Teoría y ejercicios Luis Zegarra Agramont

GEOMETRÍA VECTORIAL (Continuación) Cap. 4

Rectas

Una recta está definida por un vector que indica su dirección y un punto cualquieraque pertenece a ella.Sea el vector que indica su dirección y un punto de ella y cuyo vector de7 Et

posición es entonces de la figura se tiene:+ßt

O

RA

mr

ar r

r

Ecuación vectorial

EV ll7 Í EV ‚7 œ ! Í Ð< +Ñ ‚7 œ ! "t tt t t t tt t a b La ecuación se conoce como la ecuación vectorial de una recta, que tambiéna b"

se puede expresar por .< ‚7 œ :t t t

Ecuación paramétrica

EV ll7 Í EV œ >7 Í < + œ >7 Í < œ + >7 #t tt t t t t t t t a b se llama ecuación paramétrica de una recta pues depende del parámetro real a b# >Þ

Ecuación cartesiana

Introduciendo en los vectores: a b# 7 œ Ð7 ß7 ß7 Ñß + œ Ð+ ß + ß + Ñt t" # $ " # $

y se tiene, para y 0< œ ÐBß Cß DÑ 7 ß7 7 Át " # $

ÐBß Cß DÑ œ Ð+ ß + ß + Ñ > Ð7 ß7 ß7 Ñ" # $ " # $

de donde se obtienenÐB + ß C + ß D + Ñ œ > Ð7 ß7 ß7 Ñß" # $ " # $

también llamada forma simétrica.B + C + D +

7 7 7œ œ œ >ß

" # $

" # $

ahora, si 7 ”7 ”7 ! 7 œ !" # $ " es y suponiendo entonces la ecuación, queda

B œ + ß œ œ >C + D +

7 7"

# $

# $

Si, entonces,7 œ 7 œ !" #

B œ + ß C œ + ß œ >D +

7" #

$

$

Ejemplo 1.

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos yE "ß #ß !a b F !ß $ "a b

Solución.

La dirección de la recta esta dada por así,7 œ EF œ "ß "ß "t t a b o bien

B " C # D B C $ D "

" " " " " "œ œ œ œ

Ejemplo 2

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto y que esa b"ß #ß $

paralela a la recta parámetro real.< œ Ð% >ß $>ß "Ñß >t

Solución. De inmediato de aquí que < œ %ß !ß " > "ß $ß ! ß > − à 7 œ "ß $ß !t ta b a b a b‘

entonces

B " C #

" "œ • D œ "

es la ecuación de la recta en cuestión.

Distancia de un punto a una recta.

Dada la recta cuya ecuación es Ð< +Ñ ‚7 œ ! T :t t t tt, y sea un punto! !a b también dado, entonces || ||. œ Ð : +Ñ ‚7t t s!

•

•O 0pr

0P

d

Amr •

Q

ar

Demostración. Vamos a dar una demostración diferente a la expuesta en el capítulo 3

|| || . œ T Ut!

Por otra parte: ST T UUE œ SE Í T U œ + : UEt t tt t tt t! ! ! !

haciendo se tiene pues ‚7ß T U ‚7 œ Ð+ : Ñ ‚7ß UE ll7t t t t t tt t! !

Tomando norma y aplicando la definición del producto cruz, resulta

|| || || || || || || || ° || ||T U‚7 œ Ð+ : Ñ ‚7 Í T U 7 =/8 *! œ Ð+ : Ñ ‚7t tt t t t t t t t! !! !

Finalmente dividiendo por la norma de se tiene7ßt

|| || || ||. œ T U œ Ð : +Ñ ‚7t t t s! !

Planos

Un plano está definido por un vector normal a todos los vectores contenidos en el plano y un punto cualquiera que pertenece a dicho plano.

Sea el vector normal y un punto del plano y cuyo vector de posición es 8 F ,ßt t

entonces de la figura se tiene:

nr

B

br

rr

O

R

Ecuación vectorial

siendo un punto cualquiera del plano, entonces se debe tenerFV ¼ 8ß Vt t

FV † 8 œ ! Í Ð< ,Ñ † 8 œ ! "t t t tt a b La ecuación se conoce como la ecuación vectorial de un plano, que tambiéna b"

se puede expresar por < † 8 œ :ß : −t t .‘

Ecuación paramétrica

Sean y dos vectores contenidos en el plano no colineales y un punto? @ E +t t ta bcualquiera del plano

Aur

vr

R

nr

O

ar r

r

De la figura se tiene

SV œ SEEV Í < œ + > ? > @ß > ß > − #t tt t t t t" # " # ‘ a b note que es combinación lineal de los vectores y y que EV ? @ ßt t t 8 œ ? ‚ @t t t

La ecuación se llama ecuación paramétrica de un plano.a b# Ecuación Cartesiana

Sean: el punto fijo en el plano y su< œ ÐBß Cß DÑß , œ , ß , ß , 8 œ +ß ,ß -t tt a b a b" # $

normal, entonces remplazando en resulta:a b" ÐB , ß C , ß D , Ñ † +ß ,ß - œ !ß +B ,C -D . œ !" # $ a b y de aquí donde

. œ , † 8t t

Ecuación de una recta por la intersección de dos planos

Sean las ecuaciones de dos planos no paralelos, dadas por:

T À + B , C - D . œ !à 8 œ + ß , ß -t" " " " " " " "" a b T À + B , C - D . œ !à 8 œ + ß , ß -t# # # # # # # # #a b y no paralelos T T Í 8 ‚ 8 Á !Þt t t

" # " #

Resolviendo el sistema en términos de un parámetro, se obtiene la ecuación de la recta en cuestión, que se puede expresar por:

Ð< : Ñ ‚ Ðt t! 8 ‚ 8 Ñ œ !ß T T œ Ö: × 7 œ 8 ‚ 8t t t t t tt" # " # " #!donde y

1nr

2nr

1P

2P

L

mr

•0P

Ejemplo 3

Determine la ecuación paramétrica y simétrica de la recta

#B C $D œ '

B C 'D œ '

Solución. Resolviendo el sistema formado por los dos planos y eligiendo a comoD

parámetro, resulta:

ÚÛÜ

B œ % >C œ # &>D œ >

o también < œ Ð%ß #ß !Ñ >Ð "ß &ß "Ñt

y la forma simétrica es B % C # D

" & "œ œ

Distancia de un punto a un plano

Dada un plano cuya ecuación es Ð< ,Ñ † 8 œ !t tt , y sea un punto tambiénT :t! !a b dado, entonces

| |. œ Ð : ,Ñ † 8t t s!

Demostración. Vamos a dar una demostración diferente a la expuesta en el capítulo 3

nr

B

br

rr

O

R•

d

Q

0P

|| || || || || || . œ SU œ >8 œ l>l 8 "t t t a b por otra parte

haciendo ST T UUF œ SF Í : >8 UF œ ,ß Î †t t t tt t t t! ! ! 8t,

se logra : † 8 t t! > 8 † 8 UF † 8 œ , † 8ßt t t tt t

pero por ser perpendiculares entre siUF † 8 œ !t t

entonces remplazando en resulta|| ||

> œ ß "Ð: ,Ñ † 8t tt

8t!

#a b

. œ l l 8 œ Ð : ,Ñ † 8Ð: ,Ñ † 8t tt

8tt t t s!

# !|| || || || | |

En caso que el plano está dado por

y +B ,C -D ; œ ! T œ B ß C ß D! ! ! !a b entonces . œ

l +B ,C -D ; l

+ , -

! ! !

# # #È

Perpendicularidad entre una recta y un plano.

Una recta es perpendicular a un plano, si y solo si 7 œ >8ß >t t − Þ‘

Paralelismo entre una recta y un plano.

Una recta no contenida en un plano es paralela a un plano, si y solo si 7 † 8 œ !t t

Rectas paralelas.

Dos rectas son paralelas entre si, si y solo si 7 œ >7 ßt t" # > − ‘

Note que y deben ser coplanares.P P œ gß P P" # " #

Intersección de rectas.

Dadas las rectas ß P À" Ð< +Ñ ‚7 œ ! P À Ð< ,Ñ ‚7 œ !t t t t tt tt" # #y

P P Á ÖT × Í Ð+ ,Ñ † 7 ‚t tt" # ! " 7 œ !t#

Ejercicios resueltos

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos y E + FÐ,Ñt ta b

•

•

O

A

ar

B

br

Solución.

Es claro que por tanto À 7 œ EF œ , + < œ + >Ð, +Ñt t t t tt t t

#Þ Determine la ecuación de un plano que contiene a tres puntos no colineales,

y .E + ßFÐ,Ñ G -t tta b a b

•

•

•A

B

C

nr

Solución.

De inmediato la ecuación paramétrica del plano resulta,

o bien< œ + > EF > FGà > ß > − ßt t t t" # " # ‘

note que < œ + > Ð, +Ñ > Ð- ,Ñà > ß > − ß 8 œ Ð, +Ñ ‚ Ð- ,Ñt t t t t t tt t t t" # " # ‘

$Þ Determine el punto de intersección de la recta y el plano, cuyas ecuaciones seindican, si 0 7 † 8 Át t

Ð< +Ñ ‚7 œ ! "t t t t a b

Ð< ,Ñ † 8 œ ! #t tt a b

•

mr

nr

Solución. De haciendo / resultaa b a b" ß < œ + >7 $ † 8t t t t

, de así < † 8 œ + † 8 >7 † 8 # À < † 8 œ , † 8 , † 8 œ + † 8 >7 † 8t t t t t t t t t t t t t tt ta b , finalmente en Í > œ $ À < œ + 7

Ð, +Ñ † 8 Ð, +Ñ † 8t tt t t tt t t

7 † 8 7 † 8t t t ta b

que es el vector de posición del punto de intersección.

4. Determine el punto de intersección de la recta y el planoB " C D

" # "œ œ

$B #C 'D œ ")Þ

Solución. Podríamos usar el resultado del ejercicio anterior, pero queremos dar otra forma desolución, entre otras.Expresando la recta en sus componentes paramétricas, se tiene

estas componentes deben satisfacer al plano, es decirB œ " >ß C œ #>ß D œ >

con lo que el punto de intersección$Ð" >Ñ #Ð#>Ñ '> œ ") Í > œ $

resulta .T Ð%ß 'ß $Ñ!

5. Dados los planos y Encontrar la ecuaciónÀ $B #C D œ " #B %C &D œ #Þ

del plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta de interseccióna b"ß #ß $

de los planos dadosSolución.El vector director de la recta de interse ción está dado por y es la normal- 8 ‚ 8t t" #

del plano buscado, así

8 œ 8 ‚ 8 œ œ 'ß "(ß "'t t t3 4 5s s s

$ # "# % &

" #

â ââ ââ ââ ââ ââ â a bluego ÐB "ß C #ß D $Ñ † 'ß "(ß "' œ ! Í 'B "(C "'D œ ))a b

6. Encontrar la ecuación del plano que:

a) Pasa por un punto y es paralelo a dos rectas no paralelas.b) Contiene a una recta y es paralelo a otra.c) Pasa por dos puntos dados y es paralelo a una recta dada.d) Contiene a una recta y pasa por un punto.

Solución. a) Sean y los vectores directores de las dos rectas y el punto dado,7 7 :t t t" # !

note que el vector es perpendicular a todos los vectores del plano7 ‚7t t" #

entonces es la ecuación del plano.Ð < : Ñ † Ð 7 ‚7 Ñ œ !t t t t! " #

b) Sean: y las ecuaciones de las rectasP < œ + > 7 P À < œ , > 7t t t t tt" " " # # #

dadas, tal como en la parte a), es la normal del plano entonces7 ‚7 ßt t" #

es su ecuación, note que está contenida en elÐ < +Ñ † Ð 7 ‚7 Ñ œ ! Pt t t t" # "

plano.

c) Sea y los puntos dados y un vector paralelo a la recta dada. El plano+ , 7t tt

pedido pasa por y es paralelo a y al vector entonces su ecuación+ Ð, +Ñ 7ßt t tt

es o también Ð < +Ñ † Ð Ð, +Ñ ‚7Ñ œ ! Ð < ,Ñ † Ð Ð, +Ñ ‚7Ñ œ !Þt t t t t t tt t t

d) Sea la recta dada y el vector de posición del punto dado, el< œ + >7 ,t t t t

plano pedido pasa por y por tanto su normal está dada por + ,ß Ð, +Ñ ‚7t t tt t

luego su ecuación es Ð < ,Ñ † Ð Ð, +Ñ ‚7Ñ œ !Þt t tt t

7. Hallar la distancia desde el punto a la recta que une los puntosa b"ß "ß "

a b a b#ß "ß " $ß !ß " Þy Solución. Como la distancia desde T œ! a b"ß "ß " . œ Ð : +Ñ ‚7t t sestá dada por || ||!

en este caso + œ #ß "ß " ß 7 œ $ß !ß " #ß "ß " œ "ß "ß ! Êt ta b a b a b a b7 œ "ß "ß ! : + œ "ß #ß #s

"

#t tÈ a b a by , así!

|| ||. œ "ß #ß # ‚ "ß "ß ! œ %"

#È a b a b

8. Los puntos y determinan unE œ "ß "ß " ß F œ $ß $ß # G œ $ß "ß #a b a b a bplano.a) Hallar la normal del planob) Determine su ecuación cartesiana.c) Calcular la distancia del origen al plano.

Solución.

a) 8 œ EF ‚EG œ %ß )ß )t t t a b b) ÐB "ß C "ß D "Ñ † %ß )ß ) œ ! Í B #C #D & œ !a b c) . œ œ

l! # † ! # † ! & l &

" % % $È

*Þ Dadas las ecuaciones de 4 planos por:

T À B #C #D œ & T À $B 'C $D œ #" #

T À #B C #D œ " T À B #C D œ ($ %

a) Demuestre que dos de ellos son paralelos y los otros dos perpendiculares.b) Calcule la distancia entre los dos planos paralelos.

Solución. a) Los planos paralelos son y puesT T ß# %

8 œ $ß 'ß $ œ $ "ß #ß " œ $8t t# %a b a b Los planos perpendiculares son y puesT T ß" $

8 † 8 œ "ß #ß # † #ß "ß # œ !t t" $ a b a b b) Basta obtener un punto del plano y obtener la distancia de este punto alT%

plano sea el punto mencionado entonces,T ß #ß #ß "# a b . œ œ œ

l$ † # ' † Ð #Ñ $ † " #l "* "*

* $' * &% $ 'È È È

"!Þ Dada la recta y el plano , por6 1

6 À B # C D œ " À B # C D œ "!- 1 - $ B D œ #-

Determine en los siguientes casos:-

a) sea paralela a 6 1 b) y encuentre las coordenadas de 6 œ ÖT × T 1 ! !

c) La proyección ortogonal de paralela sobre el plano .6 ß 1

Solución. a) Se debe tener que 8 † 7 œ ! Ê "ß #ß † ‚ $ß !ß " œ !t t a b a b a b- -ß #ß "

a b"ß #ß † Ð #ß- - - $ß 'Ñ œ ! Í œ "

#

b) De inmediato se debe imponer que 08 † 7 Á Ít t - Á "

#

c) paralela a implica 6 ß œ Ê"

#

B #C D œ "

$B D œ "1 - œ "

#

•A

•Q

nr

Tan solo debemos determinar el punto pie de la perpendicular bajada desdeU

E 6ßque pertenece a pues la dirección de la recta pedida es la misma que de la recta es decir , con 6 7 œ %ß &ß "# E œ !ß !ß "t a b a b Para determinar se sigue:U œ Bß Cß D ßa b UE œ >8 Í Bß Cß " D œ > "ß #ß Ít t

"

#

B œ >C œ #>

D œ " >a b Œ

ÚÛÜ "

#

como debe pertenecer al plano, se debe tenerU

> #Ð #>Ñ Ð" >Ñ œ "! Í > œ Ê U œ Ð ß ß Ñ" " $) $) (' %!

# # #" #" #" #"

luego la ecuación de la recta pedida es

< œ Ð ß ß Ñ > %ß &ß "# ß > −t$) (' %!

#" #" #"a b ‘

""Þ Ð+ß ,ß -Ñ Hallar la ecuación del plano que pasa por y es perpendicular a los planos y T À +B ,C -D œ " T À B C D œ +,-" #

Solución. La normal del plano pedido debe ser perpendicular a cada uno de los planos dados por tanto, por tanto la ecuación8 œ +ß ,ß - ‚ "ß "ß " œ , -ß - +ß + ,t a b a b a b resulta Ð, -ÑB Ð- +ÑC Ð+ ,ÑD , -ß - +ß + , †a b Ð+ß ,ß -Ñ œ !

Ð, -ÑB Ð- +ÑC Ð+ ,ÑD œ !.

12. Dados los planos:

y T À B -C ,D œ !à T À -B C +D œ ! T À ,B +C D œ !" # $

Determinar la condición que deben cumplir los coeficientes y para que+ß , -

los planos dados se entersecten según una recta.Solución. Se debe tener que 8 ‚ 8 œ >8 ßt t t" # $ > − ‘

o lo que es equivalente a 8 ‚ 8 † 8 œ ! Êt t t" # $

â ââ ââ ââ ââ ââ â" - ,

- " + , + "

œ ! Í + , - #+,- œ "Þ# # #

13. Demostrar que la ecuación vectorial del plano tangente a una esfera de radio y+

centro está dada por: donde es el punto de tangenciaG Ð< -Ñ † Ð- ,Ñ œ + ß Ft t t t #

entre el plano y la esfera.

R

B

C

O

rr

br

nr

Solución.

De la figura se tiene, FV ¼ FG Í Ð< ,Ñ † Ð- ,Ñ œ !ß 8 œ - ,t t t t t tt t t

por otra parte , œ - Ð- ,Ñ Ê Ò< - Ð- ,ÑÓ † Ð- ,Ñ œ ! Ít t t tt t t t t t

Ð< -Ñ † Ð- ,Ñ œ Ð- ,Ñ † Ð- ,Ñ œ - , œ +t t t t t tt t tt || ||# #

14. Demostrar que si dos rectas dadas por: y Ð< +Ñ ‚7 œ ! Ð< -Ñ ‚7 œ !t t t t t tt t" #

se intersecan, entonces: Ð+ -Ñ † 7 ‚7 œ !t t t t" #

Demostración. Expresando las rectas en su forma paramétrica, se tiene:

y < œ + > 7 < œ - > 7 ß > ß >t t t t t t" " # # " # − ‘

si las rectas se intersecan existe escalares > >" # y tales que:

tomando el producto punto por se obtiene+ > 7 œ - > 7 ß 7 ‚7 ßt t t t t t" " # # " #

+ † 7 ‚7 œ - † 7 ‚7 Í Ð+ -Ñ † 7 ‚7 œ !t t t t t t t t t t" # " # " #

15. Demuestre que el punto de intersección de las rectas coplanares y no paralelas

< ‚ + œ + < ‚ , œ ,t t t t t t! !y está dado por

con 0< œ + † , Át t+ ‚ ,t t

+ † ,t tt! !

!!

Solución.

Efectuando por la ecuación + ‚t! < ‚ , œ ,t t t! resulta

+ ‚ Ð + ‚ + † ,Ñ < Ð + † <Ñ , œ + ‚t t t t t t tt t! ! ! ! ! < ‚ ,Ñ œ , Í Ð , "t t t t

! ! a b Por otra parte, haciendo por la ecuación resulta† < < ‚ + œ + Àt t t t!

Ð< ‚ +Ñ † < œt t t Ð + † <Ñ Í Ð + † <Ñ œ !ß "t t t t en y se tiene! ! a b Ð , Í < œt t

+ ‚ ,t t

+ † ,t t+ † ,Ñ < œ + ‚t t tt! ! !

! !

!

16. Determine un punto simétrico del punto con respecto a la rectaU T #ß %ß 'a b

B # C " D

$ # "œ œ

Solución.

)6,4,2( −P

),,( cbaM

),,( zyxQ)0,1,2( −A

l

)1,2,3(=mr

Sea punto medio del trazo sobre recta y entoncesQ TUß Q 6 QT ¼ 6à

QT † 7 œ ! Í # +ß % ,ß ' - † $ß #ß " œ ! Ê $+ #, - œ )t t a b a b Q − 6 Ê œ œ Ê #+ $, œ ( • , #- œ "à

+ # , " -

$ # "

de donde resolviendo el sistema: $+ #, - œ )

#+ $, œ (

, #- œ "

resultan: y + œ à , œ - œ#! $ #

( ( (

Así por ser punto medio entonces: Q ß œ + Ê B œ# B #'

# (

% C $%

# (œ , Ê C œ

' D %'

# (œ - Ê D œ

por tanto el punto simétrico de es, T U œ Ð ß ß Ñ#' $% %'

( ( (

17. a) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos yÐ$ß "ß $Ñ $ß #ß %a b

Ð!ß $ß &Ñb) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos: ya b a b#ß $ß % ß "ß "ß "

Ð &ß $ß #Ñ

Solución.a) Primera forma

)3,1,3( −

)4,2,3( −

)5,3,0(

1L

2L

Q

Ecuación de ; P À < œ $ß #ß % > $ß &ß " 7 œ $ß &ß "t t" "a b a b a b Sea la dirección de la recta se debe tener que 7 œ +ß ,ß " P ß 7 † 7 œ !t t t# # " #a b así la ecuación de resultaÊ $+ &, " œ !ß P#

< œ $ß "ß $ ? Ò&, "Óß ,ß "t a b ˆ ‰"$

Intersecando y se tieneP P" #

a b a b a b Œ $ß #ß % > $ß &ß " œ $ß "ß $ ? Ò&, "Óß ,ß ""

$

de donde se obtienen:

$ $> œ $ ? Ò&, "Ó"

$

# &> œ " ,?

% > œ $ ?

resolviendo:

y > œ ß ? œ , œ % $* &

$& $& "$

Con lo que la ecuación pedida es

< œ $ß "ß $ ? ß ß "t% &

"$ "$a b Œ

Segunda forma Con la dirección de la recta y el punto dado determinamos la ecuación de unP"

plano que es perpendicular a la recta , luego intersecamos esta recta con dichoP"

plano y obtenemos el punto que pertenece a , así con el punto indicado yUß P#

obtenemos la ecuación de la recta pedida.U

Ecuación del plano À $B &C D "" œ !

Ecuación de P À < œ $ß #ß % > $ß &ß "t" a b a b Intersecando con el plano, se tieneP"

$Ð$ $>Ñ &Ð # &>Ñ Ð% >Ñ "" œ ! Ê > œ %

$&

Así, U œ Ð$ ß # ß % Ñ œ Ð ß ß Ñ"# #! % *$ &! "%%

$& $& $& $& $& $&

luego 7 œ $ß "ß $ Ð ß ß Ñ œ Ð ß ß Ñt*$ &! "%% "# "& $*

$& $& $& $& $& $&# a b

dirección que coincide con la obtenida enœ Ð ß ß "Ñß$* % &

$& "$ "$

la primera forma.

b)

⋅ ⋅

⋅

)4,3,2(A

)1,1,1(B)2,3,5(−C

n

Primera forma

La ecuación del plano pedido es con Ò< #ß $ß % Ó † 8 œ !ß 8 œ EF ‚EGt t t t ta b y 8 œ Ð, +Ñ ‚ Ð- +Ñ œ œ %ß "*ß "%t t t tt

3 4 5s s s

" # $ ( ! #

â ââ ââ ââ ââ ââ â a b Así: Ò< #ß $ß % Ó † %ß "*ß "% œ ! Í %B "*C "%D * œ !t a b a b

Segunda forma La ecuación del plano pedido en su forma paramétrica es

< œ #ß $ß % > Ð, +Ñ > Ð- +Ñt t t tta b " #

< œ #ß $ß % > "ß #ß $ > Ð (ß !ß #Ñt a b a b" #

Note que y son no colineales (L.I.)a b "ß #ß $ Ð (ß !ß #Ñ

18. a) Dada la ecuación de un plano por demuestre que la distancia desde< † 8 œ .ßt t

un punto al plano dado, está dada por , con T l . : † 8 l : † 8 Á .Þ"

ll8lltt tt t! ! !

¿Como se puede interpretar la condición ?: † 8 Á .t t!

b) Calcule la distancia desde el punto al plano T #ß $ß % $B %C (D œ #"!a bSolución.

0P

Q

nr

De la figura se tiene

T U œ >8 Í ; : œ >8 Î † 8 Ê ; † 8 : † 8 œ > 8 † 8 Ít t t t t t t t t tt t! ! !

pués pertenece al plano> œ œ ß U Ð; † 8 : † 8 . : † 8t t t t tt

8 † 8 ll8llt t t! !

#; † 8 œ .Ñt t

La distancia pedida es || || | |T U œ ll8ll œt . : † 8t t

ll8lltt!

!#

"

ll8lltl . : † 8 lt t!

no pertenece al plano .: † 8 Á . Ê T < † 8 œ .t t t t! !

b) Aplicando la fórmula de la parte a), se tiene

. œ l#" Ð $%Ñl œ" &&

(% (%È È19. Si desde un punto de una recta perpendicular a un plano se baja unaE ß ß1

perpendicular a una recta del plano , demuestre que la recta determinada porV 1los pies de estas perpendiculares es perpendicular a la recta VÞ

Solución.

π

→

nA

PQ

R

Sean la dirección la dirección de y la dirección del plano,7 ETß 7 V 8t t tt" #

entoncesPor hipótesis: y 7 † 7 œ ! 8 † 7 œ !t t t t" # #

Tesis: UT † 7 œ !t t#

En efecto de la figura ß EU UT œ ET Í UT œ ET EUt tt t t t

UT œ > 7 > 8t t t" " #

UT † 7 œ > 7 † 7 > 8 † 7 œ > † ! > † ! œ !t t t t t t# " " # # # " #

20. Hallar el punto que es simétrico al punto con respecto planoU T "ß #ß %a b$B %C (D "" œ !Þ

Solución.

•

nr

P

Q

R

Sea el pie de la perpendicular bajada desde y que pertenece al planoV T

$B %C (D "" œ !Þ

Entonces es punto medio entre punto pedido.V TUß Ut

Sea luego de dondeV +ß ,ß - ß TV œ >8 Í + "ß , #ß - % œ > $ß %ß (t ta b a b a b+ œ " $>ß , œ # %> - œ % (>ß V Ê y pero pertenece al plano

$ " $> % # %> ( % (> "" œ ! Ê > œ ß"#

$(( ) ( ) ( )

Así V ß ß ß & ") &!

$( $( $(Œ

finalmente y B " & C # ") D % &!

# $( # $( # $(œ ß œ œ

de donde resulta U ß ß%( $) %)

$( $( $(Œ

21. Dado el sistema B C +D œ "

B C D œ +

y el plano #B ,C D œ "

a) Determine de modo que el sistema dado represente a una recta.+

b) Encuentre y de modo que la recta y el plano sean paralelos.(considere a)).+ ,

c) Encuentre y de modo que la recta y el plano intersecten en un punto.+ ,

d) Considerando a) y c) ¿será posible que el plano y la recta sean perpendiculares?

Solución.a) Los planos no pueden ser paralelos, entonces a b a b"ß "ß + Á > "ß "ß " Ê + Á "

b) Con se debe tener que + Á " 8 † 7 œ ! Í #ß ,ß " † " +ß + "ß ! œ !t t a b a b pero Í + " , # œ ! + Á " Ê , œ #Þa ba bc) De inmediato y + Á " , Á #

d) Se debe tener que lo que7 œ >8ß > Á ! Í " +ß + "ß ! œ > #ß ,ß "t t a b a b da no existen y > œ ! Ê É ß + ,Þ

22. Sea la recta que une los puntos y .6 %ß #ß & !ß #ß %a b a b a) Encuentre la ecuación del plano que pasa por y es perpendicular a laa b #ß $ß %

recta .6

b) Encuentre la ecuación de la proyección de la recta sobre el plano6ß

.B C D œ "

Solución.

•nr

)5,2,4( −

)4,2,0(

•

•

•A

P

l

l′

nr

•Q

•)4,3,2(−

a) entonces la ecuación del plano8 œ %ß #ß & !ß #ß % œ %ß %ß " ßt a b a b a b en cuestión resulta o bienÀ ÐB #ß C $ß D %Ñ † %ß %ß " œ !ßa b %B %C D "' œ !

b) Primero determinamos punto de intersección de con el planoT 6

B C D œ "Þ

Las ecuaciónes paramétricas de son:6

y B œ %>ß C œ # %> D œ % >

estas componentes deben satisfacer la ecuación del plano, esto es

así: %> # %> % > œ " Í > œ &ß T œ #!ß ##ß "a b Ahora determinamos para lo que: con Uß UE œ >8ß U œ Bß Cß Dt t a b y así,E œ !ß #ß % 8 œ "ß "ß " àta b a b a b a b a b!ß #ß % Bß Cß D œ > "ß "ß " Í B œ >ß C œ # >ß D œ % >

Como pertenece al plano entonces:U

> # > % > œ " Í > œ Ê UÐ ß ß Ñ& & " (

$ $ $ $

por tanto la recta pedida es

< œ #!ß ##ß " ÖÐ ß ß Ñ #!ß ##ß " ×t& " (

$ $ $a b a b-

o bien< œ #!ß ##ß " Ð ß ß Ñt a b - && '& "!$ $ $

< œ #!ß ##ß " > ""ß "$ß #t a b a b23. Sean la recta 6 À #B C œ ! • B C D œ !

y el plano 1 À B 5 C #D œ : #

a) Determine y de modo que:5 :

i) La recta sea paralela al plano 6 1

ii) La recta esté contenida en el plano 6 1

iii) La recta intersecte al plano en un punto.6 1

b) Encuentre la y la si considere y À :<9C ? :<9C ?ß ? œ #ß $ß ! ß 5 œ " : œ #t t1 6a b

Solución.a)

i) Se debe tener que y que para este valor de , las coordenadas de la7 † 8 œ ! 5t t

recta no satisfaga la ecuación del plano, así:

7 † 8 œ "ß #ß $ † "ß 5ß # œ ! Ít t a b a b 5 œ (

#

Ahora como y remplazando en la ecuación del plano< œ Ð>ß #>ß $>Ñt

entonces se debe tener > † #> # † $> œ : # Í ! œ : #ß : Á #(

#

ii) También se debe tener que 7 † 8 œ ! Êt t 5 œ : œ #Þ(

# pero ahora

iii) Es suficiente que y cualquier real.5 Á :(

#

b) Sean , luegoE #ß $ß ! ß U Bß Cß D − UE œ >8 Ê :<9C ? œ SUßt t t ta b a b 1 1a b a b# Bß $ Cß D œ > "ß "ß # Ê B œ # >à C œ $ > D œ #>ßy

como pertenece a U Ê # > Ð$ >Ñ # #> œ ! Ê > œ Ê&

'1 a b

:<9C ? œ Ð# ß $ ß #Ð Ñ œ (ß "$ß "! Þt& & & "

' ' ' '1a b

Por otra parte ß :<9C ? œ 7 œ "ß #ß $t t? † 7 %t t

7 (t6 || ||#a b

24. Sea el plano cuya ecuación es y la recta cuya ecuación esT Ð< +Ñ † 8 œ ! Pt t t

Ð< ,Ñ ‚7 œ !ß E  Pß P © T Í ÒÐ+ ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !t t t t tt tt tsi demuestre que:

Demostración. Ð Ê Ñ

Supongamos que demostraremos que P © T ß ÒÐ+ ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !t t tt t

Si y está en luego y están en entoncesP © T Ê , − T 7 T ß Ð+ ,Ñ 7 Tt t tt

es perpendicular a es paralelo a Ð+ ,Ñ ‚7 T Ê Ð+ ,Ñ ‚7 8 Ít t t t tt t

ÒÐ+ ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !Þt t tt t

Ð É Ñ

Sea por demostrar que o lo que es equivalente a - − Pß - − T Ð- +Ñ † 8 œ !t t t

ahora, si - − P Ê Ð- ,Ñ ‚7 œ ! Ê ÒÐ- ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !t t t t tt tt t

y como por hipótesis ÒÐ+ ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !t t tt t

de donde restando ambas expresiones, resulta:

de aquíÒÐ- ,Ñ ‚7 Ð+ ,Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ ! Ê ÒÐ- +Ñ ‚7Ó ‚ 8 œ !ßt t t t t t t t tt t t t

ahora si y son linealmenteÒÐ- +Ñ † 8Ó7 Ð7 † 8ÑÐ- +Ñ œ !ß 7 Ð- +Ñt t t t t t t t t t tt

dependientes pertenece a la recta que pasa por y tieneÐ- +Ñ œ >7 Ê + -t t t t t

dirección como se tiene que esta recta es luego lo que no7ß - − P P + − Pßt t t

ser pues contradice la hipótesis, luego y son linealmente7 Ð- +Ñt t t

indepenpendientes, entonces: Ð- +Ñ † 8 • 7 † 8 œ ! Ê - − T Þt t t t t t

26. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por y es paralela ala b"ß !ß #plano dado por y perpendicular a la recta B C D œ & B œ >ß C œ " >ß D œ #>

Solución. El vector director de la recta pedida debe ser perpendicular al vector normal del7t

plano y a la dirección de la recta dada, sea entonces7 œ 7 ß7 ß7t a b" # $

y de don de se obtienea b a b a b a b7 ß7 ß7 † "ß "ß " œ ! 7 ß7 ß7 † "ß "ß #" # $ " # $

por tanto la ecuación paramétrica de la recta en cuestión, es7 œ $ß "ß # ßt a b < œ "ß !ß # > $ß "ß # Þt a b a b

27. Determine la ecuación de la recta que pasa por y corta a las rectasT œ Ð#ß !ß #Ñ!

y donde:6 À < œ + > ? 6 À < œ , > ?t t t t tt" " " # # #

y + œ Ð$ß !ß "Ñß , œ Ð!ß "ß #Ñß ? œ Ð#ß "ß #Ñß ? œ Ð$ß "ß #Ñt t tt" #

Solución. Primero determinamos las ecuaciones de los planos formados por: con yT 6 T! " !

con ,6#

8 œ Ð+ : Ñ ‚ ? œ Ð"ß !ß "Ñ ‚ Ð#ß "ß #Ñ œ Ð "ß !ß "Ñt t t t" "! t

8 œ Ð, : Ñ ‚ ? œ Ð #ß "ß !Ñ ‚ Ð$ß "ß #Ñ œ Ð #ß %ß &Ñt t tt# #!

Así: T À B C . œ !ß . œ Ð#ß !ß #Ñ † Ð "ß !ß "Ñ œ %" " "

T À #B %C &D . œ !ß . œ Ð#ß !ß #Ñ † Ð #ß %ß &Ñ œ "%# # #

La recta pedida es la intersección de y que resultaT T" #

B # C D #

% $ %œ œ

28. Un punto se mueve de manera que en cada instante su posición es:T >ß

: œ Ð" >Ñ 3 Ð# $>Ñ 4 Ð#> "Ñ 5t s s s

a) Probar que su trayectoria es una recta que pasa por el punto P T Ð%ß "" (ÑÞ!

b) En que instante y en que punto el móvil llega al plano #B $C #D " œ !

c) Hallar la ecuación del plano perpendicular a en la posición del móvilP

correspondiente al instante > œ #Þ

Solución.a) De inmediato y para : œ "ß #ß " >Ð "ß $ß #Ñß > − > œ $t a b ‘

pasa por el punto T Þ!

b) Efectuando la intersección con el plano, se tiene:

#Ð" >Ñ $Ð# $>Ñ #Ð#> "Ñ " œ ! Ê > œ " Ð!ß "ß "Ñy el punto es c) La normal del plano pedido es la dirección de la recta es decirPß

Ð "ß $ß #Ñ > œ # y para se obtiene un punto de dicho plano que es así la ecuación del plano resulta a b "ß %ß $ ß B $C #D "* œ !

29. Probar que una recta del plano que pasa por un punto se puede expresar\] T!

mediante la ecuación siendo la normal del plano < † 8 œ : † 8ß 8 \] Þt t t t t!

Prueba. Sea la ecuación de la recta: de dondeÐ< : Ñ ‚7 œ ! Í < ‚7 œ : ‚7t t t t t t t! !

Ð< ‚ 7Ñ ‚ 8 œ Ð: ‚7Ñ ‚ 8 Ít t t t t t!

pero Ð8 † <Ñ7 Ð8 † 7Ñ< œ Ð8 † : Ñ7 Ð8 † 7Ñ: ß 8 † 7 œ ! Ít t t t t t t t t t t t t t! !

tomando norma resulta || || | || || asíÐ8 † <Ñ7 œ Ð8 † : Ñ7ß Ð8 † <Ñ 7 œ Ð8 † : Ñ 7 ßt t t t t t t t t t t t! !

, como se pretendía.< † 8 œ : † 8t t t t!

30. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el origen y que contiene a la recta de

intersección de los planos: T À < † + œ : • T À < † , œ ;t t t t" #

Solución. La familia de planos que contiene a la recta intersección de y está dadaT T" #

por: ahora como se pide el plano de esta familia que< † + : Ð < † , ;Ñ œ !t t t t-

pasa por el origen, entonces luego! † + : Ð ! † , ;Ñ œ ! Í œ ßt tt t :

;- -

resulta < † Ð;+ :,Ñ œ !t t t

31. Demostrar que las rectas y son coplanares y encontrar su punto deEE FFw w

intersección, donde y y E œ %ß &ß " E œ Ð$ß *ß %Ñß F œ Ð %ß %ß %Ñ F œ Ð!ß "ß "Ña b w w

Demostración. Por el ejercicio resuelto 14, la condición de dos rectas coplanares esta dada por siendo las rectas cuyas ecuaciones son:Ð+ -Ñ † 7 ‚7 œ !ßt t t t" #

y < + œ > 7 < - œ > 7t t t t t t" " # #

entonces: Ò %ß &ß " Ð %ß %ß %ÑÓ † Ð "ß %ß $Ñ ‚ Ð%ß &ß &Ñ œa b Ð)ß "ß $Ñ † Ð &ß (ß ""Ñ œ !

note que las rectas no son paralelas.7 ‚7 œ Ð &ß (ß ""Ñ Á !ßt t t" #

recta EE À < œ %ß &ß " > Ð "ß %ß $Ñtw"a b

recta : FF < œ Ð %ß %ß %Ñ > Ð%ß &ß &Ñtw#

Como aseguramos que las rectas se intersecan es suficiente resolver el sistema

ÚÛÜ

% > œ %> %& %> œ &> %" $> œ &> %

" #

#

" #

"

de donde y por tanto > œ % > œ $ß T œ Ð)ß ""ß ""ÑÞ" # !

Mismo resultado se obtiene a través del ejercicio resuelto 15.

32. Dados los planos T À $B #C D œ &"

T À B #C D œ "!#

a) Determine los ángulos que forman los dos planosb) Determine las ecuaciones de los planos bisectores y demuestre que sus normales son perpendiculares entre si.

Solución.

a) De inmediato ° luego|| || || ||

-9= œ œ Ê ¸ %*ß "!8 † 8 't t

8 8t t "% '! !

" #

" # È È °" ¸ "$!ß *

b) Sea un punto cualquiera en uno de los planos bisectores, se debeT Bß Cß Da b tener que la distancia de a y a debe ser la misma, es decirT T T" #

l $B #C D & l l B #C D "! l

"%œ

'È È de donde se obtienen: È È' Ð$B #C D &Ñ œ „ "% ÐB #C D "! Ñß

luego las ecuaciones de los planos bisectores, resultan ser:

0Ð$ ' "%ÑB #Ð ' "%ÑC Ð ' "%ÑD &Ð ' # "%Ñ œÈ È È ÈÈ È È È Ð$ ' "%ÑB #Ð ' "%ÑC Ð ' "%ÑD &Ð ' # "%Ñ œ !È È È ÈÈ È È È

note que luego y son8 † 8 œ Ð&% "%Ñ %Ð )Ñ Ð )Ñ œ !ß 8 8t t t t" # " #

perpendiculares entre si.

33. Dos rectas y son coplanares si y solo si6 À < ‚ 7 œ : 6 À < ‚ 7 œ ;t t t t t t" " # #

7 † ; 7 † : œ !t t t t" #

Demostración.

Sean , y À E − 6 Í + ‚7 œ : F − 6 Í , ‚7 œ ; Þt t t t tt" " # #

Com son puntos en y las rectas son coplanares si y solo si los9 EßF 6 6 ß" #

vectores: son coplanares, es decir cuando FEß 7 ß 7 Ð+ ,Ñ † 7 ‚ 7 œ !t t t t t tt" # " #

de donde + † 7 ‚ 7 , † 7 ‚ 7 œ + ‚ 7 † 7 , ‚ 7 † 7 œ !t t t t t t t t t tt t" # " # " # # "

o bien que es lo mismo que : † 7 ; † 7 œ ! 7 † ; 7 † : œ !t t t t t t t t# " " #

34. Demuestre que la distancia mínima entre las rectas no paralelas

y es || ||

6 À < ‚ 7 œ : 6 À < ‚ 7 œ ; . œt t t t t tl7 † ; 7 † : lt t t t

7 ‚ 7t t" " # #

" #

" #

Demostración. Si son puntos en y respectivamente, la distancia entre ellas tiene elEßF 6 6 ." #

mismo valor numérico que la proyección ortogonal de sobre la normalFEt

común que es , es decir7 ‚ 7t t" #

|| |||| ||

. œ Ð+ ,Ñ † Ð7 ‚ 7 Ñt t tt 7 ‚ 7t t

7 ‚ 7t t" #

" ## " #

|| ||

|| || || ||œ œ

lÐ+ ,Ñ † 7 ‚ 7 l 7 ‚ 7 l7 † ; 7 † : lt t t t t t t t tt

7 ‚ 7 7 ‚ 7t t t t" # " # " #

" # " ##

Note que se ocupó el resultado del problema 33.

Ejercicios propuestos

1. Determine la ecuación de la recta de intersección de los planos

y T À < † #ß $ß " œ # T À < † $ß "ß " œ %t t" #a b a b Respuesta.

< œ !ß $ß ( > #ß &ß ""t a b a b2. Demostrar que los planos

T À < † #ß &ß % œ !ß T À < † "ß "ß % œ # T À < † !ß (ß % œ %t t t" # $a b a b a b y

tienen una recta común de intersección.

3. Sea la recta que pasa por y encontrar el punto deE œ "ß #ß " F œ !ß #ß $ ßa b a bintersección de esta recta con el plano que pasa por el origen y por los puntos

a b a b!ß %ß ! #ß !ß " Þy

Respuesta

T œ ß ß' "% $

& & &! Œ

%Þ "ß #ß $ "ß !ß # Hallar la mínima distancia entre la recta que une los puntos y ya b a bla que une los puntos y a b a b!ß "ß ( #ß !ß & Þ

Respuesta $

5. Hallar la mínima distancia desde el punto al plano determinado por losa b"ß #ß "

tres puntos y a b a b a b#ß %ß " ß "ß !ß " "ß %ß # Þ

Respuesta "%

"$

6. Demostrar que la ecuación del plano que contiene tres puntos dados cuyos vectores

de posición son: y puede expresarse en la forma+ß , -t tt

Ò$< Ð + , - ÑÓ † Ð+ ‚ , , ‚ - - ‚ +Ñ œ !t t t t t t tt t t

donde es el vector posición de cualquier vector del plano.<t

7. Hallar el volumen del tetraedro formado por los planos coordenados y el plano'B (C "%D %# œ !

Respuesta. #"

). Dado el plano : 1 #B $C %D œ "#

a) Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al6

plano 1Þb) Encuentre la proyección ortogonal del vector sobre dicho plano y sobrea b#ß "ß $

la recta mencionada en a).6

* ß 6 À œ œB # C " D

$ " %. En dada la recta ‘$

a) Determine para que el plano 5 1, que pasa por los puntos yE #ß $ß 5a b sea perpendicular a la recta Encuentre la ecuación del plano .F "ß #ß $ 6Þa b 1

b) Encuentre las coordenadas del punto de intersección del plano con laG ß 1

recta 6Þ

Respuesta. a) 5 œ #ß $B C %D "( œ !

b) ˆ ‰%" ") #!"$ "$ "$ß ß

"! ß. Encuentre la recta proyección de la recta B " C # D "

" " "œ œ sobre el plano

de ecuación %B #C #D " œ !

Respuesta.

B C D

" " "œ œ

& "" (# % %

"". Hallar el ángulo agudo formado por los planos

y $B C D $ œ ! B C %D * œ !

Respuesta. 81° 50'

12. Determine la ecuación de un plano que pasa por el punto y esa b%ß #ß "

perpendicular a cada uno de los planos dados por

y B $C %D * œ ! #B #C D "" œ !

Respuesta.&B *C )D $! œ !

13. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos y y quea b a b"ß $ß ! %ß !ß !

forma un ángulo de ° con el plano $! B C D œ "

Respuesta.

&B &C Ð) „ $ 'Ñ D #! œ !È14. Hallar el valor de en la ecuación para que la distancia5 5B #C 'D "% œ !

del punto al plano sea igual a a b"ß "ß " $Þ

Respuesta.$ y $#

15. Hallar el valor de para que la distancia desde el origen al plano cuya ecuación es5

$B 'C 5D "% œ ! #Þ sea igual a

Respuesta. „ #

16. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos$B C #D # œ ! B $C D $ œ ! \] Þy y es perpendicular al plano

Respuesta. B (C œ %

17. Demostrar que los tres planos se intersecan en un solo punto común.$B #C D $ œ ! #B $C $D % œ ! B (C #D ( œ !, y

Respuesta. Ð#ß "ß "Ñ

18. Demuestre que la recta

œ $B %C #D ( œ !B C $D $ œ !

está contenida en el plano B 'C %D " œ !

20. Hallar el ángulo que forma la recta B # C D %

$ " #œ œ y el plano

#B $C D "" œ !

Respuesta. ° '% '

21. Hallar la ecuación del plano determinado por la recta œ #B #C D $ œ !B C #D # œ !

y el punto a b$ß "ß # Þ

Respuesta. $B &C %D % œ !

22. Determine la ecuación de la recta que pasa por y corta a las rectasT!

y V À Ð< : Ñ ‚7 œ ! V À < ‚7 œ !t t t t tt t" " # #"

Respuesta.

Ð< : Ñ ‚ Ò7 ‚ Ð: : ÑÓ ‚ Ð: ‚7 Ñ œ !t t t t t t t t! " ! !" #