87



31

1. Hallar x, si: // // .

2. Si: // // , hallar x.

3. Hallar x, si: // // .

4. Hallar x, si: // // .

5. Hallar , si: // //





a b c

148

156

x

a

b

c

m n L

33

47

x

m

n

L

L1 L2 L3

x

126

L1

L2

L3

L1 L2 L3

155

x

L1

L2

L3

60

m n L

131

72

m

n

L

L1 L2

L1

L2x

2 130

a b

a

b120

140

x

a b

a

b

80

130124

x

m n

m

n 22

58

x



32/87



32



3. Si: // // , hallar y.

4. Si: // // .hallar .

5. Si: // // , hallar .

6. Si: // // , hallar .

7. Calcularx; si: 1L // 2L

a) 16

b) 32

c) 24

d) 18

e) 20

8. Si: // // , hallar .

9. Si: // // , hallar x e y.

10. Si: // // , hallar el complemento de.

11.Calcularx. Si : 1L // 2L a) 50

b) 100

c) 110

d) 55

e) 65

m n

46

2x

m

n

a b

123

a

b

a b c

154

34

y

a

b

c

L1 L2 L3

50

L1

80 L2

L3

m n L

64

m

n

L

a b c

105

25 a

b

c

m n L

m

L

28

20

n

a b c

a

b

c

y

37

130

x

m n L

26

m

n

L

86


110 x

36

x

20

L1

L2


33/87



33





5. Si: // // , hallar x.


a b

144

3x

a

b

m n

126

9x

m

n

m n

x + 40

34

m

n

a b

4

20

a

b

L1 L2 L3

134

x

52

L1

L2

L3

m n

m

n2

2

x



34/87



34

I. DEFINICIN DE TRINGULOEs la figura geomtrica formada por tressegmentos consecutivos; no alineados y deextremos comunes.

Elementos:

Vrtices: A, B y C Lados: , y Medidas de ngulos internos: , y Permetro: a + b + c

(suma de los lados)

II. CLASIFICACIN

Se clasifica de acuerdo a las longitudes de loslados y de acuerdo a las medidas angulares.

A. De acuerdo a sus lados

Escaleno

Lados de diferentes medidas.

Issceles

Dos lados de igual medida.

Equiltero

Los tres lados son de iguales medidas.

B. De acuerdo a sus ngulos

Acutngulo

Los ngulos internos son agudos.

Obtusngulo

Un ngulo interno es obtuso.

Rectngulo

Un ngulo interno es recto.

III. PROPIEDAD FUNDAMENTALEn todo tringulo, la suma de las medidas desus ngulos internos es igual a 180.

A

B

C

a

b

c

AB BC AC

Base

60

60 60

+ + = 180

m + n = 90

m

n

GEOMETRA.

TRINGULOS


35/87



35

1. Hallar x y clasificar el tringulo REF.

2. Hallar el menor ngulo interno de un tringulorectngulo issceles.

3. Hallar el mayor ngulo de un tringuloissceles, si los ngulos iguales miden 56.

4. Hallar x y clasificar el tringulo AME.

5. Hallar y clasificar el tringulo PQR.

6. Calcular x

7. Calcular x

8. Si: AC = BC, calcular x

9. Calcular x

10. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular supermetro.

R

E

Fx3x

80

A

M

E

452x

3x

80

I

x

A

B

C

70 50

xA

D

B

C

80

x

A

B

C

65 30

75

x

A B

D

C

A

2x-1 x+5

B

C



36/87



36

En cada ejercicio, calcular lo indicado yadems clasificar a los tringulos:

1. Hallar

2. Hallar el complemento de .

3. Hallar x

4. Hallar el suplemento de .

5. Calcular

6. Hallar

7. Hallar

8. Hallar

9. Hallar

10. Calcular x + y + z

a) 60b) 120c) 180

d) 90e) 360

11. Calcular x , Si : mCBE = mBEC

a) 108b) 72c) 36d) 24e) 12

104

46A

B

C

P T

Q

85

73

3x

5x

36E

I

L

A

E

L

63

59

W

A

L

20

15

2 118

18

P

Q

T

R

Q

T

32

83

5

N

L

M

28

A

E

L34


x

y

z

36

2x

xB C

A E D


37/87



37

1. Hallar x y clasificar el tringulo AEF.

2. Hallar y clasificar el tringulo MNF.

3. Hallar y clasificar el tringulo PQN.

4. Hallar x y clasificar el tringulo AEF.

5. Hallar y clasificar el tringulo AEF.

6. Hallar el complemento de x.

A

E

Fx76

86

M

N

F

36 72

P

Q N32

E

A F

x

48

E

A F

60

3 cm

3 cm

54

4x 2x

L

E I



38/87



38

I. ngulos exteriores en el tringulo:

.II. Propiedad del ngulo exterior

En todo tringulo la suma de dos ngulos internos es igual a la medida del tercer ngulo externo

30

80 Exterior

60

80 Exterior

2575

Exterior

5038

Exterior

92

54

78

Exterior

72

36

Exterior

y

y = +

n

m

= m + n

e

e

e = +

GEOMETRA.

OPERACIONES EN EL TRINGULO

En cada tringulo se dan como datos dos ngulos internos y por la propiedad fundamental, se

halla el tercer ngulo interno y luego el ngulo externo.


39/87



39

1. Hallar x

2. Hallar y

3. Hallar

4. Hallar x

5. Hallar x

6. Calcular x

7. Calcular x

8. Calcular x

9. Calcular x

10.Calcular x, si: //

38

24

x

4846

y

32

2

50

x

130

4x

5x

14x

A

E

B

C

50 60

30

D

x

x

35

140

130

2x

6x

5x

2x100

x125

L AC

A

B

C

70130

L

x



40/87



40

1. Hallar x

2. Hallar la medida del ngulo exterior de untringulo equiltero.

3. Hallar el mayor ngulo externo de un tringulorectngulo issceles.

4. Hallar x

5. Hallar

6. Hallar x

7. Hallar y

8. Hallar x

64

52

x

100

34

118 x

80

76

34

69x

2x

32

59

y

2x 3x

85



41/87



41

1. Hallar

2. Hallar

3. Hallar

4. Si dos ngulos internos de un tringulo miden46 y 34, hallar la medida del ngulo externo

del tercer ngulo.

5. En un tringulo issceles, el mayor ngulointerno mide 100. Calcular el ngulo externode uno de los otros dos ngulos.

6. En un tringulo issceles, el mayor ngulointerno mide 100. Calcular el ngulo externode uno de los otros dos ngulos.

42

50

38

2644

4

63

51

28



42/87



42

I. MEDIANA

Es el segmento de recta que tiene porextremos a un vrtice y al punto medio del

lado opuesto a dicho vrtice.

es mediana del tringulo ABC

es mediana del tringulo AEH

II. BISECTRIZ

A. Bisectriz interior

Es el segmento que divide a un ngulointerno en medidas iguales.

es bisectriz del tringulo APQ

es bisectriz del tringulo HNM

B. Bisectriz exterior

Es el segmento que divide a un ngulo

externo en medidas iguales.

es bisectriz exterior del tringulo AEF

es bisectriz exterior del tringulo MPQ

A

B

C

M

AM

A

E

HN

EN

A

P

QE

PE

R

M

N

H

NR

A

E

F R

ER

M

P

E

Q

QE

GEOMETRA.

LNEAS NOTABLES EN EL TRINGULO I


43/87



43

1. es bisectriz exterior del tringuloATM, hallar.

2. es mediana. Hallar y, si: NP = 18.

3. Si es mediana y AM + AC = 42 cm, hallarMC.

4. En un tringulo ABC: m


44/87



44

1. Graficar el tringulo ABC: mA = 60 y mB= 80, luego se traza la bisectriz interior .

Hallar: mAEC.

2. Graficar el tringulo PQR y trazar la mediana. Hallar QM, si: QR = 24 cm.

3. Si: es bisectriz, hallar x.

4. Hallar x, si: es bisectriz.

5. Si: es mediana, hallar x.

6. Si: es mediana y QR = 30 cm, hallar x.

7. Si: es bisectriz, hallar .

8. Hallar x, si: es bisectriz exterior.

CE

PM

AE

A

B

E

C

78

26

x

BF

A

B

F C

34 50

x

AM

A

B

M

13

3x+1

C

PN

P

Q

N

x+1

R

AE

A

B

E

C

31

BE

38

B

A C E60 x



45/87



45


2. Hallar , si: es bisectriz.

3. En el grfico es bisectriz exterior deltringulo ARQ. Hallar .

4. Hallar , si: es bisectriz exterior.

5. Hallar x, si: es bisectriz exterior.

CE

A

E

B

C40

80

x

QF

P

Q

RF

35 85

RE

A

R

EQ

36 104

FD

35

F

ADE

115

CP

A

B

C

P

44

86

x



46/87



46

I. ALTURA

Es el segmento trazado desde un vrtice enforma perpendicular al lado opuesto de untringulo.

es altura del tringulo ABC relativa a

es altura del tringulo ENF relativa a

es altura del tringulo AEL relativa a

es altura del tringulo PQR relativa al lado

II. MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular y que pasa por elpunto medio de un segmento de recta.

es mediatriz de

es mediatriz del lado

n es mediatriz relativa a del tringuloPQR

es mediatriz relativa al lado deltringulo ABC.

AH

B

C

BH AC

EN

F

L

FLEN

A

N

L

E

EN AL

P

Q

H

R

RH PQ

E M F

L

L EF

A

B

M

C

L1

L 1 BC

Q n

P R

PQ

A

Bm

C

AC

GEOMETRA.

LNEAS NOTABLES EN EL TRINGULO II


47/87



47

1. Si: es altura, hallar .

2. Hallar x, si: es altura.

3. Hallar x, si es mediatriz de .


5. Si: es altura, hallar x - y.


7. Si: es altura, hallar x - y.

8. es mediatriz de , hallar .

9. es altura del AMN, hallar el suplemento

de x.

10.Hallar x, si es mediatriz de .

BN

80

70

AN C

B

FM

A

E

M

F36

x42

L AC

A

x

B

C

L

76

64

n AB

Ax

B

C

n 54

68

AH

A

x

y

E

N

H80

70

L BE

A

B

C E

L

x30

45

L

A

N

x

y

B

C46

54

L BE

AB P

38

22

E

L

AF

F

M

A N

x

23 27

L AB

B

24

E A

L

Cx28



48/87



48

1. Hallar x, si: es altura.

2. Hallar x, si es bisectriz.

3. Hallar x, si es bisectriz exterior deltringulo ALE.

4. En el grfico, es mediatriz de . Hallarx.

5. Hallar x, si: es mediana y BC = 22 cm.

6. Hallar x, si: es altura del tringulo ABC.

7. Hallar , si: es mediatriz de .

8. Hallar x, si: es bisectriz.

9. Si: es bisectriz del ABC, hallar x.


BH

36

84

x

A

B

CH

AE

A

B

C

E

x

92

44

EN

A

E

L N

x 2416

L AC

A

B

C

x

L

78

63

AM

A

B

C

M

x + 3

CN

A

BN

C

4628

x

L BC

AB

P

C

1622

L

QE

P E R6844

Q

x

BD

A

B

CD

x40

BF

A

B

CF

38 x 26



49/87



49

1. Si: es altura, hallar x.

2. Si: es altura, hallar - .

3. es mediatriz de . Hallar x.

4. es mediatriz de y AB = 28 cm, hallar

"x".

5. En el grfico es altura del tringulo RMN,

hallar x.

6. Si y son alturas, calcular x.

EQ

A

E

Q L

50

x

42

LH

70

36

H

M L

N

L PF

100

50

x

P F

EL

L AB

A

B

C

P

L

x

NH

R N

H

M

28 42

x

AP CQ

A

B

C

50Q P

x



50/87



50

DEFINICINSon figuras formadas por segmentos no alineados y de extremos comunes.

I. Se nombran de acuerdo al nmero de lados

Tringulo Cuadriltero Pentgono

# Lados: 3 # lados : 4 # lados : 5

Hexgono Heptgono# lados : 6 # lados : 7

Nombre # lados Nombre # lados

Octgono 8 lados dodecgono 12 ladosNongono 9 lados pentadecgono 15 lados

Decgono 10 lados icosgono 20 ladosEndecgono 11 lados

II. Elementos principalesEn el grfico se muestra como ejemplo al octgono ABCDEFGH.

A

B

C

D

E

FG

H

vrtices

diagonales

ngulosinteriores

lados

GEOMETRA.

POLIGONOS I


51/87



51

1. Graficar un octgono ABCDEFGH y trazar

todas las diagonales posibles desde el vrtice

"A". (Indicar el nmero de tringulos que seforman)

2. Graficar el pentgono ABCDE y trazar sus

diagonales sealando el nmero de vrtices y

diagonales.

3. Graficar el heptgono ABCDEFG y trazar

todas las diagonales posibles desde los

vrtices "A" y "C".

4. Cmo se llama el polgono mostrado?

Adems trazar cuatro de sus diagonales.

5. Graficar un nongono e indicar el nmero de

vrtices y trazar todas las diagonales desdeun solo vrtice. (Indicar el nmero de

tringulos que se forman)

6. Graficar un decgono.

7. Dar el nombre del polgono mostrado.

8. Dar el nombre del polgono, en el cul su

nmero de vrtices ms su nmero de lados

es 16.

9. Cuntas diagonales faltan trazar en el

polgono mostrado?

10. Graficar un pentgono convexo y desde uno

de sus vrtices trazar todas las diagonales

posibles.

11. Graficar un cuadriltero no convexo y sus

diagonales.

12. Graficar un hexgono convexo y trazar las

diagonales desde tres vrtices consecutivos.

13. Graficar un octgono convexo, trazar las

diagonales desde un solo vrtice y contar el

nmero de tringulos que se forman.

14. Graficar un nongono convexo y trazar desde

dos vrtices consecutivos todas las

diagonales posibles.

15. Graficar un endecgono convexo y trazar las

diagonales desde un solo vrtice.

16. Graficar un pentgono convexo donde tresngulos consecutivos miden 90.

17. Graficar un hexgono convexo donde tres

ngulos alternados miden 90.

18. Graficar un heptgono y trazar las diagonales

desde tres vrtices consecutivos.


Adems trazar cinco de sus diagonales.



52/87



52

3x

2x

2x2x

x

E

F

A

B

C

D

1. La suma de los ngulos interiores de undodecgono es:

a) 1900 b) 1800 c)1950d) 1960 e) 2000

2. La suma de los ngulos exteriores de undodecgono es:

a) 270 b) 360 c) 230d) 200 e) 300

3. Si un ngulo interior es 108 Cunto mideel ngulo exterior del polgono?

a) 72 b) 108 c) 180d) 36 e) 18

4. Cmo se llama el polgono cuya suma dengulos interiores es 720?

a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Heptgonoe) Nongono

5. Si tiene un hexgono equingulo, el nguloexterior mide:

a) 120 b) 60 c) 90d) 45 e) 75

6. Calcular el ngulo externo de un polgonoregular:

a) 90 b) 120 c) 132d) 108 e) 135

7. Calcular la suma de ngulos interiores de un

polgono de 8 vrtices:a) 1080 b) 900 c)1260d) 1440 e) 720

8. Si el ngulo interior es el quntuple delngulo exterior de un polgono regular.Cunto mide la diferencia de los ngulos?

a) 120 b) 30 c) 60d) 150 e) 90

9. En un polgono regular de 9 vrtices.Cunto mide uno de sus ngulos

externos?

a) 50 b) 60 c) 20d) 40 e) 30

10.Calcular ; si el polgono es equingulo:

a) 135b) 45c) 120d) 90e) 108

11.Calcular x, si los polgonos son regulares:

a) 90b) 120c) 150d) 130e) 160

12.Calcular x:

a) 27

b) 45c) 54d) 36e) 63

13.Calcular x, si el polgono es regular.

a) 10b) 108c) 9d) 12e) 30

14. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.

a) 6b) 12c) 36d) 18e) 72


x

6


53/87



53

1. Graficar al cuadriltero ABCD y trazar susdiagonales. (Indicar el nmero de vrtices y elnmero de diagonales)

2. Graficar el hexgono ABCDEF y trazar todaslas diagonales posibles desde los vrtices "A"y "B".


Adems trazar cuatro de sus diagonales.

4. Graficar un octgono y trazar todas lasdiagonales posibles desde dos vrtices

consecutivos.

5. Cmo se llama el polgono mostrado?Adems trazar cuatro de sus diagonales.

6. Graficar el octgono ABCDEFGH y trazar

todas las diagonales posibles desde losvrtices A, B, C y D. Cuntasdiagonales se pudieron trazar?B C

A D

F E



54/87



54

Luego de reconocer los elementos en cualquier polgono el alumno podr hallar la suma de ngulosinternos en cualquier polgono.

SUMA DE NGULOS INTERNOS (S


55/87



55

1. Calcular la suma de los ngulos internos delpolgono mostrado.

2. Calcular x

3. Calcular x

4. Si todos los ngulos internos del polgono soniguales, calcular la medida de uno de ellos.

5. Si todos los ngulos internos del polgono soniguales, calcular x.

6. Hallar la suma de ngulos internos de unicosgono.

7. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 1260.


9. Hallar el nmero de lados del polgono cuyasuma de ngulos internos es 2880.


11. Hallar la suma de ngulos internos de unhexgono.

12. Hallar la suma de ngulos internos de undecgono.

13. Hallar la suma de ngulos internos delpolgono mostrado.




17. Hallar la suma de ngulos internos del

polgono mostrado.

18. Hallar el nmero de tringulos que se formanal trazar las diagonales desde un solo vrticeen un icosgono convexo.

19. Hallar la suma de ngulos internos del

polgono mostrado.


x

x x

x+40 2x

x+70 x+30

x

A

E

C

B

D



56/87



56

1. La suma de los ngulos interiores de undodecgono es:

a) 1900b) 1800c) 1950d) 1960e) 2000

2. Si un ngulo interior es 108 Cunto mide elngulo exterior del polgono?

a) 72b) 108

c) 180d) 36e) 18

3. Cmo se llama el polgono cuya suma dengulos interiores es 720?

a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Heptgonoe) Nongono

4. Calcular la suma de ngulos interiores de unpolgono de 8 vrtices:

a) 1080 b) 900 c) 1260d) 1440 e) 720

5. Calcular ; si el polgono es equingulo:

a) 135b) 45c) 120

d) 90e) 108

6. Calcular x, si los polgonos son regulares: a) 90b) 120c) 150d) 130e) 160

7. Calcular x:

a) 27b) 45c) 54d) 36e) 63

8. Calcular x, si el polgono es regular.

a) 10b) 108

c) 9d) 12e) 30

9. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.

a) 6b) 12c) 36

d) 18e) 72

10. La suma de los ngulos interiores de unicosgono:a) 3240b) 3800c) 4000d) 3600e) 1800

11. Si el ngulo interior de un polgono equingulo es135 Cmo se llama el polgono?

a) Octgonob) Decgonoc) Hexgonod) Nongonoe) Heptgono


x

3x

2x

2x

2x

x

E

F

A

B

C

D

6


57/87



57

1. Hallar el nmero de tringulos que se forman altrazar las diagonales desde un vrtice en unheptgono.

2. Hallar el nmero de tringulos que se forman altrazar las diagonales desde un vrtice en unoctgono.

3. Hallar la suma de ngulos internos de un nongono.

4. Hallar el nmero de lados del polgono cuya sumade ngulos internos es 900.

5. Hallar la suma de ngulos internos del polgonomostrado.

6. Hallar la suma de ngulos internos de un decgono.



58/87



58

DEFINICINSon los polgonos que tienen cuatro lados.

Cuadriltero convexo

Cuadriltero no convexo

TIPOS DE CUADRILTEROS CONVEXOS

A. TrapezoideEs el cuadriltero convexo cuyos lados opuestos notienen que ser paralelos.

B. Trapecio

Es el cuadriltero convexo que tiene dos ladosparalelos.

Observacin:

Trapecio rectngulo

Trapecio issceles

A

B

C

D

+ + + = 360

A D

B C

b a

a + b = 180

Recuerda:

+ = 180 + = 180 BC // AD

a

+ = 180

+ = 180

GEOMETRA.

CUADRILTEROS I


59/87



59

1. Hallar: m C

2. Graficar el cuadriltero ABCD; tal que: m A = 100;m B = 70 y m C = 60. Hallar: m D.

3. Graficar el trapecio ABCD; tal que: y m

A = 56. Hallar: m B.

4. Graficar el trapezoideABCD: mA = 2b; m B = 5b;m m Hallar: m B.

5. Calcular x

6. Si: / /, calcular x

7. Calcular x

8. Si ABCD es un trapecio issceles ( // ), calcular

x.

9. Calcular x, si m


60/87



60

1. Graficar el cuadriltero convexo ABCD, talque: m A = m C = 90 y m B = 112.

Hallar: m D.

2. Graficar el cuadriltero no convexo ABCD, talque: m A = 30; m B = 60 y m C = 50.Hallar: m D.

3. Graficar el trapecio ABCD, tal que:

m A = 100; m D = 50.Hallar: m B y m C.

4. Graficar el trapecio ABCD, tal que: m A =

120; m B = 130 y Hallar: m B

y m C.

5. Hallar "x"

6. Hallar "" y "", si:

7. Graficar el trapecio issceles ABCD, tal que:

m A = 124 y Hallar: m C.

8. Hallar: m D

9. Hallar "x"

10. Graficar el cuadriltero convexo ABCD; talque: mA = 2; mB = 3; mC = + 70y mD = 50. Hallar: m C.

11. Calcular x

a) 12

b) 14c) 10d) 11e) 13

12. Calcular x

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4

13. Calcular x; BC // AD

a) 90b) 120c) 45d) 60

e) 150

14. Calcular x; si AB // CD

a) 28b) 32c) 30d) 34e) 26

AD // BC ,

AB // CD.

128

110

56

x

BC // AD.

B C

A D

4

118 140

2

AB // CD.

B

A

C

D3

5

82

28

40

x


x

37

10

6

12

45

x

5

37

x

20

A

B C4

D45

A D

B C

x


61/87



61

1. Hallar "x"

2. Graficar el cuadriltero PQRS; tal que:m P = 68; m Q = 136 y m Hallar: m S.

3. Si: en el trapecio ABCD; hallar "x".

4. Graficar el trapecio issceles ABCD, tal que:

y m A = 118. Hallar: m C.

5. Hallar "x"

6. Graficar el trapecio rectngulo ABCD, tal que:m A = m B = 90 y m C = 129Hallar: m D.

4x

3x

2x

x

AB // CD

B

A

C

D76

x

AB // CD

78

36 32

x



62/87



62

PARALELOGRAMOS

Son aquellos cuadrilteros cuyos lados opuestosson paralelos y congruentes respectivamente.

Clases de paralelogramos

I. Cuadrado

Es el paralelogramo de lados y ngulos de

medidas iguales.

II. Rombo

Es el paralelogramo cuyos lados son de

medidas iguales.

III. Rectngulo

Es el paralelogramo cuyos ngulosinternos miden 90.

IV. Romboide

Es el paralelogramo cuyos lados

consecutivos son diferentes y los ngulos

no miden 90.

B C

ADb

a

b

a

+ = 180

B C

A D

+ = 180

A

B

C

D

B C

A D

a

b

a

b

B C

A D

a

b

b

a

GEOMETRA.

CUADRILTEROS II


63/87



63

1. Utilizando regla y transportador graficar el

romboide ABCD tal que: CD = 4 cm; AD = 7cm y m D = 100. Hallar su permetro.

2. Graficar el rombo ABCD; tal que: BC = 5 cm ym C = 120. Luego trazar las diagonales

Medir el ngulo que forman susdiagonales.

3. Graficar un rombo cuyo lado mide 6 cm y unode sus ngulos 45. Hallar su permetro.

4. Graficar el cuadrado PQRS; tal que: PQ = 4cm. Luego trazar sus diagonales y compararsus longitudes.

5. Graficar el romboide ABCD; tal que: CD = 4cm; AD = 8 cm y m diagonales y comparar sus medidas.

6. Calcular x, si ABC es un tringulo equiltero

y CDEF es un rectngulo.

7. Calcular la medida del lado mayor de unromboide, si es el triple del lado menor,adems su permetro es 40 cm.

8. Calcular BP, si ABCD es un paralelogramo.

9. Calcular + , si ABCD es un rombo.

10. Graficar un rombo cuyo lado mide 8 cm y unode sus ngulos 50. Hallar su permetro.

11. Graficar un romboide ABCD; tal que: AB = 3,5cm;BC = 6 cm y m

12. Graficar un rombo ABCD; tal que: AB = 5 cmym

13. Graficar el rectngulo PQRS; tal que: PQ = 3cm yPS = 7 cm. Hallar su permetro.

14. Graficar el cuadrado cuyo lado mide 5 cm.Hallar su permetro.

15. Graficar el romboide ABCD; tal que: CD = 6

cm;AD = 8 cm y m permetro.

16. Grafique el rectngulo ABCD; tal que: AB =2,5 cm y BC = 4,5 cm. Hallar su permetro.

AC y BD.

A

B

C

D E

F

x

A

B P C

D

7

12

A

B

C

D

5502+30



64/87



64

1. Calcular x; si ABCD es romboide.

a) 18b) 72c) 36d)9e) 108

2. Calcular x; si ABCD es romboide.

a) 11b) 12c) 22d) 6e) 24

3. Calcular x; si ABCD esun rombo

a) 24b) 48c) 76d) 66

e) 12

4. Calcular el permetro del rombo ABCD.

a) 68b) 92c) 34d) 46e) 17

5. Calcular x

a) 100b) 50c) 25d) 40e) 80

6. Calcular OC.

a) 15b) 16c) 75d) 8e) 4

7. Calcular mPDB, si ABCD es un cuadrado.

a) 45b) 60c) 75d) 82e) 90

8. Calcular x

a) 6 2

b) 8 2

c) 6 3

d) 8 3

e) 8

9. Calcular x; ABCD es un romboide.

a) 7b) 10c) 14d) 21e) 15

10. Calcular x, si ABCD es un romboide.

a) 7b) 19c) 5d) 6e) 8


B C

A D36

2x

B C

A D

17

2x5

Ax

D

C

B

24

A8

D

C

B

15

x

100

12

O

A

B C

D

9

53P

C

DA

B

x

53

10

PA

7

B C

D

x

A

7

B C

D

12

x


65/87



65

1. Graficar el romboide ABCD; tal que: AB = 3 cm; BC= 5 cm y m B = 60. (Utilizar regla ytransportador). Mencionar su permetro.

2. Graficar el rombo ABCD; tal que: AB = 4 cm ym A = 40. (Utilizar regla y transportador).Mencionar su permetro.

3. Graficar el rectngulo PQRS; tal que: PQ = 2cm y PS = 5 cm. (Utilizar regla ytransportador). Mencionar su permetro.

4. Utilizando regla y transportador, graficar elcuadrado cuyo lado mide 6 cm. Hallar su

permetro.

5. Graficar el rectngulo ABCD; tal que: AB = 4cm y BC = 6 cm. Luego trazar las diagonalesy comparar sus longitudes.

6. Calcular la medida del lado menor de unrectngulo, si es 5 cm menor que el lado

mayor, adems su permetro es 50 cm



66/87



66

1. Hallar el permetro de un rectngulo, si dos desus lados miden 8 cm y 12 cm.

2. Hallar la longitud del lado de un rombo, si supermetro es igual a 52 m.

3. En el trapecio issceles ABCD, hallar "".

4. Si ABCD es un cuadrado y el CMDequiltero, hallar "".

5. Hallar el menor lado de un rectngulo, si ellado mayor es el cudruple del menor y elpermetro de dicho rectngulo es 80 cm.

6. S i ABCD es un trapecio ( // ), calcularPQ

7. Calcular x

8. Si ABCD es un cuadrado y CDE es untringulo equiltero, calcular x.

9. Calcular x+ y, siABCD es un romboide.

10. Si ABCD es un rombo y BCPQ es uncuadrado, calcular x.

11. Hallar "", si ELMN es un rombo.

12. Si ABCD es un cuadrado y CMD es untringulo equiltero, hallar "".

B

A

C

D

3

2

A

B C

D

M

BC AD

6 8

A

B C

DP Q16

A

B C

D

x

40

A

B C

D

E

x

A

B C

D

O

A

B

C

D

Q

P

x

20

E

L

M

N

5

B C

A D

M

GEOMETRA.

OPERACIONES EN CUADRILTEROS



67/87



67

1. Graficar un rectngulo ABCD, tal que:m

2. Graficar un rombo de lado 3 cm y de unngulo interno de 60.

3. En el grfico anterior, trazar las diagonales ymedir el ngulo que forman.

4. Hallar la longitud del lado de un rombo, si supermetro es 48 cm.

5. Si el permetro del romboide ABCD es 36 cm,hallar x.

6. Hallar "", si ABCD es un cuadrado.

7. Calcular x

8. Calcular el permetro del paralelogramoABCD, si: PC = 2 cm y CD = 4 cm.

9. Calcular el permetro de la figura:

10. Hallar el permetro de la regin sombreada.

11. Calcular el permetro del polgonoABCDEFGHI.

12. En el grfico, ABCDE es un pentgono noconvexo. Hallar su permetro, si ABCE es uncuadrado y CDE es un tringulo equiltero.

13. Hallar el permetro del octgono no convexomostrado.

A

B C

D

x

2x

A

B C

D

3

A

B

C

D

2x

2xx

A

B C

D

P

5 cm

25 cm

4 cm

8 cm 20 cm

11 cm 6 cm

5 cm

11 cm

A

B C

D E

F

G H

6 cm

8 cm

5 cm

10 cm

27 cmI

60 4 cm60

E C

A B35 cm

D

2 cm

14 cm

15 cm

3 cm10 cm

2 cm



68/87



68

1. Si ABCD es un rectngulo, hallar "x" y elpermetro de dicho rectngulo.

2. Si ABCD es un cuadrado, hallar "".

3. En un romboide ABCD: AB = x; BC = 3x.Hallar "x", si el permetro del romboide es 48 cm.

4. Si ABCD es un rombo, hallar "".

5. Hallar "", siendo ABCD un cuadrado yAED equiltero.

A D

B C

3x

9 cm

6 cm

B C

A D

2

A

B

C

D

6

A

B C

D

E



69/87



69

1. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.Nota: Polgono regular es el que tiene suslados iguales y ngulos iguales.

2. Hallar el permetro del heptgono no convexoABCDEFG, si ABCDG es un pentgonoregular y DEFG es un cuadrado.

3. Hallar el permetro del polgono ABCDEF.

4. Calcular el lado de un pentadecgono regular,si su permetro es 90 cm.

5. Calcular la longitud del lado de un icosgonoregular, si su permetro es 220 cm.



8. Calcular el permetro:

9. Si O es centro, calcular el permetro.

10. Calcular el permetro de la regin sombreada.

B C

A D

F E

14 cm

A

B

C

G D

F E

12 cm

F

D C

E

BA42 cm

36 cm

4 cm

5 cm

7 cm

8 cm

3 cm

10

6

5

60 60 4

4 cm

6

O

A

B

6 cm

6 cm

A

B

D

C

GEOMETRA.

PERMETROS DE POLGONOS



70/87



70

1. Hallar el permetro de un rectngulo dondelos lados miden 13 cm y 18 cm.

2. En el grfico, ABCDE es un pentgono noconvexo. Hallar su permetro, si ABCE es uncuadrado y CDE es un tringulo equiltero.

3. Calcular el permetro del polgonoABCDEFGHI.

4. Calcular el permetro del paralelogramo

ABCD, si: PC = 2 cm y CD = 4 cm.


6. Hallar el permetro de un pentgono regularcuyo lado mide 4 cm. (Graficar)

7. Hallar el lado de un hexgono regular depermetro

18 cm. (Graficar)

8. Graficar el trapecio issceles de bases 7 cm y10 cm y uno de los lados laterales mide 6 cm.Hallar el permetro del trapecio.

9. Hallar el permetro de la regin sombreada.

10. Hallar el permetro de la regin sombreada, siABCDEH es un hexgono regular y EFGH esun cuadrado.

11. Hallar el permetro de un endecgono regularcuyo lado mide 6 cm.

12. Hallar el permetro de la regin sombreada, siABCDF es un pentgono regular y DEF esequiltero.

13. Hallar el permetro del octgono no convexomostrado.

E C

A B35 cm

D

A

B C

D E

F

G H

6 cm

8 cm

5 cm

10 cm

27 cmI

60 4 cm60

A

B C

D

P

5 cm

25 cm

4 cm

8 cm 20 cm

11 cm 6 cm

5 cm

11 cm

A

B C

D

H E

G F8cm

A

B

C

D

E

F

9cm

2 cm

14 cm

15 cm

3 cm10 cm

2 cm



71/87



71

1. Hallar el permetro del pentgono ABCDE, siABDE es un cuadrado;BCD es equiltero yAE = 18 cm.

2. Si ABEF y EFDC son un rectngulo y uncuadrado respectivamente, hallar el permetrodel polgono ABCD.

3. Hallar el permetro del hexgono no convexo

ABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD untrapecio issceles.

4. Calcular el permetro de un dodecgonoregular cuyo lado mide 8 cm.

5. Hallar el permetro del hexgono no convexoABCDEF.

A B

E D

C

B C

A F D

E9 cm5 cm

A B

C

D

E

F6 cm

16 cm

8 cm

F

DC

E

BA

24 cm22 cm

6 cm

12 cm



72/87



72

DEFINICIN

El rea de una regin es la medida de dicha regin y se expresa en unidades cuadradas de longitud.

I. rea de una regin cuadrada

II. rea de una regin rectangular

Conclusin:

1 cm

S

1 cm

1 cm1 cm S

2 cm

2 cm

2 cm2 cm

3 cm

3 cm

3 cm 3 cmS

S = 1 cm 1cm S = 2 cm 2 cm S = 3 cm 3 cm

S = 1 cm2

S = 4 cm2

S = 9 cm2

S

2 cm

1 cm S

3 cm

2 cm

4 cm

3 cm S

S = 1 cm 2 cm S = 2 cm 3 cm S = 3 cm cm 4

S = 2 cm2

S = 6 cm2

S = 12 cm2

b

a S

S = a bA = 2

A

GEOMETRA.

REAS DE REGIONES I


73/87



73

1. Calcular el rea de la regin sombreada.


3. Calcular el rea de la regin rectangular,donde el largo es el triple del ancho y supermetro es 32 cm.



6. Si el rea de la regin rectangular ABCD es48m2, calcular su permetro. Adems un lado

es el triple del otro.

7. Si ABCD es un cuadrado de permetro 24 cm,calcular el rea de la regin sombreada.

8. Calcular el rea de la regin cuadrada CDEF,si ABCD es un trapecio issceles de

permetro igual a 34m.

9. Calcular el rea de la regin rectangularABCD.

10. Hallar el rea de la regin sombreada.

10 cm

20 cm

15 cm

30 cm

10 cm

10 cm

18 cm

10 cm

10 cm

18 cm

24 cm

6 cm

8 cm

20 cm

8 cm

6 cm

4 cm

8 cm

20 cm

48 cm6 cm 6 cm

4 cm

A

B C

D

A

B C

D

(BC //AD)

A

B C

D

E

F

5

13

A

B P C

D

102 152

24 cm

10 cm

18 cm 14 cm

10 cm

10 cm



74/87



74

1. Calcular el rea de una regin cuadrada, si supermetro es 48 cm.

2. Calcular el permetro de un cuadrado, si elrea de su regin es 169 cm2.

3. Calcular el rea de la regin de un rectngulo,si la base es el doble de la altura y supermetro es 72 cm.

4. Hallar "x"

5. Hallar "y"

6. Hallar "a"


8. Los lados de un tringulo miden 13, 14 y 15.Calcular su rea.

a) 12 b) 84 c) 24d) 42 e) 21

9. Si las regiones poligonales son equivalentes.Calcular x.

a) 12b) 6c) 24d) 3e) 8

10. Calcular el rea del trapecio ABCD, siPBCD es un romboide de rea 24 m2.

f) 24g) 34h) 14

i) 44j) 30

11. Calcular el rea sombreada:

k) 60l) 40m) 100n) 50o) 20

12. Calcular el rea de un tringulo equilterocuyo lado mide 2 3 .

a) 3 3 b) 9 3 c) 6 3

d) 9 e) 27

13. Calcular el rea del ABC

p) 24 m2q) 8.r) 32s) 16

t) 48

14. Calcular el rea del ABC

u) 4,5 m2v) 9w) 18x) 36y) 27

x 48 cm2

16 cm

81 cm2y

y

a

17 cm

663 cm2

7 cm

24 cm

20 cm

10 cm


24

x

12

12

PA

B C

D

5 6

17

10 15

A

B

C

24m2

K 3K

A

B

C

9m2


75/87



75

1. Calcular el rea de una regin cuadrada, si supermetro es igual a 28 cm.

2. Calcular el permetro de un cuadrado, si elrea de su regin es 64 cm2.

3. Calcular la longitud del lado de un cuadrado,si su permetro es numricamente igual alrea de su regin.

4. Calcular el rea de la regin de un rectngulo,si un lado es el doble del otro y su permetro

es 18 cm.


6. Si el permetro del tringulo equiltero ABC es18 cm, calcular el rea de la regin cuadradaBCDE.

4 cm

13 cm

16 cm

9 cm

A

B

C

D

E



76/87



76

I. REA DE LA REGIN DEL ROMBOIDE

Generalizando:

"El rea de la regin del romboide es igual al producto de uno de sus lados por la altura relativa a dicholado".

II. REA DE LA REGIN DE UN TRINGULO RECTNGULO

Generalizando:

"El rea de la regin de todo tringulorectngulo es igual a la mitad del producto de

sus catetos".

12 cm

4 cm S

12 cm

4 cm

S = 12 cm 4 cm

S = 48 cm2

10 cm

8 cm

S

S = 8 cm 10 cm

S = 80 cm2

a

h S = a hS

10 cm

S6 cm

S

16 cm

9 cm

S = 6 cm 10 cm

S = 30 cm2

S = 16 cm 9 cm

S = 72 cm2

2 2

S

b

a

S =a b

2

S

x

y

S =x y

2

GEOMETRA.

REAS DE REGIONES I


77/87



77

1. Calcular la altura relativa al lado de unromboide, si dicho lado mide 26 cm y el rea

de su regin es 260 cm2.





6. Los catetos de un tringulo rectngulo sonentre s como 2 es a 3. Si el rea de su regines 48 cm2, cunto mide el cateto mayor?

7. Si dos lados de un romboide miden 6 cm y 8cm y adems una altura mide 7 cm, calcular

su rea.

8. Si el rea de la regin sombreada es 80 cm2,calcular h.

9. Si ABCD es un romboide y b+h=16m, calcularsu rea.

10. El rea de la regin de un tringulo rectnguloes 30.cm2. Si un cateto se duplica y el otro se

triplica, cul ser su nueva rea?

11. Calcular el rea del romboide ABCD.

a) 32 m2b) 40c) 20d) 28e) 32

12. Calcular el rea del PQR

a) 51b) 85c) 102d) 170e) 36

16 cm 14 cm

6 cm

6 cm

B CE

A D

6 cm

14 cm

4 cm

10 cm

32 cm

4 cm

30 cm

15 cm

23 cm

10 cm

h

A

B C

D

h=3k


A

B C

D

8m2

2K 3K

P

F

Q

R

1

1

6


78/87



78


2. Si ABCD es un cuadrado, hallar el rea de laregin sombreada.



5. Hallar el rea de la regin sombreada, si ABCDes un romboide.

6. Calcular el rea de una regin paralelogrmicade base 12 cm y altura relativa a dicha base 8cm. (Graficar)



9. El rea de la regin de un tringulo rectnguloes 112 cm2y uno de sus catetos mide 16 cm.Calcular la longitud del otro cateto. (Graficar)

10. El rea de la regin de un romboide ABCD es247 cm2y AD = 19 cm. Calcular la longitud dela altura relativa al lado AD. (Graficar)

11. Calcular x, si el rea del ABC es 60 m2

a) 10 m2b) 15c) 35d) 24e) 18

12. Calcular el rea del ABC.

a) 15 m2

b) 12c) 30d) 45e) 60

13. Calcular el rea del trapecio ABC.

a) 16 m2b) 18c) 14d) 20e) 12

12 cm

7 cm

10 cm

B E C

A

F

D

6 cm 5 cm

9 cm

10 cm 6 cm

2 cm

7 cm

15 cm

16 cm

24 cm

BC

A D13 cm11 cm P

8 cm

13 cm

13 cm

5 cm12 cm

13 cm

6 cm

10 cm

18 cm 8 cm


A

B

CN2K 3K 7K

x

A

B

C

2m


79/87



79




4. Calcular un cateto de un tringulo rectngulo,si el otro cateto mide 7 cm y el rea de la

regin de dicho tringulo es 28 cm2.


6. Calcular el rea del rectngulo ABCD.

a) 16 m2b) 32c) 8d) 64e) 44

6 cm

4 cm

6 cm

8 cm

14 cm

15 cm

8 cm

6 cm 10 cm

8 cm

2 cm

5 cm

4 cm 8 cm


2m

8m

6m

A

B C

D


80/87



80

Son los slidos geomtricos que estnformados por polgonos que tienen ladoscomunes y encierran un determinado espaciocuya medida representa el volumen delpoliedro.

I. Hexaedro regular o cubo

Es el poliedro formado por seis cuadradosiguales.

Si quieres construir un cubo con una cartulinao cartn se recomienda cortar la cartulina ocartn en la forma mostrada. Luego doblarsegn las lneas punteadas.

II. Paraleleppedo rectangular o rectoedroEs el poliedro formado por seis rectngulos.

Para construir un paraleleppedo rectangularse recomienda cortar la cartulina o cartn enla forma mostrada. Luego doblar por las lneaspunteadas.

Observacin:Un paraleleppedo es un poliedrocuyas caras son paralelogramos cualesquiera.

caras

Tetraedro

vrtices

aristas

Pentaedro

a

a

a

a

a a

a

a

a a

aa

a aa a

a a

a

b

c

c

a

b

c

c c

b

c c

b

c c

b

a

GEOMETRA.

SLIDOS GEOMTRICOS


81/87



81

1. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elcubo?

2. Cuntas diagonales se pueden trazar en unparaleleppedo rectangular?

3. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?



6. Hallar el nmero de caras (C), aristas (A) yvrtices (V), luego, calcular C + V -A.

7. Si la suma de las medidas de todas las aristasde un hexaedro regular es 48 cm, calcular lamedida de una arista.(Graficar)

8. Si la arista de un tetraedro regular mide 5calcular la suma de las medidas de todas susaristas (graficar).

9. En el rectoedro mostrado, calcular la suma delas medidas de sus aristas.

10. Cuntas aristas tiene el tetraedro mostrado?

11. Cuntas caras tiene el poliedro mostrado?

4

12

3



82/87



82

1. En el poliedro mostrado, hallar el nmero decaras, vrtices y aristas.





6. Graficar un hexaedro regular de arista 2 cm.

7. Graficar un cubo de arista 3 cm.

8. Graficar un rectoedro de arista 2 cm; 3 cm y 4cm.

9. Graficar un paraleleppedo rectangular dearistas 5 cm; 6 cm y 1 cm.

10. Graficar un paraleleppedo rectangular dearista 4 cm; 8 cm y 3 cm.



83/87



83

1. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene eltetraedro mostrado?



4. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene unparaleleppedo rectangular?

5. Si la diagonal de un cubo es el segmento derecta que une dos vrtices opuestosentonces, cuntas diagonales tiene el cubo?

6. Si una diagonal de un cubo mide cm,calcular la suma de las medidas de todas sus

diagonales (graficar).

5 3



84/87



84

I. EN EL CUBO O HEXAEDRO REGULAR

I. EN EL CUBO O HEXAEDRO REGULAR

Generalizando:

II. EN EL PARALELEPPEDO RECTANGULARLas caras opuestas son iguales.

Generalizando:

aa

a2

a

rea (A) Volumen (V)

A = 6 a2 V = a3

2 cm

12 cm2

8 cm2

24 cm2

4 cm

4 cm

6 cm

6 cm

2 cm

A = 2 8 cm + 2 24 cm + 2 12 cm

A = 16 cm + 48 cm + 24 cm

A = 88 cm

x22 2

2 2 2

2

x x

V = 6 cm 4 cm 2 cm

V = 48 cm

x x

3

c

ab

rea (A) Volumen (V)

A = 2(a.b + b.c + a.c) V = a b c

GEOMETRA.

REAS Y VOLUMENES

1 cm

1 cm2

1 cm

1 cm

2 cm 3 cm

2 cm 3 cm

4 cm2

4 cm

3 cm9 cm

2

A = 6 (1 cm )

A = 6 cm

2

2

A = 6 (4 cm )

A = 24 cm

2

2

A = 6 (9 cm )

A = 54 cm

2

2

V = 1 cm 1 cm 1 cm

V = 1 cm

3

V = 2 cm 2 cm cm

V = 8 cm

2

3

V = 3 cm 3 cm cm

V = 27 cm

3

3

* * *

2 cm


85/87



85

1. Calcular el rea de un hexaedro regular cuyovolumen es 216 cm3.

2. Calcular el rea y el volumen de un rectoedrocuyas dimensiones son 8 cm; 12 cm y 6 cm.

3. Calcular el rea y el volumen de un rectoedrocuyas dimensiones son 5 cm; 10 cm y 3 cm.

4. Calcular el rea de un cubo cuya suma dearistas es96 cm.

5. Calcular el rea de un cubo, si su volumen es 1 728cm3.

6. Las reas de tres caras de un paraleleppedorectangular son: 122, 152 y 202. Calcularsu volumen.

7. Calcular el rea total del rectoedro mostrado,si las longitudes de sus aristas estn en larelacin de 2; 3 y 4. Adems su volumen es1923.

8. Calcular el rea total de un cubo que tiene elmismo volumen de un paraleleppedo

Documents

GEOMETRIA 2DO OK.pdf