Funtzioak eta grafikoak...2. Galileorena bezalako esperimentua egin dugula eta honako emaitza hauek lortu ditugula joko dugu («» penduluaren luzera l izanik eta «n», oszilazioen

102

Unitatearen aurkezpena

•DBHkolehenengoikasturteetanfuntzioakaztertzenhasiginen,etaarretabereziajarrigenienpuntuakkartesiarplanoanirudi-katzearietahainbatpuntugrafikoetanirakurtzeari.Horrekinbate-ra,enuntziatubatenetagrafikobatenartekoloturaaztertzenhasiginen,baitafuntzioeidagokienoinarrizkolexikoaikastenere.

• Ikasturtehonetanzehar,funtziokontzeptuasakonagoetazehatza-goaztertzekoaukeraizangodugu;horretarako,beharrezkoakdi-rendefinizioaetalexikoaikasi,etagrafikoenazterketaetadeskrip-ziokuantitatiboaetakualitatiboaegingoditugu.

•Horretarako,grafikoetanbehatubeharrekoalderdirikgarrantzi-tsuenakaztertukoditugu:definizio-eremua,gorapenaetabehe-rapena,maximoaketaminimoak,jarraitasuna,periodikotasunaetajoera.Horiekguztiakmoduerrazeanaurkeztuetaazaldukodira,etamailaformalagobateraheltzensaiatukogara.

•Horrezgain,ikasleek,enuntziatuedobalio-taulabatoinarrianhar-tuta,grafikoerrazaksortzekoetaaztertzekogaiizanbeharkodute.

•Unitateabukatzeko,ikasleekfuntzioenadierazpenanalitikoano-laeginikasikodute;horrekinbatera,funtzioakadieraztekomodu

horrekbestebatzuenaldeandituenabantailaketadesabantaile-takobatzukzeindirenikasikodute.

•Unitateaamaitutakoan,ikasleekhaueklortubeharkodituzte:fun-tzioakenuntziatuen,balio-taulen,grafikoenedoformulenbitar-tezadierazdaitezkeelajakitea;adierazpideaaurrekoedozeinde-laere,trebetasunezerabiltzeaetaadierazpidebatetikbesteraaldatzekogaiizatea.

•Gainera,grafikoakzehaztasunezdeskribatubeharkodituzte,haienalderdirikgarrantzitsuenakadierazizetahorretarakolexikoegokiaerabiliz.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Grafikoenbidezadierazitakofuntzioakinterpretatzea.

•Enuntziatuakdagozkiengrafikoekinlotzenjakitea.

•Grafikobatdeskribatzean,grafikohorrenezaugarririkgarrantzi-tsuenakidentifikatzea.

8 Funtzioak eta grafikoak

102

FUNTZIOAK

x-renbalioenmultzoa;horieiy-renbaliorenbatdagokio

aldagaiaskeaktartejakinbat(periodoa)

zeharkatzenduenbakoitzeanportaera

errepikatzendutenak

x-kbalioisolatuetarakobakarrikzentzuaduenean

grafikoanjauziakageridirenean

ezdeneanetenikgertatzen

bialdagai,x(aldagaiaskea)etay(mendeko

aldagaia)

x-renetay-renbalioenartekoerlazioaritmetikoadagoenean

honelakoaizandaiteke:

hauekerlazionatzendituzte:

etahauekelkartzendituzte:

zerden

honelakoetan: honelakoetan:

hots adibidez

zeindiren

eta

honelaesatenzaio:

haueibehatuzaztertzenditugu:

x-renbaliobakoitzariy-renbaliobakarbat

FUNTZIOARENADIERAZPENANALITIKOA

ETENA JARRAITUA

HAIENJARRAITASUNAHAIENJOERAHAIENALDAKUNTZAK

MAXIMOAK

MINIMOAK

HAIENEREMUA

GORAPENA

BEHERAPENA

FUNTZIOPERIODIKOETAN

Unitatearen eskema

103

•Funtzioarenadierazpenanalitikoaaztertuz,harenpuntuetakobatzuklortuahalizatea.

•Enuntziatuenbidezadierazitakofuntzioakahaliketazehatzenadieraztekogaiizatea.

•Funtzioakadieraztekobaliodutengrafikoakgainerakoetatikbe-reiztea.

•Funtzioetenaketajarraituakbereiztekogaiizatea.

•Funtziobatenperiodikotasunaidentifikatzea.

•Funtziobatenzatiaaztertuz,harenjoeradeskribatzea.

Osagarrigarrantzitsuak

Komenidaikasleekedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposadaitezke:

•Grafikobatidagokionfuntzioarenadierazpenanalitikoaegitea.

•Funtziobatenadierazpenanalitikoalortzea,horretarakoenun-tziatuedobalio-taulabaterabiliz.

• Ikasleekfuntzioentestuinguruhistorikoaaztertzeaetahorrenba-lioespenpositiboaegitea.

Lanakaurreratu

•Bilatukomunikabideetanekonomiari,politikari,gizartearietaantzekogaieiburuzkofuntzioeidagozkiengrafikoak.

•Bilatukomunikatzailearentzateskalaegokiadutenetainformaziomurriztuaematendutengrafikoak.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

147.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 147.or.«Pentsatuetaegin»(*) 148.or.1.ariketa.(*)

154.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 150.or.1.ariketa.(*) 149.or.2.ariketa.(*)

155.or.«Praktikatu»(*) 153.or.2.(*)eta3.(*)ariketak. 151.or.2.ariketa.(*)

156.or.5.ariketa.(*) 154.or.«Ariketaetaproblemaebatziak».(*) 152.or.1.ariketa.(*)

155.or.3.ariketa.(*) 156.or.5.(*)eta8.(*)ariketak.

156.or.6.(*)eta7.(*)ariketak. 158.or.18.(*),19.(*)eta20.ariketak.

158.or.20.ariketa. 159.or.21.(*),23.(*)eta24.(*)ariketak.

160.or.«Egingogoetaetaerabaki».

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

146.or.1.ariketa.(*) 144.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

147.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

158.or.18.ariketa. 145.or.1.ariketa(*) 145.or.2.ariketa.(*) 157.or.15.(*)eta17.ariketak.

153.or.4.ariketa.(*) 159.or.22.(*)eta23.(*)ariketak.

156.or.5.ariketa.(*) 161.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)

157.or.11.(*)eta12.(*)ariketak.

158.or.18.ariketa.(*)

159.or.21.ariketa.(*)

160.or.«Begiratuetairudikatu».(*)

Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Batzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

104

Iradokizunak

•Gainerakomatematika-kontzeptuakbezalaxe,funtziokontzeptua,den-borarenpoderioz,aldatuzjoanda.Orrialdehonetakoirakurgaian,ho-nakoideiahaunabarmenduda:funtziokontzeptuaulertzekoosoga-rrantzitsuada zergatien eta efektuen arteko erlazio kuantitatiboaezartzea.Galileoaitzindariaizanzenhoriegiten.

•FuntziohitzagauregungoesanahiarekinlehenengoaldizLeibniz-ekera-bilibazuenere,Euerrekzehaztuetazabaldueginzuenharenerabilera,zenbaiturtegeroago.Horrezgain,Eulerrekf (x)notazioasortuzuen,xaldagaiarenaraberakoffuntzioaizendatzeko.

IKT

SakonduEulerriburuzkoinformazioaetaikertuharkzerekarpeneginzionmatematikarengarapenari.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 LeonhardEuler.

2

10

20

30

40

50

60

70

1 2PENDULUAREN LUZERA

OSZILAZIO KOP.

145144

8 Funtzioak eta grafikoak

Ebatzi

1. Jo informazio bila. Zer matematikarik sartu zuen f (x) notazioa funtzioetarako?

2. Galileorena bezalako esperimentua egin dugula eta honako emaitza hauek lortu ditugula joko dugu («l » penduluaren luzera izanik eta «n», oszilazioen kopurua minutuko):

l 2 1,50 1,20 1 0,80 0,60 0,40 0,20

n 21 24,5 27,5 30 33,5 38,5 47,5 67

Irudikatu datu horiek koadernoan, ondoren aurkezten dizugun bezalako erreferentzia-sistema prestatuz. Hartu kontuan taulako

balioek nahiko ondo erantzuten diotela honako erlazio honi: n = l

30

10

20

30

40

50

60

70

1 2PENDULUAREN LUZERA

OSZILAZIO KOP.

Galileoren esperimentua

17 urte zituela, Galileo meza entzuten zegoen Pisako katedralean eta dis-traitu egin zen, sabaitik esekita zegoen lanpara handi baten mugimenduei begira. Oszilazio bakoitzak zenbat irauten zuen kalkulatzen hasi zen, biho-tzaren taupadak neurri-unitate hartuz. Geroago, etxean zegoela, hainbat luzeratako penduluak erabiliz osatu zuen esperimentazio hori.

Fenomeno fisikoei behatzeaZalantzarik gabe, funtzioak fenomeno fisikoak azaldu beharretik sortu ziren. Antzinaroan, fenomeno horiek behaketan eta espekulazioan oinarri hartuta azaltzen ziren. Mende asko iraun zuen jarrera horrek.

Neurtzea eta kuantifikatzea iristeaItaliako Galileok, xvi. mendearen amaieran, beste pauso bat eman zuen: ezinbesteko iritzi zion neurtzeari, zergatiak eta ondorioak era kuantita-tiboan balioztatzeari eta fenomenoa sinpletasunez azalduko zuen erlazio matematikoren bat aurkitzeari.

Galileo ez zen izan zien-tziaren arloko esperimen-tuen aldeko jarrera hori izan zuen lehenengoa (beste askoren artean, hamazortzi mende lehenago, Arkime-des jokabide horren alde agertu zen); hala ere, Gali-leok era sistematikoagoan garatu eta, gainera, adieraz-garritasun handiz azaltzen eta helarazten jakin zuen.

Funtzioak agertzeaGalileoren bi aldagairen arteko erlazio matematikoei buruzko ikerketak (x eta y-ren arteko erlazioak, zergatiak eta ondorioak) xvii. mendean zehar

itxura hartzen joan zen funtzio kontzeptuaren oso aurrekari argia dira. Descartes, Newton eta Leibniz aritu ziren arlo horretan eta, azkenean, Euler suitzarrak definitu zuen xviii. mendean.

Isaac Newton (1643-1727).

Leonhard Euler matematikari eta fisikariaren ohorezko Suitzako seilua (1707-1783).

Galileo Galilei (1564-1642).

Galileo Veneziako duxari teleskopioa nola erabil-tzen den erakusten 1609an.

OHARRAK

105

Iradokizunak•Orrialdehonetan,enuntziatu jakinbatidagokiongrafikoaagerida.Horrekinbatera,edozeinirudikapengrafikotanegonbehardirenlehenkontzeptuakgogoratukoditugu:aldagaiaskeaetamendekoazeindi-ren,ardatzekzeradieraztendutenetazereskalaerabiliden.

•Funtzioarendefinizio-eremuamoduintuitiboanagerida,etagrafikoakaztertzekooinarrizkobimoduazaltzendira.Enuntziatuamodukualitati-boanaztertuda;grafikoa,ordea,modukuantitatiboan.Izanere,moduhorretarazehaztuditzakeguposizioaetapuntutanedotartetaneman-dakoaldakuntzak.

•Orrialdehauetanageridirendefinizioeiesker,kontzeptuhorieklaburbil-duegitendira,etazehaztasunaematenzaie.Irakasleakgrafikoez-fun-tzionalakirudikaditzake,etafuntzioarenoinarrizkoideianabarmendu:x-renbaliobakoitzariy-renbaliobakarbatdagokio.

•Irakasleakikasleeigogoratukodie147.orrialdekoterminologiazehatzaerabiltzeko:kartesiarardatzak,absizenardatza…

•Ikasleekzailtasunugariizatendituztealdagaiaskeaetamendekoabe-reizteko,etafuntziohitzaeraegokianerabiltzeko.Izanere,hitzhorrekzenbaitñabarduraditu:aldagaienartekoerlazioaetamendekoaldagaia.

Lankidetzan ikasi Grafikoakinterpretatzekoetaeraikitzekoariketaguztiakedogehienaktal-detxikianegindaitezke.Taldeeksoluzioakbilatuetaegiaztatuegingodi-tuzte.Lortutakoemaitzakjustifikatzeazgain,desadostasuneiburuzezta-baidatukodute,etaondorioetaraheldubeharkodira.

Ekimena Honakoariketahauiradokitzenda:

Irakasleakgrafikobataurkeztukodu,testuinguruaazaldugabe.Ikasleekgrafikohorriaplikatzekomodukotestuinguruapentsatukodute,etadago-kionfuntzioazehaztukodute.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:

Indartzeko:3.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

4.orrialdeko1.ariketa.


•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko2.ariketa.

Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)280m

b)20.minutuan,lurretik60m-razegoen.Urahartzekoia0m-rajaitsizen.Suaitzaltzekolurretik60m-razegoen.

c)Deposituaurezbetetzeko2minutubeharizanzituen..

Suaitzaltzekominutubatbeharizanzuen.

d)106,7m/min-koabiaduranigoizen.

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 DENBORA (min)

ALTUERA (m)

–30–25

–40–35

–20–15–10–5

3 a)Ane b)Karlos c)AneetaKarlosd)Berta

e)David f) Karlos g)Berta h)David

147146

1 Funtzioak eta funtzioen grafikoak

Sua itzaltzeko zereginetan, helikopteroak honako mugi-mendu hauek egiten ditu: basetik atera; urtegi baten bila jo; hurbilen duen urtegirantz abiatu; uraren bila jaitsi eta berriz igo sua dagoen tokira joateko. Bertan dagoela, apur bat jais-ten da suari nondik erasoko dion aztertzeko eta, gero, sua itzaltzeko jaisten da. Gero, bere zeregina amaituta, hasierako basera itzultzen da.Helikopteroaren hegaldia deskribatzen duen grafikoak bi aldagai jartzen ditu erlazioan: basetik atera denetik igaro den denbora, t, eta aparatuak duen altuera, a.

denbora (t) → altuera (a)

■ bi aldagai, bi ardatzAdierazpena kartesiar diagraman egin da:•Ardatz horizontalean, denbora, t.•Ardatz bertikalean, altuera, a.Grafikoko puntuetako bakoitzak denbora bat eta altuera bat adierazten ditu, eta puntuak une horretan helikopteroa altuera horretan dagoela esan nahi du. Grafikoa aztertuz, aparatuaren hegaldian zeharko gorabeherak ageri dira eta nolabaiteko xehetasunez deskriba ditzakegu.Grafikoaren ardatz bakoitzean eskala dago:•Ardatz horizontalean, karratutxo batek 1 minutu esan nahi du.•Ardatz bertikalean, karratutxo batek 20 metro esan nahi du.Ardatzetako eskalen bidez, hegaldia era kualitatiboan deskribatu ez ezik, kuan-tifikatu ere egin dezakegu. Adibidez: helikopteroak bere zereginean zehar izan duen altuerarik handiena 320 m-koa izan da eta 3. minutuan iritsi da altuera horretara. Grafiko hori 0-27 tartean hedatzen da. Helikopteroaren hegaldiaren berri denbora tarte horretan baino ez dakigu. 0-27 tarteari funtzioaren defini-zio-eremu esaten zaio. Helikopteroaren altuera 0 m eta 320 m-ren artekoa da. 0-320 tarteari funtzioaren ibiltarte esaten zaio.

Ez ahaztu

Deskripzio kualitatiboan, aldagai bat besteari dagokionez nola aldatzen den hartzen da kontuan.Deskripzio kuantitatiboan, zenbat aldatzen den zehaztu daiteke.

1. Erreparatu helikopteroaren grafikoari eta erantzun:a) Zer altueratan zegoen urtegitik sua zegoen tokira

zihoanean?b) Zer altueratan zegoen 20. minutuan? Zer altuerata-

ra jaitsi zen ura hartzeko? Eta sua itzaltzeko?c) Zenbat denbora behar izan zuen depositua urez

betetzeko? Eta ura suaren gainean askatzeko?d) Batez besteko zer abiaduratan (m/min) igo zen

basetik atera eta 320 m-ko altuerara iritsi zen arte?

2. Adierazi kartesiar ardatzetan murgilariak urpean egin dituen 30 minutuak: ontzitik atera; 36 m-taraino jaitsi; koralei begira une batean egon; apur bat gora egin eta izurdeekin jolastu; itsasugea ikusi duenez gero, berriro jaitsi eta, azkenez, deskonpresioa egiteko, 2 minutuan 10 m-ko sakoneran gelditu, ontzira itzuli baino lehen.Ardatz horizontalean, eman 2 minutu karratutxo bakoitzari. Bertikalean (zati negatiboan bakarrik), eman 5 m-ko balioa karratutxo bakoitzari.

Pentsatu eta egin

5 min

100 m

200 m

300 m

10 min 15 min 20 min 25 min

ALTUERA

DENBORA

Definizioak

Funtzioa bi aldagairen arteko erlazioa da; erlazio horiei, orokorrean, x eta y esango diegu.•x aldagai askea da (helikopteroaren adibidean, denbora).•y mendeko aldagaia da (helikopteroaren adibidean, altuera).•Funtzioak x-ren balio bakoitzari y-ren balio bakar bat elkartzen dio.

y, orduan, x-ren funtzio dela esaten da.

Funtzioak fenomeno fisikoak, ekonomikoak, biologikoak, soziologikoak edo, besterik gabe, erlazio matematikoak deskribatzeko erabiltzen dira:— Higikariak egin duen distantzia denbora igaro ahala.— Airearen tenperatura altuera aldatu ahala.— Karratuaren azalera aldearen luzera aldatu ahala.

Irudikapen grafikoa

Funtzioaren portaera dagokion irudikapen grafikoaren bidez ikusten da:

•Bi aldagaiak kartesiar ardatzetan irudikatuko ditugu:

— x ardatz horizontalean (abzisen ardatzean).

— y ardatz bertikalean (ordenatuen ardatzean).

•Grafikoko puntuetako bakoitzak bi koordenatu ditu, abzisa, x, eta orde-natua y.

•y-ren balioak dituen x-ren tarteari funtzioaren definizio-eremu esaten zaio. Eta funtzioak hartzen dituen y balioen multzoari, ibiltarte.

•Ardatzek bi eskalatan graduatuta egon behar dute, bi aldagaien balioak kuantifikatzeko moduan.

…ren funtzio

«…ren funtzio da» espresioak «…ren mende dago» esan nahi du. Egin den distantzia denboraren fun-tzio da (denboraren mende dago).Airearen tenperatura altueraren fun-tzio da (altueraren mende dago).Karratuaren azalera aldearen funtzio da (aldearen mende dago).

DEFINIZIO-EREMUA

IBILTARTEA

y (ordenatua)

x (abzisa)

3. Familia bateko lau neba-arreba ikastetxe jakin batera doaz. Erreparatu bakoitzaren distantzia (d ) - denbora (t) grafikoari:

d

t

t

t

t

d d

dKARLOS

ANE BERTA

DAVID

Grafikoak ikusita, erantzun honako galdera hauei:

a) Nor atera da lehenengo?

b) Nor iritsi da azken?

c) Horietako bi lagunen bila joan dira ikastetxera batera joateko. Nor joan dira?

d) Nork ahaztu du zer edo zer etxean?

e) Nor ez da joan gaur ikastetxera?

f ) Nor ibili da astiroago uneren batean?

g) Nor izan da azkarrena?

h) Nor egon da luzaroago geldirik?

Pentsatu eta egin

Indartu: funtzioak eta funtzioen grafikoak interpretatzea.

Webgunean

Interpretatu grafikoak: «I bidaia», «Bi txirrindulari», «Joan-etorria», «Beste txirrindulari batzuk».Webgunean

106

Iradokizunak

•Atalhonetangrafikoakdeskribatzekoetainterpretatzekoalderdigarran-tzitsuenetakobatikasikodugu:gorapenaetabeherapena.

•Ikasleekulerdezaten,komenidafuntziobatengorapenarenesanahigra-fikoanabarmentzea,honakohaudeskribatuz:ardatzhorizontalean,ezke-rretikeskuineramugituzgero,ardatzbertikaleanbehetikgoramugitukogara.Gauzaberaesandezakegutartebeherakorreietajarraitueiburuz.

•Orohar,funtzioagorakorraizandaiteketartebatzuetan,etabeherako-rraedojarraituabestebatzuetan.Horiekidentifikatzekoetazeresanna-hidutenazaltzeko,gogoanizanbeharduguikasleekezdituztelafuntziokontzeptuaetanotazioaerabiltzen.Horidelaeta,ikasidugunfuntzioare-kinlotutakohiztegiaerabilibeharradaukagu.Adibidez,presioatmosfe-rikoarenaldakuntzaridagokiongrafikoaridagokionez,honakohauesanbehardugu:presioagorakorradalehenhiruegunetanetabeherakorra3.eta10.egunenartean.

•Ikasleekarazorikgabeulertuohidutemaximoaketaminimoakzerdiren.

Beharrezkotzatjotzenbadu,irakasleakhainbatmaximoetaminimodi-tuenfuntziorenbatproposadezake,146.orrialdeanageridenhelikop-teroarenhegaldiarenmodukoa.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:5.orrialdeko3.ariketa.5.orrialdeko5.ariketa.8.orrialdeko8.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Sakontzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketa.


1 a)7-14orduetangorakorrada,eta0-7eta14-24orduetanbeherakorra.

b)Eguneanzehargertatzendirentenperaturaaldaketengatik.

c)Udadelaesandaiteke,ageridirentenperaturengatik.

2 a)4,5,11,12,18,19,25eta26egunetandiraasteburuak.Egunhorie-tanjoatendaikuslerikgehienzinemara.

b)4an(larunbata)eta27an(astelehena),hurrenezhurren.

c)Grafikoak6maximoeta6minimoditu.

d)22an(asteazkena).

e)Asteburuetanjoandaikuslerikgehien,batezerelehenengoan.Hilabeteanzehar,geroetajendegutxiagojoanda,lehenengoas-tearekinalderatuzbetiere.Astelehenetiklarunbatera,ikusle-ko-puruakgoraegitendu;larunbatetikastelehenera,ordea,behera.Orohar,larunbatetanegondaikuslerikgehien.Halaere,biegunjakinetan(15eaneta22an)bimaximodaude.22ajaiegunaizanzen;horidelaeta,egunhorretanaurrekoetaondokoegunetanbainoaskozikuslegehiagoegonzen.

f)3an(ostirala).

149148

2 Funtzioaren gorapena eta beherapena

•Uretan murgiltzean, presioa era uniformean igotzen da. Azalean, presioa atmosferarena da (1 atm). Beheranzko 10 m-ko, presioa atmosfera bat (1 atm) igoko da.

Grafikoa honako funtzio honi dagokio:

uraren barruko sakonera 8 presioa

Funtzio hori gorakorra da, zenbat eta sakonago, orduan eta presio handiagoa dagoenez gero. SAKONERA

(m)

PRESIOA(atm)

10 20 30 40 50 60

1

2

3

4

5

•Presio atmosferikoa txikiagotu egiten da itsas mailaren gainean zenbat eta gorago egon, era uniformean txikiagotu ez arren: hasieran, bizkorrago txikia-gotzen da geroago baino.

Grafikoa honako funtzio honi dagokio:

itsas mailaren gaineko altuera 8 presioa

Funtzio beherakorra da, zenbat eta gorago igo, orduan eta presio txikiagoa dagoenez gero.

ALTUERA(km)

0,5

1

10 20

PRESIOA (atm)

•Toki batean presio atmosferikoa aldatzeak eguraldian aldaketak egongo direla esan nahi du. Ezkerreko grafikoak toki jakin bateko une bakoitzeko presio atmosferikoa 15 egunean zehar dakar. Honako funtzio honi dagokio:

denbora-unea 8 presioaTarte batzuetan, presioa gorakorra da eta beste batzuetan, beherakorra.

Funtzio baten aldakuntzak aztertzeko, funtzioaren grafikoari ezkerretik eskui-nera begiratu behar diogu, hau da, x handiagotzen denean y nola aldatzen den ikusi behar dugu.Funtzioa gorakorra da aldagai askea, x, handiagotzen denean, mendeko alda-gaia, y, handiagotzen baldin bada.Funtzioa beherakorra da, x handiagotuz gero, y txikiagotzen baldin bada.Funtzioak tarte gorakorra edo beherakorra duela ere esaten da

DENBORA(egunak)

PRESIOA(milibarrak)

940

950

930

920

960

970

5 10

GORAKORRA

BEHERAKORRA

1. Eskuineko grafikoak Jacako egun bateko tenpera-tura irudikatzen du.

a) Adierazi zer tartetan den gorakorra eta zer tartetan den beherakorra.

b) Zure ustez, zergatik sortzen dira tenperaturaren goral-diak eta beheraldiak tarte horietan?

c) Zure ustez, uda ala negua da? Justifikatu.

Pentsatu eta egin

TENPERATURA (°C)

5

5 10 15 20

10

15

20

25

30

DENBORA (h)

Maximo eta minimo erlatiboak

Goitiberako Itzuliaren etaparen profila islatzen duen grafikoa aztertuko dugu orain. Grafikoa distantzia → altuera funtzioari dagokio.Txirrindulariak dauden altuera lasterka ari diren kilometroaren funtzio da.Grafikoak goranzko tartea aurkezten du irteeratik Gaztelumendiraino. Hortik aurrera, beheranzko tartea dago Aranagaraino. Hor, berriz hasten da goranzko tartea Torrontegiraino. Goragune horretatik aurrera, hurrengo tartean, grafikoa beheranzkoa da helmugaraino.

Gaztelumendi

Aranaga

Torrontegi

0 km 50 km 100 km

Etaparen profilean, bi maximo erlatibo (60. eta 90. kilometroak) eta minimo erla-tibo bat (70. kilometroa) nabarmentzen dira. Altuera hazten doa maximo erla-tiboraino iritsi arte eta jaisten doa hortik aurrera. Altuera minimo erlatiboraino iritsi arte jaisten da eta, hortik aurrera, gorantz doa.

Funtzioak maximo erlatiboa du puntu batean funtzioaren ordenatua ingu-ruan dituen puntuetako ordenatua baino handiago izanez gero.Maximo erlatiboaren ezkerrean, funtzioa gorakorra da eta, eskuinean, behe-rakorra.Funtzioak minimo erlatiboa du puntu batean dagokion ordenatua inguruan dituen puntuena baino txikiago izanez gero.Minimo erlatiboaren ezkerrean, funtzioa beherakorra da eta, eskuinean, gorakorra.

1. Honako grafiko honek hilabetean zeharko herri bateko zinemek zenbat ikusle izan dituzten erakusten du:

EGUNA

IKUSLEAK (%)

20

40

60

80

100

5 10 15 20 25 30

a) Zer egunetan dira asteburuak? Nola jakin dezake-zu?

b) Zer egunetan egon da ikuslerik gehien? Eta gutxien? Asteko zer egun dira?

c) Zenbat maximo eta zenbat minimo erlatibo ditu funtzioaren grafikoak?

d) Aste barruko jaiegun bat dago. Zer egun da?

e) Idatzi zinema horietako hilabetean zeharko ikusle kopuruaren laburpena.

f ) Hil horretako egun batean, ostiralez, oso garrantzi handiko futbol-partida eman dute telebistan. Zer egunetan izan zela jo dezakegu?

Pentsatu eta egin

maximoerlatiboa

minimoerlatiboa

beheranzko tarteagora

nzko

tarte

a

gora

nzko

tarte

a

Indartu: funtzioaren gorapena eta beherapena.Webgunean

OHARRAK

107

Iradokizunak

•Atalhonetan,ikasleekfuntziobatenportaeraantzemanetaazaldube-harkodute,grafikoanirudikatutakotarteabaliatuz.Bikasutaneginbe-harkodutehori:mendekoaldagaiakbaliojakinbaterantzjotzendue-nean,etengabehazizedo txikituz,etaaldagaiakperiodikotasunezjotzenduenean.Ikasleekahozegingoduteazalpena,funtzioanpartehartzendutenaldagaienesanahiazehaztuz.

Indartu eta sakondu


Indartzeko:6.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:7.orrialdeko4.,5.eta6.ariketak.


1

50 7525 100 125 150 175 200 225 250 275 300

50

100

DENBORA (egunak)

DISTANTZIA(km milioiak)

2

01234

22 00 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 00 021.er día 2.º día 3.er día

04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 00 02DENBORA (h)

ALTUERA (m)

Iradokizunak•Proposatzenditugunariketekin,ikasleekaldagaiekharditzaketenba-lioeiarretabereziajartzeanahidugu,baitahoniburuzhausnartzeaere:funtziobatekohainbatpuntuirudikatzenditugunean,horieklotdai-tezkeenalaez,etazergatik.

Aldagaidiskretuadutenkasuetanarrazoianahikoargidago.Ez,ordea,aldagaiaskeajarraituadutenkasuetan,mendekoaldagaianjauzikakoetenakgertatzenbadira.Kontzeptuhoriaurkezteko,osoegokiakizangodiramailakakofuntzioenadibideak.Komunikabideidatzietan,ohikoaizatendaakatshau:jauzikakoetenetan,mailaktartebertikalekinlotzea;horisaihesteko,funtzioarendefinizioariburuzhausnartubeharradago.

•Ikasleekideiahaubarneratubehardute:funtziojarraituaarkatzapape-retikaltxatugabeirudikadaitekeenfuntzioarengrafikoada.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:

Indartzeko:9.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:9.orrialdeko3.ariketa.


1 a) b)Ez.Pertsonabatezindaitekeatrakzio erdian ibili edo ezindezakebidaiarenerdiasoilikor-daindu.

2 4 6 8

8

4

12

ATRAKZIO-KOPURUA

KOSTUA (€)

c) 12atrakziotaraigotzea17€da,eta20raigotzea,25€.

2 a)4urtedaramatzaenpresan.

b)12.urtean2100€kobratzenzituen,eta20.ean,2500€.

c)Ezdajarraitua.

151150

3 Funtzioaren joera

Epe luzeko portaera

Bazterreko grafikoak eukalipto baten altueraren 31 urtean zeharko bilakaera erakusten du. Irudikatu honako funtzio hau:

denbora → altuera

Argi dago, denborak aurrera egin ahala, zuhaitzaren altuera 30 m-ra hurbiltzen dela, mugara. Orduan, zuhaitzak, denbora igaro ahala, 30 m-rantz jotzen duela esaten da.

Funtzio batzuetan, horietako zati batzuk bakarrik ezagutu arren, aztertu izan diren tartetik urrun ere nola portatuko diren aurresan dezakegu, joera oso argiko adarrak dituztenez gero.

Honako adibide hauetan, funtzioaren grafikoak egonkortzeko joera du:

•Jauskari baten abiadura erortze askean (200 km/h-ranzko joera du).

•Freskagarri baten tenperatura hozkailutik ateratzean (gelako tenperaturarantz jotzen du).

Periodikotasuna

Elektrokardiogramak bihotzaren bulkada elektrikoak bildu eta grafikoan islatzen ditu. Bazterreko irudiak erlaxatuta dagoen pertsona osasuntsuaren elektrokardio-grama islatzen du. Funtzioa da:

denbora → intentsitate elektrikoa

Segundoan behin errepikatzen denez, periodoa 1 segundo duen funtzio periodikoa dela esan dezakegu.

Funtzio periodikoak aldagai askeak tarte jakin bat zeharkatzen duen bakoi-tzean errepikatzen direnak dira. Tarte horren luzerari periodo esaten zaio.Funtzio periodikoa oso ondo determinatuta gelditzen da horren periodo bateko portaera zein den jakinez gero.

Adibideak

Funtzio periodikoen beste adibide batzuk:•Noria mugitzen ari denean saskiak

duen altuera.•Eguzkitik Halley kometara arteko

distantzia.

1. Merkuriok 88 egun behar ditu Eguzkiaren inguruan bira osoa egiteko. Merkuriotik Eguzkirako distantzia 70 eta 46 milioi kilometroren artekoa da.Kopiatu eta osatu koadernoan Merku-riotik Eguzkirako 300 egunean zeharko dis-tantziaren grafikoa.

50 7525 100

50

100

DENBORA (egunak)

DISTANTZIA(milioi km)

2. Honako grafiko honek leku jakin bateko 24 orduan zeharko itsasgorak erakusten ditu. Kopiatu eta osatu grafikoa koadernoan 48 ordurako, funtzio periodikoa dela jota:

01234

22 00 02 04 05 06 10 12 14 16 18 20 22 00 021. eguna 2. eguna 3. eguna

DENBORA (h)

ALTUERA (m)

Pentsatu eta egin

1 s 1 s 1 s 1 s

DENBORA (urteak)

ALTUERA (m)

10 20 30

5

10

15

20

25

30

•Autobusa alokatu dugu eta 200 gehi bidazti bakoitzeko 20 ordaindu dugu. Eskuineko grafikoak honako funtzio hau erakusten du:

bidazti kopurua → kostua

KOSTUA (€)

200

5 10 15

400

600

0BIDAZTI KOP

Aldagai askeak 0, 1, 2, 3, 4… balioak baino ezin ditu hartu; tartekorik ezin dezake hartu, bidazti kopuruaren zenbaki zatikiarrik ezin daitekeenez egon. Grafikoa etena da, aldagai askea jauzika mugitzen denez gero.

•Telefono-dei jakin bat egitearen kostua honako hau da: hasteko, euroaren 30 zen-timo; kantitate horrekin, 3 minutuko sola-saldia egin daiteke. Une horretatik aurrera, minutu bakoitzeko, 10 zentimo ordaindu beharra dago. Funtzioa honako hau da:

iraupena 8 kostuaGrafikoak erakusten dituen bat-bateko jauziei funtzioaren eten esaten zaie.

•Eskuineko grafikoak lasterkari batek denbo-ran zehar egin duen distantzia deskribatzen du. Honako funtzio hau da:

denbora 8 distantziaDistantzia apurka-apurka aldatzen da, bat-bateko jauzirik gabe. Funtzio jarraitua da.

Funtzioa jarraitua da edozein eratako etenik ez baldin badu. Ondorioz, fun-tzio horren grafikoa arkatza paperetik altxatu gabe egin daiteke.Funtzio bat tarte batean jarraitua dela ere esan daiteke, nahiz eta beste tarte batzuetan etenak izan.

IRAUPENA(minutuak)

0,5

5 10

KOSTUA (€)

1

Funtzio jarraitua

Funtzio etena

Funtzio etena

1. Jolas-parkean sartzea 5 ordaindu behar da eta atrakzio bakoitza, 1 €.a) Irudikatu honako funtzio hau:

atrakzio kopurua → kostuab) Batu al daitezke grafikoko puntuak?c) Zenbat da 12 atrakziotara igotzea? Eta 20ra?

2. Eskuineko grafikoak bizitza guztian zeha-rreko langile baten hileroko soldata erakusten du.a) Zenbat denbora zeraman lanean langileak, soldata

lehenengoz igo ziotenean?

b) Zenbat irabazten zuen lanean hasi eta 12. urtean? Eta 20.ean?

c) Funtzio jarraitua al da?

SOLDATA (€)

15005 10 204 9 143 8 182 7 121 6 16

1700

1900

2100

2300

2500

DENBORA (urteak)

Pentsatu eta egin

1

100

2030405060708090

100

2 3 4 5 6 7 8 9 1011DENBORA (s)

DISTANTZIA (m)

4 Etenak. Jarraitutasuna

Indartu: funtzio periodikoa.Webgunean Ebatzi honako problema hauek: «Posta-tarifak», «Depositua».Webgunean

108

Iradokizunak

•Funtziokontzeptuazerdenazaldu,etafuntzioakgrafikoedoenuntziatubatenbidezemanondoren,atalhonetanbesteedukibataurkeztukodugu:funtzioanpartehartzendutenbialdagaiakerlazionatzendituenadierazpenanalitikoaedoekuazioa.

•Adierazpenanalitikoalortzeko,abstrakzio-prozesubatjarribehardamartxan;alabaina,prozesuhorizailsamarraizatendaikasleentzat.Horidelaeta,adierazpenorokorreraheltzeko,beharrezkoaizangodahainbatkasutanmendekoaldagaiarenbalioakalkulatzea;hauda,funtzioarenbalio-taulaegitea.Izanere,ikasleekbakarriklortukoduteekuazioaidaz-tea,baldinetaarauaikustenbaduteetahitzezhitzazaltzenbazaie.152.orrialdekoadibidean,laukizuzenarenazalerarenformulanolakalkulatubehardenagerida,nahikomoduzehatzean:A=x(40–x).

•Ikasleeiproposatukodieguhonakohauantzemateko:balio-taulabate-tiksortutakofuntzioarenaldagaienarteanzererlaziodagoen.Kasuerra-zakplanteatukoditugu(y=x+1,y=2x),etahorienadierazpenanali-tikoaidaztekoeskatukodiegu.

•Adibidegisafuntziogeometrikoakerabiliditugu,ikasleekezagutzenbaitituzte.Horietan,aldagaiakohikoletrekinizendatudira:V, l, r.Horrela,esanahijakinbatemandiegu,etahonakohausaihestudugu:funtziobatenadierazpenanalitikoaetaxetaydituenformulalotzea.Bestalde,tarifenedokostuenadibideakereohikoakdiraegunerokota-sunean;horietan,kantitatefinkobatordaintzenda,gehiunitatekoehu-nekobat.

•Honahemenkontzeptuhaubarneratzekobesteariketainteresgarribat:adierazpenanalitikoakgrafikoekinedoenuntziatuekinlotzea.Adibidez:y=x–3;y=3–x;y=x+3.

•Kalkulagailuatresnaerabilgarriaizandaitekefuntziojakinbatekopun-tuaklortzeko.Izanere,kalkulagailuariesker,nahibestepuntulordi-tzakeguzenbaitfuntziotan(adibidez,y= x ),baitahoriekirudikatuere,funtzioaikustarazteko.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:5.orrialdeko4.ariketa.


10.orrialdeko2.eta3.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

Sakontzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko1.ariketa.Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.eta3.ariketak.Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.arike-tak.


1 a)Bai b)Ez c)Bai d)Ez

2 a)VBOLUMENA=πx 3

b)AZILINDROA=4πx 2

3 VKONOA=2πx 2

4

10 MASA (kg)

LUZERA (cm)

2030405060708090

100

1 2 3 4 5 6 7 8

153152

Adierazpen analitikoaren araberako beste funtzio batzuk

Bakoitzaren adierazpen analitikoaren araberako funtzio asko ezagutzen ditugu. Adibidez:

a V = a3

Kuboaren bolu-mena bere ertza-ren, a, funtzioan.

r

A = πr2Zirkuluaren aza-lera erradioaren, r, funtzioan.

Beste funtzio askoren adierazpen analitikoa lor dezakegu. Erreparatu honako honi:

Grafikoak beste hiri batera joateko taxiaren kostua erakusten du: 3 € martxan hastegatik gehi 0,80 € egingo den kilometroko.Egindako distantzia, d, eta ibilaldiaren kos-tua, C, erlazioan jartzen dituen funtzioa honako hau da:

C = 3 + 0,8 · d1

1 DISTANTZIA (km)

KOSTUA (€)

23456789

10111213

2 3 4 5 6 7 8 9 10111213

Adierazpen analitikoak bi hobari handi ditu irudikapen grafikoaren ondoan:•Oso eroso eta labur egiten da funtzioa horrela ematea.•Horren bidez, zehaztasun osoz lor daitezke funtzioaren balioak aldagai aske-

tik aurrera.Eragozpena era badu: formulak, printzipioz, gauza gutxi esaten dizkigu fun-tzioaren portaerari buruz. Kalkuluak egin, funtzioa landu eta adierazi egin beharko da era globalean nolako portaera duen argi ikusteko.

Orain arte ikusi ditugun funtziorik gehienak haien grafikoaren edo enuntziatua-ren bidez eman zaizkigu; enuntziatu horren bidez, gutxi gorabehera, deskribatu den fenomenoaren ezaugarri batzuk jakin izan ditugu. Hala ere, funtzio asko eta asko formula baten bidez eman daitezke; formula horren bidez, bi aldagaiak zehatz erlazionatzen dira. Adibide bat ikusiko dugu.Muturretatik lotuta dagoen 80 cm-ko haria dugu eta hari horrekin hainbat lau-kizuzen eratu nahi ditugu, honako irudi hauetan erakusten den bezala:

30 cm

10 cm

25 cm35 cm

15 cm 5 cm

Laukizuzen bakoitzaren azalera oinarriaren, x, eta altueraren, y, neurriaren ara-bera izango da. Esaterako, oinarria x = 30 cm izanez gero, altuera 40 – 30 = 10 cm izango da eta azalera:

A = 30 · 10 = 300 cm2

Balio-taula prestatuko dugu funtzioa adierazteko:

oinarra (cm) 10 15 20 35 x

altuera (cm) 30 25 20 5 40 – x

azalera (cm2) 300 375 400 175 x (40 – x)

Honako formula honek ematen du oina-rriaren neurria, x, laukizuzenaren azalera-rekin lotzen duen funtzioa:

A = x (40 – x ), 0 < x < 40 izanikFormula hori funtzioaren adierazpen anali-tikoa da. 0 eta 40 arteko x-ren balio bakoi-tzerako, A-ren balio bat lortzen dugu.

AZALERA (cm2)

10 20 30 40

100

200

300

400

OINARRIA (cm)

Funtzioaren adierazpen analitikoa parte hartzen duten bi aldagaiak erla-zioan era aljebraikoan jartzen dituen ekuazioa da.

5 Funtzioaren adierazpen analitikoa

1. Adierazi honako balio pare hauetako zein dagozkien aurreko adibideko lauki-zuzenen baten oinarriari eta azalerari:a) Oinarria: x = 1 cm → Azalera: A = 39 cm2 b) x = 5 → A = 35c) x = 22 → A = 396 d) x = 42 → A = –84

Pentsatu eta egin

2. Imajinatu altuera, x, oinarriaren erradioaren parekoa duen zilindroa. a) Zein da horren bolumenaren

adierazpen analitikoa? Gogoan izan zilindroaren

bolumena oinarriaren azalera bider bolumena dela.

x

x

b) Lortu zilindroaren azaleraren adierazpen analitikoa.

3. Adierazi zein den kono jakin baten bolumenaren adierazpen ana-litikoa jakinik altuera 6 cm-koa duela eta oinarriaren erradioa aldakorra dela.Gogoan izan konoaren bolumena oina-rriaren azalera bider altueraren 1/3 dela.

4. Malguki bat 30 cm luze da eta 10 cm luzeago bihurtzen da dingilizka duen kilogramoko. Baina ezin daiteke 7,5 kg-tik gorako pisurik eseki.Malgukiaren luzera, L, eusten duen masarekin, m, erlazioan jartzen duen funtzioa L = 30 + 10m da.Adierazi funtzio hori koadernoan honako hauek beza-lako kartesiar ardatzetan:

10 MASA (kg)

LUZERA (cm)

2030405060708090

100

1 2 3 4 5 6 7 8

Pentsatu eta egin

x

6 cm

• Balioen taula adierazpen anali-tikoan oinarri hartuta.

• Adierazpen analitikoa balioen taulan oinarri hartuta.

Webgunean

Indartu: funtzioaren adierazpen analitikoa.

Webgunean

109

Lankidetzan ikasi

Honakoariketahauiradokitzenda:

Ikasleekelkarriproposatukodietehainbatmetodorenbitartez(haieksor-tutakoakedoprentsan,Internetenetabestelekubatzuetanhartutakoak)definitutakofuntzioakirudikatzeko.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

1 Ikasleekfuntzioakegiaztatukodituzte.

2 AOINARRIA=(15–x)(12–2x)

VKAXA=(15–x)(12–2x)x

A(3)=72cm2

V (3)=216cm3


1 a)Aldagaiakdenboraetaaltueradira.

Denbora→laukitxobat,minutubat.

Altuera→aukitxobat,50metro.

0-26tarteadaberedefinizio-eremua.

b)0.eta5.minutuenartean,globoa300metrotaraheltzenda.

5.eta9.minutuenartean,50metroigozituen.

0.eta5.minutuenarteanhaztendabizkorren.

c)500metrotarajotzenduegonkortzera.

d)Behaketahastean,globoa0metrotaradago,lurrean.Askatuondo-ren,nahikoarinaireratzenda,bainadenboraigaroahala,500me-trotaraegonkortzenda.

2 a)Eskolakgoizeanzortzietaerdietanhastendira.

b)Jolastorduahamaiketanda,etaorduerdiirautendu.

c)Goizean22€sartudira.

d)Eskolakhiruetaerdietanhastendira,etabostetanamaitzendira.

e)Funtzioetenada.

3 a)Funtzioperiodikoada,eta76urtekoperiodoadu.

b)Azkenez1986anikusizen,eta2062anikusikodaberriro.

c)

102030405060

20202000 2060 20802040 2100

DISTANTZIA EGUZKIRA (ehunka milioi kilometrotan)

URTEA

4 a)II-kirudikatutakohirian.

b)IetaIIgrafikoak,bateantenperaturaaltuadenean,besteanbaxuadelako.Etaalderantziz.

c) IV.Grafikoaabsurduada,tenperaturakhazibesterikezduelakoegi-ten.

d)Adibidez:Denbora→laukitxobat,hilabetebat

Tenperatura→laukitxobat,5°C

e)Eremua1-12tarteada(edourtarriletikabendura).

Hirihorietan,neguakezdiraosohotzakizaten;izanere,bateanereezdagotenperaturarikzeroazpitik.I.hiriakaldakuntzahandiagoaduberetenperaturetan.II.hirian,tenperaturaezdagehiegialda-tzenhilabeteetanzehar.

f) Erantzunirekia.

Ariketak eta problemak

155

Ariketa eta problema ebatziak

154

Egin Grafikoak interpretatzea

1. Globoa askatu dugu eta gorantz egin du. Honako grafiko honek denboran zehar globoak izan duen altuera adierazten du:

200

100

300

400

500

2 64 108 1412 18 2016

ALTUERA (m)

DENBORA (min)

a) Zer aldagaik hartu dute parte? Zer eskala erabili da aldagai bakoitzerako? Zein da funtzio horren defi-nizio-eremua?

b) Zer altueratan dago globoa 0. eta 5. minutuen artean? Eta 5. eta 9. minutuen artean? Bi tarte horietako zeinetan hazten da bizkorren ekuazioa?

c) Zer altueratan jotzen du egonkortzera?

d) Deskribatu zer altueratan dagoen globoa behaketa egiten den denboran zehar.

2. Ikastetxearen aurrean, gozoki-denda dago. Ho-nako grafiko honetan denda horretako kaxan egu-nean zehar zenbat diru dagoen ageri da:

8

4

12

16

20

98 1110 1312 1514 17 1816

DIRUA (€)

DENBORA (h)

a) Zer ordutan hasten dira eskolak goizean?

b) Zer ordutan da jolastordua? Zenbat irauten du?

c) Gozoki-denda eguerdian ixten dute eta jabeak dirua etxera darama. Zenbat diru sartu da goizean?

d) Zer ordutegi du ikastetxeak arratsaldez?

e) Funtzio jarraitua ala etena da?

3. Honako grafiko honek Halley kometatik Eguzkirako azken bi mendeetako distantzia deskri-batzen du. 76 urtez behin ikusten da Lurretik, Eguz-kitik hurbilen dagoenean.

102030405060

18201800 1860 18801840 19201900 19601940 20001980

EGUZKIRAKO DISTANTZIA (ehunka milioi kilometro)

URTEA

a) Funtzio periodikoa al da? Zer periodo du?

b) Gutxi gorabehera, noiz ikusi zen kometa hori azke-nez Lurretik? Zer urtetan ikusiko da berriro?

c) Koadernoan, marraztu 2000tik 2100era arteko urteei dagokien grafikoa. Zer distantzia egongo da, gutxi gorabehera, Eguzkitik Halley kometara 2016. urtean?

4. Honako lau grafiko hauetan, lau hiritako urte jakin bateko eguneroko tenperatura maximoa (T) denboran zehar (t) ageri da:

T t

t

t

t

T T

T IV

II

III

I

a) Grafikoak ikusita, lau hiri horietako zeinetan ditu tenperaturak gorabeherarik txikienak?

b) Grafikoetako bat gure herrialdeko hiri batena da eta beste bat, gure antipodetako batena. Zer gra-fiko dira? Azaldu erantzuna.

c) Grafikoetako bat absurdua da. Zein da? Zergatik?

d) Aukeratu eskala egokia aldagai bakoitzerako eta mailakatu ardatzetako bakoitza koadernoan.

e) Zein da lau grafikoetako eremua? I eta II -ren ibiltarteak ikusirik, zer esan dezakezu hiri horie-tako klimari buruz?

f ) Marraztu Sahara basamortuko toki baten grafikoa eta Antartikako beste batena.

2. Kaxa baten azaleraren eta bolumenaren adierazpen analitikoak

30 cm × 20 cm-ko dimentsioak dituen kartulina erabiliz, kaxa bat egin nahi dugu lau izkine-tan karratutxoak ebakiz eta tolestuz:

x

Kaxaren oinarriaren aza-lera eta bolumena funtzio eran adieraztea ebaki ditu-gun karratutxoen aldearen x luzera aldagai aske hartuta.

x

x

30 – 2x30 – 2x

20 –

2x

20 –

2x

Oinarriaren azalera eta kaxaren bolumena deritzegun funtzioen adierazpen ana-litikoak aurkitu behar ditugu x aldagai hartuz.— Oinarriko laukizuzenaren azalera: A = (30 – 2x)(20 – 2x)— Kaxaren bolumena (ortoedroa): V = (30 – 2x)(20 – 2x)x

Zeuk egin. 30 cm ×12 cm-ko kartulina erabiliz, estalki eta guztiko kaxa egin nahi dugu irudian bezala. Aurkitu kaxaren oinarriaren azaleraren eta bolume-naren adierazpen analitikoa x-ren funtzioan. Kalkulatu zenbat diren azalera eta bolumena x = 3 cm denean. x

1. Funtzioen grafikoak dagozkien adierazpen analitikoei esleitzea

Beheko lau grafikoren arteko bakoitzari dagokion adieraz-pen analitikoa esleitzea:

AB

C D

I. y = x 2 – 4x + 5

II. y = 6 – x6

III. y = 5 – x

IV. y = 4x – x 2

Hurrengo unitatearen amaieran ezagun egingo zaizkizu lehenengo hiru gra-fikoak eta dagozkien adierazpen analitikoak eta, datorren ikasturtean, baita lau-garrena ere. Orduan, begirada hutsez egin ahal izango duzu hemen eskatzen zaizun esleipena. Hala ere, orain arte lortu ditugun ezagutzekin, puntuz puntu aztertuz jarriko ditugu erlazioan:— B grafikoa koordenatuen jatorritik pasatzen da. Horrek esan nahi du x = 0

izanez gero, orduan y = 0 dela. Hori IV. ekuazioari baino ez zaio gertatzen: x = 0 → y = 4 · 0 – 02 = 0

— A eta C grafikoek Y ardatza (0, 5) puntuan ebakitzen dute. Baldintza hori I. adierazpen analitikoak betetzen du:

x = 0 → y = 02 – 4 · 0 + 5 = 5 baita III. adierazpen analitikoak ere: x = 0 → y = 5 – 0 = 5 Baina A grafikoa (5, 0)-tik ere pasatzen da. III. adierazpenak honako hau

betetzen du: x = 5 → y = 5 – 5 = 0

Ondorioz, A ↔ III eta C ↔ I.— Baztertuz, D ↔ II izan beharko du. Puntuz puntu egiaztatuko dugu:

D (1, 0), (2, 3), (3, 4), …-tik pasatzen da. Eta II-k betetzen du

baldin x = 1 → y = 6 – 61 = 0;

baldin x = 2 → y = 6 – 26 = 3; baldin x = 3 → y = 6 – 6

3 = 4; …

Zeuk egin. Egiaztatu A (III) pasatzen dela (2, 3) eta (4, 1) puntuetatik; B (IV), (1, 3), (2, 4), (3, 3) eta (4, 0) puntuetatik; C (I), (1, 2), (2, 1), (3, 2) eta (4, 5) pun-tuetatik; eta D (II), (6, 5) puntutik. Azken horretan, x handituz, y aldagaia 6ra hur-biltzen da. Hori ikusteko, kalkulatu zenbat balio duen y-k x = 100 eta x = 1000 denean.

110


5 a)Amendizaleaketenikgabekoerritmoadu.

Bmendizalearenerritmoa,denborakaurreraeginahala,txikituegi-tenda.

Cmendizaleaerritmojakinbateanhasida,etahandikbiordurabi-zkorragojoatenhasida.Lauorduragelditueginda.

Dmendizaleakerritmoarinaketamotelaktartekatzenditu.

b)Bmendizaleak.20kilometroeginditu,gutxigorabehera.

c)Cmendizaleaibilidadenborarikgehien,ialauordu.

d)Cmendizaleaibilidaazkarren.

e)

1 2 3 4 5 DENBORA (h)

DISTANTZIA (km)

10

20

30

6 a)2000→telefoniafinkoko12milioilineaetasakelakotelefoniako15 milioilinea.

2010→telefoniafinkoko22milioilineaetasakelakotelefoniako90 milioilinea.

2013→telefoniafinkoko20milioilineaetasakelakotelefoniako113milioilinea.

b)1999arenerdialdean.

c)Telefoniafinkoa→15milioi.Sakelakotelefonia→113milioi.

d)Telefonofinkoek20milioierabiltzailerantzjotzendute.

e)2008an.

7 i)→B ii)→C iii)→A iv)→D

8 Airudia→g)36–3x

Birudia→e)12x

Cirudia→c)18+3x

Dirudia→d)(6+x)·3– x2

2

9 a)

x (librak) 0,5 1 1,5 2 3 4 x

y (kiloak) 0,225 0,45 0,675 0,9 1,35 1,8 0,45x

b)

1 2 3 4 5

1

2

X (librak)

Y (kiloak)

c)y=0,45x

156 157

Ariketak eta problemak5. Honako grafiko hauek lau mendi-

zaleren ibilaldiak erakusten dizkigute:EGINDAKO DISTANTZIA (km)

A

DENBORA (h)

30

2010

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

B

d

t

302010

1 2 3 4 5

Cd

t

302010

1 2 3 4 5

302010

Dd

t

a) Deskribatu bakoitzaren erritmoa.

b) Zeinek egin du biderik gutxien?

c) Zein ibili da denborarik gutxien?

d) Zein ibili da azkarren?

e) Asmatu B-ren denbora bera egin duen, C-ren dis-tantzia bera egin duen eta bidean ordubeteko atse-dena hartu duen mendizalearen grafikoa.

6. Azken urteetan, sakelako telefonoak gero eta gehiago darabiltzagu. Hala ere, telefonia finkoak ez du gorabehera handirik izan. Grafiko honetan, 1990 eta 2013ren arteko bilakaera ageri da:

1990

102030405060708090

100110120

1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012URTEA

FINKOA

SAKELAKOA

TELEFONO-HARPIDETZAK (milioa)

a) Telefono finkoaren eta sakelakoaren zenbat linea zeuden aktibatuta, gutxi gorabehera, 2000. ur-tearen hasieran? Eta 2010. urtearen hasieran? Eta 2013. urtearen hasieran?

b) Gutxi gorabehera, noiz zegoen telefono finkoen eta sakelako telefonoen kopuru bera?

c) Zenbat hazi ziren telefonia finkoko lineak 1990etik 2013ra? Eta telefonia mugikorrekoak?

d) Grafikoaren arabera, zer erabiltzaile kopurutarantz jotzen dute telefono finkoek?

e) Noiz egon zen telefono finkoaren erabiltzaileen kopururik handiena?

Erlazio grafikoak eta adierazpen analitikoak

7. Lotu grafikoetako bakoitza honako adie-razpen hauetakoren batekin:i) y = x + 1 ii) y = x 3

iii) y = x 2 – 1 iv) y = – x + 1

B

C D

A

8. Honako irudi hauetan koloreztatuta da-goen zatiaren azalera x-ren funtzioan idatz daiteke:

x

xx

x

x

x

x

xx

6

66

66

6

6

A B

C D

Honako adierazpen analitiko hauetako zein dagokio irudietako bakoitzari?a) 36 – x b) 3x c) 18 + 3x

d) (6 + x) · 3 – x22

e) 12x f ) 18 – x22

g) 36 – 3x h) 36x i) (6 – x) · 3

9. a) Jakinik libra 0,45 kg-ren baliokide den pisu unitatea dela, kopiatu eta osatu honako taula hau:

x (librak) 0,5 1 1,5 2 3 4y (kiloak) 0,45

b) Adierazi librak kilo bihurtzen dituen funtzioa.c) Lortu bi aldagai horiek erlazioan jartzen dituen

adierazpen analitikoa.

Ebatzi problemak10. Koldok 2 ordu behar izan ditu etxetik 150 km-ko

distantzian dagoen hirira joateko. Hiri horretan, bi orduko bilera izan du eta etxera itzuli da; 2 ordu eta erdi eman du etxerako bidaia horretan.

a) Irudikatu denbora-etxerako distantzia grafikoa.

b) Joaneko bidaian abiadura konstantean ibili dela joko dugu. Zer abiaduratan joan da?

c) Etxerako bidaiako abiadura ere konstante izan dela joko dugu. Zer abiaduratan itzuli da?

11. Txirrindularia etxetik 20 km-ra dagoen tokira joan da. Irteeratik 15 minutura, 6 km egin ondoren, 10 minutuko geldialdia egin du. Martxan hasi eta etxetik atera denetik ordubeteren buruan iritsi da.

a) Adierazi denbora-etxerako distantzia grafikoa.

b) Abiadura berean joan al da geldialdiaren aurretik eta geldialdia egin eta gero? (Tarte bakoitzean abia-dura konstantea daramala joko dugu).

12. Zaldiko-maldikoak azeleratu egiten du, 2 minutuan 10 km/h-ko abiadura lortu arte. Abiadu-ra horretan jarraitzen du 7 minutuan eta minutu ba-tean abiadura moteltzen doa, gelditu arte. 5 minutu geldirik egin eta gero, beste bira bat egiten hasten da.

Marraztu denbora-abiadura grafikoa 25 minutuko tarterako.

13. Herri bateko gazteen zinegotzigoak bizikletak erabiltzea bultzatu nahi du. Horretarako, bizikletak honako tarifa hauetan alokatzea erabaki du:

orduak: goizeko 9etatik gaueko 9ak arte

Lehenengo bi orduak: ................................ doan

3. ordua edo zatia eta hurrengoak ................ 1 €

Eguneroko gehienezko denbora 12 ordukoa da (goi-zeko 9etatik gaueko 9ak arte).

Irudikatu honako funtzio honen grafikoa:

Bizikleta erabiliko den denbora-kostua

14. Hiri bateko gasaren fakturan, 15 euroko kantita-te finkoa gehi 0,75 € ordaindu behar da kontsumi-tzen den metro kubiko bakoitzeko.a) Zenbat ordaintzen da 3m3? Eta 15 m3?b) Marraztu honako funtzio hau: kontsumitu diren

metro kubikoak-kostua.

15. Elurra kentzeko makinak elurraren geru-zaren lodieraren araberako errepide zatia garbitzen du. Horrelako makina baten honako datu hauek bildu dira:

elurraren lodiera (cm)

50 40 30 25 20 15 10 5

ordu batean garbitzen duen zatia (km)

6 7,5 10 12 15 20 30 60

a) Adierazi era grafikoan datuak eta lotu puntuak grafikoa analizatzeko. Deskribatu grafikoa.

b) Elurraren lodiera handiagoetarako ere makinak antzean lan egiten duela joko dugu. 60 cm-ko lodiera izanez gero, zenbat kilometro garbituko lituzke, gutxi gorabehera, ordu batean?

16. Taulak haur baten garezurraren lehenengo 4 hi-labeteetako neurriak biltzen ditu:

denbora (hilak) 0 3 9 15 21 27 33perimetroa (cm) 34 40 44 46 47 48 49

a) Prestatu grafikoa bi aldagai horiek erlazioan jartze-ko. Aukeratu eskala egokia.

b) Zer joera ageri da garezurraren hazkundean?c) Zure ustez, zer neurri izango du 3 urteko haurra-

ren garezurraren perimetroak?

17. Noriaren saskiak gora eta behera ari dira noria bi-raka dabilen artean. Honako hauek behereneko pun-tutik gorenekora igotzen den saskiaren datuak dira:

denbora (s) 4 8 12 16 20altuera (m) 3,7 7 9,7 11,4 12

a) Adierazi saskietako baten denbora-altuera funtzioa 80 segundoan zehar.

b) Zer denborari dagozkie horien maximo eta mini-mo erlatiboak?

c) Funtzio periodikoa al da?d) Zer altuera izango du saskiak 150. segundoan?

OHARRAK

111


10 a)

31 4 5 6 7 82

50

100

150

DENBORA (orduak)

ETXERAKO DISTANTZIA (km)

b)v=75km/h

c)v=60km/h

11 a)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

68

24

101214161820

DENBORA (orduak)

ETXERAKO DISTANTZIA (km)

b)Bai,abiadurabereanjoanda.

12

124 16 20 248 102 14 18 22 266

5

10

DENBORA (min)

ABIADURA (km/h)

13

1 3 5 7 9 11 132 4 6 8 10 12

2

4

6789

1011

1

3

5

DENBORA (orduak)

KOSTUA (€)

14 a)3m317,25€ordaintzendira,eta15m3,26,25€.

b)

1 2 3 4

15

16

17

18

KONTSUMOA (m3)

KOSTUA (€)

15 a)

10 20 30 40 50 60

30

40

10

20

50

60

ELURRAREN LODIERA (cm)

ORDU BATEAN GARBITZEN DUEN ZATIA (km)

Elurrarenlodierahandituahala,ordubateangarbitzenduenerrepi-dearenluzeratxikitzenda.

b)Gutxigorabehera,5kmgarbitukolituzke.

16 a)

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

1520

510

253035404550

DENBORA (hilabeteak)

PERIMETROA (cm)

b)Garezurrarentamainak50cm-reninguruanegonkortzekojoeradu.

c)50cm-koneurriaizangodu,gutxigorabehera.

17 a)

2

2468

101214

DENBORA (s)

ALTUERA (m)

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80

b)Maximoaketaminimoak20renmultiploeidagozkie.

c)Bai,40koperiodoaduenfuntzioperiodikoada.

d)8metrotaraegongoda.

156 157

Ariketak eta problemak5. Honako grafiko hauek lau mendi-

zaleren ibilaldiak erakusten dizkigute:EGINDAKO DISTANTZIA (km)

A

DENBORA (h)

30

2010

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

B

d

t

302010

1 2 3 4 5

Cd

t

302010

1 2 3 4 5

302010

Dd

t

a) Deskribatu bakoitzaren erritmoa.

b) Zeinek egin du biderik gutxien?

c) Zein ibili da denborarik gutxien?

d) Zein ibili da azkarren?

e) Asmatu B-ren denbora bera egin duen, C-ren dis-tantzia bera egin duen eta bidean ordubeteko atse-dena hartu duen mendizalearen grafikoa.

6. Azken urteetan, sakelako telefonoak gero eta gehiago darabiltzagu. Hala ere, telefonia finkoak ez du gorabehera handirik izan. Grafiko honetan, 1990 eta 2013ren arteko bilakaera ageri da:

1990

102030405060708090

100110120

1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012URTEA

FINKOA

SAKELAKOA

TELEFONO-HARPIDETZAK (milioa)

a) Telefono finkoaren eta sakelakoaren zenbat linea zeuden aktibatuta, gutxi gorabehera, 2000. ur-tearen hasieran? Eta 2010. urtearen hasieran? Eta 2013. urtearen hasieran?

b) Gutxi gorabehera, noiz zegoen telefono finkoen eta sakelako telefonoen kopuru bera?

c) Zenbat hazi ziren telefonia finkoko lineak 1990etik 2013ra? Eta telefonia mugikorrekoak?

d) Grafikoaren arabera, zer erabiltzaile kopurutarantz jotzen dute telefono finkoek?

e) Noiz egon zen telefono finkoaren erabiltzaileen kopururik handiena?

Erlazio grafikoak eta adierazpen analitikoak

7. Lotu grafikoetako bakoitza honako adie-razpen hauetakoren batekin:i) y = x + 1 ii) y = x 3

iii) y = x 2 – 1 iv) y = – x + 1

B

C D

A

8. Honako irudi hauetan koloreztatuta da-goen zatiaren azalera x-ren funtzioan idatz daiteke:

x

xx

x

x

x

x

xx

6

66

66

6

6

A B

C D

Honako adierazpen analitiko hauetako zein dagokio irudietako bakoitzari?a) 36 – x b) 3x c) 18 + 3x

d) (6 + x) · 3 – x22

e) 12x f ) 18 – x22

g) 36 – 3x h) 36x i) (6 – x) · 3

9. a) Jakinik libra 0,45 kg-ren baliokide den pisu unitatea dela, kopiatu eta osatu honako taula hau:

x (librak) 0,5 1 1,5 2 3 4y (kiloak) 0,45

b) Adierazi librak kilo bihurtzen dituen funtzioa.c) Lortu bi aldagai horiek erlazioan jartzen dituen

adierazpen analitikoa.

Ebatzi problemak10. Koldok 2 ordu behar izan ditu etxetik 150 km-ko

distantzian dagoen hirira joateko. Hiri horretan, bi orduko bilera izan du eta etxera itzuli da; 2 ordu eta erdi eman du etxerako bidaia horretan.

a) Irudikatu denbora-etxerako distantzia grafikoa.

b) Joaneko bidaian abiadura konstantean ibili dela joko dugu. Zer abiaduratan joan da?

c) Etxerako bidaiako abiadura ere konstante izan dela joko dugu. Zer abiaduratan itzuli da?

11. Txirrindularia etxetik 20 km-ra dagoen tokira joan da. Irteeratik 15 minutura, 6 km egin ondoren, 10 minutuko geldialdia egin du. Martxan hasi eta etxetik atera denetik ordubeteren buruan iritsi da.

a) Adierazi denbora-etxerako distantzia grafikoa.

b) Abiadura berean joan al da geldialdiaren aurretik eta geldialdia egin eta gero? (Tarte bakoitzean abia-dura konstantea daramala joko dugu).

12. Zaldiko-maldikoak azeleratu egiten du, 2 minutuan 10 km/h-ko abiadura lortu arte. Abiadu-ra horretan jarraitzen du 7 minutuan eta minutu ba-tean abiadura moteltzen doa, gelditu arte. 5 minutu geldirik egin eta gero, beste bira bat egiten hasten da.

Marraztu denbora-abiadura grafikoa 25 minutuko tarterako.

13. Herri bateko gazteen zinegotzigoak bizikletak erabiltzea bultzatu nahi du. Horretarako, bizikletak honako tarifa hauetan alokatzea erabaki du:

orduak: goizeko 9etatik gaueko 9ak arte

Lehenengo bi orduak: ................................ doan

3. ordua edo zatia eta hurrengoak ................ 1 €

Eguneroko gehienezko denbora 12 ordukoa da (goi-zeko 9etatik gaueko 9ak arte).

Irudikatu honako funtzio honen grafikoa:

Bizikleta erabiliko den denbora-kostua

14. Hiri bateko gasaren fakturan, 15 euroko kantita-te finkoa gehi 0,75 € ordaindu behar da kontsumi-tzen den metro kubiko bakoitzeko.a) Zenbat ordaintzen da 3m3? Eta 15 m3?b) Marraztu honako funtzio hau: kontsumitu diren

metro kubikoak-kostua.

15. Elurra kentzeko makinak elurraren geru-zaren lodieraren araberako errepide zatia garbitzen du. Horrelako makina baten honako datu hauek bildu dira:

elurraren lodiera (cm)

50 40 30 25 20 15 10 5

ordu batean garbitzen duen zatia (km)

6 7,5 10 12 15 20 30 60

a) Adierazi era grafikoan datuak eta lotu puntuak grafikoa analizatzeko. Deskribatu grafikoa.

b) Elurraren lodiera handiagoetarako ere makinak antzean lan egiten duela joko dugu. 60 cm-ko lodiera izanez gero, zenbat kilometro garbituko lituzke, gutxi gorabehera, ordu batean?

16. Taulak haur baten garezurraren lehenengo 4 hi-labeteetako neurriak biltzen ditu:

denbora (hilak) 0 3 9 15 21 27 33perimetroa (cm) 34 40 44 46 47 48 49

a) Prestatu grafikoa bi aldagai horiek erlazioan jartze-ko. Aukeratu eskala egokia.

b) Zer joera ageri da garezurraren hazkundean?c) Zure ustez, zer neurri izango du 3 urteko haurra-

ren garezurraren perimetroak?

17. Noriaren saskiak gora eta behera ari dira noria bi-raka dabilen artean. Honako hauek behereneko pun-tutik gorenekora igotzen den saskiaren datuak dira:

denbora (s) 4 8 12 16 20altuera (m) 3,7 7 9,7 11,4 12

a) Adierazi saskietako baten denbora-altuera funtzioa 80 segundoan zehar.

b) Zer denborari dagozkie horien maximo eta mini-mo erlatiboak?

c) Funtzio periodikoa al da?d) Zer altuera izango du saskiak 150. segundoan?

OHARRAK

112


18 a)Egonkortuegitenda.

b)Mililitroko400indibiduorantz.

c)Amotakoa.

d)Mililitroko200indibiduorantz.

e)Gutxigorabehera,110indibiduo.

f) 0indibiduorantz.Bpopulazioakdesagertzerajotzendu.

19 a)

–4 2 4 6 8 10–2

1234

–4–3–2–1

t (orduak)

T (ºC)

b)Eremua:[–4,10].Ibilartea:[–4,4]

c) (4,0)balioanebakitzendutardatza(orduak),eta(0;-3,25)balioanT (ºC)ardatza.

d)Tenperatura4-6tarteanhaztendaazkarren,2graduorduko.

Motelen–4-0tarteanhaztenda,0,75º,4orduan.

Maximoa6orduragertatzenda.

20 a)50segundoraizanzuenabiadurarikhandiena.

b)30segundora,gutxigorabehera.

c)Jauskaria50segundorahastendaabiaduramoteltzen.Unehorre-tan,27kilometrokoaltuerandago,gutxigorabehera.

100.segundoareninguruan,egonkortzenhastenda,14metrokoal-tueran.

d)Altuerarengrafikoazuzenagoada.

21 a)

t (min) 0 1 1,5 2 3 4 4,5 5 6 7

a (cm) 0 50 67,5 80 90 80 67,5 50 0 0

t (min) 8 8,5 9 10 11 11,5 12 13 14 15

a (cm) 50 67,5 80 90 80 67,5 50 0 0 50

1 3 5 7 92 4 6 8 10 11 12 13 14 15

102030405060708090

t (min)

a (m)

b)Funtzioajarraituaetaperiodikoada.Periodoa7minda.Zisterna3 minuturaeta10minuturadagobeterik.

c)Lehenengominutuan,ura50cmigotzenda.1.eta2.minutuenar-tean,30cmigotzenda.2.eta3.minutuenartean,10cmigotzenda.

d)3.irudiakirudikatzenduzisterna.

22 a)Grafikourdinagatzetaguztikoizotz-blokearidagokio.

b)Biek4ordubehardituzteurtzeko.

c)Ez,gatzabotaarren,izotzaezbailitzatekeurtuko.

23 a)Urdinadabidaztiarengrafikoa.

b)100metrorazegoen.

c)Bai,korrikahasieta1,5minutura.200metrora.

d)I.enuntziatua,Bgrafikoa.II.enuntziatua,Cgrafikoa.III.enuntziatua,Agrafikoa.

24 a)Bzirkuitua. b)

ABIADURA

DISTANTZIA

158 159

Ariketak eta problemak18. Biologia molekularreko laborate-

gian, esperimentua egin da bi motatako bakteriore-kin. Honako grafiko honek bakterio mota bakoitza-ren hazkundea erakusten digu, bereiz eta baldintza beretan daudela:

2

50

100

150

200

250

300

350

400

450

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26EGUNAK

INDIBIDUOAK (ml-ko)

A MOTAKO BAKTERIOAK

B MOTAKO BAKTERIOAK

a) Mota bakoitzeko indibiduoen kopurua, muga-rik gabe hazten da ala balioren baten inguruan egonkortzen da?

b) Zer baliotarantz jotzen du mililitro bakoitzeko indibiduoen kopuruak A motan (grafikoan erakus-ten diren aztertutako baldintzen arabera)?

c) Bi bakterio motetako zein biderkatzen da azka-rren?

Honako grafiko honetan, hartu kontuan zer gerta-tzen den, janariaren bila lehian ari direla, bi mota-tako bakterioak ontzi berean hazten direnean:

2

50

100

150

200

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26EGUNAK

INDIBIDUOAK (ml-ko)A MOTAKO BAKTERIOAK

B MOTAKO BAKTERIOAK

d) Bi populazioak motelago hazten dira batera egonez gero bereiz egonda baino. Zer baliotarantz jotzen du A motako indibiduoen kopuruak kasu horre-tan?

e) Zenbat izango da B motako populazioak lortuko duen indibiduo kopururik handiena?

f ) Zer baliotarantz jotzen du B motako indibiduoen kopuruak egunek aurrera egin ahala?

Problema korapilatsuagoak19. Gotzon meteorologoa da eta mendate

jakin batean ari da gaueko tenperaturen gorabehe-rak neurtzen (– 4 h-tik hasi da, 00:00-rako 4 ordu falta direlako). Honako taula honek Gotzonen datuak biltzen ditu:

t (h) – 4 –2 0 2 4 6 7 8 9

T (°C) – 4 –3,75 –3,25 –2 0 4 3 0,5 2

a) Adierazi denbora-tenperatura grafikoa.

b) Zein da funtzioaren eremua? Eta ibiltartea?

c) Zer baliotan ebakitzen du grafikoak ardatzetako bakoitza? Azaldu zer esan nahi duen horrek.

d) Zer alditan hazten da motelen tenperatura, orduko? Eta azkarren? Noiz da maximoa?

20. 2012an, Felix Baumgartner jauskariak erortze askeko errekorra hautsi zuen 39 000 metroko altueratik salto eginez. Honako hauek erortzen hasi zenetik lehenengo 250 segundoetako abiaduraren eta altueraren grafikoak dira:

10

20

30

40

50 100 150 200 250

DENBORA (s)

ALTUERA (km)

500

1000

1500

50 100 150 200 250

ABIADURA (km/h)

DENBORA (s)

a) Zer unetan izan zuen abiadurarik handiena?

b) Noiz hautsi zuen hotsaren abiadura? Gogoan izan hotsaren abiadura 300 m/s dela. Pasatu km/h-ra.

c) 40 km-ko altueran, atmosferak dentsitate oso txi-kia du, eta ez dago marruskadurarik ia. Zer altue-ratan hasi zen atmosfera jaitsiera moteltzen? Zer altueratan hasi zen egonkortzen?

d) Nolakoa da grafikoa egonkortzen hasi zenean, zu-zenagoa ala kurbatuagoa?

21. Parkeko iturriak isurtzen duen ura 90 cm-ko altuera duen zisternatik dator. Zisternak 3 min behar ditu betetzeko eta zisternako uraren al-tueraren, a, eta igaro den denboraren, t, erlazioa nabarmentzen da. Honako taula honetan ageri da:

denbora (min) 0 1 1,5 2 3altuera (cm) 0 50 67,5 80 90

Ondoren, zisterna 3 minutuan husten da, abiadura berean. Minutu batean zehar, ura iturriko hoditerian zehar mugitzen da, zisternara itzultzen da, betetzeko, eta prozesuak ondoz ondo jarraitzen du.a) Osatu aurreko taula 15 minutuko denborara arte.

Prestatu denbora-altuera funtzioaren grafikoa.b) Jarraitua al da funtzio hori? Periodikoa al da?

Periodikoa izanez gero, zer periodo du? Zisterna t-ren zer baliotan dago beterik?

c) Betetzen ari den artean, ura abiadura berean igo-tzen al da minutu bakoitzean? Justifikatu.

d) Kontuan hartuz c) atala, honako irudi hauetako zeinek irudikatzen du zisternaren profilaren forma?

1 2

3 4

22. Elurra egiten duenean, kaleetan gatza bo-tatzen da elurra urtu dadin. Gatza botaz gero, elurra tenperatura hotzagoan urtzen da (– 6 °C-tan, gutxi go-rabehera). Izotz-blokea osoa urtu arte, tenperatura ez da igotzen. Honako hauek dira izotz-bloke baten (gero ur likidoa izango da) gatz eta guztiko eta gatzik gabeko beste bloke baten denbora-tenperatura grafikoak:

1

–10

DENBORA (h)

TENPERATURA (°C)

IZOTZA

IZOTZA

URA

URA

–5

0

5

10

2 3 4 5 6

a) Zein dagokio bakoitzari?b) Zenbat denbora behar du bakoitzak urtzeko?c) Zentzurik izango al du gatza botatzeak giroko ten-

peratura –12 °C-koa izanez gero? Zergatik?

23. Honako gra-fiko hauek mugitzen ari den trenaren eta berandu iritsi eta trena harrapa-tzeko korrika ari den bi-daztiaren denbora-espazio funtzioak erakusten dituzte:a) Zein da bidaztiaren grafikoa eta zein da trenarena?b) Zer distantziatan zegoen trena bidaztia korrika hasi

zenean?c) Harrapatu al zuen azkenean? Non eta noiz?d) Honako grafiko hauek antzeko hiru egoerarenak

dira; elkartu horietako bakoitza honako enuntziatu hauetako bati:

I. Kermanek Alexen bizikleta hartu du eta Alex korrika atera da harrapatzeko, baina ez du lortu.

II. Kermanek Alexen bizikleta hartu du eta Alex korrika atera da harrapatzeko, eta lortu du, azkenean.

III. Kermanek Alexen bizikleta hartu du eta Alex korrika atera da Kermanengana. Kerman, kon-turatu denean, gelditu egin da eta Alex iritsi arte itxaron du.

A B C

ESPAZIOA

DENBORA DENBORA DENBORA

ESPAZIOA ESPAZIOA

24. Honako grafiko honek beherago marraztu diren zirkuituetako bat zeharkatzen duen automobil baten abiadura nola aldatzen den erakusten du:

ABIADURA

DISTANTZIA

HELMUGA

A B

HELMUGA

a) Bietako zeini dagokio?b) Egizu besteari dagokion grafikoa.

1

50100150200250300

2 3DENBORA (min)

ESPAZIOA (m)

113

Egin gogoeta eta erabaki

Ariketahonenbitartez,funtziokontzeptuariburuzkohausnarketaerakar-garrietamotibagarribategingodugu.

Ariketaeginondoren,ikasleakbesteontzibatzuekinjolasdaitezke,edoaldezaurretikaurkeztutakografikobatekinontzibatdiseinatudezakete.

Soluzioak

A-III

B-IV

C-I

D-VI

E-II

F-V

Begiratu eta irudikatu

Soluzioak

a)

DENBORA

EDUKIERA

BETETA

b)Vauclasiariturrieitartekadarieura;horidahaienezaugarrinagusia.Batzuetanuraisurtzendute,etabestezenbaitalditanez.Gainera,den-bora-tartenahikoerregularretanegitendutehori.Gertakarigeologikohoriekgertatzendiralurazpianleizeedodepositurenbatdagoelako,etaurasifoiitxurakokanalbatetikisurtzendutelako.Sifoihoribetetze-ko,ezinbestekoadauramailajakinbateraheltzea.

DENBORA

UR

AREN

ALT

UER

A

160 161

Taller de matemáticas

Egin gogoeta eta erabaki Txorrota irekita dagoela, ontziko likidoaren altuera (a ) igaro den denboraren (t ) fun-tzioaren mende dago.Eta funtzio hori irudikatuz gero, ontzietako bakoitzak grafiko bereizgarria duela ikusiko dugu.

— Lehenengo bi ontzietan, maila era uniformean igotzen da, nahiz eta bigarrenean lehe-nengoan baino azkarrago igo.

— Hirugarren ontzian, maila astiro igotzen da hasieran, eta, azkenean, azkar.

•Elkartu honako ontzi hauetako bakoitza dagokion grafikoarekin:

Matematika-lantegia

Begiratu eta irudikatuKasu bakoitzean, irudikatu ontziko urak duen altuera igaro den denbora-rekin lotzen duen grafikoa:a) b)

oharra: Jo informazio bila b) atalari ekin aurretik: Zer da vauclusiar itu-rria?

Trebatu problemak ebatziz •Rantxoa duten bi anaiek jarauntsia erdibanatu dute.

Lehenengoak bere zatia 80 zaldiko saldoa erosten eralgi du. Bigarrenak, ostera, 100 behi erosi ditu bere zatiare-kin. Zaldi batek behi batek baino 150 € gehiago balio izanez gero, zenbat zen jarauntsia?

•Pasa zaitez honako bederatzi puntuen gainetik lau zuzenki dituen lerro hautsiaren bidez.

•a) Iturri baten ondoan zaude eta 5 litroko pitxer bat eta 3 litroko beste bat dituzu. Nola konponduko zinateke litro bat ur, zehatz, neurtzeko?

b) Orain, bi suil dituzu, bat 7 litrokoa eta bestea, 5 litrokoa. Nola egingo duzu 4 litro ur neurtzeko?

c) Eta 9 litroko suila eta 5 litroko beste suil bat izanez

gero, nola neurtuko zenituzke 3 litro ur?

1. Honako grafiko honek Ane eta Mikel, mendian gora eginez, zer altueratara iritsi diren erakusten du:

1

100200300400500600700800900

1 0001 100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

ALTUERA (m)

DENBORA (h)

a) Zer aldagaik hartzen dute parte? Zer eskala erabi-li da aldagai bakoitzerako? Zein da funtzio horren definizio-eremua?

b) Zenbat iraun du ibilaldiak? Zer altueratatik aurre-ra hasi dira? Zenbat izan da gorengo altuera? Noiz gelditu dira jateko?

c) Zer denbora tartetan igo dira bizkorren? Zeinetan jaitsi dira azkarren?

d) Deskribatu ibilaldiaren gorabeherak.

2. Zisterna batean 5 l ur daude terrazan lainoztatzeko. Zisterna 10 minutuan hustu da. Hustu eta berehala, 2 minutuan beteko duen mekanismoa hasi da mar-txan.a) Irudikatu denbora-ur kantitatea funtzioa.b) Azaldu funtzioa periodikoa den ala ez.c) Lehenengo ordu erdian, zer unetan egongo da

beterik? Eta hutsik?

3. Honako ekuazio hauetako bat grafikoari dagokio eta gorantz jaurti den pilotaren altueraren, h, eta den-boraren, t, arteko erlazioa adierazten du. Zein da ekuazio hori?A h = 8t – t 2 B h = 40t – 5t 2 C h = – 4t 2 + 80t

20

40

60

80

1 2 3 4 5DENBORA (s)

ALTUERA (m)

Adierazi zer altuera duen pilotak 5. minutuan:a) Gutxi gorabehera, grafikoari begiratuz.b) Adierazpen aljebraikoa erabiliz.

Autoebaluazioa

I II III

IV V VI

Fontaine de Vaucluse delakoan ura sortzen.

160

a

t

a

t

a

t

I II III

A

D

B

E

C

F

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek egitea.Webgunean

OHARRAK

114

Trebatu problemak ebatziz

• Jarauntsia120000€ziren.

•

• a)3litrokoabetebeharda.

3litrokopitxerrarenedukia5litrokoanisuribeharda.

3litrokopitxerrabetebehardaberrizere.

3litrokopitxerrarenedukiarekin5litrokoabetebeharda.

3litrokopitxerreanlitro1gelditukoda;neurtunahigenuena.

b)7litrokosuilabetebeharda.

7litrokosuilarenedukiarekin5litrokoabetebeharda.

5litrokoahustubeharda.

7litrokosuileandauden2litroak5litrokosuileanisuribehardira.

7litrokosuilabetebehardaberrizere.

7litrokoarekin5litrokoaosatubeharda.

Horrela,7litrokosuilean4litrogelditukodira;neurtunahigenituenak.

c)9litrokosuilabetebeharda.

9litrokoarenedukiarekin5litrokoabetebeharda.


9litrokoandauden4litroak5litrokosuileanisuribehardira.

9litrokoabetebehardaberrizere.

5litrokosuilaosatubeharda,9litrokosuilarenlitrobatekin.


5litrokosuilabetebeharda,9litrokoarenedukiaerabiliz.

Horrela,9litrokosuilean3litrogelditukodira;neurtunahigenituenak.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)Altueraetadenboraaldagaiekhartzenduteparte.Denboraalda-gaiaklaukitxobaterabiltzenduorduerdiko;altueraaldagaiak,lau-kitxobat100metroko.Funtzioareneremua0-9,5da.

b)Ibilaldiak9orduetaerdiiraunditu.400metrokoaltueranhasidira.1100metrodagorengoaltuera.Ibiltzenhasieta4orduetaerdiragelditudirajateko,tontorreraheldutakoan.

c)Hasiondoko2eta3orduenarteanigodiraazkarren.6eta7orduenarteanjaitsidiraazkarren.

d)Ibilaldia400metrokoaltueranhasidute.Biorduan,600metroraheldudira;unehorretan,azkarragoigotzenhasidira,etaerritmohorrieutsidioteordubatez,900metrokoaltuerarahelduarte.Orduan,abiaduratxikitudute,etabestebiorduzjarraitudutemen-diangora,tontorrerahelduarte,1100metrotara.Biorduemandi-tuzte han. 6 orduko ibilaldia egin ondoren, jaisten hasi dira.Lehenengoorduanazkarjaitsidira,700metrorairitsiarte;gero,besteordubatibilidira,motelago.500metroraheltzean,orduer-dikogeldialdiaegindute,etabesteorduetaerdibatemandutejaisten,400metrorairitsiarte.

2 a)

UR-KANTITATEA (l )

2

1

2

3

4

5

6

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 DENBORA (min)

b)Periodikoada,harenjoera12minutukoperiodoetanerrepikatzenbaita.

c)0,12eta24minutuetanegongodazisternabeterik;10eta22mi-nutuetan,hutsik.

3 Bekuazioada.

a)Grafikoarierreparatuz,altuera,gutxigorabehera,75metrodira.

b)Ekuazioaerabiliz,40·5–5·52=75m.

160 161

Taller de matemáticas

Egin gogoeta eta erabaki Txorrota irekita dagoela, ontziko likidoaren altuera (a ) igaro den denboraren (t ) fun-tzioaren mende dago.Eta funtzio hori irudikatuz gero, ontzietako bakoitzak grafiko bereizgarria duela ikusiko dugu.

— Lehenengo bi ontzietan, maila era uniformean igotzen da, nahiz eta bigarrenean lehe-nengoan baino azkarrago igo.

— Hirugarren ontzian, maila astiro igotzen da hasieran, eta, azkenean, azkar.

•Elkartu honako ontzi hauetako bakoitza dagokion grafikoarekin:

Matematika-lantegia

Begiratu eta irudikatuKasu bakoitzean, irudikatu ontziko urak duen altuera igaro den denbora-rekin lotzen duen grafikoa:a) b)

oharra: Jo informazio bila b) atalari ekin aurretik: Zer da vauclusiar itu-rria?

Trebatu problemak ebatziz •Rantxoa duten bi anaiek jarauntsia erdibanatu dute.

Lehenengoak bere zatia 80 zaldiko saldoa erosten eralgi du. Bigarrenak, ostera, 100 behi erosi ditu bere zatiare-kin. Zaldi batek behi batek baino 150 € gehiago balio izanez gero, zenbat zen jarauntsia?

•Pasa zaitez honako bederatzi puntuen gainetik lau zuzenki dituen lerro hautsiaren bidez.

•a) Iturri baten ondoan zaude eta 5 litroko pitxer bat eta 3 litroko beste bat dituzu. Nola konponduko zinateke litro bat ur, zehatz, neurtzeko?

b) Orain, bi suil dituzu, bat 7 litrokoa eta bestea, 5 litrokoa. Nola egingo duzu 4 litro ur neurtzeko?

c) Eta 9 litroko suila eta 5 litroko beste suil bat izanez

gero, nola neurtuko zenituzke 3 litro ur?

1. Honako grafiko honek Ane eta Mikel, mendian gora eginez, zer altueratara iritsi diren erakusten du:

1

100200300400500600700800900

1 0001 100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

ALTUERA (m)

DENBORA (h)

a) Zer aldagaik hartzen dute parte? Zer eskala erabi-li da aldagai bakoitzerako? Zein da funtzio horren definizio-eremua?

b) Zenbat iraun du ibilaldiak? Zer altueratatik aurre-ra hasi dira? Zenbat izan da gorengo altuera? Noiz gelditu dira jateko?

c) Zer denbora tartetan igo dira bizkorren? Zeinetan jaitsi dira azkarren?

d) Deskribatu ibilaldiaren gorabeherak.

2. Zisterna batean 5 l ur daude terrazan lainoztatzeko. Zisterna 10 minutuan hustu da. Hustu eta berehala, 2 minutuan beteko duen mekanismoa hasi da mar-txan.a) Irudikatu denbora-ur kantitatea funtzioa.b) Azaldu funtzioa periodikoa den ala ez.c) Lehenengo ordu erdian, zer unetan egongo da

beterik? Eta hutsik?

3. Honako ekuazio hauetako bat grafikoari dagokio eta gorantz jaurti den pilotaren altueraren, h, eta den-boraren, t, arteko erlazioa adierazten du. Zein da ekuazio hori?A h = 8t – t 2 B h = 40t – 5t 2 C h = – 4t 2 + 80t

20

40

60

80

1 2 3 4 5DENBORA (s)

ALTUERA (m)

Adierazi zer altuera duen pilotak 5. minutuan:a) Gutxi gorabehera, grafikoari begiratuz.b) Adierazpen aljebraikoa erabiliz.

Autoebaluazioa

I II III

IV V VI

Fontaine de Vaucluse delakoan ura sortzen.

160

a

t

a

t

a

t

I II III

A

D

B

E

C

F

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek egitea.Webgunean

OHARRAK

115

OHARRAK

Documents

Funtzioak eta grafikoak...2. Galileorena bezalako esperimentua egin dugula eta honako emaitza hauek lortu ditugula joko dugu («» penduluaren luzera l izanik eta «n», oszilazioen